微分方程的基本概念

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§4.1 微分方程的基本概念

原方的通解为 y tan( x C ) x.
dx Q( x, y) 则称其为一阶微分方程的典则形式.
也可写为： P x, ydx Q x, ydy,
称为微分方程的对称形式。
“对称”指方程关于变量 x 和 y 对称。
y y x或 x x y
dy dx
P Q
x, x,
y y
Q x, y 0
或
dx dy
Q P
x, x,
y y
P x, y 0.
一、可分离变量的微分方程
形如 g( y)dy f ( x)dx
的微分方程称为可分离变量的微分方程.
例如
dy dx
2x2
4
y5
4
y 5dy
2 x 2dx,
解法设函数g y 和 f x 是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G y和F x 依次为g y 和 f x 的原函数,
故 x C1 coskt C2 sinkt是原方程的解.
x A, dx 0,
t0
dt t0
C1 A, C2 0. 所求特解为 x Acoskt.
一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式：
F x, y, y 0.
若方程可解出 y′, 即
y f x, y dy P( x, y)
y 2x2 y sin x y 2
y y x3 y 0,
线性微分方程
x( y)2 2 yy x 0;
y y x3 y2 0,
d 2
dt 2
3sin
0.
非线性微分方程
三、微分方程的解及积分曲线
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.

微分方程的基本概念

第十二章微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。

高中数学微分方程的概念及相关题目解析

高中数学微分方程的概念及相关题目解析微分方程是数学中的一门重要分支，它是研究函数与其导数之间关系的数学工具。

在高中数学中，微分方程作为一种常见的题型，经常出现在考试中。

掌握微分方程的概念和解题方法对于高中学生来说至关重要。

本文将详细介绍微分方程的概念，并通过具体的题目解析，帮助读者更好地理解和掌握微分方程的相关知识。

一、微分方程的概念微分方程是描述函数与其导数之间关系的方程。

一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。

常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，而偏微分方程则涉及多个自变量的导数。

常微分方程可以进一步分为一阶常微分方程和二阶常微分方程。

一阶常微分方程中，未知函数的导数最高阶为一阶；二阶常微分方程中，未知函数的导数最高阶为二阶。

二、一阶常微分方程的解析下面通过一个具体的题目来解析一阶常微分方程的解法。

例题：求解微分方程dy/dx = 2x解析：根据题目中的微分方程，我们可以得到dy = 2xdx。

将方程两边同时积分，得到∫dy = ∫2xdx。

对方程两边进行积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

这个例题中，我们通过对方程两边同时积分，得到了一阶常微分方程的解。

通过这个解析过程，我们可以发现，一阶常微分方程的解法主要是通过对方程两边进行积分来求解的。

三、二阶常微分方程的解析下面通过一个具体的题目来解析二阶常微分方程的解法。

例题：求解微分方程d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = 0解析：这是一个二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法来求解。

首先，我们设y = e^mx，其中m为待定常数。

将y代入微分方程中，得到m^2e^mx + 2me^mx + e^mx = 0。

将方程两边同时除以e^mx，得到m^2 + 2m + 1 = 0。

解这个二次方程，我们可以得到m = -1，-1。

因此，方程的通解为y = (C1 +C2x)e^(-x)，其中C1和C2为常数。

微分方程的基本概念

第九章微分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.分布图示★ 引言★ 微分方程的概念★ 例1★ 例2★ 微分方程解的概念★ 例3★ 例4 ★ 内容小结★ 习题9—1内容要点一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式：)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲微分方程的概念例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程)20(--=T k dt dT(1)其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意，)(t T T =还需满足条件.100|0==t T (2)例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程g dt xd =22其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，)(t x x =还需满足条件.0,0)0(0===t dt dxx微分方程的解例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程)0(0222≠=+k x k dt xd的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,|00====t t dt dxA x 的特解. 解求出题设函数的一阶及二阶导数:)1(,cos sin 21kt k C kt k C dtdx+-=).sin cos (11222kt k C kt k C k dt xd +-= 把它们代入题设微分方程, 得0)sin cos ()sin cos (212212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得;1A C = 将初值条件0|0==t dt dx代入（1）, 得,02=C于是, 所求的特解为.cos kt A x =例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dx dy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx dy代入方程左边得x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π.42π-=C从而所求特解为.s i n 422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π.。

微分方程认识微分方程的基本概念与解法

微分方程认识微分方程的基本概念与解法微分方程：认识微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、生物等领域。

本文将介绍微分方程的基本概念和解法，以帮助读者对微分方程有更深入的认识。

一、微分方程的定义和分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

一般可分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程仅涉及一个独立变量，而偏微分方程则涉及多个独立变量。

常微分方程还可根据阶数进行分类，其中阶数为二的方程较为常见。

例如，一阶线性微分方程可表示为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数；二阶线性微分方程可表示为d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = r(x)，其中p(x)，q(x)，和r(x)是已知函数。

二、解微分方程的基本方法1. 可分离变量法当微分方程可通过分离变量后进行变量代换，使之变为两个纯变量相乘的形式时，可利用可分离变量法解方程。

具体步骤为将方程两端分离相乘并求积分，最后解出未知函数。

2. 线性微分方程的齐次与非齐次解法线性微分方程是指可写成dy/dx + p(x)y = q(x)形式的方程。

对于齐次线性方程dy/dx + p(x)y = 0，可通过变量代换将其转化为一阶可分离变量方程进行求解。

对于非齐次线性方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可通过常数变易法求得非齐次线性微分方程的一个特解，并将通解与特解相加得到最终解。

3. 常系数线性微分方程的解法常系数线性微分方程是指方程中的系数与自变量无关。

一般形式为dⁿy/dxⁿ + a₁dⁿ⁻¹y/dxⁿ⁻¹ + ... + an-1dy/dx + any = 0。

解常系数线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。

4. 齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程是指方程中非齐次项为零的方程。

解齐次线性微分方程的方法是先猜解，再通过代入方程进行求解。

微分方程

（2）绘制过散点的折线；（3）以散点建立数学模型。
例2 设某次实验的测量数据如表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
1
2.3 2.1 2
4.6 4.7 4.3 8.1
9.2
9.8
10.3
请给出实验数据的曲线拟合
0.267x3 1.55x2 2.583x 1 0 x3 3 y 0.3333x 5.25x2 27.0167x 40.8 3 x6 4 3 2 - 0.075x 2 . 6167x 34 . 175x 198.6333x- 425.2 6 x 10
F ( x , ( x ), ( x ), ( n ) ( x )) 0
那么，函数 ( x ) 就叫做微分方程在区间 I 上的解通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
引例1
dy dx
2x
x 1
d2y
y2引例2来自dx2 0.4
四、MATLAB介绍 1、求解方程 2、曲线拟合
例1 设某次实验的测量数据如表 x 1 2 3 4 4 6 7 8 9 y 0 0.33 0.50 0.62 0.75 0.8 0.82 0.93 1.00 问题
（1）绘制测量数据的散点图，并观察散点的走向，预测一下应用什么样的数学模型描述之；
y2 sin x 且 tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
故方程的通解为
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解

微分方程的基本概念

微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。

微分方程的基本概念与解法

微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，旨在描述自然界中的各种变化和变化规律。

在数学和其它领域中，微分方程的表述方式和求解方法应用广泛，是研究数学和自然科学必备的基础知识之一。

本文结合一些例子，介绍微分方程的基本概念、分类和解法。

一、微分方程的定义和表示微分方程简单来说是一个含有未知函数及其导数的方程。

我们假设所要研究的函数是y=f(x)，f(x)的n阶导数为y^(n)，则微分方程可表示成以下形式：F(x, y, y', y'',..., y^n)=0，其中y'=dy/dx，y''=d^2 y/dx^2，y^n=d^n y/dx^n。

例如，一阶常微分方程dy/dx=f(x)，则可表示成F(x, y, y')=y'-f(x)=0。

二、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。

1、常微分方程常微分方程只涉及一个自变量，例如dy/dx=f(x)或y''+p(x)y'+q(x)y=0。

一些常见的常微分方程类型包括：一阶线性方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，可用一阶常系数线性微分方程的方法求解；二阶线性齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0，可用常系数线性微分方程的方法求解；二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可用常系数非齐次线性微分方程的方法求解。

2、偏微分方程偏微分方程涉及多个自变量，例如p(x,y)∂u/∂x+q(x,y)∂u/∂y=r(x,y)。

该方程式中，u是自变量x和y的函数，偏导数∂u/∂x和∂u/∂y亦为u的函数。

三、微分方程的解法解微分方程可以使用以下方法：1、分离变量法对于一类形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以通过将方程中的变量分离并进行积分得到其解，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。

微分方程的基本概念

第一章常微分方程微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要渠道之一。

它是研究许多自然科学、工程技术以及生物技术、农业、经济学等诸多问题的有力工具。

因而微分方程具有重要的应用价值。

本章主要介绍常微分方程的一些基本概念，以及求解几种常用的微分方程的一些最基本的解法。

§1－1 微分方程的基本概念下面我们通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念。

例1 一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点M(x ，y ）处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程。

解设所求的曲线方程为y=y(x),则根据导数的几何意义可知，未知函数y=y(x)应满足下面的关系：x dxdy2= ， (1) 且当x=1时,y=2. 即y(1)=2 (2) 对（1）式的x dxdy2=两端积分，得 y=C x xdx +=⎰22 (3) 其中C 是任意常数。

将y(1)=2代人，得C=1. 代人(3)式，即得所求曲线方程 12+=x y （4）例2一质量为m 的质点，从高h 处，只受重力作用从静止状态自由下落，试求其运动方程．解在中学阶段就已经知道，从高度为h 处下落的自由落体，离地面高度s 的变化规律为s =h －21g t 2，其中g 为重力加速度．这个规律是怎么得到的呢？下面我们给出推导过程．取质点下落的铅垂线为s 轴，它与地面的交点为原点，并规定正向朝上．设质点在时刻t 的位置在s (t )（如图1-1）力的作用(空气阻力忽略不计)，由牛顿第二定律F =ma ，得 m 22)(dtt s d =－m g ．即 22)(dtt s d =－g (5) 图1-1根据质点由静止状态自由下降的假设，初始速度为0，所以s =s (t )还应满足下列条件 s | t =0=h ，dtds| t =0=0， (6) 对(6)式两边积分，得dtt ds )(=－g ⎰dt =－g t +C 1 ， (7) 两边再积分，得s (t )=⎰+-dt C gt )(1=－21g t 2+C 1t +C 2 ，(8)其中C 1，C 2均为任意常数．将条件(7)代入(8)，(9)式，得C 1=0， C 2=h ．于是所求的运动方程为s (t )= －21g t 2+h ． (9) 上述两个例子中的关系式（1）和（5）中，都含有未知函数的导数，自变量也都只有一个，且方程都附加有一定的条件。

初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法

初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。

本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。

一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

在初中数学中，我们主要学习常微分方程。

1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。

一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。

1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。

高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。

二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。

2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。

具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。

2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。

具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。

2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。

解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。

微分方程的基本概念与解法

微分方程是研究变量之间相互关系的数学工具，它在自然科学、工程技术等领域有着广泛应用。

本文将从微分方程的基本概念和解法两个方面进行介绍。

微分方程的基本概念主要包括方程的定义、阶数、常微分方程和偏微分方程等内容。

首先，微分方程是包含未知函数及其导数的方程，例如dy/dx+f(x)y=g(x)就是一个一阶常微分方程。

其次，阶数是指微分方程中出现的最高阶导数的阶数，比如dy²/dx²+2y=0是二阶常微分方程。

常微分方程与偏微分方程的区别在于常微分方程中未知函数是一个自变量的函数，而偏微分方程中未知函数是多个自变量的函数。

微分方程的解法可以分为常微分方程的解法和偏微分方程的解法两部分。

在常微分方程的解法中，常见的方法有变量分离法、两个常微分方程的相减法、特解叠加法等。

变量分离法是指将方程中的未知函数和导数分开，通过两边积分得到解。

两个常微分方程的相减法是指将两个方程相减得到一个新的方程，从而简化问题的求解。

特解叠加法是指将方程的通解和特解相加得到问题的解。

偏微分方程的解法相对较为复杂，常用的方法有分离变量法、特征线法、变换法等。

分离变量法是指将方程中的未知函数分开，进行变量的分离，从而得到简化的方程组。

特征线法是根据方程的特征线来求解问题，通过引入新的变量降低方程的阶数。

变换法是通过对方程进行一定的变量代换，将原问题转化为一个更加简单的方程。

微分方程的解不仅仅是函数，还可以是曲线、曲面等几何对象。

解的存在性和唯一性是对微分方程解的重要性质进行刻画的定理。

解的存在性是指在一定的条件下，微分方程一定存在解。

而解的唯一性则是指在一定的条件下，微分方程的解是唯一的。

通过解的存在性和唯一性可以方便地对微分方程进行求解和判断。

综上所述，微分方程是研究变量之间相互关系的重要数学工具。

通过对微分方程的基本概念和解法进行了解，我们可以更好地掌握微分方程的理论和应用。

不同类型的微分方程有着不同的解法，我们需要根据具体问题选择合适的解法来求解微分方程。

微分方程及其分类

一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2) ，且在该曲线上任一点 M(x,y)切线的斜率为 2x ，求这曲线的方程。
解设所求曲 y线 y(x)为。则y有 2x 对上式两边积分有 y x2 C
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即满y足 x12
和
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是所以方程(10.2.11)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型．
把 y x 0 条 0 代 y 件 C 1 入 s2 i x n C 2 c2 x o 得 , s C2 1
把 y x 0 条 1 代 y 件 2 C 1 入 c 2 x o 2 C 2 s s2 x i得 n ,
C1
1 ,
2
因此方程满足初始条件的特解为
y1sin2xco2sx 2
3.微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶的微分方程？
(1y)x2ysin x (2)xy d(1x x2)d y0
(3)yy0
(4 )y3yx1
(5)x(y)2x21 (6)y33y2x4
解（1）是，1阶；（3）是，2阶；（5）是，1阶；
2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：
(1)若为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解；
(2) 若则 3．线性偏微分方程的叠加原理

微分方程

u( x ) P ( x )e
P ( x ) dx
P ( x )u( x )e
P ( x ) dx
Q( x )
29
u( x )e
P ( x ) dx
P ( x ) dx Q( x ) u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx 积分得 u( x ) Q( x )e dx C ,
(1 e u ) e u x C
所求通解: ln(1 e
x y
) y C ( C 为任意常数 )
11
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成正比,已知 M
t 0
M0 , 求衰变过程中铀含量
dx y x 0 3.
4
微分方程的解的图形是一条曲线，叫微分方程的积分曲线。 d2x 2 例函数 x cos kt , x sin kt 是微分方程 2 k t 0 dt 的解，通解是 x C1 cos kt C2 sin kt .
5
第12章微分方程
2
(1 y )d x y( x 1)d y 0
可分离变量的微分方程解法
dy 形如 f ( x ) g( y ) dx dy f ( x )dx ( g( y ) 0) 解法 g( y )
分离变量

dy f ( x )dx g( y )
两端积分求得微分方程的解.
y e e
C1
P ( x ) dx
Ce
P ( x ) dx
.
27
2. 线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx

微分方程的概念

3 又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得 C . 2 3 1 所以，求此曲线的方程为 x . 2 y
一般地，微分方程的每一个解都是一个一元
函数 y = y(x) ，其图形是一条平面曲线，我们称它为微分方程的积分曲线. 通解的图形是平面上的
一族曲线，称为积分曲线族，特解的图形是积分曲线族中的一条确定的曲线. 这就是微分方程的通解与特解的几何意义.
(3) mv(t) = mg - kv(t)；
1 2 y 1 y ; ( 4) a d 2q g (5) 2 sinq 0 ( g , l 为常数). dt l 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，
称为微分方程的阶. 例如，方程 (1) - (3) 为一阶微分方程，方程 (4) - (5) 为二阶微分方程. 通常，n 阶微分方程的一般形式为 F(x, y, y, , y(n)) = 0，
第五模块
第一节
微分方程
微分方程的基本概念
一、微分方程二、微分方程的解
第五模块
第一节
微积分学的应用
微分方程的基本概念
一、微分方程二、微分方程的解
一、微分方程
定义 1 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称做常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称做偏微分方程. 本教材仅讨论常微分方程，并简称为微分方程. 例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). (1) y= kx, k 为常数； (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为
初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.

微分方程的基本概念

例 4．求方程 y 2dx ( x 2 xy)dy 0 的通解。
y 2 ( ) dy y2 dy 解：， x dx y dx xy x 2 1 x
y dy du 令 u ，则 y ux ， u x ， x dx dx
dx u1 dx 1 du ， (1 )du ， x u x u
∴所求曲线方程为 y x 2 2 。
例 2．设自由落体下落的加速度为常数g ( g 0) ，且初始位置为 0，初速度为 v ，求自由落体的运动规律。
S 解：设自由落体运动的路程随时间的变化规律为 S (t ) ，
则有
d 2S dt
2
g ，
①
dS 且 S t 0 0, ② t 0 v . dt dS 将①式两边对t 积分得 gt C1 ， ③ dt
1 x y 2 xy 2 的通解。例2．求微分方程 y
解: y (1 x )(1 y 2 ) ，
分离变量，得 dy 1 y 2 (1 x )dx ，
x2 两端积分，得： arctan y x C ， 2 x2 即 y tan( x C ) 。 2
k 2 y k 2 y 0, 所以函数①是方程②的解。
d2y dx2
又函数 y C1 cos kx C 2 sinkx 中含有两个独立的任意常数，
方程
k 2 y 0( k 0) 为二阶微分方程，
故函数①是方程②的通解。
将条件 y
x 0 A
代入通解 y C 1 cos kx C 2 sinkx ，
tan( x y ) sec( x y ) x C 。
函数是显式的，则称为显式解；若是隐式的，则称为隐式解。

微分方程的基本概念

微分方程的基本概念微分方程是数学中重要的研究对象，它在自然科学、工程技术和社会科学等各个领域中有着广泛的应用。

本文将介绍微分方程的基本概念，包括微分方程的定义、分类、解、初值问题以及一些重要的定理和应用。

一、微分方程的定义微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

一般形式为：$\frac{{dy}}{{dx}}=f(x,y)$。

其中，$y$是未知函数，$x$是自变量，$\frac{{dy}}{{dx}}$表示$y$关于$x$的导数，$f(x,y)$是已知函数。

微分方程描述的是函数与其导数之间的关系。

二、微分方程的分类根据微分方程中出现的未知函数的阶数和自变量的个数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。

常微分方程可进一步分为线性微分方程和非线性微分方程。

线性微分方程中未知函数及其导数的次数均为一次，形如$\frac{{d^ny}}{{dx^n}}+a_1 \frac{{d^{n-1} y}}{{d x^{n-1}}} + \ldots + a_n y =f(x)$。

非线性微分方程中未知函数及其导数的次数不一定为一次。

偏微分方程根据方程中涉及到的导数阶数和未知函数的类型又可以进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。

三、微分方程的解求解微分方程的过程称为解微分方程。

解分为显式解和隐式解。

显式解是能直接从微分方程中解出未知函数表达式的解。

例如，对于一阶线性微分方程$\frac{{dy}}{{dx}}+P(x)y=Q(x)$，可以通过分离变量、定积分等方法求得$y$的显式解。

隐式解是无法用解析式表示的解。

例如，二阶非线性微分方程$y''+y^2=0$的解无法用初等函数表示，只能通过级数或数值方法求得近似解。

四、初值问题初值问题是求解微分方程时常见的问题形式。

给定微分方程和一个特定的条件，例如$y(0)=y_0$，即在$x=0$处给出函数$y$的取值，然后求出该条件下的解。