中考数学压轴题专题复习——圆的综合

⊙O 于另一点
D，垂足为
E. 设
P
是
⌒ AC
上异于
A,C 的一个动
点，射线 AP交 l 于点 F，连接 PC与 PD，PD交 AB 于点 G.
（ 1）求证：△ PAC∽△ PDF；
（ 2）若 AB=5，⌒AP= ⌒BP ，求 PD的长；
（ 3）在点 P 运动过程中， 设 AG x ，tan AFD y ， BG
时，给出下列两个结论：① MN 的长度
不变；② 的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确 的结论并求出其值．
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专题四、圆中的面积问题
1、（ 2013）如图，⊙ O 的半径 r 25 ，四边形 ABCD 内接圆⊙ O ， AC BD 于点 H ， P 为 CA 延长线上的一点，且 PDA ABD . （ 1）试判断 PD 与⊙ O 的位置关系，并说明理由：
PF
2
=EF?FD
；
（2）当 tan∠ APB= ， tan∠ ABE= ， AP= 时，求 PF 的长；
（3）在（ 2）条件下，连接 BD ，判断 △ ADB 是什么三角形？并证明你的结论．
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4、（ 2014?盘锦）如图， △ ABC 中，∠ C=90°，点 G 是线段 AC 上的一动点（点 G 不与 A 、 C 重合），以 AG 为直径的⊙ O 交 AB 于点 D ，直线 EF 垂直平分 BD ，垂足为 F，EF 交 BC 于点 E ， 连结 DE ． （1）求证： DE 是⊙ O 的切线；
．
（1）求证： AM?MB=EM?MC ；
（2）求 sin∠ EOB 的值；
（3）若 P 是直径 AB 延长线上的点，且 BP=12 ，求证：直线 PE 是⊙ O 的切线．
5、（ 2012?杭州）如图， AE 切⊙ O 于点 E，AT 交⊙ O 于点 M ，N ，线段 OE 交 AT 于点 C，OB ⊥ AT
（1）判断 OG 与 CD的位置关系，写出你的结论并证明；
（2）求证： AE＝ BF；
（3）若 OG·DE＝3( 2－ 2 ) ，求⊙ O 的面积．
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5、如图，⊙ O 的半径为 1，点 P 是⊙ O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是弧 A⌒PB上的 任一点（与端点 A、 B 不重合）， DE⊥ AB 于点 E，以 D 为圆心、 DE长为半径作⊙ D，分别过 点 A、 B 作⊙ D 的切线，两条切线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ ACB是否为定值，若是，求出∠ ACB的大小；否则，请说明理由；
（1）求证： △ ABC∽△ OFB；
（2）当 △ ABD 与 △BFO 的面枳相等时，求 BQ 的长；
（3）求证：当 D 在 AM 上移动时（ A 点除外），点 Q 始终是线段 BF 的中点．
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专题二、三角函数在圆中的应用
1、（ 2014 成都） 如图， 在⊙ O 的内接△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=2BC，过 C作 AB的垂线 l 交
（2）求证： FC=FB ；
（3）若 FB=FE=2 ，求⊙ O 的半径 r 的长．
6、如图，在 Rt △ ABC中，∠ B=90°，它的内切圆分别与三角形的三边切于点 AD与内切圆相交于点 P，连接 PC,PE,PF,FD,ED，且 PC⊥ PF。
（1）求证：△ PFD∽△ PDC；
（2） EP PD DE DC
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4、（ 2012?泰州） 如图， 已知直线 l 与⊙ O 相离， OA ⊥ l 于点 A ，OA=5 ．OA 与⊙ O 相交于点 P， AB 与⊙ O 相切于点 B ， BP 的延长线交直线 l 于点 C．
（1）试判断线段 AB 与 AC 的数量关系，并说明理由；
（2）若 PC=2 ，求⊙ O 的半径和线段 PB 的长；
（1）求证： AC· CD＝PC·BC；
（2）当点 P 运动到 AB 弧中点时，求 CD 的长；
（3）当点 P 运动到什么位置时，△ PCD的面积最大？并求这个最大面积 S．
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4、（四川省成都市 2009）如图， Rt△ ABC 内接于⊙ O，AC＝ BC，∠ BAC 的平分线 AD 与⊙ O 交于点 D，与 BC 交于点 E，延长 BD，与 AC的延长线交于点 F，连结 CD， G 是 CD 的中点， 连结 OG．
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3、（ 2013?桂林）如图，在 △ ABC 中，∠ C=90°，∠ BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D，过点 D 作 DE ⊥ AD 交 AB 于 E，以 AE 为直径作⊙ O． （1）求证：点 D 在⊙ O 上； （2）求证： BC 是⊙ O 的切线； （3）若 AC=6 ， BC=8 ，求 △ BDE 的面积．
D,E,F ，连接
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7、（ 2012?十堰）如图 1，⊙ O 是 △ ABC 的外接圆， AB 是直径， OD∥ AC ，且∠ CBD= ∠ BAC ， OD 交⊙ O 于点 E． （1）求证： BD 是⊙ O 的切线； （2）若点 E 为线段 OD 的中点，证明：以 O、 A 、 C、E 为顶点的四边形是菱形；
．
（1）求⊙ O 的半径 OD ； （2）求证： AE 是⊙ O 的切线； （ 3 ）求图中两部分阴影面积的和．
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3、如图，圆 O 的直径为 5，在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P，已知 BC : CA ＝4 : 3，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A、B 两点重合），过 C 作 CP的垂线 CD交 PB的延 长线于 D 点．
Fra Baidu bibliotek
（3）当⊙ P 的大小发生变化而其他条件不变时， 其值；若发生变化，请说明理由．
的值是否发生变化？若不发生变化，请求出
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4、（ 2013?成都模拟）已知：如图，在半径为 4 的⊙ O 中， AB ，CD 是两条直径， M 为 OB 的中
点， CM 的延长线交⊙ O 于点 E，且 EM ＞ MC ．连接 DE ， DE=
（3）作 CF⊥ AB 于点 F，连接 AD 交 CF 于点 G（如图 2），求 的值．
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8、（ 2004?武汉）已知：如图，直线 y=kx+3 （ k＞ 0）交 x 轴于 B 点，交 y 轴于 A 点，以 A 为圆 心， AB 为半径作⊙ A 交 x 轴于另一点 D，交 y 轴于 E、 F 两点，交直线 AB 于 C 点，连接 BE 、 CE ，∠ CBD 的平分线交 CE 于 I 点．
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2017 中考专题复习——圆
题型一、勾股定理在圆中的应用
1、（ 2012 成都）如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 CD⊥ AB 于 H，过 CD延长线上一点 E 作⊙ O 的 切线交 AB 的延长线于 F．切点为 G，连接 AG交 CD于 K．
（ 1）求证： KE=GE；
（ 2）若 KG 2 =KD· GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；
（3）若 tan∠ ABC= ， BE=7 ，求线段 PC 的长．
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3、（ 2015?黄陂区校级模拟）如图，点 P 在 y 轴的正半轴上，⊙ P 交 x 轴于 B 、 C 两点，以 AC 为直角边作等腰 Rt△ ACD ， BD 分别交 y 轴和⊙ P 于 E、 F 两点，交连接 AC 、 FC ． （1）求证：∠ ACF= ∠ ADB ； （2）若点 A 到 BD 的距离为 m， BF+CF=n ，求线段 CD 的长；
（ 2）若 tan ADB
3 ， PA
43
3 AH
，求
BD 的
4
3
长；
（ 3）在（ 2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积 .
2、（ 2013?钦州）如图，在 Rt△ ABC 中，∠ A=90°， O 是 BC 边上一点，以 O 为圆心的半圆与 AB 边相切于点 D，与 AC 、BC 边分别交于点 E、F、G，连接 OD，已知 BD=2 ，AE=3 ，tan∠ BOD=
于点 B，已知∠ EAT=30° ， AE=3 ，MN=2
．
（1）求∠ COB 的度数；
（2）求⊙ O 的半径 R；
（3）点 F 在⊙ O 上（
是劣弧），且 EF=5，把 △ OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它
的两个顶点分别与点 E， F 重合．在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出
（ 1）求证： P 是 ACQ 的外心； 3
（ 2）若 tan ABC , CF 8 ,求 CQ 的长； 4
（ 3）求证： ( FP PQ ) 2 FP FG ．
2、（ 2014?镇江）如图，⊙ O 的直径 AC 与弦 BD 相交于点 F，点 E 是 DB 延长线上的一点， ∠ EAB= ∠ ADB ． （1）求证： EA 是⊙ O 的切线； （2）已知点 B 是 EF 的中点，求证：以 A 、 B 、 C 为顶点的三角形与 △ AEF 相似； （3）已知 AF=4 ， CF=2 ．在（ 2）条件下，求 AE 的长．
（3）若在⊙ O 上存在点 Q，使 △ QAC 是以 AC 为底边的等腰三角形，求⊙ 围．
O 的半径 r 的取值范
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5、（ 2012?德阳）如图，已知点 C 是以 AB 为直径的⊙ O 上一点， CH ⊥ AB 于点 H，过点 B 作 ⊙ O 的切线交直线 AC 于点 D，点 E 为 CH 的中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交 AB 的延长线于 G． （1）求证： AE?FD=AF?EC ；
（ 3） 在（ 2）的条件下，若
3
sinE=
， AK= 2
3 ，求 FG的长．
5
2、（ 2014?孝感）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 是⊙ O 上一点， AD 与过点 C 的切线垂直，垂 足为点 D ，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P，弦 CE 平分∠ ACB ，交 AB 于点 F，连接 BE ． （1）求证： AC 平分∠ DAB ； （2）求证： △ PCF 是等腰三角形；
另一个顶点在⊙ O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与
△ OBC 的周
长之比．
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6、（ 2011?潍坊）如图， AB 是半径 O 的直径， AB=2．射线 AM、BN 为半圆 O 的切线．在 AM 上取一点 D，连接 BD 交半圆于点 C，连接 AC．过 O 点作 BC的垂线 OE，垂足为点 E，与 BN 相交于点 F．过 D 点作半圆 O 的切线 DP，切点为 P，与 BN 相交于点 Q．
（3）若 BC=6 ， tan∠ F= ，求 cos∠ ACB 的值和线段 PE 的长．
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3、（ 2014?武侯区校级自主招生）如图，⊙ 于 D， BP 交⊙ O 于 E， DE 交 PC 于 F．
O 与直线 PC 相切于点 C，直径 AB ∥ PC， PA 交⊙ O
（ 1 ）求证：
（2）若 cosA= ， AB=8 ， AG=2 ，求 BE 的长；
（3）若 cosA= ， AB=8 ，直接写出线段 BE 的取值范围．
专题三、相似三角形与圆的综合应用
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1、（ 2010）已知：如图， ABC 内接于 O ， AB 为直径，弦 CE AB 于 F ， C 是 AD 的 中点，连结 BD 并延长交 EC 的延长线于点 G ，连结 AD ，分别交 CE 、 BC 于点 P 、 Q ．
（1）求证： BE=IE ；
（2）若 AI ⊥ CE，设 Q 为弧 BF 上一点，连接 DQ 交 y 轴于 T ，连接 BQ 并延长交 y 轴于 G 点， 求 AT?AG 的值；
（3）设 P 为线段 AB 上的一个动点（异于 A、 B ），连接 PD 交 y 轴于 M 点，过 P、M 、 B 三点
作⊙ O1 交 y 轴于另一点 N ．设⊙ O1 的半径为 R，当
求 y 与 x 之间的函数关系式 . （不要求写出 x 的取值范围）
AE
tan AFD
，
FE
2、（ 2012?襄阳）如图， PB 为⊙ O 的切线， B 为切点，直线 PO 交⊙于点 E、 F ，过点 B 作 PO 的垂线 BA ，垂足为点 D ，交⊙ O 于点 A ，延长 AO 与⊙ O 交于点 C，连接 BC ， AF ． （1）求证：直线 PA 为⊙ O 的切线； （2）试探究线段 EF、 OD 、 OP 之间的等量关系，并加以证明；