【数学】：第9章解析几何第一节直线和圆
高中数学一轮复习课件：第九章 解析几何(必修2、选修1-1)9-3
(2)①方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)
与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．
设切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，
由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，
可得|3kk2－＋31|＝2，解得 k＝9±25 14，
y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积
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的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
(2)已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
①求yx的最大值和最小值；
②求 x＋y 的最大值与最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，
P 为线段 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．
[思路引导]
设所求点 Px，y
→
寻求与已知 点N的关系
→
用x，、y表 示点N
→
代入点N 满足方程
[解] 设 P(x，y)，N(x0，y0)，∵P 为 MN 的中点，
[答案] D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选 A．
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测9-1直线与圆带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第9章 解析几何9.1 直线与圆从近三年高考情况来看，圆的标准方程的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力．1．（2022•乙卷）过四点（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−83x −143y ＝0或x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0） ． 【解答】解：设过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0， 即{F =016+4D +F =02−D +E +F =0，解得F ＝0，D ＝﹣4，E ＝﹣6， 所以过点（0，0），（4，0），（﹣1，1）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0． 同理可得，过点（0，0），（4，0），（4，2）圆的方程为x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0． 过点（0，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−83x −143y ＝0． 过点（4，0），（﹣1，1），（4，2）圆的方程为x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0．故答案为：x 2+y 2﹣4x ﹣6y ＝0（或x 2+y 2﹣4x ﹣2y ＝0或x 2+y 2−83x −143y ＝0或x 2+y 2−165x ﹣2y −165=0）． 2．（2022•北京）若直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，则a ＝（ ） A ．12B ．−12C ．1D ．﹣1【解答】解：圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的圆心坐标为（a ，0）， ∵直线2x +y ﹣1＝0是圆（x ﹣a ）2+y 2＝1的一条对称轴，∴圆心在直线2x +y ﹣1＝0上，可得2a +0﹣1＝0，即a =12． 故选：A ．3．（2022•甲卷）设点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，则⊙M 的方程为 （x ﹣1）2+（y +1）2＝5 ．【解答】解：由点M 在直线2x +y ﹣1＝0上，可设M （a ，1﹣2a ），由于点（3，0）和（0，1）均在⊙M 上，∴圆的半径为√(a −3)2+(1−2a −0)2=√(a −0)2+(1−2a −1)2， 求得a ＝1，可得半径为√5，圆心M （1，﹣1）， 故⊙M 的方程为（x ﹣1）2+（y +1）2＝5， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +1）2＝5．4．（2022•新高考Ⅱ）设点A （﹣2，3），B （0，a ），若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆（x +3）2+（y +2）2＝1有公共点，则a 的取值范围是 [13，32] ．【解答】解：点A （﹣2，3），B （0，a ），k AB =a−32，所以直线AB 关于y ＝a 对称的直线的向量为：3−a2，所以对称直线方程为：y ﹣a =3−a2⋅x ，即：（3﹣a ）x ﹣2y +2a ＝0， （x +3）2+（y +2）2＝1的圆心（﹣3，﹣2），半径为1， 所以√4+(3−a)2≤1，得12a 2﹣22a +6≤0，解得a ∈[13，32]．故答案为：[13，32]．5．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程 x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确） ．【解答】解：圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为O （0，0），半径r 1＝1， 圆（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16的圆心坐标为C （3，4），半径r 2＝4， 如图：∵|OC |＝r 1+r 2，∴两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条． ∵k OC =43，∴l 1的斜率为−34，设直线l 1：y =−34x +b ，即3x +4y ﹣4b ＝0， 由|−4b|5=1，解得b =54（负值舍去），则l 1：3x +4y ﹣5＝0；由图可知，l 2：x ＝﹣1；l 2与l 3关于直线y =43x 对称，联立{x =−1y =43x，解得l 2与l 3的一个交点为（﹣1，−43），在l 2上取一点（﹣1，0），该点关于y =43x 的对称点为（x 0，y 0），则{y 02=43⋅x 0−12y 0x 0+1=−34，解得对称点为（725，−2425）． ∴k l 3=−2425+43725+1=724，则l 3：y =724(x +1)−43，即7x ﹣24y ﹣25＝0．∴与圆x 2+y 2＝1和（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16都相切的一条直线的方程为： x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．故答案为：x ＝﹣1（填3x +4y ﹣5＝0，7x ﹣24y ﹣25＝0都正确）．题型一.直线与方程1．（2020•新课标Ⅲ）点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：方法一：因为点（0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d =√k +1=√k 2+2k+1k 2+1=√1+2kk 2+1；∵要求距离的最大值，故需k ＞0； ∵k 2+1≥2k ，当且仅当k ＝1时等号成立， 可得d ≤√1+2k2k =√2，当k ＝1时等号成立．方法二：由y ＝k （x +1）可知，直线y ＝k （x +1）过定点B （﹣1，0）， 记A （0，﹣1），则点A （0，﹣1）到直线y ＝k （x +1）距离d ≤|AB |=√2． 故选：B ．2．（2020•新课标Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离为（ ）A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√55【解答】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a ，a ），则半径为a ，a ＞0． 故圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣a ）2＝a 2，再把点（2，1）代入，求得a ＝5或1， 故要求的圆的方程为（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝25或（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1． 故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）； 故圆心到直线2x ﹣y ﹣3＝0的距离d =|2×5−5−3|√2+1=2√55或d =|2×1−1−3|√2+1=2√55；故选：B ．3．（2016•新课标Ⅱ）圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离为1，则a ＝（ ） A ．−43B ．−34C ．√3D ．2【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣8y +13＝0的圆心坐标为：（1，4）， 故圆心到直线ax +y ﹣1＝0的距离d =√a +1=1，解得：a =−43， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅲ）直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是（ ） A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[√2，3√2]D ．[2√2，3√2]【解答】解：∵直线x +y +2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x ＝0，得y ＝﹣2，令y ＝0，得x ＝﹣2， ∴A （﹣2，0），B （0，﹣2），|AB |=√4+4=2√2，∵点P 在圆（x ﹣2）2+y 2＝2上，∴设P （2+√2cosθ，√2sinθ）， ∴点P 到直线x +y +2＝0的距离：d =√2cosθ+√2sinθ+2|√2=|2sin(θ+π4)+4|√2，∵sin （θ+π4）∈[﹣1，1]，∴d =|2sin(θ+π4)+4|√2∈[√2，3√2]，∴△ABP 面积的取值范围是：[12×2√2×√2，12×2√2×3√2]＝[2，6]．故选：A ．题型二.圆的方程1．（2020•北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：如图示：半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时，连结OB ，A 在OB 上且AB ＝1，此时距离最小， 由OB ＝5，得OA ＝4，即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选：A ．2．（2016•天津）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点M （0，√5）在圆C 上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为4√55，则圆C 的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝9 ． 【解答】解：由题意设圆的方程为（x ﹣a ）2+y 2＝r 2（a ＞0）， 由点M （0，√5）在圆上，且圆心到直线2x ﹣y ＝0的距离为4√55， 得a 2+5=r 2√5=4√55，解得a ＝2，r ＝3．∴圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝9． 故答案为：（x ﹣2）2+y 2＝9．3．（2019•北京）设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 （x ﹣1）2+y 2＝4 ． 【解答】解：如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），∵所求圆的圆心F ，且与准线x ＝﹣1相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为（x ﹣1）2+y 2＝4． 故答案为：（x ﹣1）2+y 2＝4．4．（2015•新课标Ⅱ）已知三点A （1，0），B （0，√3），C （2，√3）则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） A ．53B ．√213C ．2√53D ．43【解答】解：因为△ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上，即直线x ＝1上， 可设圆心P （1，p ），由P A ＝PB 得 |p |=√1+(p −√3)2， 得p =2√33 圆心坐标为P （1，2√33），所以圆心到原点的距离|OP |=1+(2√33)2=√1+129=√213， 故选：B ．题型三.直线与圆的位置关系1．（2020•新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y =√x 和圆x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y ＝2x +1B ．y ＝2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【解答】解：设直线l 与曲线y =√x 相切于M （a ，b ），（a ＞0），则由(√x)′=12√x 可知，曲线y =√x 在点P 处的切线方程为y −√a =12√a −a)，即y −x2√a √a2=0，该方程即为直线l 的方程， ∵直线l 与圆相切，∴√a2√1+14a=√55，解得a＝1，故直线l的方程为y=12x+12．故选：D．2．（2016•新课标Ⅲ）已知直线l：mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2√3，则|CD|＝4．【解答】解：由题意，|AB|＝2√3，∴圆心到直线的距离d＝3，∴√3|√m2+1=3，∴m=−√33∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|=|AB|cos30°=2√3√32=4．故答案为：4．3．（2021•北京）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（）A．±1B．±√2C．±√3D．±2【解答】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，则圆心C到直线l的距离d=√4−(a2)2=√4−a24，当弦长取得最小值2时，则d有最大值√4−1=√3，又d=|m|√1+k ，因为k2≥0，则√1+k2≥1，故d 的最大值为|m|=√3，解得m =±√3． 故选：C ．4．（2020•新课标Ⅰ）已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0【解答】解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．（多选）5．（2021•新高考Ⅰ）已知点P 在圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16上，点A （4，0），B （0，2），则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝3√2D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝3√2【解答】解：∵A （4，0），B （0，2）， ∴过A 、B 的直线方程为x4+y 2=1，即x +2y ﹣4＝0，圆（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心坐标为（5，5）， 圆心到直线x +2y ﹣4＝0的距离d =|1×5+2×5−4|√1+2=11√5=11√55＞4， ∴点P 到直线AB 的距离的范围为[11√55−4，11√55+4]，∵11√55＜5，∴11√55−4＜1，11√55+4＜10，∴点P 到直线AB 的距离小于10，但不一定大于2，故A 正确，B 错误；如图，当过B 的直线与圆相切时，满足∠PBA 最小或最大（P 点位于P 1时∠PBA 最小，位于P 2时∠PBA 最大），此时|BC |=√(5−0)2+(5−2)2=√25+9=√34， ∴|PB |=√|BC|2−42=√18=3√2，故CD 正确． 故选：ACD ．（多选）6．（2021•新高考Ⅱ）已知直线l ：ax +by ﹣r 2＝0与圆C ：x 2+y 2＝r 2，点A （a ，b ），则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【解答】解：∵点A 在圆C 上， ∴a 2+b 2＝r 2，∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =2√a 2+b2=2√a 2+b2=r ，∴直线与圆C 相切，故A 选项正确， ∵点A 在圆C 内， ∴a 2+b 2＜r 2，∵圆心C （0，0）到直线l 的距离为d =|0×a+0×b−r 2|√a 2+b =|r 2|√a 2+b r ，∴直线与圆C 相离，故B 选项正确， ∵点A 在圆C 外， ∴a 2+b 2＞r 2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=|0×a+0×b−r2|√a2+b =|r2|√a2+br，∴直线与圆C相交，故C选项错误，∵点A在直线l上，∴a2+b2＝r2，∵圆心C（0，0）到直线l的距离为d=2√a2+b =2√a2+b=r，∴直线与圆C相切，故D选项正确．故选：ABD．题型四.圆与圆的位置关系1．（2016•山东）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2＝a2（a＞0），则圆心为（0，a），半径R＝a，圆心到直线x+y＝0的距离d=a√2，∵圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x+y＝0所得线段的长度是2√2，∴2√R2−d2=2√a2−a22=2√a22=2√2，即√a22=√2，即a2＝4，a＝2，则圆心为M（0，2），半径R＝2，圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心为N（1，1），半径r＝1，则MN=√12+12=√2，∵R+r＝3，R﹣r＝1，∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B．1．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A ．x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0B ．x 2+y 2+4x ＝0C ．x 2+y 2+2x ﹣3＝0D ．x 2+y 2﹣4x ＝0 【解答】解：设圆心为（a ，0）（a ＞0），由题意知圆心到直线3x +4y +4＝0的距离d =|3a+4|√3+4=3a+45=r ＝2，解得a ＝2，所以圆心坐标为（2，0） 则圆C 的方程为：（x ﹣2）2+y 2＝4，化简得x 2+y 2﹣4x ＝0故选：D ．2．已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．√3D ．±√3【解答】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0即x 2+（y ﹣3）2＝3，其圆心为（0，3），半径r =√3， 直线y ＝ax 与圆C ：x 2+y 2﹣6y +6＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等边三角形，则圆心C 到直线y ＝ax 的距离d =32，则有√1+a 2=32， 解可得：a ＝±√3；故选：D ．3．两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，则线段MN 的长为（ ）A ．4B ．35√5C ．125√5 D ．65√5【解答】解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0的圆心为（﹣2，2），半径r 1＝2√2，圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心为（﹣1，0），半径r 2＝3，两圆x 2+y 2+4x ﹣4y ＝0和x 2+y 2+2x ﹣8＝0相交于两点M ，N ，直线MN 的方程为（x 2+y 2+4x ﹣4y ）﹣（x 2+y 2+2x ﹣8）＝0，变形可得：2x ﹣4y +8＝0，即x ﹣2y +4＝0，圆x 2+y 2+2x ﹣8＝0的圆心到直线x ﹣2y +4＝0的距离d =√1+4=3√55， 则|MN |＝2×√r 22−d 2=2×√9−95=12√55；故选：C ．4．已知直线l ：y =√3x +m 与圆C ：x 2+（y ﹣3）2＝6相交于A ，B 两点，若∠ACB ＝120°，则实数m 的值为（ ）A ．3+√6或3−√6B ．3+2√6或3−2√6C ．9或﹣3D ．8或﹣2【解答】解：圆心到直线l 的距离d =√3+1=|m−3|2， 若∠ACB ＝120°，则|m−3|2×2=√6，解得：m ＝3±√6，故选：A ．5．已知a 为常数，圆C ：x 2+2x +y 2﹣2ay ＝0，过圆C 内一点（1，2）的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为2x ﹣y ＝0，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：将圆C 的方程变形 可得，（x +1）2+（y ﹣a ）2＝1+a 2，圆心C （﹣1，a ），半径r =√1+a 2，若使得∠ACB 最小，则弦长最小，弦心距最大，故当（1，2）与圆心C （﹣1，a ）的连线与2x ﹣y ＝0垂直时，满足题意，所以a−2−1−1=−12， 故a ＝3．故选：B ．6．过圆T ：x 2+y 2＝4外一点P （2，1）作两条互相垂直的直线AB 和CD 分别交圆T 于A ，B 和C ，D 点，则四边形ABCD 面积的最大值为 √15 ．【解答】解：如图所示，由O 作AB ，CD 的垂线OE ，OF ，连接OP ，BD ，记OE＝d1，OF＝d2，则d12+d22=5．AE＝BE=√4−d12，PE=√5−d12=d2，CF＝DF=√4−d22，PF=√5−d22=d1，故S四边形ABCD＝S△PBD﹣S△P AC=12PB⋅PD−12PA⋅PC=12[(PE+BE)⋅(PF+FD)−(PE−AE)⋅(PF−CF)]=12[(d2+√4−d12)(d1+√4−d22)−(d2−√4−d12)(d1−√4−d22)]=12×2(d2√4−d12+d1√4−d22)=d2√4−d12+d1√4−d22≤√(d12+d22)(8−d12−d22)=√5×3=√15．当且仅当d1＝d2时取等号．故答案为：√15．。
初中数学掌握解析几何中的直线和圆
初中数学掌握解析几何中的直线和圆解析几何是数学中一个重要的分支，它研究了几何图形的代数性质和坐标表示方法。
在初中数学中，解析几何的学习对于学生的数学素养的培养和数学思维的发展具有重要的作用。
在初中数学的解析几何中，直线和圆是最基础也是最常见的两个图形，下面我们来详细探讨一下初中数学中解析几何中的直线和圆。
直线是最简单的几何图形，它由一组坐标点构成。
在解析几何中，直线可以通过两点确定。
给出直线上两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，我们可以通过计算斜率和截距来确定直线的方程。
直线的方程可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示了直线的倾斜程度，截距表示了直线与y轴的交点。
通过计算斜率和截距，我们可以方便地确定直线的方程，从而对直线进行研究和分析。
在解析几何中，圆是一个具有特殊性质的图形。
圆由一个中心点和一条半径构成。
给出圆心坐标为(h, k)，半径为r，我们可以确定圆的方程为(x-h)² + (y-k)² = r²。
圆的方程表示了圆上每一个点到圆心的距离都是半径r，通过这个方程，我们可以方便地确定圆的方程和圆的性质。
例如，我们可以通过圆的方程判断一个点是否在圆上，也可以方便地求出圆的面积和周长。
在解析几何中，直线和圆是经常出现的组合。
我们可以通过直线和圆的交点来研究它们之间的关系。
当直线与圆相交时，我们可以通过解方程组的方法求出交点的坐标。
根据交点的数量和位置，我们可以得出直线与圆的位置关系。
如果直线与圆有两个相交点，那么直线穿过圆；如果直线与圆有一个外切点，那么直线和圆相切；如果直线与圆没有交点，那么直线和圆相离。
解析几何中的直线和圆不仅仅是形式上的结构，更是数学思维和推理能力的培养。
通过学习直线和圆的性质以及相互之间的关系，我们可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
学生需要运用已知的知识和方法，通过推导和证明来解决直线和圆的问题。
这样的学习过程不仅能够提高学生的数学能力，更能培养学生的创新思维。
数学精品课解析几何中的直线与圆的交点问题
数学精品课解析几何中的直线与圆的交点问题数学精品课：解析几何中的直线与圆的交点问题解析几何是数学中的重要分支，研究了代数与几何的关系。
在解析几何中，直线与圆的交点问题是一个经典而又常见的问题，本文将深入探讨直线与圆的交点问题，并给出解决方案。
一、直线与圆的交点概述直线与圆的交点问题是解析几何中的重点内容之一。
直线有无穷多个点，而圆则由圆心和半径来确定。
当直线与圆相交时，其交点可以有0个、1个或2个。
二、直线与圆相切的情况当直线与圆相切时，交点为1个。
设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
其中，(a, c)为圆心，r为半径。
为了求得直线与圆相切时的交点，我们可以先求得直线的斜率k，再带入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解此方程，可以得到直线与圆相切时的交点坐标。
三、直线与圆相交的情况当直线与圆相交时，交点为2个。
设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - a)² + (y - c)² = r²。
为了求得直线与圆相交时的交点，我们可以将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解此方程，可以得到直线与圆相交时的交点坐标。
四、直线在圆内部或圆外部的情况当直线与圆没有交点时，有两种可能的情况：直线在圆内部或直线在圆外部。
我们可以通过计算直线方程与圆心的距离来判断。
1. 若直线方程与圆心的距离小于圆的半径，则直线在圆内部，无交点。
2. 若直线方程与圆心的距离大于圆的半径，则直线在圆外部，无交点。
五、直线与圆的交点问题的应用举例直线与圆的交点问题在实际生活和工作中有着广泛的应用。
下面以两个具体的例子来说明。
例一：在平面上，有一支普通的铅笔。
如何确定铅笔与纸面的接触点呢？我们可以把纸面看作是一个圆，铅笔在纸上的接触点就是直线与圆的交点。
例二：在道路设计中，常常遇到道路与河流的交叉情况。
解析几何中的直线和圆
解析几何中的直线和圆引言：解析几何是数学中的一个重要分支，它研究了几何图形与坐标系的关系。
其中，直线和圆是解析几何中最基本的图形，它们在几何学和物理学等领域中都有广泛的应用。
本文将对解析几何中的直线和圆进行深入解析，探讨它们的性质、特点以及应用。
一、直线的性质与表示方法1. 直线的定义直线是两点之间的最短路径，它没有宽度和长度。
在解析几何中，直线可以用一元一次方程表示，即y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
2. 直线的斜率直线的斜率是直线上两点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率可以用来描述直线的倾斜方向和程度。
当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线水平。
3. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点坐标。
直线与x轴的交点称为x截距，直线与y轴的交点称为y截距。
直线的截距可以通过方程的形式直接读出。
4. 直线的性质直线的性质包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1；两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
二、圆的性质与表示方法1. 圆的定义圆是平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，半径是圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的方程圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
标准方程是(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a,b)为圆心的坐标，r为半径的长度。
一般方程是x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
3. 圆的性质圆的性质包括切线、弦、弧等。
切线是与圆相切且与圆的半径垂直的直线；弦是圆上任意两点之间的线段；弧是圆上两点之间的弯曲部分。
圆的切线与半径的夹角是直角。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系包括相离、相切和相交。
当直线与圆没有交点时，它们相离；当直线与圆有且仅有一个交点时，它们相切；当直线与圆有两个交点时，它们相交。
解析几何直线与圆
直线与圆一、解析几何知识结构：二、知识点 1．直线(1).直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则直线AB 1212x x y y K AB--=。
(2) .直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.斜截式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b ya x ；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）。
在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。
若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则1l ∥2l ⇔1k ＝2k (除垂直）1l ⊥2l ⇔1k ·2k ＝－１（除去任一条与X 、y 轴平行或垂直）（4）点、直线之间的距离点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d=2200||BA C By Ax +++。
两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（例1．已知a >0，直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1例2．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a 、b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为 ． 例3．过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为 ．例4．若直线l 经过点(a －2，－1)和(－a －2,1)，且与经过点(－2,1)，斜率为－23的直线垂直，则直线l 的方程为______ _． 2. 圆（1）圆方程的三种形式标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F E D 42122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示．三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：2．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，进行消参。
高考备考指南文科数学第9章第1讲直线的方程
文科数学
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高考备考指南
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直线方程的综合应用
【考向分析】直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等
式、圆相结合，命题多为客观题．
常见的考向：
(1)与基本不等式相结合的最值问题；
(2)与导数的几何意义相结合的问题；
(3)与圆相结合求直线方程的问题．
栏目索引
2．直线的斜率 (1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝__ta_n__θ_____.
(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，栏则目索k＝引 yx22－ －yx11.
第九章 平面解析几何
高考备考指南
文科数学
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
条件 斜率k与点(x0，y0)
文科数学
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件：点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴 的直线；两点式方程不能表示垂直于x轴、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐 标轴和过原点的直线． (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零．在与截距有关的 问题中，要注意讨论截距是否为零． (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类栏目讨索引论，即应对 斜率是否存在加以讨论．
文科数学
直线的倾斜角与斜率
(1)直线2xcos α－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是(
)
A．π6，π3
B．π4，π3
C．π4，π2
D．π4，23π
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段没有公共点，则直线
第1讲 直线与圆
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第二部分 专题六 解析几何
8
3．已知直线 l 过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且 点 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为__________________．
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第二部分 专题六 解析几何
9
解析：由x2－ x＋23y＋y－3＝ 8＝0， 0，得xy＝＝21，，所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2)．显然 直线 x＝1 不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y－2＝k(x －1)，即 kx－y＋2－k＝0，因为点 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|－41＋＋2k－2 k| ＝2，所以 k＝0 或 k＝43.所以直线 l 的方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2 或 4x－3y＋2＝0
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第二部分 专题六 解析几何
14
(2)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆 C 过点(－1，0)和(2，3)，则圆
C 的半径为( )
A．2 2
B．8
C．5
D． 5
(3)已知圆心在直线 x－y－1＝0 上的圆与 y 轴的两个交点的坐标分别为(0，
4)，(0，－2)，则该圆的方程为________．
D．经过点(1，1)且在 x 轴和 y 轴上的截距都相等的直线方程为 x＋y－2＝0
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第二部分 专题六 解析几何
7
解析： A 中，直线 x－y－2＝0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 2，－2，则直 线与两坐标轴围成的三角形的面积是 2，所以 A 正确．B 中，点0＋2 1，2＋2 1 在直线 y＝x＋1 上，且点(0，2)，(1，1)连线的斜率为－1，所以 B 正确．C 中，直线方程成立需要条件 y2≠y1，x2≠x1，所以 C 错误．D 中，还有一条 截距都为 0 的直线 y＝x，所以 D 错误．故选 AB.
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
直线和圆课件
圆的参数方程通常表示为 (x, y) = (a, b) + r(cosθ, sinθ)，其中 (a, b) 是圆心， r 是半径，θ 是参数。
参数方程的应用实例
物理学中的应用
在物理学中，许多物理量都是通 过参数方程来描述的，例如简谐 振动的振动曲线、电磁波的传播
等。
工程设计中的应用
在工程设计中，参数方程被广泛 应用于各种曲线和曲面的描述， 例如机械零件的轮廓曲线、建筑
通过圆的半径和直径，可以计算出圆 的弧长和圆周长。
通过比较两个圆的半圆心角和扇形面积
通过圆心角和半径，可以计算出扇形 的面积。
直线和圆在实际生活中的应用
建筑设计
在建筑设计中，直线和圆是非常 重要的元素，它们可以用来确定 建筑物的平面布局、窗户和门的
物的三维模型等。
数学教育中的应用
在数学教育中，参数方程是描述 复杂函数和曲线的重要工具，有 助于学生更好地理解函数的性质
和曲线的几何意义。
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直线和圆 PPT 课件
• 直线和圆的基本概念 • 直线和圆的交点 • 直线和圆的几何应用 • 直线和圆的解析方法 • 直线和圆的参数方程
目录
Part
01
直线和圆的基本概念
直线的定义和性质
直线的定义
直线是无限长的，且在平面内， 可以由两点确定一条直线。
直线的性质
直线具有方向性，可以由斜率表 示；直线是连续的，没有中断； 直线可以无限延伸。
圆的定义和性质
圆的定义
圆是一个平面图形，由一个点（圆心 ）和一段固定长度（半径）决定，所 有点都与圆心保持相同距离。
圆的基本性质
圆是中心对称图形，有固定的周长和 面积；圆内的任意一点到圆心的距离 等于半径。
数学解析几何中的直线与圆
数学解析几何中的直线与圆直线和圆是数学解析几何中的重要概念，它们在平面几何中具有广泛的应用。
直线是由无数个点无限延伸而成的，而圆则是平面上一组与给定点等距离的点的集合。
本文将介绍直线和圆的基本性质、方程和相互关系，并探讨它们在解析几何中的应用。
一、直线的性质和方程在解析几何中，直线通常是通过表示其上的点的坐标来进行研究的。
设平面上一点的坐标为(x, y)，则直线可表示为y = kx + b的形式，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
直线的斜率是直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差，即k= (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
当直线过点(0, b)时，b为直线的截距，可表示为y = kx + b = mx，其中m = k + b。
直线的斜率可以判断直线的方向，当斜率k为正数时，直线向右上方倾斜；当斜率k为负数时，直线向右下方倾斜；当斜率k为0时，直线平行于x轴；当斜率不存在时，直线平行于y轴。
二、圆的性质和方程圆是平面上与给定点（圆心）等距离的点的集合。
圆的性质包括圆心、半径和直径等。
圆心是圆上任意一点到圆心的线段的中点，通常表示为点O。
圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，即直径的长度为两倍的半径，通常用字母d表示。
圆可以通过圆心和半径来表示，圆的标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)为圆心的坐标。
若圆心为原点(0,0)，则圆的方程为x² + y² = r²。
三、直线与圆的位置关系在解析几何中，直线和圆之间有多种可能的位置关系，包括相切、相离和相交。
下面将详细介绍每种情况：1. 相切：当直线只与圆相切于一个点时，我们称其为切线。
切线与圆的切点与切线垂直。
在数学上，判断直线与圆相切的条件是直线的斜率等于圆心到直线的距离除以半径的负倒数。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第9节 第1课时 直线与圆锥曲线课件 理 新人教B版
基础诊 断
考点突 破
第1课时 直线与圆锥曲线
@《创新设 计》
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点为
F1(－1，0)，且点 P(0，1)在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程； (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2：y2＝4x 相切，求直线 l 的方程.
考点突 破
@《创新设 计》
2.直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又
点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案 A
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
3.(教材习题改编)已知与向量 v＝(1，0)平行的直线 l 与双曲线x42－y2＝1 相交于 A， B 两点，则|AB|的最小值为________. 解析 由题意可设直线 l 的方程为 y＝m，代入x42－y2＝1 得 x2＝4(1＋m2)， 所以 x1＝ 4（1＋m2）＝2 1＋m2，
@《创新设 计》
第9节 圆锥曲线的综合问题
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思 想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思 想.
基础诊 断
考点突 破
@《创新设 计》
知识梳 1.直线与圆锥曲线的位置关系 理
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A， B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个 关于变量 x(或变量 y)的一元方程， 即AFx（＋xB，yy＋）C＝＝00，消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系教学案 理 新人教A版-新
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能判断直线与圆的位置关系.2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的X 围、最值、几何量的大小等.题型主要以选择、填空题为主，难度中等，但有时也会在解答题中出现.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系.(最重要)d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离.(2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交＝0⇔相切<0⇔相离2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)方法位置关系几何法：圆心距d 与r 1，r 2的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 d >r 1＋r 2 无解 外切 d ＝r 1＋r 2一组实数解 相交 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2两组不同的实数解 内切 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)一组实数解 内含0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)无解概念方法微思考1.在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示 应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，切线为零条.2.用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系？提示 不能，当两圆方程组成的方程组有一解时，两圆有外切和内切两种可能情况，当方程组无解时，两圆有外离和内含两种可能情况.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.( √ ) (2)若两圆相切，则有且只有一条公切线.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ ) 题组二 教材改编2.若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值X 围是( ) A.[－3，－1] B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋－12≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.外离 答案 B解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交.4.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.题组三 易错自纠5.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值X 围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1，22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.6.过点A (3，5)作圆O ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的切线，则切线的方程为__________. 答案 5x －12y ＋45＝0或x －3＝0解析 化圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0为标准方程得(x －1)2＋(y －2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2， ∵|OA |＝3－12＋5－22＝13>2，∴点A (3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x －3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0.又圆心为(1，2)，半径r ＝2，而圆心到切线的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，即|3－2k |＝2k 2＋1， ∴k ＝512，故所求切线方程为5x －12y ＋45＝0或x －3＝0.直线与圆的位置关系命题点1 位置关系的判断例1 已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.所以直线与圆相交.命题点2 弦长问题例2 若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12B.1C.22D. 2 答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22，由勾股定理得，弦长的一半就等于12－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 命题点3 切线问题例3 (2020·某某部分重点中学联考)点P 为射线x ＝2(y ≥0)上一点，过P 作圆x 2＋y 2＝3的两条切线，若两条切线的夹角为90°，则点P 的坐标为( ) A.(2，1) B.(2，2) C.(2，2) D.(2，0) 答案 C 解析 如图所示.设切点为A ，B ，则OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，OA ＝OB ，AP ＝BP ，AP ⊥BP ， 故四边形OAPB 为正方形， 则|OP |＝6，又x P ＝2，则P (2，2).命题点4 直线与圆位置关系中的最值问题例4 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，则最短弦所在的直线方程为________. 答案 x －y －2＝0解析 设P (3，1)，圆心C (2，2)， 则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短弦过P (3，1)且与PC 垂直，k PC ＝－1，所以所求直线方程为y －1＝x －3，即x －y －2＝0. 思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练1 (1)(2020·某某江淮十校联考)已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交，则r 的取值X 围是 ( )A.0<r ≤1B.0<r <1C.r ≥1D.r >1 答案 D解析 圆心到直线的距离d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r >1. (2)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A.－2B.－4C.－6D.－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝2，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.(3)(2019·某某)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r ，若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________. 答案 －25解析 根据题意画出图形，可知A (－2，－1)，C (0，m )，B (0，3)，∵k AB ＝2，∴k AC ＝－12，∴直线AC 的方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，令x ＝0，得y ＝－2， ∴圆心C (0，－2)，∴m ＝－2. ∴r ＝|AC |＝4＋－2＋12＝ 5.(4)从直线l ：x ＋y ＝1上一点P 向圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋4y ＋7＝0引切线，则切线长的最小值为________. 答案462解析 方法一 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1. 设直线l 上任意一点P (x ，y )， 则由x ＋y ＝1，得y ＝1－x . 则|PC |＝x ＋22＋y ＋22＝x ＋22＋1－x ＋22＝2x 2－2x ＋13.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ .故|PQ |2＝|PC |2－r 2＝(2x 2－2x ＋13)－1＝2x 2－2x ＋12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋232，所以当x ＝12时，|PQ |2取得最小值，最小值为232，此时切线长为|PQ |＝232＝462. 方法二 圆C 的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1， 圆心为C (－2，－2)，半径r ＝1.设过点P 的切线与圆相切于点Q ，则CQ ⊥PQ . 故|PQ |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1. 故当|PC |取得最小值时，切线长最小.显然，|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离d ＝|－2－2－1|12＋12＝522， 所以切线长的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫5222－1＝462. 圆与圆的位置关系例5 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.求： (1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ (3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1，3)，N (5，6)， 半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，5－12＋6－32＝11＋61－m .解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值.故有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011. 因为k MN ＝6－35－1＝34，所以两圆公切线的斜率是－43.设切线方程为y ＝－43x ＋b ，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪43×1＋3－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋1＝11.解得b ＝133±5311.容易验证，当b ＝133＋5311时，直线与圆x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相交，舍去.故所求公切线方程为y ＝－43x ＋133－5311，即4x ＋3y ＋511－13＝0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 即4x ＋3y －23＝0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×112－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27. 思维升华 (1)判断两圆位置关系的方法常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断，一般不用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察.(2)两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. (3)两圆公共弦长的求法求两圆公共弦长，常选其中一圆，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 构成直角三角形，利用勾股定理求解.跟踪训练2 (1)(2020·某某模拟)圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －5)2＝16的位置关系是( ) A.外离B.相交 C.内切D.外切 答案 B解析 易得圆C 1的圆心为C 1(－2，2)，半径r 1＝2，圆C 2的圆心为C 2(2，5)，半径r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝[2－－2]2＋5－22＝5<2＋4＝r 1＋r 2且5>r 2－r 1，所以两圆相交.(2)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0.原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a .∵公共弦长为23，∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a－a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.1.已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2≠0，则直线l ：ax ＋by ＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax ＋by ＝0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定 答案 B解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22，圆心到直线ax ＋by ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2×a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2×b a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切.2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交B.相切C.相离D.不确定 答案 A解析 方法一 由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.方法二 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1，1)， 因为点(1，1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部， 所以直线l 与圆相交.3.若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值X 围是( ) A.(－∞，1) B.(121，＋∞) C.[1，121] D.(1，121) 答案 C解析 x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36. 圆心距为d ＝0＋32＋0－42＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ， 所以1≤m ≤121.故选C.4.(2019·某某八市重点高中联考)已知圆x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0截直线x ＋y －4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值X 围为( ) A.(2－17，2＋17) B.(2－17，2) C.(－15，＋∞) D.(－15，2) 答案 D解析 圆心(1，－1)，半径r ＝2－a ，2－a >0，∴a <2， 圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝|1－1－4|2＝2 2.则弦长为22－a2－222＝2－a －6<6.解得a >－15，故－15<a <2.5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0，0)，故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离.故选C.6.(2020·某某华附、省实、广雅、深中四校联考)过点A (a ，0)(a >0)，且倾斜角为30°的直线与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点B ，且|AB |＝3，则△OAB 的面积是( ) A.12B.32C.1D.2答案 B解析 由切线的性质可得△ABO 是以点B 为直角顶点的直角三角形，在Rt△ABO 中，∠OAB ＝30°，AB ＝3，则OB ＝1，OA ＝2，△OAB 的面积是12×1×3＝32.7.已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.6或－6B.5或－5C.6D. 5 答案 B解析 因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点(O 为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝± 5.8.(2020·西南地区名师联盟调研)以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的标准方程为________. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝9 解析 圆心到直线的距离为|3×2－4×－1＋5|5＝3，则所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.9.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知圆C 经过直线x ＋y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点，且圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，则圆C 的方程为________.答案 (x －3)2＋(y －3)2＝34解析 方法一 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y 2＝4，解得交点坐标为A (－2，0)，B (0，－2).弦AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝x ＋1即x －y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.弦AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心坐标为(3，3)， 半径r ＝[3－－2]2＋32＝34， 故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝34.方法二 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－4)＋a (x ＋y ＋2)＝0， 即x 2＋y 2＋ax ＋ay －4＋2a ＝0，∴圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a2，∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴－a ＋a2－3＝0，∴a ＝－6.∴圆的方程为x 2＋y 2－6x －6y －16＝0， 即(x －3)2＋(y －3)2＝34.10.若过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝______. 答案 32解析 由题意，得圆心为O (0，0)，半径为1.如图所示，∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∵△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3， 则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos60°＝32.11.(2019·某某青山区模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.解 (1)根据题意，圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，其圆心为(0，4)，半径r ＝2，若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－34. (2)设圆心C 到直线l 的距离为d ，则⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即2＋d 2＝4，解得d ＝2，则有d ＝|4＋2a |1＋a 2＝2，解得a ＝－1或－7，则直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.12.已知一个圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且在直线y ＝x 上截得的弦长为27，求该圆的方程.解 方法一 ∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上， ∴设所求圆的圆心为(3a ，a )，又所求圆与y 轴相切，∴半径r ＝3|a |，又所求圆在直线y ＝x 上截得的弦长为27， 圆心(3a ，a )到直线y ＝x 的距离d ＝|2a |2，∴d 2＋(7)2＝r 2，即2a 2＋7＝9a 2，∴a ＝±1.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法二 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线y ＝x 的距离为|a －b |2，∴r 2＝a －b22＋7，即2r 2＝(a －b )2＋14.①由于所求圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2，②又∵所求圆的圆心在直线x －3y ＝0上，∴a －3b ＝0，③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9， 即x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0. 方法三 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2，半径r ＝12D 2＋E 2－4F .在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0. 由于所求圆与y 轴相切，∴Δ＝0，则E 2＝4F .①圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2到直线y ＝x 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22，由已知得d 2＋(7)2＝r 2， 即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F ).② 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线x －3y ＝0上， ∴D －3E ＝0.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6，E ＝2，F ＝1.故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.13.(2019·某某师大附中月考)已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P (x ，y )，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m ≥0恒成立，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，＋∞) B .(－∞，1] C.[－3，＋∞) D .(－∞，－3] 答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C (0，1)到直线l 的距离为|1＋m |2，切线l 0应满足|1＋m |2＝2，∴|1＋m |＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)，从而－m ≤－1，∴m ≥1.14.由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为_______. 答案7解析 设直线上一点P ，切点为Q ，圆心为M ，M 的坐标为(3，0)，则|PQ |即为切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ， 则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， |PQ |＝|PM |2－1＝222－1＝7.15.已知圆O ：x 2＋y 2＝9，点P 为直线x ＋2y －9＝0上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫49，89B.⎝ ⎛⎭⎪⎫29，49C.(1，2) D.(9，0) 答案 C解析 因为P 是直线x ＋2y －9＝0上的任一点，所以设P (9－2m ，m )，因为PA ，PB 为圆x 2＋y 2＝9的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，则点A ，B 在以OP 为直径的圆(记为圆C )上，即AB 是圆O 和圆C 的公共弦，易知圆C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9－2m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝9－2m2＋m24，①又x 2＋y 2＝9，②②－①得，(2m －9)x －my ＋9＝0，即公共弦AB 所在直线的方程是(2m －9)x －my ＋9＝0， 即m (2x －y )＋(－9x ＋9)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，－9x ＋9＝0得x ＝1，y ＝2.所以直线AB 恒过定点(1，2)，故选C.16.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. (1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程. 解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋4－b 2＝r 2，1－a 2＋3－b2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值.过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ， 易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT |2＝7， ∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8＝12， 即4k1＋k1＋k2＝4，解得k ＝1， 又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.。
人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-直线和圆的位置关系
知识要点
三角形的内切圆：与
A
三角形各边都相切的圆．
三角形的内心：三角
形内切圆的圆心．（即三
O
B
角形三条角平分线的交点）
C
求证：三角形三条角平分线的交点是内切圆的圆心．
证明： ∵O在∠B的角平分线上， ∴OD=OE， （角平分线的性质定理） B 又∵O在∠C的平分线上， ∴OD=OF， ∴OD=OE=OF． ∴D、E、F在同一个圆上 O即为内切圆的圆心.
A
D
F
O
E
C
定理证明
归纳
三角形的内切圆可以作出一个，因为三角形三 个内角的平分线交于一点，这点即为圆心，这点到 三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和 半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这 个圆叫做三角形的内切圆（inscribed circle of triangle）．
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心（incenter）．
线叫切线，
l
唯一的公共点叫切点．直
线和圆没有公共点，叫做直线
和圆相离．
l
．O 割线 ．． AB
．O 切点 A
切线
．O
抢答 快速判断下列各图中直线与圆的位置关系．
．O1
．O2
．O l
．O
l
l
．O
l
除了用公共点的个数来区分直线与圆 的位置关系外，能否像点和圆的位置关系 一样用数量关系的方法来判断直线和圆的 位置关系？
3．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线a的距 离为7cm，则⊙O与直线a的位置关系是相__离__；直线 a与⊙O的公共点个数是_零___．
．O
d
r
切点
01 解析几何——直线与圆
01 解析几何——直线与圆相关知识点： 一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：.12()x x ≠2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4.与距离有关的公式：⑴两点距离公式：两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.⑵点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200BA C By Ax d +++=.⑶两条平行线间的距离公式：设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离为d ，则有2221BA C C d +-=.5.直线系方程（1）平行线系方程：与直线A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ). （2）垂直线系方程：与直线A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)（3）直线束方程：过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0) （4）过两直线交点的直线方程：过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.6. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称：用中点表示两对称点，则中点在对称直线上，过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.注：特殊圆的方程：①与轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心②与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心③与轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心 2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径2422FE D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422 F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+.3. 点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔4. 直线和圆的位置关系：设圆圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-； 直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ；圆心),(b a C 到直线l 的距离22BA C Bb Aa d +++=.①r d =时，l 与C 相切；附：若两圆相切，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为公切线方程. ②r d时，l 与C 相交；附 ：公共弦方程：设有两个交点，则其公共弦方程为0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .③r d 时，l 与C 相离. 附：若两圆相离，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++02222211122F y E x D y x F y E x D y x 相减为圆心21O O 的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-0)()(222C Bx Ax r b y a x 用代入法，得关于x （或y ）的一元二次方程，其判别式为∆，则：l ⇔=∆0与C 相切；l ⇔∆0 与C 相交；l ⇔∆0 与C 相离.注：若两圆为同心圆则011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 相减，不表示直线.5. 圆的切线方程：圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为：0220000=++++++F y y E x x Dy y x x . ①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程. 6. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四点共圆. 已知O Θ的方程022=++++F Ey Dx y x …① 又以ABCD 为圆为方程为2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--…②4)()(222b y a x R A A -+-=…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.7. 圆系方程（1）过两圆交点的圆系：若两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1=0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2=0相交于A 、B 两点，则过A 、B 两点的圆系方程为：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2=0)(λ≠－1)．当两圆相切时，方程表示过切点且与两圆都相切的圆系方程．若λ=－1，表示公共弦AB 所在直线(两圆相切时为公切线)的方程．（2）过圆与直线交点的圆系：设圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0与直线L ：ax ＋by ＋c=0交于A 、B 两点，则方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(ax ＋by ＋c)=0表示过A 、B 两点的圆系方程．若圆C 与直线L 切于点A ，则方程表示与直线L ：ax ＋by ＋c=0相切于A 点的圆系方程．（3）与已知圆切于圆上一定点的圆系：与圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0切于点P(x 0，y 0)的圆系方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋λ(x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F)=0(λ≠－1)；当λ=－1时，方程表示过P(x 0，y 0)的切线方程．:0:222222111221=++++=++++F y E x D y x C F y E x D y xC B C)（4）过一定点的圆系：过定点P(x 0，y 0)的圆系方程为：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋m(x －x 0)＋n(y －y 0)=0． （5）过两定点的圆系：过两已知点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)的圆系方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y1)(y －y 2)＋λ[(x －x 1)(y 2－y1)－(y －y 1)(x 2－x 1)]=0，方程的前半部分为以AB 为直径的圆的方程表达式，后半部分为直线AB 的两点式的表达式，当λ=0时，方程为以AB 为直径的圆的方程． 求直线方程，与直线方程相关问题略讲 一、直线方程与不等式函数的综合应用例1：一条直线l 过点P (3,2)，与x ，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程．[解] 依题意，设所求直线方程为：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，则|OA |＝a ；|OB |＝b .于是：S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12ab ，又点P 在直线l 上，∴3a ＋2b ＝1⇒1＝3a ＋2b ≥26ab⇒ab ≥24， ∴S △AOB ≥12×24＝12，当且仅当3a ＝2b ＝12即：a ＝6，b ＝4时(S △AOB )min ＝12，此时直线方程为：x 6＋y4＝1.即直线l 的方程为：2x ＋3y －12＝0.练习：直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点． (1)当|P A |·|PB |最小时，求l 的方程；(2)当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．[解] 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负．设l ：y －4＝k (x －1) (k ＜0)．令y ＝0，可得A (1－4k ，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )．(1)|P A |·|PB |＝4k 2＋16·1＋k 2＝－4k (1＋k 2)＝－4(1k ＋k )＝4[(－1k)＋(－k )]≥8.(注意k ＜0) ∴当且仅当1k ＝k 且k ＜0，即k ＝－1时，|P A |·|PB |取最小值．这时l 的方程为x ＋y －5＝0.(2)|OA |＋|OB |＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋[(－k )＋(－4k)]≥9.∴当且仅当k ＝4k 且k ＜0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.二、对称问题 1、点关于点对称例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223xx ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）.2、点关于线对称点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫⎝⎛++'由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--3、线关于点对称直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0. 解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性. 4、线关于线对称直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 由题意，所给的两直线l 1，l 2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 根据分析，可设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3， 故所求直线l 的方程为x-y+3=0. 点评 将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程. 分析 两直线相交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.解 由⎩⎨⎧=+-=--03302y x y x 解得l 1，l 2的交点⎪⎭⎫ ⎝⎛--29,25••A ，设所求直线l 的斜率为k ， 由到角公式得，kk 31313113+-=⨯+-，所以k=-7. 由点斜式，得直线l 的方程为7x+y+22=0.点评 本题亦可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.总结：（1）一般的，求与直线ax+by+c=0关于x=a 0对称的直线方程，先写成a(x-a 0)+by+c+aa 0=0的形式，再写成a(a 0-x)+by+c+aa 0=0形式，化简后即是所求值.（2）一般的，求与直线ax+by+c=0关于y=b 0对称的直线方程，先写成ax+b(y-b 0)+c+bb 0=0的形式，再写ax+b(b 0-y)+c+bb 0=0成形式，化简后即是的求值.（3）一般的，求与直线ax+by+c=0关于原点对称的直线方程，只需把x 换成-x ，把y 换成-y ，化简后即为所求.（4）一般地直（曲）线f(x ，y)=0关于直线y=x+c 的对称直（曲）线为f(y-c ，x+c)=0. 即把f(x ，y)=0中的x 换成y-c 、y 换成x+c 即可. 三、求圆的方程例1：已知一圆经过点A （2，－3）和B （－2，－5），且圆心C 在直线l ：230x y --= 上，求此圆的标准方程（三种方法求解）。
高考数学一轮复习专题九平面解析几何1直线方程与圆的方程综合篇课件新人教A版
3.直线方程的几种形式
名称 方程
说明
斜截式 y=kx+b
k是斜率,
b是纵截距
点斜式 y-y0=k(x-x0)
(x0,y0)是直线上的已知点, k是斜率
两点式
y y1 y2 y1
=
x x1 x2 x1
(x1≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点
适用条件 与x轴不垂直的直线
A
x1
2
x2
B
y1
2
y2
C
0, 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其
A( y1 y2 ) B(x1 x2 ),
中A≠0,x1≠x2).
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决,有两种情况:一是已
知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
以下为教师用书专用
圆的方程
名称 标准方程 一般方程
考点二 圆的方程
方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)
圆心 (a,b)
DE
- 2 ,- 2
半径
r
1 D2 E2 4F 2
温馨提示 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r>0,则圆的半径为|r|,实 数r可以取负值.
(2)由已知设直线y=3x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α=
3,所以tan 2α= 2 tan α =- 3 .
1 tan2α 4
又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1),即3x+4y+15=0.
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第九章解析几何第一节直线和圆 第一部分三年高考荟萃2010年高考题一、选择题2 21.（ 2010江西理）8.直线y = kx ・3与圆x-3 y-24相交于 M,N 两点，若MN _2,3，贝U k 的取值范围是【答案】A【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察 数形结合的运用.解法1:圆心的坐标为（3. , 2）,且圆与y 轴相切.当| MN A 2 ...3时,3由点到直线距离公式，解得[,0]；4解法2:数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 间不对称，排除 C,利用斜率估值，选 A2. （ 2010安徽文）（4）过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 (A ) x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0(C)2x+y-2=0【答案】A【解析】设直线方程为x-2y ，c=0，又经过（1,0），故c =-1，所求方程为x-2y-1 = 0. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0 平行，所以设平行直线系方程为x - 2y • c = 0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行._L x = 2 cos 71,_ _3. （2010重庆文）（8）若直线y =x -b 与曲线（▼ [0,2二））有两个不同B.C.不取，排除B,考虑区 (D ) x+2y-1=0=si n# 的公共点，则实数b的取值范围为(A) (2「2,1)(C) (—：：,2 _、、2)u (2 • J2,=)【答案】D「x=2+cosT,22解析：化为普通方程（x-2）2 • y=1，表示圆,讨二s inr故::=4 7：35. ( 2010广东文)(B ) [2「2,2 .2](D ) (2 -：.2,2 ,2)因为直线与圆有两个不同的交点，所以法2:利用数形结合进行分析得AC同理分析，可知 2 -2小：：：2・24.（ 2010 重庆理）（8） 直y= 3 x 2与圆心为 D 的3A 、B 两点，则直线 AD 与BD 的倾斜角之和为人 7A.6【答案】C B.解析：数形结合三2 =30 二由圆的性质可知 圆线D.5二C. 4二7■:【解析】画出图形, 设动点A 与x 轴正方向夹角为 H TL:•，则t =0时，每秒钟旋转一，36兀 TL［亍2］，］，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调6•若寓心左k 轴上.半径为*的国0位于，梵左唧，且与直线卄鈿“A. (x- +y : ^50. (x+ 5)" +>,_ =6. （ 2010全国卷1理）（11）已知圆O 的半径为1，PA PB 为该圆的两条切线， A 、B 为两-4 、、2 (B) -3 2(C)-4 2.2 (D) -3 2.2本小題主鑒考查向挝的数量积运算与圜的切嫌任定理'着重考查设元引舖三角代换，臥廉利用均值求最值〜同 时程考杳了考生综合运用数学期识解朦的能力更运算能力.--- - -- *■ --- 11rr 1 —C111 D r解；则£4皿=三肿7=&, PA^PB= [PAf -cos 2^= cot 2 cos 2^=——了— •(l-2sin 2^an7. （ 2010安徽理）9、动点A x,y 在圆x 2 y^ 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周。
已知时间t=0时，点A 的坐标是（丄二），则当0汨乞12时，动点A 的2 2【答案】D切点, 那么的最小值为(A)分折:川+汕任心运4且朋爲七i", W 吒肘取等号「故选D.纵坐标y 关于t （单位：秒） 的函数的单调递增区间是A 、0,11B 、 1,7 1 1.7,121 D 、1.0,1 和 1.7,121递增的。
【方法技巧】由动点A x, y在圆x2 y2 =1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在［0,12］变化时，点A的纵坐标y关于t （单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间•二、填空题1. （2010上海文）7.圆C : x2• y2 -2x-4y • 4 = 0的圆心到直线3x，4y，4 = 0的距离d = 。
【答案】3解析：考查点到直线距离公式3汉1+4汉2 +4圆心（1,2）到直线3x+4y+4=0距离为---------------------- =352. （2010湖南文）14.若不同两点P,Q的坐标分别为（a, b），（3-b，3-a），贝懺段PQ的垂直平分线I的斜率为_ —，—圆（x-2 ）2+ （y-3 ）2=1关于直线对称的圆的方程为 _宀【答案】-1 —-------------------- ■3. （2010全国卷2理）（16）已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，AB 为圆M与圆N的公共弦，AB=4 •若OM二ON3 ,则两圆圆心的距离MN = _______【答案】3【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题【解析】设E为AB的中点，贝U O, E, M, N四点共面，如图，T AB=4，所以ME= 3 ,由球的截面性质, 有OM _ ME,ON _ NE ,••• OM =ON =3，所以MEO 与NEO全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由面积相等，可得，MN=2 M E L M° =3OE4. （2010全国卷2文）（16）已知球O的半径为4，圆M 与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB =4，若OM = ON = 3，则两圆圆心的距离MN = __________ 。
【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识•/ ON=3,球半径为4 ,•••小圆N 的半径为-7 •小圆N 中弦长AB=4,作NE 垂直于AB, ••• NE= 3 ,同理可得ME = 3 ,在直 角三角形 ONE 中，T NE= '• 3 , ON=3, •HJIEONMON —63MN=35. （ 2010山东文）（16）已知圆C 过点（1,0 ），且圆心在x 轴的正半轴上， 直线I : y=x-1 被该圆所截得的弦长为 2 2，则圆C 的标准方程为 ____________ . _________6. （ 2010四川理）（14）直线x-2y ，5 = 0与圆x 2 y^8相交于 A 、B 两点，贝UAB =.解析：方法一、圆心为（0,0），半径为2 ■■一 2 圆心到直线x-2y ・5=0的距离为d =巴° 5| =、512 （-2）2故 LAB!「. ；「二..2 --得 I AB = 2 3 答案：2 37. （2010天津文）（14）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0 相切。
则圆C 的方程为 _________________________ 。
【答案】（x 1）2 y 2 = 2本题主要考查直线的参数方程， 圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识， 属于容易题。
令y=0得x=-1，所以直线x-y+仁0,与x 轴的交点为（-1.0 ）的方程为（X • 1）2 • y 2 =2因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径,|-1 0 3|2,所以圆【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。
8. （2010广东理）12.已知圆心在x 轴上，半径为,2的圆0位于y 轴左侧，且与直线x+y=O 相切，则圆0的方程是 _________12. （x 十75）2 +y 2 =5 .设圆心为 佝0）（ a vO ），则 r = 1 节2>^°!=鸟，解得 a = —5.J 12+229. （ 2010四川文）（14）直线x —2y ・5=0与圆x 2 y^8相交于 A 、B 两点，贝UAB 二 .【答案】2 3解析：方法一、圆心为（0,0），半径为 2、. 2圆心到直线 x -2y • 5 = 0的距离为 d =岸詈朋故（罟）2+（何2 =（2血）2得 I AB = 2 3 10. （2010山东理）（16）已知圆C ■过点.门』）・且圆心在x 轴的正半轴上 直线血y=x-}^C 所载得的弦长为2血,则过匾心且与直线d 垂直的亘线的育程溯 _______ . “【解析】由题意，设所求的直线方程为 x+y+m=0，设圆心坐标为（a,0），则由题意知：标为（3, 0）,因为圆心（3, 0）在所求的直线上，所以有 3+0+m=0，即m=-3，故所求 的直线方程为x+y-3=0。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们 解决直线与圆问题的能力。
11. （2010湖南理）|a-1| 2）2+2=（a-1）2，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以 a=3,故圆心坐2【答案】B3.（重庆文，1）圆心在y 轴上，半径为1,且过点（1, 2）的圆的方程为（W 如图I 所示■过0。
外一壷P 作一疑■线与GX?交于儿B 两点•已知PA=匕点卩封0。
时切壮长PT =4. 飓AB 的长洵 ______________ *【答幫】事【解析】恨据切线长定理= ---- =2HrUA + 播=PB — PA = 8-2=6*【命题竄團】玄题穹察平而几何的切线长定理.属容剔S. *12. （2010江苏卷）9、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆x 2 • y 2 =4上有且仅有四个点 到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c 的取值范围是_ _［解析］考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2，Icl圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，1， c 的取值范围是（-13，13）。
132009年高考题一、选择题1.（辽宁理，4）已知圆C 与直线x — y=0及x — y — 4=0都相切，圆心在直线 x+y=0上，则 圆C 的方程为A. （x 1）2 （y -1）2 =2B. （x -1）2 （y T ）2 =22 2 2 2C.（x-1） （y -1）=2D. （x 1）（y 1） =2【解析】圆心在x + y = 0上，排除C 、D,再结合图象，或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离 等于半径.2即可. 【答案】B2.（重庆理，1）直线y = X • 1与圆x 2 y 2 =1的位置关系为（ ）A .相切B .相交但直线不过圆心C .直线过圆心D .相离【解析】圆心（0, 0为到直线y 二xT ,即x - y • 1 =0的距离d解法1 （直接法）：设圆心坐标为（0, b ）,则由题意知..（O 一1）2 （b-2） =1,解得b =2,2 2故圆的方程为x • （y —2） =1。