专题研究因式分解总结归纳及典型例题

分解因式专题突破

第一部分：专题介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本专题在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

第二部分：知识总结

1．定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式分解因式．

2、注意事项

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

（1）因式分解的对象是多项式：如把25a bc 分解成5a abc 就不是分解因式，因为25a bc 不是多项式；再如：把

211x -分解为11(1)(1)x x

+-也不是分解因式，因为211x -是分式，不是整式； （2）分解因式的结果必须是积的形式：如21(1)1x x x x +-=+-就不是分解因式，因为结果(1)1x x +-不是积的形式；

（3）分解因式结果中每个因式都必须是整式，如：221(1)x x x x -=-就不是分解因式，因为21(1)x x

-是分式，不是整式；

（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

（5）公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

（6） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

（7）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

3、搞清分解因式与整式乘法的关系

分解因式与整式乘法是两种相反方向的变形过程，即它们互为逆过程，互为逆关系，例如：

()m a b c ++ ma mb mc ++ 因此，我们可以利用整式乘法来检验分解因式的结果是否正确．

4、注意分解因式的一般步骤

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；

（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；

❖ 分解因式必须分解到每个多项式不能再分解为止．

为了便于记忆请同学们记住以下“顺口溜”：“分解因式并不难，首先提取公因式，然后考虑用公式，两种方法反复试，结果必是连乘积”，请同学们还要注意“反复试”的目的，就一直分解到每个因式都不能再分解为止，然后检查分解因式的结果是否正确，也可以简记为“一提二公三查”．

第三部分：方法介绍

1．提公因式法

如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而把多项式化成两个整式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提公因式法．

这种方法实质上是逆用乘法分配律．

要正确应用提公因式法，必须注意以下几点：

（1）准确找出多项式中各项的公因式，方法如下：

首先公因式的系数是多项式中各项系数的最大公约数；

其次字母取各项中都含有的；相同字母的指数取次数最低的，如：多项式 222291812x y x y x y z -+，各项系数的最大公约数是3，各项中都含有的字母是,,x y z ，x 的指数取最低的２，y 的指数取最低的１因此公因式是23x y ．

（2）如果多项式首项是“－”号，一般应先提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的；在提出“－”号时，多项式的各项都要变号，如：2222279(279)x y xy x y xy -+=--=9(3)xy x y --．

（3）当某项全部提出后，剩下的是1，而不是0，如：2(1)m mn m m m n +-=+-，而不能发生2()m mn m m m n +-=+的错误．

分解因式

整式乘法

专项训练一、把下列各式分解因式。

1、nx ny -

2、2a ab +

3、3246x x -

4、282m n mn +

5、23222515x y x y -

6、22129xyz x y -

7、2336a y ay y -+

8、259a b ab b -+

9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+

专项训练二：把下列各式分解因式。

1、()()x a b y a b +-+

2、5()2()x x y y x y -+-

3、6()4()q p q p p q +-+

4、()()()()m n P q m n p q ++-+-

5、2()()a a b a b -+-

6、2()()x x y y x y ---

7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+

9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+-

11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+---

13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-

15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+-

19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--

2．运用公式法

把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解，这种分解因式的方法叫运用公式法．

（1）平方差公式

22()()a b a b a b -=+-，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积运用平方差公式，应注意：

①熟记公式特征：公式的右边是这两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，公式的左边是这两项的平方差，且是左边相同的一项的平方减去互为相反数的一项的平方．