新版热学(秦允豪编)习题解答第四章热力学第一定律-新版.pdf

C2
u
C o n st
∴
1
1
h
CPT H 0
（2）
1R T H0
1
RT H0
1
2
C
h
C o n st
∴
1
4.5.5
T2
（ 1）右则初态 P0V 0T 0 、终态 P2V 2 T 2 ，由绝热过程方程 T0
A
u右
C V T2 T0
P2 C V T0
P0
1
1
27 T0CV
8
1
1
1
27 3
CV T0
1
8
板导热， T A
TB
T
Q C P TB C V TA
C P CV T
Q T
C P CV
Q
Q
334 . 4
6 .71 K
wk.baidu.com
7
5
6 R 6 8.31
R
R
2
2
Q A CV T
5 RT
2
5 8.31 6.71 139 . 4 J
2
Q B Q Q A 334 .4 139 . 4 195 J （ 2）隔板活动， A 气体等压膨胀；隔板绝热， B 中气体温度不变。
u TV
1
P
v v 0 aT
b
u CT
a v v 0 aT T
b
u CV
TV
（或）
a C
b
a C
b
aT aT
v v 0 aT
a
C
v
b
a2
bP C
T aP
b
a v0
b
2a 2 T
b
aPT ，
4.4.8 因缓慢加热，可认为气体吸热膨胀是一个等压过程，质量为
dQ mC P dT
,, （ 1）
PV 由
Q ∴
Py L y S
P0 LS
其中 P0
gh 0
Py P0 可改写为
L Ly
1 P0
对微小振动 y L
Py P0
y 1
L
y
1 P0
1
1 P0
L
y P0
L
h0 gy
L
由功能关系：
m gy
1 mv 2 2
m max gy max
AP
式中 A P 是由于右端空气压强 P y 与左端空气压强 P0 对水银柱作功之和，且
y
AP
Py
0
P0 Sdy
或 dA P
P y P0 Sdy
将上述功能关系改写为：
ySgy
1 hS y 2 2
y max Sgy max
AP
2 Sgyy 对 t 求导，将 dA P 代入：
Shy y dA P dt
Py P0 Sy
把 P y P0 结果代入： 2 gy
h y Py P0
h0 gy L
1
y
F P0 A mg P1 A PA P dP A
AdP
负号表合力方向与 y 反向，指向平衡位置 y 0 。
气缸内气体变化过程可视为绝热过程，满足
PV
C。
1
微分得： PV dV V dP 0
PdV V dP 0
因 dV
dP Ay ，上式化为：
F AdP 因此得：
PA 2 y
V
P dV
V
AP y
V
,, （ 2）
2444 .4 kJ
（系统放热）
4.4.4 铜升温过程，是等压过程
T2
T2
H QP
C P dT
a bT dT aT
T1
T1
a T2 T1
4
2. 3 10
b2
2
T2
T1
2
1200 300
1
2. 47107 J mol
1 5. 92
2
2
1200
T2
1
2
bT
2 T1
2
300
4.4.5
QP
h NH 3
1 hN2
a, b, C , v 0 均为常数。
求：（ 1） mol h
（ 2） molC P , C V
解：（ 1）由摩尔焓定义 h u Pv CT aPT
2
h CT Pv 0 bP
P v0 aT bP
CP ' （2） a）
H TP
CP '
h TP
h CP
TP
CP
CT Pv 0 bP 2 P C
∴
T
CV b）
V2 V1
ln
4 .1 2. 3
（
2
）
M
M5
u
CV T
R T2 T1
2
5 P2 V 2
2
P1V 1
5
3
5
3
55
2
2
4 .1 10 0 .5 10 2. 3 10 1 .0 10
2.05 10 2 .3 10
2
2
62 .5 J （内能降低）
M
Q
Cn T
vb
RT ln V 2 b
1
V1 b
V2
a dv
v2
1 a
V1
a
u cT
d
（ 2）
v2
当V
∴CV C
T2
Q
CdT
T1
CV C 时，
CT
dQ dT V
du dt V
4.4.3 水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收 下此值即为比焓变化，即：
（或释放） 的热量， 在等压
lV
H m
h
2545 .0 100 .59
（2）式满足 F ky ，（准弹性力）活塞作简谐振动。 （2）活塞活动的微分方程为：
2
dy
k
m
F ky
2
dt
m
2 T
m
2
2
k
mV
2
PA
,, （ 3）
（ 3）将（3）式改写为：
2
4 mV
2
2
A PT
22
4
mV 0
2
P0 A
4.5.8 （ 1）如图，水银总长度为 h ， y 0 处两边 水银等高，为平衡位置。总质量为 m ，截面为 A。
但当
7
R
CP
2
1.4
CV
5 R
2
，对应双原子，常温情况，显然与题意不合。
（2）若为双原子，取高温
9
R
2
9 1.286
5
7
R
2
r1 则：
2
r2 10 3
1
9 1
7
3232 m
（3）由此，按绝热膨胀模型对“火球”半径的估算无实在意义。
4.5.7 该题描述测 方法是 1929 年 Riichhardt 设计的， 简易描述为如图。 令平衡位置 y 0 ， y 向下为正。
（ 1）
4.5.6 过程很迅速，可认为是绝热的。
T2 由 TV 1 C ， T1
1
V1
43
V2
V
r
，
3
1
T 31 1
r2 r1 T2
1
3
5
10
3 1. 4 1
r1
2
15
3 10
46 . 4
696 m
DIS ：该题估算的结果与 r 的取值相关性太大。
（1）上面的运算取
1 .4 , r 2 696 m 。
2
3 hH 2
2
29154
1 8669
2
3 8468
2
1
46190 .5 J mol
4.4.6 Q
1
在定压情况下，
1molH
molO 2和 2
2
化合生成
1mol
水时吸收的热量为
5
1
H
2 .858 10 J mol （系统放热 Q ' Q ）
每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极，生成
1mol 水有 2 N A 电子到阳极。总电量为
（ 1） y 0 处，活塞受合力为零。
P0 A mg PA 0 PA P0 A mg
,, （ 1）
活塞偏离 y 0 处，受合力不为零，当活塞运动至 y 0 之下时，
气体被压缩（可认为绝热的） ，气体压力变为 P1 A ，且 P1 P
V
yA V ，故 V dV ， P 可记为 dP
有： P1 P dP ，活塞受合力
2
16
32
（负号表对外作功）
M
5
u
CV T
R P2V 2 P1V 1
2
5 P0 4V 0 2 64
P0V 0
5 P0 V 0
P0 V 0
5
2 16
32
15 P0V 0
5 15 RT 0
32
5 15 8 .31 273 .15
32
5320 J （内能减少）
M
M
Q
CnT
2 R T2 T1
2 P2V 2 P1 V1
CV T0 2
CV （
R 2R
1
1
27 3 2
T2 T0
T0
（2）由（ 1）式：
8
3
1.5 ）
（3）左侧初态亦为 P0 T 0 V 0 ，终态为 P1V1T1
27
P1 P2
P0
∵ 活塞可移动，
8 ，由 PV
RT
RT 2
P0 V 0 T 2
V2
P2
T0
P2
14
V 1 2V 0 V 2
V0
9
P0V 0
3 T0
19
23
q 2 1 .60 10
6 .02 10 C
（ q 2N Ae ）
两极间电压为 ， A q
19
A 1 .229 2 1 .60 10
6 .02
Q'
5
2. 858 10
23
10
82 . 84 %
4.4.7 设 1mol 固 体状 态 方程 为： v v 0 aT bP ， 内 能 表示 为： u CT
n1
CV T
M
CV T
RT
M
CV
RT
2 P2 V 2
P1V 1
C （3）
Q CV
T
CV NOT ：
M CV
2
2
M
PV
PV
R CV
CV
CV
a0
T
TV
TV
C V 为热容量， C V 为摩尔热容量。
RT C 4.5.4 注意到
PV
P
M
,, （ 4.67）
u （1）
1 CV T u0
1 RT u0
1
RT
u0 1
量为 m m a x 上升
ym ax ， 具 有
m m ga y mx a 的x 势能。 右 为 振 动任意 状 态，全部水银以 v
1
2
mv
运动，具有 2
2g
y
y0
h
2 T1
h 2
2g
（2）水银柱振荡时，右端被封闭气柱经历绝热过程，设水银柱平衡时，右端气柱长
端水银上升任意位置 y 时，右端气柱长度为 L y ，由绝热过程：
dZ
RT0 P
→
1
P
g
1h
P dP
P0
dz
P0
RT 0
0
→
1 dP
g
P
P0 1 dz
P
RT 0
→
P
1 1
1
1 1
P
P0
g
1
P0 h
RT 0
→
1
P 1
1
P0
g
1
P0 h
RT 0
→
P 1 P0
1
1
g h
RT 0
,, （ 2）
CP （3）注意到
R 1 ，即：
CP 1R
1
P （3）代入（ 2） P0
gh 1
m RT m
PV
，
RT
,, （ 2）
PV
T2 dT
CP
R
T1 T
PV
T2
C P ln
R
T1
3
5
29 10
1 .01 10 1 0.99 10 3 ln 293
8 .31
273
24 .7 10 3 J
m 的气体吸热
4.5.1 （ 1）导热板固定， A 中气体为等容加热； B 中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁
2 P0V 0 16
P0V 0
DIS ： u Q A
15 RT 0
8 4256 1064
15 8.31 273 .15
8
4256 J （系统放热）
5320 J 故不必每一个量都求解。
P1
4.5.10 （ 1）
n
PV
C
P2
n
V2
V1
ln P1 P2
n
ln 0 .10 0 .05
1 .19 1 . 2
ln
W 4.2.2 应用（ 4.3 ）式
V2
P dV
V1
且 PV
PiV i
k
P PiV i V
W 故有：
Vf
PiV i V
Vi
1
1
Pi V i V f
1
dV
1
Vi
vf
Pi V i
1
1
V
1
vi
1 Pf V f
1
Pi V i
（应用了 PiV i
Pf V f ）
RT
a
P
4.4.2 （ 1）
v
b
2
v
W
Pdv
RT dv
QB 0
Q T
CP
TB 2Q 7R
0 QA Q CP T
2 334 . 4 11 .50 K
7 8. 31
dp 4.5.2 利用
g dz
P
RT ，证明：
P0 1
gh C P T0
1
1
证明：（ 1）由绝热过程方程 T P
C
P
1
T T0
P0
（ 2）将（ 1）代入 dP 表达中
,, （ 1）
g P0
1
dP P
2g
h0 g y 0
或
h
L
上式为右端封闭后，绝热条件下，水银柱作微小振动的运动方程，故水银柱作谐振动，
2
1 2g
h0 g
h
L
2
T2
2
2
T1
T2
（3）由 T1 和 T2 得：
2
2 L T1
h0
T2
h 2g
h 2g
h0 g
L
1
h
2g
h0 g
L
h0 1
2L
CV 4.5.9 （ 1）氮为双原子气体
5 R
2 ，经历了多方过程 C n
m
水银密度
Ah
左管水银柱下 y ，则高差为 2 y ， V 2 yA
压强差为 P g 2 y
指向 y 0 处的回复力
F
PA
gA 2 y
m
2 mg
gA 2 y
y ky
Ah
h
F 是准弹性力，水银柱将作谐振动
2
dy
水银柱运动的微分方程为
m2 dt
F
ky
k
2
m
h
1
T1
m，
2
2
k
2g
动能， m 为全部水银质量， m 部分上升 y ，具有 mgy 的势能。
C PT0
,, （ 3）
gh
1
P P0 1
C P T0
1
h C PT0 1
P
g
P0
DIS ：将（ 2）式整理，代（ 3）进可得
V 4.5.3 理想气体按
a0
2
C CV
a0
P 膨胀，证明
TV 。
V 证明：（ 1）将
a0 P 整理得：
2
PV
2
a 0 多方指数 n
Q （2）
1
u A CV T
P2V 2 P1V 1
R
5
R
R
Cn CV
2R
R
2R
即：
n1
2
n1
2
n
故该过程满足的方程为 PV
C
3
PV C
2R R
n1
n3
L，左
3
3
（2）由过程方程： P0V 0 P 4V 0
64 PV 0
P
P0
64
dV 1
3
1
1
A
PdV
C
3
P0V 0
2
2
V
2
16 V 0 V 0
1
15
15
P0V 0
8.31 273 .15 1064 J
2
T0
27 P0
8
4 V0
9
T1 ∴
P1V1 T 0 P0V 0
27 14
P0
V0
8
9
T0
P0V 0
21 T0
4
1
A
CV T0
（4）由第（ 1）所求，左侧对右侧作功
2
1
Q
u右 A
C V T1 T0
C V T0
2
21
CV
T1 T0
4
1 C V T0
2
19 CV T0
4
19 RT 0
2
1
P2
P0
,,
RT 0
1
2
mgy
mv
由机械能守恒：
2
m max gy max
m gS m hS
dy
m m ax
y m a xS
v
dt
y
以上五式得：
ySgy
1 hSy 2 2
y max Sgy max Const
21
2
gy
hy Const
2
2 gy y hy y 0
DIS ：考虑水银柱与 地球系统的机械能 守恒，得运动方程 亦可求解。 中图为振动初态， 全部水银静止，质
普通物理学教程《热学》 （秦允豪编）
习题解答
第四章 热力学第一定律
W 4.2.1 解：
V2
PdV
V1
TC
（1） P v b RT
RT P
vb
v f RT
vf b
W
dv ln
v vi b
vi b
Pv （2）
B RT 1
v
B P RT 1
v
vf
B
vf
11
W
RT 1
dv RT ln
BRT
vi
v
vi
vf
vi