浙教版八年级数学下册《4.6反证法》同步练习(含答案)

4.6 反证法

A练就好基础基础达标

1．下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是( B) A．5 B．2 C．4 D．8

2．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应先假设( D) A．a不垂直于c B．b不垂直于c

C．c不平行于b D．a不平行于b

3．用反证法证明命题“若a>b，b>c，则a>c”时应先假设( D)

A．a≠c B．a＜c

C．a＝c D．a≤c

4．下列命题宜用反证法证明的是( C)

A．等腰三角形两腰上的高相等

B．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形

C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行

D．全等三角形的面积相等

5. 在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中( C)

A. 没有锐角

B. 都是直角

C. 最多有一个锐角

D. 有三个锐角

6．用反证法证明“树在道边而多子，此必苦李”时，应首先假设：__李子为甜李__．7．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

解：已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，

求证：∠1＝∠A＋∠B，

证明：假设∠1≠∠A＋∠B.

∵∠1是△ABC的一个外角，

∴∠1＋∠2＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠2≠180°

这与三角形内角和为180°相矛盾，

∴假设∠1≠∠A＋∠B不成立，

∴∠1＝∠A＋∠B.

8. 阅读下列文字，回答问题．

题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.

证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B.

所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.

上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.

解：有错误．改正：

假设AC＝BC，则∠A＝∠B.

∵又∠C＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，

∴AC＝BC不成立，∴AC≠BC.

B更上一层楼能力提升

9．用反证法证明(填空)：

两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.

求证：l1__∥__l2.

证明：假设l1__不平行于__l2，即l1与l2相交于一点P.

则∠1＋∠2＋∠P__＝__180°(__三角形内角和定理__)，

所以∠1＋∠2__<__180°，

这与__∠1＋∠2＝180°__矛盾，

故__假设__不成立．

所以结论成立，l1∥l2．

10．已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设__∠C＝90°__，根据__勾股定理__，一定有__AC2＋BC2＝AB2__，但这与已知__AC2＋BC2≠AB2__相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题．

11．用反证法证明下列问题．

如图，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，BD，CE相交于点O.求证：BD和CE不可能互相平分.

证明：连结DE，

假设BD和CE互相平分，

则四边形EBCD是平行四边形．

∴BE∥CD.

∵在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，

∴AC不可能平行于AB，与BE∥CD矛盾．

故假设不成立，原命题正确，

即BD和CE不可能互相平分.

12．反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°

证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°，

则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，故假设不成立．原命题成立．13．求证：过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

图1

将此命题改写成符号语言．

已知：如图1，在△ABC中，

D是AB边上的中点，DE∥BC交AC于点E．

求证：AE＝CE.

【分析】“反证法”是一种间接证明的方法．其实还有一种间接证明的方法叫“同一法”，具体做法是：先作出一个符合结论特性的图形，然

后证明

图2

所作的图形与已知条件其实是同一个图形，从而间接地证明出已知条件的图形具有这种性质．请你从完成下列不完整的证明过程中，体会这种证明方法的妙处．

证明：如图2，取AC边的中点F，连结DF.

∴DF是△ABC的__中位线__，

∴__DF∥BC__(三角形的中位线定理)．

∵DE∥BC，

由基本事实“过直线外一点有且只有一条直线平行于这条直线”得：

DF与DE重合，即点__F__与点__E__重合，

∴__AE＝CE__．

C开拓新思路拓展创新

14．能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一例；如果不能填，请说明理由．

14题图

14题答图

解：不能填．理由如下：设所填的互不相同的4个数为a ，b ，c ，d ；则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋c 2＝b 2＋d 2，①

a 2＋d 2＝c 2＋

b 2，②a 2＋b 2＝

c 2＋

d 2，③

①－②得c 2－d 2＝d 2－c 2，∴c 2＝d 2.

因为c ≠d ，只能是c ＝－d ，④

同理可得c 2＝b 2，因为c ≠b ，只能c ＝－b ，⑤

比较④，⑤得b ＝d ，与已知b ≠d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在．