微分方程的基本概念

求函数关系是数学中的重要问题。然而，在实际中有时很难直接找出函数关系，我们所得到的仅是含有未知函数及其导数的关系式，称之为微分方程.我们的任务就是求解微分方程，找出未知函数。本章将介绍一些微分方程的基本概念和几种常用的微分方程的解法.

微分方程的基本概念

下面通过几个例题来说明微分方程的基本概念.

例1 一曲线通过)2,1(点，且在该曲线上任一点),(y x 处

的切线的斜率为x 2，求曲线的方程.

解 由导数的几何意义可得

x dx

dy 2= ① 此外，未知函数)(x y y =还应满足条件

1=x 时，2=y （或写成21==x y ） ②

在式①两端积分，得

C x y +=2

, ③

其中C 为任意常数.将条件②代入式③中，得1=C ， 于是得所求曲线的方程为

④

12+=x y

我们知道式③表示一族曲线，

曲线族中的每一条曲线的函数

代入式①中都成为恒等式，

而式④仅表示是其中的一条，它是通过点()2,1的.

从以上例子中，可归纳出如下一些基本概念.

（一）微分方程：含有自变量、未知函数以及未知函数导数或微分的方程叫微分方程（以下简称方程）。在方程中出现的未知函数导数的最高阶数成为微分方程的阶，n 阶微分方程的一般形式为

()(,,,,,)0n F x y y y y '''= ⑤

如式①为一阶微分方程.

（二）解：一个函数代入微分方程后，使其成为恒等式，则该函数称为微分方程的解.

含有任意常数，且独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相等的解，称为微分方程的通解或一般解.不含任意常数的解叫特解.

若I x x y ∈=),(ϕ为方程⑤的解，则有

()[,(),(),,()]0n F x x x x φφφ'≡， I x ∈.

方程⑤的通解应含有n 个独立的任意常数， 其通解有时用隐函数表达式

12(,,,,,)0n x y C C C Φ= 表示. ⑥

例如:式③为方程①的通解.

12,2.x dy x dx y =⎧=⎪⎨⎪=⎩

（三）初始条件和初值问题：

用来确定特解的条件叫初始条件，n 阶方程确定特解的条件为

00y y x x ==, 00y y x x '='=,

)1(0)1(0-=-=n x x n y y . ⑦

求微分方程满足初始条件的特解的问题叫初值问题. 如例1中的问题就是初值问题