新人教版八年级上册数学[幂的运算(提高)知识点整理及重点题型梳理]

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八年级上册幂的运算知识点

八年级上册幂的运算知识点在数学学科中，幂指的是数的乘方运算，即一个数的自乘若干次的结果。

在八年级上册数学课程学习中，幂的运算是一个重要的知识点，本文将全面介绍八年级上册幂的运算知识点。

一、幂的定义幂是指一个数自乘若干次得到的结果，其中，第一个数称为底数，第二个数称为指数。

幂的标准写法为 a^n，其中，a是底数，n是指数。

指数为正整数时，表示底数自乘n次的结果；指数为0时，结果为1；指数为负整数时，表示底数自除n次的结果。

二、幂的简化简化幂是指将幂简化为不含指数的形式。

当指数相同的幂相加或相减时，可以通过运用幂运算转化为同一底数幂的运算。

例如：2^3 + 5^3 = (2+5) ^ 33^4 - 2^4 = (3-2) * (3^3+2^3)三、幂的乘方幂的乘方是指同一个底数的幂相乘的运算。

当同一底数幂相乘时，可以将指数相加得到新的指数，例如：4^3 * 4^2 = 4^(3+2) = 4^5四、幂的除法幂的除法是指同一个底数的幂相除的运算。

当同一底数幂相除时，可以将指数相减得到新的指数，例如：9^4 / 9^2 = 9^(4-2) = 9^2五、幂的分配律幂的分配律指幂乘或幂除时，若底数相同，则可以将幂运算中的括号内指数分别与外部指数相乘或相除。

例如：2^3 * (3^4 * 3^2) = 2^3 * 3^(4+2) = 2^3 * 3^6(4^3 / 4^2) ^ 5 = 4^(3*5 - 2*5) = 4^5六、幂的零指数幂的零指数是指任何底数的0次幂等于1，例如：3^0 = 15^0 = 1七、幂的负指数幂的负指数指底数的倒数的任何次幂等于这个数的负指数幂，例如：2^-3 = 1/2^3 = 1/8总之，八年级上册幂的运算知识点包括幂的定义、简化、乘方、除法、分配律、零指数和负指数。

掌握这些知识点，对于解决数学题目具有重要的意义。

希望学生们认真学习，熟练掌握八年级上册幂的运算知识点，做到理论和实践相结合，灵活应用知识。

专题14.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)

专题14.1 幂的运算【八大题型】【人教版】【题型1 幂的基本运算】 (1)【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 (2)【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 (2)【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 (2)【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 (3)【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 (3)【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 (3)【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】 (4)【题型1 幂的基本运算】【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（）A ．m 2n ﹣n ＝n 2B ．2（﹣ab 2）3＝﹣2a 3b 6C ．（﹣m ）2m 4＝m 8D ．x 6y x 2=x 3y 【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(512)2005×(225)2004=（） A ．1 B ．512 C ．225 D ．(512)2003 【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x 5m +3n +1÷（x n ）2•（﹣x m ）2的结果是（）A ．﹣x 7m +n +1B ．x 7m +n +1C ．x 7m ﹣n +1D ．x 3m +n +1【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（）①a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c（a≠1），当b＞c时，则有a b＞a c；若对于同指数，不同底数的两个幂a b和c b，当a＞c时，则有a b＞c b，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：520420，9612741；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）比较233与322的大小；（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝．【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为．【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若x m＝5，x n=14，则x2m﹣n＝（）A．52B．40C．254D．100【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：（1）34m的值；（2）33n的值；（3）34m﹣6n的值．【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝．【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝8．【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是．【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝．【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（a y）3＝a17，则y＝，若3×9m×27m＝311，则m的值为．【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为．【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝．【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有____组．【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a 2m+3y=a m+1x=1．（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x＝4，求此时y的值．【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若a m＝a n（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【题型7 幂的运算法则（混合运算）】【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：（1）（﹣a）2•a3（2）（﹣8）2013•（18）2014（3）x n•x n+1+x2n•x（n是正整数）（ 4 ）（a2•a3）4．【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：（1）y 3•y 2•y（2）（x 3）4•x 2（3）（ a 4•a 2）3•（﹣a ）5（4）（﹣3a 2）3﹣a •a 5+（4a 3）2．【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题（1）（45）2015×（﹣1.25）2016．（2）（318）12×（825）11×（﹣2）3．【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算（1）（m ﹣n ）2•（n ﹣m ）3•（n ﹣m ）4（2）（b 2n ）3（b 3）4n ÷（b 5）n +1（3）（a 2）3﹣a 3•a 3+（2a 3）2；（4）（﹣4a m +1）3÷[2（2a m ）2•a ]．【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m •a n ＝a m +n （其中a ≠0，m 、n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：h （m +n ）＝h （m ）•h （n ）；比如h（2）＝3，则h （4）＝h （2+2）＝3×3＝9，若h （2）＝k （k ≠0），那么h （2n ）•h （2022）的结果是（）A ．2k +2021B ．2k +2022C ．k n +1010D ．2022k【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log 28＝3；由于a 1＝a ，所以1是以a 为底a 的对数，记作log a a ＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么（1）log a （M •N ）＝log a M +log a N ；（2）log a M N =log a M ﹣log a N ；（3）log a M n ＝n log a M ．根据上面的运算性质，计算log 2（23×8）﹣log 2165−log 210的结果是．【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作a ※b ：如果a c ＝b ，那么a ※b ＝c ．例如：因为32＝9，所以3※9＝2（1）根据上述规定，填空：2※16＝， ※136=−2，（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n ※4n ＝3※4，小明给出了如下的证明：设3n※4n＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：6※7+6※9＝6※63；②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝※（结果化成最简形式）．【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，25）＝；（3，27）＝．（2）计算：（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．。

新人教版八年级上册数学[幂的运算(基础)知识点整理及重点题型梳理]

新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】【幂的运算知识要点】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数) （2）逆用公式： ()()n m mn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质 1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222a a a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()p p p x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n ⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()p p p p p p p x xx x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22n n n +++=⋅⋅-=-=-． 2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x =．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m n m n a a a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a -．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2m a =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a -2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．【答案与解析】解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a b x+的值．【答案】解：32323232()()238972a b a b a b x x x x x +===⨯=⨯=．【396573 幂的运算例3】【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n 的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m n m n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。

初中数学专题复习资料-----幂的运算性质

初中数学专题复习资料-----幂的运算性质【知识梳理】1、知识结构2、知识要点（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ←→a m+n =a m ·a nnm nma a a +=⋅（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即←→a mn =(a m )n =(a n )m()mnnm aa=（3）积的乘方，等于每个因式分别乘方，即←→a n b n =(ab)n()nn nb a ab =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 ←→a m-n =a m ÷a n （a ≠0）nm n ma a a -=÷（5）零指数和负指数：规定，（其中a ≠0，p 为正整数）（其中，m 、n 均为整数）10=a ppa a1=-3、中考预测对于幂的运算性质的考查，在中考中多以选择题和填空题出现，以考查对该性质的掌握，题目侧重于基础知识的掌握和运用，以及对该性质的理解，题目不会很难，但是会有一定的综合性，应准确把握和理解幂的运算性质，防止混淆。

（一）同底数幂的乘法【解题讲解-------基础训练】【例1】 1、（－）2×（－）3= 。

2、（－b ）2·（－b ）4·（-b)= ，（m+n ）5·（n+m ）8= 1212。

3、a 16可以写成（） A ．a 8+a 8； B ．a 8·a 2 ； C ．a 8·a 8 ； D ．a 4·a 4。

4、下列计算正确的是（） A ．b 4·b 2=b 8 B ．x 3+x 2=x 6 C ．a 4+a 2=a 6 D ．m 3·m =m 4【解题讲解-------能力提升】【例2】1、下面的计算错误的是（）A ．x 4·x 3=x 7B ．（－c ）3·（－c ）5=c 8C ．2×210=211D ．a 5·a 5=2a 102、x 2m+2可写成（） A ．2x m+2 Bx 2m +x 2 C ．x 2·x m+1 D ．x 2m ·x 23、若x ，y 为正整数，且2x ·2y =25，则x ，y 的值有（）对。

幂的运算知识点及习题

知识梳理（一）同底数幂的含义同底数幂是指底数______的幂。

注意：在同底数幂中，底数可以是一个数或一个字母，也可以是一个单项式或一个多项式（二）同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数______，指数______．当m 、n 是正整数时，a m ⋅ a n = ________ .当m 、n 、p 是正整数时，a m ⋅a n ⋅a p = ________ .同底数幂乘法法则的逆用：（三）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数______，指数______．a m ÷a n = ______.【a ≠0，m 、n 是正整数，m >n 】a m ÷a n ÷a p =______.同底数幂的除法的逆用：（四）零指数幂：当a ≠0时，a 0= ______ ．用文字叙述：____________ 的数的零次幂等于______．（五）负整数指数幂：当a ≠0，n 是正整数时，a -n = ______ ．用文字叙述：____________ 的数的-n 次幂等于 __________________ ．（六）幂的乘方：幂的乘方，底数______，指数______．当m 、n 是正整数时，（a m ）n = ________[（a m ）n ]p = ________(七）积的乘方：把积的每一个因式乘方，再把所得到的幂相乘。

在等式(ab )n = ________说明：n 表示一个正整数，a 、b 可以表示一个数，也可以表示一个代数式。

()n abc =（ab ）n n c ⋅ （乘法的结合律、积的乘方性质）=nn n c b a 。

（积的乘方性质）1.下列各式中是同底数幂的是( )A.2³与3²B.a ³与（－a ）³C.（m-n ）⁵或（m-n ）⁶D.(a-b)²或（b-a ）³2.下列计算中正确的是( )A.X ²·x²=2B.y ⁷·y ⁷=y ¹⁴C.x ·x ³=x³D.3c ²·5c ³=15c ⁵3.计算：a ·a²+a ³=4.计算：x ·x ³·x ⁴ -X³·x ⁵=5.如果x 满足方程3³x+1=27×81.求x 的值。

人教版数学八年级上册29幂的运算(基础)知识讲解

幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。

即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 ()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n aa a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）234444⨯⨯；（2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【答案与解析】解：（1）原式234944++==．（2）原式34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=．（3）原式11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中a 的指数是1．在第（3）小题中把x y +看成一个整体．举一反三：【变式】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-；（2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【答案】解：（1）原式532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-．（2）原式22122151()ppp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-．（3）原式525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-．2、已知2220x +=，求2x 的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：22222x x +=⋅【答案与解析】解：由2220x +=得22220x ⋅=．∴ 25x=．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：m nm n aa a +=⋅．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）2()m a ；（2）34[()]m -；（3）32()m a-．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是a ，（2）题中的底数是m -，（3）题中的底数a 的指数是3m -，乘方以后的指数应是2(3)62m m -=-．【答案与解析】解：（1）2()m a 2ma =．（2）34[()]m -1212()m m =-=．（3）32()m a-2(3)62m m a a --==．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2016春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y 的值．【思路点拨】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案．【答案与解析】解：∵a x =3，a y =2，∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键．举一反三：【变式1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【答案】解：32323232()()238972a ba b a b x x x x x +===⨯=⨯=g g ．【变式2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【答案】解：因为3338(8)464===m m , 2228(8)525===n n .所以323288864251600+=⨯=⨯=m nm n .类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =；（2）333(4)64ab a b =；（3）326(3)9x x -=-．【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：222()ab a b =．（2）对．（3）错，系数应为9，应为：326(3)9x x -=．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．（2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略．举一反三：【变式】（2015春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555．【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．。

【重点梳理】-初二数学-幂的运算

核心知识点一：同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，核心知识点二：同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数，并且m n ＞）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，幂的运算の重点梳理一、基础知识梳理核心知识点三：幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）．法则的推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，核心知识点四：积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()n n n ab a b =（n 为正整数）法则的推导过程：一般地，对于任意底数a 、b 与任意正整数n ，核心知识点五：0次幂 01(0)a a =≠．核心知识点六：负整指数幂一般地，当n 是正整数时，1(0)n na a a -=≠．()m n a n m m nm m m m m m mn a a a a a a +++=⋅⋅⋅==个个()()()()n ab n n a n b n n ab ab ab ab a a a b b ba b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=个个个1、同底数幂的乘法：m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．2、同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数m >n ）．3、幂的乘方：()nm mn a a =（m ，n 都是正整数）4、积的乘方：()nn n ab a b =（m ，n 都是正整数）5、0次幂：01a =（0a ≠）6、负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1(0)n n a a a -=≠．二、知识体系梳理。

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习(含答案)

初中数学幂的运算专题讲解及典型题练习【知识点梳理】1．有理数的乘方定义求个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．n 一般地，，叫做底数，叫做指数，叫做幂。

n n a a a a a ⋅⋅⋅= 个a n n a 读作“的次幂”或读作“的次方”．n a a n a n 【注意】(1)乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方运算的结果．(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略15a 1a 不写．2．有理数幂的符号法则(1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．(3)特别地，．()11,00n n n ==为正整数【注意】“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负51()2-51()2数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．1()2n -3．有理数的混合运算一个算式里含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中的两种或两种以上的运算，称为有理数的混合运算．【注意】加法、减法、乘法、除法有各自的运算法则，也有各自的运算技巧，减法可以统一成加法，除法可以统一成乘法，加法与乘法还有各自的运算律，乘方是乘法的特例，也有自己的符号法则，同时也要考虑整体的符号关系以及简便算法．4．有理数的混合运算顺序(1)先乘方，再乘除，最后加减．(2)同级运算，从左到右依次进行．(3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【注意】(1)在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学习混含运算，首先应注意的就是运算顺序的问题．(2)通常把六种基本的代数运算分成三级：第一级运算是加和减，第二级运算是乘和除，第三级运算是乘方和开方（以后学习）．运算顺序的规定是先算高级运算，再算低级运算，同级运算在一起，按从左到右的顺序计算．对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的．(3)括号前带负号，去括号后要将括号内的各项都要变号，即．()(),a b a b a b a b -+=----=-+5．科学记数法把一个数写成（其中，是正整数）的形式，这种记数法称为科学记数10n a ⨯110a <≤n 法．【注意】(1)科学记数法是一种特定的记数方法，应明白其中包含的基本原理及其结构，即要掌握形式的结构特征：，为正整数，且值等于原数的整数位数减1．10n a ⨯110a <≤n n (2)在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右a 移动位，中数字不够时，用补足．n a 0【典型例题讲解】【例1】计算：．2007200812()2⨯-【分析】直接进行各自的乘方运算非常困难，但根据乘方的意义可得．共200722222=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯2007个2相乘，2008200811()()22-=2007112008200722111111111222222222=⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯个个（）利用乘法交换律和结合律，把2007个2与结合在一起相乘，利用互为倒数即可求出数12值．【解析】2007200812()2⨯-20072008122=⨯（）．20072007200711111222222=⨯⨯⨯⨯=（）（）=（2）【方法总结】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1．计算时要注意符号的问题．多加理解与练()m m m a b ab = a b 习，最好能达到一看题目就可以得出结果的程度．【借题发挥】计算：、．2010201115()5⨯-200920102 2.55⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭【解析】．20102010201111115()55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯-⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．200920092009201020102252552.5 2.5552522⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯=-⨯⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【例2】计算：．22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算，分清计算的先后顺序，还要注意去括号的时候要注意符号．【解析】22135(13)(2)0.2⎡⎤---+-⨯÷-⎢⎥⎣⎦[]135(13)435(1253)40.04⎡⎤=---+-⨯÷=---+-⨯÷⎢⎥⎣⎦[][]35(175)435(74)4=---+-÷=---+-÷．[]35(18.5)3(23.5)20.5=---+-=---=【借题发挥】计算：()()[]2243225.02115.01--⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-+-【解析】原式＝()[]()()2411110.52910.571167554162⎛⎫⎛⎫-+-÷⨯-=-+-÷⨯-=-+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例3】已知，，求的值．12x =-13y =-432231x y x --【分析】把，的值分别代入要求的式子，按有理数混合运算顺序进行计算．x y 【解析】把，代入，得12x =-13y =-432231x y x -- 原式43211112()3()23()231627111()124⨯--⨯-⨯-⨯-==---11114141789()3893627544-==+⨯=+=【方法总结】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后结果是分数时一定是最简分数．【借题发挥】求当时，代数式的值．2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y--+++-【解析】将带入，得2,1x y =-=-2222222x y x xy y x y x y --+++-原式＝．()()()()()()()()()()2222221222113114221531521⨯-----⨯-⨯-+--+=+=⨯-+-----【例4】(1)补充完整下表：1323334353637383392781(2)从表中你发现3的方幂的个位数有何规律？(3)3251的个位数是什么数字？为什么？【分析】幂的个位上的数字3、9、7、l 交错重复出现，即每隔四个数，个位数字就重复一次，所以用251除以4所得的余数来确定．【解析】(1)132333435363738339278124372921876561(2)个位上的数字为3、9、7、1交错重复出现．(3)的个位数是7，因为除以4的余数是3．是重复出现时的第三个数．2513251【方法总结】此类题一般都是通过写出一些简单的幂，通过这些幂的结果总结出末位出现数字的种类及循环规律，进一步把指数按循环数进行分解，通过剩余指数求得最后答案．【借题发挥】的个位数是，的个位数是，253263的个位数是，的个位数是．273283【解析】3,9,7,1．【例5】怎样比较，，的大小呢？553444335【解析】本题如果通过硬算，数字太大，不可能，因此要观察此三个数的特点，经观察，我们发现55、44、33存在着最大公因数11，不妨利用这一点以及乘方的定义来入手解题．具体过程如下：5511115533333(33333)243=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 个344111144444444(4444)256=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 个．33111133555555(555)125=⋅⋅⋅=⨯⨯= 个因为,所以256243125>>111111256243125>>即．445533435>>【借题发挥】1．试比较的大小．443322234、、【解析】因为：，则，即()()()111111444113331122211221633274416======，，11111627<．442233243<=2．你能比较和的大小吗？2004200320032004 为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较和1n n +(1)n n +的大小（是自然数）．然后，我们从分析…这些简单情形人手，从中发现规n 1,2,3,n n n ===律，经过归纳，猜想出结论．(1)通过计算．比较下列各组中两个数的大小（填“>”，“<”或“”）．- ①___；②____；③ ；④____；⑤ ；…21123223433454456556 (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出和的大小关系是．1n n +(1)n n + (3)根据上面归纳猜想后得到的一般结论，试比较下面两个数的大小：．2004200320032004【解析】经计算与分析可推出结论：当时，＜；当时，＞．3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(1)①＜；②＜；③＞；④＞；⑤＞ (2) 当时，＜；当时，＞3n <1n n +(1)n n +3n ≥1n n +(1)n n +(3)＞．(2)【借题发挥】比较下面各对数的大小：___；；．211243342010200920092010【解析】＜；＞；＞．【例6】比较与的大小．109.99810⨯111.00110⨯【分析】二者是用科学记数法表示的数，一方面可以把它们化成原数，通过比较原数大小来比较这两个数的大小；另一方面也可以把它化为相同指数，通过比较前面数（即）的大小来比a 较二者大小．【解析】解法一：，109.9981099980000000⨯=.111.00110100100000000⨯= 又,100100000000>99980000000．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯ 解法二：,1110101.001l01. 0011010 10.0110⨯=⨯⨯=⨯ 又，10.019.998> ．∴10119.99810 1.00110⨯<⨯【方法总结】解法一是常规方法，但书写起来很麻烦，易出现错误；方法二较巧妙地转化了，容易比较大小．11101.0011010.0110⨯=⨯【借题发挥】试比较：和．20099.9810⨯20101.0510⨯【解析】．2010200920091.051010.5109.9810⨯=⨯>⨯【例7】定义“”“”两种运算，对于任意的两个数、，都有，○+○－a b a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-．求[()()]的值．4○－3○+5○+6○－2【分解】按规定的“”与“”进行各自的运算，运算时先算士括号里的，再算中括号里的．○+○－【解析】由，，得a ○+b 1a b =+-a ○－b 1ab =-[()()]4○－3○+5○+6○－2[()()]4=○－351+-○+621⨯-()()4=○－7○+114=○－7111+-．4=○－174=⨯171-67=【方法总结】此类题按规定的运算关系进行计算，首先要读懂表达式的含义，会套用公式，计算时注意符号关系及准确性外，还要注意运算的先后顺序．【借题发挥】“△”表示一种新的运算符号，其意义是对于任意，都存在△，如果△△a b a b 2a b =-x (1,则．3)2=x =【解析】由△，得△△,即，则，所a b 2a b =-x (13)2=()()21312x x ⨯-=-=△△()212x --=以．12x =【例8】若尺布可做件上衣，则尺布能做多少件这样的上衣？619【解析】第题按计算件，但实际情况是只能做件，所以只能舍，不能入；961.5÷=105．【借题发挥】若每条船能载个人，则个人需要几条船？310【解析】按计算，但实际情况是条船不够，需要4条船，所以在这里应该入，取1103=33÷3134．【方法总结】在实际问题中，经常对药对一些数位上的数进行取舍，有的要求进行四舍五入，有的则按生活及生产实际进行取舍，千万不能遇及以上的数就入，遇以下的数就舍．555【随堂练习】1．计算：．2008(1)-=【答案】1．2．计算：．20102010201020104(0.25)(1)1-+-+= 【答案】原式＝．201020102010201014()(1)111114-+-+=-++= 3．若，则．21(2)0a b ++-=20102009()a b a ++=【答案】由题意知得，代入原式可求结果为：0．1020a b +=⎧⎨-=⎩12a b =-⎧⎨=⎩4．如果那么的值为．214,,2x y ==222x y -【答案】．222112243122x y -=⨯-=5．现有一根长为1米的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，照此截下去，那么六次后剩下的木条为米．【答案】第一次截后剩下米，第二次后剩下米，第三次后剩下米，由此推下1221142⎛⎫= ⎪⎝⎭312⎛⎫ ⎪⎝⎭去，第次后剩下米．所以六次后剩下的木条为（米）．n 12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭611264⎛⎫= ⎪⎝⎭6．计算：（1）；（2）；（3）321()(1)33-÷-232(3)-⨯-32221(0.2)(1).3(0.3)-⨯÷-【答案】（1）；（2）108；（3）．290.002-7．（1）. （2）.451132131511÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯()1452515213⨯-÷+-（3）. （4）.()3432322⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-÷-()()()3428102-⨯---÷+-（5）.()[]2345.0813231325.01-----⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---（6）.()54436183242113÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）225-347-1111620-11147224-8．利用乘方的有关知识确定的末两位数字．20076【答案】9．已知“三角”表示运算“”，“正方形”表示的运算是“” ，试计a b c -+d f g e -+-算的值．【答案】原式＝．()()()199649551996281474116-+⨯-+-=-⨯=-9．计算：．111111111248163264128256512++++++++【答案】原式＝11111111111122448816128256256512⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．151********-=10．光年是天文学中使用的距离单位，指的是光在真空中经历一年所走的距离，若真空中光的速度为千米／秒，用科学记数法表示l 光年是多少？（1年按天计算）300000365【答案】已知：千米／秒，（秒）．300000v =365243600t =⨯⨯ 由（千米）．300000365243600s vt ==⨯⨯⨯9460800000000=129.460810=⨯所以，l 光年是千米．129.460810⨯11．阅读下列解题过程：计算：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-解：()632113115⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-（第一步）()662515⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-=（第二步）()()2515-÷-=（第三步）53-=回答：（1）上面的解题过程中有两个错误，第一处是第步，错误的原因是；第二处是第步，错误原因是．（2）正确的结果是．【答案】（1）二，乘除为同一等级的计算，没有按照从前往后的顺序求解；（2）三，负数乘以负数得到正数，题中为负数．（2）．3215【课堂总结】【课后作业】一、填空题1．．=---3232．．()22533235-⨯-⨯+=3．．()()()()()=-⨯---⨯---⨯++n n n 212211111014．．()()=-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-5214387165．．()()()=-⨯-+⨯-03.716.016.4003.76．．()()=-⨯+-÷-2333227．若、互为倒数，、互为相反数，，则．a b c d 2=m ()=-+⋅+23m ab ba d c 8．一个数用科学记数法表示为，则它是位整数．10n a ⨯二、选择题9．下列公式计算正确的是（）A ．B ．()527527⨯--=⨯--31354453=÷=⨯÷C ． D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛÷÷=÷÷5454354543()932=--10．计算的值是（）()()2007200822-+-A ．1 B ． C ． D ．2-20072-2007211．下列各组数中，相等的一组是( )．A ．与B ．与23-2(3)-2(3)--3(2)-- C ．与 D ．与3(3)-33-223-⨯332-⨯12．用合理的方法计算：(1) ； (2) ；515635236767---1544 3.87 4.253495-+-+(3) ； (4) ； 1511342461832⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()110.5678111-----+⎡⎤⎣⎦13．计算：（1）；（2）；63221⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷2131521（3）；（4）.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--838712787431⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯1811351121961365514．用科学计数法表示下列计算结果：（1）一昼夜小时是多少秒？24 （2）50251002⨯15．(1)阅读短文《拆项计算》：拆项计算下面带分数的计算申，常把整数部分和分数部分拆开，以简化计算过程，举例如下：5231591736342⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5231591736342523159173634252315917363425213063241235644⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=----++--⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭=-+=-(2)仿照第(1)小题的计算方法计算：5211200620054000116332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】1．－11 2．21 3．1 4．2 5．－281.2 6．－7 7．－1 8．1n +9．D 10．D 11．C12．(1) 515655163523325319867676677⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2) 1541451454 3.87 4.253437437495459459-+-+=-+-+=(3) 151153424146183218⎛⎫⎛⎫--+--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()110.56781110.4321-----+=-⎡⎤⎣⎦13．(1) 121266612323⎛⎫⎛⎫-⨯=⨯+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2) ()2117216853255⎛⎫÷-=⨯-=- ⎪⎝⎭(3) 377733114812888⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4).51111351936361853911366623518633519⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-÷-=⨯-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．(1) 一昼夜小时是（秒）244246060864008.6410⨯⨯==⨯(2) ＝50251002⨯50505010025410010⨯==15．原式＝()5211352200620054000110.6332263⎛⎫⎛⎫--+++--++=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

八年级上册幂知识点

八年级上册幂知识点幂，在数学中是一个非常基础的概念，它在数学中的应用非常广泛。

在八年级上册中，学生将学习到幂的基本概念及应用。

下面将详细介绍八年级上册幂知识点。

一、幂的定义幂指相同的底数，上面只有指数不同的一个数学式子。

例如，a的n次方，其中 a 称为底数， n 称为指数，a的n次方就是a乘以自己n次，即a × a × …… ×a (n个a)，表示为aⁿ。

二、幂的性质1.底数相同，幂相乘，指数相加例如，aⁿ × aⁿ⁺¹ = aⁿ⁺ⁿ¹（其中n、n+1均为正整数）2.幂的乘方例如，(aⁿ)ⁿ¹ = aⁿⁿ¹，(aⁿ)⁺¹ = aⁿ⁺¹3.幂的除方例如，(aⁿ)/aⁿ¹ = aⁿ⁻ⁿ¹4.零的任何次方都等于1例如，0⁰ = 1，0ⁿ = 0（其中n≠0）三、科学计数法科学计数法指用十的某次幂表示数的一种方法。

例如，3.2 ×10¹，其中3.2称为尾数，10¹称为基数。

基数是10的幂，底数为10，指数为正整数。

四、对数对数是幂的逆运算，它可以将幂运算转化为简单的乘法运算。

对数的基数为一个正常数 b（b>0, b≠1），一个数a（a>0, a≠1)的以大于1 的正数b为底的对数，记为logb a，意思是“b的多少次幂等于a”。

对于一个底数为b、指数为x的幂运算，我们可以通过对数来消除指数，即x=logb a。

反之，我们也可以通过求幂来消除对数，即a=bⁿ。

对数有很多应用场景，例如，在现实生活中常用对数来表示震级的大小（里氏震级）。

五、指数函数指数函数可以看做指数与函数的复合。

它的一般形式为f(x)=aⁿ，其中 a 为底数，n 为指数。

指数函数在自然科学和社会科学中都有广泛的应用，例如天文学、物理学、金融学等。

总结八年级上册幂知识点包括了幂的定义、幂的性质、科学计数法、对数以及指数函数等内容。

专题15 幂的运算(知识点串讲)(解析版)-2020-2021学年八年级数学上册(人教版)

专题15 幂的运算重点突破幂的运算性质（基础）： ● a m·a n＝am ＋n（m 、n 为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【同底数幂相乘注意事项】1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a 可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。

● (a m )n＝amn（m 、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

● (ab)n＝a n b n（n 为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积． ● a m÷a n＝am －n（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）同底数幂相除，底数不变，指数相减．【同底数幂相除注意事项】1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

3.注意指数为1的情况，如x 8÷x =x 7，计算时候容易遗漏或将x 的指数当做0. 4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。

● a 0＝1 （a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．考查题型考查题型一同底数幂相乘典例1．（2020·阳泉市期末）下列运算正确的是（） A ．23a a a ⋅= B ．623a a a ÷=C ．2222a a -=D ．()22436aa =【答案】A 【提示】根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；【详解】解：2123•a a a a +==，A 准确；62624a a a a -÷==，B 错误； 2222a a a -=，C 错误；()22439a a =，D 错误；故选：A ．【名师点拨】本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．变式1-1．（2019·石家庄市期末）43()()x y y x -•-可以表示为（） A ．7()x y - B ．7()x y --C ．12()x y -D ．12()x y --【答案】B 【提示】根据同底数幂的乘法法则计算即可得出结论．【详解】（x ﹣y ）4•（y ﹣x ）3=﹣（x ﹣y ）4•（x ﹣y ）3=﹣（x ﹣y ）7．故选B ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则．掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．变式1-2．（2019·杭州市期中）若2n +2n +2n +2n =2，则n=（） A ．﹣1 B ．﹣2C ．0D ．14【答案】A【提示】利用乘法的意义得到4•2n =2，则2•2n =1，根据同底数幂的乘法得到21+n =1，然后根据零指数幂的意义得到1+n=0，从而解关于n 的方程即可．【详解】∵2n +2n +2n +2n =2，∴4×2n =2， ∴2×2n =1， ∴21+n =1， ∴1+n=0， ∴n=﹣1，故选A ．【名师点拨】本题考查了乘法的意义以及同底数幂的乘法，熟知相关的定义以及运算法则是解题的关键.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m •a n =a m+n （m ，n 是正整数）．变式1-3．（2019·苏州市期中）已知x+y ﹣4=0，则2y •2x 的值是( )A．16 B．﹣16 C．18D．8【答案】A【解析】∵x+y－4=0，∴x+y=4，∴2y·2x=2x+y=24=16.故选A.名师点拨：a m·a n=a m+n.考查题型二同底数幂乘法的逆用典例2．（2020·河池市期末）已知a m=3，a n=4，则a m+n的值为（）A．7 B．12 C．D．【答案】B【提示】根据同底数的幂的乘法法则，代入求值即可.【详解】.故选：.【名师点拨】本题考查了同底数的幂的乘法法则，理解指数之间的变化是关键.变式2-1．（2019·仁寿县期末）若3⨯9m⨯27m=213，则m的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【解析】∵3⨯9m⨯27m=3⨯32m⨯33m=31+2m+3m∴1+2m+3m=21∴m=4故选B变式2-2．（2018·南昌市期中）计算的结果是（）A．2 B．-2 C．20162D．20162-【答案】D【提示】先提取公因式2016(2)-，再进行计算，即可．【详解】 = = =20162-．故选D ．【名师点拨】本题主要考查含乘方的有理数的加法运算，掌握同底数幂的乘法运算的逆运用，是解题的关键．变式2-3．（2020·成都市期末）已知2,3a b x x ==-，则2a b x +的值为（） A ．12 B ．2C ．12-D ．3-【答案】C 【提示】利用同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用将原式变形，然后代入求值即可. 【详解】解：222()a b a b a b x x x x x +==当2,3a b x x ==-时，原式=22(3)12⨯-=- 故选：C 【名师点拨】本题考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟记公式灵活应用是本题的解题关键. 考查题型三幂的乘方运算典例3．（2020·惠州市期末）计算3()a a •- 的结果是（） A ．a 2 B ．-a 2C ．a 4D ．-a 4【答案】D 【提示】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：34()=a a a •--，故选D ．【名师点拨】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．变式3-1．（2020·青岛市期中）计算(－a3)2的结果是（）A．－a5B．a5C．a6D．－a6【答案】C【提示】根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.即可得出结果【详解】()236a a-=，故选C.【名师点拨】本题考查幂的乘方，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握幂的乘方法则，即可完成.变式3-2．（2019·合肥市期中）如果(a n•b m b)3＝a9b15，那么( )A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝4C．m＝3，n＝4 D．m＝3，n＝3【答案】A【提示】根据（a n b m b）3=a9b15,比较相同字母的指数可知,3n=9,3m+3=15,即可求出m、n.【详解】解:∵（a n b m b）3=a9b15,∴(a n)3（b m）3b3=a3n b3m+3=a9b15,∴3n=9,3m+3=15,,解得:m=4,n=3,∴m、n的值为4,3.所以A选项是正确的.【名师点拨】本题考查了积的乘方的性质和幂的乘方的性质,根据相同字母的次数相同列式是解题的关键. 变式3-3．（2019·南京市期末）若33×9m=311，则m的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，可得关于m的方程，解方程即可求得答案. 【详解】∵33×9m=311，∴33×(32)m =311， ∴33+2m =311， ∴3+2m=11， ∴2m=8，解得m=4，故选C ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键．考查题型四幂的的乘方的逆用典例4．（2020·无锡市期中）计算2015201623()()32⨯的结果是( ) A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】C 【提示】将原式拆成（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32即可得．【详解】2015201623()()32⨯ =（23）2015×（32）2015×32=（23×32）2015×32=32. 故选C. 【名师点拨】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是解题的关键．变式4-1．（2019·德州市期中）9m ·27n 可以写为( ) A ．9m+3n B ．27m+nC ．32m+3nD ．33m+2n【答案】C 【解析】原式=2323333m n m n +⋅= ，故选C.变式4-2．（2019·宿迁市期中）计算3n · ( )=—9n+1,则括号内应填入的式子为( ) A ．3n+1B ．3n+2C ．—3n+2D ．—3n+1解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n （-3n+2）， ∴括号内应填入的式子为-3n+2. 故选C.变式4-3．（2018·洛阳市期中）已知23×83＝2n ，则n 的值为( ) A ．18 B ．7C ．8D ．12【答案】D 【提示】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．【详解】解：∵23×83＝23×29＝212＝2n ， ∴n ＝12．故选D ．【名师点拨】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．考查题型五积的乘方典例5．（2019·马龙区期中）若3915()m n a b a b =，则,m n 的值分别为( ) A ．9，5 B ．3，5C ．5，3D ．6，12【答案】B 【解析】根据积的乘方法则展开得出a 3m b 3n =a 9b 15，推出3m=9，3n=15，求出m 、n 即可．解：∵（a m b n ）3=a 9b 15， ∴a 3m b 3n =a 9b 15， ∴3m=9，3n=15， ∴m=3，n=5，故选B ．变式5-1．（2020·扬州市期中）下列运算错误的是（） A ．2363(2)8a b a b -=- B ．243612()x y x y = C ．23282()()x x y x y -⋅=D ．77()ab ab -=-原式各项利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】A、（-2a2b）3=-8a6b3，本选项正确；B、（x2y4）3=x6y12，本选项正确；C、（-x）2•（x3y）2=x2•x6y2=x8y2，本选项正确；D、（-ab）7=-a7b7，本选项错误．故选D．【名师点拨】此题考查了幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式5-2．（2020·张家口市期中）下列计算正确的是( )A．a3-a2=a B．a2·a3=a6C．(3a)3=9a3D．(a2)2=a4【答案】D【解析】A.a3与a2不能合并，故A错误；B. a2⋅a3=a5，故B错误；C. (3a)3=27a3，故C错误；D. (a2)2=a4，故D正确.故选D.变式5-3．（2019·邵阳市期中）计算的结果是（）A．81281a b B．C．6712a b12a b D．67【答案】B【提示】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．【详解】解：=故应选B.【名师点拨】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．考查题型六积的乘方的逆用典例6．（2019·大庆市期中）2012201253()(2)135-⨯-=( ) A ．1- B ．1C ．0D ．1997【答案】B 【提示】根据积的乘方公式进行简便运算. 【详解】解： = = =1. 故选B 【名师点拨】此题主要考查了积的乘方，解题时，先对分数变形，然后根据特点，找到规律，再根据积的乘方的逆用，直接计算即可.变式6-1．（2020·揭阳市期中）2101×0.5100的计算结果正确的是（） A ．1 B ．2 C ．0.5 D ．10【答案】B 【解析】试题提示：首先将其化成同指数，然后进行计算得出答案．原式=()100100100220.5220.52⨯⨯=⨯⨯=，故选B ．变式6-2．（2019·南京市期中）已知32m =8n，则m 、n 满足的关系正确的是（） A ．4m=n B ．5m=3nC ．3m=5nD ．m=4n【答案】B 【解析】 ∵32m =8n ，∴（25）m =（23）n ， ∴25m =23n ， ∴5m=3n ．故选B ．变式6-3．（2018·昆明市期末）已知a m =2，a n =3，则a 3m+2n 的值是（） A ．24B ．36C ．72D ．6【答案】C 【解析】试题解析：∵a m =2，a n =3， ∴a 3m+2n =a 3m •a 2n =（a m ）3•（a n ）2 =23×32 =8×9 =72．故选C.考查题型七同底数幂的除法典例7．（2019·金华市期末）计算63a a ÷，正确的结果是（） A ．2 B ．3aC ．2aD ．3a【答案】D 【提示】根据同底数幂除法法则即可解答．【详解】根据同底数幂除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减）可得，a 6÷a 3＝a 6﹣3＝a 3．故选D ．【名师点拨】本题考查了整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．变式7-1．（2018·晋江市期中）计算255m m ÷的结果为（） A ．5m B ．5C ．20D ．20m【答案】A 【提示】把25m 写成52m ，然后利用同底数幂相除，底数不变指数相减解答．【详解】解：25m ÷5m ＝52m ÷5m ＝52m-m ＝5m ．故选A ．【名师点拨】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，熟记运算性质是解题的关键．变式7-2．（2020·杭州市期末）下列计算正确的是( )A．a6+a6 = a12B．a6·a2 = a8C．a6÷a2 = a3D．(a6)2= a8【答案】B【提示】根据合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方法则逐项计算即可.【详解】解：A. a6+a6=2a6，故错误；B. a6·a2 = a8，正确；C. a6÷a2 = a4，故错误；D. (a6)2= a12，故错误；故选：B.【名师点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键.变式7-3．（2020·合肥市期中）a11÷（﹣a2）3•a5的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣a10D．a9【答案】C【提示】根据同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【详解】解：a11÷（﹣a2）3•a5＝a11÷（﹣a6）•a5＝﹣a11﹣6+5＝﹣a10．故选：C．【名师点拨】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．考查题型八同底数幂除法的逆用典例8．（2019·连云港市期中）若a x＝6，a y＝4，则a2x﹣y的值为()A ．8B ．9C ．32D ．40【答案】B【解析】因为a 2x-y =a 2x ÷a y =(a x )2÷a y =62÷4=9，故答案为B. 变式8-1．（2020·达州市期末）如果3a ＝5，3b ＝10，那么9a －b 的值为( ) A ．12 B ．14 C ．18D ．不能确定【答案】B【解析】∵3a ＝5，3b ＝10， ∴2(a-b)2a 2b 19(3)=33=25100=4a b -=÷÷，故选B.变式8-2．（2019·南阳市期末）已知3,5a b x x ==，则32a b x -=（）A ．B ．910C ．35D ．52【答案】A【提示】直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案．【详解】∵x a =3，x b =5，∴x 3a-2b =（x a ）3÷（x b ）2=33÷52=.故选A.【名师点拨】考查了同底数幂的乘除运算和幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．变式8-3．（2020·常州市期末）已知2a =3，2b =6，2c =12，则a ，b ，c 的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b ④b+c=2a+3，其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【提示】根据整式的运算法则（同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方等）进行提示即可.【详解】因为，2a=3，2b=6，2c=12，所以，2ⅹ2a=2a+1=6= 2b，22×2a=12=2a+2=2c，2a×2c=3×12=2c+a=36=（2b）2，2b×2c=6×12=72=2b+c=9×8=（2a）2×23=22a+3, 所以，①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，故选D【名师点拨】本题考核知识点：整式乘法. 解题关键点：熟记并运用整式乘法法则.。

专题14.1幂的运算-重难点题型(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(人教版)

专题14.1幂的运算-重难点题型【人教版】【知识点1幂的运算】①同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n。

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

②幂的乘方：(a m)n=a mn。

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：(ab)n=a n b n。

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

④同底数幂的除法：a m÷a n=a m-n。

同底数幂相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次幂都等于1。

【题型1幂的基本运算】【例1】（2021•高新区校级三模）下列计算正确的是（）A．x8÷x4＝x2B．x3•x4＝x12C．（x3）2＝x6D．（﹣x2y3）2＝﹣x4y6【分析】A，符合同底数幂相除法则；B，同底数幂相乘底数不变指数相加；C，符合幂的乘方运算法则；D，指数是偶次幂结果为正．【解答】A：x8÷x4＝x4，∴A不符合要求；B：原式＝x7，∴B不符合要求；C：符合幂的乘方运算法则，∴C符合要求；D：原式＝x4y6，∴D不符合要求．故选：C．【变式1-1】（2020秋•南宁期末）下列运算正确的是（）A．（a2）3＝a5B．（﹣2a）3＝﹣6a3C．a6÷a2＝a3D．a﹣1=1（a≠0）【分析】利用幂的乘方的法则，积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则，负整数指数对各项进行运算即可得出结果．【解答】解：A、（a2）3＝a6，故A不符合题意；B、（﹣2a）3＝﹣8a3，故B不符合题意；C、a6÷a2＝a4，故C不符合题意；D、a﹣1=1（a≠0），故D符合题意．故选：D．【变式1-2】（2021•椒江区一模）下列运算正确的是（）A．a2•a4＝a8B．（a2）3＝a5C．（ab）2＝ab2D．a5÷a3＝a2【分析】根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断A，根据幂的乘方运算法则进行计算判断B，根据积的乘方运算法则进行计算判断C，根据同底数幂的除法运算法则进行计算判断D．【解答】解：A、a2•a4＝a6，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意；D、a5÷a3＝a2，正确，故此选项符合题意；故选：D．【变式1-3】（2021•元阳县模拟）下面计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．（π−3）0＝1C．（﹣2a2）3＝﹣6a6D．x3÷x•x﹣1＝x3【分析】A．由3a和2b不是同类项，不能合并可得结果；B．任何非零数的零指数幂等于1，可得结果；C．根据积的乘方等于乘方的积，可计算结果；D．先计算同底数幂的除法计算，再利用同底数幂的乘法进行计算即可．【解答】解：A．3a和2b不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；B．（π−3）0＝1，计算正确，符合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，计算错误，不符合题意；D．x3÷x•x﹣1＝x，计算错误，不符合题意；故选：B．【题型2幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2021春•蚌埠期末）若a＝（−34）﹣2，b＝（−12）0，c＝0.75﹣1，则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：a＝（−34）﹣2=169，b＝（−12）0＝1，c＝0.75﹣1=43，故a＞c＞b．故选：D．【变式2-1】（2021春•江都区校级期中）若a＝0.52，b＝﹣5﹣2，c＝（﹣5）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：∵a＝0.52＝0.25，b＝﹣5﹣2=−125，c＝（﹣5）0＝1，∴c＞a＞b．故选：B．【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】将a、b、c转化为同底数形式，即可比较大小．【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124；b＝2741＝（33）41＝3123；c＝961＝（32）61＝3122；∴3124＞3123＞3122，即a＞b＞c．故选：A．【变式2-3】（2021•彭州市校级开学）已知a＝266，b＝355，c＝444，d＝533，则a、b、c、d的大小关系（）A．a＜b＜c＜d B．a＜b＜d＜c C．b＜a＜c＜d D．a＜d＜b＜c【分析】根据幂的乘方法则计算，比较大小即可．【解答】解：∵a＝266＝（26）11＝6411；b＝355＝（35）11＝24311；c＝444＝（44）11＝25611；d＝533＝（53）11＝12511；∴6411＜12511＜24311＜25611，即a＜d＜b＜c．故选：D．【题型3幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2021春•莱阳市期末）已知10a＝5，10b＝2，则103a+2b﹣1的值为50．【分析】把同底数幂的乘除运算法则及幂的乘方运算法则逆用，变形103a+2b﹣1代入计算，即可求出结果．【解答】解：∵10a＝5，10b＝2，∴103a+2b﹣1＝103a×102b÷10＝（10a）3×（10b）2÷10＝53×22÷10＝50，故答案为：50．【变式3-1】（2021春•青川县期末）已知a m＝2，a n＝3，则（a3m﹣n）2＝649．【分析】逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：∵a m＝2，a n＝3，∴a3m＝（a m）3＝23＝8，∴（a3m﹣n）2＝（a3n÷a n）2＝（8÷3）2=649．故答案为：649．【变式3-2】（2021春•仪征市期中）（1）已知10m＝5，10n＝2，求103m+2n的值；（2）已知8m÷4n＝16，求（﹣3）2n﹣3m的值．【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则计算即可；（2）逆向运用同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵10m＝5，10n＝2，∴103m+2n＝（10m）3•（10n）2＝53×22＝125×4＝500；（2）∵8m÷4n＝23m÷22n＝23m﹣2n＝16＝24，∴3m﹣2n＝4，∴2n﹣3m＝﹣4，∴（﹣3）2n﹣3m=(−3)−4=181．【变式3-3】（2021春•宝应县月考）（1）若（9m+1）2＝316，求正整数m的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝2，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则计算即可；（2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可．【解答】解：（1）∵（9m+1）2＝（32m+2）2＝34m+4＝316，∴4m+4＝16，解得m＝3；（2）∵n为正整数，且x2n＝2，∴（3x3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4（x2n）2＝9（x2n）3﹣4（x2n）2＝9×23﹣4×22＝9×8﹣4×4＝72﹣16＝56．【题型4幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2021春•海陵区校级期末）若3x+2y﹣3＝0，则8x•4y等于8．【分析】把8x•4y都改为底数为2的乘方，再利用同底数幂的乘法计算，由3x+2y﹣3＝0得出3x+2y＝3整体代入即可．【解答】解：∵3x+2y﹣3＝0，∴3x+2y＝3，∴8x•4y＝23x•22y＝23x+2y＝23＝8．故答案为：8．【变式4-1】（2021春•嵊州市期末）若4x﹣3y﹣3＝0，则104x÷103y＝1000．【分析】先把已知等式4x﹣3y﹣3＝0，变形为4x﹣3y＝3，再根据同底数幂除法法则整体代入计算即可．【解答】解：∵4x﹣3y﹣3＝0，∴4x﹣3y＝3，∴104x÷103y＝104x﹣3y＝103＝1000．故答案为：1000．【变式4-2】（2021春•鄞州区校级期末）若2x+3y﹣4z+1＝0，求9x•27y÷81z的值．【分析】由2x+3y﹣4z+1＝0可得2x+3y﹣4z＝﹣1，再根据同底数幂的乘除法以及幂的乘方运算法则求解即可．【解答】解：∵2x+3y﹣4z+1＝0，∴2x+3y﹣4z＝﹣1，∴9x•27y÷81z＝32x×33y÷34z＝32x+3y﹣4z＝3﹣1=13．【变式4-3】（2021春•高新区月考）先化简，再求值（1）已知2x+y＝1，求代数式（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．（3）若x、y满足2+2=54，B=−12，求下列各式的值．①（x+y）2；②x4+y4．【分析】（1）根据完全平方公式化简后，再把2x+y＝1代入计算即可；（2）根据幂的乘方的运算法则化简后，把x2n＝4代入计算即可；（3）根据完全平方公式求解即可．【解答】解：（1）∵2x+y＝1，∴（y+1）2﹣（y2﹣4x+4）＝y2+2y+1﹣y2+4x﹣4＝4x+2y﹣3＝2（2x+y）﹣3＝2﹣3＝﹣1；（2）∵x2n＝4，∴（x3n）2﹣2（x2）2n＝（x2n）3﹣2（22n）2＝43﹣2×42＝64﹣2×16＝32；（3）①∵2+2=54，B=−12，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy=54+2×(−12)=54−1=14；②∵2+2=54，B=−12，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2=(54)2−2×(−12)2=2516−12=1716．【题型5幂的运算法则（混合运算）】【例5】（2021春•渠县期末）计算．（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2．（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．【分析】（1）把4转化成底数为2，再根据同底数幂的乘法的法则与同底数幂的除法的法则进行运算即可；（2）根据幂的乘方，零指数幂，负整数指数幂等运算法则对式子进行运算即可．【解答】解：（1）4×（2n）2÷（2n﹣1）2＝22×22n÷22n﹣2＝22+2n﹣2n+2＝24＝16；（2）（﹣1）2020×（π﹣2）0﹣|﹣5|﹣（−12）﹣3．＝1×1﹣5﹣（﹣8）＝1﹣5+8＝4．【变式5-1】（2021春•徐州期末）计算：（1）﹣22+20210+|﹣3|；（2）（a2）3+a2•a4﹣a7÷a．【分析】（1）分别根据有理数的乘方的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则计算即可．【解答】（1）原式＝﹣4+1+3＝0；（2）原式＝a6+a6﹣a6＝a6．【变式5-2】（2021春•江都区校级期中）计算：（1）(12)−1−(5−p0−|−3|+2；（2）（﹣2x2）3+x2•x4+（﹣3x3）2．【分析】（1）分别根据负整数指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1以及绝对值的性质计算即可；（2）分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则化简即可；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣3+2＝0；（2）原式＝﹣8x6+x6+9x6＝2x6．【变式5-3】（2021春•临淄区期末）计算：（1）（x﹣y）6÷（y﹣x）3÷（x﹣y）；（2）﹣（3×2﹣2）0+（−12）﹣3﹣4﹣2×（−14）﹣3．【分析】（1）直接将原式化为同底数，再利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）6÷[﹣（x﹣y）3]÷（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2；（2）原式＝﹣1﹣8−116×（﹣64）＝﹣1﹣8+4＝﹣5．【题型6幂的运算法则（新定义问题）】【例6】（2020春•龙口市期末）规定两个非零数a，b之间的一种新运算，如果a m＝b，那么a※b＝m．例如：因为52＝25，所以5※25＝2；因为50＝1，所以5※1＝0．（1）根据上述规定填空：2※16＝4；3※127=﹣3．（2）在运算时，按以上规定请说明等式8※9+8※10＝8※90成立．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．【解答】解：（1）∵24＝16，∴2※16＝4；∵3−3=127，∴3※127=−3．故答案为：4；﹣3；（2）设8※9＝x，8※10＝y，则8x＝9，8y＝10，8x×8y＝8x+y＝90，∴8※90＝x+y，∵8※9+8※10＝x+y，∴8※9+8※10＝8※90．【变式6-1】（2021春•金水区期中）如果a c＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定填空：（4，16）＝2，（3，1）＝0，（2，0.25）＝﹣2；（2）若（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c．判断a，b，c之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）∵42＝16，∴（4，16）＝2，∵30＝1，∴（3，1）＝0，∵2﹣21，∴（2，0.25）＝﹣2．故答案为：2，0，﹣2；（2）2a+b＝c．理由：∵（3，4）＝a，（3，6）＝b，（3，96）＝c，∴3a＝4，3b＝6，3c＝96，∴（3a）2×3b＝3c，∴2a+b＝c．【变式6-2】（2021春•邗江区月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：①（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5；②若(，116)=−4，则x＝±2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试说明下列等式成立的理由：a+b＝c．【分析】根据新定义的运算和表示方法，依据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：（1）①因为53＝125，所以（5，125）＝3；因为（﹣2）5＝﹣32，所以（﹣2，﹣32）＝5；②由新定义的运算可得，x﹣4=116，因为（±2）﹣4=1(±2)4=116，所以x＝±2，故答案为：①3，5；②±2；（2）因为（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，所以4a＝5，4b＝6，4c＝30，因为5×6＝30，所以4a•4b＝4c，所以a+b＝c．【变式6-3】（2021春•安庆期末）规定两数a，b之间的种运算，记作（a，b）：如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝3；（5，1）＝0；（2，14）＝﹣2；（2）小明在研究这种运算时发现一个特例：对任意的正整数n，（3n，4n）＝（3，4）．小明给了如下的证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）请根据以上规律：计算：（16，10000）﹣（64，1000000）．（3）证明下面这个等式：（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）．【分析】（1）根据题目中的规定，进行运算即可得出结果；（2）（16，10000）可转化为（24，104），（64，1000000）可转化为（26，106），从而可求解；（3）设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，从而可得3x÷3y＝5，得3x﹣y＝5，即有（3，5）＝x﹣y，从而得证．【解答】解：（1）∵53＝125，∴（5，125）＝3；∵50＝1，∴（5，1）＝0；∵2−2=14，∴（2，14）＝﹣2．故答案为：3，0，﹣2；（2）（16，10000）﹣（64，1000000）＝（24，104）﹣（26，106）＝（2，10）﹣（2，10）＝0；（3）证明：设（3，20）＝x，（3，4）＝y，则3x＝20，3y＝4，∴3x÷3y，＝20÷4，＝5，∴3x﹣y＝5，∴（3，5）＝x﹣y，又∵（3，20）﹣（3，4）＝x﹣y，∴（3，20）﹣（3，4）＝（3，5）。

八年级上册幂的知识点

八年级上册幂的知识点幂是数学中的一个重要概念，也是数学建模的核心之一。

在八年级上学期数学中，幂是重要的知识点之一，掌握好幂的相关知识点能够帮助同学们更好地理解和学习后续的数学知识。

本文将从以下几个方面介绍八年级上册幂的相关知识点。

一、基本概念幂指的是一个数通过乘以自身多次而得到的结果。

例如，2的3次幂（记为2³）等于2×2×2=8，其中2是底数，3是指数。

二、指数的性质在幂的运算中，指数的值会影响幂的结果。

因此，我们需要了解指数在幂运算中的性质，以便更好地理解和应用幂的知识。

1. 同底数幂相乘时，底数不变，指数相加。

例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。

2. 同底数幂相除时，底数不变，指数相减。

例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。

3. 幂的指数为0时，结果为1。

例如，2⁰ = 1。

4. 幂的指数为负数时，结果是倒数，底数不变，指数取绝对值。

例如，2⁻³ = 1/2³ = 1/8。

三、幂的运算在幂的运算中，当给定底数和指数时，我们需要求得幂的结果。

以下是几种常见的幂的运算方法。

1. 幂的乘方。

当同一底数的幂相乘时，可以通过底数不变，指数相加的规律来得到结果。

例如，2³ × 2⁴ = 2⁷。

2. 幂的除方。

当同一底数的幂相除时，可以通过底数不变，指数相减的规律来得出结果。

例如，2⁵ ÷ 2² = 2³。

3. 求幂的平方根。

求一个数的平方根，等价于找到一个数的平方等于这个数。

因此，当给定一个数的幂时，可以通过对指数除以2来得到该数的平方根。

如果指数不是偶数，则无法进行平方根运算。

例如，4¹²的平方根为4⁶，因为4⁶²=4¹²。

四、常见错误在幂的运算中，有一些常见的错误需要避免。

1. 底数和指数错位。

例如，将2³写成3²，就是将底数和指数错位的错误。

八年级幂的运算知识点

八年级幂的运算知识点在八年级数学中，幂的运算是一个非常重要的知识点。

掌握了幂的运算，可以更好地理解和解决数学题目，为高中数学打下坚实的基础。

那么，幂数学在八年级具体有哪些内容呢？下面就来一一讲解。

一、幂的定义和简单运算幂是指一个数的几次方，比如$a^2$就是a的平方，表示为a×a。

幂具有以下运算法则：1.同底数幂相乘规则：两个数的底数相同，指数相加，即$a^m×a^n=a^{m+n}$。

2.同底数幂相除规则：两个数的底数相同，指数相减，即$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$。

3.幂的乘方规则：一个数的幂的幂，底数不变，指数相乘，即$(a^m)^n=a^{m×n}$。

4.负指数的意义：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$，即分母是$a^n$，分子为1的分数。

二、零数幂和整数幂1.零数幂的概念：$0^n=0$（n≠0），因为任意数乘以0都等于0，所以0的n次方都等于0。

2.整数幂的概念：正整数幂是指将正整数作为底数所得到的幂；负整数幂是指将负整数作为底数所得到的幂。

正整数的n次方表示为$a^n$，负整数的n次方表示为$(-a)^n$。

对于负整数，以下四条规律需要注意：（1）奇数次方的负数结果为负数，如$(-5)^3=-125$。

（2）偶数次方的负数结果为正数，如$(-6)^4=1296$。

（3）负数的奇次方与其相反数的奇次方相反，如$(-3)^3=-27$，$3^3=27$，$-3^3=-27$。

（4）负数的偶次方与其相反数的偶次方相等，如$(-2)^4=16$，$2^4=16$。

三、小数幂小数幂是指将小数作为底数的幂，如$0.5^3=0.125$。

小数幂的计算方法与整数幂的计算规律相同。

四、分数幂分数幂是指将分数作为底数的幂，如$(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$。

分数幂的计算方法需要使用根式，将分数幂转化为根的形式，如$(\frac{1}{2})^3=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1 }{2}$。

人教版八年级(上)数学幂的乘方

金融理财中的复利计算
复利公式
在金融理财中，复利是一种重要的计算方式。复利公式为$A=P(1+r/n)^{nt}$，其中$A$为最终金额，$P$为本金，$r$为年利率，$n$为每年计息次数，$t$为时间（年）。
幂运算在复利计算中的应用
在复利计算中，需要将利率和时间进行幂运算，以得到最终的收益金额。例如，如果年利率为5%，时间为10年，每年计息一次，则最终收益金额可以通过公式 $A=P(1+0.05)^{10}$计算得出。
分数指数幂表示的是开方和乘方的复合运算。即a^(m/n) = √n(a^m)（n为正整数，且a>0）。
在进行幂的运算时，应遵循先乘方、后乘除、最后加减的运算顺序；同级运算从左到右依次进行；有括号时先算括号里面的
。
02
幂的乘方运算
同底数幂的乘法
乘法公式
当底数相同时，指数相加。即a^m × a^n = a^(m+n)。
典型例题解析
通过解析典型例题，学生应能够掌握幂的乘方的计算方法和技巧。
学生自我评价报告
知识掌握情况
学生应能够熟练掌握幂的乘方法则和性质，并能够运用它们进行简单的计算。
解题能力
学生应能够独立思考并解决与幂的乘方相关的数学问题，包括计算、证明和应用题等。
学习态度与方法
学生应积极参与课堂活动，认真听讲、思考和练习，及时总结和归纳所学知识。
例1
计算 (2^3)^2。
• 解析
根据幂的乘方法则，当底数相同时，指数相乘。所以 (2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6 = 64。
例2
计算 [(a+b)^2]^3。
• 解析
首先计算内层幂 (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，然后再进行外层

完整版)幂的运算知识点总结

完整版)幂的运算知识点总结
第八章幂的运算知识点总结
知识点一：同底数幂相乘
同底数幂相乘的法则是底数不变，指数相加，即a^m *
a^n = a^(m+n)（m,n是正整数）。

逆运算是同底数幂的乘法。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

知识点二：幂的乘方与积的乘方
幂的乘方的法则是底数不变，指数相乘，即(a^m)^n =
a^(mn)（m,n是正整数）。

逆运算是(a^m)^n = a^(mn)。

积的乘方的法则是把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n = a^n * b^n（n是正整数）。

知识点三：同底数幂的除法
同底数幂相除的法则是底数不变，指数相减，即a^m ÷
a^n = a^(m-n)（a不等于0，m,n是正整数，m大于n）。

零指数幂的意义是规定a^0 = 1（a不等于0），即任何不等于0的数的零次幂都等于1.负整指数幂的意义是规定a^(-n) = 1/(a^n)（a不等于0，a是正整数）。

科学记数法是一种方便表示极大或极小数的方法。

例如，可以写成6.96×10^5（10的几次方等于原数字个数减1），而0.xxxxxxx可以写成5.02×10^(-5)（10的负几次方等于第一个非零数字前的个数）。

另外，1/10^m可以写成10^(-m)。

八年级上册数学幂的运算知识点和典型习题分类汇总附答案

第9讲幂的运算❖ 基本知识（熟记，会推导，会倒过来写，要提问．） 1、运算顺序，乘方开方，再乘除，最后加减。

nm nma a a +=⋅2、同底数幂相乘【推导】：【推导】n m nmaa a -=÷3、同底数幂相除：【推导】4、0的任何非0次幂等于0)0( 00≠=n n， 5、0的0次幂没有意义6、任何不等于0的数的0次幂都等于1)0( 10≠=a a ， n naa 1=-7、负指数：，其实就是取倒数！【物理上用！】 mnn m a a =)(8、幂的乘方：【推导】mm m b a ab =)(9、积的乘方：【推导】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛10、商的乘方：【推导】❖ 基本计算训练【同底数幂相乘】 1、计算下列各题 52x x ⋅（1）6a a ⋅（2）34)2()2()2(-⨯-⨯-（3）13+⋅m m x x （4）2、计算下列各题 b b ⋅5（1）32212121⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-（2）62-⋅a a （3）12+⋅n ny y （4）参考答案1、（17x ）；（27a ）；（3）256；（414+m x ）2、（15b ）；（2641）；（34-a ）；（413+n y ）【同底数幂相除】 1、计算下列各题 28x x ÷（1）25)()(ab ab ÷（2）64xx （3）32-nn （4）2、计算下列各题 57-÷x x （1）88m m ÷（2）710)()(a a -÷-（3）35)()(xy xy ÷（4）3、计算下列各题431010-（1）32--yy （2）64nn （3）641010-（4）参考答案1、（16x ）；（233b a ）；（32-x）；（35n ）2、（112x ）；（2）1；（33a -）；（422y x ）3、（1710）；（2y ）；（32-n ）；（41010-）【幂的乘方】 1、计算下列各题53)10(（1）44)(a （2）2)(m a （3）34)(x -（4）2、计算下列各题33)10(（1）23)(x （2）5)(m x -（3）532)(a a ⋅（4）参考答案1、（11510）；（216a ）；（3ma2）；（412x -） 2、（1910）；（26x ）；（3mx 5-）；（411a ）【积的乘方】 1、计算下列各题 3)2(a （1）3)5(b -（2）22)(xy （3）43)2(x -（4）2、计算下列各题 4)(ab （1）321⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）32)103(⨯-（3）32)2(ab （4）参考答案1、（138a ）；（23125b -）；（342y x ）；（41216x ） 2、（144b a ）；（23381y x -）；（37107.2⨯-）；（4）638b a【幂的运算综合】1、判断下面计算的对错，并把错误的改正过来。