数值分析5-1
数值计算1-5章
数值计算1-5章数值计算⽅法第1章绪论1.1数值计算⽅法的研究对象和特点数值计算⽅法也称数值分析，它研究⽤计算机求解各种数学问题的数值⽅法及其理论。
数学学科内容⼗分⼴泛，数值计算⽅法属于计算数学的范畴，这⾥只涉及科学和⼯程计算中常见的数学问题，如函数的插值、逼近、离散数据的拟合、数值积分与数值微分、线性和⾮线性⽅程数值解法和矩阵特征值问题数值解法和微分⽅程数值解法等.由于计算机科学与技术的迅速发展，数值计算⽅法的应⽤已经普遍深⼊到各个科学领域，很多复杂和⼤规模的计算问题都可以在计算机上进⾏计算，新的、有效的数值⽅法不断出现.现在，科学与⼯程中的数值计算已经成为各门⾃然科学和⼯程技术科学研究的⼀种重要⼿段，成为与实验和理论并列的⼀个不可缺少的环节.所以，数值计算⽅法既是⼀个基础性的，同时也是⼀个应⽤性的数学学科分⽀，与其他学科的联系⼗分紧密.⽤数值⽅法求解数学问题⾸先要构造算法，即由运算规则（包括算术运算、逻辑运算和运算顺序）构成的完整的解题过程.同⼀个数学问题可能有多种数值计算⽅法，但不⼀定都有效.评价⼀个算法的好坏主要有两条标准：计算结果的精度和得到结果所付出的代价.我们⾃然应该选择代价⼩⼜能满⾜精度要求的算法.计算代价也称为计算复杂性，包括时间复杂性和空间复杂性.时间复杂性好是指节省时间，主要由运算次数决定.空间复杂性好是指节省存储量，主要由使⽤的数据量决定.⽤计算机求数学问题的数值解不是简单地构造算法，它涉及多⽅⾯的理论问题，例如，算法的收敛性和稳定性等.除理论分析外，⼀个数值⽅法是否有效，最终要通过⼤量的数值实验来检验.数值计算⽅法具有理论性、实⽤性和实践性都很强的特点.作为数值计算⽅法的基础知识，本课程不可能⾯⾯俱到.除构造算法外，各章根据内容⾃⾝的特点，讨论的问题有所侧重.学习时我们⾸先要注意掌握⽅法的基本原理和思想，要注意⽅法处理的技巧及其与计算机的结合，要重视误差分析、收敛性和稳定性的基本理论.其次，要通过例⼦，学习使⽤各种数值⽅法解决实际计算问题，熟悉数值⽅法的计算过程.最后，为了掌握本课程的内容，还应做⼀定数量的理论分析与计算练习.1.2数值计算的误差1.2.1误差的来源应⽤数学⼯具解决实际问题，⾸先，要对被描述的实际问题进⾏抽象、简化，得到实际问题的数学模型.数学模型与实际问题之间会出现的误差，我们称之为模型误差.在数学模型中，通常要包含⼀些由观测数据确定的参数.数学模型中⼀些参数观测结果⼀般不是绝对准确的.我们把观测模型参数值产⽣的误差称为观测误差.例如，设⼀根铝棒在温度t时的实际长度为Lt,在t=0时的实际长度为L0，⽤lt来表⽰铝棒在温度为t时的长度计算值，并建⽴⼀个数学模型l t =L(1+at), a≈0.0000238/℃,其中a是由实验观测得到的常数，a∈[0.0000237,0.0000239],则称Lt -lt为模型误差，a-0.0000238是a 的观测误差.在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因⽽不易获得分析解，这就需要建⽴⼀套⾏之有效的近似⽅法和数值⽅法.我们可能⽤容易计算的问题代替不易计算的问题⽽产⽣误差，也可能⽤有限的过程代替⽆限的过程⽽产⽣误差.我们将模型的准确解与⽤数值⽅法求得的准确解之间的误差称为截断误差或⽅法误差.例如，对函数()()35721sin 13!5!7!21!n x x x xn x x n +=-+-+++-+,该式右边有⽆限多项，计算机上⽆法计算.然⽽，根据微积分学中的泰勒（Taylor ）定理，当|x |较⼩时，我们若⽤前3项作为sin x 的近似值，则截断误差的绝对值不超过77!x .⽤计算机做数值计算时，⼀般也不能获得数值计算公式的准确解，需要对原始数据、中间结果和最终结果取有限位数字.我们将计算过程中取有限位数字进⾏运算⽽引起的误差称为舍⼊误差.例如，13=0.33333…,如果我们取⼩数点后4位数字，则13-0.3333=0.000033…就是舍⼊误差.在数值分析中，除了研究数学问题的算法外，还要研究计算结果的误差是否满⾜精度要求，这就是误差估计问题.在数值计算⽅法中，主要讨论的是截断误差和舍⼊误差.1.2.2 误差与有效数字定义1.1 设x 是某实数的精确值，A x 是它的⼀个近似值，则称x -A x 为近似值A x 的绝对误差，或简称误差.Ax x x-称为x A 的相对误差.当x =0时，相对误差没有意义.在实际计算中，精确值x 往往是不知道的，所以通常把AAx x x -作为A x 的相对误差.定义1.2 设x 是某实值的精确值，A x 是它的⼀个近似值，并可对A x 的绝对误差作估计|x -A x |?A ε，则称εA 是A x 的绝对误差界,或简称误差界.称AAx ε是A x 的相对误差界.例 1.1 我们知道π=3.1415926…,若取近似值πA =3.14,则π-πA =0.0015926…,可以估计绝对误差界为0.002，相对误差界为0.0006.例 1.2 测量⼀⽊板长是954 cm,问测量的相对误差界是多⼤？解因为实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界⼀般不超过最⼩刻度的半个单位，所以当x =954 cm 时，有A ε=0.5 cm ，其相对误差界为0.50.00052410.053%954AAx ε==< .定义1.3 设A x 是x 的⼀个近似值，将A x 写成12100.,k A i x a a a =±? , (1.1) 它可以是有限或⽆限⼩数的形式，其中i a (i =1,2,…)是0，1，…，9中的⼀个数字，1a ≠0,k 为整数.如果|x －A x |?0.5×10k n -,则称A x 为x 的具有n 位有效数字的近似值.可见，若近似值A x 的误差界是某⼀位的半个单位，该位到A x 的第⼀位⾮零数字共有n 位,则A x 有n 位有效数字.通常在x 的准确值已知的情况下，若要取有限位数的数字作为近似值，就采⽤四舍五⼊的原则，不难验证，采⽤四舍五⼊得到的近似值，其绝对误差界可以取为被保留的最后数位上的半个单位.例如|π－3.14|?0.5×210-, |π－3.142|?0.5×310-.按定义，3.14和3.142分别是具有3位和4位有效数字的近似值.显然，近似值的有效数字位数越多，相对误差界就越⼩，反之也对.下⾯，我们给出相对误差界与有效数字的关系.定理1.1 设x 的近似值A x 有(1.1)式的表达式. (1) 如果A x 有n 位有效数字,则 111×102A nAx x x a --≤; (1.2)(2) 如果()111×1021A nAx x x a --≤+, (1.3)则A x ⾄少具有n 位有效数字.证由(1.1)式可得到()111--?+≤≤?k A k a x a . (1.4)所以，当A x 有n 位有效数字时11110.5101×10,×102k nA nk Ax x x a a ----?≤=即(1.2)式得证.由(1.3)式和(1.4)式有()()nk nk AAA A a a x x x x x x ---?=?+?+≤-=-105.0101211011111,即说明A x 有n 位有效数字，(2)得证.例1.30.1%,应取⼏位有效数字？解由于因此1a =4,设有n 位有效数字，则由(1.2)式，可令11110a -?≤,即410n -?18,得n ?4.故只要对4位有效数字，其相对误差就可⼩于0.1%,4.472.例1.4 已知近似数A x 的相对误差界为0.3%，问A x ⾄少有⼏位有效数字？解设A x 有n 位有效数字，由于A x 的第⼀个有效数1a 没有具体给定，⽽我们知道1a ⼀定是1,2,…,9中的⼀个，由于()12311101000210291A Ax x x --≤<=+,故由(1.3)式知n=2,即A x ⾄少有2位有效数字.1.2.3 函数求值的误差估计对⼀元函数ｆ(x )，⾃变量x 的⼀个近似值为A x ，以ｆ(A x )近似ｆ(x )，其误差界记作ε(ｆ(A x )).若ｆ(x )具有⼆阶连续导数，ｆ′(A x )与ｆ″(A x )的⽐值不太⼤，则可忽略|x -A x |的⼆次项，由Taylor 展开式得到ｆ(A x )的⼀个近似误差界ε(ｆ(A x ))≈|ｆ′(A x )|ε(A x ).对n 元函数ｆ(x 1,x 2,…,x n )，⾃变量x 1,x 2,…,x n 的近似值分别为x 1A ,x 2A ,…,x n A ，则有()()()12121,,,,,,nn A A nA k kA k k Af f x x x f x x x x x x=??-≈- ∑ ,其中()12,,,A A nA k k f f x x x x x A.因此，可以得到函数值的⼀个近似误差界()()()121,,,nAA nA kA k k Af f x x x x x εε=??≈ ∑. 特别地，对ｆ(x 1,x 2)=x 1±x 2有ε(x 1A ±x 2A )=ε(x 1A )+ε(x 2A ).同样，可以得到ε(x 1A x 2A )≈|x 1A |ε(x 2A )+|x 2A |ε(x 1A ),()()12211222A A A A A A A x x x x x x x εεε+??≈，20A x ≠例1.5 设有长为l,宽为d 的某场地.现测得l 的近似值l A =120 m,d 的近似值d A =90 m ，并已知它们的误差界为|l-l A |?0.2 m,|d-d A |?0.2 m.试估计该场地⾯积S=ld 的误差界和相对误差界.解这⾥ε(l A )=0.2,ε(d A )=0.2,并且有2,,10800A A A S S d l S l d mld====.于是有误差界()21200.2900.242A S m ε≈?+?=,相对误差界()()420.39%10800A r A AS S l dεε=≈=.例1.6 设有3个近似数a=2.31, b=1.93, c=2.24,它们都有3位有效数字.试计算p=a+bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有⼏位有效数字?解 p=2.31+1.93×2.24=6.6332.于是有误差界ε(p)=ε(a)+ε(bc)≈ε(a)+|b|ε(c)+|c|ε(b) =0.005+0.005(1.93+2.24)=0.02585,相对误差界εr (p)=()0.025856.6332p pε≈≈0.39%.因为ε(p)≈0.02585<0.05,所以p=6.6332能有2位有效数字.1.2.4 计算机中数的表⽰任意⼀个⾮零实数⽤(1.1)式表⽰，是规格化的⼗进制科学记数⽅法.在计算机中通常采⽤⼆进制的数系(或其变形的⼗六进制等),并且表⽰成与⼗进制类似的规格化形式，即浮点形式±2m ×0.β1β2…βt ,这⾥整数m 称为阶码，⽤⼆进制表⽰为m=±α1α2…αs , αj =0或1(j=1,2,…,s),s 是阶的位数.⼩数0.β1β2…βt 称为尾数,其中β1=1,βj =0或1(j=2,3,…,t)，t 是尾数部位的位数.s 和t 与具体的机器有关.由于计算机的字长总是有限位的，所以计算机所能表⽰的数系是⼀个特殊的离散集合,此集合的数称为机器数.⽤浮点⽅式表⽰的数有⽐较⼤的取值范围.⼗进制输⼊计算机时转换成⼆进制，并对t 位后⾯的数作舍⼊处理，使得尾数为t 位，因此⼀般都有舍⼊误差.两个⼆进制数作算术运算时，对计算结果也要作类似的舍⼊处理，使得尾数为t 位，从⽽也有舍⼊误差.在实现算法时，计算的最后结果与算法的精确解之间的误差，从根本上说是由机器的舍⼊误差造成的，包括输⼊数据和算术运算的舍⼊误差.因此有必要对计算机中数的浮点表⽰⽅法和舍⼊误差有⼀个初步的了解.有时为了分析某⼀个计算⽅法可能出现的误差现象，为了适应⼈们的习惯，我们会采⽤⼗进制实数系统进⾏误差分析.1.3 数值稳定性和要注意的若⼲原则 1.3.1 数值⽅法的稳定性实际计算时，给定的数据会有误差，数值计算中也会产⽣误差，并且，这些误差在进⼀步的计算中会有误差传播.因此，尽管数值计算中的误差估计⽐较困难，我们还是应该重视计算过程中的误差分析.定义 1.4 对于某个数值计算⽅法，如果输⼊数据的误差在计算过程中迅速增长⽽得不到控制，则称该算法是数值不稳定的，否则是数值稳定的.下⾯举例说明误差传播的现象.例 1.7 计算积分值105nxdx I x =+?, n=0,1,…,6.解由于要计算系列的积分值，我们先推导In 的⼀个递推公式.由1110555n n n n x x I I dx x --++=+?111n xdx n-==,可得下⾯两个递推算法.算法1：115n n I I n-=-,n=1,2, (6)算法2：1115n n I I n -??=-,n=6,5, (1)直接计算可得0ln 6ln 5I =-.如果我们⽤4位数字计算，得I 0的近似值为0I *=0.1823.记n n n E I I *=-,I n *为In 的近似值.对算法1，有15n n E E -=-=…=()5n-E 0.按以上初始值I0的取法有|E 0|?0.5×410-,事实上|E 0|≈0.22×410-.这样，我们得到|E 6|=65|E 0|≈0.34.这个数已经⼤⼤超过了I 6的⼤⼩，所以6I *连⼀位有效数字也没有了，误差掩盖了真值.对算法2,有E k-n =15n ??-E k ,|E 0|=615??|E 6|.如果我们能够给出I 6的⼀个近似值，则可由算法2计算I n (n=5,4,…,0)的近似值.并且，即使E 6较⼤，得到的近似值的误差将较⼩.由于()()11011616551kkk xxI d d x x k k =<<=++??,因此，可取Ik 的⼀个近似值为()()11126151k I k k *=+?? ? ?++??. 对k=6有6I *=0.0262.按0I *=0.1823和6I *=0.0262，分别按算法1和算法2计算，计算结果如表1-1，其中()1n I 为算法1的计算值, ()2n I 为算法2的计算值.易知，对于任何⾃然数n,都有0表1-1n()1nI()2nInI （4位）0 0.1823 0.1823 0.18231 0.0885 0.0884 0.08842 0.0575 0.0580 0.05803 0.0458 0.0431 0.04314 0.0210 0.0344 0.03435 0.0950 0.0281 0.02856-0.3083 0.0262 0.0243当然，数值不稳定的⽅法⼀般在实际计算中不能采⽤.数值不稳定的现象属于误差危害现象.下⾯讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题.1.3.2 避免有效数字的损失在数值计算中，参加运算的数有时数量级相差很⼤，⽽计算机位数有限，如不注意，“⼩数”的作⽤可能消失，即出现“⼤数”吃“⼩数”的现象. 例1.8 ⽤3位⼗进制数字计算x =101+δ1+δ2+…+δ100,其中0.1?δi ?0.4,i =1,2, (100)解在计算机内计算时，要写成浮点数形式，且要对阶.如果是101与δ1相加，对阶时，101=0.101×103,δ1=0.000×103.因此,如果我们⾃左⾄右逐个相加，则所有的δi 都会被舍掉，得x ≈101.但若把所有的δi 先加起来，再与101相加，就有111=101+100×0.1?x ?101+100×0.4=141.可见，计算的次序会产⽣很⼤的影响.这是因为⽤计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了⼤数吃⼩数的现象.⼤数吃⼩数在有些情况下是允许的，但有些情况下则会造成谬误.在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失.例1.9 求实系数⼆次⽅程20ax bx c ++=的根，其中b 2-4ac>0,ab ≠0. 解考虑两种算法. 算法1:1,22x a=算法2:(12b sign b x a--=, 21c x ax =,其中sign 表⽰取数的符号，即()1,0,0,0,1,0.b sign b b b >??==??-对算法1，若ac b 42>>,则是不稳定的，否则是稳定的.这是因为在算法1中分⼦会有相近数相减的情形,会造成有效数字的严重损失,从⽽结果的误差很⼤.算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的.因此称算法1是条件稳定的，算法2是⽆条件稳定的.例如，对于⽅程262.10 1.0000x x ++=,⽤4位有效数字计算，结果如下：算法1:x 1=-62.08, x 2=-0.02000. 算法2:x 1=-62.08, x 2=-0.01611.准确解是x 1=-62.083892…,x 2=-0.016107237….这⾥，ac b 42>>,所以算法1不稳定，舍⼊误差对x 2的影响⼤.在进⾏数值计算时，如果遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失.例如，如果|x |≈0,有变换公式1cos sin sin 1cos x x xx-=+.如果x 1≈x 2,有变换公式1122lg lg lgx x x x -=.如果x 〉〉1,有变换公式.此外，⽤绝对值很⼩的数作除数时，舍⼊误差会很⼤，可能对计算结果带来严重影响.因此，要避免除数绝对值远远⼩于被除数绝对值的除法运算.如果⽆法改变算法，则采⽤增加有效位数进⾏计算，或在计算上采⽤双精度运算，但这要增加机器计算时间和多占内存单元.1.3.3 减少运算次数在数值计算中，要注意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析中所要研究的重要内容.同样⼀个计算问题，如果能减少运算次数，不但可节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累.下⾯举例说明简化计算公式的重要性.例1.10 给定x ,计算多项式()110nn n n n P x a x a xa --=+++的值.如果我们先求ak x k ，需要进⾏k 次乘法，再相加，则总共需要()12n n +次乘法和n次加法才能得到⼀个多项式的值.如果我们将多项式写成下⾯的形式()(){}1210n n n n P x x x x a x a a a a --??=+++++?? ,则只需n 次乘法和n 次加法即可得到⼀个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法，可描述为1,,1,2,,0,n n k k k u a u u x a k n n +=??=+=--?最后有()0n u P x =.例1.11 计算ln2的值. 解如果利⽤级数()()11ln 11nn n xx n∞+=+=-∑计算ln2，若要精确到误差的绝对值⼩于10-5,要计算10万项求和，计算量很⼤，并且舍⼊误差的积累也⼗分严重.如果改⽤级数()35211ln 213!5!21!n xx x xx x n +??+=+++++ ? ?-+??来计算ln2，取x =1,则只要计算前9项，截断误差便⼩于10-10.1.4 向量和矩阵的范数为了对矩阵计算进⾏数值分析，我们需要对向量和矩阵的“⼤⼩”引进某种度量.在解析⼏何中，向量的⼤⼩和两个向量之差的⼤⼩是⽤“长度”和“距离”的概念来度量的.在实数域中，数的⼤⼩和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的.范数是绝对值概念的⾃然推⼴.1.4.1 向量的范数定义1.5 如果向量x ∈n R 的某个实值函数ｆ(x )=‖x ‖满⾜ (1) 正定性：x ?0,且x =0当且仅当x =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有αx =|α|x ； (3) 三⾓不等式：对任意x ,y ∈R n ,都有+x y ?x +y ,则称x 为n R 上的⼀个向量范数.在n R 中，记()12,,,Tn x x x =x ,实际计算中最常⽤的向量范数有： (1) 向量的∞范数1max i i nx ∞≤≤=x；(2) 向量的1范数11nii x ==∑x；(3) 向量的2范数12221in x i ==??∑x.容易验证，向量的∞范数和1范数满⾜定义1.5中的条件.对于2范数，满⾜定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利⽤向量内积的Cauchy-Schwarz 不等式可以验证.更⼀般地，有如下向量的p 范数1pipn px i ==??∑x,其中p ∈ [1,+∞).容易验证1ppn∞∞≤≤xxx,由此可得如下定理.定理1.2 lim pp ∞→∞=xx.下⾯，我们利⽤向量范数的连续性来说明向量范数的重要特征.定理1.3 设给定A ∈R n ×n ,x =(x 1,x 2,…,x n )T ∈R n ,则对R n 上每⼀种向量范数，‖A x ‖都是x 1,x 2,…,x n 的n 元连续函数.证设a j 为A 的列向量，将A 写成A =(a 1,a 2,…,a n ). 则由三⾓不等式，对h =(h 1,h 2,…,h n )T ∈R n,有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|?‖A h ‖=‖1ni i h =∑a i ‖1ni i h =∑‖a i ‖M max|h i |,其中M=1ni =∑‖a i ‖.所以，对任意的ε>0,当max|h i |<Mε时，有|‖A (x +h )‖-‖A x ‖|<ε, 这就证明了‖A x ‖的连续性.推论1.1 ‖x ‖是x 的各分量的连续函数. 向量范数的⼀个重要特征是具有等价性.定理 1.4 R n 上的所有向量范数是彼此等价的，即对R n 上的任意两种向量范数‖x ‖s和‖x ‖t ，存在常数c 1,c 2>0,使得对任意x ，有c 1‖x ‖s ?‖x ‖t ?c 2‖x ‖s .证只要就‖x ‖s =‖x ‖∞证明上式成⽴即可，即证明存在常数c 1,c 2>0,对⼀切x ∈R n且x ≠0，有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.记R n 上的有界闭集D={x :x =(x 1,x 2,…,x n )T ,‖x ‖∞=1}.由定理1.3的推论知，‖x ‖t 是D 上的n 元连续函数，所以在D 上有最⼤值c 2和最⼩值c 1,且x ∈D 时有x ≠0,故有c 2?c 1>0.现考虑x ∈R n ,且x ≠0,则有∞x x ∈D,所以有c 1?‖∞x x ‖t ?c 2, ?x ∈R n ,x ≠0.从⽽对x ≠0有c 1‖x ‖∞?‖x ‖t ?c 2‖x ‖∞.⽽x =0时上式⾃然成⽴，定理得证.由于向量范数之间具有等价性，对于范数的极限性质，我们只需对⼀种范数进⾏讨论，其余范数也都具有相似的结论.⽐如，我们可以⽅便地讨论向量序列的收敛性.定义1.6 设向量序列x (k)=()()()()12,,,Tk k k nx x x ∈R n ,k=1,2,…,若存在x *=()12 ,,,Tn x x x ***∈R n ,使得()lim k iik x x *→∞=, i =1,2,…,n,则称序列{x (k)}收敛于x *,记为()lim k ik *→∞=x x.按定义有)()lim lim 0k k k k **→∞→∞∞=?-=xx xx.⼜因为()()()12k k k c c ***∞∞-≤-≤-xxxxxx,所以有()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=xx xx.因此，若向量序列在⼀种范数下收敛，则在其他范数下也收敛.不必强调是在哪种范数意义下收敛.1.4.2矩阵的范数定义1.7 如果矩阵A ∈R n ×n 的某个实值函数ｆ(A )=‖A ‖满⾜ (1) 正定性：‖A ‖?0,且‖A ‖=0当且仅当A =0；(2) 齐次性：对任意实数α，都有‖αA ‖=|α|‖A ‖；(3) 三⾓不等式：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A +B ‖?‖A ‖+‖B ‖； (4) 相容性：对任意A ,B ∈R n ×n ,都有‖A B ‖?‖A ‖‖B ‖；则称‖A ‖为Rn ×n上的⼀个矩阵范数.可以验证，对()ij n na ?=A ,12211Fn n a ij i j ?? ?=∑∑ ?==??A是⼀种矩阵范数，称之为Froben i us 范数，简称F 范数.由于矩阵与向量常常同时参与讨论与计算，矩阵范数与向量范数之间需要有⼀种联系. 定义1.8 对于给定的R n 上的⼀种向量范数‖x ‖和R n ×n 上的⼀种矩阵范数‖A ‖，如果满⾜‖A x ‖?‖A ‖‖x ‖,则称矩阵范数‖A ‖与向量范数‖x ‖相容.上⾯的定义1.7是矩阵范数的⼀般定义，下⾯我们通过已给的向量范数来定义与之相容的矩阵范数.定义 1.9 设x ∈R n ,A ∈R n ×n ,对给出的⼀种向量范数v x ,相应地定义⼀个矩阵的⾮负函数m axvvx v≠=A x Ax.称之为由向量范数导出的矩阵范数，也称为算⼦范数或从属范数.由定义可得vvv≤A xAx，1max vvv==xAAx.算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(1)和(2)是显然的，现验证满⾜条件（3）和（4）.对任意的A ,B ∈R n ×n ,有()1maxvvv =+=+xA B x11max max v vvvvvxx==≤+=+Ax BxAB1max vvv==xABABx1max vvvvvv=≤=xABxA.因此，算⼦范数满⾜矩阵范数⼀般定义中的条件(3)和(4).由常⽤的向量范数，可以导出与其相容的矩阵算⼦范数.定理1.5 设A ∈R n ×n ,记()ij n na ?=A ,则(1)11max nij i nj a ∞≤≤==∑A,称之为矩阵A 的⾏范数；(2) 111m ax nij j ni a ≤≤==∑A ，称之为矩阵A 的列范数；(3)2=A称之为矩阵A 的2范数或谱范数，其中，()max TλA A 表⽰T A A的最⼤特征值.证这⾥只对(1)和(3)给出证明，(2)的证明同理可得. 先证明(1):设x =(x 1,x 2,…,x n )T ≠0,不妨设A ≠0，则有1111max max nnij j ij i ni nj j xa x xa ∞∞≤≤≤≤===≤∑∑A .111max max nij xi nj a ∞∞∞=≤≤===∑AAx.设矩阵A 的第p ⾏元素的绝对值之和达到最⼤，即111max nnpj ij i nj j a a ≤≤===∑∑.取向量()12,,,Tn ξξξ= ξ,其中1,0,1,0.a pj j apjξ≥??=?-显然，‖ξ‖∞=1,⽽且1111m ax m axnn∞∞=≤≤===≥==∑∑xAA xA ξ.于是(1)得证.再证明(3):显然，A TA 是对称半正定矩阵，它的全部特征值均⾮负，设为120n λλλ≥≥≥≥ .由实对称矩阵的性质，各特征值对应的特征向量必正交.设对应的标准正交特征向量为12,,,nu u u ,即T i i i λ=A Au u (i =1,2,…,n),(u i ,u j )=δi j (i ,j=1,2,…,n).对向量x ∈R n ,‖x ‖2=1,可由R n 的⼀组基u i (i =1,2,…,n)线性表⽰，即有1niii c ==∑x u ,22211nii c===∑x11nnT Ti ii i i cc λλλ====≤=∑∑A xx A A x .另⼀⽅⾯，取ξ=u 1,显然有‖ξ‖2=1,211112T T Tλλ===A ξξA A ξu u .因此，2221m ax ===xAA x得证.由定理1.5可见，计算⼀个矩阵的⾏范数和列范数是⽐较容易的，⽽矩阵的2范数计算却不⽅便，但由于它有许多好的性质，所以在理论上还是有⽤的.例1.12 设矩阵1234-??=解 {}m ax 3,77∞==A,{}1m ax 4,66==A ,10141420T-??=-A A ()21014det 3041420Tλλλλλ--==-+-I A A ,求得115λ=+215λ=-因此25.46=≈A.定义1.10 设A ∈R n ×n 的特征值为λi (i =1,2,…,n),称()1max i i nρλ≤≤=A为A 的谱半径.谱半径在⼏何上可解释为以原点为圆⼼，能包含A 的全部特征值的圆的半径中最⼩者.例1.13 计算例1.12中矩阵的谱半径.解由A 的特征⽅程()2=--=-I A得12λ=,22λ=所以() 5.372ρ=≈A .定理1.6 设A ∈R n ×n ,则有()ρ≤A A .证设A x =λx ,x ≠0,且|λ|=ρ(A ),必存在向量y ,使x y T 不是零矩阵.于是()TTTTA ρλ==≤A xyxyxyA xy,即得ρ(A )?‖A ‖.例1.14 设矩阵A 与矩阵B 是对称的，求证ρ(A +B )?ρ(A )+ρ(B ).证因T =A A ,于是有()()()222max max 2A A AA ,即‖A ‖2=ρ(A ).同理‖B ‖2=ρ(B ).由于A +B =(A +B )T,因此()()()222ρρρ+=+≤+=+A B A BABA B .定理1.7 如果‖B ‖<1,则I ±B 为⾮奇异矩阵，且()111-±≤-I B B,这⾥的矩阵范数是指矩阵的算⼦范数.证若I ±B 奇异，则存在向量x ≠0,使(I ±B )x =0,故有ρ(B )?1,这与‖B ‖<1⽭盾，所以I ±B ⾮奇异.由于()()11--±=± I B I B I B ,于是得()()11--±≤+±I B I BI B .上的任意两种矩阵范数都是等价的，即对Rn ×n上的任意两种矩阵范数sA和t A ，存在常数c 1,c 2>0,使得12stsc c ≤≤AAA.由矩阵范数的等价性，我们可以⽤矩阵的范数描述矩阵序列的极限性质.定义1.11 设矩阵序列()()()kk n nijn na ??=∈A R,k=1,2,…,若存在()n nij n na **=∈A R,使得()lim k ijijk a a *→∞()lim k k *→∞=AA.可以验证()()lim lim 0k k k k **→∞→∞=?-=AA AA.评注本章介绍了数值计算的研究对象、误差及相关概念、数值计算的稳定性及构造算法的基本原则.考虑到矩阵计算的数值分析，本章还介绍了向量范数和矩阵范数的基本概念和常⽤定理.误差分析问题是数值分析中重要⽽困难的问题.误差的基本概念和误差分析的若⼲原则，对学习本课程是很有必要的.但是，作为⼯程或科学计算的实际问题则要复杂得多，往往要根据不同问题分门别类地进⾏分析.例如，由于舍⼊误差有随机性，有⼈应⽤概率的观点研究误差规律.在⼯程计算中，常⽤⼏种不同办法（包括实验⽅法）进⾏⽐较，以确定计算结果的可靠性.20世纪60年代以来，发展了两种估计误差的理论：⼀种是J.H.W i lk i nson 等⼈针对计算机浮点算法提出了⼀套预先估计的研究误差的⽅法，使矩阵运算的舍⼊误差研究获得了新发展；另⼀种是R .E.Moore 等⼈应⽤区间分析理论估计误差，开创了研究误差的新⽅法. 关于范数⽅⾯，所述内容是为以下各章服务的⼀些初步概念和常⽤的定理，对本书够⽤就可以了.例如只讨论了R n ×n 的范数，⽽没有顾及R n ×m .⼜例如介绍了R n 和R n ×n 上范数的等价性，此性质对有限维空间都是成⽴的，⽽对于C[a,b]则没有这个性质，这些都是赋范线性空间有关的问题，详细讨论这些问题是泛函分析的内容.习题 11.1 已知e=2.71828…,问下列近似值A x 有⼏位有效数字，相对误差界是多少？ (1) x =e, A x =2.7； (2) x =e, A x =2.718； (3) x =e100, A x =0.027； (4) x =e100, A x =0.02718. 1.2 设原始数据的下列近似值每位都是有效数字：1x *=1.1021, 2x *=0.031, 3x *=56.430. 试计算(1) 1x *+2x *+3x *；(2)，并估计它们的相对误差界.1.3 设x 的相对误差界为δ,求n x 的相对误差界.1.4 设x >0，x 的相对误差界为δ，求ln2的绝对误差界.1.5 为了使计算球体体积时的相对误差不超过1%，问测量半径R 时的允许相对误差界是多少？1.6 三⾓函数值取4位有效数字，怎样计算1-cos2°才能保证精度？ 1.7 设0Y =28，按递推公式nY=1n Y --…,计算.若取27.982(5位有效数字)，试问计算Y 100将有多⼤误差?1.8 求解⽅程25610x x ++=，使其根⾄少具有4位有效数字(≈27.982).1.9 正⽅形的边长⼤约为100 cm ，应怎样测量才能使其⾯积的误差不超过21cm ? 1.10 序列{yn}满⾜递推关系1101n n y y -=-,n=1,2,….若y 0 1.41(3位有效数字)，计算到y 10时的误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?1.11 对积分11n x n I x edx -=,n=0,1,…,验证101I e-=-,11n n I nI -=-.若取e -1≈0.3679,按递推公式11n n I nI -=-，⽤4位有效数字计算I 0,I 1,…,I 9,并证明这种算法是不稳定的.1.12 反双曲正弦函数为()(ln f x x =+.如何计算ｆ(x )才能避免有效数字的损(1) sin x -siny ； (2) arctan x -arctany ；(3)2； (4)212xe-.1.14 已知三⾓形⾯积1sin 2s ab C=,其中C 为弧度，0π，且测量a,b,C 的误差分别为Δa,Δb,ΔC ，证明⾯积的误差Δs 满⾜s a b C s ab C≤++ .1.15 设P ∈R n ×n 且⾮奇异，⼜设‖x ‖为R n 上的⼀种向量范数，定义p=xP x.试证明‖ｘ‖P 是R n 上的⼀种向量范数.1.16 设A ∈R n ×n 为对称正定矩阵，定义()12,A=xA x x .试证明‖ｘ‖A 为R n 上的⼀种向量范数.1.17 设矩阵0.60.50.10.3??=2F≤≤AA,并说明‖A ‖F 与‖ｘ‖2相容.1.19 设P ∈Rn ×n且⾮奇异，⼜设‖ｘ‖为R n上的⼀种向量范数，定义范数‖ｘ‖P =‖P x ‖.证明对应于‖ｘ‖P 的算⼦范数1 p-=APAP.1.20 设A 为⾮奇异矩阵，求证：11m iny ∞-≠∞∞=A y yA.。
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析第5版课后习题答案(清华大学出版社)-第一章
′ e * ( f1 ) = f1 e * (1.4) =
对于 f 2 = (3 − 2 2 ) 3 ，
1 1 ′ e * ( f 2 ) = f 2 e * (1.4) = 6(3 − 2 × 1.4) 2 × × 10 −1 = 0.12 × 10 −1 < × 10 −1 ，没有有效数 2 2 字；
*
1 1 1 = (0.031 × 385.6) × 10 − 4 + (1.1021 × 385.6) × 10 −3 + (1.1021 × 0.031) × 10 −3 ； 2 2 2 −3 −3 −3 = 0.59768 × 10 + 212.48488 × 10 + 0.01708255 × 10 = 213.09964255 × 10 −3 = 0.21309964255
′ PAP −1 Px Ax PAx ′ 6、证明： A max = = max = max = ′ Px Px x PAP −1 。
7、证明：由范数的等价性，存在常数 C1 和 C 2 ，使得 C1 x s ≤ x t ≤ C 2 x s ，则有
C1 Ax s ≤ Ax t ≤ C 2 Ax s ，并且
∂f e (x + x + x ) = ∑ k =1 ∂x k
* * 1 * 2 * 4
n
* * * * ε ( x k ) = ε ( x1 ) + ε ( x 2 ) + ε ( x 4 ) ；
*
=
1 1 1 × 10 − 4 + × 10 −3 + × 10 −3 = 1.05 × 10 −3 2 2 2
y 0 = 1.41 1 可知， ε * ( y 0 ) = × 10 − 2 ， y n − y n = 10( y n −1 − y n −1 ) ，即 2 y n = 10 y n −1 − 1
数值分析第五版计算实习题
弟二草插值法3.卜列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间064］上作图。
(1〉用这9个点做8次多项式插值Q x)。
(2)用三次样条(第一边界条件)程岸求S(X)。
从得到结果石在［0.64］ 1：・哪个插值更粘确：在区间［0,1］ I：•两种插值哪个更精确?(1) 8次多项式插值：(1)8次多项式插值:首先建立新的M-file:输入如卜代码(此为拉格朗口插值的功能函数)并保存function f=Language(x,y,x0)%求Li知数据点的拉格朗Fl插值多项式%己知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量:y%插值的x坐标：x0%求得的拉格朗H插值多项式或在X0处的插值：fsyms t;ifi(lcngth(x)=length(y))n=length(x);elsedisp(*x和y的维数不相等!)；return;end %检错tbr(i=l:n)i=y(i);fbr(j=1:i-l)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))；end;for(j=i-M:n)end;for(j=i+l:n) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))； end;simplify(f);if(i==n) if|nargin=3)f=subs(C't\xO);else f=collcct(f);f=vpa(f,6);endendend再建立新的M-file：输入：clear;x=[0 1 49 16 25 36 49 64];y=[0：l：8]；%计算拉格朗口基丞数%计算拉格朗ri插值函数%化简%计算插值点的曲数值%将插值多项式展开%将插值多项式的系数化成6位精度的小数f=Uinguage(x,y) 运行得到f=1.32574*1-381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e・7T7・.328063e・9T8・.498071 e-2*t A4 这就是8次多项式插值L s(x)= 1.32574怜.381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e-7*t A7-.328063e-9*t A8-.498071 e-2*t A4. (2)三次样条插值：建立新的M-filc：输入：clear;x=[0 I 49 1625 36 4964];尸[0:8];t=[0:0.1:64];Y=t.A(0.5);O=Language(x,y)f= 1,32574*t-.381410*t.A2+.604294e-1 *t.A3+.222972e-3*t.A5-.542921 e・5*(. W+.671268e-7*t.A7-.328063e-9*t.A8-.498071 e-2 *t.A4;S=interp l(x,y,t.'spline,);plol(x,y,o；(・YY.lf.'b'」S'g:');grid;运行程序得到如下图：从结果屮很明显可以看出在[0.64].上.三次样条插值更精确，儿乎与原函数帀合。
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析第5版
数值分析第5版简介数值分析是研究利用计算机进行数值计算的一门学科。
它包括了近似计算、数值解法、误差分析等内容，广泛应用于科学计算、工程计算以及其他领域。
《数值分析第5版》是数值分析领域的经典教材，由Richard L. Burden和J. Douglas Faires共同撰写。
内容概述本教材共分为12个章节，从基础概念开始，逐步介绍各种数值计算方法和技术。
以下是每个章节的简要介绍。
第1章：导论本章介绍了数值分析的基本概念和应用领域。
阐述了数值计算的重要性，并介绍了课程所涉及的主要内容和学习方法。
第2章：误差分析本章讲解了数值计算中的误差类型和误差分析方法。
包括绝对误差和相对误差的定义与计算、舍入误差、截断误差等。
第3章：插值与多项式逼近本章介绍了数值计算中的插值和多项式逼近方法。
包括拉格朗日插值、牛顿插值、三次样条插值等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第4章：数值积分与数值微分本章讲解了数值计算中的数值积分和数值微分方法。
包括梯形法则、辛普森法则、数值微分的定义和计算过程。
第5章：非线性方程的数值解本章介绍了求解非线性方程的数值解法。
包括二分法、牛顿法、割线法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第6章：线性代数方程组的数值解法本章讲解了求解线性代数方程组的数值解法。
包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
详细讲解了这些方法的原理和计算过程。
第7章：矩阵特征值问题本章介绍了求解矩阵特征值问题的数值解法。
包括幂法、反幂法、QR方法等。
讲解了这些方法的原理和实现过程。
第8章：常微分方程的数值解本章介绍了求解常微分方程的数值解法。
包括欧拉法、龙格-库塔法、多步法等。
讲解了这些方法的原理和应用。
第9章：偏微分方程的数值解本章讲解了求解偏微分方程的数值解法。
包括有限差分法、有限元法等。
详细讲解了这些方法的原理和实现过程。
第10章：函数逼近与数据拟合本章介绍了函数逼近和数据拟合的方法。
包括最小二乘法、曲线拟合等。
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(1)
而 (1) 3 2 1，(2) 3 3 2
即 [(1),(2)][1, 2]，所以 满(x足) 条件（1）。
又，| ' (x)
||
1
(x
2
1) 3
|
1
L 1
x [1, 2]
所以 (满x)足3条件（2）。33 4
故，(x在) [1满, 2]足压缩映射原理。
§3.迭代收敛的加速法
改进、加速收敛 /* accelerating convergence */
➢ 待定参数法：
若 | g’(x) | 1，则将 x = g(x) 等价地改造为
x x Kx Kg( x) (1 K )x Kg( x) ( x) 求K，使得 | ( x) | | 1 K Kg( x) | 1
g
连续，则由
lim
k
xk 1
l可im知g
k
x*k
=
g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。
y
y=x
p1 p0
y=g(x)
✓
x
x0
x1 x*
y
y=x
y=g(x)
p0
p1
x x1 x0 x*
y p0
y=x
✓
y=g(x) p1
x0
x*
y
y=g(x) p0
x x1
When to stop?
a
xa1 x*
xb2 b
xk1 xk ε1 或 f ( x) ε2
2
x*
x
不能保证 x 的精 度
§1.方程求根与二分法
误差 分析：
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
数值分析5-⽤Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性⽅程组作业六：分别编写⽤Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性⽅程组Ax⼆B的标准程序，并求下列⽅程组的解。
可取初始向量X(o)=(O, 0, Of；迭代终⽌条件||x(k+1,-x(k)||<=10e-6(1)」521X1-12-14 2x2⼆20.2-310 .x3 -.3 .Jacobi迭代法:流程图进⾏迭代程序clear;clc;A ⽃&?:U;2J0,01;：L,：L,?5];e=le-6;x0=[0;0;0]1; n=length(A); x=zeros(n/l);k=0;r=max(abs(b));while r>efor i=l:nd=A(iJ);if abs(d)waming('矩阵A输⼊有误'); return; endsum=0;forj=l:nif j"=isum=sum+A(iJ)*xO(j);endendxl(i)=(b(i)-sum)/A(iJ);endk=k+l;r=max(abs(xl-xO));xO=xl;fprintff第％(1 次迭代：fprintf('\n与上次计算结果的距离56f \n',r) disp(xl); if k>100warningf 不收敛，);endendx=xO;程序结果(1)第1次迭代；与上次计算结果的3^:0.6000000. 1250 0.4000 -0. 6000第2次迭代；与上次计算结果的距誇:0. 1250000.2500 0.4350 -0. 4950第3次迭代；与上次计茸结果的距^:0. 0355000.2412 0.3995 -0. 4630与上次计算结果的距S：0. 0088500.2328 0. 3981 -0. 4718第5次迭代；与上次计算结果的3^:0.0025720.2337 0.4006 -0. 4738策6次迭代：与上次计算结果的距^:0. 0006990.2343 0.4006 -0.4731第:次迭代：与上次计算结果的距离；0. 00Q1840.2342 0.4005 -0.4730第8次迭代；勻上次计算结果的距离：0. 0000540.2342 0.4005 -0.4731第9次迭代：与上次计算结果的距离:0. 0000130.2342 0.4005 -0.4731第10次迭代：与上次计算结果的距离:0. 0000040.2342 0.4005 -0. 4731第11次迭代；与上次计算结果的距离；0?0000010.2342 0.4005 -0.4731(2)第i次迭代：与上次计算结果的距离：5. 000000 -2.4000 5.0000 0.3000第2次迭代：与上次计尊结果的3^:2. 060000 ⼀4?4600 4.2500 2.2800第3次迭代：与上次计算结果的距离:1?505000 -4.5560 2.7450 2.4670第4次迭代：与上次计算结累的距离；0.564600 -3.9914 2.6275 2.0347第5次迭代；与上次计算结果的距离：0?357300 -3. 8579 2.9848 1.8865与上次计算结果的距⾼：0?1 13286 -3.9712 3.0922 1.9670第13次迭代：与上次计算结果的距^:0. 001023 -4.0002 2.99922.0002第14次迭代：与上次计算结果的距离;0?000626 -3.9997 2.99981.9998第15次迭代：与上次计算结果的距离:0. 000341 -3.9999 3.00021.9999第16次迭代：与上次计茸结果的距离：0. 000155 -4.0000 3.00012.0000第订次迭代；与上次计算结果的距离：o. 000106 ?4.0000 3.00002.0000第18次迭代：与上次计算结果的距离：0. 000041 -4.0000 3.00032.0000第;次迭代：与上次计算结果的距离：0. 068570 -4. 0303 3.0237 2.0219第8次迭代：与上次计算结果的匪离；0. 042216 -4.0139 2.9815 2.0132第9次迭代：与上次计算结果的距离：0. 018637 -3.9952 2.9900 1.9972第10次迭代：与上次计算结果的范离：0. 0L2637 -3. 9954 3.0026 1.9960第⼝次迭代：与上次计算结果的徒离：0. 004819 -4.0002 3. 0031 1.9999第12次迭代；与上次计聲结果的施禹：0. 003121 -￡ 0012 3.0000 2.0010第19次迭代：与上次计算结果的昵离:3. 000027 -4.0000 3.0000 2.0000第如次迭代；与上次i+算结果的柜胡:3. 000009 -4.0000 3.0000 2.0000第21次迭代：与上次i+算结果的距韶:1 000006 -4.0000 3.0000 2.0000錮22次送代：与上次计算结果的捱离:1 000003 ?4.0000 3.0000 2.0000第23次迭代：与上次计算结果的距离:3. OOOOOL-4.0000 3.0000 2.0000籠加次逑代：与上次计算结果的拒离:3. OOOOOL -4.0000 3.0000 2.0000 Gauss-Seidel 迭代法:SJ?%A=[8r14；240,01;14z-5]；%b=[l;4;3];A=[5,24；-l/4,2;2,-340];b=[-12;20;3];m=size(A);if m(l)r'=m(2) errorC矩阵A不是⽅阵J;endn=length(b);%初始化N=0,%迭代次数L=zeros(n)^6分解A=D+L+U,D是对⾓阵,L是下三⾓阵,U是上三⾓阵U=zeros(n); D=zeros(n);G=zeros(n)^6G=-inv(D+L)*Ud=zeros(n/l)56d=inv(D+L)w，bx=zeros(n4)；for i=l:n%初始化L和Uforj=l:nif iL(iJ)=A(iJ);endif i>jU(iJ)=A(iJ);endendendfori=l:n%初始化 DD(iJ)=A(iJ);endG=-inv(D+L)*U^6初始化Gd=(D+L)\b56初始化 d%迭代开始xl=x;x2=G*x+d;while norm(x2-xljnf)>10A(-6)。
数值分析第六章课后习题答案
第六章课后习题解答(1)()()123(1)()213(1)()()312(01.21125551154213351010(1,1,1),17( 4.0000186,2.99999k k k k k k k k k Tx x x x x x x x x x x+++ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-(17)解：(a )因系数矩阵按行严格对角占优，故雅可比法与高斯-塞德尔均收敛。
（b )雅可比法的迭代格式为取迭代到次达到精度要求(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(0)(8)15,2.0000012)21125551154213351010(1,1,1),8( 4.0000186,2.9999915,2.0000012)Tk k k k k k k k k TTx x x x x x x x x x++++++-ìïï=---ïïïïïï=-+íïïïïï=-++ïïïî==-高斯塞德尔法的迭代格式为x 取迭代到次达到精度要求1212:00.40.4.0.400.80.40.80||(0.8)(0.80.32)()1.09282031,00.40.4()00.160.6400.0320.672DL U I BD L U l l l l--骣--÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--÷ç桫-=-+-=>-æ--çççç=-=-ççççèlJJJS解(a )雅可比法的迭代矩阵B（）BB故雅可比迭代法不收敛高斯塞德尔法迭代矩阵131()||||0.81022101220||022023002SJBDL U I BD L Ul l¥--ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç÷ø?<骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=+=--ç÷ç÷÷ç÷ç÷--ç÷桫-=骣-÷ç÷ç÷ç÷ç÷=-=-ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç桫llSJJ SB故高斯-塞德尔迭代法收敛。
数值分析A-作业5-2011210287-李国轩-15-12-2013
数值分析A-第05次作业李国轩，机研113，2011210287，15.12.201301. 定义2:f R R →如下：121221,when =0(,),when =01,in other casesx x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，证明1(0)f x ∂∂与2(0)f x ∂∂均存在，但f 在点(0,0)处不可导。
证明：由已知可得到111100111(,0)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h f x h h →→--∂===∂ 类似的又有212200222(0,)(0)0(0)lim lim 1h h f h f h f x h h →→--∂===∂ 于是可见1(0)f x ∂∂与2(0)f x ∂∂均存在。
而当取12(,)h h h =，同时120h h =≠，原函数的导数为10001()(0)111limlimlim lim h h h h f h f hh h h →→→→∞-=== 上面式子中的这个极限显然是不存在的，于是原函数在点(0,0)处不可导。
原题得证。
04. 证明由()ln(1)x G x e =+定义的函数G ：R R →，在任何闭区间[a,b]上是压缩的，但没有不动点。
证明：反证法来证明可压缩性。
假设存在常数1m ≥和在区间[,]a b 上的两个点x 和y ，使得下面的式子成立()()G x G y m x y -≥-为了在后续的化简过程中过程简单，这里假设x y > 于是1()()ln(1)ln(1)()1x xxyy ye e G x G y m x y e e m x y y x e e +-≥-⇔+-+≥-⇔≥⇔≥+可见这里与原建设x y >矛盾。
因此压缩性得证。
同时，假设存在不动点，即存在*x 满足下面的式子。
******()ln(1)1x x x G x x e x e e =⇔+=⇔+=显然矛盾，因此原函数没有不动点。
数值分析5-2(高斯消去法)知识讲解
a1(n3) a2(3n) a3(3n)
... an(3n)
•
x1
x2
xn
b1(3)
b2(3)
bn(3)
…
1 0
0 1
.(nn))
0 0
...
1
xn
bn(n)
故方程组的解为
x 1 x 2 .x . n T . b 1 ( n )b 2 ( n ).b . n ( n ) T .
四、高斯—约当消去法(Gauss-Jordan)
高斯消去法在消元时始终消去对角线下方的 元素，而高斯——约当消去法则同时消去对 角线上方和下方的元素。
aa12((1111))
a1(12) a2(12)
... ...
aa12((11nn))•xx12 bb12((11))
...
an(11) an(12) ... an(1n) xn bn(1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 D i 0(i1,2,..n.),
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) 0
第一次 消元
a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)
0
a2(22) ... a2(2n)•x2 b2(2)
...
0
an(22) ... an(2n) xn bn(2)
……
(记 为 A(2)x = b(2))
a1(11)
数值研究分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组
数值分析5-用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：作业六：分别编写用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组Ax=B的标准程序，并求下列方程组的解。
可取初始向量X(0) =(0，0，0)’；迭代终止条件||x(k+1)-x(k)||<=10e-6（1）[8 −1 12 10 −11 1 −5][x1x2x3]=[143]（2）[5 2 1−1 4 22 −3 10][x1x2x3]=[−12203]Jacobi迭代法：流程图开判断b中的最大值有没给x赋初值进行迭代结求出x，弱到100次还程序clear;clc;A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5];b=[1;4;3];e=1e-6;x0=[0;0;0]';n=length(A);x=zeros(n,1);k=0;r=max(abs(b));while r>efor i=1:nd=A(i,i);if abs(d)<ewarning('矩阵A输入有误');return;endsum=0;for j=1:nif j~=isum=sum+A(i,j)*x0(j);endendx1(i)=(b(i)-sum)/A(i,i);endk=k+1;r=max(abs(x1-x0));x0=x1;fprintf('第%d次迭代：',k)fprintf('\n与上次计算结果的距离:%f \n',r)disp(x1);if k>100warning('不收敛');endendx=x0;程序结果（1）（2）Gauss-Seidel迭代法：程序clear;clc;%A=[8,-1,1;2,10,01;1,1,-5];%b=[1;4;3];A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10];b=[-12;20;3];m=size(A);if m(1)~=m(2)error('矩阵A不是方阵');endn=length(b);%初始化N=0;%迭代次数L=zeros(n);%分解A=D+L+U,D是对角阵，L是下三角阵，U是上三角阵U=zeros(n);D=zeros(n);G=zeros(n);%G=-inv(D+L)*Ud=zeros(n,1);%d=inv(D+L)*bx=zeros(n,1);for i=1:n%初始化L和Ufor j=1:nif i<jL(i,j)=A(i,j);endif i>jU(i,j)=A(i,j);endendendfor i=1:n%初始化DD(i,i)=A(i,i);endG=-inv(D+L)*U;%初始化Gd=(D+L)\b;%初始化d%迭代开始x1=x;x2=G*x+d;while norm(x2-x1,inf)>10^(-6)x1=x2;x2=G*x2+d;N=N+1;endx=x2;程序结果（1）（2）。
《数值分析》教案
讲授新 进展内容
介绍等距节点插值公式在工程设计上的应用，例如在微电机设计在设计上的 应用。
课后总结
5
河北工程大学教师授课教案（5）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.5 埃尔米特插值
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
6
河北工程大学教师授课教案（6）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
2.6 曲线拟合的最小二乘法
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求
1. 掌握最小二乘法的基本原理；2. 掌握多项式拟合方法； 3. 了解可化为多项 式拟合的最小二乘方法。
课后总结
8
河北工程大学教师授课教案（8）
学院（部）： 数理学院 教师姓名：
课程名称
数值分析
授课专业和班级
授课时间:
学术型研究生
授课内容
3.2 牛顿--柯特斯公式
授课学时 2 学时
教材
《数值分析》，周少玲，张振辉编，西安交通大学出版社。
教学目的和要求 1. 掌握牛顿--柯特斯公式； 2. 了解低阶牛顿--柯特斯公式的截断误差。
1、复习旧课（15 分钟）
回顾差商的定义。
2、讲授部分（25 分钟）
引入重节点的差商，并于 Taylor 展开式联系，介绍两者的关系（难点）。
3、复习部分（5 分钟）
5_1弹塑性数值方法
(1.6)
在主应力空间米赛斯屈服面为一无限延伸的圆柱面(图 1)。
图1
主应力空间的 Mises 和 Tresca 屈服面
5
(2) 屈斯加(Tresca)屈服准则
max k
其中最大剪应力 max max 1 2 , 2 3 , 3 1 / 2 。 该准则又称最大剪应力准则， 即当最 材料开始屈 大剪应力达到极限值 k 时， 服。 在主应力空间中， 屈斯加屈服面为 一无限延伸的正六边形柱面(图 1)。
则流动矢量 a d 可写为
a d C1a1 C2a 2 C3a 3
(1.28)
22
对于不同的屈服准则，可将相应的屈服函数 F 代入 (1.26) 式，可以计算得到 C1 , C 2 , C 3 值(表 1)。
表1 计算流动矢量的有关常数
屈服准则 Tresca Mises Mohr-Coulomb Drucker-Prager
1 F m sin J 2 cos sin sin c cos 0 3
0
7
(1.9)
3 1 3J 3 J 2 其中 arcsin 3 2
3 2
。
π 平面上的摩尔－库仑屈服条件如图 3 所示。 试验表明，摩尔－库仑屈服准则较为符合岩土和混凝土材 料的屈服和破坏特征。
11
1.2 硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数(又称加 载函数或加载曲面)。一般来说加载函数可以采用以下形式
F ij , 0
(1.11)
其中 是硬化参数，它依赖于变形的历史。 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数 和初始屈服函数一致，即
数值分析第5版插值法
第一节 引言
n 一、 插值问题 设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求次数不超过n的多项式Pn(x)
使其满足
从几何意义来看,上述 问题就是要求一条多项 式曲线 y=Pn(x), 使它通
过已知的n+1个点(xi,yi)
(i=0,1, … ,n),并用Pn(x) 近似表示f(x).
2
二、插值多项式的存在性和唯一性
定理1 设节点xi (i=0,1, … ,n)互异, 则满足插值条件 Pn(xi)=yi 的次数不超过n的多项式存在且唯一. 证 设所求的插值多项式为
f [ x0 , x1]
f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1
为 f (x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商
f [ x0 , x1, x2 ]
f [ x0 , x1] f [ x1, x2 ] x0 x2
称为函数f (x)在x0、x1 、x2 点的二阶差商.
25
一般地，n-1阶差商的差商
还应注意,对于插值节点,只要求它们互异,与大小次序无 关。
14
例1 已知 y x , x0 用4,线x1性插9,值求 近
7
似值。
解 y0 2, y1 3, 基函数分别为:
l0 ( x)
x9 49
1(x 5
9), l1( x)
x4 94
1(x 5
4)
插值多项式为
1
1
L1 ( x)
y0l0 ( x) y1l1 ( x) 2
研究生数值分析(5)---牛顿迭代法
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
是曲线
y=f(x)在
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
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3.复化求积公式的收敛性与收敛阶定义：设有一个复化求积公式)(f I n ，如果存在与步长h 无关的非零常数c ，使得 1)()(lim+→-p n h h f I f I =c则称求积公式)(f I n 是p 阶收敛的.显然，从复化梯形公式和复化Simpson 公式的余项可以看出，)(f T n 是二阶收敛的，而)(f S n 是4阶收敛的.对插值型求积公式的收敛性，我们不作证明地给出如下结论：定理：设)(x f 在区间],[b a 上黎曼可积，则当插入分点无限增多，即∞→n 且0→h 时，)(f T n 与)(f S n 收敛到积分⎰badx x f )(.最后，我们介绍一下步长的自动选择问题.由上面的收敛性定理可知：加密节点可以提高求积公式的精度.但在使用之前必须给出合适的步长，这却是一个难题.步长取得太大，满足不了精度要求，步长取得太小，又增加了不必要的运算.在计算机上通常采用将区间逐次二等分，反复利用求积公式进行计算，直到所求得前后二次积分的差满足精度为止.§5.3 Gauss 求积公式 前面讨论的对积分⎰badx x f )(的插值型求积公式)(f I n =∑=nk k k x f A 0)(中，其节点0x ，1x ，…，nx 是给定的且使)(f I n 至少具有n 次代数精度.这样实际上是限定了求积公式的代数精度，若求积点),,2,1,0(n k x k =也可任意选取，则求积公式中含有22+n 个待定参数),,2,1,0(,n k A x k k =，适当选取这些参数可使求积公式具有12+n 次代数精度，称这种用1+n 个求积点而具有12+n 次代数精度的求积公式为高斯求积公式，1+n 个求积点称为高斯点.1Exp 对于积分⎰-11)(dx x f 构造求积公式⎰-11)(dx x f ≈)(00x f A +)(11x f A使其至少有代数精度3次.解：按要求，为了使求积公式具有3次代数精度，分别令1)(=x f ，x ，2x ，3x 代入上式有 1)(=x f ，⇒0A +1A =2 ① x x f =)(，⇒0A 0x +1A 1x =0 ②2)(x x f =，⇒0A 20x +1A 21x =32③ 3)(x x f =，⇒0A 30x +1A 31x =0 ④由②得：（0A +1A ）0x +1A （1x -0x ）=0，利用 ①得20x +1A （1x -0x ）=0 ⑤ 由②得0A 0x =-1A 1x 代入③得0A 20x +1A 21x =（-1A 1x ）0x +1A 21x =1A 1x （1x -0x ）=32⑥ 由 ③得0A 20x =32-1A 21x 代入④得 0A 30x +1A 31x =（32-1A 21x ）0x +1A 31x =320x +1A 21x （1x -0x ）=0 ⑦联立方程⑤⑥⑦，消去1A （1x -0x ），注意到1x ＞0x 得 0x =-31，1x =31，0A =1A =1，所以⎰-11)(dx x f ≈)31(-f +)31(f显然，上述的求积公式至少有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式却只有1次代数精度.但是，当n 稍大时要得到上述方程组的解析解是很困难的，用数值的方法求解上述非线性方程组亦非易事.所以一般利用正交多项式来确定Gauss 点0x ，1x ，…，n x ，然后，利用插值原理确定Gauss 求积系数),,2,1,0(n k A k =. k A =⎰bak dx x l x )()(ρ其中)(x l k ),,2,1,0(n k =是Gauss 点的Lagrange 插值基函数，从而Gauss 型插值求积公式⎰badx x f x )()(ρ≈∑=nk k k x f A 0)(一、Gauss 点与正交多项式零点的关系 定理：对插值型求积公式⎰badx x f x )()(ρ≈∑=nk k k x f A 0)(其节点0x ，1x ，…，n x 是Gauss 点的充分必要条件是1+n 次多项式 )(1x w n +=)())((10n x x x x x x --- 与任意次数不超过n 的多项式)(x P 正交.即⎰+ban dx x w x P x )()()(1ρ=0该定理说明，区间],[b a 上的Gauss 点即是在],[b a 上的1+n 次正交多项式)(1x n +ϕ的零点.当选定了Gauss 点后，利用公式k A =⎰bak dx x l x )()(ρ可以求得系数k A ，从而得到Gauss 型求积公式∑=nk k kx f A)(.2Exp 确定0x ，1x ，0A ，1A 使以下公式为Gauss 求积公式.⎰-1)(1dx x f x ≈)(00x f A +)(11x f A解：首先构造区间[0，1]上权函数为)(x ρ=x -1首1的正交多项式)(x k ϕ. 设1)(0=x ϕ，a x x +=)(1ϕ，c bx x x ++=22)(ϕ… （想法是能确定正交多项式)(2x ϕ则其零点即是Gauss 点0x ，1x ）()10,ϕϕ=⎰+-1)(1dx a x x =0 ⇒52-=a ， a x x +=)(1ϕ=52-x()20,ϕϕ=⎰++-102)(1dx c bx x x =0⇒358+b 52+c =0()21,ϕϕ=⎰++--102))(52(1dx c bx x x x =0⇒98-=b从而638=c ，63898)(22+-=x x x ϕ，求得其零点为：0x =0.1788，1x =0.7101令1)(=x f ，⎰-11dx x =0A +1A ⇒0A +1A =32x x f =)(，⎰-11xdx x =0.17880A +0.71011A ⇒0.17880A +0.71011A =154 解得0A =0.3891，1A =0.2776 所以，高斯求积公式为⎰-1)(1dx x f x ≈0.3891)1788.0(f +)7101.0(2776.0f二、常用的Gauss 型求积公式 1.Legendre Gauss -求积公式区间[-1，1]上权函数)(x ρ=1的正交多项式是Legendre 正交多项式)(x P n =()[]n nn n x dxd n 1!212- 以Legendre 正交多项式的零点为Gauss 点的求积公式⎰1)(dx x f ≈∑=nk k k x f A 0)(称为Legendre Gauss -求积公式. 当1=n 时，即是例1的结论，⎰-11)(dx x f ≈)31(-f +)31(f它是具有3次代数精度的2点插值型求积公式.当2=n 时，3次Legendre 正交多项式2)35()(33x x x P -=的零点0x =-515,1x =0，2x =515作为Gauss 点可求出具有5次代数精度的求积公式⎰-11)(dx x f ≈)515(95-f +)0(98f +)515(95f 现将5,4,3=n 时，Legendre 正交多项式的零点（高斯点）与相应的求积系数列于下表. Legendre Gauss -公式的求节点数和求积系数对于一般区间],[b a 上的积分⎰badx x f )(作变换x =2b a ++t ab 2- 则有⎰badx x f )(=⎰--++-11)22(2dt t a b b a f a b =⎰--++-11)22(2dt t ab b a f a b于是区间],[b a 上的积分变成了[-1，1]上的积分，从而⎰badx x f )(≈∑=-++-n k k k t ab b a f A a b 0)22(2参数k t ，k A 可以在上面的表中查寻.3Exp 构造⎰102)(dx x f 的Legendre Gauss -求积公式，使其具有5次代数精度.解：由代数精度12+n =5，得n =2，即2个区间3个节点.令x =2b a ++t ab 2-=6+4t ，则dt dx 4=，⎰102)(dx x f =⎰-+11)46(4dt t f ≈∑=+2)46(4k k k t f A查表得：0t =-53，1t =0，2t =53，0A =2A =5，1A =98代入上式得⎰102)(dx x f ≈∑=+2)46(4k k k t f A=4{)5346(95-f +)6(98f +)5346(95+f }. 对Legendre Gauss -求积公式也可以构造复化的求积公式，主要有两种：一是将区间],[b a 分成n 等分，在每个小区间上用2点Legendre Gauss -求积公式得到：⎰badx x f )(≈∑-=++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10212132322n k k k h x f h x f h ⎪⎭⎫⎝⎛-=n a b h 上式称为复化Legendre Gauss -Ⅰ型求积公式；二是将区间n 2等分，在每个小区间上用3点Legendre Gauss -求积公式得到：⎰badx x f )(≈∑-=+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10121212)(85355359n k k k k x f h x f h x f h ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n a b h 2 称为复化Legendre Gauss -Ⅱ型求积公式.2.Chebyshev Gauss -求积公式 区间[-1，1]上权函数为211)(xx -=ρ的正交多项式是Chebyshev 多项式)(x T n =)arccos cos(x n取其1+n 次多项式的零点k x =))1(212cos(π++n k （n k ,,2,1,0 =）为高斯点，相应的求积系数为k A =⎰--112)(11dx x l xk =1+n π（n k ,,2,1,0 =）其中，)(x l k 是关于所选节点的Lagrange 插值基函数.从而Chebyshev Gauss -求积公式为：⎰--112)(11dx x f x≈∑=+nk kx f n 0)(1π特别，当1=n 时，二次Chebyshev 正交多项式为)(2x T =122-x ，因而高斯点为0x =-21，1x =21，算得系数0A =1A =2π两点Chebyshev Gauss -求积公式为⎰--112)(11dx x f x ≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-21212f f π 同理，1=n 时，可构造3点Chebyshev Gauss -求积公式为⎰--112)(11dx x f x ≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23)0(233f f f π 三、Gauss 求积公式的数值稳定性与收敛性 假设在求积公式)(f I n =∑=nk k k x f A 0)(中，函数)(x f 有舍入误差k ε=)(kx f -)(~k x f ，令 ε=k nk ε≤≤0max ，并记求积公式的误差)~()(f I f I n n -=δ.定义：如果)~()(f I f I n n -=δ≤εC ，其中C 是与ε无关的常数，则称求积公式是数值稳定的. 由于Gauss 求积公式是以正交多项式的零点为Gauss 点的Lagrange 插值，可以证明，其求积系数k A 都是正的并且Gauss 求积公式是数值稳定的.更进一不，当)(x f 在区间],[b a 上连续时，Gauss 求积公式是收敛的.即 )(lim f I n n ∞→=⎰badx x f x )()(ρ。