闭区间上连续函数的性质
闭区间上连续函数的性质
99§4.2 闭区间上连续函数的性质一、性质的证明定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数)(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到M >0.证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义，∈∀a [a,b]，取0ε=1，0δ∃>0,∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b],有|)(x f )(a f -|<1.从而∈∀x (00,δδ+-a a )⋂[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1即∈∀a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。
显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间{（kka k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n也覆盖闭区间[a,b] ，且∈∀x （k ka k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈∀x [a,b]，∈∃i {1，2,…，n},且∈x （iia i a i a a δδ+-,）⋂[a,b]，有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。
闭区间上连续函数的性质
例 在开区间(a b) 考察函数 yx
又如 如图所示的函数在闭区间[0 2]上无最大值和最小值
y
f
(x)
x 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0 x1
x 1
x 3 1 x2
二、零点定理与介值定理
教师备课纸
2
零点 如果 x0 使 f(x0 )0 则 x0 称为函数 f(x)的零点
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点 使得 f()0 即 34 210 (0<<1) 这等式说明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根是
课堂练习
P70,1,5 课后作业
P70,2,3
f()C 定理 3 的几何意义 连续曲线弧 yf(x)与水平直线 yC 至少交于一点
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值
例 1 证明方程 x 34x 210 在区间（0 1）内至少有一个根 证 函数 f(x) x 34x 21 在闭区间[0 1]上连续 又 f(0)1>0 f(1)2<0
教师备课纸
1
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值 对于在区间 I 上有定义的函数 f(x) 如果有 x0I 使得对于任一 xI 都有
f(x)f(x0 ) (f(x)f(x0 ))
则称 f(x0 )是函数 f(x)在区间 I 上的最大值（最小值）
例如 函数 f(x)1sin x 在区间[0 2]上有最大值 2 和最小值 0 又如 函数 f(x)sgn x 在区间( )内有最大值 1 和最小值1 在开区间(0 )内 sgn x 的最 大值和最小值都是 1 但函数 f(x)x 在开区间(a b)内既无最大值又无最小值
微积分2-8闭区间上连续函数的性质
微
积
分
推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最
大值之间的任何值 .
例2. 证明方程 一个根 . 证: 显然
在区间 又 使
内至少有
故据零点定理, 至少存在一点
即
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
微
积
分
内容小结
作业：P66第1、2题 在 在 在 4. 当 注意 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 1．闭区间； 2．连续函数． 使
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
不正确.
0 x1 x0 f (0) (1) 2e 0.
f ( x ) 在(0,1) 内连续,
但 f ( x ) 在(0,1) 内无零点.
微
积
分
例3 设函数 f ( Байду номын сангаас )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b) b. 证明 (a , b), 使得 f ( ) .
a x b
f ( 2 ) max f ( x)
a x b
o a 1 2
b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
微
积
分
例如, 无最大值和最小值 又如,
高等数学闭区间上连续函数的性质
0 x 1 x =1 1 x 2
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上 一定能取得它的最大值和最小值 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数 一定在该区间上有界 定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间 (a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异 号 那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连 续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b) 之间的任意一个数C 在开区间 (a b)内至少有一点x 使得f(x)=C •推论 在闭区间上连续的函数 必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值
第一章 函数 极限 连续
§10 闭区间上的连续函数
一、有界性与最大值最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数 在该区间上一定能取得它的 最大值和最小值
说明:定理说明 如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续 那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值 又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间 上一定能取得它的最大值和最小值 应注意的问题:1、闭区间；2、连续 例如 函数f(x)=x在开区间(a b)内既无 最大值又无最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 y = f (x) = 1 x 3
1-8-闭区间上连续函数的性质
个交点 ，如图 1-33 所示.定理的条件是充分的，如图
1-34，不满足定理条件的函数 g(x)也可能在a,b存在零点
.
y
y
y=f(x)
a
O
bx
Oa
bx
图1-33
图1-34
作为零点定理的应用，举例如下：
例 1 证明：五次代数方程x5 5x 1 0 在1, 2 内至
少有一个根.
证 初 等 函 数 f (x) x5 5x 1在 闭 区 间1, 2 上 连
成立.
图 1-31 给出了该定理的几何直 y 观图.
定理的条件是充分的，即当满足
定理条件，函数一定在闭区间上能得
最大值和最小值.
在不满足定理条件下，有的函数 O 也能取得最大值和最小值.如函数
f
(
x)
1 x2 , 1 x 0
在区间
2 x,0 x 2
1, 2内不连续，其最大值 f (0) 2，
对一般函数给出的方程 f (x) 0 是否也这样呢？
x2 1, 1 x 2
例如，函数
f
(
x)
1 , x 1 2
在区间2, 2 上有
x2 1, 2 x 1
定义，f (2) 5 ，f (2) 5 ，端点函数值异号，而在2, 2
内没有使 f (x) 0的点.问题出在 f (x) 在x 1 处间断，f (x)
k max M , m 显然对于任意 x a,b ， f (x) k 都成
立.
二、介值定理
如果x0 使 f (x0 ) 0 ，则x0 称为函数 f (x) 的零点.
在代数学中，对多项式P x 来说，可用P(x) 在某个区
间两端的符号来估计方程P(x) 0 的根的位置.例如，
高等数学闭区间上连续函数的性质
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很 容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同 的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是 否异号。
如果异号，则根据零点存在性定 理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析， 如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定 理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最 值性质都是重要的研究对象，具有广 泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续， 且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。
闭区间上连续函数的性质(详细版)
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
•推论
在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m 之间的任何值
14
高等数学 ● 戴本忠
设函数 f ( x)在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取
f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
应注意的问题:
并非任何函数都有最大值和 最小值
例 如 ， 函 数 f(x)=x在 开 区 间 (a b)内既无最大值又无最小值
4
高等数学 ● 戴本忠
例如, y = 1 sin x, 在[0, 2 ]上, ymax = 2, ymin = 0;
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
证明 设 f(x)=x34x21 则f(x)在闭区间[0 1]上连续
并且
f(0)=1>0 f(1)=2<0
根据零点定理 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 34x 21=0
这说明方程x34x21=0在区间(0 1)内至少有一个根是x
12
高等数学 ● 戴本忠
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 *三、一致连续性
高等数学：第四讲 闭区间上连续函数的性质
目录
01 有界性与最大值最小值定理 02 介值定理与根的存在定理
（一） 有界性与最大值最小值定理
定理1.3.5（有界性与最大值最小值定理） 若函数f（x）在闭区间［a,b］上连续，则函数f（x） 在闭区间［a,b］上有界且一定能取得它的最大值和 最小值.
（一） 有界性与最大值最小值定理
谢谢
（一） 有界性与最大值最小值定理
又如函数: f（x）=
｛x +１，-１≤ x <０， 0, x = 0， x -１， 0 < x ≤１
它在［－１，１］上有定义， 但 在x ＝０ 处间断， 不难看出， 函 数在［－１，１］上既无最大值 也无最小值．
（二） 介值定理与根的存在定理
定理1.3.6（介值定理） 若函数f（x） 在闭区间
［ a，b］上连续，且f（a） ≠f（b），则对介于f（a）与 f（b）之间的任意实数c ,在 （a，b）内至少存在一点ξ， 使得f（ξ）= c（a <ξ< b） 成立．
如图１.１３ 所示，结论 是显然的，因为f（x） 从 f（a） 连续地变到f（b） 时， 它不可能不经过c值
特别地， 当f( a)与f(b)异号时， 由介值 定理可得下面的根的存在定理。
这个定理的几何意义更明 显， 如图１.１４， 由条 件f（a）·f（b）<０， 说 明闭区间［a，b］ 上连 续曲线的两个端点（a，f （a））和(b，f( b) )分布 在x 轴的上下两侧， 连续 曲线上点的纵坐标从正 值变到负值， 或从负值变 到正值都必然要经过０， 即曲线必然要和x 轴相 交．设交点横坐标为 ξ， 则有f(ξ) =0
• 定理结论 从几何直观上看是明显 的（如图１.１１）， 闭区间上的 连续函数的图像是包括两个端点 的一条不间断的曲线， 该曲线上 最高点P 和最低点Q 的纵坐标分 别是函数的最大值M和最小值m， 函数在该区间上是有界的
闭区间上连续函数的性质
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 例如 函数f(x)x在开区间(a b) 内既无最大值又无最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断 点 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值 又如 如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
1
（六）初等函数的连续性 结论： 初等函数在其定义区间上是连续的。
二.闭区间上连续函数的性质 1.有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于 任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
[证 ]
构造辅助函数
令 g( x ) f ( x )
则 g( x ) C[a, b], g(a ) g(b) 0
运用零点定理, 知存在 x (a, b), 使满足
g(x ) 0
f (x )
[例] 设f ( x ) C[0,1], 且满足0 f ( x ) 1，
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么 在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)0
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于 f(a)与f(b)f(x)C >>>
5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 1 x 1 x 1 x2 x3 5 7 16 lim f ( x ) lim ( ) x 2 x 2 x 1 x2 x3
数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明
第七章 实数的完备性2 闭区间上连续函数性质的证明有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得|f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x kn =ξ. 由a ≤x kn ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x kn )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x kn )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界.最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值.证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，f 的值域f([a,b])有上确界，记为M.若对一切x ∈[a,b]都有f(x)<M. 令g(x)=f(x )-M 1, x ∈[a,b]， 则g 在[a,b]上连续且有上界. 设g 有上界G ，则 0<g(x)=f(x )-M 1<G, x ∈[a,b]，得f(x)<M-G1与M 为f([a,b])的上确界矛盾. ∴必存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M ，即f 在[a,b]上有最大值.同理可证f 在[a,b]上有最小值.介值性定理：设函数f 在闭区间[a,b]上连续，且f(a)≠f(b). 若μ是介于f(a)与f(b)之间的任何实数，则存在x 0∈[a,b]，使得f(x 0)=μ. 证法一：(应用确界原理)不妨设f(a)<μ<f(b)，令g(x)=f(x)-μ, 则 g 在[a,b]上连续，且g(a)<0, g(b)>0.记E={x|g(x)>0, x ∈[a,b]}，则E 非空有界，E ⊂[a,b]且b ∈E ， 由确界原理，E 有下确界，记x 0=inf E.∵g(a)<0, g(b)>0，由连续函数的局部保号性，存在δ>0，使得 在[a,a+δ]内g(x)<0，在[b-δ,b]内g(x)>0， ∴x 0≠a, x 0≠b, 即x 0∈(a,b). 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，则又由局部保号性，存在U(x 0,η)⊂(a,b)， 使其内有g(x)>0，特别有g(x 0-2η)>0=>x 0-2η∈E 与x 0=inf E 矛盾， ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.证法二：(应用区间套原理)同证法一令g(x)=f(x)-μ.将[a,b]二等分为[a,c]与[c,b]. 若g(c)=0，则c 为所求.若g(c)>0，则记[a 1,b 1]=[a,c]，若g(c)<0，则记[a 1,b 1]=[c,b]，则g(a 1)<0,g(b 1)>0且[a 1,b 1]⊂[a,b]，b 1-a 1=21(b-a).从区间[a 1,b 1]出发，重复上述过程，得g(c 1)=0或g(a 2)<0,g(b 2)>0且[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，b 2-a 2=221(b-a). 不断重复以上过程，可得g(c n )=0或g(a n+1)<0,g(b n+1)>0且[a n+1,b n+1]⊂[a n ,b n ]，b n -a n =n 21(b-a), n=1,2,…. 即{[a n ,b n ]}是闭区间套，由区间套定理知，存在x 0∈[a n ,b n ], n=1,2,… 若g(x 0)≠0，不妨设g(x 0)>0，由局部保号性，存在U(x 0, δ)， 使其内有g(x)>0.又当n 充分大时，有[a n ,b n ]⊂U(x 0, δ)，∴g(a n )>0矛盾. ∴g(x 0)=0，即f(x 0)=μ.一致连续性定理：若函数f 在[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续. 证法一：(应用有限覆盖定理)由f 在[a,b]上的连续性，任给ε>0， 对每一点x ∈[a,b]，都存在δx >0，使得当x 0∈U(x,δx )时有|f(x 0)-f(x)|<2ε. 令H={U(x,2δx )|x ∈[a,b]}，则H 是[a,b]的一个开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集H ’={U(x i ,2δi )|i=1,2,…,k}， H ’覆盖了[a,b]. 记δ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2δmin i k i 1>0. 对任何x 1,x 2∈[a,b]，|x 2-x 1|<δ. x 1必属于H ’的某个开区间U(x i ,2δi )，即|x 1-x i |<2δi ，则有 |x 2-x i |≤|x 2-x 1|+|x 1-x i |<δ+2δi ≤2δi +2δi =δi ， 又|f(x 1)-f(x i )|<2ε, |f(x 2)-f(x i )|<2ε, 有|f(x 2)-f(x 1)|< ε.∴f 在[a,b]上一致连续.证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上不一致连续，则存在某ε0>0，对任何δ>0，都存在相应的两点x ’,x ”∈[a,b]， 尽管|x ”-x ’|<δ, 但有|f(x ”)-f(x ’)|≥ε0.令δ=n 1(n 为正整数)，与它相应的两点记为x ’n ,x ”n ∈[a,b]， 尽管|x ’n -x ”n |<n1, 但有|f(x ’n )-f(x ”n )|≥ε0.当n=1,2,…时，可得数列{x ’n }与{x ”n }⊂[a,b].由致密性定理，存在{x ’n }的收敛子列{x ’k n }，设x ’k n →x 0∈[a,b](k →∞)， 由|x ’k n -x ”k n |<kn 1=>| x ”k n -x 0|≤| x ”k n - x ’k n |+| x ”k n -x 0|→0(k →∞)，得 x ”kn →x 0(k →∞)，又由f 的连续性及数列极限的保不等式性，得：0=|f(x 0)-f(x 0)|=∞→k lim |f(x ’k n )-f(x ”kn )|≥ε0，与ε0>0矛盾， ∴f 在[a,b]上一致连续.习题1、设f 为R 上连续的周期函数. 证明：f 在R 上有最大值与最小值. 证：设f 的周期为T ，∵f 在[0,T]上连续，∴有最大值f(M)和最小值f(m)， M,m ∈[0,T]. 任给x ∈R ，则存在某整数k ，使x ∈[kT,(k+1)T]， ∴x-kT ∈[0,T]，从而有f(m)≤f(x)=f(x-kT)≤f(M)，∴f(M)=R x max ∈{f(x)}, f(m)=Rx min ∈{f(x)}，即 f 在R 上有最大值f(M)与最小值f(m).2、设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界，举例说明此结论当I 为无限区间时不一定成立.证：设区间I 的左右端点为a,b. ∵f 在I 上一致连续，∴对ε=1， 存在δ>0，不妨取δ<2a -b , 当|x ’-x ”|<δ(x ’,x ”∈I)时，有|f(x ’)-f(x ”)|<1. 令a 1=a+2δ, b 1=b-2δ, 则a<a 1<b 1<b.∵f 在[a 1,b 1]上连续，∴f 在[a 1,b 1]上有界，设|f(x)|≤M 1, x ∈[a 1,b 1]. 当x ∈[a,a 1)∩I 时，∵0<a 1-x<2δ<δ，∴|f(x)-f(a 1)|<1, 有|f(x)|<|f(a 1)|+1. 同理当x ∈(b 1,b]∩I 时，有|f(x)|<|f(b 1)|+1.令M=max{M 1,|f(a 1)|+1,|f(b 1)|+1}，则对一切x ∈I ，必有|f(x)|≤M. ∴f 在有限区间I 上有界.例证：y=x 2, x ∈R 一致连续，但∞→x lim x 2=+∞无界.3、证明：f(x)=x sinx 在(0,+∞)上一致连续. 证：∵∞→x lim xsinx =0，由柯西收敛准则知，对∀ε>0，存在M 1>0，使 当x ’,x ”>M 1时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε. 又∵0x lim →xsinx =1，同理可知， 存在M 2>0，使当0<x ’,x ”<M 2时，有|f(x ’)-f(x ”)|<ε.将(0,+∞)分成三个相交的区间(0,M 2],[2M 2,M 1+2M 2]和[M 1,+∞). ∵f 在[2M 2,M 1+2M 2]连续，∴f 在[2M 2,M 1+2M 2]一致连续. 从而必存在δ>0(δ<2M 2)，当x ’,x ”∈[2M 2,M 1+2M 2]且|x ’-x ”|<δ时，有 |f(x ’)-f(x ”)|<ε. 于是对一切x ’,x ”∈(0,+∞)，当|x ’-x ”|<δ时， x ’,x ”必属于上述区间之一，且都有|f(x ’)-f(x ”)|<ε，∴f 在(0,+∞)上一致连续.4、试用有限覆盖定理证明根的存在性定理.证：设f在[a,b]上连续，且f(a),f(b)异号，不妨设f(a)<0, f(b)>0.若在(a,b)内没有f(x)=0的根，即对每一个x∈(a,b)，都有f(x)≠0，从而对一切x∈[a,b]，有f(x)≠0. 由f的连续性，对每一个x∈[a,b]，存在δx >0，使得f在U(x,δx)∩[a,b]上同号，而H={(x,δx)|x∈[a,b]}是[a,b]的一个开覆盖，由覆盖定理知在H中必存在有限个开邻域H’={(x j,δj)|x j∈[a,b], j=1,2,…,n}覆盖[a,b]，设a∈(x k,δn)(k为1,2,…,n中某一个值)，则f(x)<0, x∈(x k,δk n)∩[a,b].k又∵H’覆盖了[a,b]，∴恒有f(x)<0, x∈[a,b]，即f(b)<0矛盾.∴在(a,b)内f(x)=0至少有一个根. 根的存在性定理得证.5、证明：在(a,b)上连续函数f为一致连续的充要条件是f(a+0)、f(b-0)存在且有限.证：[必要性]设f在[a,b]一致连续，则对任给的ε>0，存在δ>0，使当x’,x”∈(a,b)且|x’-x”|<δ时，有|f(x’)-f(x”)|<ε，则有当x’,x”∈(a,a+δ)时，有|x’-x”|<δ，从而有|f(x’)-f(x”)|<ε，由函数极限的柯西准则知f(a+0)存在且为有限值，同理可证f(b-0)存在且为有限值.[充分性]设f在(a,b)，且f(a+0)、f(b-0)存在且有限，补充定义f(a)=f(a+0), f(b)=f(b-0)，使f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴f在[a,b]一致连续.。
闭区间连续函数的性质
4 3 3e 0 f (4) 4 e 1
根据零点定理 , 在开区间 ( 0 , 4 ) 内至少存在一点
( 0,4 ), 使 f( ) 0 , 原命题得证 .
12
三、小结 四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
2
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
y
y f( x )
y
y f( x )
1 证明 令 F ( x ) f ( x ) f ( x ), 2
1 证明必有一点 [ 0 , 1 ] 使得 f ( ) f ( ). 2
1 则 F (x ) 在 [ 0 , ] 上连续 . 2 1 1 1 F ( )f( 1 ) f( ), F ( 0 ) f( ) f( 0 ), 2 2 2 1 0 ) f( 0 ); F ( 0 ) 0 , 则 0 , f( 讨论: 若 2 1 1 1 1 1 若 F( ) 0, 则 , f( )f( ); 2 2 2 2 2
( x ) ,使 F ( )0, 即 故由零点定理知 , 存在 1,x 2
f () f ( x ) f ( x ) . 1 2
11
x 3 x e 1 证明 例5 至少有一个不超过 4 的
正根 .
x 3 f ( x ) x e 1 证： 令
显然 f ( x ) 在 闭 区 间 0 , 4 上 连 续 , 且
闭区间连续函数的四个定理
闭区间连续函数的四个定理
闭区间上的连续函数具有许多重要的性质，其中包括四个定理：
1.有界性定理：闭区间上的连续函数必定是有界的。
2.最大值最小值定理：闭区间上的连续函数必定存在最大值和最小值。
3.介值定理：闭区间上的连续函数必定取遍其最大值和最小值之间的所有值。
4.一致连续性定理：闭区间上的连续函数必定是一致连续的。
这些定理在分析数学中扮演着重要的角色，它们为我们理解和应用连续函数提供了有力的工具和基础。
- 1 -。
闭区间上连续函数的性质
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结束
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连 续的函数一定有最大值和最小值.
那么在开区间 a, b 内至少有函数 f ( x )的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 。即方程
f ( x ) 0 在( a , b ) 内至少存在一个实根。
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结束
几何解释:
y
y f ( x)
a o
1 2
3
b x
第八节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最大值和最小值定理 二、介值定理 三、一致连续性定理
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一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I 上有定义的函数 f ( x ) , 如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有
f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值 .
结束
三、一致连续性
定义 1 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义,如果 对任意给定的正数 ,总存在正数 ，使得对 于区间 I 上的任意两点 x1 , x2 ， x1 x2 当 时，有
f ( x1 ) f ( x2 )
那么就称函数 f ( x ) 在区间 I 上一致连续.
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例 试确定方程 x3 2x2 5x 1 0 实根
的个数和大致范围
H.W 习题2 39 41 42
本章要点 1. 理解极限的概念，知道其定义的含义，了解
自变量不同趋势时(x，xa，双侧、单侧）
各种极限的区别，用ε－δ(或N)语言做证明类
并非要求的重点。
Chap 2.6
闭区间连续函数的性质
有界性定理 若 f (x)C [a,b]，则f (x)在[a,b]有界
➢ 联系函数曲线考虑,开区间行不行？
最值定理
若 f (x)C [a,b]，则1、2[a,b]，使得
f
(1)
max
x[ a ,b ]
f
(x),
f
(2 )
n
x[ a ,b ]
f
(x),
零点存在定理
若 f (x)C [a,b]，f (a)f (b) < 0, 则(a,b)，
使得
f ( ) 0
➢ 推论
若 f (x)C [a,b]，M,m(M> m)分别是 f (x)在[a,b]
的最大值和最小值，则(m, M)，(a,b) 使得
f ( )
想一想 怎样证明推论？
例 f (x)C [a,b]，当x[a,b]，a < f (x) < b
试证：(a,b),使 f()=
例 f (x)C [0,a] (a > 0) , f (a) = f (0) =0 ,f (x)在
(0,a)恒正，试证：l(0,a), (0,a- l)，使
f ( ) f ( l)
例 f (x)C [a, +)，f (a) < 0, lim f (x) A 0 x
2. 了解各类型极限的性质和运算法制，会应用 这些法则，重要的是求复合函数极限
3. 会用夹逼定理和单调有界极限存在定理求某 些极限
4. 了解两个重要极限，但注意不必过分注重把 函数化为这两种形式来求极限的方法，这两个 极限告诉我们
x 0 时， sin x ~ x, ln(1 x) ~ x
5. 重视求极限的重要方法：利用等价无穷小替换 但是只有式子中无穷小因子才能进行替换
sin ~ , 1 cos ~ 1 2, tan ~ 2
ln(1 ) ~ , e 1 ~ , (1 ) 1 ~
arcsin ~ , arctan ~ 由上述等价无穷小，还可了解一些无穷小的阶 6. 连续的函数，极限符号可以通过函数符号 7. 应该了解闭区间上连续函数的性质，但应用 的重点是零点存在定理