人教版高一数学课件 单调性与最值
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单调性与最大(小)值(第2课时)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才
是函数的最大值，否则不是．
函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
x1 x2 x1 x2
由2 x1 x2 6，得x2 x1 0，x1 x2 0，于是
f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 )
∴ 函数f(x) =
是区间[2,6]上的单调递减.
x
求函数的最大(小)值的方法总结：
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值；
1．求函数
f(x)＝x＋ x在[
1
2
1)
1
2
1
2
x 1x 2
1x 2 1,4] 上的最值．
x
x
x
1x 2
1
2
.
x
4x 2－x 1
x 1x 2－4
x
x
4
4
4x
－x
x
x
1
2
2
1
1 2－4
＝(x
＝
1－x 2)
4
4
－f(x
)＝x
＋
－x
－
＝x
－x
＋
＝＋
12－4
1
2x 1－x 2＝(x
2)
2x 1x
x
－4
∵1≤x
1 1－x
2 2)1 2
1<x 2<2，∴x 1－x 2<0，
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
思考2：若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？
提示：不一定，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才
是函数的最大值，否则不是．
函数的最值与值域有怎样的关系？
(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在．
x1 x2 x1 x2
由2 x1 x2 6，得x2 x1 0，x1 x2 0，于是
f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 )
∴ 函数f(x) =
是区间[2,6]上的单调递减.
x
求函数的最大(小)值的方法总结：
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值；
1．求函数
f(x)＝x＋ x在[
1
2
1)
1
2
1
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x 1x 2
1x 2 1,4] 上的最值．
x
x
x
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4x 2－x 1
x 1x 2－4
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－f(x
)＝x
＋
－x
－
＝x
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＋
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2x 1－x 2＝(x
2)
2x 1x
x
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∵1≤x
1 1－x
2 2)1 2
1<x 2<2，∴x 1－x 2<0，
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
函数的单调性与最大(小)值(第一课时)课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
符号语言、文字语言三方面类比得到增函数的定义，最终归纳
总结，并阐述单调区间的定义，加深同学们对函数单调性的理
解。
教学过程
教材分析
学情分析
教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
三、知识应用
通过练习和例题讲解：
1、让学生学会通过图像来判断函数的单调区间及
在各区间的单调性，加深对概念的理解。
2、使学生掌握利用定义证明函数的单调性方法，
那么就称函
f ( x数
)在 区 间
I上 单 调 递 增 （ 如
1）图
.）（
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数.
如果x1 , x2 I，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递减（如图（2））
.
特别地，函数f（x） 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
1.函数单调性的定义：
2.判断函数的单调性：（1）图象法；
（2）定义法.
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；
（4）定号；（79页
练习题 第2题
第3题
2.预习下节课内容——最大(小)
值。
一
板书设计
3.3函数的单调性
一、单调性定义
二、单调区间
取值
作差变形
定号
结论
定号
结论
方法总结
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x1<x2；
2.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
总结，并阐述单调区间的定义，加深同学们对函数单调性的理
解。
教学过程
教材分析
学情分析
教学目标
教法学法
教学过程
板书设计
三、知识应用
通过练习和例题讲解：
1、让学生学会通过图像来判断函数的单调区间及
在各区间的单调性，加深对概念的理解。
2、使学生掌握利用定义证明函数的单调性方法，
那么就称函
f ( x数
)在 区 间
I上 单 调 递 增 （ 如
1）图
.）（
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，
我们就称它是增函数.
如果x1 , x2 I，当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ),
那么就称函数f ( x)在区间I上单调递减（如图（2））
.
特别地，函数f（x） 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
1.函数单调性的定义：
2.判断函数的单调性：（1）图象法；
（2）定义法.
3.用定义证明单调性的步骤：
(1)取值；（2）作差；（3）变形；
（4）定号；（79页
练习题 第2题
第3题
2.预习下节课内容——最大(小)
值。
一
板书设计
3.3函数的单调性
一、单调性定义
二、单调区间
取值
作差变形
定号
结论
定号
结论
方法总结
函数的单调性
用定义证明函数的单调性的步骤:
1.取值:任取x1，x2∈I，且x1<x2；
2.作差变形:f(x1)－f(x2)；通常是因式分解和配方；
3.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负；
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)-高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)
条件
f(x) ≤ M
f(x) ≥
M
∃x 0∈D,使得 f(x0)=M
称 M 是 函 数 y=f(x) 称 M 是函数 y=f(x)的
结论
的最大值
最小值
4
课堂导入
课前思考
学习目标
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面高度h
函数的最小值、最大值分别是
( C )A.-2,f(2)
B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
2.函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则它的最大值为 3 ,最小值为 -2.
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所
所以，函数() =
， ∈ [, ])在区间[2,6]的两个 是减函数，复习一下
判定函数单调性的
基本步骤。
−
端点上分别取最大值和最小值.
解：∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则( ) − ( ) =
[( −)−( −)]
( − )
=
=
−
最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间【, 】上是减函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
最小值为();
()若函数在区间【, 】上是增函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
区间端点取到的函数值是
f(x) ≤ M
f(x) ≥
M
∃x 0∈D,使得 f(x0)=M
称 M 是 函 数 y=f(x) 称 M 是函数 y=f(x)的
结论
的最大值
最小值
4
课堂导入
课前思考
学习目标
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面高度h
函数的最小值、最大值分别是
( C )A.-2,f(2)
B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
2.函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则它的最大值为 3 ,最小值为 -2.
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所
所以，函数() =
， ∈ [, ])在区间[2,6]的两个 是减函数，复习一下
判定函数单调性的
基本步骤。
−
端点上分别取最大值和最小值.
解：∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则( ) − ( ) =
[( −)−( −)]
( − )
=
=
−
最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间【, 】上是减函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
最小值为();
()若函数在区间【, 】上是增函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
区间端点取到的函数值是
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
图像在定义域内呈上升趋势； 图像经过原点。
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
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y
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O
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观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
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O
自变量递增，函数递减
x
y
O
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O
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自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
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人教版高中数学函数的单调性与最值(1)(共16张ppt)教育课件
数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
口答（1）：函数f(x)=x2 在 ,是单调增函数？为什么？
y
y
(不是)
f(2)
y x2
f(1)
o
x
O
1
2
x
（2）x 1, x 2 取值的任意性;
口答2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
（1）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
口答（1）：函数f(x)=x2 在 ,是单调增函数？为什么？
y
y
(不是)
f(2)
y x2
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（2）x 1, x 2 取值的任意性;
口答2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
人教A版高中数必修一课件函数的单调性与最值PPT课件
1.3 函数的基本性质 ——最大(小)值
2019 . 9
一.教学目标
1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函 数最大值、最小值的定义。 2.会利用函数的单调性求函数得最值。 3.体会单调性和最值的关系，感受量变和质变的辨 证过程。
二 .教学重点和难点
重点：函数最大（小）值的定义和求法。 难点：如何求一个具体函数的最值。
【知识提炼】 1.增函数与减函数的相关概念
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
2.函数的单调性及单调区间
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
口答：
2.函数f (x)＝－x2.的最大值
y
o y x2
x
由图像可知:
对于定义域内任意x∈R，都有
f (x)≤f(0)=0
即x＝0时，f (0)=0是函数值中的最大值.
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
1.M首先是一个函数值，它是函数值域内的一个元素；
2.对于定义域I内的全部元素都有f (x) ≤M或f(x) ≥ M成立；
3.函数的最大值、最小值统称为函数的最值。求一个函数的最值时， 如果它的最大值和最小值都存在，那么都要求出；（特别地，当求 出最值时一定要写出对应的自变量的值）
2019 . 9
一.教学目标
1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，理解函 数最大值、最小值的定义。 2.会利用函数的单调性求函数得最值。 3.体会单调性和最值的关系，感受量变和质变的辨 证过程。
二 .教学重点和难点
重点：函数最大（小）值的定义和求法。 难点：如何求一个具体函数的最值。
【知识提炼】 1.增函数与减函数的相关概念
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
2.函数的单调性及单调区间
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
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口答：
2.函数f (x)＝－x2.的最大值
y
o y x2
x
由图像可知:
对于定义域内任意x∈R，都有
f (x)≤f(0)=0
即x＝0时，f (0)=0是函数值中的最大值.
［名师课 堂教学 ］人教A 版高中 数必修 一课件 函数的 单调性 与最值 PPT课 件（完 整版PPT )
1.M首先是一个函数值，它是函数值域内的一个元素；
2.对于定义域I内的全部元素都有f (x) ≤M或f(x) ≥ M成立；
3.函数的最大值、最小值统称为函数的最值。求一个函数的最值时， 如果它的最大值和最小值都存在，那么都要求出；（特别地，当求 出最值时一定要写出对应的自变量的值）
人教版高中数学必修一教学课件《函数的单调性与最值》
二.有关函数最值的几点说明：
1.M首先是一个函数值，它是函数值域内的一个元素；
2.对于定义域I内的全部元素都有f (x) ≤M或f(x) ≥ M成立；
3.函数的最大值、最小值统称为函数的最值。求一个函数的最值时， 如果它的最大值和最小值都存在，那么都要求出；（特别地，当求 出最值时一定要写出对应的自变量的值）
所以对于R内任意x∈R,都有f (x) ≥f (0)=0.
因此x＝0时， 0是函数的f (x)＝x2最小值.
o⑵ x
口答：
2. 函数f (x)＝－x2的最大值 y
由图像可知:
o y x2
x
对于定义域内任意x∈R，都有
f (x)≤f(0)=0
即x＝0时，f (0)=0是函数值中的最大值.
讲授新课
O
1 2 3 4 5 6x
f
(x1 )
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
y
2[(x2 1)(x1 1)] (x1 1)(x2 1)
2
2(x2 x1 ) .
1
1 2 3 4 5 6 x (x1 1)(x2 1)
O
由2 x1 x2 6，得x2 x1 0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(x1 1)(x2 1) 0, 于是f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 ).
-4
若x∈[t, t ＋2] ,求函数f(x)的最值.
课堂小结
1. 最值的概念 2. 应用图象和单调性求最值的方法.
课后作业
1. 阅读教材
2.做课后习题
复习引入
观察下列图像，它们的单调性如何？你能从图像上找出它
们的最高点和最低点吗？
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
高一数学必修一 函数的单调性与最值 PPT课件 图文
和最小值。
x 1
课堂练习
课本第38页 练习1、5题
课堂小结
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利 用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函 数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 判断
课后作业 课本第45页 习题1.3(A组) 第3﹑4 ﹑ 5 题
（2）存在 x 0 I,使f( 得 x 0)M .
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值 （maximum value）
思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值的定义吗？
例3.“菊花”烟花是最壮观得烟花之一，制t果)烟4花.9距t2 地1面.4 7的t高18
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负）；
⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性）．
请你归纳利用定义判断函数的单调性 的步骤。
3．判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且 x1 x 2 ； ②作差 f(x1)f(x2) ；
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，
3.2.1 单调性与最大(小)值(第1课时 函数的单调性) -高一人教A版2019必修一)
函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．
思考
（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2 ∈A，当x1<x2时
都有f (x1)<f (x2)，我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗？
你能举例说明吗？
【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，
2
2 2( x1 x2 )
则f ( x1 ) f ( x2 )
,
x1 x2
x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 0,
f ( x1 ) f ( x2 ),
2
所以函数f ( x ) 在区间( , 0)上单调递增.
4.会用函数的单调性解答有关问题.
情景导入
前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是
描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化
规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握
客观世界中相应事物的变化规律．
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是
这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．
任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1<x2时，有f (x1)<f (x2)．
这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．
思考
函数f (x) =|x|，f (x) = -x2各有怎样的单调性？
【典例】 若函数y=|x-2a|在区间(-∞,6]上单调递减,求实数a的取值范围.
思考
（1）设A是区间D上某些自变量的值组成的集合，而且∀x1，x2 ∈A，当x1<x2时
都有f (x1)<f (x2)，我们能说函数f (x)在区间D上单调递增吗？
你能举例说明吗？
【解析】不能，如图，取A={1，2，3，4}，D=[1，4]，
2
2 2( x1 x2 )
则f ( x1 ) f ( x2 )
,
x1 x2
x1 x2
x1 x2 0, x1 x2 0, x1 x2 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 0,
f ( x1 ) f ( x2 ),
2
所以函数f ( x ) 在区间( , 0)上单调递增.
4.会用函数的单调性解答有关问题.
情景导入
前面我们学习了函数的定义和表示法，知道函数y=f(x)，x∈A是
描述了客观世界中变量之间的一种对应关系，也就是事物运动变化
规律的数学模．这样，我们就可以通过研究函数的变化规律来把握
客观世界中相应事物的变化规律．
因此，研究函数的性质，如随着自变量的增大函数值增大还是
这时我们就说函数f (x)=x2在区间(-∞，0]上是单调递减的．
任意取x1，x2∈[0，+∞)，得到f (x1)=x12，f (x2)=x22，当x1<x2时，有f (x1)<f (x2)．
这时我们就说函数f (x)=x2在区间[0，+∞)上是单调递增的．
思考
函数f (x) =|x|，f (x) = -x2各有怎样的单调性？
【典例】 若函数y=|x-2a|在区间(-∞,6]上单调递减,求实数a的取值范围.
3.2.1+单调性与最大(小)值(共2课时)高一数学优秀课件(人教A版2019必修第一册)
【答案】(−∞, 1)和
3
2
,2
【解析】当 ≥ 2或 ≤ 1时， ( ) = 2 − 3 + 2，
3
对称轴为 = 2 ，
当1 < < 2时， ( ) = − 2 + 3 − 2，对称轴为
3
= 2，
作出 ( )的图象如图所示，
3
由图可知 ( )单调递减区间为(−∞, 1) 和 ( 2 , 2)，
(2)用定义法证明： 在 2,6 上单调递增；
【解析】（1）函数 =
2−3
有意义，则
−1
− 1 ≠ 0，
即 ≠ 1，
所以函数 =
2 −3
的定义域为
−1
−∞, 1 ⋃ 1, +∞ .
（2）任取2 ≤ 1 < 2 ≤ 6，
2 − 1 =
2 2 −3
区间D为f(x)的单调递减区间.
图
示
注意：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性.
新知：单调性的定义
问题2：(1)设是区间上某些自变量的值组成的集合，而且∀1 ，2 ∈ ，当1 < 2 时，
则 1 − 2 =
= 1 − 2 +
= 1 − 2
1
1−
∵ 0 < 1 < 2 <
，
1
−
+ 1 −
2
1 2
2
∵
− 2
= 1 − 2 +
= 1 − 2
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(4)若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则①在定 义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调 递增．②－f(x)单调递减，③f(1x)单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性 时，也可以作商ff((xx12))与 1 比较．
1．已知 f(x)＝(3a－1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是增函
数，则 a 的取值范围是
()
A．(－∞，13)
B．(13，＋∞)
▪ [分析] 利用函数单调性的定义判断
▪ [解析] (1)对任意x1，x2∈A，设x1＜x2， ▪ ∵f(x)为增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0 ▪ ∴－2f(x2)－[－2f(x1)]＝2f(x1)－2f(x2) ▪ ＝2[f(x1)－f(x2)]＜0 ▪ ∴－2f(x2)＜－2f(x1)，∴y＝－2f(x)是减函
▪ 2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x) 在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B 上单调递减．
3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
总结评述：在判定 x12＋x1x2＋x22＞0 时采用了配方的 技巧，这是处理二次函数值域问题的常用方法．
用定义证明函数的单调性时，若 f(x)是“多项式”形 式，一般作差后合并“同类项”；如果 f(x)是分式形式，作 差后通分；如果 f(x)是根式，一般作差后先分子有理化．
(1)证明 f(x)＝－x2＋4x 在(－∞，2]上为增函数． (2)证明 f(x)＝ 2x＋1在－12，＋∞上为增函数． (3)证明函数 y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都
有
．那么就说f(x)在这个区间D
上为减函数．
▪ 如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数
或减函数，那么就说函数y单＝调f(性x)在区间D
上具有
．区间D叫做函数f(x)的单调
区间．
▪ (1)如图，已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象 (包括端点)，根据图象说出函数的单调区 间，以及在每一个区间上，函数是增函数 还是减函数．
▪ [点评] 解决此类问题，首先搞清二次项系 数的正负，确定开口方向，然后，考虑单 调区间应在对称轴左侧还是右侧．
▪ *[例5] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象， 并指出函数的单调区间．
▪ [分析] 函数解析式中含有绝对值号，因而 需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然 后，逐段画图．根据图象指出单调区间．
▪ [例1] 据下列函数图象，指出函数的单调 增区间和单调减区间．
▪ [解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞， 2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
▪ 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－ 1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].
▪ [例2] 求证函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞) 上于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因 此1－a≥4，即a≤－3.
▪ [辨析] 函数f(x)在区间A上单调减和函数 f(x)的单调减区间是A不同．
▪ [正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞， 4]，所以有1－a＝4，即a＝－3.
一、选择题
▪ [分析] 通过对f(x1)－f(x2)符号的判定而得 结论．
[解析] 设 x1、x2∈(－∞，＋∞)且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)＝x32－x31 ＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22) ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0 又∵x12＋x1x2＋x22＝(x1＋x22)2＋34x22且(x1＋x22)2≥0 与34x22 ≥0 中两等号不能同时取得(否则 x1＝x2＝0 与 x1＜x2 矛盾)， ∴x12＋x1x2＋x22＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，又∵x1<x2， ∴f(x)＝－x3＋1 在(－∞，＋∞)上为减函数．
▪ [解析] 函数f(x)的单调区间有[－2，－1]， [－1，0]，[0,1]，[1,2]．,在区间[－2，－ 1]，[0,1]上是减函数．
▪ 在区间[－1,0]，[1,2]上是增函数．
▪ 函数g(x)的单调区间有[－3，－1.5]，[－ 1.5，1.5]，[1.5,3]．
▪ 在区间[－3，－1.5]，[1.5,3]上是减函数， 在区间[－1.5,1.5]上是增函数．
[解析] (1)设 x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x21＋4x1)－(－ x22＋4x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－4)<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，2]上为增函数． (2)设 x1>x2≥－12，则 f(x1)－f(x2)＝ 2x1＋1－ 2x2＋1 ＝ 2x1＋2(x11＋－x22)x2＋1>0. ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝ 2x＋1在[－12，＋∞)上为增函数．
▪ (2)我们已知反比例函数y＝ 的图象如图， 它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数， 能否说它在定义域上是减函数？为什么？
▪ [解析] 不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满 足 x1<x2 ， 但 y1 ＝ － 1 ， y2 ＝ 1 ， y1>y2 不 成 立．
▪ 3．用单调性定义证明： ▪ (1)f(x)＝2x＋1在R上为增函数． ▪ (2)f(x)＝ 在(－∞，0)上为减函数． ▪ 并概括用定义证明函数单调性的步骤． ▪ (1)设x1、x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝
*[例 4] 讨论函数 f(x)＝x2a－x 1在 x∈(－1,1)上的单调 性，其中 a 为非零常数．
▪ [分析] 由定义作差f(x1)－f(x2)，通过a的 不同取值对差的符号的影响进行讨论．
[解析] 设－1＜x1＜x2＜1， 则 f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21＝a((xx121x－2＋1)1()x(22x－2－1)x1) 因为－1＜x1＜x2＜1， 所以 x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0. 当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函 数． 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函 数．
数
▪ (2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2， ▪ ∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数
▪ ∴f(x2)－f(x1)＞0 g(x2)－g(x1)＞0 ▪ ∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)] ▪ ＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0 ▪ ∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1) ▪ ∴y＝f(x)＋g(x)是增函数
▪ [解析] y＝－x2＋2|x|＋3
▪ 函数图象如图所示． ▪ 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； ▪ 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ▪ 所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和
[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
▪ 画出下列函数的图象，并指出它们的单调 区间：
(3)设 x1>x2>－1， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21＝(x12＋(x11)－(xx2＋2) 1)>0， ∴y1>y2，∴函数 y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
▪ [例3] 已知y＝f(x)与y＝g(x)在区间A上均 为增函数，判断下列函数在区间A上的增 减性．
▪ (1)y＝－2f(x) (2)y＝f(x)＋g(x)
4．熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y＝kx＋b (k≠0)，当 k>0 时单调递增， 当 k<0 时单调递减． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当 a>0 时，在 －∞，－2ba上单调递减，在－2ba，＋∞上单调递增，a<0 时相反．
(3)y＝kx(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上 都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调 递增．
(2x1＋1)－(2x2＋1)＝2(x1－x2)<0， ▪ ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．
(2)设 x1<x2<0，则 f(x1)－f(x2)＝x21－x22＝2(xx21－x2x1)>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数．
总结用单调性的定义证明函数的单调性的步骤为： 第一步：取．值．．．即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值， 且 x1<x2； 第二步：作．差．变．形．．．即作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式 分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方 向变形；
第三步：定．号．．．确定差 f(x1)－f(x2)的符号．当符号不 确定时，分区间进行讨论；
第四步：下．结．论．，根据符号作出结论． 即“取值——作差变形——定号——下结论”这四 个步骤．
▪ 本节重点：函数单调性的概念及证明．
▪ 本节难点：用定义证明函数的单调性和求 函数的单调区间．
▪ 1．函数的单调性是对某个区间而言的， 对于闭区间上的连续函数来说，只要在开 区间上单调，它在闭区间上也就单调．因 此，在考虑它的单调区间时，包括不包括 端点都可以，写单调区间时，一般写成闭 区间．但必须注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性 时，也可以作商ff((xx12))与 1 比较．
1．已知 f(x)＝(3a－1)x＋b 在(－∞，＋∞)上是增函
数，则 a 的取值范围是
()
A．(－∞，13)
B．(13，＋∞)
▪ [分析] 利用函数单调性的定义判断
▪ [解析] (1)对任意x1，x2∈A，设x1＜x2， ▪ ∵f(x)为增函数，∴f(x1)－f(x2)＜0 ▪ ∴－2f(x2)－[－2f(x1)]＝2f(x1)－2f(x2) ▪ ＝2[f(x1)－f(x2)]＜0 ▪ ∴－2f(x2)＜－2f(x1)，∴y＝－2f(x)是减函
▪ 2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x) 在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B 上单调递减．
3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
总结评述：在判定 x12＋x1x2＋x22＞0 时采用了配方的 技巧，这是处理二次函数值域问题的常用方法．
用定义证明函数的单调性时，若 f(x)是“多项式”形 式，一般作差后合并“同类项”；如果 f(x)是分式形式，作 差后通分；如果 f(x)是根式，一般作差后先分子有理化．
(1)证明 f(x)＝－x2＋4x 在(－∞，2]上为增函数． (2)证明 f(x)＝ 2x＋1在－12，＋∞上为增函数． (3)证明函数 y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都
有
．那么就说f(x)在这个区间D
上为减函数．
▪ 如果函数y＝f(x)在某个区间D上是增函数
或减函数，那么就说函数y单＝调f(性x)在区间D
上具有
．区间D叫做函数f(x)的单调
区间．
▪ (1)如图，已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象 (包括端点)，根据图象说出函数的单调区 间，以及在每一个区间上，函数是增函数 还是减函数．
▪ [点评] 解决此类问题，首先搞清二次项系 数的正负，确定开口方向，然后，考虑单 调区间应在对称轴左侧还是右侧．
▪ *[例5] 画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象， 并指出函数的单调区间．
▪ [分析] 函数解析式中含有绝对值号，因而 需先去掉绝对值号写成分段函数形式，然 后，逐段画图．根据图象指出单调区间．
▪ [例1] 据下列函数图象，指出函数的单调 增区间和单调减区间．
▪ [解析] 由图象(1)知此函数的增区间为(－∞， 2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
▪ 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－ 1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].
▪ [例2] 求证函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞) 上于函数在区间(－∞，4]上单调递减，因 此1－a≥4，即a≤－3.
▪ [辨析] 函数f(x)在区间A上单调减和函数 f(x)的单调减区间是A不同．
▪ [正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞， 4]，所以有1－a＝4，即a＝－3.
一、选择题
▪ [分析] 通过对f(x1)－f(x2)符号的判定而得 结论．
[解析] 设 x1、x2∈(－∞，＋∞)且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x31＋1)－(－x32＋1)＝x32－x31 ＝(x2－x1)(x21＋x1x2＋x22) ∵x1＜x2，∴x2－x1＞0 又∵x12＋x1x2＋x22＝(x1＋x22)2＋34x22且(x1＋x22)2≥0 与34x22 ≥0 中两等号不能同时取得(否则 x1＝x2＝0 与 x1＜x2 矛盾)， ∴x12＋x1x2＋x22＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，又∵x1<x2， ∴f(x)＝－x3＋1 在(－∞，＋∞)上为减函数．
▪ [解析] 函数f(x)的单调区间有[－2，－1]， [－1，0]，[0,1]，[1,2]．,在区间[－2，－ 1]，[0,1]上是减函数．
▪ 在区间[－1,0]，[1,2]上是增函数．
▪ 函数g(x)的单调区间有[－3，－1.5]，[－ 1.5，1.5]，[1.5,3]．
▪ 在区间[－3，－1.5]，[1.5,3]上是减函数， 在区间[－1.5,1.5]上是增函数．
[解析] (1)设 x1<x2≤2，则 f(x1)－f(x2)＝(－x21＋4x1)－(－ x22＋4x2)＝(x2－x1)(x1＋x2－4)<0，
∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，2]上为增函数． (2)设 x1>x2≥－12，则 f(x1)－f(x2)＝ 2x1＋1－ 2x2＋1 ＝ 2x1＋2(x11＋－x22)x2＋1>0. ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)＝ 2x＋1在[－12，＋∞)上为增函数．
▪ (2)我们已知反比例函数y＝ 的图象如图， 它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)都是减函数， 能否说它在定义域上是减函数？为什么？
▪ [解析] 不能．显然x1＝－1，x2＝1时，满 足 x1<x2 ， 但 y1 ＝ － 1 ， y2 ＝ 1 ， y1>y2 不 成 立．
▪ 3．用单调性定义证明： ▪ (1)f(x)＝2x＋1在R上为增函数． ▪ (2)f(x)＝ 在(－∞，0)上为减函数． ▪ 并概括用定义证明函数单调性的步骤． ▪ (1)设x1、x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝
*[例 4] 讨论函数 f(x)＝x2a－x 1在 x∈(－1,1)上的单调 性，其中 a 为非零常数．
▪ [分析] 由定义作差f(x1)－f(x2)，通过a的 不同取值对差的符号的影响进行讨论．
[解析] 设－1＜x1＜x2＜1， 则 f(x1)－f(x2)＝x21a－x11－x22a－x21＝a((xx121x－2＋1)1()x(22x－2－1)x1) 因为－1＜x1＜x2＜1， 所以 x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0. 当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，f(x)为减函 数． 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函 数．
数
▪ (2)在区间A内任取两个值x1、x2，设x1＜x2， ▪ ∵y＝f(x)，y＝g(x)为增函数
▪ ∴f(x2)－f(x1)＞0 g(x2)－g(x1)＞0 ▪ ∴[f(x2)＋g(x2)]－[f(x1)＋g(x1)] ▪ ＝[f(x2)－f(x1)]＋[g(x2)－g(x1)]＞0 ▪ ∴f(x2)＋g(x2)＞f(x1)＋g(x1) ▪ ∴y＝f(x)＋g(x)是增函数
▪ [解析] y＝－x2＋2|x|＋3
▪ 函数图象如图所示． ▪ 函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； ▪ 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ▪ 所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和
[0,1]，单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
▪ 画出下列函数的图象，并指出它们的单调 区间：
(3)设 x1>x2>－1， y1－y2＝x12＋x11－x22＋x21＝(x12＋(x11)－(xx2＋2) 1)>0， ∴y1>y2，∴函数 y＝x＋2x1在(－1，＋∞)上为增函数．
▪ [例3] 已知y＝f(x)与y＝g(x)在区间A上均 为增函数，判断下列函数在区间A上的增 减性．
▪ (1)y＝－2f(x) (2)y＝f(x)＋g(x)
4．熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y＝kx＋b (k≠0)，当 k>0 时单调递增， 当 k<0 时单调递减． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当 a>0 时，在 －∞，－2ba上单调递减，在－2ba，＋∞上单调递增，a<0 时相反．
(3)y＝kx(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上 都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调 递增．
(2x1＋1)－(2x2＋1)＝2(x1－x2)<0， ▪ ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．
(2)设 x1<x2<0，则 f(x1)－f(x2)＝x21－x22＝2(xx21－x2x1)>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数．
总结用单调性的定义证明函数的单调性的步骤为： 第一步：取．值．．．即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值， 且 x1<x2； 第二步：作．差．变．形．．．即作差 f(x1)－f(x2)，并通过因式 分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方 向变形；
第三步：定．号．．．确定差 f(x1)－f(x2)的符号．当符号不 确定时，分区间进行讨论；
第四步：下．结．论．，根据符号作出结论． 即“取值——作差变形——定号——下结论”这四 个步骤．
▪ 本节重点：函数单调性的概念及证明．
▪ 本节难点：用定义证明函数的单调性和求 函数的单调区间．
▪ 1．函数的单调性是对某个区间而言的， 对于闭区间上的连续函数来说，只要在开 区间上单调，它在闭区间上也就单调．因 此，在考虑它的单调区间时，包括不包括 端点都可以，写单调区间时，一般写成闭 区间．但必须注意，对于在某些点上不连 续的函数，单调区间不包括不连续点．