线性系统 复习
系统工程复习资料
一、填空1、线性规划的数学模型中，决策者对于实现目标的限制因素称为—约束条件O2、在可行解区中，通过各极点作与目标函数直线斜率相同的平行直线，这些平行直线称之为_等值线o3、线性规划数学模型中，实际系统或决策问题中有待确定的未知因素，称之为—变量一4、对于供求平衡的运输问题，表上作业法是在平衡表的基础上首先求出一个—初始调运方案5、图解法中，可行解区域内满意目标函数的解称之为—可行解—o6、通过一种数学的迭代过程，逐步求得线性规划多变量模型最优解的方法，称之为—单纯形法—O7、用单纯形法求解线性规划问题时，若约束条件是等于或小于某确定数值，则应在每个不等式中引入一个—松驰变量—o8、线性规划的图解法适用于—只含有2~3个变量的线性规划问题o9、若B是原规划的最优可行基，则最优单纯形乘子Y*=C B B-I是其对偶规划的一最优解—o10、在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为自由变量o11、在图论中，表示对象之间的某种特定的关系，通常用边或弧表示o12、原问题的第i个约束方程是型，则对偶问题的变量y是自由变量o13、在线性规划中，凡满意约束条件的解均称之_可行解—o14、单纯形法求解线性规划问题时，若要求得基础解，应令非基变量全为0 o15、使用线性规划单纯形法时，为了将模型转换成标准形式，我们可以在每个不等式中引入一个新的变量，这个新变量称一松驰变量C16、在线性规划的图解法中，全部可行解所分布的区域称之为可行解区—o17、在线性规划中，设约束方程的个数为m,变量个数为n, m<n时，我们可以把变量分为基变量和非基变量两部分，基变量的个数为_m个—o18、使目标值达到最优的可行解叫做—最优解—o19、假如实际运输问题的产销不平衡,为了转化为平衡的运输问题,我们可以虚设一个—产地或销地—O20、在产销平衡运输问题中，设产地为m个，销地为n个，那么基可行解中非零变量的个数(不能大于(m+n-l)o21、在一个网络中，假如图形是连通且不含圈的，则这种图形称之为—树—o22、关于线性规划问题，叙述正确的为其最优解若存在，在可行解中必有最优解—o23、使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当全部的检验数丐工。
线性系统复习
k1
y(k) CAk x0 C Ak j1Bu( j)
0
j0
CeAtx0 h(t)*u(t)
CAk x0 h(k)*u(k)
h (t )DCe At B
h(k )DCA k 1B
传递函 数阵
H ( s) C ( sI A) 1 B
H ( z ) C ( zI A)1 B
u(k) u(t)
u (t) u (k) k T t (k 1)T y(k)
u(t)
u(k) 保持器 u(t) x Ax Bu
y Cx Du y(u)
x(k1)G(xk)H(uk) y(k)C(xk)D(uk)
{x Ax Bu
定1.理 给定线性y 定 Cx D常 u x系 0)(x统 0 (1
2 ,G
e At
1
0
0.5(
1-e-2T ) e-2T
1 0
0.091
0.819
H (
T e At dt)B
T 1
0
0 0
0.5(
1-e-2t ) e-2t
dt
×10
0.5T 0.25e-2T -0.5e-2T 0.5
Bu (k )
(k
)
(1)
已知 x(k 0 ), 及 u(k) k k 0
k 1
x(k) A k-k 0 x(k 0 )
A k-i- 1 Bu(i)
i k0
若令 k 0 0 , 则有 :
k 1
x(k) A k x( 0 )
A k-i- 1 Bu(i)
信号与线性系统复习课用习题
第三、四章自测题解答一、 填空题：1、（1）)(1t f 的参数为VA s T s 1,1,5.0===μμτ，则谱线间隔为__1000__kHz, 带宽为___2000__kHz 。
（2）)(2t f 的参数为V A s T s 3,3,5.1===μμτ，则谱线间隔为___333__kHz, 带宽为_666__kHz 。
（3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比为___1：3____。
（4）)(1t f 的基波幅度与)(2t f 的三次谐波幅度之比为__1：1___。
2、由于周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数的系数具有收敛性，因此，当k →∞时，k a =0。
3、信号x (t)的频带宽度为B ，x(2t)的频带宽度为 ，x(t/2)的频带宽度为 .3、根据尺度变化性质，可得x(2t)的频带宽度为2B ，可得x(t/2)的带宽为B/2。
6、设f (t)的傅里叶变换为)(ωj F ，则)(jt F 的傅里叶变换为2f ()πω-。
7、单个矩形脉冲的频谱宽度一般与其脉宽τ有关，τ越大，则频谱宽度 越窄 。
8、矩形脉冲通过RC 低通网络时，波形的前沿和后沿都将产生失真，这种失真的一个主要的原因是RC 低通网络不是理想低通滤波器，脉冲中的高频成分被削弱 。
9、为满足信号无失真，传输系统应该具有的特性（1）H(j )ω=；（2）h(t)= 。
9、（1）0j t Ke ω-（K 为常数），（2）0K (t-t )δ（0t 为常数） 10、已知某个因果连续时间LTI 系统的频率响应为H(j )ω，则该系统对输入信号tj t j e a e a E t x 0011)(ωω--++=的响应为 . 10、系统对输入信号t j t j e a e a E t x 0011)(ωω--++=的响应为)()()0()(010100ωωωωj H e a j H e a j EH t y t j t j -++=--。
线性系统复习
完全能观V对连续时间线性时变系统和指定初始时刻九匚£如果存在一个时刻輕几f"*使系统以A W F为初始状态的输HVW恒为零，即HCmtreivj.则称非零状态「切在时刻如为不能观测;如果状态空闻中所有非塞状态在时刻f松都不为不能观测，则称系统在时刻如为完全能观瀝，不完全能观一致完全能观r如果系统对任意时刻均为完全能观測，即能观测性与初始时刻如的选取无关・则称系统为救S全能观测.完全能控判据对H维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵S松=[5 AE,才鱼…才T R满秩，即ranliQ=ftn维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为:rank{Sf-A / Vs€ C或TOM耳人r-坨月]="&为系统特征值能控性指数令Q& =2炯…屮5对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为:"=使/71戚0=丹成立的最小正整数h完全能观判据对科维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观测性判别矩阵CCA满秩，即fank Qf,=rt歼维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件;Sf-ACrank=/?V5E C或rank 人/一川C ZMy…4,为系统特征值= A(t)X + 5® Y 二 c(t)XI 屮r = —/厂⑴屮卩+ C 丁⑴/b =£「(f)屮 rP = \b Ab A^b …才比］能观性指数 宦义：令西=cCA完全能观测胖堆连续時间线性时不变系统的能观测性指数 定义为訂使"皿必0=/|"成立的最小正整数4离散系统能控 结论4 H 维离散时间线性时不变系统X 茁十1} = GVW 十切 系统完全能达的充分必要条件为矩阵久“乩他…”切馬秩 离散系统能观 结论8 «维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要 条件为Q"* =c ' CG cc*-'对偶系统满秩能控标准型 比—|W6=严％©=eP兀=PrcinkQ^=r<n^尸1=尸=［如,血…4「丨Oz …,qJ于是可得能控子系统动态方程V = 4 rV 十岀沙厂十和 ”=百*不能控子系统动态方程丘点-兀2丫己Xl — C 2七zrank 0。
信号与线性系统知识点总复习
信号与线性系统知识点总复习1.信号的基本概念信号是电子信息工程中的重要概念，简单来说就是随时间（或空间）变化的物理现象。
信号可以分为连续信号和离散信号两种。
连续信号可以用函数表示，离散信号可以用数列表示。
2.常见信号的分类常见的信号类型包括连续时间信号、离散时间信号、周期信号、非周期信号、奇函数信号、偶函数信号等。
不同类型的信号在数学表示和性质上有所差异。
3.连续时间信号的基本性质连续时间信号可以通过振幅、频率、相位等参数来描述。
它们具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
这些性质对于信号的分析和处理都是重要的基础。
4.离散时间信号的基本性质离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，通常用数列表示。
离散时间信号具有线性性质、时移性、尺度变换性质和时间反转性质。
此外，离散时间信号还有抽样定理、离散时间傅立叶变换等重要概念。
5.线性系统的基本概念线性系统是输入和输出之间存在线性关系的系统，可以用线性常微分方程或差分方程表示。
线性系统具有叠加原理、时不变性、因果性等基本特性。
线性系统的频率响应是分析系统特性的重要工具。
6.线性时不变系统的冲激响应冲激响应是线性时不变系统的重要性质，它描述了系统对单位冲激输入的响应。
从冲激响应可以得到系统的频率响应、相位响应等信息。
7.线性时不变系统的频率响应频率响应描述了线性时不变系统对不同频率的输入信号的响应特性。
它可以通过线性时不变系统的冲激响应来计算，常用的方法有离散时间傅立叶变换、连续时间傅立叶变换、z变换等。
8.线性系统的稳定性分析稳定性是线性系统分析中的重要性质。
对于连续时间系统，稳定性可以通过系统的传递函数的极点位置来判断。
对于离散时间系统，稳定性可以通过系统的差分方程的极点位置来判断。
9.线性系统的频域分析频域分析是信号与系统分析中的重要方法，可以通过傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换等来将信号从时域转换到频域。
频域分析可以得到信号的频谱特性、频率响应等信息。
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
总复习(信号与线性系统必过知识点)
( t0，t0 +T )
2）指数函数集 ejnt n 0,1,2, ,
( t0，t0 +T )
3.2 周期信号的傅里叶级数展开
（1） f(t)为奇函数 正弦分量
（2） f(t)为偶函数 （3） f(t)为奇谐函数 （4） f(t)为偶谐函数
余弦分量+直流分量 奇次谐波 偶次谐波+直流分量
rzi (0 ), r 'zi (0 ), rz(in1) (0 )
4） 将初值带入rzi(t)的通解表达式，求出待定系数。
例1：已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r’(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传
输算子为 解：
H(
p)
2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
当激励e(t)=3 ε(t) ，初始状态保持不变时，响应 r2(t)=(8e-2t -7e-3t) ε(t)。
求：（1）激励e(t)=0，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应 r3(t)=？ （2）激励e(t)=2 ε(t)，初始状态为零时的响应r4(t)=？
解:
当激励e(t)= ε(t) ，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时， 响应
2
2
2
例2：计算
4
(2 4t)(t 2)dt
1
解：4 (2 4t)(t 2)dt 1
4 1 (t 1)(t 2)dt 0
14
2
注意积 分区间
1. 2 信号的运算
1）折叠：y(t)=f (-t) 2）时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：y(t)=-f (t) 4）展缩：y(t)=f (at) 其中：a>0
线性控制理论总复习(2012)
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型
线性系统理论第一章(习题)
若 li 是 A 的特征值，试证 [1 li li 2 li n -1 ]T 是属于 li 的特征向量。 1—2 若 li 是 A 的一个特征值，试证 f (li ) 是矩阵函数 f (A) 的一个特征值。 1—3 试求下列矩阵的特征多项式和最小多项式
é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 1 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 0 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û é l1 1 0 0 ù ê ú ê 0 l1 0 0 ú ê ú ê ú ê 0 0 l1 1 ú ê ú ê 0 0 0 l1 ú ë û
y =
t
ò0 g(t - t )u(t )d t
若脉冲响应 g 由图 1—12(a)给定。试问，由图 1—12(b)所示的输入而激励的输出为何？ g(t) 1 1 (a) 图 1—12 脉冲响应和输入作用 1—12 试求图 1—13 所示系统的动态方程式(略)
29
u(t) 1 2 t 1 2 (b) t
n >m
试证，给定初始状态 x(m ) = x0 下，时刻 n 的状态为 x(n )=F(n, m )x(0) 。若 A 与 n 无关，则
F(n, m ) 为何？
1—27 证明 x(n + 1) = A(n )x(n ) + B(n )u(n ) 的解为
n -1
x(n ) = F(n, m )x(m ) +
1 ù ú s+3ú 5s + 1 úú s + 2 úû
的实现，并画出其模拟图。 1—25 设{ A , B , C , D }和{ A , B , C , D }是两个线性时不变系统，其维数不一定相同。证明当 且仅当
线性系统部分总复习(2015)
2
总复习：现代控制理论
二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
建立状态空间表达式的方法主要有两种： 1. 根据系统机理建立状态空间表达式 2. 由系统输入输出描述建立状态空间表达式
能控标准型实现 能观测标准型实现
y = Cˆxˆ
中， Cˆ 中与同一特征值的各约当块对应的各子 块的第一列组成的矩阵是列线性无关的。
31
总复习：现代控制理论
四、对偶性
1.对偶系统考：虑连续时间线性时变系统
： x& A(t)x B(t)u y C(t)x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ：
&T AT (t) T CT (t)T T BT (t) T
22
总复习：现代控制理论
1. 秩判据
线性定常系统
x&(t) Ax(t) Bu(t) x(0) x0 t 0
完全能控的充分必要条件是
rankQc rank BMABML MAn1B n
其中: n为矩阵A的维数，Qc BMABML MAn1B 称为系统的能控性判别阵。
注：秩判据是一种方便，应用广泛的判别方法。 23
0
Ac
M 0
0
1 O
1 L
1
n-1
0
bc
M
0
1
则称此状态空间描述为能控规范形。
33
总复习：现代控制理论
约当规范形
状态方程中的 系统矩阵A具 有分块对角形 的形式。
9
总复习：现代控制理论
1) 对角线规范形
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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线性系统复习题—答案 - 副本
1、已知线性定常系统状态方程为：Ax x =.其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2310A （1）采用线性变换化A 为对角型；32231det )det(2-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-s s s s A SI 特征值：1,321=-=λλ鉴于系统矩阵是能控规范型，且特征值互异，故取变化矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1311P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--13,41434141 11AP P A P 故有则(2)求出状态转移矩阵)(t Φ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-231)(s sA SI⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++-++--++--++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=--=--141343143343141341143341312)1)(3(1)()()(1s s s s s s s s s s s s A SI A SI adj A SI （主对换，负变号）()[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=-=Φ∴------t t tt t t tt e e e e e e e e A SI L t 4143434341414341)(333311 （3）初始状态T x ]10[)0(=时，写出系统齐次状态方程)(t x 。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-=Φ==--t t t t Ate e e e X t X e t X 41434141)0()()0()(332、已知系统方程为：[]x y u x x 110,121201112201=⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⋅（1）写出对偶系统的状态空间描述；;（2）写出原系统的能控矩阵c Q 、能观矩阵o Q ；（3）写出对偶系统的能控矩阵c Q 、能观矩阵o Q ；（4）运用对偶原理，判断原系统及其对偶系统的状态能控、能观测性。
原系统 ：能控性： 能观测性：rank( )=3=n即原系统属于完全能控和完全能观系统。
对偶系统 ： 根据对偶原理完全能控 完全能观测 完全能观测 完全能控推出，对偶系统属于完全能控和完全能观系统。
《线性系统理论基础》复习提纲
已知系统 x& = Ax + Bu, y = Cx + Du
1）求矩阵的互不相同的特征根 λi ,i = 1, 2,L, n ：即求特征多项式 λ I − A = 0 的根 2）求每个特征根 λi 对应的特征向量 vi ：即求解线性方程组
(λ iI − A)vi = 0
3）构造线性变换 x = Px 的矩阵 P ：即以特征向量 vi 为列向量构成矩阵
m
,将其转化为
⎡ x1 ⎤ ⎡ y ⎤
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y(n) y=
+ an−1y(n−1) + " + a1y + bm y(m) + bm−1y(m−1) + "
a0 y = u + b1y + b0
y
，选取状态向量
⎢ ⎢ ⎢
x2 #
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢ ⎢
y #
⎥ ⎥ ⎥
已知系统的状态方程 x& = Ax + Bu 、初始状态 x(0) 和输入控制量 u(t) ，求状态响应 x(t) ： 1）求状态转移矩阵 eAt
∫ 2）分别求系统的零输入响应 eAt x(0) 和零状态响应 t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
3）系统的状态响应为
∫ x(t) = eAt x(0) + t eA(t−τ )Bu(τ )dτ 0
( A − λ i I ) pij3 = pij2 M
(A−λ
i I ) pikj j
=
pj i(k j −1)
（其中 k j 表示相应于特征向量 pij 的广义特征向量个数）
变换矩阵的构造如下：
à 对应于 λ i 的 βi 个约当块的分块矩阵为 Pi j = ⎡⎣ pi1j pij2 L
线性系统理论复习
◆给定系统{A，B，C，D}，当A的特征值两两相异时，利用特征向量组成变换矩阵，可化为对角形；当A的特征值不是两两相异时，有时可以化为对角形，有时不能化成对角形，只能化为约当形。
◆对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。
◆线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。
定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。
代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。
◆对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为n，则系统能控性指数μ＝n。
结论①时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性。
②离散化系统属性：不管系统矩阵A(t)或A是非奇异或奇异，其离散化系统的系统矩阵G(k)和G必为非奇异。
◆如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消。
◆单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生因子相消◆单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。
◆对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻t0=0,则系统BIBO 稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵G(s)的所有极点均具有负实部。
◆定义：称连续时间线性时不变系统在t0为内部稳定，是指由时刻t0任意非零初始状态引起的零输入响应Xou(t)对t∈[t0,+∞)有界，并满足渐近属性。
◆李亚普诺夫意义下稳定只能保证系统受扰运动相对于平衡状态的有界性，不能保证系统受扰运动相对于平衡状态的渐进性。
线性系统理论复习大纲
第一部分复习大纲1.什么是线性系统？线性系统一般怎样分类？2.状态空间的描述和输入输出描述的基本概念及其关系。
3.系统状态空间描述建模。
主要是指电路、力学装置、机电装置的状态空间描述数学模型。
4.状态方程的约当标准型及其性质。
5.传递函数矩阵概念。
传递函数矩阵与状态空间描述之间的关系（已知状态空间描述求传递函数矩阵和已知传递函数矩阵进行状态空间描述实现）。
6.线性坐标变换。
7.组合系统的状态空间描述，输入输出描述建模。
8.矩阵指数函数及其性质。
9.线性系统的运动求解，系统矩阵特征值，特征向量对运动的影响。
10.脉冲响应阵与传递函数阵的关系、卷积定理。
11.状态转移矩阵及其性质。
12.线性连续系统离散化及其性质、求解。
13.连续系统与离散系统的能控性、能达性、能观性、能测性及其判据。
14.能控性指数、能观性指数、对偶原理。
15.能控能观标准型及其结构分解，结构分解后各部分与输入输出描述，状态空间描述之间的关系，会对约当标准型进行结构分解并求传递函数。
16.线性系统内部稳定、BIBO稳定概念及其性质。
17.连续和离散系统的lyapunov稳定概念及其各种判别定理，会用lyapunov方法判断连续系统、离散系统的稳定性。
18.状态反馈、输入输出反馈性能比较。
19.极点配置及其算法。
20.镇定条件、镇定与极点配置的关系（算法不考，但对一个线性系统能进行是否能镇定条件判断）。
21.解耦控制形式、分类，各种解耦方法特点，系统能否解耦判断，会进行积分型解耦算法。
22.跟踪问题及其结构框图、内模原理（会建立跟踪问题的内模）、可跟踪条件。
23.各种线性二次型最优控制问题指标含义，掌握最优控制及其性能指标求法。
24.无限时间最优控制的稳定裕度，反馈增益可摄动范围及其物理意义。
25.状态观测器设计、分类及其特点，掌握全维和降维观测器设计方法。
26.状态观测器设计与状态反馈设计之间的关系问题。
第二部分复习大纲1.多项式、多项式矩阵的基本概念。
夏德铃《自动控制理论》(第4版)笔记和考研真题详解(线性系统的根轨迹分析)【圣才出品】
（3）如果系统具有一对主导极点，则系统的暂态响应呈振荡性质，其超调量主要决
定于主导极点的衰减率
，并与其他零、极点接近坐标原点的程度有关，
而调整时间主要取决于主导极点的实部
（4）如果在系统中存在偶极子。如偶极子的位置接近坐标原点，其影响往往需要考
虑。
（5）如果除了一对主导复数极点之外，系统还具有若干实数零、极点，则零点的存
③规则七：根轨迹的出射角为：
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入射角为：
其他规则均不变。
四、滞后系统的根轨迹 滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊性，并往往对系统的稳定性带来不利 的影响。 1．绘制滞后系统根轨迹的相位条件和幅值条件 （1）幅值条件
4.2 名校考研真题详解
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一、选择题
1．开环系统传递函数为 上，有（ ）根轨迹趋于无穷远。[东南大学研]
有（ ）根轨迹完全落在实轴
A．3 条，1 条
B．1 条，3 条
C．2 条，3 条
D．2 条，2 条
【答案】C
3．闭环极点的确定 （1）闭环极点的定义 闭环极点是指当 K1（或 K）值满足幅值条件时，对应的根轨迹上的点。 （2）闭环极点的作用 利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的 K1 值。
三、广义根轨迹 根轨迹一般都是以系统的开环增益 K1 为可变参量，还有许多其他种类的根轨迹，它们 是：参数根轨迹，多回路系统的根轨迹，正反馈回路和零度根轨迹。 1．参数根轨迹 （1）定义 参数根轨迹是指以所选可变参量 α 代替 K1 的位置所画出的根轨迹。 （2）表达式
管致中信号与线性系统第5版知识点课后答案
管致中信号与线性系统第5版知识点课后答案第1章绪论1.1 复习笔记⼀、信号的概念信号是随着时间变换的某种物理量。
信号可按不同⽅式进⾏分类，通常的分类如下：1.确定信号与随机信号当信号是⼀确定的时间函数时，给定某⼀时间值，就可以确定⼀相应的函数值。
这样的信号是确定信号。
但是，带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，它们是⼀种随机信号。
随机信号不是⼀个确定的时间函数，当给定某⼀时间值时，其函数值并不确定，⽽只知道此信号取某⼀数值的概率。
严格地说，在实际⼯程中遇到的信号绝⼤部分都是随机信号。
2.连续信号与离散信号确定信号可以表⽰为确定的时间函数，如果在某⼀时间间隔内，对于⼀切时间值，除了若⼲不连续点外，该函数都给出确定的函数值，这信号就称为连续信号（continuous signal）。
在⽇常⽣活中遇到的信号⼤都属于连续信号，例如⾳乐、声⾳、电路中的电流和电压等。
和连续信号相对应的是离散信号（discrete signal）。
离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。
3.周期信号与⾮周期信号⽤确定的时间函数表⽰的信号，⼜可分为周期信号（periodic signal）和⾮周期信号（non—periodic signal）。
周期信号是指对于任意的时间点，都满⾜＝其中的被称为信号的周期。
从直观上看，周期信号是⼀段长度为的信号按照时间不断重复⽽构成的信号。
⽽不满⾜上述特性的信号被称为⾮周期信号。
4.能量信号与功率信号信号的能量，功率公式为：如果信号总能量为⾮零的有限值，则称其为能量信号；如果信号平均功率为⾮零的有限值，则称其为功率信号（power signal）。
⼆、信号的简单处理1.信号的相加与相乘两个信号的相加（乘）即为两个信号的时间函数相加（乘），反映在波形上则是将相同时刻对应的函数值相加（乘）。
图1-1所⽰就是两个信号相加的⼀个例⼦。
图1-12. 信号的延时发射机发出的信号传输到接收机的过程中，必须经过⼀定的信道。
考研数学一2024线性代数真题系统复习
考研数学一2024线性代数真题系统复习线性代数是考研数学一中的一大重点，对于考研学子来说，掌握好线性代数的知识是非常重要的。
本文将为大家介绍如何系统地复习考研数学一2024年线性代数真题，帮助大家更好地备战考试。
一、线性代数概述考研数学一中的线性代数部分主要涉及向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量等内容。
在复习时，我们可以按照章节顺序进行系统学习，并且注重理论与实际应用的结合。
二、复习方法1.理论知识的学习与梳理在复习线性代数时，首先要对各个章节的理论知识进行学习与梳理。
可以通过阅读教材，重点记忆和理解各个概念和公式，并注意归纳总结相关性质和定理。
2.真题的分析与解答真题是考研数学一复习的重要资源，通过分析和解答真题，可以更好地了解考试的出题规律和要求。
针对2024年线性代数真题，我们可以按照题目的类型，将其分为向量空间、线性变换、矩阵与行列式、特征值与特征向量等几个方面进行分类复习。
3.习题的刷题与总结除了真题，还可以利用习题集进行刷题，并总结其中的考点和解题思路。
可以选择一些经典教材中的习题，通过刷题来加深对知识点的理解和掌握。
同时，需要注意做题思路的灵活运用，培养良好的解题能力。
三、重点知识点下面将针对线性代数的几个重点知识点进行简要介绍。
1.向量空间向量空间是线性代数的基础概念，包括集合的线性运算、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组等内容。
在复习时，需要掌握向量空间的定义和性质，能够判断集合是否构成向量空间。
2.线性变换线性变换是一种特殊的函数，具有线性性质。
需要熟练掌握线性变换的定义、线性变换的基和维数等概念，并能够运用线性变换的性质解题。
3.矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要工具，涉及到矩阵的运算法则、矩阵的特殊类型、行列式的定义和性质等内容。
需要熟悉矩阵的基本运算，掌握矩阵乘法的计算方法，以及行列式的性质和计算方法。
4.特征值与特征向量特征值与特征向量是矩阵与线性变换的重要概念，与矩阵的对角化和特征子空间有关。
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5）坐标缩放性质（定标性质）—The scaling property
若: g(x) f (x) h(x)
6） 函数的卷积性质
则: f (ax) h(ax) 1 g(ax) a
f (x) (x) f ( ) (x )d f ( ) ( x)d f (x)
f (x) (x x0 ) f (x x0 )
2j
f0 ) (u
f0 )]
9．圆函数的FT
1 , r a
f
(r)
circ(
r a
)
1/ 2 0 ,
, r
r
a
a
1, r 1 f (r) circ(r) 1/ 2 , r 1
0 , r 1
FT[circ( r )] 2 a2 J1( 2a)
a
2a
FT[circ(r)] 2 J1( 2) 2
(a
2 f0 j2 u)2 (2
f0 )2
5)．平移性：
若： F(u, v) FT[ f (x, y)]
则：
FT[ f (x x0, y y0 )] exp[ j2 (ux0 vy0 )]F (u, v)
❖空域中的平移造成频域中频谱的相移。
❖光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不性。
0
1.2-3.3 FT存在及应用条件(Requirements)
1.2-3.4 广义FT (极限意义下的FT，及δ函数的FT)
lim 1. 极限意义下的FT f (x)
gn ( x)
n
FT f (x) limFT gn(x) limGn(u)
n
n
FT
[sgn(
j
u
x)]
lim
n
Fn
(u
则：f (x x1) h(x) g(x x1) f (x) h(x x2 ) g(x x2 )
f (x x1) h(x x2 ) g(x x1 x2 )
4）结合性(Associative)
[ f (x) h1(x)] h2 (x) f (x) [h1(x) h2 (x)]
2. 普通函数序列极限形式的定义
gn (x, y)dxdy 1
lim
n
gn (x, y) 0,
for x 0 and / or y 0
(x, y) limgn (x, y) n
1.2-2.2 函数的性质
设 f(x,y) 在（x0, y0）处连续，则有： 1. 筛选性质
(x x0 , y y0 ) f (x, y)dxdy f (x0 , y0 )
x0-a/2 0 x0 x0+a/2
2 sinc函数
sinc x x0 sin( (x x0 ) / a) , a (x x0 ) / a
3 三角函数(Triangle Function)
tri(
x
a
x0
)
1 0
x x0 a
for x x0 1, a
otherw is e
3) |Rfg(x,y)|2 <= Rff(0,0)·Rgg(0,0)，其中: 仅当 f(x,y) = k·g(x,y) 时，(k为复常数)，才可能取等号。
4) |Rff(x,y)| <= Rff(0,0) ❖自相关函数在原点处取最大值，且为正值。
4. 归一化互相关函数和自相关函数
fg (x, y)
a
n
a
7．周期函数的FT
设 f (x) 为周期函数，周期为 d0, 频率为 f0=1/d0，则
f (x) Cn exp( j2 nf0x)
n
1
其中：Cn
f0
f0 0
f (x) exp( j2nf0 x)dx
F(u) FT[ f (x)]
[
Cn exp( j2 nf0x)]exp( j2ux)dx
Rfg (x, y)
1
[Rff (0, 0) Rgg (0, 0)] 2
f *(, )g( x, y)dd
[
f (, ) 2dd
g
(
,
)
2d
d
]
1 2
f *( , ) f ( x, y)dd
ff
(x,
y)
Rff (x, y) Rff (0, 0)
f ( , ) 2d d
1 , 当u 0
j u
)
lim(
n
1 n2
j4u (2u
)2
)
0,
当u 0
1. 函数的FT FT[ (x)] 1 (x) 1
2．step(x)的FT FT[step(x)]
1 2
(u
)
j
u
3．comb(x/a)的FT , (a为正实数)
FT[comb( x )] FT[exp( j2 n x )] a comb(au)
f (x n) n
3卷积
g(x) f (x) h(x) f ()h(x )d
g(x, y) f (x, y)h(x, y) f (, )h(x , y )dd
其中 x, y 及 , 都是实变量，f , h可实可复。
卷积计算方法
具体求法大体可分四步：
卷积存在条件 物理上的可能性，就是其存在的充分条件。
10．有限余弦波列的FT(频谱)
rect( x 2T
) cos(2
f0 x)
T{[sinc[2(u
f0)T ] sinc[2(u
f0 )T ]}
11．半边指数函数的FT
exp(ax)step(x) 1 a 0
a j2 u
12．阻尼正弦波的FT
exp(ax)step(x) sin(2
j2 ux)du F(u) f (x) exp( j2 ux)dx
f (x) FT 1[F (u)]
F(u) FT[ f (x)]
1.2-3.2 二维傅立叶变换(2D-FT)
1. 直角坐标系下的2D-FT
F(u,v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
卷积的性质 1）线性性质(Distributive)—叠加性和均匀性
[af1(x) bf2 (x)] h(x) af1(x) h(x) bf2 (x) h(x)
2）可交换性(Commutative) f (x) h(x) h(x) f (x)
3）平移不变性(Shift invariance) 若： g(x) f (x) h(x)
tri ((x-x0)/a) 1
4 符号函数
1 sgn( x) 0
1
x
sgn(x)
x0-a 0 x0 x0+a
1
for x 0 for x 0 for x 0
0
x
-1
5 阶跃函数(Step Function)
1
step(
x
x0 a
)
1/ 0
2
for x x0 for x x0
for x x0
Rff (x, y) f *(, ) f ( x, y)dd f (x, y) f (x, y)
1）互相关与卷积的关系
Rfg (x, y) f (x, y) g(x, y) f *(x, y) g(x, y)
2）自相关与卷积的关系
Rff (x, y) f (x, y) f (x, y) f *(x, y) f (x, y)
F(u,v) FTf (x, y)
f (x, y) F(u,v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
f (x, y) FT 1F (u, v)
f (x, y) F(u, v)
2. 极坐标系下的2D-FT
2
G(,) r g(r, ) exp[ j2 r cos( )]drd
1.1 线性系统
1线性系统： 若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：
S{a1 f1(x1, y1) a2 f2 (x1, y1)} a1S{ f1(x1, y1)} a2S{ f2 (x1, y1)}
则称该系统是线性系统。 a1g1(x2 , y2 ) a2 g2 (x2 , y2 ) 2系统对点基元函数的输出响应叫做系统的脉冲响应或点扩散函
x 1 other
exp(a2 x2 ) exp[( u )2 ] exp[ 2 ( u )2 ]
a
a
a
a
(a 0)
8．余弦函数 cos(2 f0x) 和正弦函数 sin(2 f0x) 的FT
cos(2f0 x)
1 [ (u
2
f0 ) (u
f0 )]
sin(2f0 x)
1 [ (u
x
y
a
r
x
1.2-2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义
(x x0, y y0 ) 0
for x x0 and y y0 for x x0 and/or y y0
and (x x0, y y0 )dxdy 1
(x-x0, y-y0)
1 y0
0 x0
y x
5 相关运算的性质 1）互相关运算一般不具有可交换性
Rfg (x, y) Rgf (x, y) Rgf (x, y) R*fg (x, y)
显然，当 f, g 均为实函数时，有 ： Rgf (x, y) Rfg (x, y)
2）自相关函数具有厄密对称性 f(x, y) 是实函数
Rff (x, y) R*ff (x, y) Rff (x, y) Rff (x, y)
➢对于互相关有：0 fg (x, y) 1
只有当时f=g时，在原点处才可能等于1
➢对于自相关有：0 ff (x, y) 1
在原点上等于1
1.2-3 傅里叶变换