勾股定理之赵爽弦图证法
中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦
中考数学复习指导：勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦勾股定理中“赵爽弦图”考题聚焦我国古代数学家赵爽利⽤弦图（图1），巧妙地证明了勾股定理．第24届国际数学家⼤会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考．例1 图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的⽰意图，它是由四个全等的直⾓三⾓形围成的，在Rt △ABC 中，若直⾓边AC ＝6，BC ＝5，将四个直⾓三⾓形中边长为6的直⾓边分别向外延长⼀倍，得到图3所⽰的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．解析如图3，标注出点D 、E 、F 、G ．∵AC ＝6，BC ＝5．∴GD ＝6．DE ＝5．∵FG ＝DC ，∴FD ＝2DG ＝12．在Rt △DEF 中，由勾股定理，得EF 13．∴这个风车的外围周长为4(EF ＋FG)＝4×(13＋6)＝76．例2 如图4，是⽤4个全等的直⾓三⾓形与1个⼩正⽅形镶嵌⽽成的正⽅形图案．已知⼤正⽅形⾯积为49，⼩正⽅形⾯积为4．若⽤x ，y 表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边（x>y ），下列四个说法：①x 2＋y 2＝49；②x －y ＝2；③2xy ＋4＝49；④x ＋y ＝9，其中说法正确的是( )(A)①② (B)①②③(C)①②④ (D)①②③④解析⼤正⽅形边长就是直⾓三⾓形斜边长，所以⼤正⽅形的⾯积等于直⾓三⾓形斜边长的平⽅．由勾股定理知直⾓三⾓形斜边长的平⽅为x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝49，①正确．由⼩正⽅形⾯积为4知它的边长为2，⽽⼩正⽅形边长等于较长直⾓边与较短直⾓边的差，所以x －y ＝2，②正确．⼤正⽅形⾯积等于4个直⾓三⾓形⾯积与⼩正⽅形⾯积的和，所以4×12xy ＋4＝49，即2xy ＋4＝49，③正确．由①、③，得x 2＋y 2＋2xy ＋4＝49 ×2，即（x ＋y ）2＝94，所以x ＋y 正确．综合知，选B ．例3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了⼀副“弦图”，后⼈称其为“赵爽弦图”（如图5）．图6由弦图变化得到，它是由⼋个全等的直⾓三⾓形拼接⽽成．记图中正⽅形ABCD、正⽅形EFGH、正⽅形MNKT的⾯积分别为S1、S2、S2，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．例4 如图7，已知⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，把它的各边延长⼀倍得到新正⽅形A1B1C1D1；把正⽅形A1B1C1D．边长接原法延长⼀倍得到正⽅形A2B2C2D2（如图8）；以此下去……正⽅形A n B n C n D n的⾯积为______．解析由⼩正⽅形ABCD的⾯积为1，知它的边长为1，则DD1＝1，DA1＝2．如图7，在Rt△D1DA1中，由勾股定理，得D1A2＝D1D2＋DA2＝12＋22＝5，所以正⽅形A1B1C1D1的⾯积为5．如图8，D1D2＝D1C1＝D1A1D1A2＝2D1A1＝在Rt△D1D2A2中，由勾股定理，得所以正⽅形A2B2C2D2的⾯积为25＝52．同理，正⽅形A3B3C3D3的⾯积为125＝53；正⽅形A4B4C4D4的⾯积为625＝54；……于是，可猜想正⽅形AnBnCnDn的⾯积为5n．例5 2002年在北京召开的世界数学⼤会会标图案是由四个全等的直⾓三⾓形围成的⼀个⼤正⽅形，中间的阴影部分是⼀个⼩正⽅形的“赵爽弦图”，如图9．若这四个全等的直⾓三⾓形有⼀个⾓为30°，顶点B1、B2、B3、…、B n和C1、C 2、C 3、…、C n 分别在直线y ＝－12x 1 和x 轴上，则第n 个阴影正⽅形的⾯积为______．。
数学文化之赵爽弦图
赵爽弦图
中国最早的一部数学著作—《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:
周公问:“我听说您对数学非常精通，我想请教一下:天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢?”
商高回答说:“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识.其中有一条原理:当直角三角形的一条直角边“勾”等于3，另一条直角边“股”等于4的时候，那么它的斜边“弦”就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊.”
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．
2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际.以至于古往今来，下至平明百姓，上至帝王总统都愿意探讨、研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些图形及提示证明勾股定理吗？
传说中毕达哥拉斯的证法（图1）
提示：（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面积相等.
2.弦图的另一种证法（图2）
提示：以斜边为边长的正方形的面积+4个三角形的面积=外正方形的面积.
3.美国第20任总统詹姆斯加菲尔德的证法（图3）
提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.。
初中数学辅助线添加技巧：弦图
初中数学辅助线添加技巧：弦图勾股的几个重要证明方法证法一（赵爽证明）：以a 、b 为直角边（b >a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．c b aHG F EDCBA∵ Rt △DAH ≌ Rt △ABE ， ∴ ∠HDA = ∠EAB ． ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2． ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a ，∠HEF = 90º．∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2b a -． ∴()22142ab b a c ⨯+-= ．∴ 222a b c +=．证法二（邹元治证明）：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ． 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上．cb a HGFED CBA∵ Rt △HAE ≌ Rt △EBF ， ∴ ∠AHE = ∠BEF ． ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º，∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º． ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º．∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形．它的面积等于c 2． ∵ Rt △GDH ≌ Rt △HAE ， ∴ ∠HGD =∠EHA ． ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º， ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º． 又∵ ∠GHE = 90º， ∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º．∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2a b +． ∴ ()22142a b ab c +=⨯+．∴ 222a b c +=．证法三（陈杰证明）：直角边长分别为a 、b 的四个三角形全等，斜边长为c ，图中有3个正方形边长分别为a 、b 、c ，设整个图形的面积为S ．c b a Ic b a HGF EDCBA∵△ABH ≌ △HEF ， ∴BAH EHF ∠=∠，∴90BAH AHB EHF AHB ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90AHF ∠=︒，∴四边形AHFI 是正方形．∵2222122S a b ab a b ab =++⨯=++，22122S c ab c ab =+⨯=+，∴222a b ab c ab ++=+， ∴222a b c +=．证法四（1876年美国总统Garfield 证明）：c b a cb ED C BA以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于12ab ．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上． ∵ Rt △EAD ≌ Rt △CBE ， ∴ ∠ADE = ∠BEC ． ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º， ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º． ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º． ∴ △DEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于212c ．又∵ ∠DAE = 90º， ∠EBC = 90º， ∴ AD ∥BC ．∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()212a b +． ∴()221112222a b ab c +=⨯+． ∴222a b c +=．证法五（总统证法变形）：如图，矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转90º至AB'C'D'的位置，连接CC'．设,,AB a BC b AC c ===．B'C'D'c b aD C BA∵四边形BCC'D'为直角梯形，∴()()2122'D'a b S BC C'D'BD'+=+=梯形BCC ． ∵Rt Rt ABC AB'C'△≌△， ∴BAC B'AC'∠=∠．∴2211122222ABC CAC'D'AC''D'c abS S S S ab c ab +=++=++=△△△梯形BCC ． ∴()22222a b c ab++=．∴222a b c +=．证法六（梅文鼎证明）：作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ． 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上． 过C 作AC 的延长线交DF 于点P ．a b c a b c a bc P cb a HG F E DC BA∵ D 、E 、F 在一条直线上，且Rt △GEF ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º． 又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形． ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º． ∵ Rt △ABC ≌ Rt △EBD ， ∴ ∠ABC = ∠EBD ． ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º． 即∠CBD = 90º．又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a ． ∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形． 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形．设多边形GHCBE 的面积为S ，则222112,222a b S ab c S ab +=+⨯=+⨯∴222a b c +=．勾股定理的证明方法较多，这是其中的几种．方法总结：勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的． 观察上面的证明方法可发现：每个图形中都可以提炼出一个相同的模型——三垂直全等模型．如下图所示．三垂直全等模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整的弦图，有时只需一半弦图——三垂直全等模型．图a 与图b 是三垂直全等模型经过直角三角形位置变化之后所得到的另外两个有三垂直和全等三角形的图形，在做题时可参考．图b图a典例精析例1．（1）图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．图1CBA（2）如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积是5和11，则b 的面积为 ．b a cCEDBA解：（1）76；（2）16例2如图1——图3，两个正方形如下图并列排列，要求剪两刀，使之拼成一个新的正方形．（1）如图1，若正方形边长分别为1、2，请在图中画出剪切线；（2）如图2，若正方形的边长分别为a 、b （a >b ），请画出剪切线并标出各边的长度； （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图3中画出剪切线．图3图2图1解：（1）、（2）、（3）的剪切线如图a 、图b 、图c 所示：图c图b图a点拨：图c 是证明勾股定理中非常有名的“朱青出入图”． 例3．如图，已知ADBC ，ABE △和CDF △是等腰直角三角形，90,2,5EAB FDC AD BC ∠=∠=︒==，求四边形AEDF 的面积．CFEDBA解：分别过点E 、B 作EN AD ⊥，BM AD ⊥交DA 的延长线于点N 、M ，分别过点F 、C 作FP AD ⊥，CQ AD ⊥，交AD 及AD 延长线于点P 、Q ．NM QP CFEDBAAED ADF EAFD S S S =+△△四边形 ()111222AD EN AD FP AD EN FP =+=+ ∵△AEB 和△FDC 都是等腰直角三角形， ∴90,,EAB FDC AE AB DF CD ∠=∠=︒==． ∵EN AD ⊥，BM AD ⊥，FP AD ⊥，CQ AD ⊥， ∴90BMN ENA FPD DQC ∠=∠=∠=∠=︒． ∴,ENA MBA FPD QCD ∠=∠∠=∠． ∴,ENA AMB FPD DQC △≌△△≌△． ∴,EN AM FP DQ ==．∴EN FP AM DQ MQ AD +=+=-． ∵ADBC ，BM CQ ，且90BMN ∠=︒，∴四边形BMQC 是矩形． ∴BC MQ =． ∵5,2BC AD ==，∴523EN FP +=-=． ∴12332EAFD S =⨯⨯=四边形．例4． 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =a ，AC =b ，以其各边向外作正方形，得到一个凸六边形DEFGHI ．（1）求这个六边形的面积；（2）试判断线段EF 、GH 、DI 能否构成三角形，若能，探求该三角形的面积与△ABC 面积的关系；若不能，请说明理由．ZY XW 图3图2图1A B C H ID EF GAB C HI D E FGH P IC GFEDB A解：（1）如上图2，作出正方形ABDE 的内弦图，则易知四个直角三角形全等． 则AZ WB AF ==，那么AWB AZE DYE BXD ABC S S S S S ====△△△△△．又∵,,EAF EAZ DBI DBX GCH ABC S S S S S S ===△△△△△△，且AEF ABC CGH BID S S S S ===△△△△，4ABC AFGC BCHI ABDE DEFGHI S S S S S =+++△正方形正方形正方形六边形 222142a b c ab =+++⨯22222a b ab =++．（2）线段EF 、GH 、DI 能构成三角形． 如图3，过点F 作FPGH 交AC 于点P ，连接EP 、IP ，易证四边形FPHG 是平行四边形，PHI ACB △≌△， ∴四边形PIDE 也是平行四边形． 那么,AFP GCH BID APE △≌△△≌△．∴EF 、GH 、DI 可能构成三角形，即EPF △，面积为3ABC S △．点拨：以三角形三边为边向外分别作正方形的题型，可能构造弦图或者作平行线构造平行四边形，利用弦图的性质，三角形全等或者面积关系来解题．例5． 将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC′= °． 问题探究如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q ． 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．AB CEFG PQ图3解：情景观察：AD 或A′D ；90． 问题探究：结论：EP =FQ ． 证明：∵△ABE 是等腰三角形， ∴AB =AE ，∠BAE=90°． ∴∠BAG +∠EAP =90°． ∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP ． ∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EPA =90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △EAP ． ∴AG =EP ．同理AG =FQ ． ∴EP =FQ ． 举一反三如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB 、CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ．设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于点P ，FQ ⊥l 于点Q ．求证：EP =FQ ．图1 图2C'A'B A DCABCDBCD A (A')C'HNM QP Ll CGFEDBA点拨：这两道题图形较复杂，但解题的思路很清晰，仍是构造三垂直全等模型，添加了辅助线问题就迎刃而解了．例6． 如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC =90°，l 是AD 的垂直平分线，交AD 于点M ，以腰AB 为边作正方形ABFE ，EP ⊥l 于点P ．求证：2EP +AD =2CD ．M P l CFED BA解：作AH BC ⊥于点H ，延长EP 交AH 于点G ．54321M PlCFEDBA∵l 是AD 的垂直平分线， ∴1,2AM DM AD l AH ==．又∵ABCD 是梯形， ∴90C D ∠=∠=︒． ∴四边形AHCD 是矩形， ∴AH CD =． 又∵PE l ⊥，∴EH AH ⊥，∴四边形AGPM 是矩形， ∴12GP AM AD ==， ∴1290∠=∠=︒． ∴3490∠+∠=︒．在正方形ABFE 中，,90AB AE BAE =∠=︒， ∴4590∠+∠=︒． ∴35∠=∠．∵12∠=∠，35∠=∠，AB EA =， ∴ABH EAG △≌△．∴AH EG =，即CD AH EG ==．∴12CD GP PE AD PE =+=+，即22CD AD PE =+． 例7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =3，设BCD α∠=，以D 为旋转中心，将腰DC 逆时针旋转90°至DE ．CEDBA（1）当45α=︒时，求EAD △的面积； （2）当30α=︒时，求EAD △的面积；（3）当090α︒<<︒，猜想EAD △的面积与α的大小有无关系？若有关，写出EAD △的面积S 与α的关系式；若无关，请说明理由．解：（1）当45α=︒时，90BCE ∠=︒．延长AD 交DE 于点G ，则AG CE ⊥，点G 是CE 中点，CG EDBA∴四边形ABCG 是矩形，EG =DG =1． ∴112122EAD S AD EG ==⨯⨯△． （2）当30α=︒时，延长AD 交CE 于点G ，过点E 作EH AG ⊥于点H ．HCG ED BA∵30α=︒，∴30CDG ∠=︒，60EDG ∠=︒，DE CD ==． 在Rt EHD △中，12DH DE ==， ∴1， ∴112122EAD S AD EH ==⨯⨯△． （3）分别过E 、C 两点作AD 的垂线，交AD 延长线于点F 、G ，HCG ED BA∴90EFG AGC ∠=∠=︒， ∵,ADBC AB BC ⊥，∴90B BAD ∠=∠=︒， B BAD AGC ∠=∠=∠，∴四边形ABCG 是矩形． ∴3AG BC ==， ∴321DG =-=， ∵90CDE ∠=︒， ∴90CDG EDG ∠+∠=︒， ∵90CDG DCG ∠+∠=︒，∴DCG EDG ∠=∠， ∵CD DE =， ∴CDG DEF △≌△， ∴1DE DG ==， ∴112122EAD S AD EF ==⨯⨯△． ∴EAD △的面积与α的大小无关． 跟踪训练1．如图，点C 为线段AB 上一点，正方形ADEF 和正方形BCDG 的面积分别为10cm 2和5cm 2，则△EDG 的面积为 cm 2．CGFEDBA2．四边形ABCD 是正方形，直线1l ，2l ，3l 分别通过A 、B 、C 三点，且123l l l ，若1l 与2l 的距离为5，2l 与3l 的距离为7，则正方形ABCD 的面积为 ．CDBA3．在正方形ABCD 中，点G 为BC 上任意一点，连接AG ，过B 、D 两点分别作,BE AG DF AG ⊥⊥，垂足分别为E 、F 两点．探究线段EF 、DF 、BE 三者之间的关系，并证明你的结论．CGFEDBA4．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为1S，2S，3S．若12310S S S++=，则2S的值是．5．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，—4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m>0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；（2）用含m 的代数式表示点M 的坐标；（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化？写出你的结论，并说明理由．例6．如图，Rt △PQR 的直角边为5厘米，9厘米．问图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？95RQ P FEDCBA7．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图1所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6．5厘米，宽为2厘米的纸片，如图2，请你将它分割成6块，再拼成一个正方形（要求：先在图2中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）．图2图1中考前瞻如图1至图3，点C 为定线段AB 外一动点，以AC 、BC 为边分别向外侧作正方形CADF 和正方形CBEG ，分别作1DD AB ⊥、1EE AB ⊥，垂足分别为1D 、1E ．当C 的位置在直线AB 的同侧变化过程中，（1）如图1，当∠ACB ＝90°，AC =4，BC =3时，求11DD EE +的值；（2）求证：如图2，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，11DD EE +的值为定值； （3）求证：如图3，不论C 的位置在直线AB 的同侧怎样变化，线段DE 的中点M 为定点．图3图2图1A1E 1GAD 1BE 1E GC FD E 1D 1GFEDC B A。
勾股定理的证明
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出
了学简过洁 几的何证的明人平方都行法知．道线勾A股K定和理．B它H是间几何的中距一个离比）较重，要的定理，应用十分广泛．迄今为止，H 关于勾股定理的证明方法已有500F余
种注．:这其一中方，法是第向二∴常十春S任正于总方1统9形9伽4A年菲C3尔H月K德＝2的0日证2构S法△想在A发数B现K学．的史新上法被．传为佳话．
这个图形有什么作用呢？不要小看它哦！古希腊的数学家毕达 哥拉斯就是利用这个图形验证了勾股定理．
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的．
∵即由S正于方矩形形AADDEN由BM＝和此S△正可A方DC得形同ASC底矩H（K形A＋DASD）正N，方M等＝形高CS(B即正F平G方行，形线ACAHD和K ．CN间的距离)，
从∴△右A图D中C≌我△们A可B同K以．看理出可，这证两S个矩正形方M形N的EB边＝长S都正是方a＋形bC，BF所G以．面积相等，即
G
已知：如图，以在Rt△ABC中，
H
F
∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
C
K
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a c
A
B
求证：a2 +b2=c2．
D
E
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB．
仔细看看，你会发现，奥妙在树干和树枝上，整棵树都是由下方的这个基本图形组成的：一个直角三角形以及分别以它的每边为一边
勾股定理的3个证明方法
勾股定理的3个证明方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊那神奇的勾股定理呀！你可别小瞧它，这可是数学世界里超级重要的宝贝呢！先来说说第一个证明方法，那就是拼图法。
就好像咱们拼拼图一样，把几个图形巧妙地组合在一起，然后呀，嘿，奇迹就出现啦！通过把一些三角形和正方形拼来拼去，就能清楚地看到直角三角形三边之间的奇妙关系，这不就把勾股定理给证明出来啦！你说神奇不神奇？再来讲讲第二个证明方法，叫面积法。
咱就想象一下啊，把一个大的图形分成几个小的部分，然后通过计算这些小部分的面积，就能发现其中隐藏的秘密啦！就像侦探破案一样，从一些看似不相关的线索中找到关键所在。
在这个方法里，通过对不同形状的面积进行一番捣鼓，嘿，勾股定理就乖乖地现形啦！还有第三个证明方法呢，是赵爽弦图法。
这名字听起来是不是就很有意思呀？这个方法就像是一场奇妙的魔术表演，通过一些巧妙的图形变换和计算，让勾股定理清晰地展现在我们眼前。
你就想想看，就那么几个图形，在数学家的手里就像变魔术一样，一下子就把定理给证明出来了，是不是超级厉害呀！哎呀呀，这勾股定理的证明方法可真是各有各的奇妙之处啊！它们就像打开数学宝藏大门的三把钥匙，每一把都能让我们领略到数学的魅力。
你说，数学咋就这么神奇呢？它能把看似毫无关系的东西联系起来，能从简单中发现复杂，从复杂中找到简单。
我们在学习勾股定理的时候，可不要只是死记硬背那些公式呀，要去真正理解这些证明方法背后的道理。
这样，我们才能更好地掌握勾股定理，才能在数学的海洋里畅游呀！总之，勾股定理的这三个证明方法真的是太有趣啦！它们让我们看到了数学的精彩和神奇。
大家可一定要好好去体会，去感受呀！相信你们也会被数学的魅力所吸引的！。
北师大版八年级上册勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用
勾股定理经典图形--赵爽弦图在中考的应用一、赵爽弦图的历史我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，如图1，后人称之为“赵爽弦 图”，流传至今．二、赵爽弦图的几何意义 1.证明勾股定理 ：222c a b =+. 2.GH=b-a ；3. 222ABCD S c a b ==+正方形,2-a)S b =正方形EFGH （， S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=（22a b +）-2-a)b （.三、赵爽弦图的应用1.正确识别赵爽弦图例1 （2019•湖北省咸宁市）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是 （ ）A ．B ．C ．D ．解析：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，故选：B ．点评：熟记赵爽弦图的基本构造，明白弦图的构成要素，清楚弦图的构造方式，懂的弦图的构造原理，把握弦图的意义，是解题的关键.通过弦图的识记，也培养自己的爱国热情.2.探求赵爽弦图中四个直角三角形的面积和例2（2020.绍兴）如图2，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图3放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图3中阴影部分面积为 ．解析：由题意可得，223ABCD S c ==正方形=9，直角三角形的另一条直角边长为：=，∴S 阴影=ABCD S 正方形-S 正方形EFGH =2c -2-a)b （=9-25-2)（=9-（9-45）=45. 点评：运用勾股定理，求得直角三角形的另一直角边长是解题的关键.3.变式赵爽弦图，探求2a+b)（的值 例3（2020·宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图4），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图5的形式摆放，那么图5中最大的正方形的面积为 ．解析：根据赵爽弦图的几何意义，得22a b +=15，2-a)b （=3，图5中大正方形的面积为：2a+b)（，∵2-a)b （=3，∴222a ab b -+=3，∴15﹣2ab=3，∴2ab=12，∴2a+b)（=2-a)b （+4ab=3+2×12=27，或2a+b)（=22a b ++2ab=15+12=27. 点评：熟练运用赵爽弦图的几何意义是解题的关键，其次，灵活进行和的完全平方公式，差的完全平方公式的变形计算，也是解题的重要基本技能.4.构造赵爽弦图，探求直角边积的最值例4（2020·湖南娄底）由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图6所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积。
专题12 赵爽弦图模型与勾股树模型(解析版)
专题12赵爽弦图模型与勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型（1）内弦图模型：如图1，在正方形ABCD 中，AE ⊥BF 于点E ，BF ⊥CG 于点F ，CG ⊥DH 于点G ，DH ⊥AE 于点H ，则有结论：△ABE ≌△BCF ≌△CDG ≌△DAH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。
图1图2图3（2）外弦图模型：如图2，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 各边上的点，且四边形EFGH 是正方形，则有结论：△AHE ≌△BEF ≌△CFG ≌△DGH ；S 正方形ABCD =4S △EAB +S 正方形EFGH 。
（3）内外组合型弦图模型：如图3，2S 正方形EFGH =S 正方形ABCD +S 正方形PQMN .例1．（2023春·安徽·八年级统考期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若168ab =，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（）A ．7B ．24C ．17D ．25【答案】C 【分析】勾股定理得：22625a b +=，又222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯=，由此即可求出17()a b a b -=>，因此小正方形的边长为17．【详解】解：由题意知小正方形的边长是a b -，由勾股定理得：22625a b +=，222()26252168289a b a b ab -=+-=-⨯= ，17()a b a b ∴-=>，A ．8B ．12【答案】C 【分析】设AE x =，3BE x =积公式可推导出FGQ AEP S S = 式求解即可．【详解】解：由题意，AEP ∠∴AE CF ∥，BE DG ∥，EF ∴()ASA AEP CGQ ≌，∴∵:3:1BE AE =，∴设AE =∴2EF GF CF CG x ==-=，∴∴阴影部分的面积之和为S 梯形例3．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC ＝12，BC ＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A ．148B ．100C ．196D ．144【答案】A 【分析】通过勾股定理可求出“数学风车”的斜边长，然后求出风车外围的周长即可．【详解】解：如图，设将CA 延长到点D ，连接BD ，由题意得：12224,7,90CD BC BCD =⨯==∠=︒，25BD ∴=，122537AD BD ∴+=+=，∴这个风车的外围周长是374148⨯=，故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．例4．（2022·中山八年级期末）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别记为1S ,2 S ，3S ．若12318S S S ++=,则正方形EFGH 的面积为_______．【答案】6【分析】设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，构建方程组，利用整体的思想思考问题，求出x+4y 即可．【解析】解：设四边形MTKN 的面积为x ，八个全等的三角形面积一个设为y ，∵正方形MNKT ，正方形EFGH ，正方形ABCD 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=18，∴得出S 1=x ，S 2=4y+x ，S 3=8y+x ，∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=18，故3x+12y=18，x+4y=6，所以S 2=x+4y=6，即正方形EFGH 的面积为6．故答案为6【点睛】本题考查勾股定理的证明，正方形的性质、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．【答案】①②③【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形公式，勾股定理逐项进行判断即可．【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为为b a -，正方形ABCD 的边长为b ，正方形EFGH 的边长为a ，正方形∴21S b =，22S a =，()2224MNPQ S c c ==四边形．∴22122S a S c b =++=．模型2.勾股树模型例1．（2022·重庆市八年级期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，正方形A 、B 、C 的面积分别是28cm ，212cm ，214cm ，则正方形D 的面积是______2cm ．【答案】15【分析】根据勾股定理有S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，等量代换即可求正方形D 的面积．【详解】解：如图，根据勾股定理可知，∵S 正方形1+S 正方形2=S 大正方形=49，S 正方形C +S 正方形D =S 正方形2，S 正方形A +S 正方形B =S 正方形1，∴S 大正方形=S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B =49．∴正方形D 的面积=49-8-12-14=15（cm 2）；故答案为：15．【点睛】此题主要考查了勾股定理，注意根据正方形的面积公式以及勾股定理得到图中正方形的面积之间的关系：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的面积．例2．（2022·浙江·乐清市八年级期中）如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲，S 乙，S 丙，S 丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（）A ．S S =甲丁B ．S S =乙丙C ．S S S S -=-甲乙丁丙D ．S S S S +=+甲乙丁丙【答案】D 【分析】连接AC ，根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解．【详解】解：连接AC ，由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2，AD 2+CD 2=AC 2，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的关系．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，…，按照此规律继续下去，则2022S 的值为___________．【答案】201912【分析】根据勾股定理可得222DE CE DC +=，从而得到2112S S =，依次类推，即可得到3211124S S S ==，找出规律，进而得到S 2022的值．【详解】解：如图所示，△CDE 为等腰直角三角形，则CE =DE ，222DE CE DC +=，∴222DE CD =，即221112222S S ==´=，同理可得：32111124S S S ===，4311311112822S S S S ====，∴202212021202120191114222S S ==´=．故答案为：201912．【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在图（2）的基础上增加了8个正方形，……，照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方形的个数是（）A ．12B ．32C ．64D ．128【答案】C【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，……，以此类推可得图形的变换规律．【详解】解：由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，222=2=4⨯图（3）比图（2）多出8个正方形，342=2=8⨯；图（4）比图（3）多出16个正方形，482=2=16⨯；图（5）比图（4）多出32个正方形，5162=2=32⨯；照此规律，图（n ）比图（n -1）多出正方形的个数为：2n故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：62=64；故答案为：C ．【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力．首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．例5．（2022·广东珠海·八年级期末）如图ABC 为直角三角形，斜边4AC =，以两条直角边为直径构成两个半圆，则两个半圆的面积之和为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】A 【分析】先根据勾股定理得出22216AB BC AC +==，再根据圆的面积公式表示出2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理解得得出答案．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，斜边4AC =，∴22216AB BC AC +==，∴2212112222AB BC S S ππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244AB BC π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()228AB BC π=+168π=⨯2π=故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容．例6．（2023·江苏八年级期末）如图，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，分别以△ABC 的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD 、△ACE 、△BCF ，若图中阴影部分的面积S 1＝6.5，S 2＝3.5，S 3＝5.5，则S 4＝_____．【答案】2.5【分析】DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H ；设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n =△，由222+=a b c ，可得ABD ACE BCF S S S +=△△△，由此构建关系式，通过计算即可得到答案．【详解】如图，DE 分别交BF 、CF 于点G 、点H∵△ABD 、△ACE 、△BCF 均是等腰直角三角形∴AB ＝BD ，AC ＝CE ，BC ＝CF ，设AB ＝BD ＝a ，AC ＝CE ＝b ，BC ＝CF ＝c ，ABG S m =△，ACH S n=△∵222+=a b c ∴ABD ACE BCF S S S +=△△△∵1ABD S S m =+△，4ACE S n S =+△，23BCF S S S m n =+++△∴1423S m n S S S m n +++=+++∴4231=3.5 5.5 6.5 2.5S S S S =+-+-=故答案为：2.5．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解．例7．（2023·四川达州·八年级校考阶段练习）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC 中，∠BAC =90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积1S 、2S 、3S 之间的数量关系是（），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＋∠BCD =90°，BC =2AD ，分别以AB 、CD 、AD 、BC 为边向四边形外作正方形，其面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1S 、2S 、3S 、4S 之间的数量关系式为（），请说明理由．【答案】（1）123S S S +=；（2）123S S S +=；理由见解析；（3）123412S S S S =++，理由见解析．【分析】（1）利用直角ABC 的边长就可以表示出等边三角形1S 、2S 、3S 的大小，满足勾股定理；【点睛】本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．课后专项训练1．（2023·北京初二期中）如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的关系是（）A ．1S +2S =3S B ．222123S S S +=C ．222123S S S +＞D ．222123S S S +＜【答案】A 分析：设直角三角形各边长为2a 、2b 、2c ，如图所示：【解析】∵三角形是直角三角形，∴（2a ）2+（2b ）2=（2c ）2，化简得：a 2+b 2=c 2，S 1=12πa 2，S 2=12πb 2，S 3=12πc 2；S 1+S 2=12π（a 2+b 2）=12πc 2=S 3．故选A ．考点：勾股定理．2．（2022成都市八年级数学期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右“肩”上“生出”两个小正方形，这3个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，则“生长”了2021次后形成的图形中所有正方形的面积和为（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】D【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，设直角三角形的三条边分别是a ，b ，c ，根据勾股定理，得222+=a b c ，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，同理：正方形D 的面积+正方形E 的面积+正方形F 的面积+正方形G 的面积=正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积1=，推而广之，“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202212022⨯=．故选：D【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，理解“勾股树”的关系是解题关键．3．（2022·四川成都·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于（）A ．直角三角形的面积B ．最大正方形的面积C ．最大正方形与直角三角形的面积和D ．较小两个正方形重叠部分的面积【答案】D 【分析】根据勾股定理得到222c a b =+，再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可．【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，斜边为c ，由勾股定理可得，222c a b =+，阴影部分面积222()()()c b a c b a a c b a a b c =---=--=+-，较小两个正方形重叠部分的面积()a a b c =+-，∴阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积．故选：D ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题．4．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，△ABC 中，90ACB ∠= ，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A ．以BC 为边的正方形面积B ．以AC 为边的正方形面积C ．以AB 为边的正方形面积D ．△ABC 的面积【答案】D 【分析】如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，证明△ADE ≌△CAN 得到=ADE CAN S S △△，AE =CN 同理可证△BGH ≌△CBN ，得到=BGH CBN S S △△，BH =CN ，则==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，即可推出=5ABC S S △阴影由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，∴∠CNA =∠DEA =∠DAC =90°，∴∠DAE +∠EDA =∠DAE +∠CAN =90°，∴∠ADE =∠CAN ，又∵AD =CA ，∴△ADE ≌△CAN （AAS ），∴=ADE CAN S S △△，AE =CN同理可证△BGH ≌△CBN ，∴=BGH CBN S S △△，BH =CN ∴==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，∴=ABC S AB AE AB BH S ⋅+⋅+△阴影=2ABC AB CN S ⋅+△=5ABC S △，∴只需要知道△ABC 的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．5．（2022·广东湛江·八年级期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4B．6C．8D．12【答案】C【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可．【详解】解：由题意：S正方形A +S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E，∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24-S正方形C=6+10，∴S正方形C=8．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2023春·广东潮州·九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD的面积的大小为（）A．144【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的根据勾股定理，得AF所以正方形ABCD的面积为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度．7．（2023春·湖北武汉A．1B．2【答案】C△≌△【分析】先证明EDO【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键8．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五积关系验证勾股定理．图2G，H，I都在长方形KLMJA ．420B ．440【答案】B 【分析】延长AB 交KL 于P ，延长AC 交LM 相等可得PB AC CQ AB ==，，然后求出IP 和【详解】解：如图，延长AB 交KL 于P ，延长由题意得，90BAC BPF FBC ===︒∠∠∠，【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，作辅助线构造出全等三角形并得到长方形的邻边的长是解题的关键，也是本题的难点．9．（2023春·广西南宁·八年级统考期末）勾股定理，如图所示的“弦图角形较短直角边长为a ，较长直角边长为为．【答案】1【分析】结合图形，得出【详解】解：根据题意得：【答案】4π【分析】先分别算出1S 、【详解】解：∵12AC S π⎛= ⎝∴211S S AB BC ππ+=+【答案】63【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有123+=（个），第二代勾股树中正方形有21227++=（个），第三代勾股树中正方形有234512222263+++++=（个）故答案为：13．（2022·广西·八年级课时练习）如图，Rt △ABC 的两条直角边6BC =，8AC =．分别以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，则4S 的值为______，231S S S +-的值为______．【答案】240【分析】先证明,ADE ABC V V ≌从而可得4,S 再利用图形的面积关系可得：223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==证明132,S S S -=从而可得第二空的答案.【详解】解：如图，以Rt △ABC 的三边为边作三个正方形，,,90,AC AE AB AD EAC DAB \==Ð=Ð=°226810,AB =+=,EAD CAB \Ð=Ð,ADE ABC \V V ≌46116824,22S S AC BC \===创=g 223451567864,10100,S S S S S S S ++==+++==两式相减可得：17336,S S S +-=而227636,S S +==132,S S S \-=23113310.S S S S S S S -=-+-=∴+故答案为：24，0【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形面积之间的关系，证明ADE ABC ≌是解本题的关键.【答案】55n(3)新知运用：根据你所发现的结论完成下列问题．①某个直角三角形的两条直角边a 、b 满足式子②由①中结论，此三角形斜边c 上的高为形组成的，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为【答案】(1)b a -(2)222+=a b c (3)①5c =根据勾股定理可得：222,a b c +=∴正方形,G H 的面积之和等于正方形E 的面积，同理可得：正方形E 的面积等于正方形A ，B ，C ，D 的面积的和，所以正方形E 的面积为2＋4＋1＋2＝9，所以正方形E 的边长为3，故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的证明方法，因为勾股定理涉及到各边的平方，而边长的平方正是正方形的面积，所以勾股定理与正方形的面积密切相关，理解勾股定理与正方形或其它图形的关系，对后面的解题非常重要．17．（2022春·广西南宁·八年级南宁三中校考期末）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，图1、图2、图3是三种常见的证明方法，请你从中任选一种证明勾股定理（图中出现的直角三角形大小形状均相同）．【探索发现】如图4，以直角三角形的三边为边向外部作等边三角形，请判断1S 、2S 、3S 的数量关系并说明理由．【答案】【实践操作】见解析；【探索发现】123S S S +=，理由见解析【分析】在图1中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得222+=a b c ．在图2中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即可得222+=a b c ．在图3中，根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即可得：222+=a b c ．由等边三角形的性质、三角形面积公式以及勾股定理即可得出结论．即()22142c ab b a =⨯+，整理得：222+a b c ，在图2中，连接，则梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即()()11+2a b a b +=222+=a b c ；中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，18．（2022·北京昌平·七年级期末）数学王老师在探索乘法公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，我国三国时期的数学家赵爽创造了一幅“勾股圆方图”（也称“赵爽弦图”）证明了勾股定理．2002年在北京召开的国际数学家大会把“赵爽弦图”作为会徽（如图1），彰显了这一中国古代的重大成就．运用“赵爽弦图”证明勾股定理的基本思路如下：“赵爽弦图”是将四个完全相同的直角三角形（如图2，其中构成直角的两条边叫直角边，边长分别为a 和b ，且a b <；最长的那条边叫做斜边，边长为c ）围成一个边长为c 的大正方形（如图3），中间空的部分是一个边长为b a -的小正方形．(1)验证过程：大正方形的面积可以表示为2S c =，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为214()2S ab b a =⨯+-，∴2214()2c ab b a =⨯+-．化简等号右边的式子可得∴2c =_______．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．(2)爱动脑筋的小新把这四个相同的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图4），模仿上述过程也能验证这个结论，请你帮助小新完成验证的过程．【答案】(1)a 2+b 2；(2)见解析【分析】（1）化简等号右边的式子，即可得出答案；（2）利用以c 为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为a +b 的正方形的面积建立方程，即可得出结论．(1)解：（1）验证过程：大正方形的面积可以表示为S =c 2，又可用四个直角三角形和一个小正方形的和表示为S=4×12ab+（b-a）2，∴c2=4×12ab+（b-a）2．化简等号右边的式子可得c2=a2+b2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．故答案为：a2+b2；(2)如图4，∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4×12ab，∴c2+2ab=a2+b2+2ab，∴a2+b2=c2．【点睛】本题考查了勾股定理的证明．求面积时，利用了“分割法”．。
数学史—从赵爽弦图谈起
总统的证明及其他
有意思的是， 有意思的是，美国 的第二十任总统加菲尔 德曾在《 德曾在《新英伦数学学 报》上发表过一个勾股 定理的简单证法。 定理的简单证法。 如图： 如图：若直角三角 形勾、 弦分别为a， 形勾、股、弦分别为 ， b，c时，就在图中的等 ， 时 腰直角三角形两侧作两 直角三角形，构成以a， 直角三角形，构成以 ， b为上下底，以a+b为高 为上下底， 为上下底 为高 的梯形， 的梯形，从等式
希腊数学史上有明确的记载， 希腊数学史上有明确的记载，首先是 出现在欧几里得《原本》之中。 出现在欧几里得《原本》之中。 如图： 如图：
ABD≌△FBC(边角边 边角边) 首先证 ： △ABD≌△FBC(边角边) 矩形BL=2 ABD（等高等底） BL=2△ 矩形BL=2△ABD（等高等底） 正方形GB=2 GB=2△ 同理 ： 正方形GB=2△FBC, 所以： 矩形BL=正方形GB. BL=正方形 所以： 矩形BL=正方形GB. 同理可得：矩形GL=正方形AK. GL=正方形 同理可得：矩形GL=正方形AK. 故有： 矩形BL+矩形CL BL+矩形 故有： 矩形BL+矩形CL 正方形GB+正方形AK GB+正方形 = 正方形GB+正方形AK 另一方面: 另一方面: 矩形BL+矩形CL=正方形CD BL+矩形CL=正方形CD， 矩形BL+矩形CL=正方形CD， 最后可得: 最后可得: 正方形GB+正方形AK=正方形CD. GB+正方形AK=正方形 正方形GB+正方形AK=正方形CD.
取由球和圆锥割出的两个薄片将他们的重心吊在点t使tn2r这两个薄片绕n的合成力矩为故得到球体体积两个等底等高四面体的体积相等问题即是存在两个等边等高的四面体它们不可分解为有限个小四面体使这两组四面体彼此全等称之为希尔伯特第三问题因该问题在希尔伯特问题中排序第三而命名
证明勾股定理的4种方法
证明勾股定理的4种方法证明勾股定理的4种方法今天小编为大家精心整理了一篇有关数学的相关内容，以供大家阅读，更多信息请关注学习方法网！勾股定理是一个基本的几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的例子。
当整数a,b,c满足a?2;+b?2;=c?2;这个条件时，(a,b,c)叫做勾股数组。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a?2;+b?2;=c?2;。
在中国数学史中同样源远流长，是中算的重中之重。
《周髀算经》中已有“勾三股四弦五”的记述，赵爽的《周髀算经》中将勾股定理表述为“勾股各自乘，并之，为弦实。
开方除之，即弦。
”勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
下面我们一起来欣赏其中一些证明方法：方法一：赵爽“弦图”三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。
2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。
方法二：刘徽“青朱出入图”约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理。
方法三：欧几里得“公理化证明”希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》给出一个公理化的证明。
1955年希腊为了纪念二千五百年前古希腊在勾股定理上的贡献，发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。
方法四：毕达哥拉斯“拼图”毕达哥拉斯（公元前572—前497年），古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD，使中间留下边长c的一个正方形洞．画出正方形ABCD．移动三角形至图2所示的`位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．则图1和图2中的白色部分面积必定相等，所以c的平方=a的平方+b的平方方法五：达·芬奇的证明达·芬奇，意大利人，欧洲文艺复兴时期的著名画家。
勾股定理的证明七十五种方法,初中平面几何经典证明
勾股定理的证明勾股定理是平面几何中最重要的定理！它是历史上第一个将数与形联系起来的定理，开启了论的发现使人们加深了对数的理解，发现了无理数。
勾股定理也是历史上第一个给出完全解答的不定方程，并引出了费马大定理。
而勾股定理的证明目前约有500种，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
今天我们来分享几种证明方法，从证明方法中感受勾股定理的魅力，加深对勾股定理的理解。
方法一：赵爽弦图证法方法二：毕达哥拉斯证法ccc2222214()2c ab b a a b c=⨯+-⇒+=kF22ABF2222ABF ADC 11S =,S 22S ADLM ADLM BELM a a b a b c ∆∆≅∆+=，由同底等高面积关系得＝，Ｓ＝＝，故方法三：书本证明方法222221()42a b ab c a b c+=⨯+⇒+=法四：利用三角形相似推导aaabbbbaabbbbcB2222222,,()BC BD BA AC AD AB a BD c b AD ca b AD c BD c AD BD c c ====+=+=+=g g g g g g 由射影定理可得即两者相加方法六：托勒密定理证明E22222AC AD AE b ()()c a c a a b c =-++=g 由切割线定理可得：＝故得aA222AC BD+AB CD=AD BC +b =c a g g g 由托勒密定理可得：即方法八：总统证法方法九：八法变式ab22222r=211111S =()2222211()()2()24a b cab ar br cr a b c rab a b c a b c ab a b c a b c ∆+-=++=++=+++-⇒=+-+=由切线长定理可知即abb22222111()4222S a b ab ca b c +=⨯++=梯＝故abb2222111c ()()222S a b b b a aa b c =++-+=四＝故方法十和方法十一：总结：上述方法是非常常见的方法，当然同学们可以总结出，用到最多的还是面积法，对于面积法无论证明方法如何变化，图形如何变化，方法都有一种熟悉感。
数学史—从赵爽弦图谈起
花拉子米
四、体积计算东西谈
古代的数学家刘徽、祖冲之、阿基米德、欧 古代的数学家刘徽、祖冲之、阿基米德、 几里得等，他们在计算立体图形的体积时， 几里得等，他们在计算立体图形的体积时，绕越 障碍，各出奇招，做出令人惊叹的贡献。 障碍，各出奇招，做出令人惊叹的贡献。 刘徽的“阳马术”与欧几里得的“魔鬼阶梯” 刘徽的“阳马术”与欧几里得的“魔鬼阶梯” 所谓“阳马” 所谓“阳马”是中国古代学者对底面为长方 形且有一条棱与底面垂直的椎体的称呼。 形且有一条棱与底面垂直的椎体的称呼。 在出入相补无法解决这个证明的情况下， 在出入相补无法解决这个证明的情况下，刘 徽于是转而求助于极限方法，用极限过程对他的 徽于是转而求助于极限方法， 命题Y:B=2:1 给出一般的证明， Y:B=2:1， 命题Y:B=2:1，给出一般的证明，他的方法记载在 九章算术》阳马术注中。 《九章算术》阳马术注中。刘徽的极限方法即使 在今天看来也很精彩。 在今天看来也很精彩。
勾股定理与量天测地
根据《 根据《周髀算 经》，影周公测日方 法大致是这样的： 法大致是这样的：先 后两次测量同一圭表 在不同处的日影长然 后用公式： 后用公式： 日高=（表高× 日高 （表高×表 影长+表高 距）/影长 表高 影长
周 公 测 影 台
海岛公式
比赵爽稍晚一些的魏晋 数学家刘徽写了一部《 刘徽写了一部 数学家刘徽写了一部《海岛 算经》 算经》，应用勾股定理解决 各种测量问题， 各种测量问题，其中第一个 问题是测量海岛的高度。 问题是测量海岛的高度。 海岛公式：岛高 （表高× 海岛公式：岛高=（表高× 表距） 表目距的差 表目距的差+表高 表距）/表目距的差 表高 显然， 显然，将《周髀算经》 周髀算经》 中的日高公式改日高为岛高， 中的日高公式改日高为岛高， 就是海岛公式。 就是海岛公式。
勾股定理的证明(比较全的证明方法)ppt课件
那么： c2 4 ab (b a)2 2
得： c2 =a2+ b2．
6
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：
勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各
从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
I
令正方形ABCD为朱方，正方
形BEFG为青方．在BG间取一点H，
E
使AH=BG，裁下△ADH，移至
D
C
F
△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形
A
BH G
DHFI．勾股定理由此得证．
返回
7
总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
朱实 中黄实 b (b-a)2 a
勾股定理的证明
32
42
52
1
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人 们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨 和研究它的证明．因此不断出现关于勾股定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法 3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法 5．其他证法
勾股定理知识点归纳
勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。
这就是勾股定理。
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。
大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。
2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。
通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。
3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。
三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。
2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。
3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。
比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。
（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。
（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。
四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。
勾股定理的冷门证明方法
勾股定理的冷门证明方法1 证法一（邹元治证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。
∵Rt△HAE≌Rt△EBF∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共线∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^22 证法二（课本的证明）：如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。
3 证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按所示相拼。
易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^24 证法四（总统证明）：如所示。
易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^25 证法五（梅文鼎证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。
易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。
∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积∴c²=a²+b²6 证法六（项明达证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。
周髀算经与赵爽弦图
证明
证明方法：“勾、股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦” 思考：根据弦图，勾股定理的证明还有其他方法吗？
◆鉴于“赵爽弦图”所表现出的中国古代数学的独具特色， 2002年在中国北京召开的世界数学家大会采用此图作为会标 。
探究一
◆“赵爽弦图”不仅揭示了勾股定理这种等量关系， 由必修5可知还蕴含了不等关系。
简介
◆中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出贡献。 ◆中国流传至今最早一部与数学有关著作是《周髀》，大约成书于公元前1世纪。 ◆唐朝李淳风等把它作为数学课本《算经十书》的第一种，并称为《周髀算经》。
思考：大家知道《周髀算经》中研究的最重要的数学问题是什么吗？
◆现传的周髀算经由三国时期的赵爽注释。 ◆其中最重要的贡献是明确的给出了勾股定理的理论证明。 ◆体现的数学思想：“出入相补”原理。
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
视角二三：长角度
F
BAE与a, b, c关系
a c cos
b
c
sin
a b c (sin cos )
2c sin( )
2c
[0,
]
4
4
a b a2 b2
2
2
思考
思考：赵爽弦图是正方形中构造直角三角形， 你能否构造类似弦图得出等式或不等式吗？
2 ab a b a2 b2
11
2
2
ab
视角一：面积
4S直 S大正
2ab c2 2ab a2 b2 ab a2 b2 2 ab a b 2
探究二
◆“赵爽弦图”不仅揭示了勾股定理这种等量关系， 由必修5可知还蕴含了不等关系。
2 ab a b a2 b2
勾股定理的证明方法.doc
勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理。
这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。
一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。
因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。
二、赵爽弦图的证法（图2）第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。
因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。
勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理的数学问题
我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理的数学问题
例1：（温州）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1—1）。
图1—2由弦图变化得到，它是由八个
全等的直角三角形拼接而成。
记图1—2中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若=10，则的值是。
解析：由题意可知，，，。
又由=10，易得：的值是
赏析：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一。
有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它。
赵爽的证明可谓别具匠心，极富创新意识。
他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。
学生通过解此
题，进一步体验了形数统一的思想方法，又一次经历了认识勾股定理的数学化过程。
受到优秀文化的熏陶，传承了中华民族悠悠五千年文化史。