2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学(六)试题
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2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学（六）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知复数 满足 ，在复平面内对应的点为 ，则（）
A． B． C． D．
故选：C.
【点睛】
本题考查函数图象识别问题.
三、双空题
16．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_________；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.
四、解答题
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
3．已知 ，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆 中作出两个扇形 和 ，用扇环形 （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面的形状较为美观，则此时扇形 的半径与半圆 的半径之比为( )
【详解】
解： ，
，
所以 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的运算，属于基础题.
2．A
【分析】
由已知可列式子 ，整理化简即可.
【详解】
解：由 ，得 ，
化简整理得 ．
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的模的求法和几何意义，属于基础题.
3．D
【分析】
利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
，则 ，所以 .
故选：D.
A．5B．6C．7D．8
7．已知 ， 是单位向量，且 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A． B． C． D．
9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则（）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线 的右焦点为 ，圆 （ 为双曲线的半焦距）与双曲线 的一条渐近线交于 两点，且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双曲线 的方程是( )
求 ；
若 ， 的面积为 ，求以 ， ， 为边的 的面积．
18．在长方体 中， .
（1）求证：平面 平面 .
（2）求二面角 的大小.
19．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，其纵坐标为 ，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过 Байду номын сангаас直线 与抛物线 交于 两点，若 ，求直线 的斜率.
20．已知函数 ， ．
（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）（i）若从问卷市民中随机抽取 人，记总分恰为 分的概率为 ，求数列 的前10项和；
（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 分的概率为 （比如： 表示累计得分为1分的概率， 表示累计得分为2分的概率， ），试探求 与 之间的关系，并求数列 的通项公式.
求证：函数 是 上的增函数．
若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
21．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为 ，市民之间选择意愿相互独立.
【点睛】
本题考查指对数值大小比较.
指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．
对数函数值大小比较：
（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;
（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;
③函数 在区间 ，上单调递增；
④函数 在区间 上有 个零点．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
二、填空题
13．函数 的最大值为_______.
14．已知等比数列 中， ， ，则 __________．
15．椭圆 的左焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 两点（点 在第一象限），与 轴交于 点，若 ，则椭圆的离心率为_________.
（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.
4．B
【分析】
扇环形 的面积 等于扇形 的面积减扇形 的面积；设半径代入求解.
【详解】
设 ，半圆 的半径为 ，扇形 的半径为 ，
依题意，有 ，即 ，
所以 ，得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查弧度制下扇形面积计算问题.
其解题策思路：
(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
A． B． C． D．
5．函数 的部分图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点 处走出一步，只能到点 或点 或点 或点 .设马从点 出发，必须经过点 （点 不考虑先后顺序）到达点 ，则至少需走的步数为( )
A． B．
C． D．
11．在三棱锥 中， 平面 ，且 .若三棱锥 的外接球体积为 ，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象的一条对称轴为 ，其中 为常数，且 ，给出下述四个结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②将函数 的图象向左平移 所得图象关于原点对称；
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．
5．C
【分析】
先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.
【详解】
因为 ,
奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；
因为 ，所以排除选项A；
因为 ，所以排除选项B；因此选项C正确.
22．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
当 时，判断直线 与曲线 的位置关系；
若直线 与曲线 相切于点 ，求 的值．
23．已知 ， ， ， ．
证明： ．
证明： ．
参考答案
1．B
【分析】
可求出 ， ，然后进行交集的运算即可.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知复数 满足 ，在复平面内对应的点为 ，则（）
A． B． C． D．
故选：C.
【点睛】
本题考查函数图象识别问题.
三、双空题
16．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_________；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.
四、解答题
17．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，设 ．
3．已知 ，则 的大小关系是( )
A． B． C． D．
4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆 中作出两个扇形 和 ，用扇环形 （图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形 的面积为 ，扇形 的面积为 ，当 与 的比值为 时，扇面的形状较为美观，则此时扇形 的半径与半圆 的半径之比为( )
【详解】
解： ，
，
所以 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查交集的运算，属于基础题.
2．A
【分析】
由已知可列式子 ，整理化简即可.
【详解】
解：由 ，得 ，
化简整理得 ．
故选：A.
【点睛】
本题考查复数的模的求法和几何意义，属于基础题.
3．D
【分析】
利用对数函数和指数函数的单调性判断.
【详解】
，则 ，所以 .
故选：D.
A．5B．6C．7D．8
7．已知 ， 是单位向量，且 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，则输出的 （）
A． B． C． D．
9．已知等差数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则（）
A． B．
C． D．
10．已知双曲线 的右焦点为 ，圆 （ 为双曲线的半焦距）与双曲线 的一条渐近线交于 两点，且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双曲线 的方程是( )
求 ；
若 ， 的面积为 ，求以 ， ， 为边的 的面积．
18．在长方体 中， .
（1）求证：平面 平面 .
（2）求二面角 的大小.
19．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，其纵坐标为 ，且 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）过 Байду номын сангаас直线 与抛物线 交于 两点，若 ，求直线 的斜率.
20．已知函数 ， ．
（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量 ，求 的分布列和数学期望；
（2）（i）若从问卷市民中随机抽取 人，记总分恰为 分的概率为 ，求数列 的前10项和；
（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 分的概率为 （比如： 表示累计得分为1分的概率， 表示累计得分为2分的概率， ），试探求 与 之间的关系，并求数列 的通项公式.
求证：函数 是 上的增函数．
若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围．
21．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为 ，市民之间选择意愿相互独立.
【点睛】
本题考查指对数值大小比较.
指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．
对数函数值大小比较：
（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;
（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;
③函数 在区间 ，上单调递增；
④函数 在区间 上有 个零点．
其中所有正确结论的编号是（）
A．①②B．①③C．①③④D．①②④
二、填空题
13．函数 的最大值为_______.
14．已知等比数列 中， ， ，则 __________．
15．椭圆 的左焦点为 ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆交于 两点（点 在第一象限），与 轴交于 点，若 ，则椭圆的离心率为_________.
（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.
4．B
【分析】
扇环形 的面积 等于扇形 的面积减扇形 的面积；设半径代入求解.
【详解】
设 ，半圆 的半径为 ，扇形 的半径为 ，
依题意，有 ，即 ，
所以 ，得 .
故选：B.
【点睛】
本题考查弧度制下扇形面积计算问题.
其解题策思路：
(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．
A． B． C． D．
5．函数 的部分图象大致是( )
A． B．
C． D．
6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点 处走出一步，只能到点 或点 或点 或点 .设马从点 出发，必须经过点 （点 不考虑先后顺序）到达点 ，则至少需走的步数为( )
A． B．
C． D．
11．在三棱锥 中， 平面 ，且 .若三棱锥 的外接球体积为 ，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )
A． B． C． D．
12．已知函数 的图象的一条对称轴为 ，其中 为常数，且 ，给出下述四个结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②将函数 的图象向左平移 所得图象关于原点对称；
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．
5．C
【分析】
先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.
【详解】
因为 ,
奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；
因为 ，所以排除选项A；
因为 ，所以排除选项B；因此选项C正确.
22．在平面直角坐标系 中，点 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
当 时，判断直线 与曲线 的位置关系；
若直线 与曲线 相切于点 ，求 的值．
23．已知 ， ， ， ．
证明： ．
证明： ．
参考答案
1．B
【分析】
可求出 ， ，然后进行交集的运算即可.