第4章 二元关系_性质

式(6.4.5)和(6.4.6)知V既是对称的，也是反对称的。
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传递性
定义 设R为A上的关系, 若 xyz(x,y,z∈A∧<x,y>∈R∧<y,z>∈R→<x,z>∈R), 则称R是A上的传递关系.
实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系
幂集上的真包含关系
2
实例
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{<1,1>,<2,2>} R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} R3＝{<1,3>}
R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的
3
（1）R在A上是自反的
(x)(x∈A→<x,x>∈R)=1，
12
1
31
31
2
42
42
(a)
(b)
31
3
42
4
(c)
(d)
13
（1）存在既不是对称也不是反对称的关系， 也存在既是对称也是反对称的关系；
（2）关系R是对称的关系图中任何一对结 点之间，要么有方向相反的两条边，要么无 任何边；
关系R是反对称的关系图中任何一对结点之 间，至多有一条边；
（3）关系R是对称的R的关系矩阵为对称 矩阵，关系R是反对称的R的关系系矩阵为 反对称矩阵。
36
实例
例1 设A={a,b,c,d}, R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>, <d,b>}, R和 r(R), s(R), t(R)的关系图如下图所示.
R
r(R)
s(R)
t(R)
37
例
设A={1,2,3}， R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>}是A上的关系 。试求R的自反闭包、对称闭包和传递闭包 。
称或传递）闭包是A上的关系R, 使得R满足以
下条件： （1）R是自反的（对称的或传递的） （2）RR （3）对A上任何包含R的自反（对称或传递） 关系 R 有 RR. 一般将 R 的自反闭包记作 r(R), 对称闭包记作 s(R), 传递闭包记作 t(R).
31
32
33
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有 (1) r(R) = R∪R0 (2) s(R) = R∪R1 (3) t(R) = R∪R2∪R3∪…
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例
求下列关系的r(R),s(R)和t(R)。 （1）定义在整数集Z上的“＜”关系； （2）定义在整数集Z上的“=”关系。
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解
（1）定义在Z上的“＜”关系的 r(R)为“≤”， s(R)为“≠”， t(R)为“＜”； （2）定义在Z上的“=”关系的 r(R)为“=”， s(R)为“=”， t(R)为“=”。
。
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解
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解（续）
（2）设R,S和T的关系矩阵分别为MR,MS和MT，则：
1 1 0
MR
0
0
1 0
0
1
0 1 0
MS
0 1
0 0
1 0
1 1 1
MT
0
1
0 0
0
1
（3）R,S和T的关系图分别是下图的(a),(b)和(c)。
1
1
3
2
2
1
3
3
2
(a)
(b)
(c)
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例
设集合A={1,2,3,4}，
R={<1,2>,<2,2>,<2,3>, <3,4>}是定义在A
上的二元关系。
（1）画出R的关系图；
（2）求出r(R),s(R),t(R),并画出其相应的
关系图。
1
3
解（1）R的关系图见下图；
2
4
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例（续）（2）
r(R)={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,4>,<1,1>,<3,3>,<4,4>}； s(R)={<1,2>,<2,2>,<2,3>,<2,1>,<3,2>,<3,4>,<4,3>}；
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解
a）关系R是对称的； b）关系S是反对称的； c）在关系T中，有<1,2>，但没有<2,1>,即S不是对称的
； 另外有<1,3>，且有<3,1>，但是1≠3， 即S不是反对称的。 因此T既不是对称的，也不是反对称的； d）在关系V中，对x,y∈A，x≠y时都有<x,y> R，根据
关系性质判别
自反
表达式 IAR 关系 主对 矩阵 角线
元素 全是1
关系图 每个 顶点 都有 环
反自反
R∩IA= 主对角 线元素 全是0
每个顶 点都没 有环
对称
反对称 传递
R=R1
矩阵是对称 矩阵
R∩R1 IA RRR
若rij＝1, 且 对M2中1
i≠j, 则rji＝ 所在位置,
0
M中相应
位置都是1
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传递性证明
证明模式 证明R在A上传递
任取<x, y>，<y, z>
<x,y>R<y, z>R …..………. <x,z>R
前提
推理过程
结论
例7 证明若 RRR , 则R在A上传递. 证 任取<x,y>，<y, z>
<x,y>R <y,z>R <x,z>RR <x,z>R 因此 R 在 A 上是传递的.
解 由关系的自反性定义知，R是自反的当 且仅当对a∈A，都有<a,a>∈R，因此，在 R中添上<2,2>和<3,3>后得到的新关系就 具有自反性，且满足自反闭包的定义，即
r(R)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3
>};
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例(续)
由关系的对称性定义知，R是对称的当且仅当对 a,b∈A，若<a,b>∈R，则必有<b,a>∈R，因此，在 R中添上<3,1>后得到的新关系就具有对称性，且满 足对称闭包的定义，即
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运算与性质的关系
R11 R1∩R2 R1∪R2 R1R2 R1∘R2
自反性 反自反性
√
√
√
√
√
√
×
√
√
×
对称性 反对称性
√
√
√
√
√
×
√
√
×
×
传递性 √ √ × × ×
27
28
29
4.4 关系的闭包
闭包定义 闭包的构造方法
集合表示 矩阵表示 图表示
闭包的性质
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闭包定义
定义 设R是非空集合A上的关系, R的自反（对
s(R)={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>}； 由关系的传递性定义知，R是传递的当且仅当对
a,b,c∈A，若<a,b>∈R，且<b,c>∈R，则必有 <a,c>∈R，因此，在R中添上<2,2>和<2,3>后得到的 新关系就具有传递性，且满足传递闭包的定义。即 t(R)={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<2,2>,<2,3>}。
（2）R在A上是反自反的
(x)(x∈A→<x,x> R)=1。
根据上面两式分别可得：
（1）R在A上不是自反的
(x)(x∈A∧<x,x> R))=1，
（2）R在A上不是反自反的
(x)(x∈A∧<x,x>∈R)=1。
4
例
设A={1,2,3}，定义A上的关系R,S和T如下 ：
（1）R={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<3,3>}； （2）S={<1,2>,<2,3>,<3,1>}； （3）T={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<3,1>,<3,3>}
是传递的. (c)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递.
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自反性证明
证明模式 证明R在A上自反
任取x,
xA ……………..….……. <x,x>R
前提
推理过程
结论
例4 证明若 IA R ，则 R在A上自反.
证 任取x, xA <x,x> IA <x,x>R
因此 R 在 A 上是自反的.
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对称性证明
证明模式 证明R在A上对称
任取<x, y>
<x,y>R ……………..….……. <y,x>R
前提
推理过程