423拉普拉斯变换的收敛域讲解
第四章拉普拉斯变换1
第4章 拉普拉斯变换、连续系统的
(a)令 0, L[u(t)] 1 ,即u(t) 1
s
s
15
et 1
s
(b) 单边正弦信号 sin 0t u(t)
L[sin t] L[ 1 (e jt ejt )]
2j
1[ 1 1 ]
2 j s j s j
s2 2
即sin
t
s2
2
16
et 1
s
(c)单边余弦信号
costu(t)
(3) f (t)u(t t0 ) tu(t t0 )
(4) f (t t0 )u(t t0 ) (t t0 )u(t t0 ) 的拉氏变换。
解：信号(1)和(2)t 0 时的波形相同， f (t t0)
所以它们的拉氏变换也相同，即
L[t t0 ] L[(t t0 )u(t)] L[tu(t)] L[t0u(t)]
(0 )
f
(0 )
dt 2
若f(t)为有始函数，则
f (t) f (t)u(t)
L[ df (t)u(t)] sF (s)
dt
25
例
设
f1(t) etu(t),
1 f2 (t) et
t0 t 0
试求 f1'(t) 和 f2 '(t) 的拉氏变换。 1 f1(t)
解：f1(t), f2(t)的波形如图所示。
拉普拉斯变换分析
第四章 拉普拉斯变换分析1．拉普拉斯收敛域的意义是什么？拉普拉斯变换定义为：()()st X s x t e dt ∞--∞=⎰ 是广义积分，其中变量s j σω=+是复变量，因而积分是否存在将取决于变量s ， 那么使得广义积分存在的s 的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。
这说明，拉氏变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。
收敛域不同，说明信号不同。
对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为0σσ>。
2．极点和零点的意义是什么？它们有什么作用？如果 l i m ()s pX s →=∞， 则称s p =是()X s 的极点； 如果 l i m ()0s zX s →=， 则称s z =是()X s 的零点。
极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率）；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。
3．拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？拉普拉斯变换的初值定理为：若 () (f t F s ↔， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()(0)l i m ()s t f t f s F s ++→∞→== 其应用的条件为()F s 必须是有理真分式； 如果不是，则必须利用长除法，将()F s 表示为 ： 0()()()F s B s F s =+ 其中，B (s )是s 的多项式，0()F s 是有理真分式。
则有000lim ()(0)(0)lim ()s t f t f f sF s +++→∞→=== 拉普拉斯变换的终值定理为：若 () (f t F s ↔， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()()l i m ()t s f t f sFs →∞→=∞=由于我们只讨论单边拉氏变换，因而其应用的条件为()F s 的极点必须全部在s 平面的左半平面，否则，其终值不存在。
4．如何获得电容或电感元件的等效电路？根据电容和电感的伏安特性以及拉氏变换的微分积分性质，可以很方便地获得两种元件的s 域等效电路。
拉普拉斯变换域
拉普拉斯变换域1. 引言拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中广泛应用的数学工具。
通过将时间域中的函数转换为复平面上的频率域表示，可以更方便地分析和处理信号。
拉普拉斯变换在电路分析、控制理论、通信系统等领域都有重要的应用。
本文将介绍拉普拉斯变换的基本概念、性质以及在信号处理中的应用。
首先，我们将介绍拉普拉斯变换的定义和数学表达式。
然后，我们将讨论拉普拉斯变换的性质，包括线性性、时移性、尺度变换等。
最后，我们将介绍一些常见的信号处理问题，并展示如何利用拉普拉斯变换来解决这些问题。
2. 拉普拉斯变换定义对于一个定义在实数域上的函数f(t)，其拉普拉斯变换可以通过以下积分来定义：F(s)=∫e−st∞f(t)dt其中，s是复平面上的一个复数。
3. 拉普拉斯变换性质3.1 线性性对于任意常数a和b，以及两个函数f(t)和g(t)，有以下线性性质成立：L(af(t)+bg(t))=aF(s)+bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉普拉斯变换。
3.2 时移性如果对于一个函数f(t)，其拉普拉斯变换为F(s)，那么对于任意常数a，有以下时移性质成立：L(e at f(t))=F(s−a)3.3 尺度变换如果对于一个函数f(at)，其拉普拉斯变换为F(s)，那么对于任意常数b，有以下尺度变换性质成立：L(f(bt))=1bF(sb)3.4 初值定理和终值定理初值定理和终值定理是拉普拉斯变换的两个重要性质。
初值定理指出：如果一个函数f(t)在t=0处连续，并且所有阶数的导数在t=0处存在有限值，那么其初始值可以通过以下公式得到：limsF(s)=f(0+)s→∞其中，f(0^+)表示函数f(t)在t=0+时刻的右极限。
终值定理指出：如果一个函数f(t)在t=0处连续，并且在t=0时刻的右极限存在有限值，那么其终值可以通过以下公式得到：sF(s)=f(∞)lims→0其中，f()表示函数f(t)在t=。
信号与系统 第四章 拉普拉斯变换、连续系统的S域分析.
（n为正整数）
n st 0
n
t e dt
st
4、冲激函数 (t)
L (t ) 0 ( t )e d t 1
st
同理
L (t t0 ) e
st0
5、正弦函数
1 j t j t L sin t ( L e L e ) 2j
at
，相当于拉氏变
sin t 和 e at cos t 的拉氏变换。
L e sin t 2 2 (s a) sa a t L e cos t ( s a )2 2
a t
Lsin t 2 s 2
s Lcos t 2 2 s
解法一： bs 延时特性 L[ f (t b)u(t b)] F ( s )e
1 s 尺度变换 L[ f (at b)u(at b)] F e a a
解法二： 尺度变换 延时特性
b
s a
1 s L[ f (at )u(at )] F a a
st
t
j t
j 右 半 开 0 平 面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛 反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义 把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。 2、单边拉氏变换的收敛条件
九、卷积
1、时域卷积 若 L f1 (t ) F1 ( s) L f 2 (t ) F2 ( s) 则 L f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
402拉普拉斯变换的定义、收敛域46347
主要内容
第 2
页
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换
X
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
第 3
页
1．拉普拉斯正变换
信号 f (t), 乘以衰减因子e t (为任意实数)后容易满足
绝对可积条件, 依傅氏变换定义:
F1
5.et2 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标， 为非指数阶信号，无法进行拉氏变换。
6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
第 9
页
1.阶跃函数
L u(t)
1estLeabharlann t1 est 10
s 0 s
2.指数函数
L eα t eα testd t
eα st
1
0
αs αs
3.单位冲激信号
0
σ α
L
t
0
t
estd
t
1
全s域平面收敛
L t t0
0
t t0
estd t est0
X
第
4．tnu(t)
10 页
L tn tn estd t 0
1 s
t
est
0
0
e
std
t
tn s
est
0
n s
t n1 estd t
X
第
3．拉氏变换对
5
页
F s
L
f
t
f
t e s
td
t
f
t
L1
f
t
1
4.2拉普拉斯变换的定义收敛域
e2 etest dt e2 LT [et ] 1 e2
0
s 1
8
4.3 拉氏变换的基本性质
properties of Laplace transform
一、线性（叠加）
superposition property
若LT[ f1(t)] F1(s), LT[ f2 (t)] F2(s) 则: LT[k1 f1(t) k2 f2 (t)] k1F1(s) k2F2 (s)
F (s)ds
t
s
complex frequency domain ~
18
若 : LT[ f (t)] F (s),
则: LT[
t
f
( )d ]
1 s
F(s)
1 s
f
(1) (0 )
其中: f (1) (0 )
0 f ( )d
t
LT[u(t)] LT[ ( )d ]
1 LT[ (t)] 1 0 ( )d
f (t) 1
2
F1()ete jt d
1
2
F1
()e(
j
)t
d
1
j
F
(
s)est
ds
2j j
s j d 1 ds
j
1
单边拉普拉斯变换对
F (s) LT [ f (t)] f (t)estdt 0
象函数
transform function
f (t) LT 1[F (s)] 1
LT[t n2 ]
n! sn
LT[1]
n! s n1
LT[t n ]
n! s n1
LT[t]
1 s2
LT[u(t)] LT[1] 1 s
第二章-4(拉普拉斯变换)
指数增长信号
e
at
(a > 0)
e .e
at
−σt
(σ > a )
功率型周期信号
2
x1 (t ) = x(t )e
象函数 正LT
−σ t
s =σ + jω
X1 (ω) = ∫ x(t )e
−∞
∞
−(σ + jω )t
dt
双边拉普拉 斯变换
X (s) = ∫ x(t)e dt
−st −∞
∞
原函数 逆LT
3、拉氏变换的基本性质（1）
线性
∑k x (t)
i=1 i i
n
∑ k .L[ x(t )]
i =1 i
n
微分 积分
dx(t ) dt
sX ( s ) − x(0 )
X ( s ) x ' (0− ) + s s
−
∫
t −∞
f (τ ) d τ
时移 频移
x (t − t0 )u (t − t0 )
− 7e
−5t
)u (t )
16
6、单边拉普拉斯变换
实际信号一般都有初始时刻，不妨把初始时 刻设为坐标原点，通常大家关心的信号都是 x(t ) = 0, t < 0 的因果信号
X ( s ) = ∫ − x(t )e dt
− st 0
∞
称为信号x(t)的单边拉普拉斯变换
积分下限取0-是 为了处理在t=0 包含冲激函数及 其导数的x(t)时 较方便
dt
∫
x (t ) e
− st
dt
24
收敛域包含jω轴 。只要将Xb(s)中的s代以 jω ，即为信号的傅立叶变换
第三章拉普拉斯变换
f (0+ ) = f0 (0+ ) = limsF (s) 0
s→∞
下面证明上式的 正确性 设对于F(s)长除后有
F(s) = Kmsm + Km−1sm−1 +⋯+ K0 + F (s) 0
式中F0(s)是真分式.对上式取逆变换
f (t) = Kmδ (t) + Km−1δ
m
m−1
(t) +⋯+ K0δ (t) + f0 (t)
第三章 拉普拉斯变换
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F(s) = ∫ f (t)e−st dt −∞ σ + j∞ 1 F(s)est ds f (t) = 2 j ∫ − j∞ π σ
其中， = σ + jω 称为复频率，s平面为复平面。 s
−a < Re(s) < a
由上式可以看出，X(s)没有零点，在 s=a 和 s=-a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如果 a<0， 1）式和（2）式的收敛域不重叠，没有公共的 （ 收敛域，因此，x(t)的拉氏变换不存在。
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ⇒ a1F (s) + a2F2 (s) 1
• 尺寸变换 • 时间平移 • 频率平移
f (t)es0t ⇒ F(s − s0 )
1 f (at) ⇒ F(s / a) a
f (t − t0 )u(t − t0 ) ⇒ F(s)e−st0
• 时域微分
df (t)/ dt ⇒ sF(s) − f (0− )
拉普拉斯变换定义与收敛域.ppt
（如指数信号
eeata(ta(a00) )
）都满足狄里赫利条件（信号
f f(t()t)
双边带Laplace变换
X
第 12 页
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂， 并且信号与其 双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。
实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时 刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的 积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉 普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域 分析主要使用单边拉普拉斯变换。
第 1 页
第4章 连续时间系统的复频域分析
•1.拉普拉斯变换的定义 •2.拉普拉斯变换的性质 •3.系统复频域零极点分析 •4.系统复频域稳定性分析
X
第 2 页
第1节 拉普拉斯变换定义
•1.引言 •2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换 •3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域) •4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系
直线的右边区域，可表示为 Re[ s] 0
X
第 20
常用信号的单边拉普拉斯变换-1 页
X
第 21
常用信号的单边拉普拉斯变换-2 页
X
第 22
常用信号的单边拉普拉斯变换-3 页
X
第 23
单边拉普拉斯变换对-1 页
X
第 24
单边拉普拉斯变换对-2 页
X
第 25
单边拉普拉斯变换对-3 页
4 页
Fourier变换的局限性：
1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件 （信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在 满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；
9.2 拉氏变换的收敛域与零极点图
拉普拉斯变换 ２．拉氏变换的收敛域与零极点图 拉氏变换的ROC 及零极点图 2()()()t tx t e u t e u t −−=+例３． 20()t stt stX s e e dt e e dt∞∞−−−−=+∫∫1(),1te u t s −↔+ Re[]1s >−21(),2te u t s −↔+Re[]2s >−1−σωj 2−σωj 定义：使拉氏变换积分收敛的那些复数 ｓ 的集合，称为拉氏变换的收敛域（ROC ） 。
可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分。
ＲＯＣ总是以平行于 轴的直线作为边界的，边界的位置总是与 的分母的根相对应的。
j ω()X s Re[]1s >−σωj 2−1−21123(),1232s X s s s s s +∴=+=++++ 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。
将 的全部零点和极点表示在Ｓ平面上，就构成了零极点图。
零极点图及其收敛域可以表示一个 ，最多与真实的 相差一个常数因子 。
()X s ()X s ()X s M 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。
若 是有理函数 ()X s ()()()()()iiiis N s X s MD s s βα−==−∏∏零极点图 ·可以归纳出ROC 的以下性质： j ω３．右边信号的ROC 位于Ｓ平面内一条平行于 轴的直线的右边。
５．时限信号的ROC 是整个 Ｓ 平面。
２．在ROC 内无任何极点。
j ω１．ROC 是 Ｓ 平面上平行于 轴的带形区域。
４．左边信号的ROC 位于Ｓ平面内一条平行于 轴的直线的左边。
j ω６．双边信号的ROC 如果存在，一定是 Ｓ 平面内平行于 轴的带形区域。
j ω()()0()1[1]T at stTs a ts a TX s e e dte dte s a−−−+−+==−+∫∫例４． {()x t =ate−0其它 0t T <<t时限信号的ROC 是整个 Ｓ 平面。