第13章动力学普遍方程习题解

习题13－1图

*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程

13－1 图示均质细杆OA 长为l ，重力为P ，在重力作用下可在铅垂平面内摆动，滑块O 质量不计，斜面倾角θ，略去各处摩擦，若取x 及ϕ为广义坐标，试求对应于x 和ϕ的广义力。

解：应用几何法，令0δ=x ；0δ≠ϕ

则：ϕϕϕϕϕϕsin 2

1δδ2sin δδPl l

P W Q -=-='= 令0δ≠x ；0δ=ϕ 则：θθsin δδsin δδP x

x

P x W Q x -=-=''=

13－2 图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R ，均质行星齿轮半径为r ，质量为m ，均质杆OA 质量为m 1，杆受矩为M 的力偶作用而运动，若取ϕ为广义坐标，试求相应的广义力。

解：应用几何法，设对应于ϕ的虚位移0δ≠ϕ 则：

M M W Q ===

ϕ

ϕϕϕδδδδ

13－3 在图示系统中，已知：均质圆柱A 的质量为M 、半径为R ，物块B 的质量为m ，光滑斜面的倾角为β，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。若以θ 和y 为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：

（1）系统运动微分方程；

（2）圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。

解：（1）在系统上施加惯性力如图（a ）所示。 其中：)(I θ R y M F A -=；y m F B

=I θ

θ

2I 2

1MR J M A A == 应用动力学普遍方程，

δ)sin (δ)sin (I I I I =+-+--

-θββR Mg M R F y Mg F F mg A A A B 可得系统运动微分方程：

0sin )(=----βθMg R y

M y m mg 0sin 2

1)(2=+--R Mg MR R R y

M βθθ 整理后有：0)sin ()(=-+-+g m M MR y

M m βθ 0sin 2

3=--βθg y

R

应用第二类拉格朗日方程：

习题13-2图

习题13-3图

F I

2222)(2

1212121θθ R y M MR y m T -+⋅+=

；)(sin θβR y Mg mgy V -+-= =-=V T L 2222)(2

1212121θθ R y M MR y m -+⋅+)(sin θβR y Mg mgy --+ )(d d θ R y

M y m y L t -+=∂∂；βsin Mg mg y

L -=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂y L y

L t ；0)sin ()(=-+-+g m M MR y M m βθ （a ） )(21d d 2θθθ R y RM MR L t --=∂∂；R Mg L βθsin =∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θθL L t ；0sin 2

3=--βθg y R

（b ） （2）求圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。 由式（b ）得：βθsin 2

3g R y

-=

代入式（a ）

，有 0)sin ()sin 2

3)((=-+--+g m M MR g R M m βθ

βθ 解得：R m M mg A )3()sin 1(2++==βθ

α ；m

M g

M m g m M mg y a B 3)sin 3(sin 3)sin 1(3+-=

-++==βββ

13－4 在图示系统中，已知滑块A 的质量为M ，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F ，均质杆AB 长2b ，质量为m ，若选取x 和θ 作为系统的广义坐标，试建立系统运动微分方程。

解：应用第二类拉格朗日方程。对应于

广义坐标x 和θ的广义力分别为：

F Q x =；θθsin mgb Q -=

杆AB 质心C 的速度为：

2

2

)sin ()cos (θθθθ b b x

v C ++= 系统的动能为：

)cos 2(2

141212*********θθθθ b b x x m b m x

M T +++⋅+=

)sin cos (d d 2θθθθ -++=∂∂mb x m x M x T t ；0=∂∂x T x Q x T x

T t =∂∂-∂∂ d d ；0sin cos )(2=--++F mb mb x M m θθθθ （a ） )sin cos (31d d 22θθθθθθ x x mb mb mb T t -++=∂∂；θθθ x mb T sin -=∂∂ θθθQ T T t

=∂∂-∂∂ d d ；0sin cos 3

42=++θθθgb x b b

（b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－5 在图示系统中，已知：均质圆轮A 的质量为M 、半径为r ，摆球B 的质量为m 、摆长为b ，弹簧刚度为k ，弹簧及刚杆AB 质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。若选取ϕ 和

习题13-4图

θ 作为系统的广义坐标，设ϕ = 0时弹簧为原长。试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日

方程建立系统运动微分方程。

解：（1）在系统上施加惯性力如图（a ）所示。

其中惯性力为：ϕ Mr F A =I ；ϕϕ 2I 2

1Mr J M A A == ϕ mr F B =e I ；θ mb F B =t r I ；2n r I θ mb F B = 应用动力学普遍方程，

0δ)sin cos (n r I t r I e I I I =+-----ϕθθr F r F r F Fr M r F B B B A A

0δ)cos sin (t r I e I =---θθθb F F mg B B

可得系统运动微分方程（F = kr ϕ）：

0)sin cos ()2

3

(

2=-+++θθθθϕϕ mb kr r m M 0sin cos =++θθϕ

θmg mb mr 整理后有：

02)sin cos (2)23(2=+-++ϕθθθθϕ

kr mb r m M

0sin cos =++θθϕ

θmg mb mr 应用第二类拉格朗日方程：

])sin ()cos [(2

12121)(2122222θθθθϕϕϕ

b b r m Mr r M T +++⋅+=

； 2)(21

cos ϕθr k b mg V +-=

=-=V T L ])(cos 2)[(2

1)(4

3222θθθ

ϕϕϕ b rb r m r M +++2)(2

1cos ϕθr k b mg -+ )sin cos (23d d 222θθθθϕϕ

ϕ -++=∂∂mrb mr Mr L t ；ϕϕ

2kr L -=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂ϕϕ

L L t ；02)sin cos (2)32(2=+-++ϕθθθθϕkr mb r M m （a ） )sin cos (d d 2θϕθθϕθθ -+=∂∂mbr mb L t ；b mg mrb L θθθϕθsin sin --=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θ

θL L t

；0sin cos =++θθϕθmg mb mr （b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－6 图示系统由摆长为l 、质量为m 的摆锤和两根弹簧刚度为k 的弹簧组成，弹簧、滑块A 及刚杆AB 的质量均不计，水平面光滑。若选取x 和θ 作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。

解：摆锤B 的速度为：

22)sin ()cos (θθθθ l l x

v B ++= 习题13-6图