(整理)函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数

安徽省桐城中学王思思

教学分析

本节内容是利用导数研究函数性质的继续深入，在教材中起到了承上启下的作用，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点。通过对函数极值的判定，使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握函数极值的判别法，为学生下一节学习函数最大、最小值与导数内容铺平了道路。

三维目标

1 知识与技能

〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值

2过程与方法

结合实例，借助函数图形直观感知，探索函数的极值与导数的关系。

3情感，态度与价值观

感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的

局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

重点难点

教学重点：正确理解函数极值的概念，学会用导数判别函数极值的方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

教学手段：多媒体辅助教学

教学流程：

二、教学基本流程

教学过程 一 情境导入

大家观看过高台跳水吗？是否被运动员在空中用身躯画出的完美曲线而折服？请同学们分析一下运动员从起跳到落水的运动状态的变化。

把以上实际生活问题抽象成数学模型，观察图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象。

（设计意图：数学来源于生活，激发学生兴趣。）

二 知识探究 问题

1、在点b a ,附近，函数)(x f y =的导数符号有什么变化规律？

2、函数)(x f 在点b a ,的导数值为多少？ （通过几何画板进行动画演示）

3、函数)(x f y =在点a 的函数值与这点附近的函数值的大小关系?

（师生活动：教师引导学生应用上节课函数的单调性与导数的关系回答上面问题。以a,b 两点为例，我们可以发现，函数()x f y =在点a x =的函数值()a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，()a f '=0；而且在点a x =附近的左侧()x f '＜0，

a

o h t

a b

x

y

O

a b

x

y

O

0)(='b f 0

)(>'x f 0)(<'x f 0)(>'x f 0)(='a f

右侧()x f '＞0 。类似的，函数()x f y =在点b x =的函数值()b f 比它在点b x =附近其他点的函数值都大，()b f '=0；而且在点b x =附近的左侧 ()x f '＞0，右侧()x f '＜0 。）

我们把点a 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(a f 叫做函数)(x f y =的极大值；点b 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(b f 叫做函数)(x f y =的极小值。极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值。

问题：极大值一定大于极小值吗？

三 知识应用

例题 求函数()31

443

f x x x =-+的极值

（师生活动：学生思考交流，教师引导学生从极值的定义出发考虑解决问题的思路，教师板演解题过程，起到示范作用。）

解:∵()31

443

f x x x =-+∴()'f x =x 2-4=(x-2)(x+2)

令()'f x =0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论:

（1） 当()'f x ＞0,即x ＞2,或x ＜-2时; （2） 当()'f x ＜0,即-2＜x ＜2时. 当x 变化时, ()'f x ,f(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

-2 (-2,2) 2 (2,+∞) ()'f x + 0

_ 0

+ f(x)

单调递增

283

单调递减

43

- 单调递增

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=

28

3

;当x=2时,f(x)有极 小值,且极小值为f(2)= 4

3

-

函数()31

443

f x x x =-+的图象如右图:

()31

44

3

f x x x =-+

（设计意图：此函数的导函数为学生熟悉的二次函数，可以引导学生画出导函数的简图，由导函数的图象直接读出()'f x 在某个区间的正负，达到“以形助数，以数辅形”。）

观察与思考

（1）如图是函数)(x f y =的图象,试找出函数)(x f y =的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？

（2）如果该函数图象是导函数)('x f y =的图象，那么函数)(x f y =的极大值点，极

小值点又是哪些呢？

答：(1)x 1、x 3、x 5、x 6是函数)(x f y =

的极值点，其中x 1、x 5是函数)(x f y =的

极大值点，x 3、x 6函数)(x f y =的极小值点。

(2)x 2、x 4是函数)(x f y =的极值点,其中x 2是函数)(x f y =的极大值点，x 4是

函数)(x f y =的极小值点。x 6不是极值点。

)

(x f y =

四 归纳总结（教师引导学生归纳概括）

1、今天我们学习了函数的极值以及利用导数求函数的极值的方法。 解方程0)('=x f ，当0)('0=x f 时：

(1)如果在x 0附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('x f ，那么f (x 0)是极小值； 2、数学思想：数形结合、函数与方程

五 课后作业

课本 P 29 1，2 P 32 4，5

思考题：已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值与极小值，试求实数a 的取值范围。

六 板书设计

本节的教学内容是函数的极值与导数,用上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值

本节课结束后，我想了很多，感觉自己有许多方面有待提高。在一开始的情景创设部分，我感觉做的还比较好，能够吸引学生，自然的引出本节课的主题，本节课始终以学生为主体，教师为主导，观察分析，合作交流，探究发现，归纳总结.注重概念形成的过程及求函数极值方法，突出重点，又很好的突破了难点，例习题的选取有梯度，有广度，注意数形结合等数学思想的渗透。注重学生思维品质的训练，培养了学生探究意识和成功意识，自主精神和合作精。本节课的设计面向全体，因材施教，能够使不同层次的学生在本节课都有所获。但在细节上有许多不足之处，比如我对学情估计不足，导致上课的节奏没有很好的把握好。还有在引导学生归纳极值概念的时侯，我讲的较快，给学生自主探究的时间不是很多，我想这个地方可以慢一点，给更多的时间让学生去感受概念的形成过程。