最新33第一类换元积分法汇总
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
3.3第一类换元积分法
§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(.又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
微积分第一类换元法
定理1 设 f (u)具有原函数，u ( x)可导，
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u ( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [(x)](x)dx f [(x)]d[(x)].
例1 求 e5xdx
例12 求 csc xdx.
解（一） csc xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1 tan
x
d
2 tan
x 2
2
2
ln
tan
x 2
tan x sin
1
1
x2
dx
d (
), x
exdx d (ex ),
cosxdx d(sin x),
1 (cot
x),
1 cos2x dx d (tan x).
例7 求 sin 2xdx.
解（一）
sin
1 2
2 xdx
sin 2
xd
1 2
(2
sin 2x(2x)dx
x) 1 cos 2x 2
5
例2 求 (3 2x)3dx
解 令u 3 2x, 则du 2dx,从而dx 1 du,
2
原式
1 2
u3du
1u4 C
8
1 (3 2x)4 C.
8
例2 求 (3 2x)3dx
解 Q (3 2x)3 1 (3 2x)3 (3 2x) 2
原式 1 (3 2x)3 (3 2x)dx 2
第一类换元积分法
dx dx 1 arctan x c . 20 . arcsin x c . 21 . 2 2 2 a a a x2 a a x dx x a 1 22 . 2 ln c . 2 2a x a x a
dx ax 1 23 . 2 ln c . 2 2a a x a x
例11. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
例12. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
被积函数中含有三角函数的例子 例13 求三角函数的不定积分
ln cos x cot xdx ? sin x sin x
ln sin x C
sec2 x 1 d tan x dx d x tan x ln tan x c 例 16 . sin x cos x tan x 1 sin2 x cos2 x sinx cos x dx sinx cos x dx (tan x cot x )dx ln cos x ln sin x C ln tan x C 1 1 x 例16ln tan x c . 例 17 . csc x dx d dx x cos x 2 2 sin x sin 2 2 2 sin 2 x 1 cos x x 2 tan csc x cot x . 2 2 sin x cos x sin x 2 2 csc x dx ln csc x cot x c . (新公式)
第一类换元积分法
cscu cotudu cscu c
1 du arcsin u c 1u2
1
1 u
2
dx
arctanu
c
3.积分形式不变性下的
基本积分公式应用举例： 1
(1) 1 (3x)2 d (3x) arctan3x c
1
1 u2
du
arctanu
c
dx 1 d(3x)
1
1 (3x)2
dx
du u c
u du 1 u1 c
1
1 u
dx
ln
u
c
audx 1 au c ln a
eudx eu c
cosudu sin u c sin udu cosu c csc2udu cotu c
sec2 udu tanu c
secu tan udu secu c
u 3 2x
1
dx 1 du 2
1 du 1 ln u c
u
2
2
3
dx 2x
1 2
3
1 2x
d
(3
2
x)
1 ln 3 2x c 2
dx
凑微分
1
d
(3
2x)
2
4.常见凑微分
(1)dx 1 d (ax b) a
(1)求 2x 3dx
1? 解:因为dx _2__ d(2x 3)
凑微分法引入
(sin 2x) 2cos2x,
已知 问题
cosxdx
cos 2 xdx
sin x c
sin 2x
C
,
cos2xdx
sin
2x
c
解决方法 根据函数的复合过程，设置中间变量.
换元积分法方法总结
换元积分法方法总结《换元积分法方法总结》嘿，朋友！今天我要跟你唠唠换元积分法这个神奇的东西，学会了它，让你的积分计算像开了挂一样爽！咱们先来说说啥是换元积分法。
简单来讲，就是把一个复杂的式子通过换个“元”，变得简单好算。
这就好比你本来穿着一身繁琐的古装，行动不便，现在换成一套轻便的运动装，能轻松跑起来啦！换元积分法主要有两种类型：第一类换元法和第二类换元法。
先来讲讲第一类换元法，也叫凑微分法。
这就像是拼拼图，要找到合适的小块凑在一起。
比如说，咱有个积分式子∫2x e^(x²) dx。
这时候你发现 x²的导数是2x，那咱们就可以把 2x dx 凑成 d(x²)。
这一步就像是你找到了两块刚好能拼在一起的拼图块！然后呢，原积分就变成了∫e^(x²) d(x²) 。
这时候你会发现，这不就是e^u 对 u 积分嘛，结果就是 e^(x²) + C 。
是不是感觉挺神奇？我跟你说，我刚开始学的时候，总是凑不对，把自己绕得晕头转向，就像在迷宫里乱撞！后来我就多做练习，慢慢找到了感觉。
再说说第二类换元法，这有点像变魔术，把一个东西变没，再变出另一个来。
比如，求∫1/√(1 - x²) dx 。
这时候咱们令 x = sin u ，dx = cos u du 。
为啥要这么令呢？因为这样可以把原来复杂的式子变得简单。
就好像把一只张牙舞爪的怪兽变成了温顺的小兔子，好对付多啦！然后原积分就变成了∫1/√(1 - sin² u) cos u du = ∫1/cos u cos u du = ∫du = u + C ，再把 x = sin u 带回去，就得到了 arcsinx + C 。
在实际做题的时候，你得先观察式子，看看用哪种换元法合适。
有时候可能一开始选错了，没关系，重新再来，就当是在尝试不同的魔法咒语！还有啊，一定要多做练习题，做得多了，那种感觉就来了。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
第一类换元积分法
例4 求
2 x 1dx .
解
1 2 x 1dx 2 x 1d ( 2 x 1) 2
1 ( 2 x 1) d ( 2 x 1) 2
1 2
1 ( 2 x 1) 2 C 3
1 1 ( 2 x 1) 1 2 1 23
1 1 2
例5 求
tan 3 x(1 tan 2 x )d (tan x )
(sec 2 x 1) sec 3 xd (sec x )
1 dx. 例17 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e x x e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 dx d (1 e x ) x 1 e
§4-3
换元积分法（一） 第一类换元积分法 （凑微分法）
复习:不定积分定义,性质和公式
1. F ( x ) f ( x )
f ( x )dx F ( x ) C
2. [k1 f ( x ) k 2 g( x )]dx k1 f ( x )dx k 2 g( x )dx
解
1 1 1 3 2 xdx 2 3 2 x d (3 2 x ) 1 1 1 1 du ln u C ln 3 2 x C . 2 2 2 u
1 一般地 f (ax b)dx [ f ( u)du]uax b a 1 即d (ax b) adx故dx d (ax b) a
f [ ( x )] ( x)dx [ f (u)du]
F [ ( x )] C
实际上 [F [ ( x )] C ] F (u) ( x ) f [ ( x )] ( x )
微积分第一类换元法
定理1
u 设 f (u) 具有原函数， ( x ) 可导，
则有换元公式
f [ ( x )] ( x )dx [ f (u)du]u ( x )
第一类换元公式（凑微分法） 说明: 使用此公式的关键在于将
g( x )dx
1 2 a
例10 解
1 求 x 2 a 2 dx.
1 1 1 原式 ( x a x a )dx 2a
1 xa ln C. 2a x a
令：u ( x) x a 可以吗？
2 2
1 a 2 x 2 dx ?
例11 求 解
tan xdx
解
1 dx 2 2 ( x 1) 2
1 dx 用 2 2 x a 1 xa ln C 2a x a
1 d ( x 1) 2 2 ( x 1) 2
1 x 1 1 ( x 1) 2 C. ln C ln 4 x3 4 ( x 1) 2
ln csc x cot x C.
类似地可推出
sec xdx ln sec x tan x C.
基 本 积 分 表
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
1 1 xa (21) 2 dx ln C; 2 x a 2a x a 1 x (22) dx arcsin C. a a2 x2
化为
f [ ( x)] ( x)dx f [ ( x)]d [ ( x)].
例1 求
e dx
5x
1 解 令u 5x, 则du 5dx, 从而dx du , 5
第一类换元积分法技巧小结
第一类换元积分法技巧小结
第一类换元积分法是数学计算中常用的重要方法，主要是将积分中的变元转换为指定函数的另一元以此简化积分的计算过程。
首先要理解换元积分的基本思想，即给定函数f（x），如果能够找到另一个函数g（x），使其微分成常数，即g（x）的导数为常数的话，就可以将原先的积分变为新的积分，这样就可以简化运算程序，加快计算速度。
要使用换元积分法，必须先找到换元函数，换元函数通常具有固定步骤，步骤如下：
1.确定换元函数：可以将给定函数按照一定规律换为某一函数，但是必须保持一定条件，防止出现不连续性或不一致性，一般在实际应用中采用有限将原函数f（x）换成w（t），t=g（x）之形式，其中w（t）的微分为常数。
2.交换积分的上下限：根据更换后的函数，将原先的积分上下限也用换元函数更换，此时积分的上下限就变成了t的上下限。
3.积分运算：将原来的积分变换为换元后的积分，然后再运算出结果。
通过上述步骤，就可以运用换元积分法对给定函数进行积分计算了。
本类换元积分法有许多优点，能够有效地简化复杂函数的积分计算过程，提高效率。
虽然换元积分计算可能会比常规的积分更加复杂，但在计算多项式的积分时，很有可能会起到很好的作用。
定积分第一类换元法和第二类换元法
定积分是微积分中的重要概念，通过定积分我们可以求解曲线与坐标轴之间的面积、体积以及质心等问题。
在求解定积分时，换元法是一种常用且有效的方法。
换元法分为第一类换元法和第二类换元法，它们在不同类型的积分计算中发挥着重要作用。
下面我们将分别介绍这两种换元法的原理和应用。
一、第一类换元法1.1 换元法简介第一类换元法，又称代换法或变量代换法，是对定积分中被积函数中的变量进行替换，将原来的积分变为更容易求解的积分。
其基本思想是通过引入适当的新变量，将被积函数中的复杂部分转化为简单的形式，从而便于积分计算。
1.2 换元法的步骤（1）寻找合适的变量替换：根据被积函数的形式和特点，选择适当的新变量代替原来的变量。
（2）计算新变量的微分：对新变量进行微分，求出新变量的微分表达式。
（3）将被积函数用新变量表示：将原来的积分中的被积函数用新变量表示出来，得到新的积分形式。
（4）进行积分计算：对新的积分形式进行计算，得出最终结果。
1.3 换元法的应用第一类换元法常用于代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分。
通过合适的变量替换，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
二、第二类换元法2.1 换元法简介第二类换元法，又称参数代换法或极坐标代换法，是通过引入参数来替换被积函数中的自变量，从而实现对原积分的简化。
这种换元法常用于解决平面曲线和曲面的面积、弧长以及质心等问题。
2.2 换元法的步骤（1）引入参数：选择适当的参数替换自变量，通常选择直角坐标系下的参数形式或极坐标系下的参数形式。
（2）表达被积函数：将原来的被积函数用参数表示出来，并求出新的被积函数。
（3）进行积分计算：对新的被积函数进行积分计算，得出最终结果。
2.3 换元法的应用第二类换元法常用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
通过引入参数替换自变量，可以将原积分化为简单的形式，从而便于求解。
三、第一类换元法和第二类换元法的比较3.1 适用范围（1）第一类换元法适用于一般的代换型积分，如含有根式、三角函数等形式的积分；（2）第二类换元法适用于参数型积分，如平面曲线、曲面以及柱面体的面积、弧长和质心的计算。
换元积分法(第一类换元法)(精选、)
§4.2 换元积分法Ⅰ 授课题目§4.2 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待,从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时, 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式, 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(== 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
换元积分法
2x)
1
3
2 (1 2x) d(1 2x)
1 令u 1 2 x
3
u du
1
u4
C
2
8
回代 1 (Biblioteka 2x)4 C. 8例3求
1 3x
dx 1
。
解 将dx凑成 dx 1 d(3x 1) ，则 3
1 3x
dx 1
1 3
d(3x 1) 3x 1
1 令u3x1 1du 1 ln u C
t
C,
将 Q(0) 0 代入可得 C 2 ，于是有
Q(t) 2 cost 2 2 (1 cost)
二、第二类换元积分法
定理2 若 f (x) 是连续函数，x (t) 有连续的导数(t) 0 ，其反
函数 t 1(x) 存在且可导，又设 f (t)(t)dt F(t) C ，则
例11 【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为i(t) 2sint， 那么，流过该导线的电量 Q(t) 随时间变化的规律如何？(其 中 Q(0) 0)
解 在 [t ，t t] 时间段内，流过导线的电量为 dQ i(t)dt ，则
Q(t)
i(t)dt
2 sin
tdt
2
sin
td(t)
2
cos
高等数学
换元积分法
引例 【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表 面面积s的变化率为 dQ 0.05 ，其中 Q(0) 0 。求太阳能的能
ds s 100 量Q的函数表达式
解
Q
0.05 ds s 100
一、第一类换元积分法（凑微分法）
例如 e2xdx ，在基本积分公式中有 exdx ex C ，比较 e2xdx 和 exdx 我们发现，只是 的幂次相差一个常数因子 ex，
换元积分法
x
dx
22
tan
1 x cos2
x
d( x) 2
22
1 tan
x
d(tan
x )
2
ln tan x C 2
2
lncsc x cot x C.
解(二)
csc xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
x x
dx
1
1 cos2
x
d(cos
x) u2
du
1 2
1
1
u
1
常数因子恰好是中间变量u的导数. 作变换u 2x,有
2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)dx cos udu sin u C
sin 2x C.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
d(2 x
x
)
1 2
3
1 d(3 2x
2
x
)
令 u 3 2x
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin 3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时, 拆开奇次项 去凑微分.
例14 求 cos2 xdx.
解
cos2
例12 求 sin3 xdx. 解 sin3 xdx sin2 xsinxdx
(1 cos2 x)d(cos x) d(cos x) cos2 xd(cos x)
cos x 1 cos3 x C . 3
第一类换元积分法
第一类换元积分法第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它可以用来解决复杂的数学问题。
本文将介绍第一类换元积分法的定义、性质以及应用，以加深读者对这种积分计算方法的理解。
一、第一类换元积分法的定义第一类换元积分法是一种积分计算方法，它可以用来解决复杂多元数学问题。
其定义是：当一个函数f(x)在某一区间上有一定的变换关系，即f(x)可以表示为f(x) = g(u)，那么，该函数在该区间上的积分可以表示为：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$二、第一类换元积分法的性质第一类换元积分法有两个重要的性质：（1）对称性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u的变换关系是对称的，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是对称的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$（2）结果一致性：当一个函数f(x)的变换关系可以表示为f(x) = g(u)，其中x与u 的变换关系不对称，即x = h(u)，那么该函数积分的变换关系也是一致的，即：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{c}^{d}g(u)du$$三、第一类换元积分法的应用第一类换元积分法的应用非常广泛，可以用来解决复杂的数学问题。
它的应用可以分为以下几类：（1）解方程：第一类换元积分法可以用来解决含有复杂项的多元方程；（2）求积分：第一类换元积分法可以帮助计算复杂函数的积分；（3）求极限：有时候，函数的极限可以通过第一类换元积分法来求解；（4）求微分：第一类换元积分法也可以用来求解复杂函数的微分。
四、结论综上所述，第一类换元积分法是一种常用的积分计算方法，它具有对称性和结果一致性的性质，并且可以用来解决复杂的数学问题。
因此，它在数学领域的应用十分广泛，深受广大学者的青睐。
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33第一类换元积分法§3.3 第一类换元积分法教学目的：使学生理解第一类换元积分法，掌握第一类换元积分法的一般步骤及其应用。
重点：第一类类换元积分法及其应用 难点：第一类类换元积分法及其应用教学过程：一、问题的提出不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为繁杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。
而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法——换元积分法（通常简称换元法）。
该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。
本节将介绍第一类换元法。
二、第一类换元积分法（凑微分法）我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其他形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。
下面先介绍第一类换元积分法。
定理 设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ证明 设)(u f 具有原函数)(u F ，即)(u F '=)(u f ，⎰du u f )(=Cu F +)(. 又因为u 是关于x 的可导函数)(x u ϕ=,所以有⎰⎰⎰+==='⋅C x F x dF x d x f dx x x f )]([)]([)]([)]([)()]([ϕϕϕϕϕϕ 又)(])([x u du u f ϕ=⎰)(])([x u C u F ϕ=+=C x F +=)]([ϕ从而推得⎰⎰=='⋅)(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ 证毕推论 若 ⎰dx x f )(=C x F +)(成立，则⎰du u f )(=Cu F +)(.也成立，其中u 为x 的任一可导函数该推论表明：在基本的积分公式中，把自变量x 换为u 的任一可导函数后，公式仍成立，这就大大的扩大了公式的使用范围。
该方法的关键在于从被积函数«Skip Record If...»中成功地分出一个因子«Skip Record If...»与«Skip Record If...»凑成微分«Skip Record If...»，而剩下部分正好表成«Skip Record If...»的函数，然后令«Skip Record If...»，就将所要求的不定积分变为基本积分表中已有的形式。
通过第一类换元积分公式来计算积分的方法叫第一类换元积分法。
三、第一类换元积分法的一般步骤:若某积分⎰dx x g )(可化为⎰'⋅dx x x f )()]([ϕϕ的形式,且⎰duu f )(比较容易积分,那么可按下列的方法和步骤来计算所给积分⑴凑微分 设法将积分⎰dxx g )(变形为⎰'⋅dxx x f )()]([ϕϕ的形式，从而可得：«Skip Record If...»⑵作变量代换 作变量代换)(x u ϕ=，则«Skip Record If...»，从而将积分变为«Skip Record If...»并计算该积分;⑶将变量回代 根据所作代换, 用)(x ϕ替换积分结果中的u ,从而求得原积分的结果，即： «Skip Record If...»注：显然第一步是第一类换元积分法的关键，第一类换元积分法又叫做凑微分法。
四 、举例例1 求⎰-dx x x )1cos(22解：因为)1(22'-=x x于是⎰-dx x x )1cos(22⎰'-⋅-=dxx x )1()1cos(22⎰udu cos C u +=sinC x +-)1sin(2一般地，对于积分«Skip Record If...»(«Skip Record If...»为不等于“0”的常数)，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»例2 求⎰⋅xdxx 210sec tan解：因为)(tan sec 2'=x x⎰⋅xdxx 210sec tan=⎰'⋅dxx x )(tan tan 10du u ⎰10=C u +11111C x +11tan 111例3 求⎰-dx x 4)23(解：由于2)23(-='-x ，所以⎰-dx x 4)23(=dx x x )23()23(214'---⎰)23()23(214x d x ---=⎰u x =-12令12-=x u 回代u x =tan 令x u tan =回代⎰-du u 421=C u +-5101C x +--5)23(101一般地，对于积分«Skip Record If...»，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»注：①运用换元积分法，必须要熟悉基本积分公式和一些常用的微分等式，如)()(1x a d b ax d a dx --=±= （其中a 、b 为常数且a 不为零）)(21)(21)(212222x a d b ax d a x d xdx --=±==)(ln 1x d dx x = )(x x e d dx e = )(sin cos x d xdx = )(cos sin x d xdx -= 等等；②在运算比较熟练以后，可省略写出变量代换的过程，这样可使运算过程更捷。
例4求dxxx ⎰sin解：dx x x⎰sin =C x x d x +-=⎰cos 2sin 2例5 求dxxxex ⎰++2112解：原式=Cex d ex x +=+++⎰22121)1(例6 求⎰xdxtan解：⎰xdx tan =C x x d x dx x x +-=-=⎰⎰cos ln )(cos cos 1cos sin同理可求得Cx xdx +=⎰sin ln cot例7 求⎰-+dx e x 11.解：⎰-+dx e x 11==+⎰dx e e x x 1⎰+'+dx e e x x 1)1(=⎰++)1(11x x e d e C e x ++=)1ln( 例8 求⎰+-dx x x xx sin cos sin cos .ux =-23令x u 23-=回代解：⎰⎰+'+=+-dx x x x x dx x x x x sin cos )cos (sin sin cos sin cosCx x x x x x d ++=++=⎰cos sin ln sin cos )cos (sin例9 求⎰xdxcsc解： )2(2cos2tan 12cos 2sin 2sin 1csc 2xd x x x x dx dx x xdx ⎰⎰⎰⎰===)2(tan 2tan 1x d x ⎰=C x +=2tan ln C x x +-=cot csc ln 同理可得：⎰++=Cx x xdx tan sec ln sec例10 求⎰+dx x a 221)0(>a 解：dx a x a dx x a ⎰⎰+⋅=+2222)(1111)()(1112a xd a x a ⎰+=Ca x +=arctan例11 求⎰+)ln 21(x x dx解：⎰⎰⎰+=+=+x x d x x d x x dx ln 21)ln 2(21ln 21)(ln )ln 21(⎰++=x x d ln 21)ln 21(21Cx ++=ln 21ln 21一般地，对于积分«Skip Record If...»，总可以作变换«Skip Record If...»，把它化为«Skip Record If...»一个较为复杂的积分往往需要借助两个或两个以上的积分来完成。
例12 求⎰-dx a x 221)0(>a 解：⎰⎰-+--+=-dx a x a x a x a x a dx a x ))(()()(21122)11(21⎰⎰+--=dx a x dx a x a )](1)(1[21⎰⎰++---=a x d a x a x d a x aC a x a x a ++--=)ln (ln 21C a x a x a ++-=ln 21例13 求⎰xdx2sin解：⎰xdx 2sin =⎰-dx x 22cos 1⎰⎰-=dx xdx 22cos 21⎰-=)2(2cos 4121x xd x C x x +-=2sin 4121例14 求⎰xdxx 52cos sin解：⎰xdx x 52cos sin ⎰=xdxx x cos cos sin 42⎰-=)(sin )sin1(sin 222x d x x )(sin )sin sin 2(sin 642x d x x x ⎰+-=C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31一般的，对于形如«Skip Record If...»«Skip Record If...»(m,n«Skip Record If...»N)的积分,当m,n 中有一个为奇数时,可考虑从奇次幂因式中分一个因子与dx 凑微分,并借助公式cos«Skip Record If...»x+sin«Skip Record If...»=1,再利用凑微分法求 解(如例14);当m,n 同为偶数时,利用公式cos«Skip Record If...»=«Skip Record If...»(1+cos2x), sin«SkipRecord If...»=«Skip Record If...»(1-cos2x)先降幂,再利用求微分法求解(如例14).例15 求dxx ⎰3sin解：dx x ⎰3sin )(cos )cos 1(sin sin 22x d x xdx x ⎰⎰--=⋅=⎰⎰-=)(cos )(cos cos 2x d x xdC x x +-=cos cos 313例16求⎰xdxx 3cos 5sin解：根据三角学中的积化和差公式得⎰xdx x 3cos 5sin ⎰+=dx x x )2sin 8(sin 21 )]2(2sin 21)8(8sin 81[21⎰⎰+=x xd x xd C x x +--=2cos 418cos 161例17求⎰xdx x 35sec tan解：⎰xdxx 35sec tan⎰⋅⋅⋅=xdxx x x tan sec sec tan 24⎰⋅-=x xd x sec sec )1(sec 222C x x x ++-=357sec 31sec 52sec 71小结：⑴由前面举例可以看出，①求形式为⎰'dx x x )()(ϕϕ的积分时，可用下列公式计算②求形如⎰⋅xdxx n mcos sin 的积分，若m 为奇数时，只要根据x x 22cos 1sin -=、)(cos sin x d xdx -=变形，并取x x cos )(=ϕ即可；若n 为奇数，可作类似处理。