第13章动力学普遍方程习题解

习题13－1图*第13章 动力学普遍方程 和第二类拉格朗日方程13－1 图示均质细杆OA 长为l ，重力为P ，在重力作用下可在铅垂平面内摆动，滑块O 质量不计，斜面倾角θ，略去各处摩擦，若取x 及ϕ为广义坐标，试求对应于x 和ϕ的广义力。

解：应用几何法，令0δ=x ；0δ≠ϕ则：ϕϕϕϕϕϕsin 21δδ2sin δδPl lP W Q -=-='= 令0δ≠x ；0δ=ϕ 则：θθsin δδsin δδP xxP x W Q x -=-=''=13－2 图示在水平面内运动的行星齿轮机构，已知固定齿轮半径为R ，均质行星齿轮半径为r ，质量为m ，均质杆OA 质量为m 1，杆受矩为M 的力偶作用而运动，若取ϕ为广义坐标，试求相应的广义力。

解：应用几何法，设对应于ϕ的虚位移0δ≠ϕ 则：M M W Q ===ϕϕϕϕδδδδ13－3 在图示系统中，已知：均质圆柱A 的质量为M 、半径为R ，物块B 的质量为m ，光滑斜面的倾角为β，滑轮质量忽略不计，并假设斜绳段平行斜面。

若以θ 和y 为广义坐标，试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程求：（1）系统运动微分方程；（2）圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。

解：（1）在系统上施加惯性力如图（a ）所示。

其中：)(I θ R y M F A -=；y m F B=I θθ2I 21MR J M A A == 应用动力学普遍方程，δ)sin (δ)sin (I I I I =+-+---θββR Mg M R F y Mg F F mg A A A B 可得系统运动微分方程：0sin )(=----βθMg R yM y m mg 0sin 21)(2=+--R Mg MR R R yM βθθ 整理后有：0)sin ()(=-+-+g m M MR yM m βθ 0sin 23=--βθg yR应用第二类拉格朗日方程：习题13-2图习题13-3图F I2222)(21212121θθ R y M MR y m T -+⋅+=；)(sin θβR y Mg mgy V -+-= =-=V T L 2222)(21212121θθ R y M MR y m -+⋅+)(sin θβR y Mg mgy --+ )(d d θ R yM y m y L t -+=∂∂；βsin Mg mg yL -=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂y L yL t ；0)sin ()(=-+-+g m M MR y M m βθ （a ） )(21d d 2θθθ R y RM MR L t --=∂∂；R Mg L βθsin =∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θθL L t ；0sin 23=--βθg y R（b ） （2）求圆柱A 的角加速度和物块B 的加速度。

由式（b ）得：βθsin 23g R y-=代入式（a ），有 0)sin ()sin 23)((=-+--+g m M MR g R M m βθβθ 解得：R m M mg A )3()sin 1(2++==βθα ；mM gM m g m M mg y a B 3)sin 3(sin 3)sin 1(3+-=-++==βββ13－4 在图示系统中，已知滑块A 的质量为M ，至于光滑水平面上，其上作用有水平力F ，均质杆AB 长2b ，质量为m ，若选取x 和θ 作为系统的广义坐标，试建立系统运动微分方程。

解：应用第二类拉格朗日方程。

对应于广义坐标x 和θ的广义力分别为：F Q x =；θθsin mgb Q -=杆AB 质心C 的速度为：22)sin ()cos (θθθθ b b xv C ++= 系统的动能为：)cos 2(2141212*********θθθθ b b x x m b m xM T +++⋅+=)sin cos (d d 2θθθθ -++=∂∂mb x m x M x T t ；0=∂∂x T x Q x T xT t =∂∂-∂∂ d d ；0sin cos )(2=--++F mb mb x M m θθθθ （a ） )sin cos (31d d 22θθθθθθ x x mb mb mb T t -++=∂∂；θθθ x mb T sin -=∂∂ θθθQ T T t=∂∂-∂∂ d d ；0sin cos 342=++θθθgb x b b（b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－5 在图示系统中，已知：均质圆轮A 的质量为M 、半径为r ，摆球B 的质量为m 、摆长为b ，弹簧刚度为k ，弹簧及刚杆AB 质量不计，圆盘在水平面上作纯滚动。

若选取ϕ 和习题13-4图θ 作为系统的广义坐标，设ϕ = 0时弹簧为原长。

试分别用动力学普遍方程和第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。

解：（1）在系统上施加惯性力如图（a ）所示。

其中惯性力为：ϕ Mr F A =I ；ϕϕ 2I 21Mr J M A A == ϕ mr F B =e I ；θ mb F B =t r I ；2n r I θ mb F B = 应用动力学普遍方程，0δ)sin cos (n r I t r I e I I I =+-----ϕθθr F r F r F Fr M r F B B B A A0δ)cos sin (t r I e I =---θθθb F F mg B B可得系统运动微分方程（F = kr ϕ）：0)sin cos ()23(2=-+++θθθθϕϕ mb kr r m M 0sin cos =++θθϕθmg mb mr 整理后有：02)sin cos (2)23(2=+-++ϕθθθθϕkr mb r m M0sin cos =++θθϕθmg mb mr 应用第二类拉格朗日方程：])sin ()cos [(212121)(2122222θθθθϕϕϕb b r m Mr r M T +++⋅+=； 2)(21cos ϕθr k b mg V +-==-=V T L ])(cos 2)[(21)(43222θθθϕϕϕ b rb r m r M +++2)(21cos ϕθr k b mg -+ )sin cos (23d d 222θθθθϕϕϕ -++=∂∂mrb mr Mr L t ；ϕϕ2kr L -=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂ϕϕL L t ；02)sin cos (2)32(2=+-++ϕθθθθϕkr mb r M m （a ） )sin cos (d d 2θϕθθϕθθ -+=∂∂mbr mb L t ；b mg mrb L θθθϕθsin sin --=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θθL L t；0sin cos =++θθϕθmg mb mr （b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－6 图示系统由摆长为l 、质量为m 的摆锤和两根弹簧刚度为k 的弹簧组成，弹簧、滑块A 及刚杆AB 的质量均不计，水平面光滑。

若选取x 和θ 作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。

解：摆锤B 的速度为：22)sin ()cos (θθθθ l l xv B ++= 习题13-6图系统的动能、势能分别为：)cos 2(21222θθθ l l x x m T ++=；2cos kx mgl V +-=θ =-=V T L )cos 2(21222θθθ l l x x m ++2cos kx mgl -+θ )sin cos (d d 2θθθθ -+=∂∂ml x m x L t ；kx x L 2-=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂x L x L t ；02sin cos 2=+-+kx ml ml x m θθθθ （a ） )sin cos (d d 2θθθθθ x x ml ml L t -+=∂∂；θθθθsin sin mgl x ml L --=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θθL L t；0sin cos 2=++θθθmgl x ml ml （b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－7 在图示系统中，已知：物块A 质量为m ，均质圆柱B 质量为M 、半径为r ，弹簧刚度为k ，自然长度为d ，圆柱B 相对于物块A 作纯滚动，物块A 沿光滑水平面运动。

若选取x 和ϕ 作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。

解：系统的动能、势能分别为：2222)(214121ϕϕ r x M Mr xm T +++=； 22)(21)(21ϕr k d x k V +-= V T L -=)(d d ϕ r x M x m x L t ++=∂∂；)(d x k x L--=∂∂0d d =∂∂-∂∂x LxL t ；0)()(=-+++d x k Mr x M m ϕ（a ） )(21d d 2ϕϕϕ r x Mr Mr L t ++=∂∂；ϕθ2kr L-=∂∂0d d =∂∂-∂∂ϕϕL L t ；023=++ϕϕkr Mr xM （b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－8 在图示系统中，已知：摆球B 的质量为m 、摆长为b ，弹簧的刚度系数为k ，其他物体质量不计。

若选取y (从点A 的静平衡位置算起）和θ 作为系统的广义坐标，试用第二类拉格朗日方程建立系统运动微分方程。

解：应用第二类拉格朗日方程：)sin 2(21222θθθ b y b ym T +-=；221cos ky mgb V +-=θ V T L -=)cos sin (d d 2θθθθ +-=∂∂mb ym y L t ；ky yL -=∂∂ 习题13-7图习题13-8图B0d d =∂∂-∂∂y L yL t ；0cos sin 2=+--ky mb mb y m θθθθ（a ） )cos sin (d d 2θθθθθ y y mb mb L t +-=∂∂；θθθθsin cos mgb y mb L --=∂∂ 0d d =∂∂-∂∂θθL L t；0sin sin =+-θθθg y b （b ） 式（a ）、（b ）即为系统运动微分方程。

13－9 重力为P 1的楔块B 放在光滑水平面上，铅直杆重力P 2，均质圆盘重力P 3，如图所示。

在楔块上作用一水平力F 。

若圆盘在楔块斜面上作纯滚动，斜面与水平面的夹角为β，试求楔块的加速度。

解：此系统只有一个自由度，若选取x为广义坐标，应用第二类拉格朗日方程：2322232121)sin (4121O O v gP P r v r g P x g P T +++=β 如图所示圆盘的速度瞬心在点D ，且x v B =， 则：βββtan cos sin x r r v v BO == 223222321tan 21cos 4121x gP P x g P x g P T ββ+++= βtan )(δδ)(δ3232P P F xr P P x F Q Ox +-=+-=；（βtan δδx r O =）x g P P x g P x g P x T t ββ232231tan cos 2d d +++=∂∂；0=∂∂xTx Q x T xT t =∂∂-∂∂ d d ；ββββtan )(cos 2sin )(2cos 2322232321P P F x g P P P P +-=+++)sin 21()sin cos (2cos ]tan )([2232221232βββββ++++-==P P P P P F g x a13－10 在图示系统中，已知：均质杆AB 质量为m 、长为b ，光滑斜面的倾角为β，滚轮A 的质量不计。