客户期望寿命的乘积限估计
生存分析论文
《生存分析论文》题目：基于非参数分析法研究改进手术对患者生存时间的影响专业：班级：姓名：2015年6月25日摘要生存分析（survival analysis）是将事件的结果（终点事件）和出现这一结果所经历的时间结合起来分析的一种统计分析方法。
生存分析不同于其它多因素分析的主要区别点就是生存分析考虑了每个观测出现某一结局的时间长短。
临床随访，又称为前瞻性研究（prospective study），本文采用此方法进行两组肾移植的病人手术后的生存时间和结局的研究。
研究过程中主要面临的问题有：（1）结局及生存时间据需要考虑—经典的统计分析方法不能同时分析结局和生存时间；（2）随访研究中研究对象可能会失访或死于其他疾病；或因研究经费和时间的限制不可能等到所有的对象都出现结局---截尾（censoring）或终检。
生存分析能解决以上问题。
本文通过比较A组和B组两组实验数据来探究改进手术对患者生存时间的影响，通过最后结果可以看出，改进手术组会大大提高患者生存率，因此，今后医生应致力于手术改良，以多加提高患者的生存率。
关键词 Kaplan-Meier估计 Nelson-Aalen估计 Cox模型 SAS软件一、估计原理1.乘积极限法（Kaplan-Meier ）Kaplan-Meier 分析方法，又称乘法极限估计、PL 法或最大似然估计法，是由Kaplan 和Meier 在1958年提出的一种求生存函数的非参数方法。
寿命表分析适用于大样本情况，在处理小样本时，为充分利用每个数据所包含的信息，Kaplan-Meier 分析便成为首选的分析工具。
乘积极限法（Kaplan-Meier ）适用于离散数据，它用于建立时刻t 上的生存函数。
Kaplan-Meier 法是根据t 时刻及其之前各时间点上的条件生存率的乘积，来估计时刻t 的生存函数S(t)和它的标准误SE(S(t))。
设12t t tk ≤≤≤代表k 个观察对象的生存时间，设i n 为i t 时刻开始之前生存的个体数目，即危险集的大小（i=1,2,…，k ），再设i d 表示生存时间的截尾性质，i=1，2，…，k 。
产品寿命期望值MTTF及L10之计算
產品壽命期望值MTTF及L10之計算1.產品壽命期望值MTTF是指產品發生63.2%不良時之預期時間，或稱信賴度36.8%之時間。
產品壽命期望值L10是指產品發生10%不良時之預期時間，或稱信賴度90%之時間。
MTTF=t1+(t2-t1)*0.632L10=t1+(t2-t1)*0.1t1：達不良率值最短時間t2：達不良率值最長時間2.所請不良之定義並無一定之規範，譬如：(1)可以用一批產品作測試，經2000，3000，5000，10000，18000小時後測試其轉速、消耗電流是否超出規格做為不良之定義。
(2)或以精密測量儀器測量軸心潤滑油料殘餘量剩多少為不良之定義。
3.測試之樣品數越多則數據越可靠，最少三個。
4.測試時間可以2000，3000，5000，10000，18000小時做為規範。
也就是說測試時間點5.假設現有一風扇產品，以軸心油料消耗至50%時即視為不良，因油料耗至50%時間相當長，故必需以外差法求其時間。
若油料損耗曲線趨近線性，油耗公式可寫為Y=Ax+bY:經過i時間後油指殘餘量X:時間(單位：小時)a:曲線斜率。
等於Σ(Xi-X)*(Yi-Y)/ Σ(Xi-X)2b:常數(單位：%)等於Y-[Σ(Xi-X)*(Yi-Y)/ Σ(Xi-X)2]*X=Y-Ax註：計算時，若b>100%以100%計算X：=各測試時間點之平均值=(2000+3000+5000+10000+18000)/5=7600小時Y：各測試時間點油脂殘餘量平均值，假設有三個樣品S1、S2、S3經過i時間其油脂殘餘量如下：(1) S1樣品X=7600，Y=(99.9+99.8+99.6+99.1+98)/5=99.28%a=[(2000-7600)(99.9-99.28)+(3000-7600)(99.8-99.28)+(5000-7600)(99.6-99.28)+(10000-7600)(9931-99.28)+(18000-7600)(98-99.28)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2 +(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-3472)+(-2392)+(-832)+(-432)+(-13312)]/[(31360000) +(21160000)+(6760000)+(108160000)]=-20440/167440000=-0.000122b=Y-aX=99.28-(-0.000122*7600)=99.28+0.927=100.2(%)，以100(%)計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S1風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X;X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.000122)=-50/(-0.000122)=409836小時(2) S2樣品X=7600，Y=(99.5+99.2+97+93+87)/5=95.14%a=[(2000-7600)(99.5-95.14)+(3000-7600)(99.2-95.14)+(5000-7600)(97-95.14)+(10000-7 600)(9.-95.14)+(18000-7600)(87-95.14)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2+(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-24420)+ (-18680)+(-4840)+(-5140)+(-84660)]/[(31360000)+(21160000)+(6760000)+(108160000)] =-137740/167440000=-0.0008226b=Y-aX=95.14-(-0.0008226*7600)=95.14+6.25=101.39(%)，以100%計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S2風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X：X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.0008226)=-50/(-0.0008226)=60782小時(3) S3樣品X=7600，Y=(99.5+99.3+98+96+93)/5=97.16%a=[(2000-7600)(99.5-97.16)+(3000-7600)(99.3-97.16)+(5000-7600)(98-97.16)+(10000-7 600)(96-97.16)+(18000-7600)(93-97.16)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2+(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-13104)+ (-9844)+(-2184)+(-2784)+(-43264)]/[(31360000)+(21160000)+(6760000)+(108160000)]=-71180/167440000=-0.0004251b=Y-aX=0.90-(-0.0004251*7600)=97.14+3.23=100.37(%)，以100%計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S3風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X：X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.0004251)=-50/(-0.0004251)=117619小時6.由以上三樣品得知：油料最先消耗50%的風扇為S2，時間為60782小時最慢者為S1，時間409836小時所以得知t1=60782小時，t2=409836小時7.MTTF=t1+(t2-t1)*0.632=60782+(409836-60782)*0.632=60782+220602=281 384小時L10=t1+(t2-t1)*0.1=60782+(409836-60782)*0.1=60782+34905=95687小時平均故障间隔期（MTBF）MTBF分析法是指可以修理的设备从故障起到下一次故障为止，若干次的时间平均值。
预期寿命测算方案
预期寿命测算方案引言预期寿命是指一个个体、系统或产品的预计寿命，它是衡量其使用寿命或功能期限的指标。
预期寿命测算方案是为了评估个体、系统或产品的预期寿命而制定的一套方法和步骤。
在现代生活中，预期寿命测算方案在多个领域都得到了广泛应用，如工程项目、机械设备、电子产品等。
目的本文旨在介绍一种常用的预期寿命测算方案，以帮助读者了解如何评估个体、系统或产品的预期寿命。
通过合理的寿命测算方案，可以更好地制定出使用计划、维护策略和更换计划，以提高资源利用效率和降低成本。
测算方法预期寿命的测算通常基于统计数据和理论模型，下面将介绍一种常用的方法：1.数据采集：收集相关的数据，例如设备的运行时间、故障次数、维修记录等。
这些数据可以通过日志、记录表、传感器等方式获取。
2.数据清洗：对采集到的数据进行清洗，排除异常值和错误数据，确保数据的准确性和可靠性。
3.统计分析：对清洗后的数据进行统计分析，计算出关键指标，如平均寿命、故障率、维修间隔等。
这些指标可以帮助评估设备的健康状况和使用寿命。
4.寿命模型拟合：根据统计分析的结果，选择合适的寿命模型进行拟合。
常用的寿命模型有指数分布、Weibull分布等。
拟合的目标是找到最佳的模型参数，以描述寿命分布的特征。
5.预测计算：根据寿命模型，对未来的寿命进行预测计算。
可以基于当前状态和使用情况，估计个体、系统或产品将来的寿命。
这有助于制定维护计划、更换计划和预算规划等。
注意事项在进行预期寿命测算时，需要注意以下几点：1.数据质量：保证采集到的数据的质量和准确性，避免错误数据对结果的影响。
2.样本量：样本量足够大时，才能获得可靠的统计结果。
增加样本量可以提高测算的准确性。
3.模型选择：选择合适的寿命模型是至关重要的，不同的模型适用于不同的情况。
对于某些特殊情况，可能需要使用非传统的寿命模型。
4.假设条件：预期寿命测算常常依赖于一些假设条件，如独立故障、恒定故障率等。
在测算过程中，需要明确假设条件，并检验其是否满足。
乘积极限法公式
乘积极限法公式乘积极限法（Product-Limit Method）公式是一种在生存分析中常用的方法，用于估计生存函数。
咱先来说说啥是生存分析哈。
比如说研究某种疾病患者的生存时间，或者某个产品的使用寿命，这时候就会用到生存分析。
而乘积极限法公式就是其中一个重要的工具。
这个公式看起来可能有点复杂，但其实理解起来也不是那么难。
它主要是通过对每个时间点上还存活的个体数量进行计算，逐步累积得到生存函数的估计值。
我给您举个例子吧。
假设咱们在研究一群癌症患者经过某种治疗后的生存情况。
一开始有 100 个患者，第 1 年结束，有 10 个人去世了，那第 1 年末的生存概率就是 90/100 = 0.9。
到了第 2 年结束，又有 5 个人去世，这时候第 2 年末的生存概率就是 (90 - 5) / 90 = 0.9444。
然后咱们就这么依次计算下去，把每个时间点的生存概率相乘，就能得到乘积极限法估计的生存函数啦。
就像我之前带过的一个学生，他一开始对这个公式也是一头雾水。
我就给他一步一步地讲解，还带着他一起用实际的数据来计算。
那孩子特别认真，眼睛紧紧盯着我在黑板上写的每一个数字和符号，还不停地问问题。
后来经过几次练习，他终于搞明白了，那种成就感，从他脸上的笑容就能看出来。
再来说说乘积极限法公式的优点。
它对数据的利用比较充分，特别是在处理有删失数据的时候表现得很不错。
啥叫删失数据呢？比如说有些患者在研究结束的时候还活着，或者中途因为其他原因退出了研究，这些数据就是删失数据。
乘积极限法能比较好地处理这种情况，给出相对准确的生存函数估计。
不过呢，这个公式也不是完美的。
在样本量比较小的时候，估计的结果可能不太稳定。
而且计算起来有时候也会比较繁琐。
总之啊，乘积极限法公式在生存分析中有着重要的地位，但咱们也要根据具体的情况选择合适的方法来进行分析。
就像咱们解决生活中的问题一样，没有一种方法是万能的，得灵活运用，才能达到最好的效果。
平均预期寿命及常用的计算法
平均预期寿命及常用的计算法人口平均预期寿命(Life expectancy)是指假若当前的分年龄死亡率保持不变，同一时期出生的人预期能继续生存的平均年数。
它以当前分年龄死亡率为基础计算，但实际上，死亡率是持续变化的，所以，平均预期寿命是一个假定的指标。
这个指标与性别、年龄、种族有着紧密的联系，所以常常需要分别计算。
平均预期寿命是我们最常用的预期寿命指标，它表明了新出生人口平均预期可存活的年数，是度量人口健康状况的一个重要的指标。
寿命的长短受两方面的制约。
一方面，社会经济条件、卫生医疗水平限制着人们的寿命，所以不同的社会，不同的时期，寿命的长短有着很大的差别；另一方面，因为体质、遗传因素、生活条件等个人差异，也使每个人的寿命长短相差悬殊。
所以，虽然难以预测具体某个人的寿命有多长，但能够通过科学的方法计算并告知在一定的死亡水平下，预期每个人出生时平均可存活的年数。
这就是人口平均预期寿命。
人口平均预期寿命的计算要用到一连串的数学公式。
如果用文字来描述，则计算人口平均预期寿命的方法就是：对同时出生的一批人实行追踪调查，分别记下他们在各年龄段的死亡人数直至最后一个人的寿命结束，然后根据这个批人活到各种不同年龄的人数来计算人口的平均寿命。
用这批人的平均寿命来假设一代人的平均寿命即为平均预期寿命。
因为事实上要跟踪同时出生的一批人的整个完整的生命过程有很大的困难，在实际计算时，往往能够利用同一年各年龄人口的死亡率水平，来代替同一代人在不同年龄的死亡率水平，然后计算出各年龄人口的平均生存人数，由此推算出这个年的人口平均预期寿命。
所以，人口的平均预期寿命与同时代的死亡率水平相关。
1、人口老龄化指标反证法：我们能够通过人口老龄化指标(65岁以上的人口在7%以上)反证法，来推断一个国家或地区的平均寿命。
设平均寿命为“L”，总人口为单位“1” ,每一岁所占总人口比例为“x”， x= (1 / L) X100o这样，我们每给定一个L的值，就可计算出一个对应的x值、60和65岁以上人群所占的比例(％)。
期望寿命的概念及计算方法
期望寿命的概念及计算方法一、期望寿命的概念及相关期望寿命（life expectancy）又称平均预期寿命，或预期寿命。
X岁时平均预期寿命表示X岁尚存者预期平均尚能存活的年数。
刚满X岁者的平均预期寿命受X岁以后各年龄组死亡率的综合影响。
出生时的期望寿命简称平均寿命，它是各年龄死亡率的综合，综合反映了居民的健康状况，是反映人群健康状况的综合指标，但是，它只综合了有关死亡的信息，未包含疾病和伤残的情况，更未反映疾病伤残结果的严重性.期望寿命是评价居民健康状况、社会经济发展和人群生存质量的重要指标,它不受人口年龄构成的影响，因此各地区平均期望寿命可以直接比较。
对一个地区人口学特征、期望寿命及影响因素进行研究，可为制定科学、切合实际的卫生工作计划提供科学依据.而另一个概念“健康期望寿命"（active life expectancy,ALE),它是指人们能维持良好日常生活活动(ADL）功能的年限，健康期望寿命与普通的期望寿命的差别是:普通的期望寿命是以死亡为终点,而健康期望寿命以丧失日常生活能力为终点，它不仅能客观反映人群生存质量,亦有助于卫生政策与卫生规划的制定。
因此2000年世界卫生组织推荐用“健康期望寿命”来反映居民健康综合情况。
二、期望寿命的计算我区期望寿命是由统计分析软件DeathReg 2005计算而来，原理是编制我区居民简略寿命表。
寿命表又称为生命表(life table）是根据特定人群的年龄组死亡率编制出来的一种统计表。
寿命表有两种主要形式,队列寿命表和现时寿命表。
应用较广的是现时寿命表。
它反映一定时期某地区实际人口的死亡经历．是从一个断面来看当年一定时间段内人口的死亡和生存经历，它完全取决于制表这一年的人口年龄别死亡率。
现时寿命表计算所得的预期寿命是假定一批婴儿在其一生中都遵从当年资料所呈现的年龄别死亡率而死亡、生存的平均预期寿命，即该预期寿命是该人群的平均水平．并不是每一个人的实际存活年龄。
期望寿命计算模板
期望寿命计算模板期望寿命是指一个人在出生时可以预期活到的年龄。
它是由多种因素影响的，包括遗传、生活方式、环境等。
下面是一个期望寿命计算模板，用于估计个人的期望寿命。
第一步：收集个人信息首先，需要收集一些个人信息，包括年龄、性别、身高、体重、是否吸烟、是否有慢性疾病等。
这些信息将用于计算您的期望寿命。
第二步：确定基础寿命基础寿命是指在没有任何干扰因素的情况下，一个人可以预期活到的年龄。
它是根据统计数据所得出的平均值。
您可以根据您的年龄和性别查找相关的统计数据来确定您的基础寿命。
第三步：调整基础寿命接下来，您需要考虑一些因素来调整您的基础寿命。
这些因素包括遗传基因、生活方式和环境等。
以下是一些常见的因素调整：1.遗传基因：如果您的家族有长寿的历史，那么您可能会有更长的寿命。
反之，如果您的家族有一些遗传疾病，如心脏病或癌症，那么您的寿命可能会受到影响。
2.生活方式：一种健康的生活方式可以延长您的寿命。
这包括健康饮食、经常锻炼、不吸烟、适度饮酒、保持良好的身体健康等。
3.环境：生活在环境污染严重、健康卫生条件差的地区可能会缩短寿命。
相反，生活在清洁、安全的环境中可能会延长寿命。
根据这些因素，您可以调整您的基础寿命。
例如，如果您的家族有长寿的历史，并且您有健康的生活方式和良好的环境条件，您的寿命可能会超过基础寿命。
第四步：计算期望寿命最后，根据调整后的基础寿命，您可以计算出您的期望寿命。
公式如下：期望寿命=基础寿命+调整因素例如，如果您的基础寿命为80岁，并且调整因素为5年，那么您的期望寿命将是85岁。
需要注意的是，期望寿命只是一个估计值，并不能准确地预测个人的寿命。
每个人的情况都不同，还有许多其他因素可能影响寿命，如遗传基因突变、突发疾病等。
期望寿命只是一个提醒您注意健康和生活方式的指标，它并不能代表您的实际寿命。
综上所述，期望寿命计算模板可以帮助您估计自己的寿命。
通过收集个人信息、确定基础寿命、调整因素并计算期望寿命，您可以更好地了解如何改善自己的寿命，并采取适当的措施来保持健康和提高寿命。
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法
生存时间统计学方法主要包括以下几种：
1. 描述性分析：根据样本生存资料估计总体生存率及其他有关指标（如中位生存时间等）。
常采用Kaplan-Meier法（乘积极限法）进行分析。
对于频数表资料则采用寿命表法进行分析。
计算生存率需要考虑时间顺序。
2. 非参数检验：检验分组变量各水平所对应的生存曲线是否一致，对生存时间的分布没有要求，并且检验危险因素对生存时间的影响。
3. 半参数横型回归分析：在特定的假设之下，建立生存时间随多个危险因素变化的回归方程，这种方法的代表是Cox比例风险回归分析法。
4. 参数模型回归分析：已知生存时间服从特定的参数横型时，拟合相应的参数模型，更准确地分析确定变量之间的变化规律。
5. 典型相关分析：相关分析一般分析两个变量之间的关系，而典型相关分析是分析两组变量（如3个学术能力指标与5个在校成绩表现指标）之间相关性的一种统计分析方法。
以上信息仅供参考，具体使用哪种方法需要根据研究目的和数据类型来决定。
执业医师资格《公共卫生执业医师》第二阶段冲刺训练题（附答案）
执业医师资格《公共卫生执业医师》第二阶段冲刺训练题（附答案）一、单项选择题（共130题，每题1分）。
1、腐殖质是A、有机含氮化合物分解形成的最简单的无机成分B、化学性质不稳定的复杂有机物C、动植物残体在微生物作用下形成简单的化合物的同时又重新合成复杂的高分子化合物D、土壤中有机物厌氧分解形成的高分子化合物E、腐殖质成分很单一【参考答案】：C2、每分钟肺通气量和每分钟肺泡通气量之差为A、潮气量×呼吸频率B、机能余气量×呼吸频率C、余气量×呼吸频率D、无效腔容量×呼吸频率E、肺活量×呼吸频率【参考答案】：D3、经产前检查，医师发现或者怀疑胎儿异常的，应当对孕妇进行产前诊断；经产前诊断，有哪些问题的，医师应当向夫妻双方说明情况，并提出终止妊娠的医学意见A、胎儿患严重遗传性疾病的B、胎儿有严重缺陷的C、胎儿患严重遗传性疾病的或胎儿有严重缺陷的D、因患严重疾病，继续妊娠可能危及孕妇生命安全或者严重危害孕妇健康的E、A+B+C【参考答案】：E4、下列有关生存率估计的乘积极限法的描述中不正确的是A、乘积极限法即Kaplan-Meier法B、乘积极限法适用于小样本未分组资料C、乘积极限法适用于大样本未分组资料D、乘积极限法适用于大样本分组资料E、乘积极限法利用概率乘法定理来计算生存率【参考答案】：D5、队列研究中，下列哪项不是暴露的选择来源A、职业人群B、特殊暴露人群C、有该病的前驱症状者D、一般人群E、有组织的人群团体【参考答案】：C6、下列不符合缺铁性贫血的检验是A、血清铁降低B、血清总铁结合力降低C、平均红细胞血红蛋白浓度降低D、平均红细胞体积降低E、血清铁蛋白降低【参考答案】：B7、我国育龄妇女发生尿瘘最常见的原因是A、妇产科手术损伤B、阴道内放大量腐蚀性药物C、产伤D、膀胱肿瘤E、放射性损伤【参考答案】：C8、要比较3组连续变量资料，但它们的分布不清，应选用A、t检验B、μ检验C、Wilcoxon秩和检验D、Wilcoxon符号秩和检验E、K-W检验【参考答案】：E9、对阵发性室上性心动过速无效的药物是A、维拉帕米B、苯妥英钠C、普萘洛尔D、胺碘酮E、普罗帕酮【参考答案】：E10、染色体断裂后不重接则不能形成下列哪种形态学改变A、无着丝粒断片B、染色体缺失C、环状染色体D、微核E、微小体【参考答案】：C11、轮班制对工人的影响，不正确的是A、夜班工人的应激反应减弱B、夜班工人的作业能力下降C、正常生物节律紊乱D、影响身体健康E、影响社会和家庭生活【参考答案】：A12、RDA的基础是A、生理需要量B、最低需要量C、平均需求量D、适宜摄入量E、可耐受最高摄入量【参考答案】：A13、下列哪项不是氨基酸脱氨基后生成的α-酮酸的代谢去路A、经氨基化生成非必需氨基酸B、经氨基化生成必需氨基酸C、氧化生成二氧化碳和水D、转变为糖E、转变为酮体【参考答案】：B14、伤寒患者肥达反应效价低或呈阴性反应，在下列原因中最不可能的是A、机体免疫功能低下或缺乏B、病人使用了免疫抑制剂C、轻症感染D、早期使用了有效抗生素E、注射过伤寒三联菌苗【参考答案】：E15、胎儿期保健的原则A、避免不利因素的影响B、保证有利因素的影响C、保证有利因素的影响、免不利因素的影响D、可适当的使用一些药物E、由于胎盘的屏障作用不会感染疾病【参考答案】：C16、下列有关胆汁淤积性黄疸的临床特点，除外A、尿胆红素强阳性B、伴皮肤瘙痒C、皮肤呈暗黄色D、血清非结合胆红素明显增高E、粪便呈浅灰色或陶土色【参考答案】：D17、观察发现：饮水中氟含量越高的地区，人群龋齿的患病率越低；饮水中氟含量越低的地区，人群龋齿的患病率越高。
生存分析的概念
一、生存分析的概念：将事件的结果和出现此结果所经历的时间结合起来分析的统计分析方法。
研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一门学科。
对一个或多个非负随机变量（生存时间）进行统计分析研究。
对生存时间进行分析和推断，研究生存时间和结局与众多影响因素间关系及其程度的统计分析方法。
在综合考虑相关因素（内因和外因）的基础上，对涉及生物学、医学（临床、流行病）、工程（可靠性）、保险精算学、公共卫生学、社会学和人口学（老龄问题、犯罪、婚姻）、经济学（市场学）等领域中，与事件（死亡，疾病发生、发展和缓解，失效，状态持续）发生的时间（也叫寿命、存活时间或失效时间，统称生存时间）有关的问题提供相关的统计规律的分析与推断方法的学科。
二、“生存时间”(Survival Time)的概念生存时间也叫寿命、存活时间、失效时间等等。
医学：疾病发生时间、治疗后疾病复发时间可靠性工程系：元件或系统失效时间犯罪学：重罪犯人的假释时间社会学：首次婚姻持续时间人口学：母乳喂养新生儿断奶时间经济学：经济危机爆发时间、发行债券的违约时间保险精算学：保险人的索赔时间、保险公司某一索赔中所付保费汽车工业：汽车车轮转数市场学中：报纸和杂志的篇幅和订阅费三、生存分析的应用领域：社会学，保险学，医学，生物学，人口学，医学，经济学，可靠性工程学等六、生存分析研究的目的1、描述生存过程：估计不同时间的总体生存率，计算中位生存期，绘制生存函数曲线。
统计方法包括Kaplan-Meier（K-M）法、寿命表法。
2、比较：比较不同处理组的生存率，如比较不同疗法治疗脑瘤的生存率，以了解哪种治疗方案较优。
统计方法log-rank检验等。
3、影响因素分析：研究某个或某些因素对生存率或生存时间的影响作用。
如为改善脑瘤病人的预后，应了解影响病人预后的主要因素，包括病人的年龄、性别、病程、肿瘤分期、治疗方案等。
统计方法Cox比例风险回归模型等。
4、预测：建立Cox回归预测模型。
生存分析中乘积限估计的鞅方法
１ ）在 ｔ Ｏ时刻开始接受观察的个体数为 ／ ／ ＝ ＇＇ ｔｔ （
１ 引 言
自 １５ ９ ３年 Ｄ ｏ 次 系 统 地 提 出鞅 论 以来 ， ｏｂ首 在 近 得到 了迅速 发展 ． 为 一 种 有 效 的 理论 工具 已广 作
＞ ） ０ ；
２ 在任 意 时刻 ｔ ｔ ） （ ≥０）， 能 死 亡 的 人 数 为 可
为 Ｆ（） ｔ的正值 随机变 量 ；
并证明了在非完整数据情况 下参数估计 的一些性
质， 利用 鞅 的理论得 到 了一些 有 意义 的结论 ， 结合 并
实 际例 子 ， 对生 存模 型 的生存 函数进 行 了估 计、
验证．
５ ）在时间［ ，］ 所有发 生的死亡事件与退 ０ ｔ 内，
出事件 相互 独立 ；
△ ｔ ， Ⅳ（ ）＝ ， ， ， ； Ⅳ（ ） △ ｔ ０ １ ２ …
３ ）每间隔单位 时间有一个个体加入原被观察 群体， 则在 时间［ ， 内共有 ［］ ［・ 为取整函数 ） ０ｔ ］ ｔ（ ］
个 对象加 入 ；
泛应用到各个领域 ， 如马氏过程、 点过程 、 估计理论、 随 机过程 等 ． 而 ， 鞅 的 理论 应 用 于生 存 分 析 ， 然 将 并 用于各种实际生存模型的参数估计 的研究较少 ， 本
了良好 结果 ．
关键词 ： ；生存分 析 ； 数估 计 鞅 参 中 图分 类号 ： ２ １ ６ ０ １ ． 文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： ０ ７ ２ ８ （ ０ ７ ０ — １０ ０ １０ — ６ ３ ２０ ） ３ ０ ３ — ３
Ｍａ ｔ ｇ ｌ ｔ ｏ ｆＰｒ ｄ ｃ ｉ ｔＥ ｔ ｔ ｎ ｏ ｒ ｉａ ａｙ ｉ ｒｎ ａｅ Ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｕ ｔＬｍｉ ｓ ｉ ｉ ｎ Ｓｕ ｖｖ ｌ ｉ ｍａ ｏ Ａｎ ｌｓｓ
生存分析课程设计乘积极限法拟合样本的生存模型
乘积极限法拟合样本的生存模型摘要随着社会的进步和医学研究要求的不断提高,生存分析的应用范围不再仅仅是字面上所理解的“生存分析”,更代表了一种处理缺失数据的基本分析思想。
它的研究内容主要包括两个方面:描述生存过程以及分析影响生存过程的因素。
由于生存分析在处理缺失数据上具有无法替代的作用,因此在临床试验中应用非常广泛。
随着统计软件的不断发展,生存分析的理论和应用将会越来越广泛和深入,更多的符合生物医学实践的模型的建立将会越来越可行。
生存分析是研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一门学科。
该学科在生物学、医学、保险学、可靠性工程学、人口学、社会学、经济学等方面都有重要应用。
目前这方面的教材，国内还不太多，而且大多局限于生存分析的某一特定应用领域。
在现有的几本教科书中，或者偏重于工程学，或者偏重于生物学和医学。
本文主要通过简单的例子对成绩极限法和Nelson-Aalen进行介绍和简单的比较。
关键词：MATLAB；生存分析；乘积极限；Nelson-Aalen法PRODNCT-LIMITSURVIVAIMODELFITTINGSAMPLESABSTRACTAlong with social progress and the continuous improvement of medical research requirements, the scope of application of survival analysis is no longer just a literal understanding of "survival analysis", but also represents a process of fundamental analysis censored thought. Its research mainly includes two aspects: process description and analysis of the factors affecting survival process. Because survival analysis in dealing with censored data have irreplaceable, and therefore is widely used in clinical trials. With the continuous development of statistical software, the theory and application of survival analysis will be more extensive and in-depth, more in line with the practice established biomedical model will be more feasible. Survival analysis is the study of the phenomenon of survival and response time data and the statistical laws of a subject. The discipline has important applications in biology, medicine, insurance, reliability engineering, demography, sociology, and economics. Currently teaching in this area, not too much domestic and mostly confined to the survival of a specific application domain analysis. In the prior few textbooks, or emphasis on engineering, or emphasis on biology and medicine. In this paper, a simple example of a performance limit law and Nelson-Aalen introduction and a simple comparison.Key words:MATLAB ;Survival analysis; Product limit;Nelson-Aalen method目录1 问题提出 (2)1.1 问题的重述 (2)1.2问题的提出 (2)2 问题分析 (2)2.1相关知识简介 (2)2.1.1生存分析问题 (2)2.1.3符号说明 (2)2.1.3乘积极限法知识介绍 (3)2.1.4Nelson-Aalen法介绍 (4)2.1.5软件知识 (5)2.2程序编写前分析 (6)3 问题假设 (6)4 问题的求解 (6)4.1 乘积极限求解 (7)4.2 Nelson-Aalen法求解 (7)4.3 两种求解方法的比较 (9)参考文献 (10)附录 (11)1 问题提出1.1 问题的重述现有一个由10只实验鼠组成的样本，直到实验鼠全部死亡，以天为单位记录发生死亡的时间如下：2，3，4，5，7，8，8，9，9，12。
生存分析
生存分析的历史与应用
17、18世纪：寿命表的提出及其应用。
1926年：Greenwood提出评价生存函数的误差的方法— Greenwood公式。
1958年：生存函数的计算方法—Kaplan-Meier法(乘积极限 法product-limit)的提出。 1960年代中叶：生存时间的组间比较方法的开发—广义 Wilcoxon秩和检验(Gehan,1965年)；对数秩检验(log-rank test， 又称时序检验) [Mantel,1966年]。 1970年：将协变量的影响模型化—参数模型(假设生存时间 服从Weibull分布、对数正态分布等)；半参数模型(比例风险 5 模型，又称Cox回归模型) [Cox,1972年]。
除了关注是否出现某种结局(如有效、治愈、死亡等)，还
要考虑出现这些结局所经历的时间长短。
如：除了随访结局作为判定标准以外，只要能让病人存活时间
延长，这种药物也应当被认为有效。即时间延长也认为有效。
将两者均作为因变量拟合多元模型极为困难(“时间”分 布不明，一般不呈正态分布，在不同情况下的分布规律也 不同)。
基本概念
（二）生存时间
特点： 3. 根据研究对象的结局，生存时间数据可分两种类型： (1) 完全数据 (2) 截尾数据 截尾的原因
①失访：生存但中途失访，包括拒绝访问、失去联系等。 ②退出：中途退出试验、改变治疗方案、死于其它与研究无 关的原因：如肺癌患者死于心机梗塞、自杀或因车祸死亡， 终止随访时间为死亡时间。 ③终止：指观察期结束时仍未出现结局。
轴，将各个时点的生存率连接在一起的曲线图。
阶梯形：小样本资料用直接法估计的生存曲线；
折线形：大样本资料用频数表法估计的生存曲线。
生存分析概念
一、生存分析的概念：将事件的结果和出现此结果所经历的时间结合起来分析的统计分析方法。
研究生存现象和响应时间数据及其统计规律的一门学科。
对一个或多个非负随机变量（生存时间）进行统计分析研究。
对生存时间进行分析和推断，研究生存时间和结局与众多影响因素间关系及其程度的统计分析方法。
在综合考虑相关因素（内因和外因）的基础上，对涉及生物学、医学（临床、流行病）、工程（可靠性）、保险精算学、公共卫生学、社会学和人口学（老龄问题、犯罪、婚姻）、经济学（市场学）等领域中，与事件（死亡，疾病发生、发展和缓解，失效，状态持续）发生的时间（也叫寿命、存活时间或失效时间，统称生存时间）有关的问题提供相关的统计规律的分析与推断方法的学科。
二、“生存时间”(Survival Time)的概念生存时间也叫寿命、存活时间、失效时间等等。
医学：疾病发生时间、治疗后疾病复发时间可靠性工程系：元件或系统失效时间犯罪学：重罪犯人的假释时间社会学：首次婚姻持续时间人口学：母乳喂养新生儿断奶时间经济学：经济危机爆发时间、发行债券的违约时间保险精算学：保险人的索赔时间、保险公司某一索赔中所付保费汽车工业：汽车车轮转数市场学中：报纸和杂志的篇幅和订阅费三、生存分析的应用领域：社会学，保险学，医学，生物学，人口学，医学，经济学，可靠性工程学等六、生存分析研究的目的1、描述生存过程：估计不同时间的总体生存率，计算中位生存期，绘制生存函数曲线。
统计方法包括Kaplan-Meier（K-M）法、寿命表法。
2、比较：比较不同处理组的生存率，如比较不同疗法治疗脑瘤的生存率，以了解哪种治疗方案较优。
统计方法log-rank检验等。
3、影响因素分析：研究某个或某些因素对生存率或生存时间的影响作用。
如为改善脑瘤病人的预后，应了解影响病人预后的主要因素，包括病人的年龄、性别、病程、肿瘤分期、治疗方案等。
统计方法Cox比例风险回归模型等。
4、预测：建立Cox回归预测模型。
顾客生命周期子系统
1、顾客生命周期子系统顾客满意系数顾客满意度竞争强度生命周期变化率平均竞争强度顾客生命周期长度生命周期变化量平均顾客满意度顾客生命周期长度（t ）=顾客生命周期长度（t-1）+生命周期变化量（t ）生命周期长度变化量=（最大生命周期长度-顾客生命周期长度）*生命周期变化率生命周期变化率由顾客满意度和市场竞争强度决定，当顾客满意度高于市场中平均顾客满意度，竞争强度低于平均竞争强度时，顾客的生命周期长度将得到延长，反之，顾客生命长度将缩短。
满意度系数平均顾客满意度顾客满意度竞争强度系数竞争强度平均竞争强度生命周期变化率⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-1-2、潜在购买概率就用问卷调查做现有顾客平均顾客满意度顾客满意度平均购买概率购买概率⨯= 这块我觉得还需要考虑各个品牌之间存在竞争，所以应算出该品牌的转换概率：错误！未找到引用源。
=Pr=exp(错误！未找到引用源。
)/错误！未找到引用源。
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，通过公式：错误！未找到引用源。
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关于顾客i 可能在购买产品t 时购买品牌j 的一个1错误！未找到引用源。
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的行向量。
这个是孙圣楠的计算公式顾客资产终身价值的测量为：错误！未找到引用源。
其表示为，对于品牌j，错误！未找到引用源。
表示j品牌的贴现率；错误！未找到引用源。
表示单位时间里顾客i的平均购买率；错误！未找到引用源。
为顾客i在购买产品t时选择购买品牌j的购买值的期望；错误！未找到引用源。
为每一个单位顾客选择产品t对品牌j的贡献值的期望。
其中错误！未找到引用源。
的计算公式为：错误！未找到引用源。
（3-6）其中，错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
分别是顾客收入与企业产品（服务）价格指数的线性回归系数；错误！未找到引用源。
指顾客i在t 时期的收入水平；错误！未找到引用源。
表示企业j的产品或服务在t时期的平均价格水平，即价格指数（微观的，企业全部产品或服务的平均价格水平）。
产品寿命期望值MTTF及L10之计算
產品壽命期望值MTTF及L10之計算1.產品壽命期望值MTTF是指產品發生63.2%不良時之預期時間，或稱信賴度36.8%之時間。
產品壽命期望值L10是指產品發生10%不良時之預期時間，或稱信賴度90%之時間。
MTTF=t1+(t2-t1)*0.632L10=t1+(t2-t1)*0.1t1：達不良率值最短時間t2：達不良率值最長時間2.所請不良之定義並無一定之規範，譬如：(1)可以用一批產品作測試，經2000，3000，5000，10000，18000小時後測試其轉速、消耗電流是否超出規格做為不良之定義。
(2)或以精密測量儀器測量軸心潤滑油料殘餘量剩多少為不良之定義。
3.測試之樣品數越多則數據越可靠，最少三個。
4.測試時間可以2000，3000，5000，10000，18000小時做為規範。
也就是說測試時間點5.假設現有一風扇產品，以軸心油料消耗至50%時即視為不良，因油料耗至50%時間相當長，故必需以外差法求其時間。
若油料損耗曲線趨近線性，油耗公式可寫為Y=Ax+bY:經過i時間後油指殘餘量X:時間(單位：小時)a:曲線斜率。
等於Σ(Xi-X)*(Yi-Y)/ Σ(Xi-X)2b:常數(單位：%)等於Y-[Σ(Xi-X)*(Yi-Y)/ Σ(Xi-X)2]*X=Y-Ax註：計算時，若b>100%以100%計算X：=各測試時間點之平均值=(2000+3000+5000+10000+18000)/5=7600小時Y：各測試時間點油脂殘餘量平均值，假設有三個樣品S1、S2、S3經過i時間其油脂殘餘量如下：(1) S1樣品X=7600，Y=(99.9+99.8+99.6+99.1+98)/5=99.28%a=[(2000-7600)(99.9-99.28)+(3000-7600)(99.8-99.28)+(5000-7600)(99.6-99.28)+(10000-7600)(9931-99.28)+(18000-7600)(98-99.28)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2 +(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-3472)+(-2392)+(-832)+(-432)+(-13312)]/[(31360000) +(21160000)+(6760000)+(108160000)]=-20440/167440000=-0.000122b=Y-aX=99.28-(-0.000122*7600)=99.28+0.927=100.2(%)，以100(%)計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S1風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X;X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.000122)=-50/(-0.000122)=409836小時(2) S2樣品X=7600，Y=(99.5+99.2+97+93+87)/5=95.14%a=[(2000-7600)(99.5-95.14)+(3000-7600)(99.2-95.14)+(5000-7600)(97-95.14)+(10000-7 600)(9.-95.14)+(18000-7600)(87-95.14)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2+(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-24420)+ (-18680)+(-4840)+(-5140)+(-84660)]/[(31360000)+(21160000)+(6760000)+(108160000)] =-137740/167440000=-0.0008226b=Y-aX=95.14-(-0.0008226*7600)=95.14+6.25=101.39(%)，以100%計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S2風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X：X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.0008226)=-50/(-0.0008226)=60782小時(3) S3樣品X=7600，Y=(99.5+99.3+98+96+93)/5=97.16%a=[(2000-7600)(99.5-97.16)+(3000-7600)(99.3-97.16)+(5000-7600)(98-97.16)+(10000-7 600)(96-97.16)+(18000-7600)(93-97.16)]/[(2000-7600)2+(3000-7600)2+(5000-7600)2+(10000-7600)2+(18000-7600)2]=[(-13104)+ (-9844)+(-2184)+(-2784)+(-43264)]/[(31360000)+(21160000)+(6760000)+(108160000)]=-71180/167440000=-0.0004251b=Y-aX=0.90-(-0.0004251*7600)=97.14+3.23=100.37(%)，以100%計算依據油耗公式Y=aX+b，得知S3風扇在潤滑油量(Y)剩50%之時間X：X=(Y-b)/a=(50-100)/(-0.0004251)=-50/(-0.0004251)=117619小時6.由以上三樣品得知：油料最先消耗50%的風扇為S2，時間為60782小時最慢者為S1，時間409836小時所以得知t1=60782小時，t2=409836小時7.MTTF=t1+(t2-t1)*0.632=60782+(409836-60782)*0.632=60782+220602=281 384小時L10=t1+(t2-t1)*0.1=60782+(409836-60782)*0.1=60782+34905=95687小時平均故障间隔期（MTBF）MTBF分析法是指可以修理的设备从故障起到下一次故障为止，若干次的时间平均值。
乘积限估计例题
乘积限估计例题
乘积限估计是一种用于估计两个或多个变量的乘积的方法。
它通常用于统计学和概率论中，以估计两个随机变量的期望值或其他相关参数。
以下是一个乘积限估计的例子：
假设我们有两个随机变量X和Y，我们想要估计它们的乘积
E(XY)。
我们可以使用乘积限估计来近似这个期望值。
首先，我们需要收集一些样本数据，即观测到的X和Y的值。
假设我们有n个观测值，分别是(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。
接下来，我们可以计算X和Y的样本均值和样本方差。
样本均值是所有观测值的平均值，样本方差是观测值与样本均值之差的平方和除以观测值个数减1。
然后，我们可以使用乘积限估计公式来计算E(XY)的估计值。
乘积限估计公式如下：
E(XY) ≈ (Σxiyi) / n
其中，Σ表示求和符号，xi和yi分别是第i个观测值的X和Y 的值。
最后，我们可以将收集到的样本数据代入公式中，计算出E(XY)的估计值。
需要注意的是，乘积限估计只是一种近似方法，其准确性取决于样本数据的质量和数量。
在实际应用中，我们还需要考虑其他因素，如样本的代表性和数据的可靠性等。
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ISSN 1000-0054CN 11-2223/N 清华大学学报(自然科学版)J T singh ua Un iv (Sci &Tech ),2005年第45卷第12期2005,V o l.45,N o.1232/321704-1707客户期望寿命的乘积限估计周生炳1, 成 栋2(1.空军指挥学院,北京100089;2.中国人民大学商学院,北京100872)收稿日期:2004-11-17基金项目:教育部人文社会科学“十五”规划课题(01JD 630005)作者简介:周生炳(1962-),男(汉),湖南,副教授。
E-mail:ab ing88@摘 要:采用生存分析中的非参数方法估计客户在其每个交易期内的维系概率、客户的期望寿命和客户终生价值。
在将客户采购“日历”记录转变成“年龄”记录后,针对数据删失导致的流失、未流失和部分流失等3种客户生存状态,应用K aplan -M eier 乘积限方法估计其生存概率,进而计算客户的期望寿命。
在此基础上,提出结合净收益时间序列或加权平均计算客户终生价值。
借助主流统计软件包(如SAS 系统)进行乘积限估计,可以有效地实现该文提出的模型。
关键词:客户终生价值;生存分析;乘积限估计中图分类号:F 27;O 21文献标识码:A文章编号:1000-0054(2005)12-1704-04Product limit estimator for the expectedduration of a customer lifetimeZH OU Shengbing 1,CHE NG Don g 2(1.Air Force Command College ,Beijing 100089,China ;2.Bus iness School ,Renmin University of China ,Beij ing 100872,China )Abstract :Nonparametric es timation in the sur vival analys is were used to estimate the retention probability of customers at every tran saction period,and the ex pected dur ation of the cu stomer lifetim e,i.e.,the exp ected value of th e n umber of cu stomer tran saction periods ,and the customer lifetime value.Pur chase data in the “calendar ”time extracted from cus tom er datab as es was tran sformed into recor ds in the “age ”time.Th e s urvival prob ability of the customers (and ,con sequently,each customer's expected lifetim e)w as estim ated b y th e Product Limit estimator for three sur vival states-los t,non-los t,and partly lost-caus ed by censorin g of the data.T he cu stomer lifetime value w as calculated by integrating the expected duration of a customer's lifetime with the tim e s eries or w eigh ted average of the net revenue from the customer in each per iod.Th is model can b e efficiently implemented us ing a Product Limit es timators in popular statis tical softw are packages.Key words :cus tom er lifetim e value;su rvival analys is;produ ct lim ites timator随着客户终生价值(custo mer lifetim e value,CLV )成为营销科学研究热点,研究者提出了众多CLV 模型[1]。
这些CLV 模型大致分为两类:确定型模型和随机型模型。
为便于客户数据的数学处理,这些模型大多对客户采购历史及未来采购倾向作了过分简化,忽略了数据中隐含的大量信息,没有充分利用客户的历史数据资料。
例如,确定型模型假定客户每个时间周期有相同的维系率或迁移率,有相同的收入或支出[2];随机型模型则假定客户采购模式的无记忆性(Markov 链模型[3])或客户采购率、流失率等服从某种概率分布[4,5]。
笔者认为,对客户终生价值的估计应建立在客户历史采购数据分析基础上。
本文从客户过去的采购行为和细分市场分析出发,把客户的维系和流失分别对应“生存”和“死亡”状态,推断如下几个方面:1)客户在其每个交易期内的维系(或流失)概率;2)客户的期望寿命,即客户交易期数量的期望值;3)客户终生价值。
评估客户终生价值时,一个至关重要的问题是,客户的“终生”——即客户的交易期或生存期或寿命——究竟有多长?通常的作法是指定一个时间周期上限或假定客户具有无限长的“生命”。
从生存分析的角度看,客户关系(维系或流失)与生存状态(生存或死亡)非常相似,因此,如果能为客户关系建立一个生存模型,则可估计客户的期望寿命,进而计算客户的期望寿命。
1 流失客户首先建立流失客户的概念。
假设客户数据库中保存某客户群一段时间的采购记录,这段时间就是观测周期。
设定一个时间周期,如日、周、月等,可以从记录中提取每个客户在各周期是否采购、采购额度、采购频率(次数)等数据。
假设共有n个周期,即从周期d1至周期d n。
客户生存与否的惟一依据是其采购记录。
客户寿命是从初次采购到流失(如果观测到流失的话)之间的周期数。
因为流失的客户一般不明确通知公司,所以,流失的客户不可直接观测到。
那么,如何得知哪些客户流失了呢?这里,本文遵循CLV研究者通行的作法,以最近连续缺席周期数(recency)r作为衡量客户流失的参数。
所谓最近连续缺席周期数,是指上次采购以后到目前未采购的周期数。
例如,如果观测结束周期是d n,客户上次采购周期是d i(i≤n),则r=n-i就是最近连续缺席周期数。
指定一个数k> 0,当r≥k时,认为该客户从周期d i+1开始流失了。
如果客户连续缺席r(≥k)周期后又回来采购,此时认为他是一个新客户。
2 删失数据客户进入观测(即首次采购)时间不一定相同。
到观测结束(周期d n)时,未流失客户的生存时间至少是从进入观测到周期d n那段时间,这种观测构成广义I型右删失[6]。
例如,假设5个客户的采购情况如表1所示(假设k=5)。
表1 5个客户的采购情况周期客户采购情况客户1客户2客户3客户4客户51●2●3⊙●⊙4⊙5◎⊙⊙●6◎7⊙⊙8⊙●910⊙⊙ 注:●表示该客户在相应周期首次采购(新客户);⊙表示客户在该周期有采购活动;◎表示客户在此周期流失。
客户1和客户3虽然不同时进入观测,但其寿命相同(均为4个周期)。
客户2、客户4和客户5在退出观测(观测结束)时删失,则客户2至少生存8个周期,客户5至少生存3个周期,客户4生存周期不确定。
对这种删失,将所有观测对象的开始时间重新调节为0,即将客户采购的“日历”时间转换为客户生存的“年龄”时间。
这样,流失时间(周期)就是他的寿命。
转换后,表1的客户生存状态如表2所示。
表2 5个客户的生存状态年龄客户生存状态客户1客户2客户3客户4客户5 0√√√√√1√√√√√2√√√√√3√√√√×4◎√◎?5√?6√×7√8× 注:√表示生存状态,◎表示流失状态,×表示删失,?表示状态不确定。
从表2可见,客户有3种生存情况:1)流失 观测终止前已确定流失(r≥k),如客户1;2)未流失 观测终止前未确定流失,且r=0,如客户2;3)部分流失 观测终止前未确定流失,但r> 0,因此可能“部分”流失,如客户4。
对流失客户,年龄是确定的,即客户流失前的周期数。
对未流失客户,至少生存到观测终止时的年龄。
对部分流失客户,不能确定其生存年龄。
因为如果延长观测,该客户可能生存,也可能流失。
这种情况有赖于对缺席采购的理解,将在估计生存概率时提出不同的处理方法。
3 客户生存概率的乘积限估计设T表示客户从t=0到他流失的时间,这是一个随机变量。
如果T是流失时间,那么在时间t,该客户仍然生存(即维系)的概率等于流失时间不迟于t的概率,这个概率记为S(t)=P(T>t).其中P表示概率。
称S(t)为生存函数。
若已知生存时间T服从某种概率分布,则可应用参数估计方法建立生存模型(SM C模型[5]可归入这类方法),否则必须使用非参数方法。
典型的非参数估计方法是Kaplan-Meier的乘积限(pro duct lim it)方法。
对客户关系而言,目前只有少数文献采用参数估计方法[4,5]。
本文拟采用一种变通的乘积限1705周生炳,等: 客户期望寿命的乘积限估计(PL)方法估计客户的生存函数,在此基础上,计算不同“年龄”客户的期望寿命。
假设客户日历采购数据已经转换成年龄数据。
下面,将在年龄数据基础上估计客户在每个年龄t 的生存概率S(t)。
令p x表示在年龄x时生存,到年龄x+1仍生存的条件概率,q x是相应的流失概率,显然p x=1-q x。
由p x的定义,有S(t)=p0p1…p t-1. 于是,若估计出i(0≤i<t),则S(t)的一个自然估计是S(t)=01…t-1. 但更方便的是估计q i(0≤i<t)。
若设年龄i生存、流失和删失的客户数分别为n i、l i、c i,则n0= N n,l0=0(假设在周期d n终止观测),c0=0。
n i为进入年龄i时尚生存的客户数,l i为在年龄i-1最后一次采购的客户数,c i为在年龄i-1退出观测的客户数(这些客户的年龄最多为i-1)。
因此,各年龄生存客户数有递推关系为n i+1=n i-l i-c i, i≥0.于是q⌒i=l i/n i, i≥0. 可见,估计条件概率q⌒i的关键是确定每个年龄生存和流失的客户数。