统计学第5章 方差分析
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5.2.2 ：组间方差和组内方差
组间离差平方和
r
SSA m(xi x)2 i1
组内离差平方和
rm
SSE
(xij xi)2
i1பைடு நூலகம்j1
组间方差
MSA SSA r 1
组内方差
MSE SSE nr
受因素A和 随 机
因素的影响
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只受随机 因素的影响
5.2.2 ：方差分析的基本思想
样本2
样本3
样本4
x2
,
s
2 2
x3 , s32
x4
,
s
2 4
1234? ?
中央财经大学统计学院 5
各个总体的均值相等吗？
f(X)
X
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
中央财经大学统计学院 6
研究方法：两样本的t检验？
用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，要解决上述问题 需要进行6次t检验……
在整体检验中犯第一类错误的概率显著增 加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率 等于5%，则在整体检验中等于1-(10.05)6=0.2649
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方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA） 的主要目的是通过对方差的比较来检验多 个均值之间差异的显著性。
F=
组间方差 MSA SSA r 1
组内方差 MSE SSE
nr
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
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5.2.2 ：总变差（离差平方和）的分解
总变差
n
SST (xi x)2 i1
组间离差平方和
r
SSA m(xi x)2 i1
组内离差平方和
rm
SSE
(xi jxi )2
i1 j1
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
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5.2.2 ：组间方差和组内方差
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5.2.1 单因素方差分析模型
单因素方差分析: 模型中有一个自变量 （因素）和一个因变量。
在失业保险实验中假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 +随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
X ijiijiij
为了比较四个专业的起薪，我们 从某高校四个专业的毕业生中分 别随机选择6人调查他们的起薪。 如何根据样本数据比较不同专业 毕业生的平均起薪？
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要研究的问题
总体1，μ1 总体2，μ2 （专业=1） （专业=2）
总体3，μ3 （专业=3）
总体4，μ4 （专业=4）
样本1
x1, s12
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各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了 消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要 将其平均，这就是均方。
计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是
SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为r-1，其中r为因素水平的个数 SSE 的自由度为n-r
研究多个因素对因变量的影响的方差分析 称为多因素方差分析，其中最简单的情况 是双因素方差分析。
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5.1.1 ：固定效应与随机效应模型
固定效应模型：因素的所有水平都是由实 验者审慎安排而不是随机选择的。
随机效应模型：因素的水平是从多个可能 的水平中随机选择的。
固定效应和随机效应模型在假设的设置和 参数估计上有所差异，本章研究的都是固 定效应模型。
（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2
Levene检验 *
N
均值 标准差
1
6
3433 378
2
6
3450 596
3
6
2733 505
4
6
2400 420
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(3) 其它说明
方差分析对前两个假设条件是稳健的， 允许一定程度的偏离。
独立性的假设条件一般可以通过对数据 搜集过程的控制来保证。
如果确实严重偏离了前两个假设条件， 则需要先对数据进行数学变换，也可以 使用非参数的方法来比较各组的均值。
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5.2. 单因素方差分析
5.2.1 单因素方差分析模型 5.2.2方差分析的基本原理 5.2.3 单因素方差分析的步骤 5.2.4 方差分析中的多重比较
自变量：作为原因的、把观测结果分成几 个组以进行比较的变量例如奖金水平。
在方差分析中，自变量也被称为因素 (factor)。
因素的不同表现，即每个自变量的不同取 值称为因素的水平。
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5.1.1 基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与 一个或多个定性自变量的关系
只有一个自变量的方差分析称为单因素方 差分析。
可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时 与t检验等价。
20世纪20年代由英国统计学家费希尔（R. A. Fisher）最早提出的，开始应用于生物 和农业田间试验，以后在许多学科中得到 了广泛应用。
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5.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变 量，例如失业持续时间。
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5.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
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（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
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统计学第5章 方差分析
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
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5.1 方差分析中的基本概念 和假设
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为什么要进行方差分析？
5.2.2 ：组间方差和组内方差
组间离差平方和
r
SSA m(xi x)2 i1
组内离差平方和
rm
SSE
(xij xi)2
i1பைடு நூலகம்j1
组间方差
MSA SSA r 1
组内方差
MSE SSE nr
受因素A和 随 机
因素的影响
中央财经大学统计学院 20
只受随机 因素的影响
5.2.2 ：方差分析的基本思想
样本2
样本3
样本4
x2
,
s
2 2
x3 , s32
x4
,
s
2 4
1234? ?
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各个总体的均值相等吗？
f(X)
X
1 2 3 4
f(X)
X
3 1 2 4
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研究方法：两样本的t检验？
用t检验比较两个均值： 每次只能比较两个均值，要解决上述问题 需要进行6次t检验……
在整体检验中犯第一类错误的概率显著增 加： 如果在每次t检验中犯第一类错误的概率 等于5%，则在整体检验中等于1-(10.05)6=0.2649
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方差分析可以用来比较多个均值
方差分析（Analysis of variance，ANOVA） 的主要目的是通过对方差的比较来检验多 个均值之间差异的显著性。
F=
组间方差 MSA SSA r 1
组内方差 MSE SSE
nr
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间 方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组 内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1
当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之 间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。
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5.2.2 ：总变差（离差平方和）的分解
总变差
n
SST (xi x)2 i1
组间离差平方和
r
SSA m(xi x)2 i1
组内离差平方和
rm
SSE
(xi jxi )2
i1 j1
因素A导致的变差
随机因素导致的变差
SST＝SSA＋SSE
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5.2.2 ：组间方差和组内方差
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5.2.1 单因素方差分析模型
单因素方差分析: 模型中有一个自变量 （因素）和一个因变量。
在失业保险实验中假设张三在高奖金组，则 张三的失业时间 =高奖金组的平均失业时间 +随机因素带来的影响 =总平均失业时间 +高奖金组平均值与总平均值之差 + 随机因素带来的影响
X ijiijiij
为了比较四个专业的起薪，我们 从某高校四个专业的毕业生中分 别随机选择6人调查他们的起薪。 如何根据样本数据比较不同专业 毕业生的平均起薪？
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要研究的问题
总体1，μ1 总体2，μ2 （专业=1） （专业=2）
总体3，μ3 （专业=3）
总体4，μ4 （专业=4）
样本1
x1, s12
中央财经大学统计学院 21
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了 消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要 将其平均，这就是均方。
计算方法是用离差平方和除以相应的自由度 三个平方和的自由度分别是
SST 的自由度为n-1，n为全部观察值的个数 SSA的自由度为r-1，其中r为因素水平的个数 SSE 的自由度为n-r
研究多个因素对因变量的影响的方差分析 称为多因素方差分析，其中最简单的情况 是双因素方差分析。
中央财经大学统计学院 10
5.1.1 ：固定效应与随机效应模型
固定效应模型：因素的所有水平都是由实 验者审慎安排而不是随机选择的。
随机效应模型：因素的水平是从多个可能 的水平中随机选择的。
固定效应和随机效应模型在假设的设置和 参数估计上有所差异，本章研究的都是固 定效应模型。
（2）等方差性的检验
经验方法：计算各组数据的标准差，如果最大值 与最小值的比例小于2:1，则可认为是同方差的。 最大值和最小值的比例等于1.83<2
Levene检验 *
N
均值 标准差
1
6
3433 378
2
6
3450 596
3
6
2733 505
4
6
2400 420
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(3) 其它说明
方差分析对前两个假设条件是稳健的， 允许一定程度的偏离。
独立性的假设条件一般可以通过对数据 搜集过程的控制来保证。
如果确实严重偏离了前两个假设条件， 则需要先对数据进行数学变换，也可以 使用非参数的方法来比较各组的均值。
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5.2. 单因素方差分析
5.2.1 单因素方差分析模型 5.2.2方差分析的基本原理 5.2.3 单因素方差分析的步骤 5.2.4 方差分析中的多重比较
自变量：作为原因的、把观测结果分成几 个组以进行比较的变量例如奖金水平。
在方差分析中，自变量也被称为因素 (factor)。
因素的不同表现，即每个自变量的不同取 值称为因素的水平。
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5.1.1 基本概念
方差分析主要用来研究一个定量因变量与 一个或多个定性自变量的关系
只有一个自变量的方差分析称为单因素方 差分析。
可以看作t检验的扩展，只比较两个均值时 与t检验等价。
20世纪20年代由英国统计学家费希尔（R. A. Fisher）最早提出的，开始应用于生物 和农业田间试验，以后在许多学科中得到 了广泛应用。
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5.1.1 方差分析中的几个基本概念
因变量：我们实际测量的、作为结果的变 量，例如失业持续时间。
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5.1.2：方差分析中的基本假设
（1）在各个总体中因变量都服从正态分布； （2）在各个总体中因变量的方差都相等； （3）各个观测值之间是相互独立的。
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（1）正态性的检验
各组数据的直方图 峰度系数、偏度系数 Q-Q图， K-S检验*
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统计学第5章 方差分析
学习目标
掌握方差分析中的基本概念； 掌握方差分析的基本思想和原理； 掌握单因素方差分析的方法及应用； 初步了解多重比较方法的应用； 了解双因素方差分析的方法及应用。
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5.1 方差分析中的基本概念 和假设
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为什么要进行方差分析？