新课标人教版高中数学必修2同步全册精品练习解析版
人教版高中数学必修第二册 专题强化训练二 与球有关的内切、外接问题 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册专题强化训练二与球有关的内切、外接问题同步精练技巧归纳1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a 2＋b 2＋c 2＝2R .(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h ，底面外接圆半径为x ，则该几何体外接球半径R 满足R 2＝h 22＋x 2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R )与正方体(棱长为a )有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R ＝a ；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R ＝2a ；三是球外接于正方体，此时2R ＝3a .题型归纳题型一：直接法(公式法)1．（2022·全国·模拟预测）一个正方体的内切球的表面积和它的外接球的表面积之和是16π，则该正方体的体积为（）A ．22B ．8C ．4D ．162．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AB =，直线1AD 与直线1CC 所成的角为30°，则该长方体外接球的表面积为（）A ．4πB ．6πC ．5πD ．8π3．（2022·湖南·高一课时练习）若一个球的外切正方体的表面积等于6cm 2，则此球的体积为（）A ．6πcm 3B ．68πcm 3C ．43πcm 3D ．66πcm 3题型二：构造法(补形法)4．（2022·陕西西安·一模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且22PA =，2AB BC ==，则该阳马的外接球的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π5．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知三棱维A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为6的正三角形，△BCD 是直角三角形，且,42BCD CD π∠==，则此三棱锥外接球的表面积为（）A ．36πB ．48πC ．64πD ．128π6．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知正四面体S ABC -的外接球表面积为6π，则正四面体S ABC -的体积为（）A ．223B ．233C ．23D ．324题型三：确定球心位置法7．（2022·全国·模拟预测）如图，已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，2AC BC ==，2AB =，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为（）A ．323πB ．163πC ．16πD ．32π8．（2022·陕西陕西·一模）四面体D ABC -内接于球O ，（O 为球心），2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒.若四面体D ABC -体积的最大值为4，则这个球的体积为（）A ．256327πB ．1639πC ．128πD ．128327π9．（2022·云南师大附中高三阶段练习）三棱锥P ABC -的四个顶点在球О的球面上，PC ⊥平面ABC ，4PC =，10AB =，32AC =，点M 是BC 的中点，13AM =，则球О的表面积为（）A ．24πB ．28πC ．36πD ．40π题型四：球表面积和体积最值问题10．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，现以AE 为折痕将ADE 折起，当三棱锥D ABE -的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为（）A ．525π48B ．5π4C ．25π4D ．25π11．（2021·四川成都·高一期末（理））已知A ，B 是球O 的球面上两点，23AOB π∠=，P 为该球面上动点，若三棱锥O PAB -体积的最大值为233，则球O 的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．36π12．（2021·山东莱西·高一期末）已知ABC 是面积为934的等边三角形，其顶点均在球O 的表面上，当点P 在球O 的表面上运动时，三棱锥P ABC -的体积的最大值为934，则球O 的表面积为（）A ．16πB ．323πC ．274πD ．4π专题精选强化一、单选题13．（2021·黑龙江鸡西·高一期末）已知三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，22BC =，PB ⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积是（）A ．473B ．5C ．873D ．8314．（2022·全国·高一）在体积为722的直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，且ABC 的外接圆半径为213，则该三棱柱外接球的表面积为（）A ．12πB ．8πC ．6πD ．3π15．（2021·全国·高一课时练习）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π16．（2021·全国·高一课时练习）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A ．72πB ．56πC ．14πD ．16π17．（2021·广东顺德·高一期末）已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，3AB =，2PA =，PA BC ⊥，PB AC ⊥，PC AB ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．43πB ．32327πC ．4πD ．163π18．（2021·江苏常州·高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面,,ABCD AB BC AD CD ⊥⊥，且120,2BAD PA AB AD ∠=︒===，则该四棱锥外接球的表面积为（）A ．8πB ．20πC ．205πD ．205π319．（2021·江苏·金陵中学高一期末）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，则球O 的表面积等于（）A ．818πB ．812πC ．1218πD ．1212π20．（2021·云南省昆明市第十中学高一期中）已知三棱锥P ABC -，PA ，PB 、PC 两两垂直，1PA =，3PB =，2PC =，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．πB ．5πC ．6πD ．8π21．（2021·黑龙江·哈师大附中高一期末）矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，现将ACD △沿对角线AC 向上翻折，得到四面体D ABC -，则该四面体外接球的体积为（）A ．5103πB ．10πC ．510πD ．40π22．（2021·重庆八中高一期中）设直三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是2053π，1AB AC AA ==，120BAC ∠=︒，则此直三棱柱的高是（）A ．1B ．2C ．22D ．423．（2020·江苏宿迁·高一期末）在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，15AA =，则其外接球的体积是（）A ．6πB ．92πC ．823πD ．132π24．（2021·吉林·高一期中）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π二、多选题25．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点全部在球O 的表面上，AB AC =，120BAC ∠=，三棱柱111ABC A B C -的侧面积为843+，则球O 体积可能是（）A ．12πB ．32π3C ．28π3D ．10π26．（2021·江苏·无锡市第一中学高一期中）一个圆锥的底面圆周和顶点都在一个球面上，已知圆锥的底面面积与球面面积比值为29，则这个圆锥体积与球体积的比值为（）A ．427B ．827C ．49D ．8927．（2020·江苏连云港·高一期末）正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，若线段MN 的最小值为31-，则（）A ．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为3πC ．正方体的棱长为1D ．线段MN 的最大值为31+28．（2021·辽宁·高一期末）在菱形ABCD 中，23AB =，60ABC ∠=，将菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小为()0180θθ<<的二面角B AC D --，若折成的四面体ABCD 内接于球O ，则下列说法正确的是（）．A ．四面体ABCD 的体积的最大值是33B ．BD 的取值范围是()32,6C ．四面体ABCD 的表面积的最大值是1263+D ．当60θ=时，球O 的体积为523927π三、填空题29．（2022·全国·高一）点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC 的距离为22，则该球的体积为___________.30．（2021·天津·高一期末）已知正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面积为45，若该四棱锥的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为______.31．（2021·江苏溧阳·高一期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P ABCD -是阳马，PA ⊥平面ABCD ，5PA =，4AB =，3AD =，则该阳马的外接球的表面积为___________.32．（2021·广东惠州·高一期中）在三棱锥D ABC -中，已知平面BCD ⊥平面ABC ，90CBD ∠=︒，45BCA ∠=︒，22AB =，2BD =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为______．参考答案1．B 【解析】【分析】设正方体的边长为2a ，分别求出正方体内切球与外接球的半径，再建立等式求得正方体的棱长即可求其体积.【详解】设正方体的边长为2a ，则正方体的内切球的半径为a ，外接球的半径为3a ，依题意得()2244316a aπππ+=，解得1a =，∴正方体的体积为()33288a a ==.故选：B ．2．C 【解析】【分析】根据条件求出长方体外接球的半径即可求解.【详解】直线1AD 与直线1CC 所成的角，即直线1BC 与直线1CC 所成的角，从而可知在1Rt C CB △中，130BC C ︒∠=，所以13C C =，设长方体外接球的半径为r ，则有()222225411354r r =++=⇒=，该长方体外接球的表面积为245r ππ=.故选：C 3．A 【解析】【分析】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为R cm ，正方体棱长为a cm ，∴6a 2＝6，∴a ＝1cm ，即2R ＝1，∴R 12=cm ，∴球的体积333441cm .3326V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故选：A.4．C 【解析】【分析】补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.【详解】解：因为四棱锥P ABCD -为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为R ，则()2222244816R AB BC PA =++=++=，所以2R =，所以该阳马的外接球的表面积为2416R ππ=.故选：C.5．C 【解析】【分析】把三棱锥放置在长方体中，根据长方体的结构特征求出三棱锥外接球的半径，再由三棱锥外接球的表面积公式计算．【详解】三棱锥A BCD -中，侧面ABC ⊥底面BCD ，把该三棱锥放入长方体中，如图所示3332AM AB ==，设三棱锥外接球的球心为O ，则22332333AG AM ==⨯=，122OG CD ==，∴三棱锥外接球的半径2222(23)42R OA OG AG ==+=+=，则三棱锥外接球的表面积为2244464S R πππ==⨯=，故选：C ．6．A 【解析】【分析】由题意求出外接球的半径，将正四面体补成正方体，求出其棱长，用正方体的体积减去四个小的三棱锥体积即为所求.【详解】设外接球半径为R ，则246S R ππ==，解得62R =,将正四面体S ABC -恢复成正方体，知正四面体的棱为正方体的面对角线，则正四面体S ABC -的外接球即为正方体的外接球，则正方体的体对角线等于外接球的直径，故2326AB ⨯⨯=，解得2AB =，正方体棱长为2222⨯=，故该正四面体的体积为3122(2)42223213-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选：A ．7．A 【解析】【分析】由已知可证得PA AB ⊥，BC PC ⊥，从而可得球心O 是PB 的中点，取AB 的中点D ，连接OD ，然后在Rt ODB △中可求得球的半径，进而可求得球的体积【详解】如图，因为2AC BC ==，2AB =，所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA BC ⊥.又AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，所以球心O 是PB 的中点.取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以3OD =.设球O 的半径为R ，在Rt ODB △中，()2222312R OB OD DB ==+=+=，所以球O 的体积为3344322333R πππ=⨯⨯=，故选：A.8．A 【解析】【分析】在ABC 中利用余弦定理求得第三边，并判断ABC 为直角三角形且面积为定值，由面积公式求得ABC 的面积，从而分析知当D 到平面ABC 的距离取得最大值时球的体积最大.在ABC 中，∵2BC =，4AC =，60ACB ∠=︒，∴22212cos 164242122BA AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，∴222AC AB BC =+，90ABC ∠=︒.∴ABC 外接圆半径122r AC ==.∴1223232ABCS=⨯⨯=.如图所示，设AC 的中点为1O ，则1O 为过ABC 的截面圆的圆心，设球的半径为R ，所以球心O 到平面ABC 的距离为22214OO R r R =-=-当点1DO ⊥平面ABC 时，四面体D ABC -体积的最大即：1111()23()433ABC S R OO R OO ⋅+=⨯+=△，解得433R =，34432563=()3327V ππ⨯=球.故选：A.9．C 【解析】【分析】先求得ABC 的外接圆的半径r ，再由222PC R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求得外接球的半径求解.如图所示：由余弦定理可得222222(13)(10)(13)(32)2221321322BC BC BC BC ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⨯⨯⨯⨯，解得2BC =．故222(10)(32)22cos 210325BAC +-∠==⨯⨯，1sin 5BAC ∠=．设ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理可得2sin BCr BAC=∠，故52sin BCr BAC==∠，所以球O 的半径为2232PC R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，球O 的表面积为24π36πS R ==，故选：C ．10．C 【解析】【分析】设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，则有222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=通过计算可得点M 为外接球的球心，从而可求得结果【详解】解：过D 作DF AE ⊥于F ，设点M 为ABE △的外心，G 为AE 的中点，连接,MG MF ，因为正方形ABCD 中，2AB =，E 是CD 边的中点，所以1DE =,则22125AE BE ==+=，52EG =，22555AD DE DF AE ⋅===,所以2245155EF DE DF =-=-=,1524MG EG ==，54EM =,所以55352510FG EG EF =-=-=,所以225453051610020FM MG FG =+=+=,设棱锥D ABE -的外接球球心为O ，半径为R ，则OM ⊥平面BCEF ，设OM x =，因为ABE △的面积为定值，所当高最大时，三棱锥D ABE -的体积最大，此时平面ADE ⊥平面BCEF ，因为DF AE ⊥，平面ADE 平面BCEF AE =，所以DF ⊥平面BCEF ，所以222222(),DF OM FM R OM EM R -+=+=,所以2222()DF OM FM OM EM -+=+，所以2222DF DF OM FM EM -⋅+=，所以42561252558016OM -⨯⋅+=，解得0OM =，所以ABE △的外心为三棱锥D ABE -外接球的球心，所以54R EM ==所以三棱锥外接球的表面积为2252544164R πππ=⨯=故选：C11．B 【解析】【分析】当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，利用三棱锥O PAB -体积的最大值为233求出半径，即可求出球O 的表面积．【详解】解：如图所示，当点P 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O PAB -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2113233223O PAB P AOB V V R R --==⨯⨯⨯=，解得2R =，则球O 的表面积为2416R ππ=，故选：B ．12．A 【解析】【分析】作出图形，结合图形知，当点P 与球心O 以及△ABC 外接圆圆心M 三点共线且P 与△ABC 外接圆圆心位于球心的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值，结合三棱锥的体积求出三棱锥P ABC -的高h ，并注意到此时该三棱锥为正三棱锥，利用Rt OAM ,求出球O 的半径R ，最后利用球体的表面积公式可求出答案．【详解】如图所示，设点M 为ABC 外接圆的圆心，当点P O M 、、三点共线时，且P M 、分别位于点O 的异侧时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值.因为ABC 的面积为934，所以边长为3，由于三棱锥P ABC -的体积的最大值为41939334PM ⨯=⨯，得3PM =，易知SM ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，ABC 的外接圆直径为3223sin3AM π==，所以3AM =,设球O 的半径为R ，则22222()3(3)R OA AM PM PO R ==+-=+-,解得2R =,所以球的表面积为2416S R ππ==.故选：A 13．A 【解析】【分析】三棱锥P ABC -放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，由球的体积求出PC 的长度，再求出PB ，由三棱锥体积公式求解即可.【详解】因为2AB AC ==，22BC =，易知三角形ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥P ABC -的高，则可将三棱锥P ABC -放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，343632PC V ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,6PC ∴=又22268PC PB BC PB =+=+=，解得27PB =,所以三棱锥的体积11472227323V =⨯⨯⨯⨯=，故选：A 14．A 【解析】【分析】由棱柱体积求得棱柱的高，然后求得外接球的半径，得表面积．【详解】设ABC 的边长为a ，由ABC 的外接圆半径为213可得212π3sin3a =⨯，故7a =，则ABC 的面积237344S a ==.由三棱柱的体积为722可得11737242S AA AA ⋅=⋅=，故1263AA =，设三棱柱外接球的半径为R ，则2221217233233AA R ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故该三棱柱外接球的表面积为24π12πR =.故选：A ．15．D 【解析】【分析】根据给定条件确定出三棱锥O ABC -体积最大时的点C 位置，再求出球半径即可得解.【详解】设球的半径为R ，因90AOB ∠=︒，则AOB 的面积212△AOB S R =，而O ABC C AOB V V --=，且AOB 面积为定值，则当点C 到平面AOB 的距离最大时，O ABC V -最大，于是，当C 是与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O ABC -体积最大，最大值为3113632R ⨯=，解得6R =，所以球O 的表面积为22446144R πππ=⨯=.故选：D 16．C 【解析】【分析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而可根据球的表面积公式求出球的表面积.【详解】解析：设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，由题意得236ab ac bc =⎧⎪=⎨⎪=⎩，得123a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴长方体的体对角线长为22212314++=，∴其外接球的半径为142∴2414S R ππ球＝＝．故选：C 17．D 【解析】【分析】根据题意画出图形，证得三棱锥P ABC -为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点P 作PG ⊥平面ABC ，连接AG 交BC 于D ，所以PG BC ⊥，又由PA BC ⊥且PAPB P =，所以BC ⊥平面PAG ，可得BC AD ⊥，同理可证AB CG ⊥，则G 为等边ABC 的垂心，即中心，则三棱锥P ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为O ，则O 再PG 上，连接OA ，在等边ABC 中，由3AB =，可得2233()132AG =-=，则223PG PA AG =-=，设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ，则222(3)1R R =-+，解得233R =，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为22231644()33S R πππ==⨯=.故选：D.18．B 【解析】【分析】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，先证明点O 就是四棱锥外接球的球心，再求出外接球的半径即得解.【详解】取PC 中点O ，连接,,.OA OB OD BD ，由题得PA AC ⊥，又OP OC =，所以OP OC OA ==，因为,,,,CD AD CD PA ADPA A AD PA ⊥⊥=⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，所以CD PD ⊥，又,PO OC OP OC OD =∴==.同理OP OC OB ==,所以OP OC OA OB OD ====，所以点O 就是四棱锥外接球的球心.因为120,2BAD AB AD ∠=︒==，所以60,30,4DAC DCA AC ∠=∴∠=∴=.所以224225,PC =+=所以外接球的半径为5.所以该四棱锥外接球的表面积24(5)20S ππ==．故选：B 19．A 【解析】【分析】设球半径为R ，圆锥的底面半径为r ，利用扇形的弧长和面积公式求得R ，即可求解.【详解】圆锥的顶点和底面圆周都在球O 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为23π，面积为3π，设母线为l ，则212323l ππ⨯⨯=，可得：3l =，由扇形的弧长公式可得：223r l ππ=，所以1r =，圆锥的高2213122OO =-=，由()22222r RR +-=，解得：942R =，所以球O 的表面积等于2818144328R πππ=⨯=，故选：A 20．D 【解析】【分析】若三棱锥从一个顶点出发的三条棱互相垂直，则该三棱锥的外接球与以这三条棱为邻边的长方体的外接球相同.【详解】因为三棱锥P ABC -中，PA ，PB 、PC 两两垂直，所以其外接球半径R 满足222222R PA PB PC =++=，2R =.故三棱锥P ABC -的外接球表面积为()2428ππ⨯=.故选：D.21．A 【解析】【分析】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，则由矩形的性质可知OA OC OB OD ===，所以可得O 为四面体D ABC -外接球的球心，求出OA 的长可得球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，因为四边形ABCD 为矩形，所以OA OC OB OD ===，90ABC ∠=︒，所以O 为四面体D ABC -外接球的球心，因为3,1AB BC ==，所以22223110AC AB BC =+=+=，所以11022OA AC ==，所以面体D ABC -外接球的半径为102，所以该四面体外接球的体积为3344105103323R πππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故选：A 22．B 【解析】【分析】先确定底面ABC 的外接圆圆心及半径，再确定球心位置，并利用球心和圆心的连线垂直于底面，得到直角三角形，利用勾股定理求解.【详解】设12AB AC AA m ===，三角形ABC 外接圆1O 的半径为r ，直三棱柱111ABC A B C -外接球O 的半径为R .因为120BAC ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，于是24sin 30r ABm ==︒，2r m =，12O C m =.又球心O 到平面ABC 的距离等于侧棱长1AA 的一半，所以1OO m =.在1Rt OO C 中，由22211OC OO O C =+，得2224R m m =+，5R m =.所以球的体积34205(5)33V m ππ==，解得1m =.于是直三棱柱的高是122AA m ==.故选：B.23．B【解析】【分析】首先在ABC 中利用余弦定理求出BC 的长，进一步可判断ABC 为直角三角形，根据直角三角形和直棱柱的性质即可求出球心和半径，由体积公式即可求解.【详解】在ABC 中，2AB =，3AC =，30BAC ∠=，由余弦定理可得：22232cos 30344312BC AC AB AC AB =+-⋅⨯=+-⨯=，所以1BC =，所以222BC AC AB +=，可得ABC 为直角三角形，所以AB 的中点D 即为ABC 外接圆的圆心，设11A B 的中点为E ，则DE 的中点O 即为直三棱柱111ABC A B C -外接球的球心，设外接球的半径为R ，11522OD AA ==，112CD AB ==，所以222253122R OD CD ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以外接球的体积是3344393322R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B.24．B【解析】【分析】推导出SA 、SB 、SC 两两垂直，然后将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，计算出正方体SADB CEFG -的体对角线长，即为三棱锥S ABC -的外接球直径，利用球体的表面积公式可得结果.【详解】取AC 中点N ，连接BN 、SN ，N Q 为AC 中点，SA SC =，AC SN ∴⊥，同理AC BN ⊥，SN BN N =，AC ∴⊥平面SBN ，SB ⊂平面SBN ，AC SB ∴⊥，SB AM ⊥且AC AM A ⋂=，SB ∴⊥平面SAC ，SA 、SC ⊂平面SAC ，SA SB ∴⊥，SB SC ⊥，三棱锥S ABC -是正三棱锥，SA ∴、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直.将正三棱锥S ABC -补成正方体SADB CEFG -，如下图所示：因为2SA =，所以正方体SADB CEFG -的体对角线长为323SF SA ==，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的直径223R =，所以，正三棱锥S ABC -的外接球的表面积是()224212S R R πππ==⨯=，故选：B.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.25．AB【解析】【分析】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==，三棱柱侧面积得()23ah +843=+，可得4ah =，设N ，M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，由正弦定理求得ABC 外接圆的半径r ，由勾股定理结合基本不等式求得外接球半径R 的最小值，再由球的体积公式结合选项即可求解．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB AC a ==．因为120BAC ∠=，所以2cos303BC AB a =⋅=，则该三棱柱的侧面积为()23843ah +=+，故4ah =，设,N M 分别是三棱柱上下底面的外心，则三棱柱外接球球心O 是MN 中点，设ABC 的外接圆半径为r ，则MC =32sin 2sin120BC a r a BAC ===∠⨯，设球O 的半径为R ，则22222222164244h h h OC R r a h ⎛⎫==+=+=+≥ ⎪⎝⎭，所以2R ≥，故球O 的体积为：334432ππ2π333R ≥⋅=．结合选项可知：球O 体积可能是12π，32π3，故选：AB ．26．AB 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，由圆锥的底面面积与球面面积比值为29，得到r与R的关系，计算出圆锥的高，从而求出圆锥体积与球体积的比.【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，∵圆锥的底面面积与球面面积比值为2 9，∴22249rRππ=，则223r R=；设球心到圆锥底面的距离为d ，则221 3d R r R =-=，所以圆锥的高为43h d R R=+=或23h R d R=-=，设圆锥体积为1V与球体积为2V，当43h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321224133383442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===，当23h R=时，圆锥体积与球体积的比为2213321222133343442733R Rr hVV R Rππππ⎛⎫⎪⎝⎭===.故选：AB 27．AD 【解析】【分析】设正方体的棱长为a ，由线段MN 的最小值为31-求出a ，按照球的性质逐一判断每个选项即可.【详解】设正方体的棱长为a ，则其外接球的半径为32R a =，内切球的半径为2a R '=，正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，由于两球球心相同，可得MN 的最小值为33122a a -=-，解得2a =，故C 错误；所以外接球的半径为3，表面积为4312ππ⨯=，故A 正确；内切球的半径为1，体积为43π，故B 错误；MN 的最大值为31R R '+=+，故D 正确；故选：AD.【点睛】本题考查正方体的外接球与内切球，正确求出正方体的外接球与内切球的半径是关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.28．ACD【解析】【分析】求出当90θ=时，四面体ABCD 的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A 选项的正误；利用余弦定理可判断B 选项的正误；利用90BAD ∠=时，四面体ABCD 的表面积的最大，可判断C 选项的正误；求出球O 的半径，利用球体的体积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，23AC AB ==，60ABC ∠=，则ABC 为等边三角形，取AC 的中点E ，则BE AC ⊥，同理可知，ACD △为等边三角形，所以，DE AC ⊥，且23sin 603BE DE ===，1332ABC S AC BE =⋅=△，所以，二面角B AC D --的平面角为BED θ=∠，设点D 到平面ABC 的距离为d ，则sin 3sin d DE θθ==，11333sin 33sin 3333D ABC ABC V S d θθ-=⋅=⨯⨯=≤，当且仅当90θ=时，等号成立，即四面体ABCD 的体积的最大值是33，A 选项正确；对于B 选项，由余弦定理可得()2222cos 1818cos 0,36BD BE DE BE DE θθ=+-⋅=-∈，所以，()0,6BD ∈，B 选项错误；对于C 选项，33ACD ABC S S ==△△，AB AD BC CD ===，BD BD =，ABD CBD ∴≅△△，所以，1sin 6sin 62CBD ABD S S AB AD BAD BAD ==⋅∠=∠≤△△，因此，四面体ABCD 的表面积的最大值是233261263⨯+⨯=+，C 选项正确；对于D 选项，设M 、N 分别为ABC 、ACD △的外心，则113EN EM BE ===，在平面BDE 内过点M 作BE 的垂线与过点N 作DE 的垂线交于点O ，BE AC ⊥，DE AC ⊥，BE DE E ⋂=，AC ∴⊥平面BDE ，OM ⊂平面BDE ，OM AC ∴⊥，OM BE ⊥，BE AC E ⋂=，OM ∴⊥平面ABC ，同理可得ON ⊥平面ACD ，则O 为四面体ABCD 的外接球球心，连接OE ，EM EN =，OE OE =，90OME ONE ∠=∠=，OME ONE ∴≅△△，所以，302OEM θ∠==，23cos303EM OE ∴==，AC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，OE AC ∴⊥，22393OA OE AE ∴=+=，即球O 的半径为393R =，因此，球O 的体积为345239327V R ππ==，D 选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.29．323π【解析】【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，23BC =，90ABC ∠=︒，所以224AC AB BC =+=，所以三角形外接圆半径22AC r ==，又球心O 到截面ABC 的距离为22，所以球的半径为()2222223R =+=．球体积为()33442332333V R πππ==⨯=．故答案为：323π．30．92π【解析】【分析】由正四棱锥的底边长与侧面积可得侧棱长，求出正四棱锥的高，球心在高所在直线上，利用勾股定理求半径，则球的体积可求.【详解】设正四棱锥的侧棱长为b ，又侧面积为45，∴21421452b ⨯⨯⨯-=，解得6b =，∴正四棱锥P ABCD -的高622h =-=，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心O 在正四棱锥P ABCD -的高所在直线上，设球O 的半径为R ，则()()22222R R -+=，解得32R =，则球O 的体积为334439R 3322V πππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：92π.31．50π【解析】【分析】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，求出长方体外接球的表面积得答案．【详解】把四棱锥P ABCD -放置在长方体中，则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，5PA =，4AB =，3AD =，∴长方体的对角线长为22254352++=，则长方体的外接球的半径522R =，∴该阳马的外接球的表面积为225244()502S R πππ==⋅=．故答案为：50π．32．20π【分析】如图，由题意可得BD ⊥平面ABC ，E 为三角形ABC 的外心，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在过E 垂直于平面ABC 的直线上，设为点O ，则外接球的半径为OB ，然后利用已知的数据求出半径，进而可求出表面积【详解】解：因为平面BCD ⊥平面ABC ，平面BCD 平面ABC BC =，90CBD ∠=︒，所以BD ⊥平面ABC ，设E 为三角形ABC 的外心，连接,AE BE ，则290AEB BCA ∠=∠=︒，因为22AB =，所以2AE BE ==,过E 作垂直于平面ABC 的直线，则三棱锥A BCD -的外接球的球心在此直线上，设外接球的球心为O ，连接,OB OD ，设外接球的半径为R ，则OB OD R ==，因为2BD =，所以22215OB =+=，即5R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()2244520R πππ=⋅=，故答案为：20π。
人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编
高中数学必修2全册同步练习题目录1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征1-2-1、2 中心投影与平行投影空间几何体的三视图1-2-3 空间几何体的直观图1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积1-3-2 球的体积和表面积高中数学第一章综合素能检测2-1-1 平面2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系2-2-1 直线与平面平行的判定2-2-2 平面与平面平行的判定2-2-3 直线与平面平行的性质2-2-4 平面与平面平行的性质2-3-1 直线与平面垂直的判定2-3-2 平面与平面垂直的判定2-3-3 直线与平面垂直的性质2-3-4 平面与平面垂直的性质高中数学第二章综合素能检测3-1-1 倾斜角与斜率3-1-2 两条直线平行与垂直的判定3-2-1 直线的点斜式方程3-2-2 直线的两点式方程3-2-3 直线方程的一般式3-3-1 两条直线的交点坐标3-3-2 两点间的距离公式3-3-3、4 点到直线的距离两条平行直线间的距离高中数学第三章综合检测4-1-1 圆的标准方程4-1-2 圆的一般方程4-2-1 直线与圆的位置关系4-2-2 圆与圆的位置关系4-2-3 直线与圆的方程的应用4-3-1、2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式高中数学第四章综合检测一、选择题1．在棱柱中()A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行[答案] D2．下列几何体中，不属于多面体的是()A．立方体B．三棱柱C．长方体D．球[答案] D3．如图所示的几何体是()A．五棱锥B．五棱台C．五棱柱D．五面体[答案] C4．下列命题中，正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形[答案] D5．棱锥侧面是有公共顶点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．() A．3B．4C．5D．6[答案] C[解析]由于顶角之和小于360°，故选C.6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为()A．三棱锥有四个面是三角形B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点[答案] B7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是()[答案] B8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] B[解析]在图(2)、(3)中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面，①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4)则不同[解题提示]让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起，进行想象后判断．二、填空题9．图(1)中的几何体叫做________，AA1、BB1等叫它的________，A、B、C1等叫它的________．[答案]棱柱侧棱顶点10．图(2)中的几何体叫做________，P A、PB叫它的________，平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________．[答案]棱锥侧棱侧面底面11．图(3)中的几何体叫做________，它是由棱锥________被平行于底面ABCD的平面________截得的．AA′，BB′叫它的__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的________．[答案]棱台O－ABCD A′B′C′D′侧棱侧面12．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的面积不变；③水面EFGH始终为矩形．其中正确的命题序号是________．[答案]①③[解析]根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水的部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边形，故①正确；而随着倾斜程度的不同，水面EFGH的面积是会改变的，但仍为矩形故②错误；③正确．三、解答题13．判断下列语句的对错．(1)一个棱锥至少有四个面；(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；(3)五棱锥只有五条棱；(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．[解析](1)正确．(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可以不相等．(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10条棱．(4)正确．14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？[解析]这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的正八面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，图(1)中截去的是什么几何体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体是什么？若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变成了一个什么几何体？[解析]三棱锥五棱柱A1B1BEH－D1C1CFG长方体16．一个几何体的表面展开平面图如图．(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？[解析](1)该几何体是四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[答案] C[解析]由圆锥的概念知，直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是()A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥[答案] D3．下列说法正确的是()A．圆锥的母线长等于底面圆直径B．圆柱的母线与轴垂直C．圆台的母线与轴平行D．球的直径必过球心[答案] D[解析]圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母线与轴相交，则C项不正确；很明显D项正确．4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[答案] B[解析]圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A．10 B．20C．40 D．15[答案] B[解析]圆柱的轴截面是矩形，其一边为圆柱的母线，另一边为圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是()A．球B．正方体C．圆D．球面[答案] D7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是图2中的()[答案] A[解析]观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过一直角边的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A适合．故正确答案为A.8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)[答案] D[解析]圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形．二、填空题9．图①中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它的________，AB叫它的________．[答案]球球心半径直径10．图②中的几何体叫________，AB、CD都是它的________，⊙O和⊙O′及其内部是它的________．[答案] 圆柱 母线 底面11．图③中的几何体叫做________，SB 为叫它的________． [答案] 圆锥 母线12．图④中的几何体叫做________，AA ′叫它的________，⊙O ′及其内部叫它的________，⊙O 及其内部叫它的________，它还可以看作直角梯形OAA ′O ′绕它的________________旋转一周后，其他各边所形成的面所围成的旋转体．[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO ′ 三、解答题13．说出下列7种几何体的名称．[解析]a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g 是棱锥．14．说出如图所示几何体的主要结构特征．[解析](1)是一个六棱柱中挖去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．[解析]先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲线的长度的最小值．[解析]将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平面问题．本题所求必在下图所示的三个图中，从而，连接AC′的诸曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．一、选择题1．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为()A．棱锥B．棱柱C．圆锥D．圆柱[答案] C2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为()A．圆台B．四棱锥C．四棱柱D．四棱台[答案] D3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是()A．(1)(2) B．(2)(3)C．(3)(4) D．(1)(4)[答案] D4．(2012－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④[答案] D[解析]①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图和侧视图相同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．[点评]熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图是基本的要求．下图是最基本的常见几何体的三视图.[答案] C[解析]结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为()A．圆柱与圆台B．四棱柱与四棱台C．圆柱与四棱台D．四棱柱与圆台[答案] B[解析]该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台．7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是()[答案] B8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为()[答案] D[解析]此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有D项符合题意．二、填空题9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是________．[答案]②④⑤[解析]三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这个组合体的小正方体的个数是________．[答案] 5[解析]由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方体．11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有________．[答案]①②③④12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用________个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．[答案] 3[解析]该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等于4，如图(1)所示的四棱锥A－A1B1C1D1，如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A1B1C1D1，A－BB1C1C，A －DD1C1C可以拼成一个棱长为4的正方体．三、解答题13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．[解析]所给四棱锥的三视图如下图．[点评](1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对正”)、侧视图与俯视图的宽度一致(即所谓的“宽相等”)．(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的下方．[拓展提高]1．三视图中各种数据的对应关系：(1)正视图中AB的长对应原四棱锥底面多边形的左右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的顶点到底面左、右两边的距离．(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长度，GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底面的大小形状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离．2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认为是棱锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进行相关计算的前提．14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．[解析]图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，在中心以中心轴为轴线挖去一个小圆柱，故其三视图如下：15．说出下列三视图表示的几何体：[解析]16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．[答案]所对应的空间几何体的图形为：一、选择题1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段()A．平行且相等B．平行不相等C．相等不平行D．既不平行也不相等[答案] A2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是()①角的水平放置的直观图一定是角．②相等的角在直观图中仍相等．③相等的线段在直观图中仍然相等．④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．3．利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上说法正确的是()A．①B．①②C．③④D．①②③④[答案] B[解析]根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是()[答案] A[解析]由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正确．5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC[答案] D[解析]△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC ＞AD，AC＞BC.6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为() A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[答案] C[解析]由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的()[答案] C[解析]由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为直角梯形．8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )[答案] C[解析] C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，原来高h 变为h 2，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB 变为原来的12.二、填空题9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M (4,4)在直观图中的对应点是M ′，则点M ′的坐标为________，点M ′的找法是________．[答案] M ′(4,2) 在坐标系x ′O ′y ′中，过点(4,0)和y ′轴平行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M ′.[解析] 在x ′轴的正方向上取点M 1，使O 1M 1＝4，在y ′轴上取点M 2，使O ′M 2＝2，过M 1和M 2分别作平行于y ′轴和x ′轴的直线，则交点就是M ′.10．如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是________．[答案] 10[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.11．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．[答案] 16[解析] 由图易知△AOB 中，底边OB ＝4， 又∵底边OB 的高为8， ∴面积S ＝12×4×8＝16.12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？[答案]8[解析]原图形为OABC为平行四边形，OA＝1，AB＝OA2＋OB2＝3，∴四边形OABC周长为8.三、解答题13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．[解析]14．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图(直接画出图形，尺寸不作要求)．[解析]如图．16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该梯形绕边AD所在直线EF旋转一周得一几何体，画出该几何体的直观图和三视图．[分析]该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．[解析]直观图如图a所示，三视图如图b所示．一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍 D ．2倍[答案] D[解析] 由已知得l ＝2r ，S 侧S 底＝πrl πr 2＝lr ＝2，故选D.2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，则长方体的侧面积等于( )A ．27B ．4 3C ．6D ．3[答案] C[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则c ＝1，ab ＝2，a 2＋b 2·c ＝5， ∴a ＝2，b ＝1，故S 侧＝2(ac ＋bc )＝6.3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A.1＋2π2πB.1＋4π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π[答案] A[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1＋2π)又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧＝1＋2π2π.[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．4．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A ．6a 2B ．12a 2C ．18a 2D ．24a 2[答案] B[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×23a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为( )A ．81πB ．100πC ．14πD ．169π[答案] B[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r ，则下底半径为4r ，高为4r .因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r )2＋(4r －r )2.解得r ＝2.所以S 圆台侧＝π(r ＋4r )·10＝100π，故选B.6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )A.3π2 B ．2π C ．πD ．4π[答案] A[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为12，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2π×12×1＝3π2.7．(2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π[答案] B[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为( )A ．48＋12 2B ．48＋24 2C ．36＋12 2D ．36＋24 2[答案] A[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面积为18；垂直于底面的面为等腰三角形，面积为12×62×4＝122；其余两个面为全等的三角形，每个三角形的面积都为12×6×5＝15.所以全面积为48＋12 2.二、填空题9．已知圆柱OO ′的母线l ＝4 cm ，全面积为42π cm 2，则圆柱OO ′的底面半径r ＝ ________cm.[答案] 3[解析] 圆柱OO ′的侧面积为2πrl ＝8πr (cm 2)，两底面积为2×πr 2＝2πr 2(cm 2)，∴2πr 2＋8πr ＝42π， 解得r ＝3或r ＝－7(舍去)，∴圆柱的底面半径为3 cm.10．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为________．[答案] 24＋2 3[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面积为2×(12×2×3)＋3×(4×2)＝24＋2 3.11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积等于________．[答案] (410＋28)π[解析] 挖去的圆锥的母线长为62＋22＝210，则圆锥的侧面积等于410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为410π＋24π＋4π＝(410＋28)π.12．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a >0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．[答案] 0<a <153[解析] 底面积为6a 2，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱时，有三种情况：S 1＝2×6a 2＋2(10＋8＋6)＝12a 2＋48， S 2＝24a 2＋2(10＋8)＝24a 2＋36， S 3＝24a 2＋2(10＋6)＝24a 2＋32. 拼成四棱柱时只有一种情况：表面积为(8＋6)×2＋4×6a 2＝24a 2＋28.由题意得24a 2＋28<12a 2＋48，解得0<a <153. 三、解答题13．已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S －ABCD ，如图所示，求它的表面积．[分析] 求各侧面的面积→ 求侧面积→求底面积→求表面积[解析] ∵四棱锥S －ABCD 的各棱长均为5， 各侧面都是全等的正三角形， 设E 为AB 的中点， 则SE ⊥AB ，∴S 侧＝4S △SAB ＝4×12×5×532＝253， S 底＝52＝25，∴S 表面积＝S 侧＋S 底＝253＋25＝25(3＋1)． 14．正四棱台两底面边长分别为a 和b (a <b )．(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．[解析] (1)如图，设O 1、O 分别为上、下底面的中心，过C 1作C 1E ⊥AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，连接C 1F ，则C 1F 为正四棱台的斜高．由题意知∠C 1CO ＝45°，CE ＝CO －EO ＝CO －C 1O 1＝22(b －a )， 在Rt △C 1CE 中，C 1E ＝CE ＝22(b －a )， 又EF ＝CE ·sin45°＝12(b －a )， ∴C 1F ＝C 1E 2＋EF 2 ＝[22(b －a )]2＋[12(b －a )]2＝32(b －a )．∴S 侧＝12(4a ＋4b )×32(b －a )＝3(b 2－a 2)． (2)由S 侧＝a 2＋b 2，∴12(4a ＋4b )·h 斜＝a 2＋b 2， ∴h 斜＝a 2＋b 22(a ＋b ).又EF ＝b －a 2，∴h ＝h 2斜－EF 2＝aba ＋b.15．(2012－2013·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．[解析] 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，∴r ＝1S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. ∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)[解析] 几何体的直观图如图．这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4×22×4＝48＋16 2 cm 2.一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( ) A ．6 3 B ．3 6 C ．11 D ．12[答案] A[解析] 设长方体长、宽、高分别为a 、b 、c ，则ab ＝2，ac ＝6，bc ＝9，相乘得(abc )2＝108，∴V ＝abc ＝6 3.2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体积为( )A ．32 3B ．28 3C ．24 3D ．20 3 [答案] B[解析] 上底面积S 1＝6×34×22＝63， 下底面积S 2＝6×34×42＝243， 体积V ＝13(S 1＋S 2＋S 1S 2)·h＝13(63＋243＋63·243)×2＝28 3.3．(2012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为1，则这个几何体的体积为( )。
最新人教版高中数学必修2课时同步测题(全册 共236页 附解析)
最新人教版高中数学必修2课时同步测题（全册共236页附解析）目录1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图1.2.3 空间几何体的直观图1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积章末复习课第一单元评估验收卷(一)第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质章末复习课第二单元评估验收卷(二)第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中棱柱有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：由棱柱的定义及几何特征，①③为棱柱．答案：D2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．一定不是棱柱、棱锥解析：根据棱柱、棱锥、棱台的特征，一定不是棱柱、棱锥．答案：D3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：A、B、C、中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4．由5个面围成的多面体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，则该多面体是()A．三棱柱B．三棱台C．三棱锥D．四棱锥解析：根据棱台的定义可判断知道多面体为三棱台．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开在图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又相同的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．解析：折叠后，各面均为三角形，且点B、C、D重合为一点，因此该多面体为三棱锥(四面体)．答案：三棱锥(四面体)7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：由题设，该棱柱为五棱柱，共5条侧棱．所以每条侧棱的长为605＝12(cm)．答案：128．①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台．其中正确说法的个数为________．解析：①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台．答案：29．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形．解：图①是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥．图②是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱．其图形如图所示．B级能力提升1.如图所示，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定解析：如图所示，倾斜小角度后，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)因此呈棱柱形状．答案：A2．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C的平面与标有A、B、D、E的面相邻，则与D面相对的面为E面，或B面，若B面与D面相对，则A面与B面相对，这时图②不可能，故只能与D面相对的面上字母为B.答案：B3.如图所示，M是棱长为2 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到点M的最短路程．解：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征A级基础巩固一、选择题1．下列几何体中是旋转体的是()①圆柱②六棱锥③正方体④球体⑤四面体A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体．答案：D2．如图所示的简单组合体的结构特征是()A．由两个四棱锥组合成的B．由一个三棱锥和一个四棱锥组合成的C．由一个四棱锥和一个四棱柱组合成的D．由一个四棱锥和一个四棱台组合成的解析：这个8面体是由两个四棱锥组合而成．答案：A3．下图是由哪个平面图形旋转得到的()解析：图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°得到．答案：A4．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为()解析：截面图形应为图C所示的圆环面．答案：C5．用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.2π或4πD.π2或π4解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝4π；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝2π.所以选C.答案：C二、填空题6．等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________．解析：结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥．答案：圆锥7．给出下列说法：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是____________(填序号)．解析：由旋转体的形成与几何特征可知①③错误，②④正确．答案：②④8．如图是一个几何体的表面展成的平面图形，则这个几何体是__________．答案：圆柱三、解答题9．如图所示的物体是运动器材——空竹，你能描述它的几何特征吗？解：此几何体是由两个大圆柱、两个小圆柱和两个小圆台组合而成的．10．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的半径分别2 cm和5 cm，圆台的母线长是12 cm，求圆锥SO的母线长．解：如图，过圆台的轴作截面，截面为等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm.设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12 l＝25，所以l＝20 cm.故截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.B级能力提升1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所有形成的几何为一个球体挖出一个圆柱．答案：B2．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为__________cm2.解析：如图所示，过球心O作轴截面，设截面圆的圆心为O1，其半径为r.由球的性质，OO1⊥CD.在Rt△OO1C中，R＝OC＝5，OO1＝4，则O1C＝3，所以截面圆的面积S＝π·r2＝π·O1C2＝9π.答案：9π3．如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在A点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，即为蚂蚁爬行的最短距离．因为AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π.所以AB′＝A′B′2＋AA′2＝4＋（2π）2＝21＋π2，所以蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2.第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图A级基础巩固一、选择题1．以下关于投影的叙述不正确的是()A．手影就是一种投影B．中心投影的投影线相交于点光源C．斜投影的投影线不平行D．正投影的投影线和投影面垂直解析：平行投影的投影线互相平行，分为正投影和斜投影两种，故C错．2．如图所示，水平放置的圆柱形物体的三视图是()答案：A3．如图，在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，△ABC绕边AB 所在直线旋转一周形成的几何体的正视图为()解析：由题意，该几何体是两个同底的圆锥组成的简单组合体，且上部分圆锥比底部圆锥高，所以正视图应为选项B.答案：B4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱解析：球的三视图都是圆；三棱锥的三视图都是全等的三角形；正方体的三视图都是正方形；圆柱的底面放置在水平面上，则其俯视图是圆，正视图是矩形，故几何体不可能是圆柱．5.一个四棱锥S-ABCD，底面是正方形，各侧棱长相等，如图所示，其正视图是一等腰三角形，其腰长与图中等长的线段是()A．AB B．SBC．BC D．SE解析：正视图的投影面应是过点E与底面ABCD垂直的平面，所以侧棱SB在投影面上的投影为线段SE.答案：D二、填空题6．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________(填序号)．①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥解析：在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．所以满足仅有两个视图相同的是②④.答案：②④7．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中满足条件的序号是________．答案：②③8．下图中的三视图表示的几何体是________．解析：根据三视图的生成可知，该几何体为三棱柱．答案：三棱柱三、解答题9．根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画出物体的实物草图．解：由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；由正视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直．所以该几何体如图所示．10．画出图中3个图形的指定视图．解：如图所示．B级能力提升1．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的实物图是()答案：A2．已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示，它的侧棱VA＝2，底面的边AC＝3，则由该三棱锥得到的侧视图的面积为________．解析：正三棱锥V-ABC的侧视图不是一个等腰三角形，而是一个以一条侧棱、该侧棱所对面的斜高和底面正三角形的一条高构成的三角形，如侧视图所示(其中VF是斜高)，由所给数据知原几何体的高为3，且CF＝3 2.故侧视图的面积为S＝12×32×3＝334.答案：33 43．如图所示的是某两个几何体的三视图，试判断这两个几何体的形状．解：①由俯视图知该几何体为多面体，结合正视图和侧视图知，几何体应为正六棱锥．②由几何体的三视图知该几何体的底面是圆，相交的一部分是一个与底面同圆心的圆，正视图和侧视图是由两个全等的等腰梯形组成的．故该几何体是两个圆台的组合体．第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC的直观图如图所示，则△ABC的面积为________．解析：△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝6，所以S＝12×3×6＝9.答案：98．如图所示，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_______．解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x轴、y轴，使∠xOy＝90°(O与A′重合)；(2)在x轴上取C′，使A′C′＝AC，在y轴上取B′，使A′B′＝2AB；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O′B＝1，所以O′A′＝2，所以在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2 2.所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x与O′y′画出底面正六边形A′B′C′D′E′F′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.第一章空间几何体1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积A级基础巩固一、选择题1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的( )A ．4倍B ．3倍 C.2倍D ．2倍解析：设轴截面正三角形的边长为2a ，所以S 底＝πa 2，S 侧＝πa ·2a ＝2πa 2，因此S 侧＝2S 底． 答案：D2.如图所示，ABC A ′B ′C ′是体积为1的棱柱，则四棱锥C -AA ′B ′B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34解析：因为V C A ′B ′C ′＝13V 柱＝13，所以V C AA ′B ′B ＝1－13＝23.答案：C3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为( )A ．3πB ．33πC ．6πD ．9π解析：由于圆锥的轴截面是等边三角形，所以2r ＝l ， 又S 轴＝12×l 2×sin 60°＝34l 2＝3，所以l ＝2，r ＝1.所以S圆锥表＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.故选A.答案：A4.(2015·课标全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放米约有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解析：由l＝14×2πr＝8得圆锥底面的半径r＝16π≈163，所以米堆的体积V＝14×13πr2h＝14×2569×5＝3209(立方尺)，所以堆放的米有3209÷1.62≈22(斛)．答案：B5.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的一三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶ 2 B．1∶ 3C．2∶ 2 D．3∶ 6解析：棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的边长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S 锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S 正＝6. 因此S 锥∶S 正＝23∶6＝1∶ 3. 答案：B 二、填空题6．若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积为________．解析：由正视图可知，该圆台的上、下底面圆的半径分别为1，2，其高为2，所以其母线长l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－222＋22＝5， 所以S 侧＝π(1＋2)×5＝35π. 答案：35π7．下图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是________．解析：由图可知几何体是一个圆柱内挖去一个圆锥所得的几何体，V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×22×3－13π×22×3＝8π.答案：8π8．(2015·福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于________．解析：由三视图知，该几何体是直四棱柱，底面是直角梯形，且底面梯形的周长为4＋ 2.则S侧＝8＋22，S底＝2×（1＋2）2×1＝3.故S表＝S侧＋S底＝11＋2 2.答案：11＋22三、解答题9．已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积．解：设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，由2πR＝2π，得R＝1，所以V圆柱＝πR2h＝4π2.当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，由2πR＝4π，得R＝2，所以V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.所以圆柱的体积为4π2或8π2.10．一个正三棱柱的三视图如图所示(单位：cm)，求这个正三棱柱的表面积与体积．解：由三视图知直观图如图所示，则高AA′＝2 cm，底面高B′D′＝23cm ，所以底面边长A ′B ′＝23×23＝4(cm)．一个底面的面积为12×23×4＝43(cm 2)．所以表面积S ＝2×43＋4×2×3＝24＋83(cm 2)， V ＝43×2＝83(cm 3)．所以表面积为(24＋83)cm 2，体积为83(cm 3)．B 级 能力提升1.某几何体的三视图如图所示，俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是( )A.203π B.103π C ．6πD.163π 解析：该几何体的上方是以2为底面圆的半径，高为2的圆锥的一半，下方是以2为底面圆的半径，高为1的圆柱的一半，其体积为V ＝π×22×12＋12×13π×22×2＝2π＋43π＝103π.答案：B2．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为__________．解析：底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱的总体积为13π×52×4＋π×22×8＝196π3.设新的圆锥和圆柱的底面半径为r ，则13π·r 2×4＋π·r 2×8＝28π3r 2＝196π3，解得r ＝7.答案：73．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，求该几何体的体积．解：由三视图知，该几何体是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体． V 四棱柱＝23＝8，V 四棱锥＝13×22×2＝83.故几何体的体积V ＝V 四棱柱＋V 四棱锥＝8＋83 ＝323(cm 3)．第一章 空间几何体 1.3 空间几体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积A 级 基础巩固一、选择题1．若一个球的体积扩大到原来的27倍，则它的表面积扩大到原来的( )A ．3倍B ．3 3 倍C ．9倍D ．9 3 倍解析：由V ′＝27 V ，得R ′＝3R ，R ′R＝3则球的表面积比S ′∶S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R ′R 2＝9. 答案：C2．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R 解析：设圆柱的高为h ，则πR 2h ＝3×43πR 3，所以h ＝4R . 答案：D3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．9π＋42B ．36π＋18 C.92π＋12 D.92π＋18解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫323＋3×3×2＝92π＋18.答案：D4．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2解析：设该球的半径为R，所以(2R)2＝(2a)2＋a2＋a2＝6a2，即4R2＝6a2.所以球的表面积为S＝4πR2＝6πa2.答案：B5．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A．4π＋24 B．4π＋32C．22πD．12π解析：由三视图可知，该几何体上部分为半径为1的球，下部分为底边长为2，高为3的正四棱柱，几何体的表面积为4π＋32.答案：B二、填空题6．将一钢球放入底面半径为3 cm 的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm ，则钢球的半径是________．解析：圆柱形玻璃容器中水面升高4cm ，则钢球的体积为V ＝π×32×4＝36π，即有43πR 3＝36π，所以R ＝3.答案：3 cm7．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则：⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π2πR ＋2πr ＝12π即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12R ＋r ＝6.，所以R －r ＝2. 答案：28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是半径为1的球，下方是长方体，其底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，故其体积V ＝43×π×13＋2×2×4＝16＋4π3. 答案：16＋4π3三、解答题9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 因为圆柱的体积V 圆柱＝πr 2l ＝π×12×3＝3π，又两个半球的体积2V 半球＝43πr 3＝43π， 因此组合体的体积V ＝3π＋43π＝133π. 10．如图，一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm ，瓶里所装的水深为8 cm ，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm ，求钢球的半径．解：设球的半径为R ，由题意可得43πR 3＝π×32×0.5， 解得：R ＝1.5 (cm)，所以所求球的半径为1.5 cm.B 级 能力提升1．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C ．82π D.32π3解析：截面面积为π，则该小圆的半径为1，设球的半径为R ，则R 2＝12＋12＝2，所以R ＝2，V ＝43πR 3＝82π3.答案：B2．边长为42的正方形ABCD 的四个顶点在半径为5的球O 的表面上，则四棱锥O -ABCD 的体积是________．解析：因为正方形ABCD 外接圆的半径r ＝（42）2＋（42）22＝4.又因为球的半径为5， 所以球心O 到平面ABCD 的距离d ＝R 2－r 2＝3，所以V O ABCD ＝13×(42)3×3＝32. 答案：323．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S 1，S 2，S 3，试比较它们的大小．解：设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，等边圆柱的底面半径为r ，则S 1＝6a 2，S 2＝4πR 2，S 3＝6πr 2.由题意知，43πR 3＝a 3＝πr 2·2r ， 所以R ＝334πa ，r ＝312πa ， 所以S 2＝4π⎝⎛⎭⎪⎪⎫334πa 2＝4π·3916π2a 2＝336πa 2， S 3＝6π⎝⎛⎭⎪⎪⎫312πa 2＝6π·314π2a 2＝354πa 2， 所以S 2＜S 3.又6a 2＞3312πa 2＝354πa 2，即S 1＞S 3. 所以S 1，S 2，S 3的大小关系是S 2＜S 3＜S 1.章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视虚线的画法．4．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．5．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．6．易混侧面积与表面积的概念.专题1空间几何体的三视图与直观图三视图是立体几何中的基本内容，能根据三视图识别其所表示的立体模型，并能根据三视图与直观图所提供的数据解决问题．主要考查形式：(1)由三视图中的部分视图确定其他视图；(2)由三视图还原几何体；(3)三视图中的相关量的计算．其中(3)是本章的难点，也是重点之一，解这类题的关键是准确地将三视图中的数据转化为几何体中的数据．[例1](1)若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为()A．2，23B．22，2C．4，2D．2，4(2)(2016·全国Ⅲ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36 5 B．54＋18 5 C．90 D．81解析：(1)由三视图的画法规则知，正视图与俯视图长度一致，正视图与侧视图高度一致，俯视图与侧视图宽度一致．所以侧视图中2为正三棱柱的高，23为底面等边三角形的高，所以底面等边三角形边长为4.(2)由三视图可知，该几何体的底面是边长为3的正方形，高为6，侧棱长为35，则该几何体的表面积S＝2×32＋2×3×35＋2×3×6＝54＋18 5.故选B.答案：(1)D(2)B。
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2 向量的减法运算 向量的加法运算 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册6.2.1-6.2.2向量的减法运算向量的加法运算同步精练【考点梳理】考点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则考点二向量加法的运算律交换律a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )技巧：向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系区别联系三角形法则(1)首尾相接(2)适用于任何向量求和三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半考点三：相反向量1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0.(3)若a ，b 互为相反向量，则a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0.考点四：向量的减法向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.【题型归纳】题型一：向量加法法则1．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b，c不共线，作向量a+b+c．2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a，b不共线，求作向量a b ．3．（2021·全国·高一课时练习）如图，O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：（1）OA OC +；（2）BC FE +（3）OA FE +．题型二：向量加法的运算律4．（2021·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期中）向量AB CB BD BE DC ++++化简后等于（）A ．A EB ．ACC ．ADD ．AB5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA BC AB DO +++等于（）A ．CDB ．DC C ．DAD ．DO6．（2021·广东·茂名市华英学校高一阶段练习）向量()()AB PB BO BM OP ++++化简后等于（）A ．BCB ．ABC ．ACD ．AM题型三：向量加法法则的几何应用7．（2021·全国·高一课时练习）如图，D ，E ，F 分别为ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0++=BD CF DFC ．0++=AD CE CF D ．0++=BD BE FC 8．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，BA CD FB ++等于（）A ．0B ．BEC ．AD D ．CF9．（2021·江西省修水县英才高级中学高一阶段练习）如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，设AB a =，AD b =，则向量BE =（）.A ．12a b-B ．12a b-+C ．12a b-D ．12a b-+题型四：相反向量10．（2021·辽宁·建平县实验中学高一期末）如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若AD BC =，则下面互为相反向量的是（）A ．AC 与CBB ．OB 与ODuuu rC ．AB 与DCD ．AO 与OC11．（2021·山西临汾·高一阶段练习）在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，下列式子正确的是（）A ．2a b EF+=B ．2a b EF-=C ．a b EF+=D ．a b EF-=12．（2021·全国·高一单元测试）若b 是a 的负向量，则下列说法中错误的是（）A ．a 与b 的长度必相等B ．//a bC ．a 与b 一定不相等D ．a 是b 的负向量题型五：向量减法法则13．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知向量a ，b ，c ，求作向量a b c --．14．（2021·全国·高一课时练习）如图，点O 是ABCD 的两条对角线的交点，AB a =，DA b =，OC c =，求证：b c a OA +-=．15．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，OF f =，试用a ，b ，c ，d ，f r表示以下向量：（1）AC ；（2）AD ；（3）AD AB -；（4）AB CF +；（5）BF BD -．题型六：向量减法的运算律16．（2021·全国·高一课时练习）下列运算正确的个数是（）①()326a a -⋅=-；②()()223a b b a a +--=；③()()220a b b a +-+=．A ．0B ．1C ．2D ．317．（2021·北京市第一六六中学高一期中）在ABC 中，13BD BC =，若AB a =，AC b =,则AD =（）A ．1233a b-B ．1233a b+C ．2133a b+D ．2133a b-18．（2021·浙江·金乡卫城中学高一阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 的中点，N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（）A ．1132a b+B ．2132a b+C ．1132a b-D ．2132a b-题型七：向量减法法则的几何应用19．（2021·全国·高一课时练习）已知非零向量a 与b 方向相反，则下列等式中成立的是（）A ．a b a b -=-B ．a b a b +=-C ．a b a b+=-D ．a b a b+=+20．（2021·全国·高一单元测试）已知正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c +-等于（）A ．0B ．1C ．2D ．221．（2021·全国·高一课时练习）如图，向量AB a →=，AC b →=，CD c →=，则向量BD →可以表示为（）A ．a b c --B ．b a c +-C ．a b c-+D ．b a c-+【双基达标】一：单选题22．（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++uu u r uuu r uu u r uuu r；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++．其中结果为0的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2021·全国·高一课时练习）已知a 、b 是不平行的向量，若2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则下列关系中正确的是（）A ．AD CB =B ．AD BC =C ．2AD BC=D ．2AD BC=-24．（2021·全国·高一课时练习）若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A ．//a br r B ．a b≠C ．a b≠r r D ．b a=-25．（2021·全国·高一课时练习）已知点O 是ABCD 的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A ．AB CB AC +=B ．AB AD AC+=C ．AD CD BD+≠D ．0AO CO OB OD +++≠26．（2021·全国·高一课时练习）下列四式不能化简为PQ 的是（）A ．()AB PA BQ ++B ．()()AB PC BA QC ++-C ．QC CQ QP +-D ．PA AB BQ+-27．（2021·全国·高一课时练习）已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中,,OA a OB b OC c ===，则EF =（）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．b c-r r28．（2021·全国·高一课前预习）下列等式中，正确的个数为（）①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-；⑥()0a a --=．A ．3B ．4C ．5D ．629．（2021·重庆实验外国语学校高一阶段练习）如右图，D ，E ，P 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（）A ．0AD BE CF ++=B ．0BD CF DF -+=uu u r uu u r uuu r rC ．0AD CE CF +-=uuu r uur uu u r r D ．0BD BE FC --=30．（2021·山东济南·高一期末）在ABC 中，若点D 满足3BC DC =，则（）A ．1233AD AB AC =+B ．2133AD AB AC =-C ．1344AD AB AC =+D ．3144AD AB AC =-31．（2021·山东滨州·高一期末）在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（）A ．1536AC AB-+B ．1536AC AB-C ．1136AC AB-+D ．1136AC AB-【高分突破】一：单选题32．（2021·全国·高一课时练习）设()()a AB CD BC DA =+++，b 是任一非零向量，则在下列结论中:①//a b r r；②a b a +=；③a b b +=；④a b a b +<+；⑤a b a b +=+.正确结论的序号是（）A ．①⑤B ．②④⑤C ．③⑤D ．①③⑤33．（2021·山东枣庄·高一期中）已知点G 是三角形ABC 所在平面内一点，满足0GA GB GC ++=，则G 点是三角形ABC 的（）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心34．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中正确的是（）A ．如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a b +的方向必与a ，b 之一的方向相同B ．在ABC 中，必有0AB BC CA ++=C ．若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点D ．若a ，b 均为非零向量，则||a b +与||||a b +一定相等35．（2021·福建·莆田第二十五中学高一期中）如图，已知OA a =，OB b =，OC c =，2AB BC =，则下列等式中成立的是（）A ．2c a b =-B ．2=-c b aC ．3122c b a =-D ．3122c a b =-36．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期中）在平行四边形ABCD 中，14AE AC =，设AB a =，BC b =，则向量DE =uuu r （）A ．1344a b-B ．3144a b-C ．2133a b-D ．1233a b-37．（2021·湖南·高一阶段练习）在ABC 中，点E ，F 在边AB 上，且E ，F 为AB 边上的三等分点（其中E 为靠近点A 的三等分点），且CE mCB nCA =+，则（）A ．23m =，13n =-B ．13m =，23n =C ．23m =，13n =D ．13m =，23n =-38．（2021·全国·高一课时练习）（多选）下列结论中错误的是（）A ．两个向量的和仍是一个向量B ．向量a 与b 的和是以a 的始点为始点，以b 的终点为终点的向量C ．0a a+=D ．向量a 与b 都是单位向量，则||2a b +=r r 39．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）下列各式结果为零向量的有（）A ．AB CA BC→→→++B ．AB AC BD CD+++C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-40．（2021·广东·南方科技大学附属中学高一期中）已知点D ，E ，F 分别是ABC 的边,,AB BC AC 的中点，则下列等式中正确的是（）A ．FD DA FA +=B ．0FD DE EF ++=C ．DE DA EC+=D ．DA DE FD+=41．（2021·江苏·南京二十七中高一期中）已知OD OE OM +=，则下列结论正确的是（）A ．OD EO OM +=B ．OM DO OE +=C ．OM OE OD-=D ．DO EO MO+=42．（2021·广东·洛城中学高一阶段练习）化简以下各式，结果为0的有（）A ．AB BC CA ++B ．AB AC BD CD -+-C ．OA OD AD-+D ．NQ QP MN MP++-43．（2021·福建·永安市第三中学高中校高一阶段练习）下列命题中,正确的命题为（）A ．对于向量,a b ，若||||a b =，则a b =或=-a bB ．若e 为单位向量，且a //e ，则||a a e =±C ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线D ．四边形ABCD 中，AB CD AD CB+=+uu u r uu u r uuu r uu r 二：填空题44．（2021·全国·高一课时练习）已知平面内三个不同的点A 、B 、C ，则“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的___________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”）45．（2021·全国·高一课时练习）已知下列各式：①AB BC CA ++；②()AB MB BO OM +++；③OA OC BO CO +++；④AB CA BD DC +++.其中结果为0的是____.(填序号)46．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，D 是BC 的中点．若AB c =，AC b =，BD a =，d AD =，则下列结论中成立的是________．（填序号）①d a b -=；（2）d a b -=-；③d a c -=；④d a c -=-．47．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF 中，与OA OC CD -+相等的向量有__.①CF ；②AD ；③BE ；④DE FE CD -+；⑤CE BC +；⑥CA CD -；⑦AB AE +.三：解答题48．（2021·全国·高一课时练习）化简．（1）AB CD BC DA +++．（2）()()AB MB BO BC OM ++++．49．（2021·上海·高一课时练习）向量,,,,a b c d e r r r u r r 如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,a d e 表示DB ；（2）用,b c 表示DB ；（3）用,,a b e 表示EC ；（4）用,d c 表示EC .50．（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）AB BC CA ++；（2） ()AB MB BO OM +++；（3）OA OC BO CO +++；（4）AB AC BD CD -+-；（5）OA OD AD -+；（6）AB AD DC --；（7）NQ QP MN MP ++-.51．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为边的平行四边形，又13BM BC =，13CN CD =，试用a 、b 表示OM 、ON 、MN .【答案详解】【详解】由向量加法的三角形法则，a +b +c 如图，2．作图见解析，BA a b=-【分析】利用向量的加法法则求解.【详解】如图，在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =．因为OB BA OA +=，即b BA a +=，所以BA a b =-．3．（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析【分析】利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则进行求解﹒（1）因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以OA OC OB +=uu r uuu r uu u r ．（2）因为BC 与FE 方向相同且长度相等，所以BC 与FE 是相同的向量，从而BC FE +与BC 方向相同，长度为BC 长度的2倍，因此，BC FE +可用AD 表示，即BC FE AD +=．（3）因为OA 与FE 是一对相反向量，所以0OA FE +=．4．A【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】由AB CB BD BE DC AC CB BE AE →→++++=++=,故选：A5．B【分析】利用向量加法的三角形法则以及向量加法的交换律即可求解.【详解】OA BC AB DO DO OA AB BC DC =++++=++.故选：B6．D【分析】根据向量的加法运算即可得到结果.【详解】()()()()AB PB BO BM OP AB BM PB BO OP AM++++=++++=故选：D7．A【分析】根据平面向量的线性运算法则计算可得；【详解】解：D Q ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，∴12AD AB =，12BE BC =，12CF CA =，则1111()02222AD BE CF CA AB CA CA AB CA ++=++=++=，故A 正确；()1111122222BD CF DF BA CA BA CA BA BC BC ++=++=++=，故B 错误；()1111122222AD CE CF AB CB CA CA AB CB CB ++=++=++=，故C 错误；()1111122222BD BE FC BA BC AC BA AC BC BC ++=++=++=，故D 错误；故选：A ．8．A【分析】根据相等向量和向量加法运算直接计算即可.【详解】CD AF =，∴0BA CD FB BA AF FB ++==++.故选：A.9．B【分析】根据平行四边形的性质，利用向量加法的几何意义有BE BC CE =+，即可得到BE 与a 、b 的线性关系.【详解】由题设，AB DC a ==，则12EC a =，又AD BC b ==uuu r uu u r r ，∴12BE BC CE b a =+=-.故选：B10．B【分析】首先根据题意得到四边形ABCD 是平行四边形，从而得到OB 与OD uuu r 为相反向量.【详解】因为AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以AC ，BD 互相平分，所以OB OD =-，即OB 与OD uuu r 为相反向量.故选：B11．B【分析】根据题意，由向量的加法可得：EF EA AB BF =++和 EF ED DC CF =++，两个式子相加，化简即可得到答案.【详解】在任意四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，设,AB a CD b ==，则EF EA AB BF =++,同时有 EF ED DC CF =++，则有2 EF EA ED AB DC BF CF =+++++,因为E 、F 分别为AD,BC 的中点，则0, 0EA ED BF CF +=+=则有2a b EF -=.故选:B.12．C【分析】根据向量的定义判断．【详解】b 是a 的负向量，即b a =-，因此它们的长度相等，方向相反，即共线（平行），a 也是b 的负向量，但a 与b 一般不相等（只有它们为零向量时相等）．错误的C ．故选：C ．13．见解析【分析】利用向量减法的三角形法则即可求解.【详解】由向量减法的三角形法则，令,a OA b OB →→→==,则a b OA OB BA →→→→→-=-=,令c BC →→=,所以a b c BA BC CA →→→--=-=.如下图中CA →即为a b c --.14．证明见解析【分析】利用向量的加法法则和向量相等求解.【详解】证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA CB =．因为b c DA OC OC CB OB +=+=+=，OA a OA AB OB +=+=，所以b c OA a +=+，即b c a OA +-=．15．（1）c a→→-（2）d a→→-（3）d b→→-（4）b a f c→→→→-+-（5）f d→→-【分析】由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.（1）AC OC OA c a →→→→=-=-.（2）AD OD OA d a →→→→=-=-.（3）AD AB BD OD OB d b →→→→→-==-=-.（4）AB CF OB OA OF OC b a f c →→→→→→→→+=-+-=-+-.（5）BF BD DF OF OD f d →→→→→-==-=-.16．C【分析】利用平面向量的加法，减法，数乘运算及其运算律判断.【详解】①()326a a -⋅=-，由数乘运算知正确；②()()223a b b a a +--=，由向量的运算律知正确；③()()220a b b a +-+=，向量的加法，减法和数乘运算结果是向量，故错误.故选：C17．C【分析】根据平面向量的线性运算法则，用AB ，AC ,表示出AD 即可.【详解】()112121333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+.故选：C18．B【分析】根据题意作出图形，将AM 用a 、b 的表达式加以表示，再利用平面向量的减法法则可得出结果.【详解】解：由题意作出图形：在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，则12AM AB BM a b =+=+又N 为线段AB 上靠近A 的三等分点，则1133AN AB a ==11212332NM AM AN a b a a b ∴=-=+-=+故选：B19．C【分析】根据方向相反的两个向量的和或差的运算逐一判断.【详解】A.a b -可能等于零，大于零，小于零，0a b a b -=+>，A 不成立B.a b a b +=-r r r r ，a b a b -=+，B 不成立C.a b a b -=+，C 成立D.a b a b a b +=-≠+，D 不成立.故选：C.20．A【分析】根据向量的线性运算即可求出．【详解】因为AB a =，BC b =，AC c =，所以0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=．故选：A ．21．D【分析】根据平面向量的加减法法则结合图形即可得到答案.【详解】如图，BD BC CD AC AB CD b a c →→→→→→→→→=+=-+=-+.故选：D.22．B【分析】根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.【详解】对于①：0AB BC CA AC CA ++=+=，对于②：()AB MB BO OM AB BO OM MB AM MB AB +++=+++=+=uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r，对于③：()()0OA OC BO CO BO OA CO OC BA BA +++=+++=+=，对于④：()()0AB CA BD DC AB BD DC CA AD DA +++=+++=+=，所以结果为0的个数是2，故选：B23．C【分析】结合向量的加法法则运算即可.【详解】AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝8a -2b -＝()24a b --＝2BC ．故选：C24．C【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．【详解】解：由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选D 项正确；由相反向量的定义知||||a b =，故C 项错误；故选：C ．25．B【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】对于A ：AB CB AB DA DB +=+=，故A 错误；对于B ：AB AD AC +=，故B 正确；对于C ：A B AD CD D B A D +=+=，故C 错误；对于D ：0AO CO OB OD +++=，故D 错误；故选：B26．D【分析】由向量加减法法则计算各选项，即可得结论．【详解】A 项中，()()AB PA BQ AB BQ AP AQ AP PQ ++=+-=-=；B 项中，()()()()AB PC BA QC AB AB PC CQ PQ ++-=-++=；C 项中，QC CQ QP QP PQ +-=-=；D 项中，PA AB BQ PB BQ PQ +-=-≠.故选：D.27．D【分析】由图形可得EF CB OB OC ==-，从而可得正确的选项.【详解】EF CB OB OC b c -=-==，故选：D.28．C【分析】利用向量加减法的运算性质，转化各项表达式即可知正误.【详解】由向量加减法的运算性质知：①0a a -=-；②()a a --=；③()0a a +-=；④0a a +=；⑤()a b a b -=+-，正确；⑥()2a a a a a --=+=，错误.故选：C29．A【分析】根据向量加法和减法的运算法则结合图像逐一运算即可得出答案.【详解】解：0AD BE CF DB BE ED DE ED ++=++=+=，故A 正确；BD CF DF BD FC DF BC -+=++=，故B 错误；AD CE CF AD FE AD DB AB +-=+=+=，故C 错误；2BD BE FC ED FC ED DE ED --=-=-=，故D 错误.故选：A.30．A【分析】利用向量加减法公式，化简已知条件，即可判断结果.【详解】由条件可知()3AC AB AC AD -=-，得1233AD AB AC =+.故选：A31．B【分析】利用向量加法和减法计算即可求解.【详解】()1122BE AE AB AD AB AC CD AB =-=-=+-()11112323AC CB AB AC AB AC AB ⎛⎫⎡⎤=+-=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1211523336AC AB AB AC AB ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，故选：B.32．D【分析】根据向量线性运算可确定a 为零向量，由此可判断得到结果.【详解】()()()()0a AB CD BC DA AB BC CD DA AC CA =+++=+++=+=，又b 是任一非零向量，//a b ∴，a b b +=，a b a b +=+，∴①③⑤正确.故选：D.33．D【分析】由题易得GA GB CG +=，以GA 、GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，进而可得CG GD =，进而可得13GO CO =，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，最后得出答案即可.【详解】因为0GA GB GC ++=，所以GA GB GC CG +=-=，以GA ､GB 为邻边作平行四边形GADB ，连接GD ，交AB 于点O ，如图所示：则CG GD =，所以13GO CO =，点O 是AB 边的中点，所以CG 所在的直线CO 是AB 边上的中线，同理可证AG 所在的直线是BC 边上的中线，BG 所在的直线是AC 边上的中线，所以G 点是三角形ABC 的重心.故选：D .34．B【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A ：当a 与b 为相反向量时，0a b +=，方向任意，故A 错误；对于B ：在ABC 中，0AB BC CA ++=，故B 正确；对于C ：当A 、B 、C 三点共线时，满足0AB BC CA ++=，但不能构成三角形，故C 错误；对于D ：若a ，b 均为非零向量，则a b a b +≤+，当且仅当a 与b 同向时等号成立，故D 错误.故选：B35．C【分析】结合图形，利用向量加，减法，计算向量.【详解】2AB BC =，()2OB OA OC OB ∴-=-，得3122OC OB OA =-，即3122c b a =-r r r .故选：C36．A【分析】利用向量的加、减法法则计算即可.【详解】解：()()1111344444DE AE AD AC BC AB BC BC a b b a b =-=-=+-=+-=-.故选：A.37．B【分析】利用向量的加法、减法线性运算即可求解.【详解】()22123333CE CB BE CB BA CB CA CB CB CA ==+=++-=+，所以13m =，23n =.故选：B38．BD【分析】根据向量的相关概念，对选项逐一判断即可.【详解】两个向量的和差运算结果都是是一个向量，所以A 正确；两个向量的加法遵循三角形法则，只有当,a b 首尾相连时才成立，故B 错误；任何向量与0相加都得其本身，故C 正确；两个单位向量的方向没有确定，当它们方向相同时才成立，故D 错误；故选：BD39．ACD【分析】根据平面向量的线性运算逐个求解即可【详解】对A ，0AB CA BC CA AB BC CB BC ++=++=+=，故A 正确；对B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，故B 错误；对C ，0OA OD AD DA AD -+=+=，故C 正确；对D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，故D 正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题40．ABC【分析】根据向量线性运算确定正确选项.【详解】对于A 选项，FD DA FA +=，正确；对于B 选项，0FD DE EF FE EF ++=+=，正确；对于C 选项，根据向量加法的平行四边形法则可知DE DA DF EC =+=，正确；对于D 选项，DA DE DF FD +=≠，所以D 错误.故选：ABC41．BCD【分析】根据向量的线性运算，逐项变形移项即可得解.【详解】根据复数的线性运算，对A ，化简为OD EO ED +=，错误；对B ，即OM OD OE -=，即OD OE OM +=，正确；对C ，对OM OE OD -=移项可得OD OE OM +=，正确；对D ，由OD OE OM --=-，移项即OD OE OM +=，正确；故选：BCD42．ABCD【分析】根据向量的加减运算法则分别判断.【详解】0AB BC CA ++=，0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+--=-=，0OA OD AD OA AD OD -+=+-=，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=.所以选项全正确.故选：ABCD43．BD【分析】直接利用向量的线性运算，向量的共线，单位向量的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】对于A ：对于向量,a b ，若||||a b =，则a 与b 不存在关系，故A 错误；对于B ：若e 为单位向量，且//a e ，则||a a e =±，故B 正确；对于C ：若a 与b 共线，b 与c 共线，且0b ≠，则a 与c 共线，当=0b ，则a 与c 不一定共线，故C 错误；对于D ：四边形ABCD 中，AB CD AD CB +=+uu u r uu u r uuu r uu r ，整理得AB AD CB CD DB -=-=，故D 正确；故选：BD ．44．充分不必要【分析】利用向量加法的三角形法则结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：若A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，由平面向量加法的三角形法则可得出0AB BC AC ++=，充分性成立；必要性：若A 、B 、C 三点共线，则0AB BC AC ++=成立，此时A 、B 、C 不能构成三角形，必要性不成立.因此，“A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点”是“0AB BC AC ++=”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.45．①④【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0.【详解】①0AB BC CA AC CA ++=+=uu u r uu u r uu r uuu r uu r r ;②()()()0AB MB BO OM AB BO OM MB AO OB AB +++=+++=+=≠;③0OA OC BO CO OA BO BA +++=+=≠;④()()0AB CA BD DC CA AB BD DC CB BC +++=+++=+=.故答案为：①④.46．③【分析】根据平面向量的加减法判断即可.【详解】d a AD BD AB c -=-==，故③成立；故答案为：③47．①④【分析】根据向量加减法运算可化简OA OC CD -+为CF ，根据相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】四边形ACDF 是平行四边形，OA OC CD CA CD CF ∴-+=+=，①正确；AD 与CF 方向不同，②错误；BE 与CF 方向不同，③错误；DE FE CD CE FE CE EF CF -+=-=+=，④正确；CE BC CE CB BE +=-=，⑤错误；CA CD DA -=与CF 方向不同，⑥错误；四边形ABDE 为平行四边形，AB AE AD ∴+=，⑦错误.故答案为：①④.48．（1）0；（2）AC .【分析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）0AB CD BC DA AB BC CD DA +++=+++=；（2）()()AB MB BO BC OM AB BO OM MB BC AC ++++=++++=.49．（1）DB d e a =++uu u r u r r r ；（2）DB b c =--uu u r r r ；（3）EC e a b =++uu u r r r r ；（4）EC c d =--uu u r r u r .【分析】利用向量的加法法则、减法法则运算即可【详解】由图知,,,,AB a BC b CD c DE d EA e =====,（1）DB DE EA AB d e a =++=++；（2）DB CB CD BC CD b c =-=--=--；（3）EC EA AB BC e a b =++=++；（4）()EC CE CD DE c d=-=-+=--50．（1）0.（2）AB （3）BA .（4）0（5）0（6）CB .（7）0解：（1）原式0AC AC =-=.（2）原式AB BO OM MB AB=+++=（3）原式OA OC OB OC BA =+--=.（4）原式0AB BD DC CA =+++=（5）原式0OA AD DO =++=（6）原式()AB AD DC AB AC CB =-+=-=.（7）原式0MN NQ QP PM =+++=【点睛】本题考查了平面向量的加法与减法的运算问题，属于基础题.51．解：13BM BC =，BC CA =，16BM BA ∴=，∴111()()666BM BA OA OB a b ==-=-．∴()115666OM OB BM b a b a b =+=+-=+．13CN CD =，CD OC =，∴2222()3333ON OC CN OD OA OB a b =+==+=+．∴221511336626MN ON OM a b a b a b =-=+--=-．。
新课标人教版高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩固【附答案]
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第一章 立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时 棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。
反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。
人教版高中数学必修第二册8.1 基本立体图形 同步精练(含解析)
人教版高中数学必修第二册8.1基本立体图形同步精练【考点梳理】考点一：多面体、旋转体的定义类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线考点二：棱柱的结构特征1.棱柱的概念名称定义图形及表示相关概念棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF —A ′B ′C ′D ′E ′F ′底面(底)：两个互相平行的面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与底面的公共顶点2.棱柱的分类(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.考点三棱锥的结构特征1.棱锥的概念名称定义图形及表示相关概念棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S —ABCD底面(底)：多边形面侧面：有公共顶点的各个三角形面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：各侧面的公共顶点2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.考点四：棱台的结构特征名称定义图形及表示相关概念分类棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台如图可记作：棱台ABCD —A ′B ′C ′D ′上底面：平行于棱锥底面的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其余各面侧棱：相邻侧面的公共边顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……考点五：圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念：圆柱的轴：旋转轴圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边考点六：圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边考点七：圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边考点八：球的结构特征球图形及表示定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球相关概念：图中的球表示为球O 球心：半圆的圆心半径：连接球心和球面上任意一点的线段直径：连接球面上两点并经过球心的线段考点九：简单组合体的结构特征1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.【题型归纳】题型一：棱柱的结构特征1．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（）A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．棱柱的侧面都是全等的平行四边形2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示的几何体中棱柱的个数为（）A．1B．2C．3D．43．（2021·安徽安庆·高一期末）下列关于棱柱的命题中，真命题的个数是（）①同一棱柱的侧棱平行且相等；②一个棱柱至少有5个面；③当棱柱的底面是正多边形时，该棱柱一定是正棱柱；④当棱柱的底面是等腰梯形时，该棱柱一定是平行六面体.A．1B．2C．3D．4题型二：棱锥的结构特征4．（2021·全国·高一课时练习）以下关于正棱锥的叙述不正确的是（）A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥5．（2021·全国·高一课前预习）下面图形中，为棱锥的是（）A．①③B．①③④C．①②④D．①②6．（2020·河南·南阳市第四中学高一阶段练习）给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（）A．0B．1C．2D．3题型三：棱台的结构特征7．（2021·山西柳林·高一期中）下列关于棱台的说法中错误的是（）A．所有的侧棱所在直线交于一点B．只有两个面互相平行C．上下两个底面全等D．所有的侧面不存在两个面互相平行8．（2021·重庆市江津中学校高一开学考试）下列说法中正确的是（）A．棱台的侧棱延长后必交于一点B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．棱台的底面是两个相似的正方形D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台9．（2019·天津·高一期中）下列命题中正确的是A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱题型四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征10．（2020·全国·高一课时练习）下列命题中不正确的是（）A．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台B．以直角梯形的一腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面C．圆柱、圆锥、圆台的底面相似D．圆台的母线延长后交于一点11．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤12．（2021·全国·高一）下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台题型五：球的结构特征13．（2021·全国·高一课时练习）下列命题正确的是()①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.A．①②③B．②③④C．②③⑤D．①④⑤14．（2020·全国·高一课时练习）下列说法中正确的个数是（）①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球面上任意两点的连线是球的直径；③用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆；④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面；⑤以半圆的直径所在直线为轴旋转形成的曲面叫做球；⑥空间中到定点的距离等于定长的所有的点构成的曲面是球面.A．0B．1C．2D．315．（2019·全国·高一课时练习）给出下列四个命题：①空间中，到一定点距离等于定长的点的集合是球面；②球面上不同的三点不可能在同一直线上；③过球面上不同的两点只能作一个大圆；④球的表面积是球大圆面积的4倍．其中假命题的个数是A．0B．1C．2D．3题型六：简单组合体问题16．（2021·重庆一中高一阶段练习）如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（）A．一个六棱柱中挖去一个棱柱B．一个六棱柱中挖去一个棱锥C．一个六棱柱中挖去一个圆柱D．一个六棱柱中挖去一个圆台17．（2021·江苏徐州·高一期中）将一个等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱C．两个圆柱、一个圆台D．一个圆柱、两个圆锥18．（2018·湖北宜昌·高一期末（文））如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形题型七：基本立体图形的综合性问题19．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）下列说法中正确的是（）A．斜棱柱的侧面中可能有矩形B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥C．直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．棱台各侧棱的延长线不一定交于一点20．（2021·安徽·六安一中高一阶段练习）给出下列命题∶①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台③棱台的侧棱延长后交于一点，且侧面是等腰梯形，其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3 21．（2021·河北大名·高一期中）下列结论错误的是（）A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形B．一个棱锥至少有四个面C．一个棱柱至少有两个面平行D．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台【双基达标】一、单选题22．（2021·河北省盐山中学高一阶段练习）棱台不具备的特点是（）A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点23．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）下列判断正确的是（）A．正三棱锥一定是正四面体B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱台是正四棱台24．（2021·山西·怀仁市大地学校高中部高一阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成25．（2020·安徽六安·高一阶段练习）下列说法正确的是（）A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥26．（2021·河北·博野县实验中学高一期中）两平行平面截半径为13的球，若截面面积分别为25π和144π，则这两个平面间的距离是（）A．7B．17C．5或12D．7或1727．（2021·山西灵丘·高一期中）如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．B．C．D．【高分突破】一：单选题28．（2021·山西高平·高一期中）有以下命题：①以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台②棱台的两个底面一定是相似多边形③连接圆柱的上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线④用平行于底面的平面截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台其中的正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4 29．（2021·山西高平·高一期中）下面四个几何体中，是棱台的是（）A．B．C．D．30．（2021·河北·邯山区新思路学本文化辅导学校高一期中）下列命题中是假命题的是（）A．圆柱的任意两条母线平行B．棱台各侧棱的延长线交于一点C．经过圆锥侧面上一点，有无数条母线D．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱31．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）下列结论正确的是（）A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体32．（2021·安徽宣城·高一期中）下列说法正确的是（）①棱柱的侧棱都相等；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得到旋转体是圆台；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④通过圆台侧面上一点有无数条母线．A．①②B．①③C．②④D．③④33．（2021·福建福州·高一期中）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（）A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥B．棱柱的侧面都是平行四边形C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台D．直平行六面体是长方体34．（2021·广西钦州·高一期末）下列说法正确的有（）①棱台的各条侧棱所在的直线交于同一点；②经过球面上不同的两点只能作一个面积最大的截面圆；③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正四棱柱；④正三棱锥的各个侧面一定是全等的正三角形；A．1个B．2个C．3个D．4个35．（2021·重庆复旦中学高一期中）下面的几何体中棱柱有（）A．4个B．5个C．6个D．7个-中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为30°，E，36．（2021·湖南·高一阶段练习）如图，在正四棱锥O ABCD++的最小值为（）F分别是线段OB，OC上的一点，则AE EF FDA ．4B ．4C ．42D ．2237．（2021·安徽·合肥市第六中学高一期中）给出下列四个命题：①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．其中正确的命题个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题38．（2021·河北·博野县实验中学高一期中）如图，底面半径为1，高为2的圆柱，在点A 处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短路线的长是__________．39．（2021·山西高平·高一期中）在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D 中，E 是棱AB 的中点，过1,,E D C 作正方体的截面，则该截面的面积是___________．40．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③半圆绕直径所在直线旋转后形成的几何体是球．其中正确说法的序号是_____________．41．（2021·吉林·长春外国语学校高一期中）下列说法正确的是_________．（填序号）．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥；②用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台；③三棱锥的任何一个面都可看作底面．42．（2021·浙江·高一期末）已知圆锥的母线长为3cm，圆锥的底面圆半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______cm．【答案详解】1．C【解析】【分析】根据棱柱的特点进行辨析.【详解】有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体，A错；有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体如图所示，B错；棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；由棱柱的定义，C正确.故选：C.2．C【解析】【分析】根据棱柱的三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，判断即可．【详解】解：棱柱有三个特征：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③侧棱互相平行，本题所给几何体中②⑤不符合棱柱的三个特征，而①③④符合，所以几何体中棱柱的个数为3个．故选：C．3．B【解析】【分析】根据棱柱的定义和特征，逐项分析即可求出结果.【详解】根据棱柱的特征，可知同一棱柱的侧棱平行且相等，故①正确；三棱柱有5个面，故②正确；根据正棱柱的定义，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，所以③错误；根据平行六面体的定义可知，每个面都是平行四边形，所以④错误；故选：B.4．D【解析】【分析】利用正棱锥的几何性质可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，正棱锥的高与底面的交点是底面的中心，A 对；对于B 选项，在正四棱锥E ABCD -中，设点E 在底面ABCD 的射影点为点O ，如下图所示：设()20AB a a =>，EO h =，则2AO a =，22222BE AE AO OE h a ==+=+，2222cos 02AE BE AB h AEB AE BE AE BE+-∠==>⋅⋅，则AEB ∠为锐角，易知等腰三角形AEB 中，AE BE =，EAB ∠、EBA ∠均为锐角，即ABE △为锐角三角形，B 对；对于C 选项，因为正棱锥的侧棱长相等，故正棱锥的各侧面都是等腰三角形，C 对；对于D 选项，在三棱锥P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，5PA PB ==，3PC =，则三棱锥P ABC -的底面是等边三角形，且每个侧面均为等腰三角形，但该三棱锥不是正棱锥，D 错.故选：D.5．C【解析】【分析】利用棱锥的定义对所给4个图形逐一分析判断作答.【详解】一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然①②④满足棱锥定义，③不满足棱锥定义，所以①②④是棱锥，③不是棱锥.故选：C6．A【解析】【分析】利用底面为菱形的直四棱柱可判断①的正误；利用底面为等腰梯形的直四棱柱可判断②的正误；利用正六棱锥的几何特征可判断③的正误；取长、宽、高都不相等的长方体可判断④的正误.【详解】对于①，底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱满足条件，但它不是正棱柱，①错误；对于②，底面为等腰梯形的直四棱柱的对角面全等，但它不是长方体，②错误；对于③，如下图所示：在正六棱锥P ABCDEF -中，六边形ABCDEF 为正六边形，设O 为正六边形的中心，则PO ⊥平面ABCDEF ，OA ⊂平面ABCDEF ，则PO OA ⊥，由正六边形的几何性质可知，OAB 为等边三角形，则AB OA =，22PA PO OA OA ∴=+>，③错误；对于④，在长方体1111ABCD A B C D -中，若AB 、AD 、1AA 的长两两不相等，则长方体1111ABCD A B C D -不是正四棱柱，④错误.故选：A.7．C【解析】【分析】根据棱台的定义可判断各选项的正误.【详解】由棱台的定义可知：A.所有的侧棱所在直线交于一点，正确；B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确；C.棱台的上下两个底面不全等，故C 不正确；D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确.故选：C.8．A【解析】【分析】根据棱台的定义以及结构特征逐项判定，即可得出结论.【详解】因为棱台是棱锥被平行底面的平面所截，截面和底面间的部分，选项D 不正确；棱台各侧棱延长后必相交，选项A 正确；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，选项B不正确；棱台的底面不一定是正方形，选项C不正确.故选：A.9．B【解析】利用棱柱、棱台、棱锥的概念即可对逐个选项的正误作出判断【详解】在A中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不是棱柱，故A错误；在B中，由棱柱的定义得：有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故B正确；在C中，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故C错误；在D中，如图的几何体，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不是棱柱，故D错误．故选B．【点睛】本题考查棱台、棱锥和棱柱的定义，属于简单题10．B【解析】根据旋转体的结构特征进行判断.【详解】，，均正确.由圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特征知A C D以直角梯形的直角腰为轴，另一腰旋转形成的面是圆台的侧面，以直角梯形的非直角腰为轴，另一腰旋转形成的面不是圆台的侧面.故选B.【点睛】本题主要考查旋转体的特征性质，明确它们的特征性质是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．D【解析】圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，判断①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；根据圆台定义，判断③错误，⑤正确.【详解】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.【点睛】本题考查圆柱、圆锥、圆台的定义，以及几何结构特征，属于基础题.12．C【解析】【分析】根据旋转体的定义判断.【详解】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.故选：C.【点睛】本题考查旋转体的定义，掌握圆柱、圆锥、圆台的定义是解题的关键.13．C【解析】【分析】根据球体概念和性质即可求解.【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.故选：C.14．D【解析】依次判断每个选项：两点的连线经过球心时才满足，②错误；截面是圆面，③错误；几何体叫做球，故⑤错误；得到答案.【详解】①正确；当球面上两点的连线经过球心时，这两点的连线才是球的直径，故②错误；③用一个平面截一个球，得到的截面是圆面，而不是一个圆，故③错误；④正确；曲面所围成的几何体叫做球，故⑤错误；⑥正确；故正确说法为①④⑥，共3个.故选：D【点睛】本题考查了与球相关命题的判断，意在考查学生的推断能力.15．B【解析】【分析】通过球的定义判断①的正误;利用球的性质判断②的正误;通过大圆的特征判断③的正误;通过球的表面积公式判断④的正误.【详解】解:对于①空间中,到一定点距离等于定长的点的集合是球面;满足球的定义,①正确.对于②,球面上不同的三点不可能在同一直线上;因为球的表面是曲面,过球面上不同的三点可以做一个截面圆,三点不可能在同一直线上,②正确;对于③过球面上不同的两点只能作一个大圆;如果两点是球的直径的两个端点,大圆有无数个,③不正确;4rπ,半径相同的圆面积是:2rπ,二者是4倍关系,④正确.对于④,球的表面积是2综上错误的命题有:③所以B选项是正确的.【点睛】。
人教版高中数学(必修2)全套训练习题含答案
高中数学必修二训练集锦目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[ 基础训练A组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第一章：空间几何体[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 基础训练A组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第二章：点直线平面[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 综合训练B 组] 数学2（必修）第三章：直线和方程[ 提高训练C 组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 基础训练A组] 数学2（必修）第四章：圆和方程[ 综合训练 B 组] 数学 2（必修）第四章：圆和方程 [ 提高训练 C 组]33 3 （ 数 学 2 必 修 ） 第 一 章 空 间 几 何 体[ 基础训练 A 组] 一、选择题1 ． 有 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 这 个 几 何 体 应 是 一 个 ()A . 棱 台B . 棱 锥C . 棱 柱 D. 都 不 对主 视 图左 视 图俯 视 图2 ． 棱 长 都 是 1 的 三 棱 锥 的 表 面 积 为 （）A .B .2 C .3 D.43 ． 长 方 体 的 一 个 顶 点 上 三 条 棱 长 分 别 是 3,4 ,5 ， 且 它 的 8 个 顶 点 都 在同 一 球 面 上 ， 则 这 个 球 的 表 面 积 是 （ ）A ． 2 5B ． 5 0C ． 1 2 5D ． 都 不 对4 ． 正 方 体 的 内 切 球 和 外 接 球 的 半 径 之 比 为 （）A ．: 1 B ． : 2C ． 2 :D ． 35 ． 在 △ A B C 中 ， AB 2 , B C 1 . 5 , AB C1 2 0 ,若 使 绕 直 线 B C 旋 转 一 周 ，则 所 形 成 的 几 何 体 的 体 积 是 （ ）9 7 5 3 A .B .C .D.22226 ． 底 面 是 菱 形 的 棱 柱 其 侧 棱 垂 直 于 底 面 ， 且 侧 棱 长 为 5 ， 它 的 对 角 线 的 长分 别 是 9 和 1 5 ， 则 这 个 棱 柱 的 侧 面 积 是 （ ） A ． 1 3 0B ． 1 4 0C ． 1 5 0D ． 1 6 0二、填空题1 ． 一 个 棱 柱 至 少 有 _____ 个 面 ， 面 数 最 少 的 一 个 棱 锥 有 ________个 顶 点 ，顶 点 最 少 的 一 个 棱 台 有________条 侧 棱 。
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新课标人教版高中数学必修2全册教案学案同步练习课堂巩固【附答案]第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点:空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1(初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2(了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3(了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4(了解多面体的概念和分类(【课堂互动】自学评价1( 棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】2( 棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3(棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4(多面体的定义:5(多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】:设有三个命题: 例1甲:有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥; 丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是 (A)A(0 B. 1 C. 2 D. 3例2:画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考,页例,?画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去(互助参考,页例,点评:(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。
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柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义,判定和性质。
难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言,图形语言和符号语言的转化。
平行,垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】知识网络学习要求1.初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2.了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3.了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4.了解多面体的概念和分类.【课堂互动】自学评价棱柱的定义:表示法:思考:棱柱的特点:.【答】棱锥的定义:表示法:思考:棱锥的特点:.【答】3.棱台的定义:表示法:思考:棱台的特点:.【答】4.多面体的定义:5.多面体的分类:?棱柱的分类?棱锥的分类?棱台的分类【精典范例】例1:设有三个命题: 甲:有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱; 乙:有一个面是四边形,其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥;丙:用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥,得到的几何体叫棱台。
以上各命题中,真命题的个数是 (A)A.0B. 1C. 2D. 3 例2:画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法:?画上四棱柱的底面----画一个四边形;?画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段;?画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考7页例1?画一个三棱锥,在它的一条侧棱上取一点,从这点开始,顺次在各个侧面画出与底面平行的线段,将多余的线段檫去.互助参考7页例1点评:1被遮挡的线要画成虚线2画台由锥截得思维点拔:解柱、锥、台概念性问题和画图需要:1.准确地理解柱、锥、台的定义2.灵活理解柱、锥、台的特点:例如:棱锥的特点是:?两个底面是全等的多边形;?多边形的对应边互相平行;?棱柱的侧面都是平行四边形。
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第一章 立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
第一课时 棱柱、棱锥、棱台【学习导航】 知识网络学习要求1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。
反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。
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新人教A版高中数学必修二同步精品练习内容提示：第一部分立体几何初步 (2)第一章点、线、平面的位置关系 (2)第二章直线、平面平行的判定及其性质 (8)第三章直线、平面垂直的判定及其性质 (16)第四章空间几何体专家套卷 (27)第五章点、直线、平面之间的位置关系专家套卷 (40)第六章点、直线、平面之间的位置关系专家套卷 (57)第二部分解析几何初步 (71)第一章直线与方程 (71)第二章直线的方程 (78)第三章直线的交点坐标与距离公式 (86)第一部分立体几何初步第一章点、线、平面的位置关系一、选择题【共10道小题】1、给出的下列命题中,正确命题的个数是( )①梯形的四个顶点在同一平面内②三条平行直线必共面③有三个公共点的两个平面必重合④每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:思路解析:逐个对各选项分析:梯形是一个平面图形,所以其四个顶点在同一个平面内,①对;两条平行直线是可以确定一个平面的,三条平行直线有可能确定三个平面,②错;三个公共点可以同在两个相交平面的公共直线上,③错;设这四条直线分别为l1、l2、l3、l4,取其中两条相交直线l1和l2,则它们可确定一个平面α,取l3,设其与l1、l2的交点分别为A、B,则由题意知这两点不同,且A∈l1,B∈l2,所以有A、B∈α,从而l3∈α;同理可证明l4∈α.所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面,④对.答案:B主要考察知识点:空间直线和平面2、如图2-1-17,空间四边形SABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°图2-1-17参考答案与解析:思路解析:求EF与SA所成的角,可把SA平移,使其角的顶点在EF上,为此取SB的中点G,连结GE、GF、BE、AE.由三角形中位线定理得GE=BC,GF=SA,且GF∥SA,所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此空间四边形边长为a,那么GF=GE=a,EA=a,EF=a,因此△EFG为等腰直角三角形,∠EFG=45°,所以EF与SA所成的角为45°.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面3、如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交参考答案与解析:思路解析:利用线面平行的定义.直线a∥平面α,则a与α无公共点,与α内的直线当然均无公共点.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面4、若点M在直线α上，α在平面α内，则M、a、α间的上述关系可记为( )A.M∈a,a∈αB.M∈a,aαC.M a,aαD.M a,aα参考答案与解析:B主要考察知识点:空间直线和平面5、在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点,如果EF与HG交于点M，则( )A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在AC上，也可能在BD上D.M不在AC上，也不在BD上参考答案与解析:A主要考察知识点:空间直线和平面6、下列说法正确的是()A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点参考答案与解析:解析：A错,不共点的三点;B错,如空间四边形;D错,两平面的三个交点在同一直线上.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面7、若点M在直线a上,a在平面α内，则M，a,α间的上述关系可记为（）A.M∈a,a∈αB.M∈a,C.,D.,参考答案与解析:解析：要明确数学符号语言的表示.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面8、异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线参考答案与解析:解析：A错,有可能平行；B错,有可能平行或相交；C错,有可能平行或相交；D正确.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、若a∥α,b∥α,则直线a、b的位置关系是()A.平行B.相交C.异面 D.A、B、C均有可能参考答案与解析:解析：平行、相交、异面都有可能,此题的难点在于可能选平行,易和平行公理混淆.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面10、下列命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线,则a∥α;④若直线a∥b,bα,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.∴①是假命题.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,∴a和α不一定平行.∴②是假命题.对于③,∵直线a∥b, ,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,∴a不一定平行于α.∴③是假命题.对于④,∵a∥b, ,那么aα或a∥α,∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上所述,真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、空间三条直线两两相交，点P不在这三条直线上，那么由点P和这三条直线最多可以确定的平面的个数为__________.参考答案与解析:解析：(1)当题中三条直线共点但不共面相交时，可确定3个平面；而P点与每条直线又可确定3个平面，故共确定6个.主要考察知识点:空间直线和平面2、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置关系是_______.参考答案与解析:思路解析:由公理4可知不可能平行,只有相交或异面.答案:相交或异面主要考察知识点:空间直线和平面3、看图填空.(1)AC∩BD=_______;(2)平面AB1∩平面A1C1=________；(3)平面A1C1CA∩平面AC=________；(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD=_________;(5)平面A1C1∩平面AB1∩平面B1C=_________；(6)A1B1∩B1B∩B1C1=_________.参考答案与解析:解析：两个面的两个公共点连线即为交线.答案：（1）O（2）A1B1（3）AC（4）OO1（5）B1（6）B1主要考察知识点:空间直线和平面4、已知平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定平面_______个.参考答案与解析:解析：分类,如果这四点在同一平面内,那么确定一个平面,如果这四点不共面,则任意三点可确定一个平面,可确定四个.答案：1或4主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，已知△ABC在平面α外，它的三边所在直线分别交平面α于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.参考答案与解析:解析：本题是一个证明三点共线的问题，利用公理3，两平面相交时，有且只有一条公共直线.因此只需证明P、Q、R三点是某两个平面的公共点，即可得这三个点都在两平面的交线上，因此是共线的.证明：设△ABC确定平面ABC，直线AB交平面α于点Q,直线CB交平面α于点P,直线AC 交平面α于点R,则P、Q、R三点都在平面α内，又因为P、Q、R三点都在平面ABC内，所以P、Q、R三点都在平面α和平面ABC的交线上，而两平面的交线只有一条，所以P、Q、R三点共线.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.①哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？②直线BA′和CC′的夹角是多少？③哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？参考答案与解析:解析：①由异面直线的定义可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′,B′D′所在直线分别与直线BA′是异面直线.②由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以BA′与CC′的夹角为45°.③直线AB，BC，CD，DA，A′B′,B′C′,C′D′,D′A′分别与直线AA′垂直.主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线b∥c,且直线a与b、c都相交,求证:直线a,b,c共面.参考答案与解析:证明:∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面α.设a∩b=A,a∩c=B,∴A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即.∴三线共面.主要考察知识点:空间直线和平面第二章直线、平面平行的判定及其性质一、选择题【共10道小题】1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( )A.平行B.异面C.相交 D.平行或异面参考答案与解析:解析：两平行平面内的直线可能平行，也可能异面，就是不可能相交.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面2、下列结论中，正确的有( )①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aαA.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：若aα，则a∥α或a与α相交，由此知①不正确若a∥平面α,bα,则a与b异面或a∥b，∴②不正确若平面α∥β，aα，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确由平面α∥β，点P∈α知Pβ过点P而平行平β的直线a必在平面α内，是正确的.证明如下：假设aα，过直线a作一面γ，使γ与平面α相交，则γ与平面β必相交.设γ∩α=b,γ∩β=c,则点P∈b.由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c,则a∥b,这与a∩b=P矛盾，∴aα.故④正确.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )A.平行B.相交C.在内 D.不能确定参考答案与解析:解析：在平面ABC内.∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF.可以证明AC平面DEF.若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF.由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF.∵AC∥EF，EF平面DEF.∴AC∥平面DEF.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a,bB.过A至少有一个平面平行于a,bC.过A有无数个平面平行于a,bD.过A且平行a,b的平面可能不存在参考答案与解析:解析：如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与a,b都平行的平面不存在.答案：D主要考察知识点:空间直线和平面5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )A.b∥αB.bαC.b与α相交D.以上都有可能参考答案与解析:思路解析:a与b垂直,a与b的关系可以平行、相交、异面,a与α平行,所以b与α的位置可以平行、相交、或在α内,这三种位置关系都有可能.答案:D主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题中正确的命题的个数为( )①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4参考答案与解析:解析：对于①,∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内(若改为l与α内任何直线都平行，则必有l∥α),∴①是假命题.对于②，∵直线a在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平行，∴②为假命题.对于③,∵a∥b,bα,只能说明a与b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α.∴③也是假命题.对于④,∵a∥b,bα.那么aα,或a∥α.∴a可以与平面α内的无数条直线平行.∴④是真命题.综上，真命题的个数为1.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面7、下列命题正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥αA.0个B.1个C.2个 D.3个参考答案与解析:解析：由直线和平面平行的判定定理知，没有正确命题.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.其中真命题是( )A.①和②B.①和③C.③和④ D.①和④参考答案与解析:解析：利用平面平行判定定理知①④正确.②α与β相交且均与γ垂直的情况也成立，③中α与β相交时，也能满足前提条件答案：D主要考察知识点:空间直线和平面9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有()A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：面A1C1,面DC1,面AC共3个.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（）A.1个B.2个C.3个 D.4个参考答案与解析:解析：取正方体相邻三个面为α、β、γ，易知α⊥γ，β⊥γ，但是α与β相交，不平行，故排除①，若α与β相交，如图所示，可在α内找到A、B、C三个点到平面β的距离相等，所以排除③.容易证明②④都是正确的.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面1、在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故.答案：主要考察知识点:空间直线和平面2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内主要考察知识点:空间直线和平面3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.参考答案与解析:相交或平行或异面主要考察知识点:空间直线和平面4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD1，在△BDD1中，E 为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行主要考察知识点:空间直线和平面1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.①是否一定有AD∥BE∥CF；②求证：.参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，但不一定总有AD∥BE. 同理不总有BE∥CF.②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.AGED为平行四边形.∴AG=DE.同理GH=EF.又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.主要考察知识点:空间直线和平面2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点.求证：SA∥平面MDB.参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图,已知点M、N是正方体ABCD-A1B1C1D1的两棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD 的中心，求证：MN∥平面PB1C.参考答案与解析:证明：如图，连结AC，则P为AC的中点，连结AB1，∵M、N分别是A1A与A1B1的中点，∴MN∥AB1.又∵平面PB1C，平面PB1C，故MN∥面PB1C.第三章直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题【共10道小题】1、二面角指的是( )A.两个平面相交所组成的角B.经过同一条直线的两个平面所组成的图形C.一条直线出发的两个半平面组成的图形D.两个平面所夹的不大于90°的角参考答案与解析:解析：根据二面角的定义讨论，故选C.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则( )A.α∥β且γ∥ωB.α∥β或γ∥ωC.这四个平面中可能任意两个都不平行D.这四个平面中至多有一对平面平行参考答案与解析:解析：若α∩β=a.∵α⊥γ,β⊥γ，∴α⊥γ.同理a⊥ω.∴γ∥ω;若α∥β,则γ与ω相交或平行，∴α∥β或γ∥ω.答案：B主要考察知识点:空间直线和平面3、已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α，则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3参考答案与解析:解析：①m∥α,n∥α不一定有m∥α.②③正确.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面4、如图2-3-15,设P是正方形ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是( )图2-3-15A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直参考答案与解析:思路解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又∵BC⊥AB,PA∩AB=A,∴PC⊥平面PAB,从而平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA,AD⊥AB,PA∩AB=A得AD⊥平面PAB.∵AD平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.答案:A主要考察知识点:空间直线和平面5、如图2-3-16,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,若沿AD折成直二面角,则A 到BC的距离是……()图2-3-16A.1B.C.D.参考答案与解析:思路解析:折叠后BD=DC=,且∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BC=.取BC中点E,连结DE,则DE⊥BC,进一步易证AE⊥BC,AE的长为所求距离.∵AD=,DE=BC=,∴AE=.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面6、下列命题正确的是( )A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行参考答案与解析:思路解析:在空间中垂直于同一直线的两条直线,可能平行相交,也可能异面,所以A,B错,垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内,直线和平面平行,所以D错.答案:C主要考察知识点:空间直线和平面7、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交参考答案与解析:解析：取BD中点E，连结AE、CE.∵AB=AD=BC=CD,∴AE⊥BD,CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.又AC面AEC，∴BD⊥AC.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面8、线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为（）A.30°B.45°C.60°D.120°参考答案与解析:解析：由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面9、设α,β为两个不重合的平面,l,M,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α∥β,,则l∥β;②若, ,M∥β,n∥β，则α∥β；③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若,,且l⊥M,l⊥n,则l⊥α.其中正确命题的序号是( )A.①③④B.①②③C.①③D.②④参考答案与解析:解析：由面面平行的判定定理,知②错误;由线面垂直的判定定理知④错误.答案：C主要考察知识点:空间直线和平面10、下列说法中正确的是()①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直③过平面外一点可作无数条直线与已知平面平行④过直线外一点只可作一条直线与已知直线垂直A.①②③B.①②③④C.②③D.②③④参考答案与解析:解析：由线面垂直的性质及线面平行的性质,知①②③正确;④错,过直线外一点作平面与直线垂直,则平面内的所有直线都与该直线垂直.答案：A主要考察知识点:空间直线和平面二、填空题【共4道小题】1、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面2、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______.参考答案与解析:解析：假设①③④为条件，即m⊥n,n⊥β,m⊥α成立，如图.过m上一点P 作PB∥N，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥PA,l⊥PB,∴l⊥平面PAB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角.由m⊥n,显然PA⊥PB，∴∠ACB=90°,∴α⊥β.由①③④②成立.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.答案：②③④①或①③④②.主要考察知识点:空间直线和平面3、设三棱锥P ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出下列命题：①若PA⊥BC，PB⊥AC，则H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC两两互相垂直，则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°，H是AC的中点，则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC，则H是△ABC的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案与解析:解析：①若P A⊥BC，PB⊥AC，则H为垂心.②∵PA⊥PB，PA⊥PC,∴PA⊥面PBC.∴PA⊥BC.又PH⊥面ABC，∴PH⊥BC.∴BC⊥面PAH.∴AH⊥BC.同理BH⊥AC，∴H为垂心.③∵H为AC中点，∠ABC=90°,∴AH=BH=CH.又PH⊥面ABC，由勾股定理知PA=PB=PC.④∵PA=PB=PC，又PH⊥面ABC，同③可知AH=BH=CH，∴H为外心.答案：①②③④主要考察知识点:空间直线和平面4、如图，P是二面角α-AB-β的棱AB上一点，分别在α、β上引射线PM、PN,截PM=PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角α-AB-β的大小是___________.参考答案与解析:解析：过M在α内作MO⊥AB于点O，连结NO，设PM=PN=a,又∠BPM=∠B PN=45°,∴△OPM≌△OPN.∴ON⊥AB.∴∠MON为所求二面角的平面角.连结MN，∵∠MPN=60°,∴MN=a.又,∴MO2+NO2=MN2.∴∠MON=90°.答案：90°主要考察知识点:空间直线和平面三、解答题【共3道小题】1、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.参考答案与解析:解析：要证明EF∥BD1，可构造与它们都垂直的一个平面.由于A1D，AC 均为各面的对角线，通过对角线的平行性可构造垂直关系.证明：连结A1C1，由于AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1,∴EF⊥平面A1C1D. ①∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又A1B1C1D1为正方体,∴A1C1⊥B1D1.∵BB1∩B1D1＝B1,∴A1C1⊥平面BB1D1D.而BD1平面BB1D1D,∴BD1⊥A1C1.同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1,∴BD1⊥平面A1C1D. ②由①②可知EF∥BD1.主要考察知识点:空间直线和平面2、在长江汽车渡口,马力不足或装货较重的汽车上岸时,采用沿着坡面斜着成S形的方法向上开,这是为什么？你能从数学的角度进行解释吗？参考答案与解析:答案:在汽车马力恒定的情况下,行驶单位路程内,垂直上升高度愈大,汽车愈费“力”,当“力”所不及时,就会发生危险.日常经验告诉我们,走S形可减少这种危险,从数学的角度看,可作如下解释.图2-3-22如图,AB表示笔直向上行走的路线(AB⊥CA),α表示它与水平面所成的交角,CB表示斜着向上行走的路线,β表示它与水平面所成的夹角,它们所达到的高度都是BD.现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大,越大越费力.在Rt△BAD中,sinα=.①在Rt△BCD中,sinβ=.②比较①与②,因为AB、CB分别是直角三角形ABC的直角边和斜边,也就是说AB＜CB,所以＞.又因为α、β都是锐角,所以α＞β.因此汽车沿着CB方向斜着向上开要省力.山区修筑的公路,采取盘山而上的方法,也是这个道理.主要考察知识点:空间直线和平面3、如图，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，BC=2，求以BC为棱、以面BCD和面BCA为面的二面角的大小.参考答案与解析:解:取BC的中点E，连结AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC.∴DE⊥BC.∴∠AE D为二面角A-BC-D的平面角.又∵△ABC≌△DBC,且△ABC为以BC为底的等腰三角形，故△DBC也是以BC为底的等腰三角形，∴.又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2.在Rt△DEB中，，BE=1，∴,同理.在△AE D中，∵AE=DE=,AD=2,∴AD2=AE2+DE2.∴∠AE D=90°.∴以面BCD和面BCA为面的二面角的大小为90°.主要考察知识点:空间直线和平面第四章空间几何体专家套卷一、选择题【共12道小题】1、下列说法中正确的是( )A.棱柱的侧面可以是三角形B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱C.所有的几何体的表面都能展成平面图形D.棱柱的各条棱都相等参考答案与解析:B主要考察知识点:简单几何体和球2、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( )A.一个圆台、两个圆锥B.两个圆台、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥参考答案与解析:D主要考察知识点:简单几何体和球3、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设球半径为R，截面半径为r.+r2=R2,∴r2=.∴.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球4、如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左上角而绘制的，其中正确的是( )参考答案与解析:解析：由几何体的直观图画法及主体图形中虚线的使用，知A正确.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球5、长方体的高等于h，底面积等于S，过相对侧棱的截面面积为S′，则长方体的侧面积等于( )A. B.C. D.参考答案与解析:解析：设长方体的底面边长分别为a、b，过相对侧棱的截面面积S′=①,S=ab②,由①②得：(a+b)2=+2S,∴a+b=,S侧=2(a+b)h=2h.答案：C主要考察知识点:简单几何体和球6、设长方体的对角线长度是4，过每一顶点有两条棱与对角线的夹角都是60°,则此长方体的体积是( )A. B. C.D.参考答案与解析:解析：设长方体的过一顶点的三条棱长为a、b、c，并且长为a、b的两条棱与对角线的夹角都是60°，则a=4cos60°=2,b=4cos60°=2.根据长方体的对角线性质，有a2+b2+c2=42,即22+22+c2=42.∴c=.因此长方体的体积V=abc=2×2×=.答案：B主要考察知识点:简单几何体和球7、棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1、S2、S3，则( )A.S1＜S2＜S3B.S3＜S2＜S1C.S2＜S1＜S3 D.S1＜S3＜S2参考答案与解析:解析：由截面性质可知，设底面积为S.;;可知：S1＜S2＜S3故选A.用平行于底面的平面截棱锥所得截面性质都是一些比例关系：截得面积之比就是对应高之比的平方，截得体积之比，就是对应高之比的立方，所谓“高”，是指大棱锥、小棱锥的高，而不是两部分几何体的高.答案：A主要考察知识点:简单几何体和球8、正四面体的内切球球心到一个面的距离等于这个正四面体高的( )A. B. C.D.。