浙江省宁波市2015年普通高中创新素养培育实验班招生考试模拟数学试题及答案
浙江省宁波市镇海中学2015届高三5月模拟考试数学(理)试卷(扫描版)
镇海中学2015年高考模拟试卷数学（理科）参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．B ；5．A ； 6．D ； 7．D ； 8． C ．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分）9.(][)+∞∞-,20, ，01a ≤≤ 10. 22(2)(2)10-+-=x y11.160643+ 12. 125，1317 13.4 14.2+ 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡433,43 三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（Ⅰ）sin ,sin sin sin a b a B b A B A =∴= 2sin sin ,sin .2sin sin sin 2sin a a B b C a C B A C A =∴=∴= (),sin sin sin cos cos sin ,A B C B A C A C A C π∴++==+=+222sin cos 2cos sin sin sin ,1tan tan A C A C A C A C ∴+=∴+= 111tan tan 2A C ∴+=（7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，221tan tan A C +=，即1tan tan tan tan 2A C A C += ABC 为锐角三角形，tan ,tan A C ∴均为正数， tan tan A C ∴+≥，当且仅当1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan tan tan 162A C A C ∴≥∴≥ 当且仅当1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan tan tan 112tan 11tan tan tan tan 12tan tan 1A C A CB AC A C A C +⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭8tan 15B ∴≤，即tan B 的最大值为815。
2015年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷理科数学(浙江)
2015年普通高等学校全国统一招生考试模拟卷理科数学(浙江)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项：1．答题前，考生在答题纸上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a}，∁U A ＝{3}，则实数a 等于( ) A ．0或2 B ．0 C ．1或2 D ．2 2．复数z 满足z ＝2－i 1－i，则z 等于( )A ．1＋3iB ．3－i C.32＋12i D.12＋32i3．如图，在平行四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－3,2)，则AD →·AC →等于( )A ．1B ．3C ．5D ．6 4．已知函数y ＝f(x)sinx 的一部分图象如图所示，则函数f(x)的表达式可以是( )A ．2sinxB ．2cosxC ．－2sinxD ．－2cosx 5．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2 B. 3 C. 2 D.326．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．－18 B.18 C.578 D.5587．已知 a 、b 、l 表示三条不同的直线，α、β、γ表示三个不同平面，有下列四个命题： ①若α∩β＝a ，β∩γ＝b 且a ∥b ，则α∥γ；②若a 、b 相交且都在α、β外，a ∥α，a ∥β，b ∥α，b ∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a ，b ⊂β，a ⊥b ，则b ⊥α；④若a ⊂α，b ⊂β，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤02x －1，x>0，若f(x)≥1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)9．已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a)的定义域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a)x 是减 函数．若p 或q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2)C ．(1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)10．定义max{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥b )b (a<b )，已知实数x ，y 满足|x|≤2，|y|≤2，设z ＝max{4x ＋y,3x －y}，则z 的取值范围是( )A ．[－7,10]B ．[－6,10]C ．[－6,8]D ．[－7,8]第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：1．答题前，考生先在答题纸上用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共6页，请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题纸上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 11．如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图相同， 是由一个正方形与一个正三角形构成，俯视图中，圆的 半径为 3.则该组合体的表面积等于________．12．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如右 图)，为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出 100人 作进一步调查，则在(2 500,3 000)(元)月收入段应抽出的 人数为________．13．一排7个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少 有一个空位，则不同的坐法种数是________．14． 若在(x 2－13x)n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_____．15．执行下面的程序框图，输出的结果是________．16．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线相切，则p ＝________. 17．定义矩阵变换：⎝⎛⎭⎪⎫a b cd ⎝ ⎛⎭⎪⎫m n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫am ＋bn cm ＋dn .对于矩阵变换 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 120⎝ ⎛⎭⎪⎫sinαcosα＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ′v ′，函数y ＝12(u ′＋v ′)的最大值为________． 三、解答题(本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a ＝(4,2cos2A)，b ＝(1＋cosA,1)，a·b ＝1.若a ＝19，b ＋c ＝5. (1)求角A 的大小； (2)求b 、c 的长．19． (本小题满分14分) 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E 、F 分别为PC 、CD 的中点． (1)试证：AB ⊥平面BEF(2)设PA ＝k·AB ，且二面角E －BD －C 的平面角大于45°，求k 的取值范围．21．(本小题满分15分)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，它的离心率为255.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 、B 为椭圆上的两个动点，OA →·OB →＝0，过原点O 作直线AB 的垂线OD ，垂足 为D ，求点D 的轨迹方程．22．(本小题满分15分)已知f(x)＝lnx －x 2＋bx ＋3.(1)若函数f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求函数f(x)在区间[1,3] 上的最小值；(2)若f(x)在区间[1，m]上单调，求b 的取值范围．数学模拟卷(1)1．D 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.故选D 项．2．C 解析：由题意得z ＝2－i 1－i ＝(2－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3＋i 2＝32＋12i.3．B 解析：令AB →＝a ，AD →＝b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(1，2)－a ＋b ＝(－3，2)⇒a ＝(2,0)，b ＝(－1,2)，所以AD →·AC→＝b ·(1,2)＝3.4．D 解析：由题意易知f (x )sin x ＝－sin2x ，∴f (x )＝－2cos x .5．C 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，由a b ·(－ab)＝－1，得a 2＝b 2，∴c ＝2a ，e ＝ 2.6．B 解析：∵S 3＝8，S 6＝7，又∵(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， ∴(7－8)2＝8(S 9－S 6)，∴S 9－S 6＝18，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝18.7．B 解析：①在正方体A1B 1C 1D 1－ABCD 中，平面A 1B 1CD ∩平面DCC 1D 1＝CD .平面A 1B 1C 1D 1∩平面DCC 1D 1＝C 1D 1，且CD ∥C 1D 1，但平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1不平行，错误．②因为a ，b 相交，可设其确定的平面为γ，根据a ∥α，b ∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，正确．③根据平面与平面垂直的判定定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，正确．④当直线a ∥b 时，l 垂直于平面α内两条不相交直线，得不出l ⊥α，错误．8．D 解析：当x ≤0时，由x 2≥1，得x ≤－1；当x >0时，由2x －1≥1，得x ≥1.综上可知，x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．9．D 解析：命题p 为真命题时，x 2＋2x ＋a >0恒成立，故函数g (x )＝x 2＋2x ＋a 的判别式Δ＝4－4a <0，从而a >1；命题q 为真命题时，5－2a >1，即a <2.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则p 和q 中一个是真命题，一个是假命题．若p 为真命题，q 为假命题时，a ≥2；若p 为假命题，q 为真命题时，a ≤1，故选D 项．10．A 解析：由题设，z ＝max{4x ＋y,3x －y }＝⎩⎨⎧4x ＋y (y ≥－12x )3x －y (y <－12x )，且|x |≤2，|y |≤2.作可行域，由图知，目标函数z ＝4x ＋y 在点(2,2)处取最大值10，在点(－2,1)处取最小值－7.目标函数z ＝3x －y 在点(2，－2)处取最大值8，在点(－2,1)处取最小值－7.所以z 的取值范围是[－7,10]，故选A 项．11．答案：21π解析：由三视图可知，该几何体是圆锥与等底面的圆柱组合而成的组合体，所以该几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积的和，所以该几何体的表面积为S ＝π×23×23＋2π×3×3＋π×(3)2＝21π.12．答案：25解析：抽出的人数为0.000 5×500×100＝25.13．答案：30解析：甲坐首尾两个座位时，乙各有5种坐法，故共有2×5＝10(种)．甲坐另外5个座位时，乙各有4种不同的坐法，共有5×4＝20(种)．故共有30种坐法．14．答案：7解析：所给二项式的展开式只有第5项的二项式系数最大，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (－13x)r ＝C r 8(12)8－r ·(－1)rx 8－43r ， 令8－43r ＝0，得r ＝6，∴T 7＝C 68(12)2(－1)6＝7. 15．答案：9解析：由程序框图可知，当i ＝1时，执行S ＝S ×2i 得S ＝2；当i ＝3时，执行S ＝S ×2i得S ＝24；当i ＝5时，执行S ＝S ×2i 得S ＝29；当i ＝7时，执行S ＝S ×2i 得S ＝216，执行i ＝i ＋2得i ＝9；检验不满足条件，所以输出i ＝9.16．答案：2解析：由题知，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝42，∴圆心坐标为(3,0)，半径r ＝4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x ＝－1，x ＝7.而y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，∴由－p 2＝－1得p ＝2，由－p2＝7得p ＝－14与题设矛盾(舍去)．∴p ＝2. 17．答案：102解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 0⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫u ′v ′可知u ′＝sin α＋cos α，v ′＝2sin x ，所以y ＝12(u ′＋v ′)＝12[(sin α＋cos α)＋2sin α]＝102sin(α＋φ)，所以y max ＝102. 18．解：(1)因为a ＝(4,2cos2A )，b ＝(1＋cos A,1)， 所以a·b ＝1＝4(1＋cos A )＋2cos2A ，2分 即：4＋4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝1， 可化为4cos 2A ＋4cos A ＋1＝0，5分解得cos A ＝－12，所以A ＝120°.7分(2)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·(－12)＝(b ＋c )2－2bc ＋bc ，9分所以19＝25－bc ，解得bc ＝6，11分 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝5bc ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c ＝2.14分 19．解：(1)设公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2(1a 1＋1a 1q)a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64(1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q4).2分化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2a 21q 6＝64. 4分又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1. 7分(2)由(1)知b n ＝(a n ＋1a n )2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2. 10分因此T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝4n－14－1＋1－14n 1－14＋2n＝13(4n －41－n )＋2n ＋1. 14分 20．解：(1)由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故四边形ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF .2分又P A ⊥底面ABCD ，所以平面P AD ⊥平面ABCD .3分 因为AB ⊥AD ，故AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD .4分在△PDC 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF ∥PD ，所以AB ⊥EF . 由此得AB ⊥平面BEF .6分(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AP 为Ox 、Oy 、Oz 正向建立空间直角坐标系，设AB 的长为1，则BD →＝(－1,2,0)，BE →＝(0,1，k 2)，8分设平面CDB 的法向量为n 1＝(0,0,1)，平面EDB 的法向量为n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·BD →＝0n 2·BE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0y ＋kz 2＝0，取y ＝1，可得n 2＝(2,1，－2k).10分设二面角E －BD －C 的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2k 22＋1＋4k2<22，12分 化简得k 2>45，则k >255.14分21．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由题意可得：b ＝1，c a ＝255，∴a ＝5，∴x 25＋y 2＝1.4分(2)(ⅰ)当直线AB 的斜率k 存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1y ＝kx ＋m得(5k 2＋1)x 2＋10kmx ＋5m 2－5＝0.∴x 1＋x 2＝－10km5k 2＋1，x 1x 2＝5m 2－55k 2＋1，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.6分 ∵OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.即(k 2＋1)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， (k 2＋1)(5m 2－5)5k 2＋1－10k 2m 25k 2＋1＋m 2＝0. ∴6m 2－5k 2－5＝0，①又∵OD ⊥AB ，设D (x ，y )，∴k ＝－xy.②又∵点D (x ，y )在直线AB 上，∴y ＝kx ＋m ，∴m ＝y －kx ＝y ＋x 2y，③把②③代入①得6(y ＋x 2y )2－5x2y2－5＝0，∴x 2＋y2y2[6(x 2＋y 2)－5]＝0.∴点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56(y ≠0).10分(ⅱ)当直线AB 的斜率不存在时，D (±306，0)，满足x 2＋y 2＝56.13分综上所述，点D 的轨迹方程为x 2＋y 2＝56.15分22．解：(1)f ′(x )＝1x－2x ＋b ，直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，令f ′(2)＝12，得b ＝4，2分∴f (x )＝ln x －x 2＋4x ＋3.令f ′(x )＝1－2x ＋4＝－2x 2＋4x ＋1＝0，得x ＝2±6.5分∵6＋ln3>6，∴x ＝1时，f (x )在[1,3]上的最小值为6.9分(2)令f ′(x )＝1x －2x ＋b ≥0得b ≥2x －1x ，在[1，m ]上恒成立．而y ＝2x －1x 在[1，m ]上单调递增，最大值为2m －1m ，∴b ≥2m －1m .12分令f ′(x )＝1x －2x ＋b ≤0得b ≤2x －1x ，在[1，m ]上恒成立．而y ＝2x －1x 在[1，m ]上单调递减，最小值为y ＝1，∴b ≤1.故b ≥2m －1m或b ≤1时f (x )在[1，m ]上单调.15分。
浙江省宁波市2015年普通高中创新素养培育实验班招生考试模拟数学
浙江省宁波市2015年普通高中创新素养培育实验班招生考试模拟数学一、选择题(共6题，每题4分，共24分)1、设xx(x 1)(x 2)(x 3)的值是( ) A．－1 B．0 C．1 D．22.已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数是( ) A．30° B．45° C．60° D．75°3．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4．则min{－x＋1，－x}的最大值是( ) A2BC．1 D．04．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，的动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA 于D是AB边上点E．设AD象大致是＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图( )A B C D5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则BD的值是( ) A．ADECB (第5题图)26．已知抛物线的顶点为y＝ax＋bx＋c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，yA)，1B(0，yB)，C(1，yC)在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，A.1B.2C.4D. 3yA的最小值为( )yB yC二、填空题(共6题，每题4分，共24分)7．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是．8．已知关于x的分式方程m3＋＝1的解是非负数，则m的取值范围是______．x 11 x9．已知∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，E、F在AB上，且AE ＝2，BF＝3，过E作AC的平行线交BC于D，FD的延长线交AC 的延长线于G，则GF的长是_______.10．设P是等边△ABC内一点，若在以PA、PB、PC的长为边长所组成的新三角形中，和PA、PB、PC对应的三边所对的三个内角的比为2:3:4，则∠APB:∠BPC:∠CPA为________ 11．如图，已知菱形ABCD的顶点D、C在直线y＝x上，且顶点A、B在抛物线y＝x上，DA平行于y轴，则S菱形ABCD ＝_______．12．已知a、b是实数，且a2 ab b2 3．若a2 ab b2的最大值是m，最小值是n，则m＋n的值是_______．2三、解答题(共4题，每题13分，共52分)2213．已知关于x的方程x(2k3)x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．(1)求k的取值范围；(2)试说明x1＜0，x2＜0；(3)若抛物线y＝x(2k3)x＋k＋1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA＋OB＝2OAOB3，求k的值．。
浙江省宁波市鄞州区2015届高考5月模拟数学【理】试题(含答案)
③当 x [ 1,1] 时， f ( x)
1 x2 cos( x)
2
x [ 1,0]
；
x (0,1]
则函数 y
f ( x)
1 ()
x
在区间
[
3,3] 上的零点个数为
2
A.5
B.6
C.7
D.8
非选择题部分
二、填空题 （本大题共 7 小题， 第 9,10 ，11，12 题每空 3 分，第 13，14，15 题每空 4 分，共 36 分．）
▲.
11．已知函数 f x
2 2x , x 1, 则 f f ( 2)
2x 2, x 1,
▲ ,不等式 f x 2的解集为 ▲ .
12．如图，在平面四边形 ABCD 中 , AD 1, CD 2, AC 7 , 则 cos CAD ▲ ；
又若 cos BAD
7 ,sin CBA
14
21 ,则 BC 6
（Ⅰ）证明：数列 an 是等差数列；
（Ⅱ）求数列 { bn} 的通项公式；
（Ⅲ）若 c1
3 ，当 n 2 时 cn 2
1
1
bn 1 1 bn 1 2
n 2 ，都有 12Tn 6n 13．
1 ， cn 的前 n 项和为 Tn ，求证：对任意
bn
20. （本小题满分 14 分）已知函数 f ( x) x2 ax b ， g( x) 2 x a (a, b R ) ，且函数 f (x) 与 g( x) 的图象至多有一个公共点。
F1 、 F2 ，过 F1 作圆 x2
y2
a2 的切线分别交双曲线
的左、右两支于点 B 、 C ，且 | BC | | CF2 | ，则双曲线的离心率为
数学(理)卷·2015届浙江省宁波市镇海中学高三5月模拟考试(2015.05)(扫描版含word答案)
镇海中学2015年高考模拟试卷数学（理科）参考答案一．选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分） 1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．B ； 5．A ； 6．D ； 7．D ； 8．C ．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每空3分，第13-15题每空4分，共36分） 9.(][)+∞∞-,20,Y ，01a ≤≤ 10. 22(2)(2)10-+-=x y ,3811.16064322,3+ 12.125，131713.4 5 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡433,43三、解答题：（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16.（Ⅰ）sin ,sin sin sin a b a Bb A B A =∴=Q2sin sin ,sin .2sin sin sin 2sin a a B b C a C B A C A=∴=∴=Q(),sin sin sin cos cos sin ,A B C B A C A C A C π∴++==+=+ 222sin cos 2cos sin sin sin ,1tan tan A C A C A C A C∴+=∴+= 111tan tan 2A C ∴+= （7分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知，221tan tan A C +=，即1tan tan tan tan 2A C A C +=ABC QV 为锐角三角形，tan ,tan A C ∴均为正数，tan tan 2tan tan A C A C ∴+≥1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan 2tan tan ,tan tan 162A C A C A C ∴≥∴≥ 当且仅当1tan tan 4A C ==时等号成立。
1tan tan tan tan 112tan 11tan tan tan tan 12tan tan 1A CA CB AC A C A C +⎛⎫===+ ⎪---⎝⎭QACBFG QDR8tan 15B ∴≤，即tan B 的最大值为815。
浙江省宁波市2015年高考模拟考试数学(理科)试题含答案
理科数学试卷（第1页，共12页）宁波市2015年高考模拟考试数学（理科）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24S R π=球的体积公式：334R V π= 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1、下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是（ ）A.y=x－1B. y=(12)xC. y=x+1xD. y=ln(x+1)2、设a ∈R ，则“a=－32”是“直线l 1: ax+2y －1=0与直线l 2: x+a(a+1)y+4=0垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3、将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如右图所示，则该几何体的正视图为 （ ）A. B. C. D.4、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A.m ⊥α，n ⊥β，且α⊥β，则m ⊥nB. m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥nC. m ⊥α， n ⊂β， m ⊥n ，则α⊥βD.m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β理科数学试卷（第2页，共12页）5、已知F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB 的中点到y轴的距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 11 6、将函数f(x)=2sin(2x+4π)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=4π对称，则φ的最小值为（ ）A.18πB. 12πC. 34πD. 38π7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆)42(0422≤≤=+-x y x x 上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上，当OA OC ⋅ ＝20时，点C 的轨迹为 （ ）A. 椭圆一部分B.抛物线一段C. 线段D. 圆弧8、已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数。
2015年浙江高考模拟试卷数学卷(文)(含答案答卷)
2015年浙江高考模拟试卷数学卷(文）注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2。
选择题部分每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上3。
本试卷分选择题和非选择题两部分,考试时间120分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写到答题纸上选择题部分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
) 1、（根据2014年浙江省高考试题改编）设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD,则“四边形ABCD 为矩形”是“AC=BD"的( ） A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件C 。
充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2、（根据2014汕头质检改编）设不重合的直线m ，n 和平面βα ,则下列命题正确的是（ ）A 。
若α∥β，α//m ，则m∥βB 。
若m⊥α，n ⊥β，若α∥β,则m ∥nC 。
若α⊥β，m∥α，m ⊥βD 。
若α∥β,m∥n ，若α//m 则n ∥β 3、(原创）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0+)∞，上为增函数的是 A.x y ln = B.3y x = C 。
3xy = D 。
x y sin =（考点：函数的奇偶性与单调性） 4、（根据温州市十校联合体2014届高三10月测试改编） 在ABC ∆中，()(),29cos 2,61cos 2,74cos ,16cos 0000==BC AB 则ABC ∆面积为( ) A ．42B.2 C ．23 D ．225、（根据内蒙古巴彦淖尔市一中2014届高三第六次模拟改编）已知双曲线2221(0)9y x a a -=>的两条渐近线与圆()2221645x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭相切,则双曲线的离心率为 ( ）A ．53 B ．54C ．43D ．656、（根据陕西省西安市高新一中2014届下学期第十一次练习改编）若实数x 、y 满足20,,9,4x y y x y x ⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪≥-+⎩则2z x y 的最小值为 （ )7、（根据温州市温州中学2014—2015学年高三上数学2月月考改编）已知1a >, 则函数||log x a y a x -=-的零点的个数为（ )A ．4B ．3C ．2D ．1 8、（根据陕西省西安市高新一中2014届下学期第十一次练习改编)已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，'()()()'()0f x g x f x g x +>，()()x f x g x a =,5(1)(1)(1)(1)2f g f g +--=．在区间[0,3]上随机取一个数x ，()()f x g x 的值介于4到8之间的概率是 （ ) A. 13B 。
解析版：浙江省宁波市2015年高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=（）x C．y=x+D．y=ln（x+1）2．设a∈R，则“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β5．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．4 B． 5 C． 6 D．116．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C 在线段OA的延长线上，当=20时，点C的轨迹为（）A．椭圆一部分B．抛物线一段C．线段D．圆弧8．已知点（x，y）的坐标满足条件，且x，y均为正整数．若4x﹣y取到最大值8，则整数a的最大值为（）A．4 B． 5 C． 6 D．7二、填空题：本大题共7小题．前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集U=R，则A∩B=，A∪（∁U B）=．10．已知，则tanα的值是，cos2α的值是．11．已知f（x）=，则f（3）=；若关于x的方程f （x）=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为．12．设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，S k+2+S k﹣2S k+1=2对任意正整数k成立，则a n=，S n=．13．设P为双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为．14．已知，，若||=，则与夹角的余弦值的最小值等于．15．若对任意α∈R，直线l：xcosα+ysinα=2sin（α+）+4与圆C：（x﹣m）2+（y﹣m）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．17．如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．（Ⅰ）求证：EP⊥AC；（Ⅱ）当直线CP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣S的平面角的余弦值．18．如图，F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，椭圆的离心率为．A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BC⊥BF，△BCF的外接圆M恰好与直线l1：x+y+3=0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点C的直线l2与已知椭圆交于P，Q两点，且=4，求直线l2的方程．19．已知m为实数，且m≠﹣，数列{a n}的前n项和S n满足S n=+m（Ⅰ）求证：数列{a n﹣3n+1}为等比数列，并求出公比q；（Ⅱ）若a n≤15对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n≥4，n∈N，都有．20．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣1＜a＜0），存在实数b，使不等式x﹣对于任意x∈[2a﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．2015年浙江省宁波市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=x﹣1 B．y=（）x C．y=x+D．y=ln（x+1）考点：函数单调性的判断与证明；函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式得出判断单调区间，即可判断即可．解答：解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，②y=（）x是减函数，③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，∴A，B，C不正确，D正确，故选：D点评：本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．2．设a∈R，则“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：集合．分析：通过讨论a的范围，求出两直线垂直的充分必要条件，从而得到答案．解答：解：①a=0时，l1：y=，l2：x=﹣4，两直线垂直；②a=﹣1时，l1：y=x+，l2：x=﹣4，两直线不垂直；③a≠1且a≠﹣1时，l1：y=﹣x+，l2：y=﹣x﹣，若两直线垂直，则﹣•[﹣]=﹣1，解得：a=﹣，综上，直线l1和l2垂直的充要条件是a=0或a=﹣，故“a=﹣”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+a（a+1）y+4=0垂直”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查直线垂直的性质，是一道基础题．3．将一个长方体截掉一个小长方体，所得几何体的俯视图与侧视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：作图题；空间位置关系与距离．分析：从俯视图与侧视图分析，得出去掉的长方体的位置应该在的方位，即可得出结论．解答：解：由俯视图与侧视图可知去掉的长方体在原长方体的内侧与右上方，故几何体的正视图为：C故选：C．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．点评：本题考查了线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是由已知条件，正确运用定理的条件进行判断．5．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．4 B． 5 C． 6 D．11考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．解答：解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，F（1，0），准线方程x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=12，即有x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为（x1+x2）=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5．故选：B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．6．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象关于直线x=对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的最小值．解答：解：将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y=2sin[2（x﹣φ）+]=2sin（2x+﹣2φ）的图象；再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得函数y=2sin（4x+﹣2φ）的图象；再根据所得图象关于直线x=对称，可得π+﹣2φ=kπ+（k∈z），即φ=﹣k∈z，∴φ的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C 在线段OA的延长线上，当=20时，点C的轨迹为（）A．椭圆一部分B．抛物线一段C．线段D．圆弧考点：轨迹方程．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设出C点坐标，把A的坐标用α表示，得到|OA|，结合中结论求出C 的横坐标为定值5，进一步求出C的纵坐标的范围，则点C的轨迹可求．解答：解：设C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中﹣≤α≤，则∠xOC=．∵|OA|2=（2+2cosα）2+（2sinα）2=8（1+cosα）=16，∴|OA|=4cos．由得：|OC|cos=5，∴x=|OC|cos=5．从而y=|OC|sin=5tan∈[﹣5，5]．故点C的轨迹是一条线段，其两个短点的坐标分别为A（5，5），B（5，﹣5）．故选：C．点评：本题考查了轨迹方程，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，解答的关键是利用平面几何知识把未知长度的式子转化为已知长度的式子，是中档题．8．已知点（x，y）的坐标满足条件，且x，y均为正整数．若4x﹣y取到最大值8，则整数a的最大值为（）A．4 B．5 C． 6 D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意作出可行域，求出图中C的坐标，显然C不是整解，把C的坐标代入不等式4x﹣y＞8，求出a的范围，然后验证得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即C（），∵C（）不是整解，∴，解得：a，当a=4时，C（），此时可行域内无整解，使得目标函数z=4x﹣y取到最大值8，当a=5时，C（），此时可行域内有整解（4，8），使得目标函数z=4x﹣y取到最大值8．∴整数a的最大值为5．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，对于整解的讨论是解答该题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共7小题．前4题每空3分，后3题每空4分，共36分．9．已知集合A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}，全集U=R，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}，A∪（∁U B）={x|﹣5＜x＜3}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行化简和求解即可．解答：解：A={x|（x﹣2）（x+5）＜0}={x|﹣5＜x＜2}，B={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，则A∩B={x|﹣5＜x≤﹣1}，∁U B={x|﹣1＜x＜3}，则A∪（∁U B）={x|﹣5＜x＜3}，故答案为：{x|﹣5＜x≤﹣1}，{x|﹣5＜x＜3}点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10．已知，则tanα的值是，cos2α的值是．考点：两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由两角和与差的正切函数展开已知等式，整理即可求得tanα的值，由万能公式即可求得cos2α的值．解答：解：∵tan（+α）==3，解得：tanα=，∴cos2α==．故答案为：，．点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数，万能公式的应用，属于基本知识的考查．11．已知f（x）=，则f（3）=3；若关于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则实数a的取值范围为（0，）∪（4﹣2，）．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：作出函数f（x）和y=ax+1的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解答：解：由f（x）的表达式得f（3）=f（2）+1=f（1）+1+1=f（1）+2=f（0）+1+2=f（0）+3=0+3=3，当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）+1=﹣3（x﹣1）2+4（x﹣1）+1=﹣3x2+10x﹣6，当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，则f（x）=f（x﹣1）+1=﹣3（x﹣1）2+10（x﹣1）﹣6+1=﹣3x2+16x ﹣18，作出函数f（x）的图象如图：若于x的方程f（x）=ax+1恰有三个不同的解，则等价为函数f（x）与y=ax+1恰有三个不同的交点，直线y=ax+1过定点D（0，1），当直线过点C（1，1）时，此时a=0，直线和f（x）有2个交点，当直线过点A（2，2）时，此时2=2a+1，解得a=，此时直线和f（x）有4个交点，当直线经过点B（3，3）时，即3=3a+1，解得a=，当直线y=ax+1与f（x）=﹣3x2+4x相切时，即﹣3x2+4x=ax+1，即3x2+（a﹣4）x+1=0，由判别式△=（a﹣4）2﹣12=0，解得a=4+2（此时直线的斜率a＜，不成立舍去）或a=4﹣2，此时直线和f（x）有4个交点，综上要使两个函数的图象恰有三个不同的交点，则直线满足在DC和DA之间，或在切线和DB之间，即0＜a＜，或4﹣2＜a＜．即（0，）∪（4﹣2，）．故答案为：3，（0，）∪（4﹣2，）．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，是个难题．12．设S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=3，S k+2+S k﹣2S k+1=2对任意正整数k成立，则a n=2n﹣1，S n=n2．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列数列{a n}为以2为公差的等差数列，然后直接由等差数列的通项公式和前n项和公式得答案．解答：解：由S k+2+S k﹣2S k+1=2，得（S k+2﹣S k+1）﹣（S k+1﹣S k）=2，即a k+2﹣a k+1=2，∵k∈N*，∴从第二项起，数列{a n}为以2为公差的等差数列，又a1=1，a2=3，a2﹣a1=3﹣1=2也成立，∴数列{a n}为以2为公差的等差数列，则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，．故答案为：2n﹣1，n2．点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，是中档题．13．设P为双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的一个动点，过点P向两条渐近线作垂线，垂足分别为A，B，若A，B始终在第一或第二象限内，则该双曲线离心率e的取值范围为（，+∞）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线y=的倾斜角大于45°，即有斜率大于1，即为＞1，运用离心率公式和双曲线的离心率范围，即可得到所求范围．解答：解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意，A，B始终在第一或第二象限内，则有渐近线y=的倾斜角大于45°，有斜率大于1，即为＞1，双曲线离心率e====＞，又e＞1，即有e的范围为（，+∞）．故答案为：（，+∞）．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．14．已知，，若||=，则与夹角的余弦值的最小值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先用有向线段表示向量，设与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，从图形上便可看出与的夹角为θ1﹣θ2，根据图形及已知条件便可求得cos（θ1﹣θ2）=，而，从而得到cos（θ1﹣θ2）=，可设，将该式可以整理成关于的一元二次方程：，根据该方程有解△≥0即可求出y即cos（θ1﹣θ2）的最小值．解答：解：如图，设与的夹角为θ1，与的夹角为θ2；∴与的夹角为θ1﹣θ2；∴cos（θ1﹣θ2）=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2==；∵；∴；∴cos（θ1﹣θ2）=；设y=，将该式变成：；将该式看成关于的一元二次方程，该方程有解；∴△=（30y2﹣40）2﹣16（100﹣100y2）≥0；解得y，或（舍去）；∴与夹角的余弦值的最小值为．故答案为：．点评：考查向量加法的平行四边形法则，三角函数的定义，以及两角差的余弦公式，一元二次方程有解时判别式△≥0．15．若对任意α∈R，直线l：xcosα+ysinα=2sin（α+）+4与圆C：（x﹣m）2+（y﹣m）2=1均无公共点，则实数m的取值范围是﹣＜m＜．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离大于半径，结合对任意α∈R恒成立，即可求得实数m的取值范围．解答：解：由题意，圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα﹣2sin（α+）﹣4|＞1，所以|（2m﹣2）sin（α+）﹣4|＞1，所以（2m﹣2）sin（α+）﹣4＞1或（2m﹣2）sin（α+）﹣4＜﹣1，所以﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查实数m的取值范围，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．考点：正弦定理；两角和与差的正切函数．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用已知等式，化简可得sinC=，结合C是三角形的内角，得出C；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan，得到，所以，所以sinC=，又C∈（0，π），所以C=或者；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而2sin2A=4sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，得sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==2，可得三角△ABC的面积S=bc=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°或者120°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2±ab=12…②，联解①②得a=2，b=4；或者a=，b=；∴△ABC的面积S=absinC=×2×4×sin60°=2或者．综上△ABC的面积为或者．点评：本题着重考查了三角恒等变换、利用正弦定理和余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题17．如图，正四棱锥S﹣ABCD中，SA=AB，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．（Ⅰ）求证：EP⊥AC；（Ⅱ）当直线CP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P﹣BD﹣S的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）设AC交BD于O，通过题意，利用线面垂直的判定定理即可；（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，即求平面BDS的一个法向量与平面PBD的一个法向量的夹角的余弦值，计算即得结论．解答：（Ⅰ）证明：设AC交BD于O，∵S﹣ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD⊥AC，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SD，又∵SD∥FG，∴AC⊥GF，又∵AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，又∵PE⊂平面GEF，∴EP⊥AC；（Ⅱ）解：不妨设AB=2，如图建立空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），C（1，1，0），D（﹣1，1，0），E（1，0，0），G（0，1，0），S（0，0，），F（，，），∴=（，﹣，），设=λ=（λ，﹣λ，λ），故点P（λ，1﹣λ，λ）．∴=（λ﹣1，﹣λ，λ）．∵AC⊥平面GEF，∴取平面EFG的一个=（1，1，0），设CP与平面EFG所成角为α，则sinα=|cos＜，＞|==﹣，∵点P在线段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=时sinα取最大值，也即α最大，此时点P为GF中点，即P（，，）．设二面角P﹣BE﹣F的大小为θ，由图中可知θ为锐角．平面BDS的一个法向量为=（1，1，0），设平面PBD的一个法向量为=（x，y，z），则=（﹣2，2，0），=（﹣，，），∴•=﹣2x+2y=0，•=﹣x+y+z=0．取z=2，则x=y=﹣1，即=（﹣1，﹣1，2），∴cosθ=|cos＜，＞|==，即二面角P﹣BD﹣S的余弦值为．点评：本题考查二面角、空间中直线间的位置关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，F是椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点，椭圆的离心率为．A，B为椭圆的左顶点和上顶点，点C在x轴上，BC⊥BF，△BCF的外接圆M恰好与直线l1：x+y+3=0相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点C的直线l2与已知椭圆交于P，Q两点，且=4，求直线l2的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=，可得c、b均能用a来表示，在Rt△BFO中，利用tan∠BFO=可得圆M的圆心坐标及半径，通过圆心M到直线l1的距离等于r，计算即可；（Ⅱ）设直线l2的方程方程为y=k（x﹣3），并与椭圆方程联立，利用韦达定理及=4，计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵e==，∴c=a，b==，又F（﹣c，0），B（0，b），∴在Rt△BFO中，tan∠BFO===，∴∠BFO=，|BF|=a．∵BC⊥BF，∴∠BCF=，∴|CF|=2a．∴△BCF的外接圆M的圆心坐标为：M（，0），半径r=a，又圆M与直线l1：x+y+3=0相切，∴圆心M到直线l1：x+y+3=0的距离等于r，即=a，又a＞0，∴a=2，∴b=，∴椭圆的方程为：+=1；（Ⅱ）由（I）知F（﹣1，0），C（3，0），设直线l2的斜率为k，则直线l2的方程方程为y=k（x﹣3），联立，消去y得：（3+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣12=0，由韦达定理可得：x P+x Q=，x P x Q=，∴y P y Q=k2（x P﹣3）（x Q﹣3）=k2x P x Q﹣3k2（x P+x Q）+9k2，则=（1+x P，y P）•（1+x Q，y Q）=1+x P+x Q+x P x Q+y P y Q=1+9k2+（1﹣3k2）（x P+x Q）+（1+k2）x P x Q=1+9k2+（1﹣3k2）+（1+k2）=，∵=4，∴=4，解得k=±，∴直线l2的方程为：y=±（x﹣3）．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知m为实数，且m≠﹣，数列{a n}的前n项和S n满足S n=+m（Ⅰ）求证：数列{a n﹣3n+1}为等比数列，并求出公比q；（Ⅱ）若a n≤15对任意正整数n成立，求证：当m取到最小整数时，对于n≥4，n∈N，都有．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣+3n﹣1，变形为，又a1=﹣3m﹣，≠0，即可证明；（II）由（I）可得：a n﹣3n+1=×4n﹣1，化为a n=3n+1﹣，由a n≤15，可得≥，令b n=，通过b n+1﹣b n=，可得b1＜b2＜b3＞b4＞b5，于是=b3=，可得m取到最小整数为﹣3，此时a n=，S n=，当n≥4时，3n+1﹣4n=＜0，则S n＜0，当n≥5时，S n﹣4S n﹣1＜0，因此S n＜4S n﹣1，，通过递推可得＞++…+，即可证明．解答：（I）证明：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=+m﹣=﹣+3n﹣1，化为，变形为，又a1=﹣3m﹣，≠0，∴数列{a n﹣3n+1}为等比数列，公比q=4；（II）证明：由（I）可得：a n﹣3n+1=×4n﹣1，化为a n=3n+1﹣，由a n≤15，可得≥，令b n=，则b n+1﹣b n=﹣=，∴b1＜b2＜b3＞b4＞b5…，∴=b3=，解得．∴m取到最小整数为﹣3，此时a n=，S n=，当n≥4时，3n+1﹣4n=3•4n≤=＜0，则S n＜0，当n≥5时，S n﹣4S n﹣1=﹣≤＜0，∴S n＜4S n﹣1，，∴＞…＞，∴＞++…+=﹣=﹣＞．点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．设函数f（x）=x|x﹣a|+b，a，b∈R（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）若对于给定的实数a（﹣1＜a＜0），存在实数b，使不等式x﹣对于任意x∈[2a﹣1，2a+1]恒成立．试将最大实数b表示为关于a的函数m（a），并求m（a）的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的表达式，讨论a，b的取值即可求函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）根据函数恒成立，转化为求函数的最值，求出m（a）的表达式进行求解即可．解答：解：（Ⅰ）f（x）=，∵a＞0，∴当b＞0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上无解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，当b=0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，此时函数f （x）有2个零点，当b＜0时，x2﹣ax+b=0在x≥a上恰有一解，若判别式△=a2+4b＜0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上无解，判别式△=a2+4b=0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有一解，判别式△=a2+4b＞0，则﹣x2+ax+b=0在x＜a上恰有两个不同的解，综上在a＞0的条件下，当或时，函数f（x）有一个零点，当或时，函数f（x）有2个零点，当时，函数f（x）有3个零点．（Ⅱ）首先记g（x）=f（x）﹣x=，原问题等价于：当2a﹣1≤x≤2a+1时，g（x）max﹣g（x）min≤1，最大实数b，即g（x）max=时的b的值，令T=g（x）max﹣g（x）min，由已知可得2a+1＞a，2a﹣1＜，＜．（1）当﹣1＜a＜时，2a﹣1，∴g（x）在[2a﹣1，]上为增函数，在[，2a+1]上为减函数，∴g（x）max=g（）=，g（x）min=min{g（2a﹣1），g（2a+1）}=g（2a﹣1）=﹣2a2+a+b∴T=﹣（﹣2a2+a+b）=，解得，从而无解．（2）当≤a＜0时，2a﹣1＜＜a＜＜2a+1，∴g（x）在[2a﹣1，]上为增函数，在[，]上为减函数，在[，2a+1]上为增函数，∴当2a﹣1≤x≤2a+1，∴g（x）max=max{g（），g（2a+1）}={g（）=，g（x）min=min{g（2a﹣1），g（）}=，∴T=，由T≤1，解得≤a＜0，此时最大的b满足g（）=，从而b max=m（a）=，∴m（a）=，（≤a＜0），解得m（a）的取值范围是[，）点评：本题主要考查函数的零点的判断，以及函数恒成立问题，考查学生的分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．。
浙江省宁波市鄞州区2015届高三5月模拟试题数学(理)试题 含解析
2015．5本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页。
满分150分， 考试时间120分钟。
参考公式：球的表面积公式：24R S π=， 其中R 表示球的半径．球的体积公式： 334R V π=，其中R 表示球的半径．柱体的体积公式:Sh V =， 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．锥体的体积公式：Sh V 31=， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．台体的体积公式：)(312211S S S Sh V ++=，其中21,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．选择题部分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．若,a b ∈R ，则“a b >成立”是“22ab >成立”的A 。
充分非必要条件 B.必要非充分条件C 。
充要条件D 。
既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】试题分析:当,a b R ∈时，22||||a b a b >⇔>，所以“||||a b >成立"是“22a b >成立"的充要条件，故选C 。
考点：充要条件。
2．已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是 A.,////m n m n αα⊂⇒ B 。
,m n m n αα⊂⊥⇒⊥ C.βαβα////,,⇒⊂⊂n m n m D.,n n βααβ⊂⊥⇒⊥ 【答案】D 【解析】试题分析：对于A ，n α⊂时也成立，所以A 错；对于B ，直线n 垂直于平面内一条直线,不能确定直线与平面垂直，故B 错；对于C ，一个平面内一条直线平行于另一个平面内的一条直线,和符合面面平行的判定定理，故C 错;对于D ，符合面面垂直的判定定理，故选D 。
考点：线面平行、垂直、面面平行、垂直的判定与性质.3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数,设)1()1()(-+-=x g x f x h ，则下列结论中正确的是A ．)(x h 关于)0,1(对称B ．)(x h 关于)0,1-(对称C ．)(x h 关于1=x 对称D ．)(x h 关于1-=x 对称 【答案】C考点:1.函数的奇偶性；2。
2015年浙江省宁波市江北区中考数学一模试卷和答案
2015年浙江省宁波市江北区中考数学模拟试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）实数5的相反数是（）A．B．C．﹣5 D．52．（4分）下列各式计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣a3）2=a6C．（2ab）4=8a4b4D．2a2﹣3a2=13．（4分）下列四个数中，值最小的数是（）A．tan45°B．C．πD．4．（4分）某热播视频10天的点击量达51234.8万次，把它用科学记数法表示是（）A．5.12348×104次B．0.512348×105次C．5.12348×108次D．5.12348×109次5．（4分）如图，∠A被平行直线l1、l2所截，若∠1=100°，∠2=125°，则∠A的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°6．（4分）要说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是（）A．2ab和3ab B．2a2b和3ab2 C．2ab和2a2b2 D．2a3和﹣2a37．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的进分率为x，根据题意列方程正确的是（）A．180（1+x）2=100 B．180（1﹣x2）=100 C．180（1﹣2x）=100 D．180（1﹣x）2=1008．（4分）若4个数6，x，8，10的中位数为7，则x的取值范围是（）A．x=6 B．x=7 C．x≤6 D．x≥89．（4分）如图，圆O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD 的度数是（）A．120°B．130°C．140° D．150°10．（4分）如图，3个全等的菱形按如图方式拼合在一起，恰好得到一个边长相等的六边形，则菱形较长的对角线与较短的对角线之比是（）A． B． C．2 D．11．（4分）某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿回到点A，下面可以近似地刻画出小江与中心O的距离S随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．12．（4分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y=ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）计算：（）0+3﹣1=．14．（4分）分解因式：a3﹣9a=．15．（4分）用一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是cm．16．（4分）某校为预测该校九年级900名学生“一分钟跳绳”项目的考试情况，从九年级随机抽取部分学生进行测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）．若次数不低于130次的成绩为优秀，估计该校成绩为优秀的人数是．17．（4分）如图，点A在双曲线y=第三象限的分支上，连结AO并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，若△ABC的面积为6，则k的值是．18．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=7，AB⊥AC，点E在边AD上，满足=，点F在AB上，满足=，连结BE和CF相交于点G，则线段CG的长度是．三、解答题（共8小题，第19题6分，第20－21题各8分，第22－24题各10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（6分）解方程：=5．20．（8分）如图，有甲、乙两个转盘，每个转盘上各个扇形的圆心角都相等，让两个转盘分别自由转动一次，当转盘指针落在分界线上时，重新转动．（1）请你画树状图或列表表示所有等可能的结果．（2）求两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率．（黄、蓝两色混合配成绿色）21．（8分）如图是由梯子A B和梯子AC搭成的脚手架，其中AB=AC=5米，∠α=70°．（1）求梯子顶端A离地面的高度AD的长和两梯脚之间的距离BC的长．（2）生活经验告诉我们，增大两梯脚之间的距离可降低梯子的高度，若BC长达到6米，则梯子的高度下降多少米？（以上结果均精确到0.1米，供参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）22．（10分）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．23．（10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．24．（10分）某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报酬有两种方案如图所示：其中方案一所示图形是顶点B在原点的抛物线的一部分，方案二所示图形是射线．设推销员推销产品的数量为x（件），付给推销员的月报酬为y（元）．（1）分别求两种方案中y关于x的函数关系式；（2）当销售达到多少件时，两种方案月报酬差额将达到3800元？（3）若公司决定改进“方案二”：保持基本工资不变，每件报酬增加m元，使得当销售员销售产量达到40件时，两种方案的报酬差额不超过1000元．求m的取值范围．25．（12分）【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．【规律探索】（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．求证：①ME=NF；②MN∥BC．【解决问题】（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．26．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线y=﹣m（m ＞）于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．（1）求证：△ABC≌△AOD；（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求m的值．2015年浙江省宁波市江北区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）实数5的相反数是（）A．B．C．﹣5 D．5【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．【解答】解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴5的相反数是﹣5；故选：C．2．（4分）下列各式计算正确的是（）A．a2•a3=a6 B．（﹣a3）2=a6C．（2ab）4=8a4b4D．2a2﹣3a2=1【分析】根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方，即可解答．【解答】解：A、a2•a3=a5，故错误；B、正确；C、（2ab）4=16a4b4，故错误；D、2a2﹣3a2=﹣a2，故错误；故选：B．3．（4分）下列四个数中，值最小的数是（）A．tan45°B．C．πD．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：tan45°=1，根据实数比较大小的方法，可得，1＜，所以tan45°＜，因此四个数中，值最小的数是tan45°．故选：A．4．（4分）某热播视频10天的点击量达51234.8万次，把它用科学记数法表示是（）A．5.12348×104次B．0.512348×105次C．5.12348×108次D．5.12348×109次【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于51234.8万有9位整数，所以可以确定n=9﹣1=8．【解答】解：51234.8万=512 348 000=5.12348×108．故选：C．5．（4分）如图，∠A被平行直线l1、l2所截，若∠1=100°，∠2=125°，则∠A的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．45°【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据邻补角的定义求出∠4、∠5，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠3=∠1=100°，由邻补角的定义，∠4=180°﹣∠3=180°﹣100°=80°，∠5=180°﹣∠2=180°﹣125°=55°，∴∠A=180°﹣∠4﹣∠5=180°﹣80°﹣55°=45°．故选：D．6．（4分）要说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是（）A．2ab和3ab B．2a2b和3ab2 C．2ab和2a2b2 D．2a3和﹣2a3【分析】所举反例满足两个单项式的次数相同，但它们不是同类项．【解答】解：说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是2a2b和3ab2．故选：B．7．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由180元降为100元．已知两次降价的百分率相同，设每次降价的进分率为x，根据题意列方程正确的是（）A．180（1+x）2=100 B．180（1﹣x2）=100 C．180（1﹣2x）=100 D．180（1﹣x）2=100【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是180（1﹣x），第二次后的价格是180（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：根据题意得：180（1﹣x）2=100．故选：D．8．（4分）若4个数6，x，8，10的中位数为7，则x的取值范围是（）A．x=6 B．x=7 C．x≤6 D．x≥8【分析】根据中位数的定义，分三种情况进行讨论：①x≤6；②6＜x≤8；③x＞8．【解答】解：①如果x≤6，那么（6+8）÷2=7，符合题意；②如果6＜x≤8，那么（x+8）÷2＞7，不符合题意；③如果x＞8，那么（x+8）÷2＞8，不符合题意；故选：C．9．（4分）如图，圆O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD 的度数是（）A．120°B．130°C．140° D．150°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由BC=DC得=，则∠BOC=∠COD=130°，再利用周角定义计算出∠BOD=100°，再根据圆周角定理得到∠BCD=∠BOD=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠BAD的度数．【解答】解：连结OD，如图，∵BC=DC，∴=，∴∠BOC=∠COD=130°，∴∠BOD=360°﹣2×130°=100°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=180°﹣50°=130°．故选：B．10．（4分）如图，3个全等的菱形按如图方式拼合在一起，恰好得到一个边长相等的六边形，则菱形较长的对角线与较短的对角线之比是（）A． B． C．2 D．【分析】首先设第一个菱形的另一个顶点为M，连接AC，BM，交于点O，根据题意得：AB=AF=2BM，又由四边形ABCM是菱形，可得AC⊥BM，OB=BM，OA=AC，继而可得OA=OB，则可求得答案．【解答】解：如图，设第一个菱形的另一个顶点为M，连接AC，BM，交于点O，根据题意得：AB=AF=2BM，∵四边形ABCM是菱形，∴AC⊥BM，OB=BM，OA=AC，∴AB=40B，∴OA==OB，∴AC=2OA=2OB，BM=2OB，∴AC：BM=，即菱形较长的对角线与较短的对角线之比是：．故选：A．11．（4分）某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A沿AO匀速直达建筑中心点O处，停留拍照后，从点O沿OB以同样的速度匀速走到点B，紧接着沿回到点A，下面可以近似地刻画出小江与中心O的距离S随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意得出小江运动的图象是由四条线段组成的，即可得出结论．【解答】解：根据题意得出：小江从A到O的图象是线段，停留拍照的图象是x 轴上的一条线段，在从O到B的图象是从左向右上升的线段，沿回到点A的图象是与x轴平行的线段；故选：C．12．（4分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y=ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）A．①②B．③④C．①②④D．①③④【分析】首先根据x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先减小后增加，可得抛物线开口向上，所以a＞0；然后根据函数值是先减小后增加，可得k＜9＜m＜16；最后根据a＞0，可得二次函数有最小值，而且二次函数的最小值，所以b2≥4a（c﹣k），据此判断即可．【解答】解：∵x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7，其对应的函数值是先减小后增加，∴抛物线开口向上，∴a＞0，①正确；∴k＜9＜m＜16，∴9＜m＜16，②正确；∴k＜9，③不正确；∵，a＞0，∴4ac﹣b2≤4ak，∴b2≥4a（c﹣k），④错误综上，可得判断正确的是：①②．故选：A．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．（4分）计算：（）0+3﹣1=．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂，可得答案．【解答】解：原始=1+=．故答案为：．14．（4分）分解因式：a3﹣9a=a（a+3）（a﹣3）．【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．【解答】解：a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）．15．（4分）用一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是6cm．【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到=，解得r=2，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=3．所以圆锥的高==6（cm）．故答案为6．16．（4分）某校为预测该校九年级900名学生“一分钟跳绳”项目的考试情况，从九年级随机抽取部分学生进行测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）．若次数不低于130次的成绩为优秀，估计该校成绩为优秀的人数是400．【分析】先求出样本中“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数所占的比例，再用总人数900乘以这个比例即可求解．【解答】解：样本中“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数所占的比例为：=，该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数是900×=400．故答案为400．17．（4分）如图，点A在双曲线y=第三象限的分支上，连结AO并延长交第一象限的图象于点B，画BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，若△ABC的面积为6，则k的值是9．【分析】由点A在双曲线y=第三象限的分支上，设点A（a，），则B（﹣a，﹣），又因为BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，设出C（﹣，﹣），根据面积公式列出方程即可求解．【解答】解：∵点A在双曲线y=第三象限的分支上，∴设点A（a，），则B（﹣a，﹣），∵BC∥x轴交反比例函数y=的图象于点C，∴C（﹣，﹣），∵△ABC的面积为6，∴（﹣﹣）•（﹣+a）=6，解得：k=9，故答案为：9．18．（4分）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=7，AB⊥AC，点E在边AD上，满足=，点F在AB上，满足=，连结BE和CF相交于点G，则线段CG的长度是．【分析】延长BE，CD交于一点H，由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，AB∥CD，再通过相似三角形即可得到结论．【解答】解：延长BE，CD交于一点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC=7，AB=CD=5，∵=，=，∴AF=2，BF=3，AE=，∵AB⊥AC，∴AC==2，∴CF==2，∵AD∥BC，∴△HED∽△HBC，∴==，∴DH=，∵AB∥CD，∴===，∴CG=，故答案为：．三、解答题（共8小题，第19题6分，第20－21题各8分，第22－24题各10分，第25题12分，第26题14分，满分78分）19．（6分）解方程：=5．【分析】观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘x（x+3），得x+3+5x2=5x（x+3），解得x=．检验：把x=代入x（x+3）=≠0．∴原方程的解为：x=．20．（8分）如图，有甲、乙两个转盘，每个转盘上各个扇形的圆心角都相等，让两个转盘分别自由转动一次，当转盘指针落在分界线上时，重新转动．（1）请你画树状图或列表表示所有等可能的结果．（2）求两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率．（黄、蓝两色混合配成绿色）【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）中的树状图可求得两个指针落在区域的颜色能配成绿色的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：则共有12种等可能的结果；（2）∵两个指针落在区域的颜色能配成绿色的有2种情况，∴两个指针落在区域的颜色能配成绿色的概率为：=．21．（8分）如图是由梯子A B和梯子AC搭成的脚手架，其中AB=AC=5米，∠α=70°．（1）求梯子顶端A离地面的高度AD的长和两梯脚之间的距离BC的长．（2）生活经验告诉我们，增大两梯脚之间的距离可降低梯子的高度，若BC长达到6米，则梯子的高度下降多少米？（以上结果均精确到0.1米，供参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1）根据AB=AC=5米，AD⊥BC，∠α=70°，求出AD，再根据CD=AC×cosα求出CD，从而求出BC，（2）根据勾股定理求出AD==4米，从而求出梯子的高度下降4.7﹣4米，再计算即可．【解答】解：（1）∵AB=AC=5米，AD⊥BC，∴BD=CD=BC，在Rt△ACD中，AD=AC×sinα=5×sin70°=4.7米，CD=AC×cosα=5×cos70°=1.7米，∴BC=2CD=3.4米，（2）∵BC=2CD=6米，AC=5米，∴AD==4米，∴梯子的高度下降4.7﹣4=0.7米．22．（10分）如图1是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．（1）这个几何体模型的名称是长方体或底面为长方形的直棱柱．（2）如图2是根据a，b，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图（图中实线表示的长方形），请在网格中画出该几何体的左视图．（3）若h=a+b，且a，b满足a2+b2﹣a﹣6b+10=0，求该几何体的表面积．【分析】（1）侧面四个长方形和上下两个底面也是长方形，所以折叠后能围成长方体．（2）根据图1所标注的相关线段的长度画出其左视图；（3）对a2+b2﹣a﹣6b+10=0进行因式分解，求得a、b的值，则易求h的值，然后由几何体的表面积计算公式进行解答．【解答】解：（1）根据该包装盒的表面展开图知，该几何体模型的名称为：长方体或底面为长方形的直棱柱．故答案是：长方体或底面为长方形的直棱柱；（2）如图所示：（3）由题意得，（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，则a=2，b=3，所以h=a+b=2+3=5．所以表面积为：2（2×3+5×2+3×5）=62．23．（10分）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．【分析】（1）连接OD，通过证得△ABO≌△DBO，证得∠ODB=∠OAB=90°，从而证得BD⊥OD，得出BC是⊙O的切线；（2）通过正切函数求得OC，即可求得AC，然后通过正切函数求得AB，最后根据∠ADB=∠DAB=∠AOB，从而求得sin∠ADB的值．【解答】解：（1）连接OD，∵BA=BD，BO⊥AD，∴∠ABO=∠DBO，在△ABO和△DBO中，∴△ABO≌△DBO（SAS），∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，∴BD⊥OD，∴BC是⊙O的切线；（2）∵在RT△ODC中，CD===6，∴OC=10，∴AC=18在RT△ABC中，AB=AC•tan∠C=18×=24，∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，∴sin∠ADB=sin∠AOB==，24．（10分）某公司推销一种产品，公司付给推销员的月报酬有两种方案如图所示：其中方案一所示图形是顶点B在原点的抛物线的一部分，方案二所示图形是射线．设推销员推销产品的数量为x（件），付给推销员的月报酬为y（元）．（1）分别求两种方案中y关于x的函数关系式；（2）当销售达到多少件时，两种方案月报酬差额将达到3800元？（3）若公司决定改进“方案二”：保持基本工资不变，每件报酬增加m元，使得当销售员销售产量达到40件时，两种方案的报酬差额不超过1000元．求m的取值范围．【分析】（1）分别设出两种方案中y关于x的函数关系式，用待定系数法求解，即可解答；（2）根据“两种方案月报酬差额将达到3800元”，得到方程3x2﹣（50x+1200）=3800，即可解答；（3）分别计算出当销售员销售产量达到40件时，方案一与方案二的月报酬，根据两种方案的报酬差额不超过1000元，列出不等式组，即可解答．【解答】解：（1）设，把（30，2700）代入得：900a=2700，解得：a=3，∴．设y2=kx+b，把（0，1200），（30，2700）代入得：，解得：，∴y2=50x+1200．（2）由题意得：3x2﹣（50x+1200）=3800，解得：（舍去），答：当销售达到50件时，两种方案月报酬差额将达到3800元．（3）当销售员销售产量达到40件时，方案一的月报酬为：3×402=4800，方案二的月报酬为：（50+m）×40+1200=40m+3200，由题意得：4800﹣（40m+3200）≤1000，且40m+3200﹣4800≤1000，解得：15≤m≤65．25．（12分）【提出问题】如图1，小东将一张AD为12，宽AB为4的长方形纸片按如下方式进行折叠：在纸片的一边BC上分别取点P、Q，使得BP=CQ，连结AP、DQ，将△ABP、△DCQ分别沿AP、DQ折叠得△APM，△DQN，连结MN．小东发现线段MN的位置和长度随着点P、Q的位置发生改变．【规律探索】（1）请在图1中过点M，N分别画ME⊥BC于点E，NF⊥BC于点F．求证：①ME=NF；②MN∥BC．【解决问题】（2）如图1，若BP=3，求线段MN的长；（3）如图2，当点P与点Q重合时，求MN的长．【分析】（1）首先证明△ABP≌△DCQ，则∠APB=∠DQG，然后证明△MEP≌△NPQ即可证得；（2）证明△EMP∽△MAG，根据相似三角形的对应边的比相等，以及矩形的性质即可求解；（3）设PM、PN分别交AD于点E、F，证明△PEF∽△PMN，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，AB=CD．∵在△ABP和△DCQ中，，∴△ABP≌△DCQ，∴∠APB=∠DQG．∴∠MPE=180°﹣2∠APB=180°﹣2∠DQC=∠NQF．∴在△MEP和△NPQ中，，∴△MEP≌△NPQ，∴ME=NF；②∵ME∥NF，ME=NF，∴四边形EFMN是矩形，∴MN∥BC．（2）延长EM、FN交AD于点G、H．∵AB=4，BP=3，∴AM=4，PM=3．∵AD∥BC，∴EM⊥AD．∵∠AMP=∠MEP=∠MGA，∴∠EMP=∠MAG．∴△EMP∽△MAG．∴，设AG=4a，MG=3b．∵四边形ABEG是矩形，∴，解得：，∴AG=，同理DH=．∴MN=；（3）设PM、PN分别交AD于点E、F．∵∠EPA=∠APB=∠PAE，∴EA=EP．设EA=EP=x，在直角△AME中，42+（6﹣x）2=x2，解得：x=．∴EF=12﹣2×=．∵EF∥MN，∴△PEF∽△PMN．∴，即，解得：MN=．26．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB的顶点A、B的坐标分别是A（0，5），B（3，1），过点B画BC⊥AB交直线y=﹣m（m ＞）于点C，连结AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交x轴负半轴于点D，连结AD、CD．（1）求证：△ABC≌△AOD；（2）设△ACD的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若四边形ABCD恰有一组对边平行，求m的值．【分析】（1）利用两点间的距离公式计算出AB=5，则AB=OA，则可根据“HL”证明△ABC≌△AOD；（2）过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如图，证明Rt△ABF∽Rt△BCE，利用相似比可得BC=（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，然后证明△AOB∽△ACD，利用相似的性质得=（）2，而S△AOB=，于是可得S=（m+1）2+（m＞）；（3）作BH⊥y轴于H，如图，分类讨论：当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函数得到tan∠AOB=3，tan∠ACB==，所以=3；当AD∥BC，则∠5=∠ACB，由△AOB ∽△ACD得到∠4=∠5，则∠ACB=∠4，根据三角函数定义得到tan∠4=，tan∠ACB==，则=，然后分别解关于m的方程即可得到m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，5），B（3，1），∴AB==5，∴AB=OA，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC和Rt△AOD中，，∴Rt△ABC≌Rt△AOD；（2）解：过点B作直线BE⊥直线y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如图，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴Rt△ABF∽Rt△BCE，∴=，即=，∴BC=（m+1），在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，∵△ABC≌△AOD，∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，∴∠4=∠5，而AO=AB，AD=AC，∴△AOB∽△ACD，∴=（）2=，=×5×3=，而S△AOB∴S=（m+1）2+（m＞）；（3）作BH⊥y轴于H，如图，当AB∥CD时，则∠ACD=∠CAB，而△AOB∽△ACD，∴∠ACD=∠AOB，∴∠CAB=∠AOB，而tan∠AOB==3，tan∠ACB===∴=3，解得m=8；当AD∥BC，则∠5=∠ACB，而△AOB∽△ACD，∴∠4=∠5，∴∠ACB=∠4，而tan∠4==，tan∠ACB==∴=，解得m=3．综上所述，m的值为3或8．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2015年浙江省宁波市镇海中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上．）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）＝R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞22．（5分）函数的值域为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣∞，3]D．[0，+∞）3．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）+g（x），则“f （x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件4．（5分）如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＜x B．x＜c C．c＜b D．b＜c5．（5分）若实数x，y满足则z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣C．﹣2D．﹣36．（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A．6B．7C．8D．97．（5分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b＝3B．5a﹣4b＝3C．4a+5b＝14D．5a+4b＝14 8．（5分）从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种9．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±3x 10．（5分）设函数f（x）＝x sin x在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…a n…，则对任意正整数n必有（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）若a为实数，，则a等于．12．（4分）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于．13．（4分）在△ABC中，若，∠C＝150°，BC＝1，则AB的值为．14．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．15．（4分）设向量满足+2+3＝，且（﹣2）⊥．若||＝1，则||＝．16．（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为．17．（4分）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝1，E为DC的三等分点（靠近C 处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D﹣AF﹣B平面角余弦值的变化范围是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．19．（14分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2+a7＝16．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b1＝a1且b n＝a n+b n﹣1（n≥2，n∈N*），求数列{b n}的通项公式．20．（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF 互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0＜a＜）．（1）当a为何值时，MN的长最小；（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．21．（15分）已知M（2，3）、N（2，﹣3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形ANBM面积的最大值．22．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x2﹣x）（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上．）1．（5分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪（∁R B）＝R，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2【解答】解：∵∁R B＝{x|x≤1，或x≥2}，∴若A∪（∁R B）＝R；∴a≥2．故选：C．2．（5分）函数的值域为（）A．（0，3）B．[0，3]C．（﹣∞，3]D．[0，+∞）【解答】解：当x＜﹣1时，y＝3x，此时当x≥1时，y＝log2x，此时y≥0所以函数的值域为[0，+∞）故选：D．3．（5分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）＝f（x）+g（x），则“f （x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝g（x），∴h（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）+g（x）＝h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）＝x2+x，g（x）＝2﹣x，h（x）＝x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选：B．4．（5分）如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＜x B．x＜c C．c＜b D．b＜c【解答】解：则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，第一个判断框是判断x与b的大小，∴第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x，故第二个判断框应填入：x＞c，故选：A．5．（5分）若实数x，y满足则z＝x﹣2y的最小值是（）A．0B．﹣C．﹣2D．﹣3【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝x﹣2y化为y＝x﹣z，﹣z相当于直线y＝x﹣z的纵截距，则当过（0，1）时有最小值，即z＝0﹣2＝﹣2，故选：C．6．（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？这些正方体货箱的个数为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由俯视图可得所有小正方体共6摞，每摞小正方体的个数如下图所示：故这些正方体货箱的个数为8个，故选：C．7．（5分）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（）A．4a﹣5b＝3B．5a﹣4b＝3C．4a+5b＝14D．5a+4b＝14【解答】解：∵与在方向上的投影相同，∴∴4a+5＝8+5b，∴4a﹣5b＝3故选：A．8．（5分）从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）A．8种B．12种C．16种D．20种【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，则选法共有C63﹣8＝12种．故选：B．9．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±3x【解答】解：如图所示，∵点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，∴OP∥F2Q．∵QF1⊥QF2，∴F1Q⊥OP．∵OP的方程为y＝﹣x，∴＝，∴直线F1P的方程为y＝（x+c）．联立，解得，即P（﹣，）．∴|PF1|＝|PQ|＝b，|PO|＝a，|OF1|＝|OF2|＝|OQ|＝c，|QF2|＝2a，∵tan∠QOF2＝，∴cos∠QOF2＝，由余弦定理，得cos∠QOF2＝1﹣＝，∴e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2，或e＝﹣1（舍）∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选：B．10．（5分）设函数f（x）＝x sin x在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…a n…，则对任意正整数n必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）＝x sin x，∴f′（x）＝sin x+x cos x＝0∴tan x＝﹣x，∴函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点就是函数y＝tan x与y＝﹣x的交点的横标，观察两函数图象的交点，从纵轴向右，在每一个周期上都有一个交点，且从左向右，交点的位置依次更靠左渐近线，∴两个交点之间的横标之差小于一个周期，大于半个周期，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．（4分）若a为实数，，则a等于．【解答】解：可得2+ai＝＝2﹣i所以a＝﹣故答案为：12．（4分）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于7．【解答】解：展开式的通项为令其中r＝0，1，2，…n所以当r＝6时，最小的正整数n等于7故答案为：713．（4分）在△ABC中，若，∠C＝150°，BC＝1，则AB的值为．【解答】解：∵tan A＝，∴cos2A＝＝，又A∈（0，30°），∴sin A＝，又sin C＝sin150°＝，BC＝1，根据正弦定理得：＝，则AB＝＝＝．14．（4分）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n＝a1q n﹣1，又4S2＝S1+3S3，即4（a1+a1q）＝a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为15．（4分）设向量满足+2+3＝，且（﹣2）⊥．若||＝1，则||＝．【解答】解：由题意可得（﹣2）•＝（﹣2）•（﹣）＝﹣（﹣4）＝（4﹣）＝（4﹣1）＝0，求得b2＝，∴||＝，16．（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为．【解答】解：随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A岗位服务，则P（ξ＝2）＝＝，所以P（ξ＝1）＝1﹣P（ξ＝2）＝，即ξ的分布列如下表所示…（10分）∴ξ的数学期望E（ξ）＝×2+×1＝，17．（4分）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝1，E为DC的三等分点（靠近C 处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的射影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D﹣AF﹣B平面角余弦值的变化范围是[，]．【解答】解：如图，过点D作DM⊥AF于点O，交AB于点M，不妨设二面角D﹣AF﹣B的平面解为θ，则cosθ＝，设DF＝x，2≤x≤3，由勾股定理，OD＝，OF＝，OA＝，∴cosθ＝＝＝在[2，3]上是减函数，∴cosθ．故答案为：[，]．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x•cos x﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．【解答】解：（I）∵由题得：f（x）＝cos2x+sin x•cos x﹣＝＝cos2x sin2x＝sin（2x+）．∴，∴，令，可得：递增区间为；（II）令，可得：，∵x∈[0，2π）∴k可取1，2，3，4．∴所有满足条件的x的和为：．19．（14分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55，a2+a7＝16．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b1＝a1且b n＝a n+b n﹣1（n≥2，n∈N*），求数列{b n}的通项公式．【解答】（本小题满分14分）解：（I）由题得：…．（2分）又∵公差d＞0∴…．（4分）∴d＝2，a n＝2n﹣1…．（7分）（II）∵b n＝a n+b n﹣1（n≥2，n∈N*），∴b n﹣b n﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）…．（9分）∵b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1（n≥2，n∈N*）且b1＝a1＝1…．（11分）∴（n≥2，n∈N*）∴…．（14分）20．（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF 互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0＜a＜）．（1）当a为何值时，MN的长最小；（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．【解答】解：（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP＝NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ∵CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，∴AC＝BF＝，CP＝BQ＝a∴MN＝PQ＝＝∵0＜a＜，∴a＝，即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小为；（2）取MN的中点G，连接AG、BG，∵AM＝AN，BM＝BN，G为MN的中点∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即为二面角的平面角α又AG＝BG＝，所以由余弦定理有cosα＝＝﹣∴面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值为﹣．21．（15分）已知M（2，3）、N（2，﹣3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形ANBM面积的最大值．【解答】（本小题满分15分）解：（I）∵右焦点为F（2，0）∴左焦点为F′（﹣2，0）…．（1分）∴2a＝|MF′|+|MF|＝8a＝4…．（4分）即：a2＝16，b2＝a2﹣c2＝12…．（6分）∴椭圆C的方程为：…．（7分）（II）设l：y＝x+m，联立可得：7x2+8mx+4m2﹣48＝0…．（9分）x A+x B＝x A•x B＝∴…．（11分）∴四边形ANBM的面积即：…．（13分）∵等号成立当且仅当m＝0时，验证m＝0交点在直线MN两侧成立…．（14分）∴面积的最大值为…．（15分）22．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x2﹣x）（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．【解答】（本小题满分14分）解：（I）当a＝1时f（x）＝lnx﹣x2+x…．（3分）∴f（1）＝0，f′（1）＝0即：所求切线方程为：y＝0…．（6分）（II）∵∴当a＝0时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上递增∴f（x）max＝f（2）＝ln2…．（7分）当a≠0时可令g（x）＝﹣2ax2+ax+1，x∈[1，2]．∵g（x）的对称轴且过点（0，1）∴当a＜0时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，f（x）在[1，2]上递增∴f（x）max＝f（2）＝ln2﹣2a…．（9分）当a＞0时，若g（1）≤0，即：a≥1时，f′（x）＜0在[1，2]恒成立，f（x）在[1，2]上递减，∴f（x）max＝f（1）＝0…．（10分）若g（1）＞0，g（2）＜0，即：时，f′（x）在上大于零，在上小于零f（x）在上递增，在上递减，∴…．（12分）若g（1）＞0，g（2）≥0，即：时，f′（x）＞0在[1，2]恒成立，f（x）在[1，2]上递增，∴f（x）max＝f（2）＝ln2﹣2a…．（13分）综上：…．（14分）。
浙江省2015届高考数学全真模拟试卷(理科)(Word版含解析)
浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）A．{1，2，3} B．{5} C．{1，3，4} D．{2}2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，+∞）D．（2，3）3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．24．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．2或﹣4 D．﹣2或46．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）A．2B．C．4D．47．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A．4B．2C．3D．3二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=，ω=，F（）=．10．（6分）已知等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=，a n=．11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是．12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为，三棱锥D﹣BCE的体积为．13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为．15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…x m（0≤x1＜x2＜…＜x m≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+x m的值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（1）求椭圆M的方程；（2）求•的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（15分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，求证：++…+＜2．20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在x i∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．浙江省2015届高考数学全真模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，N={2，3，6}，则∁U（M∪N）=（）A．{1，2，3} B．{5} C．{1，3，4} D．{2}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由M与N求出两集合的并集，根据全集U求出并集的补集即可．解答：解：∵M={1，2，4}，N={2，3，6}，∴M∪N={1，2，3，4，6}，∵U={1，2，3，4，5，6}，∴∁U（M∪N）={5}．故选B点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知p：x2﹣5x+6≤0，q：|x﹣a|＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，3]B．[2，3]C．（2，+∞）D．（2，3）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可．解答：解：由x2﹣5x+6≤0得，即2≤x≤3，由|x﹣a|＜1得a﹣1＜x＜a+1，若p是q的充分不必要条件，则，即，则2＜a＜3．故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键．3．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．6B．4C．3D．2考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最小值．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点A（1，1）时，z取得最小值为3；故选C．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．4．（5分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：逐个选项进行验证：A中α与γ可以平行，也可以相交；B中的直线m与n可以平行、相交或异面；C中可能有m⊂β；选项D由条件可得m∥β．解答：解：选项A中α与γ可以平行，也可以相交，故错误；选项B中的直线m与n可以平行、相交或异面，故错误；选项C中可能有m⊂β，故错误；选项D正确，若α∥β，m∥α，可得m⊄β，或m∥β，结合条件可得m∥β．故选D点评：本题为直线与平面位置关系的判断，熟练掌握定理结合图象是解决问题的关键，属基础题．5．（5分）设，为两个互相垂直的单位向量，已知=，=，=m+n．若△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则m+n=（）A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．2或﹣4 D．﹣2或4考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：空间向量及应用．分析：根据△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形可得出和的关系，用已知向量表示出和，列出关系式，即可求出答案．解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠A为直角，∴AB⊥AC，=0；由已知得，==；==（m﹣1）+n；∴=（）[（m﹣1）+n]=m﹣n﹣1=0；即m﹣n=1；又△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，=；∵=，∴==，得（m﹣1）2+n2=2；∵m﹣n=1，∴m=n+1，代入方程，得2n2=2，n=±1；∴或；∴m+n=3或m+n=﹣1．故答案选：B．点评：本题考查了平面向量的基本定理，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则．6．（5分）已知xy=1，且O＜y＜，则的最小值为（）A．2B．C．4D．4考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：xy=1，且O＜y＜，可得4y=，x＞2，．代入变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵xy=1，且O＜y＜，∴4y=，x＞2，∴．则===+=4，当且仅当x﹣=2，解得x=时取等号．∴的最小值为4．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：由题意，可通过几个特殊点来确定正确选项，可先求出射影长最小时的点B时x的值及y的值，再研究点P从点B向点C运动时的图象变化规律，由此即可得出正确选项．解答：解：设BC边与Y轴交点为M，已知可得GM=0.5，故AM=1.5，正三角形的边长为连接BG，可得tan∠BGM==，即∠BGM=，所以tan∠BGA=，由图可得当x=时，射影为y取到最小值，其大小为﹣（BC长为），由此可排除A，B两个选项；又当点P从点B向点M运动时，x变化相同的值，此时射影长的变化变小，即图象趋于平缓，由此可以排除D，C是适合的；故选：C．点评：由于本题的函数关系式不易获得，可采取特值法，找几个特殊点以排除法得出正确选项，这是条件不足或正面解答较难时常见的方法．8．（5分）如图，已知点S（0，3），SA，SB与圆C：x2+y2﹣my=0（m＞0）和抛物线x2=﹣2py（p＞0）都相切，切点分别为M，N和A，B，SA∥ON，=λ，则实数λ的值为（）A．4B．2C．3D．3考点：抛物线的简单性质．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由圆的切线的性质，结合平行的条件可得四边形MSNO为菱形，由直线和圆相切的条件和勾股定理、弦长公式，解方程可得m=2，直线的斜率为，可得MN=，由直线和抛物线相切的条件：判别式为0，可得切点A，B的坐标，可得AB的长为4，由向量共线定理，即可得到所求值．解答：解：由S向圆作切线，可得SM=SN，∠MSO=∠NSO，若SA∥ON，即有四边形MSNO为菱形，在直角△SMO中，tan∠SMN==，圆C：x2+y2﹣my=0的圆心为（0，），半径r=，设切线为y=kx+3，k＞0，由相切的条件可得=，①MN=2=，即有k=，②将②代入①可得m=2，k=，则MN=，由y=x+3和抛物线x2=﹣2py，可得x2+2px+6p=0，由判别式12p2﹣24p=0，解得p=2，求得切点A（﹣2，﹣3），由于=λ，即MN∥AB，则AB=4，即有λ==4．故选：A．点评：本题考查直线和圆、抛物线相切的条件，向量共线的定理的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，以及平面几何的勾股定理，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题有7小题，共36分（其中1道三空题，每空2分，3道两空题，每空3分，3道一空题，每空4分）．9．（6分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则A=2，ω=2，F（）=1．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据图象由最值确定A=2，由周期确定ω=2π÷T=2，得到f（x）=2sin（2x+φ），然后以点（，2）代人求φ．解答：解：由图象易知A=2，T=π﹣，∴T=π，ω==2，∴f（x）=2sin（2x+φ），由f（）=2sin（2×+φ=2，且0＜φ＜π，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin（2×+）=1，故答案为：2；2；1．点评：本题主要考查由部分图象怎样求函数的解析式问题及计算能力．10．（6分）已知等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），则实数k=1，a n=﹣2n+12．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），可得k=1，可得S n=﹣n2+11n；当n=1时，可得a1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，即可得出．解答：解：∵等差数列{a n）的前n项和为S n=﹣n2+（10+k）n+（k﹣1），∴k=1，∴S n=﹣n2+11n，当n=1时，a1=﹣1+11=10；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣n2+11n﹣[﹣（n﹣1）2+11（n﹣1）]=﹣2n+12，当n=1时上式也成立．∴a n=﹣2n+12．故答案为：1；﹣2n+12．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（6分）设函数f（x）=，则f（1）=﹣1，若f（f（a））≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，]．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数f（x）=，将x=1代入，可求出f（1）；再讨论f（a）的正负，代入求出f（a）≥﹣3，再讨论a的正负，求实数a的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（1）=﹣12=﹣1，①若f（a）＜0，则f2（a）+2f（a）≤3，解得，﹣3≤f（a）≤1，即﹣3≤f（a）＜0，②若f（a）≥0，则﹣f2（a）≤3，显然成立；则f（a）≥﹣3，③若a＜0，则a2+2a≥﹣3，解得，a∈R，即a＜0．④若a≥0，则﹣a2≥﹣3，解得，0≤a≤，综上所述，实数a的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：﹣1；（﹣∞，]．点评：本题考查了分段函数的应用，再已知函数值的范围时，要对自变量讨论代入函数求解，属于基础题．12．（6分）若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．解答：解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．点评：本题考查正视图的面积，考查考查几何体的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．13．（4分）点F是抛物线T：x2=2py（y＞0）的焦点，F1是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线T与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），利用P是线段FF1的中点，可得P（，），由此即可求出双曲线C的离心率．解答：解：双曲线C的渐近线方程为y=x，代入x2=2py，可得P（，），∵F（0，），F1（c，0）∴线段FF1的中点P（，），∴=，=，∴a2=8b2，∴c2=9b2，∴e==．故答案为：．点评：本题考查双曲线C的离心率，考查抛物线、双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定P的坐标是关键．14．（4分）已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），当t∈[﹣，2]时，|﹣t|的取值范围为[1，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出用t表示的坐标，得到t的坐标，然后用t表示|﹣t|，根据t∈[﹣，2]求其范围．解答：解：由已知向量=（1，），=（﹣2，0）若⊥（≠），设=（x，y），则﹣2x+0=0，即x=0，所以=（0，y），则t=（0，t），所以﹣t=（1，﹣t），所以，|﹣t|2=1+（﹣t）2，又t∈[﹣，2]，所以当t=时，|﹣t|2的最小值为1；当t=时，|﹣t|2的最大值为13；所以|﹣t|的取值范围为[1，]；故答案为：[1，]．点评：本题考查了向量的加减法的坐标运算以及向量模的求法．15．（4分）对于任意实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，＜x＞表示不小于x的最小整数，若x1，x2，…x m（0≤x1＜x2＜…＜x m≤n+1是区间[0，n+1]中满足方程[x]•{x}•＜x＞=1的一切实数，则x1+x2+…+x m的值是+．考点：数列与函数的综合；函数的值．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：根据新定义，[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x﹣[x]，需要分类讨论，根据条件得到x═a+，继而求出a的可能值，最后代入计算即可．解答：解：显然，x不可能是整数，否则由于{x}=0，方程[x]•{x}•＜x＞=1不可能成立．设[x]=a，则{x}=x﹣a，x=a+1，代入得a（x﹣a）（a+1）=1，解得x=a+．考虑到x∈[0，n+1]，且[x]≠0，所以a=1，2，3，4，5，…，n，故符合条件的解有n个，即m=n，则x1+x2+…+x m=x1+x2+…+x n=+1﹣+…+﹣=+1﹣=+．故答案为：+．点评：本题考查了函数的值，需要分类进行讨论，新定义一般需要认真读题，理解题意，灵活利用已知定义，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分（16.17.18.19小题各为15分，20小题为14分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若1+=．（1）求角A的大小；（2）若函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x，x∈[，]，在x=B处取到最大值a，求△ABC的面积．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：解三角形．分析：（1）把已知等式中的切化弦，利用正弦定理把边转化为角的正弦，整理可求得cosA 的值，进而求得A．（2）把利用两角和公式对函数解析式化简，利用正弦函数的性质求得函数最大值时B，C 和a的值，进而利用正弦定理求得c，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为1+•=，所以=2sinC，又因为sinC≠0，所以cosA=，所以A=．（2）因为f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x=1+2sin（2x﹣），所以，当2x﹣=，即x=时，f（x）max=3，此时B=，C=，a=3．因为=，所以c===，则S=acsinB=×3××=．点评：本题主要考查了正弦定理和三角函数图象与性质．考查了学生基础公式的运用和一定的运算能力．17．（15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD是正三角形，且AD=DE=2AB，F是CD的中点．（1）求证：平面CBE⊥平面CDE；（2）求二面角C﹣BE﹣F的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．分析：（1）取CE的中点M，连接BM、FM，通过证明BM⊥平面CDE，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．（2）过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．解答：（1）证明：因为DE⊥平面ACD，DE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面ACD．在底面ACD中，AF⊥CD，由面面垂直的性质定理知，AF⊥平面CDE．取CE的中点M，连接BM、FM，由已知可得FM=AB且FM∥AB，则四边形FMBA为平行四边形，从而BM∥AF．所以BM⊥平面CDE．又BM⊂平面BCE，则平面CBE⊥平面CDE．…（7分）（2）解：过F作FN⊥CE交CE于N，过N作NH⊥BE，连接HF，则∠NHF就是二面角C﹣BE﹣F的平面角．在Rt△FNH中，NH=，FH=，所以cos∠NHF==故二面角C﹣BE﹣F的余弦值为…（15分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（15分）如图，椭圆M：+=1（a＞b＞0）的离心率为，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=﹣x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．（1）求椭圆M的方程；（2）求•的取值范围；（3）当AD与BC相交于点Q时，试问：点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知得a=2，又e==，故c=，b=1，即可求椭圆M的方程；（2）分类讨论，y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用数量积公式求•的取值范围；（3）由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x，解得y=，即可得出结论．解答：解：（1）由已知得a=2，又e==，故c=，b=1，∴椭圆M的方程．…（4分）（2）①当直线l斜率不存在时，C（0，1），D（0，﹣1），•=﹣1；…（5分）当直线斜率存在时，设直线l方程为y=kx+2，C（x1，y1），D（x2，y2），则y=kx+2代入椭圆方程消去y，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△＞0，可得4k2＞3，…（7分）•=x1x2+y1y2=﹣1+，∴得﹣1＜•＜．综上可知，•的取值范围是[﹣1，）．…（10分）②由题意得：AD：y=x+1，BC：y=x﹣1，联立方程组，消去x，解得y=，又4kx1x2=﹣3（x1+x2），得y=．∴点Q的纵坐标为定值．…（15分）点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（15分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等比数列{b n}的公比为q（q＞0），且满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}的前n项和为T n，求证：++…+＜2．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由（1）可得：b n=2n﹣1，可得T n=2n﹣1，可得＜（n≥2时），即可证明．解答：（1）解：满足a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，∴，解得：，故a n=3n﹣2．（2）证明：由（1）可得：b n=2n﹣1，∴T n==2n﹣1，∵＜（n≥2时），∴当n≥2时，∴++…+=+…+＜+…+=1+++…+==2＜2．当n=1时，=1＜2符合．综上所述，不等式成立．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）已知函数f（x）=log22x﹣mlog2x+a，g（x）=x2+1．（1）当a=1时，求f（x）在x∈[1，4]上的最小值；（2）当a＞0，m=2时，若对任意的实数t∈[1，4]，均存在x i∈[1，8]（i=1，2），且x1≠x2，使得=f（t）成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1），转化成二次函数问题，利用单调性研究最小值．（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．由条件列式求解．解答：解：（1），其中0≤log2x≤2．所以①，即m≤0，此时f（x）min=f（1）=1，②当，即m≥4，此时f（x）min=f（4）=5﹣2m，③0＜m＜4时，当时，．所以，f（x）min=…（6分）（2）令log2t=u（0≤u≤2），则f（t）=u2﹣2u+a的值域是[a﹣1，a]．因为y=，利用图形可知解得…（14分）点评：本题主要考查以对数函数为背景的二次函数问题，属于中档题目，2015届高考常考题型．。
2015年浙江高考模拟试卷 数学卷(理科)(含答案答卷)
2015年浙江高考模拟试卷数学卷（理科）本试卷分第（Ⅰ）卷（选择题）和第（Ⅱ）卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 表示球的半径；球的体积公式：34π3V R =，其中R 表示球的半径；棱柱体积公式：V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高； 棱锥体积公式：13V Sh =，其中S 为棱柱的底面面积，h 为棱柱的高；台体的体积公式：()1213V h S S = 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，h 表示台体的高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.(改编)集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =，则A B =（ ）A ．{1,2,3}B ．{0,1,3}C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}2.(改编)已知,sin 3cos R ααα∈+=tan 2α的值是( ) A ．3-4 B ．2 C ．4-3D ．433.(摘录)已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（摘录）已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则（ ）A ．βα//且α//lB ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(改编)函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω<>的最小正周期为π，若其图象向右平移3π个单位后关于y 轴对称，则)(x f y =对应的解析式可为（ ） A ．)62sin(π-=x y B ．)62cos(π+=x yC ．)32cos(π-=x yD ．)672sin(π+=x y 6. （改编）若等差数列{}n a 满足2211010a a +=，则101119...S a a a =+++的最大值为（ ）A ．60B ．50C ． 45D ．407．（摘录）将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成一个四面体ABCD ，当该四面体的体积最大时，直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．090B ．060C ．045D ．0308.（摘录）如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是 渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4 B第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江省2015-16年中考数学模拟试题及答案(含答案解析)
浙江省2015-16年中考数学模拟试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每小题有四个答案，只有一个是正确的，请将正确的答案选出来！ 1．下列计算正确的是（ ） A ．235a a a +=B ．1234)(a a =C ．236a a a ⋅=D ．326a a a =÷2.若一个三角形三个内角度数的比为1︰2︰3，那么这个三角形最小角的正切值为( ) A.31 B. 21 C. 33 D. 23 3.在盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率 是52如果再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为41则原来盒里有白色棋 子( )A.1颗B.2颗C.3颗D.4颗24.5200,40k x x x k +<+-=若则关于的一元二次方程的根的情况是( )A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法判断 5.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高为L 与这个圆柱的底面半径r 之间的函数关系为（ ）A 、正比例函数B 、反比例函数C 、一次函数D 、二次函数 6.如图，几个完全相同的小正方体组成一个几何体，这个几何体的三视图中面积最大的是（ ）A.主视图B.左视图C.俯视图D.主视图和左视图 7.如图所示，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆与对角线AC 交于点E ，则图中阴影部分的面积为( )A.π-10B.π-8C.π-12 D .π-6 8.如图所示，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形，090=∠=∠ADB ACO ,反比例函数k y =在第一象限的图象经过点B ，若1822=-AB OA ，则k 的值为( )9．若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角 是（ ）A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°10.定义运算，错误！未找到引用源。
浙江省宁波市鄞州区2015届高三下学期模拟数学(文)试卷
浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1} 2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知直线l，m和平面α，β，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f （x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=__________，cos2α=__________．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=__________，S2015=__________．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为__________cm3，表面积为__________cm2．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=__________，t的取值范围是__________．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为__________．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是__________．15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．浙江省宁波市鄞州区2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|y=2x}，B={y|y=}，则A∩B=( )A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≥3或x≤1} D．{x|x≥3或0≤x≤1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用函数的定义域以及函数的值域求出两个集合，然后求解交集即可．解答：解：集合A={x|y=2x}={x|x∈R}，B={y|y=}={y|y≥0}，则A∩B={x|x≥0}．故选：B．点评：本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，集合的交集的求法，考查计算能力．2．已知点A=（﹣1，1）、B=（1，2）、C=（﹣3，2），则向量在方向上的投影为( ) A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知可求，的坐标，根据在方向上的投影为：=（θ为向量的夹角），即可求解．解答：解：由已知可得，=（2，1），=（﹣2，1），∴=2×（﹣2）+1×1=﹣3，||=，设，的夹角为θ，则向量在方向上的投影为：==．故选：C．点评：本题主要考查了向量投影定义的简单应用，属于基础试题．3．已知实数a，b，则“＜”是“lna＜lnb”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若lna＜lnb，则0＜a＜b，推出＜，∴，“＜”是“lna＜lnb”的充要条件，故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数不等式的性质是解决本题的关键．4．已知直线l，m和平面α，β，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α⊥β，l∥α，则l⊥βD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择．解答：解：对于A，若l∥α，l∥β，则α与β可能相交；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l∥m或者异面；故B错误；对于C，若α⊥β，l∥α，则l与β位置关系不确定；故C错误；对于D，若l⊥α，m⊂α，满足线面垂直的性质定理故l⊥m；故D正确；故选D．点评：本题考查了线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为( )A．y=sin（2x﹣）B．y=cos2x C．y=sin（2x+）D．y=﹣cos2x考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得A，由T=﹣，可得T，由周期公式可得ω，由（，1）在函数图象上，又|φ|＜，可解得φ，从而可得f（x）=sin（2x+），根据左加右减平移变换规律即可得解．解答：解：由函数图象可得：A=1，周期T=﹣，可得：T=π，由周期公式可得：ω==2，由（，1）在函数图象上，可得：sin（+φ）=1，可解得：φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜，故可解得：φ=，故有：y=f（x）=sin（2x+），则有：f（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故选：D．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数图象的平移规律，属于基本知识的考查．6．已知A，B，P是双曲线﹣=1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积k PA•k PB=，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．2 D．考点：双曲线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出点A，点P的坐标，求出斜率，将点A，P的坐标代入方程，两式相减，再结合k PA•k PB=，即可求得离心率．解答：解：由题意，设A（x1，y1），P（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），∴k PA•k PB=•=，∵﹣=1，﹣=1，∴两式相减可得=，∵k PA•k PB=，∴=，∴=，即为c2=a2，则e==．故选A．点评：本题考查双曲线的方程，主要考查双曲线的几何性质：离心率的求法，属于中档题．7．若直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则a+b的取值范围( )A．（，3）B．（﹣3，3）C．（﹣3，）D．（﹣1，3）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意画出不等式组表示的平面区域，结合直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点得到关于a，b的不等式组，然后利用线性规划知识求得a+b的取值范围．解答：解：不等式组表示的平面区域如图，联立，解得A（1，2）．联立，解得B（﹣4，0）．联立，解得C（4，﹣4）．要使直线ax+by=4与不等式组表示的平面区域无公共点，则或．（a，b）所在平面区域如图，联立，解得M（﹣1，﹣2），联立，解得N（2，1），令t=a+b，即b=﹣a+t，∴当直线b=﹣a+t过M时，t有最小值为﹣3；当直线b=﹣a+t过N时t有最大值为3．∴t=a+b的范围是（﹣3，3）．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．8．设函数f（x）=，则当实数m变化时，方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为( )个．A．2 B．3 C．4 D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）=，分类得出当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，当m＜0时，0＜f（x）＜1，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，分别运用图象判断根的个数．解答：解：∵函数f（x）=，∴图象为∵方程f（f（x）））=m，∴当m=0时，f（x）=1，或f（x）=﹣1，运用图象判断有4个根，当m=1时，f（x）=e，或f（x）=0，或f（x）=﹣2，运用图象判断有5个根，当m＜0时，0＜f（x）＜1，运用图象判断有3个根，当m＞1时，f（x）＞e，或f（x）＜﹣2，运用图象判断有3个根，故运用排除法得出方程f（f（x）））=m的根的个数不可能为2个．故选：A点评：本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，每空3分，第13-15题每空4分，共36分．）9．已知sinα=，α∈（0，），则cos（π﹣α）=，cos2α=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的诱导公式以及倍角公式求值．解答：解：已知sinα=，α∈（0，），所以cosα=，cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及倍角公式；关键是熟练掌握公式．10．已知数列{a n}满足a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记S n=a1+a2+…+a n．则a3=2，S2015=2．考点：数列的求和；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为6，易求该数列的前6项，由此可求得答案．解答：解：由a n+1=a n﹣a n﹣1（n≥2），得a n+6=a n+5﹣a n+4=a n+4﹣a n+3﹣a n+4=﹣a n+3=﹣（a n+2﹣a n+1）=﹣（a n+1﹣a n﹣a n+1）=a n，所以6为数列{a n}的周期，又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0，∵2015=335×6+5，S2015=335×0+（1+3+2﹣1﹣3）=2，故答案为：2，2．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，注意解题方法的积累，找出数列的周期是解决本题的关键，属于中档题．11．已知某几何体的三视图如图所示（长度单位为：cm），则该几何体的体积为16cm3，表面积为34+6cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的四棱锥，结合图中数据求出它的体积与表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD⊥底面ABCD；∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×6×2×4=16，侧面积为S侧面积=S△PAB+2S△PBC+S△PCD=•6+2••2+•6•4=6+22，S底面积=6×2=12，∴S表面积=S侧面积+S底面积=6+22+12=34+6．故答案为：16，34+6．点评：本题考查了利用几何体的三视图求空间几何体的体积与表面积的应用问题，是基础题目．12．设函数f（x）=是一个奇函数，满足f（2t+3）＜f（4﹣t），则a=1，t的取值范围是（，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件根据奇函数的性质求得a的值，从而得到f（x）的解析式；由所给的不等式结合f（x）的图象可得|2t+3|＜|4﹣t|，解此绝对值不等式，求得t的范围．解答：解：函数f（x）=是一个奇函数，设x＜0，则﹣x＞0，且f（﹣x）=﹣f（x），即﹣a（﹣x）（﹣x+2）=﹣x（x﹣2），化简可得ax（2﹣x）=x（2﹣x），∴a=1．即f（x）=，故函数f（x）为R上的减函数，它的图象如图．由f（2t+3）＜f（4﹣t），可得2t+3＞4﹣t，求得t＞，求得t∈（﹣7，），故答案为：1，（，+∞）．点评：本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的单调性的应用，解绝对值不等式，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．13．若直线y=3x+b与y=nx+m相交，且将圆x2+y2﹣6x﹣8y+21=0的周长四等分，则m+b ﹣n的值为．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可得，两直线相较于圆心，且两直线互相垂直，把圆心坐标代入两直线方程，再根据两直线斜率之积等于﹣1，求得m、n、b的值，即可求得m+b﹣n的值．解答：解：由题意知，圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直，∴，解得，∴m+b﹣n=，故答案为：．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，判断圆心（3，4）为两直线的交点，且两直线互相垂直是解题的关键，属于基础题．14．设x，y是正实数，且x+y=3，则+的最小值是．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：由已知可得+==，分离之后结合基本不等式即可求解解答：解：∵x+y=3，x＞0，y＞0∴+====x+1+y+1+﹣8=﹣11+16（）=﹣11+（=﹣11（2））=当且仅当即x=y=时取等号故答案为：点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用解题的关键是对已知式在进行化简，配凑基本不等式成立的条件15．在△ABC中，AC=3，∠A=，点D满足=2，且AD=，则BC的长为3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由已知，结合向量的基本运算可求得=，然后结合已知及向量数量积的定义及性质可求AB，最后利用余弦定理可求BC解答：解：∵=2∴===∵AD=||=，AC=||=3，A=，设AB=c∴=||||cosA=则13==∴13=1整理可得，2c2﹣54=0∵c＞0解可得，c=3由余弦定理可得，a2=c2+b2﹣2bc•cosA=点评：本题主要考查了解三角形的简单应用，解题中要注意结合向量知识，要灵活的运用基本公式三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c=2，sinC（cosB﹣sinB）=sinA．（1）求角C的大小；（2）若cosA=，求边b的长．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由cosA的值求出sinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin（A+C），把各自的值代入求出sin（A+C）的值，即为sinB的值，再由c，sinC的值，利用正弦定理求出b的值即可．解答：解：（1）由题意得sinC（cosB﹣sinB）=sinA，整理得：sinCcosB﹣sinBsinC=sinA=sin（B+C）=sinBcosC+sinCcosB，即﹣sinBsinC=sinBcosC，∵sinB≠0，∴tanC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（2）∵cosA=，∴sinA==，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×（﹣）+×=，由正弦定理得：=，则b==．点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明：PB⊥平面DEF；（2）若AD=2DC，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；（2）取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH，确定∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角即可．解答：（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．∵DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．又∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．∴DE⊥平面PBC．∵PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB．又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD…（2）解：取AB中点G，PD中点H，连接EH，HG，连接AH．∵E是PC中点，∴，∴EBGH为平行四边形，…∵PD⊥平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD连接AH，…∴∠GHA为所求直线BE与平面PAD所成的角．…∵AD=2DC，∴在Rt△ADH中，AH=DC …∴在Rt△AGH中，AG=CD，∴sin∠GHA==．…点评：本题考查了线线、线面平行的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；考查直线BE与平面PAD所成角的正弦值，属于中档题．18．数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=1，S n﹣2S n﹣1=1（n∈N*，n≥2），数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，T n=n2b n，n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若对n∈N*，恒有S n+1＞成立，求实数λ的取值范围．考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0可得数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，进而可得其通项；通过=及b n=••…••b1=可得结论．（Ⅱ）由题只需要对任意正整数λ＜恒成立．通过﹣=可得数列的单调性，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意，可得a2=2，当n≥3时，S n﹣1﹣2S n﹣2=1，∴a n﹣2a n﹣1=（S n﹣2S n﹣1）﹣（S n﹣1﹣2S n﹣2）=0，即a n=2a n﹣1，又∵a2=2a1，所以数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，即a n=2n﹣1，n∈N*；当n≥2时，T n﹣1=（n﹣1）2b n﹣1，∴=，∴b n=••…••b1=，显然对n=1也成立．故b n=，n∈N*；（Ⅱ）由题意S n=2n﹣1，只需要对任意正整数λ＜恒成立．记C n=，当n≥2时，C n﹣C n﹣1=﹣=，当n≥3时数列{C n}递增；当n≤2时数列{C n}递减．易知n=3或2时有最小的项C2=C3=，综上：λ＜．点评：本题考查求数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知抛物线C：y2=4x，过x轴上的一定点Q（a，0）的直线l交抛物线C于A、B两点（a为大于零的正常数）．（1）设O为坐标原点，求△ABO面积的最小值；（2）若点M为直线x=﹣a上任意一点，探求：直线MA，MQ，MB的斜率是否成等差数列？若是，则给出证明；若不是，则说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）联立直线AB与抛物线方程，利用韦达定理可得结论；（2）设M（﹣a，t），通过计算2k MQ与k MA+k MB的值即得结论．解答：解：（1）设直线AB的方程为：my=x﹣a，联立方程组，消去x可得：y2﹣4my﹣4a=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4a，∴S△AOB=•a•|y1﹣y2|=2a，所以当m=0时，S△AOB有最小值2a；（2）结论：直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．证明如下：设M（﹣a，t），∴k MQ=，而k MA+k MB=+=（*）因为x1x2==a2，x1+x2=m（y1+y2）+2a=4m2+2a，代入（*）式，可得k MA+k MB==﹣，∴k MA+k MB=2k MQ，所以直线MA，MQ，MB的斜率成等差数列．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、斜率的计算、等差中项的性质、三角形的面积计算公式等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数f（x）=x2﹣（k+1）x+，g（x）=2x﹣k，其中k∈R（1）若f（x）在区间（1，4）上有零点，求实数k的取值范围；（2）设函数p（x）=，是否存在实数k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的非零实数x2（x1≠x2），使得p（x1）=p（x2）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）由题意可得△=（k+4）（k﹣2），分类讨论，分别求出实数k的取值范围，再取并集，即得所求．（2）根据g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞），f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞），即可得出结论．解答：解：（1）由题意知△=（k+4）（k﹣2）…①当f（1）f（4）＜0时，．…②当f（1）f（4）=0时，k=或k=，经检验k=符合．…③当△=0时，k=2或k=﹣4，经检验k=2符合．…④当时，解得2＜k＜．…综上2≤k＜…（Ⅱ）显然g（x）在（0，+∞）单调递增，其值域为（﹣k，+∞）…∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，≥0即k≥﹣1．∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（，+∞）…∴而k≥﹣1，∴这样的k不存在．…点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
宁波市普通高中创新素养培育实验班招生考试模拟试卷数学试题一、选择题(共6题，每题4分，共24分)1、设x=(1)(2)(3)x x x x+++的值是( )A．－1 B．0 C．1 D．22.已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数是( )A．30° B．45° C．60° D．75°3．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{1，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4．则min{－x2＋1，－x}的最大值是( )ABC．1 D．04．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，D是AB边上的动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD ＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是( )A B C D5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，D、E分别在AB、AC上，CE1，且△BED是等腰直角三角形，其中∠BED＝90°，则BD的值是( )A．6．已知抛物线的顶点为y＝ax2＋bx＋c(0＜2a＜b)的顶点为P(x0，y0)，点A(1，y A)，EDCBA(第5题图)B(0，y B )，C(﹣1，y C )在该抛物线上，当y 0≥0恒成立时，AB Cy y y -的最小值为( )A.1B.2C.4D. 3二、填空题(共6题，每题4分，共24分)7．从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是 ． 8．已知关于x 的分式方程1m x -＋31x-＝1的解是非负数，则m 的取值范围是______． 9．已知∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 、F 在AB 上，且AE ＝2，BF ＝3，过E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则GF 的长是_______.10．设P 是等边△ABC 内一点，若在以PA 、PB 、PC 的长为边长所组成的新三角形中，和PA 、PB 、PC 对应的三边所对的三个内角的比为2:3:4，则∠APB:∠BPC:∠CPA 为________11．如图，已知菱形ABCD 的顶点D 、C 在直线y ＝x 上，且顶点A 、B 在抛物线y ＝x 2上，DA 平行于y 轴，则S 菱形ABCD ＝_______．12．已知a 、b 是实数，且223a ab b ++=．若22a ab b -+的最大值是m ，最小值是n ，则m ＋n 的值是_______．三、解答题(共4题，每题13分，共52分)13．已知关于x 的方程x 2﹣(2k ﹣3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．(1)求k 的取值范围； (2)试说明x 1＜0，x 2＜0；(3)若抛物线y ＝x 2﹣(2k ﹣3)x ＋k 2＋1与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且OA ＋OB ＝2OA·OB﹣3，求k 的值．14．我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； (2)如图，在△ABC 中，∠A 是不等于60°的锐角，AB ＞AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠DCB ＝∠EBC ＝12∠A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．15. 自变量x 的函数通常记为f (x )．f (x 0)表示自变量x ＝x 0时函数f (x )的函数值． 己知函数f (x )＝x 2－ax ＋2 ，其中a 为实数． ⑴若a ＝2，求f (3)的值；(2)若存在实数t (1≤t ≤4)，使得f (－t 2－3)＝f (4t )，求实数a 的取值范围； (3)若对任意0≤x ≤4，不等式f (x )≥2x ＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．16．如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点B 为中心将△ABC 顺时针旋转，使点A 落在CB 延长线上的点A 1处，此时，点C 落在点C 1的位置.连结AA 1、CC 1交于点O ，CC 1与AB 交于点D ，AA 1与BC1交于点E.(1)求证：O是AA1的中点；(2)求四边形BDOE的面积.1宁波市普通高中创新素养培育实验班招生考试模拟试卷数学答案三、解答题(共4题，每题13分，共52分)13． 解：（1）由题意可知：[]224(1)0(23)k k -+>--=，即0512>+-k∴512k <． ··························· 4分 （2）∵1221223010x x k x x k +=-<⎧⎪⎨=+>⎪⎩， ∴120,0x x <<． ··························· 8分（3）依题意，不妨设A （x 1,0），B （x 2,0）.∴1212()(23)OA OB x x x x k +=+=-+=--，2121212()()1OA OB x x x x x x k =--=--==+， ∵23OA OB OA OB +=-， ∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得k 1＝1，k 2＝－2． ∵512k <，∴k ＝－2． ························· 13分 14．（1）答案不唯一(如平行四边形、等腰梯形等）-----4' （2）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．-----6' 如图，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点． 因为12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， 所以BCF CBG △≌△．所以BF CG =．因为BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠， BEC ABE A ∠=∠+∠，BOAD ECFG1所以BDF BEC ∠=∠． 可证BDF CEG △≌△．所以BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．-----------------13' 其他证法正确可酌情给分15. (1)5----------------------------4‘(2) 若234t t --=，解得t 1＝－1，t 2＝－3，均不在1≤t ≤4范围内； 若23422t t a --+-=-，则a ＝－t 2＋4t －3＝－(t －2)2＋1当t ＝1时，a ＝0；当t ＝4时，a ＝－3；当t ＝2时，a ＝1；由图象可得当1≤t ≤4时，－3≤－(t －2)2＋1≤1 ∴－3≤a ≤1-----------------8'(3)转化为：对任意0≤x ≤4，不等式x 2－ax ＋2≥2x ＋a 恒成立． 整理得，2(2)20x a x a -++-≥ 对称轴为直线x ＝22a + 若202a +≤，则取x ＝0，得2(2)22x a x a a -++-=-，只需2－a ≥0，解得a ≤2 又∵a ≤－2 ∴a ≤－2 若242a +≥，则取x ＝4，得2(2)2510x a x a a -++-=-+，只需－5a ＋10≥0，解得a ≤2 又∵a ≥6 ∴不符题意 若2042a +<<，则0∆≤ 即2840a a +-≤ 解得445a --≤≤- 又∵26a -<<∴24a -<≤-+综上所述，4a ≤-+16．(1)易得，∠ABA1=∠CBC1，△ABA1∽△CBC1，且∠OAB=∠OCB 所以B 、C 、A 、O四点共圆，连结BO ，可得∠AOB=90°，又因为AB=BA1，所以O 是AA1的中点------4'； (2)由勾股定理得，1AA AO =易得△CDB ∽△A1BE ∽△ADO设S △CDB=x ，S 四边形BDOE=y ， 则S △A1EB=2516x ，S △ADO=4532x ，S △ACA1=272，S △COA1=4，S △ABA1=2， 2527(1)164254515()16322x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得241310552x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴四边形BDOE 的面积是10552-----------13'。