2019届复旦附中初升高自招数学试卷

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2019年上海中学自主招生数学试卷

2019年上海中学自主招生数学试卷
一、填空题（共11小题，每小题0分，满分0分）
1．已知a≠0，求++＝．
2．因式分解：x3﹣3x+2＝．#MUSTA
3．已知两二次方程ax2+ax+b＝0与ax2+bx+b＝0各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为．
4．求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为个．
5．已知点C（3，5），D（0，1），A、B两点在x轴上且AB＝2．已知点A在x轴右侧，求
C ABCCD的最小值为．
6．如图，正方形ABCD边长为2，点E、F分别为边AB、BC中点，AF分别交线段DE、DB于点M、N，则S△DMN＝．
7．已知a＞1，解方程：＝x．#MUSTA
8．已知：|x i|＜1（i＝1，2，3，…，n），且|x1|+|x2|+…+|x n|＝1000+|x1+x2+…+x n|，则n的最小值为（）
A．999B．1000C．1001D．1002
9．已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D、E分别在边AC、AB上，且AD＝2．当△ADE∽△ACB时，AE＝．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B在∠ABC内部作任一射线，作AH⊥射线于点H，在图上取一点P，使得HP∥BC，且HP＝BC．联结AP、CP，求证：AP⊥CP．
11．一个正方形上每条边上有三个四等分点，由这些四等分点，最多可组成多少个三角形？。

复旦附中自招真题解析

海
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，则 BD DC ______________．【答】4． A 【解析】设 AB 、 BC 、 CA 分别为 n 1 、 n 、 n 1 ，则
昂
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智
立方
B
C
上
2
2
B
D C
有 c 2 a 2 b2 2b2 c 2b ab 2 b b 2b 2 而 ab 2 a b c 2 0 b b a 5 ，

2 2 b 7b a 7 ，

若 a 5 ，25 c b c b c b 25 ，c b 1 c 13 ，b 12 代入两式验证成立；若 a 6 ， 36 c b c b c b 18 ， c b 2 c 10 ， b 8 代入两式验证成立；
2
若它们为不同解，则 19m n 19 矛盾 19m n
原式
m 19m 4m 1 19m2 99m 1 95m 5 ． 19m 19m
9. 若关于 x 的方程 x 2 x 2 4 x m 0 有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则 m 的取值范围是______________．【答】 3 m 4 ．【解析】显然 x 2 是原方程的根，设另两个根分别为 a 、 b ， a b 4 2 ，
15 sin120 a a 2 3 2 4 则 a 2 2a 1 16 sin 60 2 S 2a 2 ABCD 2

复旦附中自招题

复旦附中自招题摘要：一、复旦附中自主招生考试简介1.复旦附中自主招生考试的背景和目的2.考试的科目和内容二、复旦附中自招题的难度与特点1.题目难度较高，考察学生综合能力2.题目涵盖多个领域，注重知识面的广泛性3.题目具有一定的创新性和实践性三、复旦附中自招题的备考策略1.注重基础知识的学习和巩固2.拓宽知识面，关注时事热点3.培养解题能力和思维方法4.参加模拟考试，提高应试技巧四、家长和学生对复旦附中自招题的看法1.家长和学生对自招题的重视程度2.对自招题难度的认识和评价3.对备考策略的看法和建议正文：复旦附中作为我国著名的高校附中，其自主招生考试一直备受关注。

本文将针对复旦附中自主招生考试中的自招题进行详细解析，以帮助学生更好地应对这一考试。

首先，复旦附中自主招生考试是为了选拔具有潜力和特长的学生，为他们提供更好的教育资源。

考试科目通常包括语文、数学、英语、物理、化学、生物、历史、地理等多个领域，内容丰富且全面。

因此，学生在备考过程中需要对各个科目知识点有扎实的掌握，并注重知识面的拓展。

其次，复旦附中自招题的难度较高，对学生的综合能力要求较高。

这不仅要求学生具备扎实的基础知识，还需要具备良好的解题能力和思维方法。

此外，自招题往往具有一定的创新性和实践性，需要学生能够活学活用，将所学知识运用到实际问题中。

因此，在备考过程中，学生需要通过不断练习和总结，提高自己的解题能力。

针对复旦附中自招题的备考策略，学生首先应注重基础知识的学习和巩固。

基础知识是解题的基础，只有基础知识扎实，才能在解题时游刃有余。

其次，学生需要拓宽知识面，关注时事热点，了解各个领域的最新动态。

这有助于学生在考试中更好地应对涉及时事热点的题目。

此外，培养解题能力和思维方法也是备考的重要环节。

学生可以通过参加各类竞赛、模拟考试等活动，提高自己的解题能力和思维方法。

对于家长和学生来说，复旦附中自招题的难度和备考策略是他们关注的焦点。

大部分家长和学生认为自招题难度较高，对学生的综合能力要求较高。

【自招】2004-2019年上海市四校八大自主招生数学真题试题及答案

2004-2019年上海初中自主招生数学试题及答案真题及答案解析内容涵盖上海著名的“四大名校”和“八大金刚”在历年自主招生中的科学素养数学试题目录2019年复旦附中自主招生数学试题及答案2019年华师二附自主招生数学试题及答案2019年交大附中自主招生数学试题及答案（完全）２０１８年上海复旦附中自主招生数学试题及详解２０１６复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日试题2004年交大附中自主招生数学试题及答案2011年华师二附自主招生数学试题及答案2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）2012年复旦附中自主招生数学试题及答案2013年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年上海中学自主招生数学试题及答案2014年交大附中自主招生数学试题及答案2014年进才中学自主招生数学试题及答案2014年上海中学自主招生数学试题及答案2014年复旦附中自主招生数学试题及答案2014年华师二附自主招生数学试题2014年华中一附自主招生数学试题2015年复旦附中自主招生数学试题2015年华师一附自主招生数学试题及答案郝老师解答：（一）1、2、3、4、5、6、（二）1、2、3、（三）1、2、3、参考答案8、如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128。

所以n的所有可能值共有6个991011.2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日一. 填空题1. 已知a b c xbcacab，则x ________.2. 已知函数225323yxa xb x b≤≤图像关于y 轴对称，则ab ________.3. 已知函数2221yk xkx k的图像与x 轴只有一个交点，则k__________.4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx 与函数283233243xx yxxx ，≥，，≤图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是__________.5. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥CD AB ，，设E F 、分别是AC BD 、的中点，AC与BD 交于点O ，已知OEF △是边长为1的正三角形，BOC △的面积为1534，则梯形ABCD 的面积为__________.6. 已知矩形ABCD 中，1AB BC a ，，若在边BC 上存在点Q ，满足AQQD ，则a 的取值范围是__________.7. 已知锐角ABC △的三边长恰为三个连续正整数，AB BCCA ，若BC 边上的高为AD ，则BDDC __________.EFBOD CAA8. 已知实数m n ，（其中1m n ）分别满足：22199********mm nn ，，则41mn m n_____________.9. 若关于x 的方程2240x xx m有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是___________.10. 如图，矩形ABCD 中，34AB BC ，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB △为直角三角形时，BE 的长为__________.11. 如图，OA OD ，是O ⊙的半径，延长OA 至B ，使OA AB C ，是OA 的中点，AOD 为锐角，连接CD BD ，，且CD a ，则_________.BD 12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.13. 设10n n ≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.EB'BCDACBAOD二. 解答题14. 关于x 的方程222120x m x m m 的两个根分别为12.x x ，1若125x x ∣∣，求m 的值；2若12x x ，均为整数，求m 的值. 15. 如图，ABC △中，56AB BCAC ，，过点A 作AD BC ∥，点P Q ，分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且APBQ ，过点P 作PE AC ∥交线段AQ 于点O ，联结PQ ，记AP x POQ ，△面积为.y 1求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；2联结QE ，若PQE △与POQ △相似，求AP 的长.16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）O E P A CB QD17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作x ，如 1.2133 1.32，，222111110111111212016201711011111220162017S ，求90S ; 2解关于x 的方程：212312.2x x x２０１８年上海复旦附中自招数学试题及详解2004年交大附中自主招生数学试题及答案（本试卷满分100分，90分钟完成）一、单项选择题：（本大题满分30分）本大题共有10个小题，每小题给出了代号为A 、B 、C 、D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的圆括号内．每小题选对得3分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得零分． 1.计算()13422213939---⎛⎫+÷- ⎪⎝⎭，得（）A ．119B ．1C ．59D ．192.如果a b >，那么下列结论正确的是（）A ．22ac bc >B ．34a b-<-C ．32a b ->-D ．11a b<3.已知等腰梯形的中位线长为12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2:1，则梯形的两底长分别为（）A ．8，16B ．10，14C ．6，18D ．4，204.如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．内切D ．外切5.设()220042004f x x x =-+，（()f x 表示关于x 的函数，如()2002004020042004f =-⋅+=，()220042004f m m m =-+）若()()f m f n =，则()f m n +=（）A ．0B ．2004C ．-2004D ．206.若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足3A B >，2C B <，那么这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等边的锐角三角形7.如果A ∠是锐角，且3sin 4A =，那么（）A ．030A ︒<∠<︒B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8.观察右图，根据规律，从2002到2004，箭头方向依次为（）A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓9.已知一组数据6，8，10，x 的中位数与平均数相等，这样的x 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个以上（含4个）10.点P 是矩形ABCD 内一点，如果3PA =，4PB =，5PC =，则PD 的长度是（）A ．72B ．52C ．23D ．32二、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12个小题，各小题只要求在横线上方填写最终、最准确的结果，每题填写正确得3分，否则一律得0分．11.若实数x 满足211x x+=，则52x x ++的值为_________．12.在ABC ∆中，90C ∠=︒，如果3sin 5A =，那么B ∠的余切cot B =_________．13.若方程21x x k -=+恰有三解（相等实根算一解），则k 的值是__________．14.把抛物线()232y x =-向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴交于点()1,0A x 与()2,0B x ，如果221210x x +=，那么k 的值为________．15.某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出100条鱼，做上标记后全部放回鱼塘，过些时候捕捞出90条鱼，发现其中有4条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼约有_________条．16.如图，四边形ABCD 中，ADC ∠和ABC ∠都是直角，DE 垂直于AB ，AD 边与CD 边长度相等．已知四边形ABCD 的面积为16，那么线段DE 的长度是_________．17.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如果延长BE 交AC 于F ，那么:AF FC =________．18.如图，ABC ∆中，已知AB AC =，DEF ∆是ABC ∆的内接正三角形，BDF α=∠，CED β=∠，AFE γ=∠，则用β、γ表示α的关系式是________．DCABE 第16题03→47→811→…↓↑↓↑↓↑…1→25→69→10…19.若扇形的圆心角是60︒，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_________．20.有红、白、绿、蓝4种颜色的袜子各100只，在黑暗中至少要摸出________只袜子，才能保证摸出的袜子至少有18双（每两只同色袜子叫做一双）．21.在数集上定义运算a b ⊕，规则是：当a b ≥时，3a b b ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=．根据这个规则，方程464x ⊕=的解是__________．22.小于1000的自然数中，不能被5和7整除的数有________个．三、解答题：（本大题满分34分）本大题共3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．23.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，且2AD =，1AE =．求：（1）O 的直径的长；（2）求BC 的长；（3）求DBA ∠的正切tan DBA ∠．CEAF BD第18题第23题CDAEOB24.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．已知圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A、B、C三点的坐标分别是()2,0A-、()12,0B、()0,4C，（1）求点D的坐标；（2）求圆心M的坐标；（3）若一抛物线过A、B、C，另一抛物线过A、B、D，求两条抛物线顶点间的距离．CAD OMB 第24题25.（本题满分12分）求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的两倍．2011年华师二附自主招生数学试题及答案一、填空题（每题4分）1.已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为__________．2.已知关于x 的方程()2210x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =__________．3.已知当船位于A 时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30︒、相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东__________的方向沿直线前往B 处救援．4.关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有________组解．5.已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是_______．6.已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是____________．7.如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是__________．8.在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ∠=∠=︒，16AB =，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF AB ⊥于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +的值为_________．9.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标13,44变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为_________．A BCDEF12110.定义{}min ,,a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是________．二、计算题（20分）11.四个不同的三位整数首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10分）12.如图，已知PA 切O 于A ，30APO ∠=︒，AH PO ⊥于H ，任作割线PBC 交O于点B 、C ，计算HC HBBC-的值．（10分）A PBCH O2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）1.如图，已知锐角ABC ∆中，45BAC ∠=︒，CE 、AD 分别是边AB 、BC 上的高，联结DE ，求证：2AD CD DE -=．ABCDEEFCDBA2.如图，已知在ABC ∆外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且90BAD CAE ∠=∠=︒，AM 为ABC ∆中BC 边上的中线，连接DE ．（1）求证：2DE AM =；（2）若AG BC ⊥于点G ，H 为直线AG 和DE 的交点，求证：H 为DE 中点．ABCM GHED3.如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、CD 平分ABC ∠，点D 在ABC ∆内，过点D 作EF ∥BC ．请问：EF 与BE 和CF 有什么关系？ABCE F D4.已知：在ABC ∆中，AB AC =，72B ∠=︒．（1）如何才能将ABC ∆划分成三个等腰三角形？请画出至少4种不同的图形；（2）如何才能将ABC ∆划分成四个等腰三角形？请画出至少3种不同的图形．5.如图，在正三角形ABC ∆中，其中AF BD CE ==，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ．求证：PQR ∆为正三角形ABCD E F PQR2012年复旦附中自主招生数学试题及答案1.若x ab =，22y a b =+，则()()22x y x y ++-=______．2.x ，y 满足22y x px ≥++，若x y +最大值为2，则复实数_____p =．3.ky x=上一点C ，以C 为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O 点距为2，则k 取值范围______．4.直径为MN 的半圆与MA ，NB 相切．P 为MN 上一点，PF AB ⊥，若AB 与半圆相切，则ABPBPA +最大值为______．5.6.已知BAC ∠与内部一点M ，因纸太小A 点画不下，求做一直线经过M ，A （尺规作图）．7.矩形ABCD 中，BC AB 3=，将矩形折叠，B 落在AD 上点M 处，C 落在N 处，求AMFB EC -．MNA FBPB MCAM D N FCBE8.设21,x x 为022=--p px x 的两根，P 为实数．①求证032221≥++p x px ．②当3221-≤-p x x 时，求P 的最大值．9.实数1a ，2a ， n a 满足：①021=+++n a a a ②121=+++n a a a 求证：k 个数（k =1，2，3， n ），2121≤+++k a a a ．10.锐角ABC ∆中，AD ，BE ，CF 分别为BC ，AC ，AB 边上的高，设a BC =，b AC =，c AB =，x BD =，y EC =，z AF =．①用a ，b ，c 表示x ．②当a ，b ，c 满足什么关系时，有()c b a z y x ++=++2？1.已知a b c +≤，b c a +≤，c a b +≤，求a b c ++的值．2.已知221766xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234x x y x y xy y ++++的值．3.若a 、b 、c 为正有理数，证明：⑴若a b +为有理数，则a 、b 为有理数，⑵若a b c ++为有理数，则a 、b 、c 为有理数．1.在Rt ABC ∆中90A AB a AC b ∠=︒==，，，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，BE EF AE x ⊥=，，EFC S y ∆=，求y 与x 的函数关系．2.定义①111⊗=，②()1111n n +⊗=⊗+，求1n ⊗=＿＿＿．3.()()()()221328()2114a x a x a f x a x a x a ++++-=-+++-定义域为D ，()0f x >在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围？4.已知：2222114a b a b +=+，求20122013b a a b ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭=＿＿＿．5.如图，有棋子摆成这样，求第n 幅图有＿＿＿颗棋子．6.如图，在矩形ABCD 中2AE BE =，将ABE DEC ∆∆、分别沿BE EC 、翻折，''15D EA ∠=︒，求ECB ∠=______．7.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，第2013个数是______．8.已知：x y 、为有理数，且满足21334x y +=+，求(,)x y =＿＿＿．EDCD 'A 'ABA'2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）1.有理化1351++．2.等边ABC ∆重心为O ，1ABC S ∆=，以O 为旋转中心旋转60︒得A B C '''∆，则ABC ∆与A B C '''∆的重叠面积为______．3.2=+b a ，7=+c b 求ac bc ab c b a 242332222-++++．4.用两条直线分割下图，使拼成正方形．5.如图，有半径为2的圆A ，A ()0,1，直线k x y +=过A ，与圆交于P ()11,y x ，Q ()22,y x ，01>y ，D ()3,0．①求P ，Q 坐标②以P 为顶点的抛物线过A ，求解析式③在抛物线对称轴上有一点M ，使DMQ ∆的周长最大，求M ．6.AC 'B 'BO⋅A 'CyxO1234512345﹣1﹣1﹣2﹣2﹣3﹣3﹣4﹣4﹣5AQ P D2013年上海中学自主招生数学试题及答案一、填空题（本部分共10道题，每题8分，共80分）1.计算111122320122013+++=+++ _____________.2.设x ，y ，z 为整数且满足201220131x y y z-+-=，则代数式333x y y z z x-+-+-的值为________________.3.若有理数a ，b 满足21334a b -=+，则a b +=________.4.如图，在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，线段DE AB ⊥，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的三分之一，那么，线段BD 长为___________.5.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点M N 、，顶点为R ，若MNR ∆恰好是等边三角形，则24b ac -=____________.6.如图为25个小正方形组成的55⨯棋盘，其中含有符号 “”的各种正方形共有19个.7.平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形得顶点，则n 的最大值为4.8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =74.9.一个老人有n 匹马，他把马全部给两个儿子，大儿子得x 匹，小儿子得y 匹(1)x y >≥，并且满足x 是1n +的约数，y 也是1n +的约数，则正整数n 共有______种可能得取值？10.已知0a >且不等式12ax <<恰有三个正整数解，则当不等式23ax <<含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为__________.二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题15分，后两题每题20分，共70分，要求写出必要的解题步骤）11.设方程210x x --=的两个根为a b 、，求满足()()(),,11f a b f b a f ===的二次函数()f x .12.已知()11232n n n +++++=，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式()3321331n n n n +=+++，推导出2222123n ++++ 的计算公式.13.解方程组：2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14.已知ABC ，5AC =，6AB =，7BC =，111A B C 中，1A A ∠=∠，1=B B ∠∠，但111A B C 的大小和位置不定，当1A 到BC 的距离为3，1B 到AC 的距离为1，（如图），问：1C 到AB 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.2014年交大附中自主招生数学试题及答案一、填空题1.在△ABC 中，设CA a = ，CB b =，P 是中线AE 与中线CF 的交点，则BP = ．（用,a b 表示）2.已知a 是正实数，则2a a+的最小值等于．3.正整数360共有个正因数．4.小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。

复旦附中九年级中考自招数学试卷(含解析)

的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
17. 设 x 是实数，不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分，记作x ，如1.2 1， 3 3 ，
1.3 2 ，
（1） S
1
1
10 11 12 1112 12
10 11 1112
1
，求90S ；
2016 2017 12
2016 2017 （2）解关于ຫໍສະໝຸດ x的方程：x2
A
D
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，则 BD DC ______________． A
B
DC
8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足：19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ，则 mn 4m 1 ______________． n
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3

兰生复旦中学2019年自主招生测试题

兰生复旦中学2019届九年级自主招生数学模拟试题3班级座号姓名成绩一、填空、选择题（每题5分共50分）1、从1-，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y ax b =+的系数,a b ，则一次函数y ax b =+的图象不经过第三象限的概率是．2、定义一种运算*“”：当a b ≥时，22a b a b *=+；当a b <时，22a b a b *=-，则方程212x *=的解是3、方程2(2000)1999200110x x +⨯-=较小的一个根是________．4、已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是BC 边上的高，BD =8cm ，CD =3cm ，AD =6cm ，则直径AM =________cm ．5、科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153 cm ，下肢长为92 cm ，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为______________ cm.(精确到0.1 cm)6、使不等式2x x <成立的x 的取值范围是（）A ．1x >B ．1x <-C ．11x -<<D ． 10x -<<或01x <<7、按下列图示的程序计算，若开始输入的值为x =3，则最后输出的结果是A ．6B ．21C ．156D ．2318、如图，P （x ，y ）是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x ，y 都是整数，则这样的点共有（）（A ）4个（B ）8个（C ）12个（D ）16个9、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为（）A.512B.2C.25D.513 10、如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =12，BD =9，则此梯形的中位线长是（）A ．10B ．212 C ．152 D ．12 第9题第10题A第4题 B CD M · O输入x 计算(1)2x x +的值＞100输出结果否是 P y -5-555.................... A D B二、解答题11、（8分）京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？12、（10分）用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.（4分）(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.（6分）EB AC B A MC D M 图3 图4 图1 图213、如图Rt △ABC 的两条直角边4BC 3AC ==、, 点P 是边BC 上的一动点（P 不与B 重合）以P 为圆心作⊙P 与BA 相切于点M 。

2019届复附浦分初升高自招数学试卷

2019年复旦附中浦东分校自招数学试卷1. 已知14a a +=，求441a a +的值2. 已知280x mx ++=与2420x x m ++=有公共实根t ，求t 的值3. 求(0,0)关于直线4y x =+翻折后的坐标4.5. 如图，已知AB 为直径，25DCB ︒∠=，求ABD ∠6. 已知2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B ，若1123OB OA -=，求m 的值7. 直线y kx b =+经过两点(,)A t t 、(,5)B m m ，0t >，0m >，当m t 为整数，求整数k8. 已知四位数09x yz xyz =⨯，求这个四位数9. 正方形四个顶点都有人，同时从一个顶点走向另一个顶点（随机选边，概率均为12），求有人相遇的概率10. ()F x 是关于x 的五次多项式，(2)(1)(0)(1)0F F F F -=-===，(2)24F =，(3)360F =，求(4)F11. 已知227100x ax a ++-=无实根，则下列选项必有实根的是（）A. 22320x ax a ++-=B. 22560x ax a ++-=C. 2210210x ax a ++-=D. 22230x ax a +++=12. 直角三角形ABC 中，90C ︒∠=，sin B n =，当B ∠为最小内角时，则n 的范围（）A. 02n <≤B. 112n -<<C. 102n <≤ D. 122n <≤13. 已知2a b +=，22(1)(1)4a b b a--+=-，则ab 的值为（） A. 1 B. 1- C. 12- D. 1214. 已知互不相等的整数数列12{,,,}n i i i ⋅⋅⋅，2n ≥，当p q <时，p q i i >，称为“逆序”，若正整数数列126{,,,}a a a ⋅⋅⋅中，“逆序”有2组，则651{,,,}a a a ⋅⋅⋅中“逆序”有（）组A. 34B. 28C. 16D. 1315. 已知[]x 为不超过x 的最大整数，解方程2[]3x x -=16. 如图已知8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=，COE ADE S S =（1）求BC 的长；（2）求经过C 、E 、B 的二次函数的解析式17. 已知AB 为直径，C 是AC 中点，DF 为切线，切点为点B（1）求证：AC CD =；（2）若2OB =，E 为OB 中点，求BH参考答案 1. 422411[()2]2194a a a a+=+--= 2. 6m =-，2t =3. (4,4)-4. 10=20-=，2x =，8y =12= 5. 联结AD ，65︒ 6. 3()()22m m y x x =+-，32m OA =，2m OB =，2m = 7. 5m t k m t -=-，设m nt =，n ∈*N ，∴514511n k n n -==+--，n 取2、3、5，k 为9、7、6 8. 由末两位相同可得，5z =，2y =或7，分析可得四位数为2025或60759. 不相遇的情况有都顺时针或都逆时针两种情况，427128-= 10. 5432()286F x x x x x x =+--+，(4)1800F =11. 25a <<，A 选项，4(1)(2)a a ∆=--在25a <<的情况下恒大于零，故选A12. 045B ︒︒<≤，02n <≤，选A 13. 代入整理出方程2210a a --=，1ab =-，选B14. 26213C -=，选D15. 结合取整函数图像，23x <<，[]2x =，∴x =16.（1）12；（2）22(36)27y x =-17.（1）等腰直角三角形，证明略；（2。

2019年上海复旦大学自主招生数学试题Word版

2019年复旦大学自主招生考试数学试题1．若x>y >1，0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是________．A．>B．<C．> D．<2．设a>0，a1，函数f（x）=11xx-+在（1，+）上单调递减，则f（x）_________．A．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递增B．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递减C．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递增D．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递减3．若要求关于x的函数lg的定义域是（），则a，b 的取值范围是________．A．B．a<0 C．−4a<0D．a=b =04．设是有理数集，集合X={X|X=2+，a，b}，在下列集合中（1）{2x|x};（2）{x/};（3）{1/x| x } ;（4）{x2|x }中和X相同的集合有________个．A．4个B ．3个C ．2个D．1个5．设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则++的最大值是________．A．3 B．4 C．5 D．66．定义全集X的子集A的特征函数为f A（X）=1,,0,,Xx Ax A∈⎧⎨∈⎩，这里，XA表示在A在X中的补集，那么，对A，B，下列命题中不准确的是_________。

A．A B．（x）=1−，C．（x）=，D．（x）=+，7．如果一个函数f （x ）在其定义区间对任意x ，y 都满足()()22x y f x f y f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称这个函数是下凹函数，下列函数（1）f （x ）=2x（2）f （x ）=x3（3）f （x ）=（x >0）（4）f （x ）=,0,2,0,x x x x <⎧⎨>⎩ 中是下凹函数的有_______．A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4） 8．若实数x 满足对任意正数a >0，均有x 2<1+a ，则x 的取值范围是________． A ．（−1，1） B ．[−1，1] C ．（−） D ．不能确定9．设函数y =210x的图像是曲线C ，曲线C 1和C 2关于直线x =1对称，曲线C 2和C 1关于直线y =x 对称，则C 2是下列哪个函数的图像？A ．y =1−2lg xB ．y =2−2lg xC ．y =2lg x +1D ．y =2lgx +210．下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________．A ．B ．C ．D ．11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？______．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种12．一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1（k>1），则这个菱形的一个小于2π的内角等于__________．A ．arctan （21k k -B ．21k -C ．arctan （211k k --） D ．arctan211k -13．设a ，b 是实常数，则二元一次方程组1,2,ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是______．A ．2a+b =0且aB ．2a+b =0且a+b−1C ．a =1，b =−2或a =−1，b=2D ．2a+b =014．已知关于x 的方程+22cos 2x=a 在区间（0，2π）内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是________．A ．（−1，3）B ．（−1，2）（2，3） C ．[−1，3] D ．[−1，2）2，3]15．设X ={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，定义X 上的运算符如下：对任意m ，n m n等于m+n 除以10的余数，给定初值n 0X ，记n 1=n 0n 0，n k =n k −1n 0，k=1，2，3……，则使得数列{n k }取遍X 中所有元素的初值n 0的集合是_______．A ．B ．XC ．{1，3，9}D ．{1，3，7，9}16．“要使函数f （x ）成立，只要x 不在区间[a ，b ]内就可以了”的意思是_________． A ．如果f （x ），则x[a ，b ]B ．如果x[a ，b ]，则f （x ）<0C ．如果x[a ，b ]，则f （x ）D ．前面三个解释都不准确17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密，那么，“R 中集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是_________．A ．任意非空开区间都不含有X 中的点B ．存在非空开区间不含有X 中的点C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点D ．存在非空开区间含有X 的补集的点18．某种细胞如果不能分裂而死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是________．A ．3964B ．2564C ．3164D ．296419．设有n +1个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有_______．A．（n+1）!种B．n（n+1）!种C．12（n+1）!种D．12n（n+1）!种20．设X是含n（n>2）个元素的集合，A，B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m，k（m，k）个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是_________．A．B．C．D．21．三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB上取一点P，设三角形PA’C’与底的二面角为，三角形PB’C’与底的二面角为，则tan（）的最小值为_______．A．33B．63C．83D．38-22．半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是________．A323+． B636+C13+RD525+R23．平面上三条直线x−2y+2=0，x−2=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是_________．A．只有唯一值B．可取两个不同值C．可取三个不同值D．可取无穷多个值24．设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是（0，0），B的坐标是（a，b），则C的坐标一定是_______．A．715715,666a b a⎛⎫±⎪⎪⎝⎭B．715715,888a b a⎛⎫±⎪⎪⎝⎭C ． 715715,6666a b b a ⎛⎫±±⎪ ⎪⎝⎭D ． 715715,8888a b b a ⎛⎫±±⎪ ⎪⎝⎭ 25．设实数a ，b ，c 0，,,bc ca aba b c成等差数列，则下列不等式一定成立的是______． A ．|b||ac|B ．b2|ac| C ．a2D ．|b|||||2a c +≤26．已知x 2−（tan ）x +1=0（0<<π），且满足x +x 3+…+x2n+1+…=32，则的值是______．A ．5,66ππB,63ππ C ．2,33ππD ．25,,,3366ππππ27．设a >0，极坐标方程，0，所表示的曲线大致是______28．设数列{a n }，{b n }满足b n = a n −a n −1，n =1，2，3…，如果a 0=0，a 1=1，且{b n }是公比为2的等比数列，又设S n =a 1+a 2+…+a n ，则limnn nS a →∞=__________．A ．0B ．12C ．1D ．229．复平面上点z o =1+2i 关于直线l ：|z −2−2i|=|z |的对称点的复数表示是_______． A ．−IB ．1−IC ．1+ID ．i30．设实数r >1，如果复平面上的动点z 满足|z |=r ，则动点w =z +的轨迹是________． A ．焦距为4的椭圆 B ．焦距为4r 的椭圆 C ．焦距为2的椭圆D ．焦距为2r的椭圆31．给定一组向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），c =（c 1，c 2，c 3），如果存在不全为0的实数k 1，k 2，k 3，使得k 1a +k 2b +k 3c =0（0表示0向量），则称向量组a ，b ，c 是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a ，b ，c 是线性相关的？___________．A ．a =（1，2，1），b =（−1，3，2），c =（3，1，0）B ． a =（1，2，1）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）C ． a =（1，2，0）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）D ． a =（1，2，1）， b =（−1，0，2）， c =（0，1，−1） 32．设向量x =（cos cos），y =cos sin 333θψθψθ⎫⎪⎭，其中02πθ≤≤，如果|x |=|y |，则向量x 和y 的最大值是_________． A ．2πB ．3π C ．23π D ．6π。

2019年名校初中自主招生考试数学试题及答案

名校初中自主招生考试数学试题（本卷满分120分测试时间90分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1．在如图所示的12个图形中，轴对称图形有( )个．A ．4个B ．3个C ．5个D ．6个2．John 于早上6点x 分钟从A 地出发，在当天早上6点y分钟抵达B 地．他发现，在这段行程的起点和终点时刻，时针和分针所成的夹角都是110︒．那么John 从A 地至B 地耗时（）A ．35分钟B ．38分钟C ．40分钟D ．44分钟 3. 若m m m =-+-20082007，则=-22007m （）A ．7 Ｂ．2008 Ｃ．20082 Ｄ．-20082 4．如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了 ( ) A ．4圈B ．3圈C ．5圈D ．3.5圈5．如图，点A (,)(0)p q p q <<在反比例函数3y x=的图像上，且OA=5，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，线段OA 的垂直平分线交OC 于点B ，连结AB ，则△ABC 的周长为（） A ．8 B ．7 C ．27 D ．316．二次函数267y x x =-+-，当x 取值为2t x t ≤≤+时有最大值2(3)2y t =--+，则t 的取值范围为（）（A ）t ≤0 （B ）0≤t ≤3 （C ）t ≥3 （D ）以上都不对．7．图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图（箭头表示行进的方向）。

图2中E 为AB 的中点，图3中AJ>JB 。

判断三人行进路线长度的大小关系为（）第1题第4题xOAC B第5题A 、甲=乙=丙B 、甲<乙<丙C 、乙<丙<甲D 、丙<乙<甲AB 于D 、8．P 是△ABC 内一点，AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、E 、F ，则A 1B 2C 3D 4二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）9．若2x+5y-5=0,则4x ×32y =______________10．记()()()()()24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是．11．圆内接四边形四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为12．如图，E 、F 分别是 A B C D 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD 15=2cm ，S△BQC 25=2cm ，则阴影部分的面积为 2cm ．13若ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根，x 1,x 2,且x 1<2<x 2,则a 的取值范围为14．如图，正方形ABCD 的边长为1，,M N 为BD 所在直线上的两点，且5AM =，135MAN ∠=︒，则四边形AMCN 的面积为___________15．方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图象与函数y ＝1x的图象交点的横坐标，那么方程kx 2+x－4＝0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标，若这两个交点均在直线y ＝x 的同侧，则实数k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，第16-19题各10分，第20题12分，共52分）16．（1）已知非零实数,a b 满足ab a b =-，试求a b ab b a+-的值．（2）已知实数,,a b c 满足784,847a b c a b c -+=+-=，试求222a b c -+的值．17．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。

2019届华二附中初升高自招数学(附简析)

2019年华二附中自招数学试卷1. ()f x =a ，最小值为b ，求a b +.2. 有理数a 、b 、c ，22212()a b c ab b a ++=++-，求a b c --.3. a 是最大负整数，b 是绝对值最小的有理数，c 的倒数是c ，求201720192018a b c ++.4. 有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田四边到圆的最近距离都是20步，求边长和直径. （2402=步1亩，3π=）5. 一个人输密码，输了4次，3406、1630、7364、6173，每个数中都对了两个数字，但位置不正确，求正确密码.6. ,0()(),C x A f x C B x A x A<≤⎧=⎨+->⎩（煤气收费标准），当使用34m 时，缴费4元，当使用325m 时，缴费14元，当使用335m 时，缴费19元. 问：当使用320m ，缴费多少元？7. 半径为r 的圆在边长为a 的等边三角形中随意移动()a ≥，求圆扫不到的面积.8. 有一个数n ，若n 为偶数，则取2n ，若n 为奇数，则取31n +，多次后得1，求8次后能得到1的数有几个？（1可重复出现）9. ABC 中，a 、b 、c 均为自然数且a b c ≥≥，22213a b c ab ac bc ++---=，求周长小于30的ABC 有多少个？10. ,()1,,,,,,x x f x q q x p q p q q p p p ⎧⎪=+⎨=∈<⎪⎩*N 若为无理数若且互质，求()f x 在78(,)89区间内最大值.11. a 、b 、c 均为正整数，关于x 的方程20ax bx c ++=的两实根的绝对值都小于13，求a b c ++的最小值.12. x y xy +=，x y z xyz ++=，求z 的范围.13. 5422x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，求441x z -+.14. 锐角ABC 中，D 、E 是BC 上的点，ABC 、ABD 、ADC 外心为O 、P 、Q ，求证：（1）APQ ∽ABC ；（2）若EO ⊥PQ ，则QO ⊥PE .15. 函数4520x y +=与x 、y 轴相交于A 、B ，l 与AB 、OA 交于C 、D 且平分AOB S ，求 2CD 的最小值.参考答案1. a =b =a b +=2. 22(1)2a b c -+=，|1||a b c -+=，1a b -=-，0c =，1a b c --=- 3. 1a =-，0b =，1c =±，答案为0或2-4. 设直径为d ，223(40)13.75240204d d d +-=⨯⇒=，边长为60 5. 因为位置不正确，∴没有3和6，所以密码由0、1、4、7构成，结合“位置不正确”分析讨论可得，密码为0741或40176. 4,05()0.5 1.5,5x f x x x <≤⎧=⎨+>⎩，(20)11.5f =7. 22r π-8. 逆推，有4、5、6、32、40、42、256共7个数9. 222()()()26a b b c a c -+-+-=，a b c ≥≥，∴4a c -=，讨论可得有11个10. 若为无理数，8()9f x <，若为有理数，||p q -要最小，而77888899+<<+，∴17p =， 15q =，此时max 16()17f x = 11. 由判别式、韦达定理得到限定条件，然后分析讨论，若两根可以相等，则最小值为 168125++=，若两根不等，则最小值为199129++= 12. 1x y x =-，代入x y z xyz ++=，∴221x z x x =-+，判别式法求值域，403z ≤≤ 13. 1x z -=-，4413x z -+=-14.（1）正弦定理可得::AB AP AC AQ =，得到相似，或者结合圆的相关知识（圆心角、圆周角、垂径定理、等弧对等角）得到APQ B ∠=∠，AQP C ∠=∠，从而相似（2）略.15. 面积公式可得2AC AD ⋅=222525CD AC AD ≥⋅-=。

2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)

2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。