线性系统 复习

数，用表示h(x2, y2 ; , )
h(x2, y2;, ) S (x1 , y1 )
g(x2, y2) f (, )h(x2, y2;, )dd
1.2 二维傅里叶变换
1 rect函数
rect
x
x0 a
1 0
x x0 1 2 a
otherwise
1 rect [(x-x0)/a] x
➢对于互相关有：0 fg (x, y) 1
只有当时f=g时，在原点处才可能等于1
➢对于自相关有：0 ff (x, y) 1
在原点上等于1
1.2-3 傅里叶变换
傅立叶变换( FT) 若 f(x) 为非周期函数，在 x 的整个区间内满足狄里赫里条件, 则 f(x) 可用叠加积分表示为：
2. 与函数乘积的性质
f (x, y) (x x0 , y y0 ) f (x0 , y0 ) (x x0 , y y0 )
3. 坐标缩放性质
(ax,by) 1 (x, y)
ab
(ax b) 1 (x b )
a
a
a和b是实常数, a, b 0
1. 一维comb函数
comb(x) (x n)
5 相关运算的性质 1）互相关运算一般不具有可交换性
Rfg (x, y) Rgf (x, y) Rgf (x, y) R*fg (x, y)
显然，当 f, g 均为实函数时，有 ： Rgf (x, y) Rfg (x, y)
2）自相关函数具有厄密对称性 f(x, y) 是实函数
Rff (x, y) R*ff (x, y) Rff (x, y) Rff (x, y)
F(u,v) FTf (x, y)
f (x, y) F(u,v) exp[ j2 (ux vy)]dudv
f (x, y) FT 1F (u, v)
f (x, y) F(u, v)
2. 极坐标系下的2D-FT
2
G(,) r g(r, ) exp[ j2 r cos( )]drd
1 , 当u 0
j u
)
lim(
n
1 n2
j4u (2u
)2
)
0,
当u 0
1. 函数的FT FT[ (x)] 1 (x) 1
2．step(x)的FT FT[step(x)]
1 2
(u
)
j
u
3．comb(x/a)的FT , (a为正实数)
FT[comb( x )] FT[exp( j2 n x )] a comb(au)
a
n
a
7．周期函数的FT
设 f (x) 为周期函数，周期为 d0, 频率为 f0=1/d0，则
f (x) Cn exp( j2 nf0x)
n
1
其中：Cn
f0
f0 0
f (x) exp( j2nf0 x)dx
F(u) FT[ f (x)]
[
Cn exp( j2 nf0x)]exp( j2ux)dx
n
是间隔为1的无穷多个 函数的和。
comb(x, y) comb(x) comb( y)
(x n) (y m)
n
m
(x n, y m) n m
▪Comb函数的用途： (1) 抽样
f (x)comb (x) f (n) (x n) n
(2) 重复排列
f (x) comb(x) f ( )comb(x )d
x0-a/2 0 x0 x0+a/2
2 sinc函数
sinc x x0 sin( (x x0 ) / a) , a (x x0 ) / a
3 三角函数(Triangle Function)
tri(
x
a
x0
)
1 0
x x0 a
for x x0 1, a
otherw is e
1பைடு நூலகம்1 线性系统
1线性系统： 若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即有：
S{a1 f1(x1, y1) a2 f2 (x1, y1)} a1S{ f1(x1, y1)} a2S{ f2 (x1, y1)}
则称该系统是线性系统。 a1g1(x2 , y2 ) a2 g2 (x2 , y2 ) 2系统对点基元函数的输出响应叫做系统的脉冲响应或点扩散函
0
1.2-3.3 FT存在及应用条件(Requirements)
1.2-3.4 广义FT (极限意义下的FT，及δ函数的FT)
lim 1. 极限意义下的FT f (x)
gn ( x)
n
FT f (x) limFT gn(x) limGn(u)
n
n
FT
[sgn(
j
u
x)]
lim
n
Fn
(u
5）坐标缩放性质（定标性质）—The scaling property
若: g(x) f (x) h(x)
6） 函数的卷积性质
则: f (ax) h(ax) 1 g(ax) a
f (x) (x) f ( ) (x )d f ( ) ( x)d f (x)
f (x) (x x0 ) f (x x0 )
x
y
a
r
x
1.2-2.1 δ函数定义 1. 类似普通函数形式的定义
(x x0, y y0 ) 0
for x x0 and y y0 for x x0 and/or y y0
and (x x0, y y0 )dxdy 1
(x-x0, y-y0)
1 y0
0 x0
y x
f (x n) n
3卷积
g(x) f (x) h(x) f ()h(x )d
g(x, y) f (x, y)h(x, y) f (, )h(x , y )dd
其中 x, y 及 , 都是实变量，f , h可实可复。
卷积计算方法
具体求法大体可分四步：
卷积存在条件 物理上的可能性，就是其存在的充分条件。
Rff (x, y) f *(, ) f ( x, y)dd f (x, y) f (x, y)
1）互相关与卷积的关系
Rfg (x, y) f (x, y) g(x, y) f *(x, y) g(x, y)
2）自相关与卷积的关系
Rff (x, y) f (x, y) f (x, y) f *(x, y) f (x, y)
tri ((x-x0)/a) 1
4 符号函数
1 sgn( x) 0
1
x
sgn(x)
x0-a 0 x0 x0+a
1
for x 0 for x 0 for x 0
0
x
-1
5 阶跃函数(Step Function)
1
step(
x
x0 a
)
1/ 0
2
for x x0 for x x0
for x x0
10．有限余弦波列的FT(频谱)
rect( x 2T
) cos(2
f0 x)
T{[sinc[2(u
f0)T ] sinc[2(u
f0 )T ]}
11．半边指数函数的FT
exp(ax)step(x) 1 a 0
a j2 u
12．阻尼正弦波的FT
exp(ax)step(x) sin(2
f0 x)
6 圆函数(circle function)
circ
1, for x2 y2 a
x2 a
y2
1/ 2 , for x2 y2 0 , for x2 y2
a
a
7 高斯函数(Gaussian Function)
gaus(x) exp( x2 )
sgn((x-x0)/a)
1
0 x0
x 1 other
exp(a2 x2 ) exp[( u )2 ] exp[ 2 ( u )2 ]
a
a
a
a
(a 0)
8．余弦函数 cos(2 f0x) 和正弦函数 sin(2 f0x) 的FT
cos(2f0 x)
1 [ (u
2
f0 ) (u
f0 )]
sin(2f0 x)
1 [ (u
6)．体积或面积的对应关系
若有 ： FT{ f (x, y)} F(u, v) 则有 ：
f (0, 0)
F (u, v)dudv
F (0, 0)
f (x, y)dxdy
7)．复共轭函数的FT
若有 ： FT{ f (x, y)} F(u, v) 则有：
Rfg (x, y)
1
[Rff (0, 0) Rgg (0, 0)] 2
f *(, )g( x, y)dd
[
f (, ) 2dd
g
(
,
)
2d
d
]
1 2
f *( , ) f ( x, y)dd
ff
(x,
y)
Rff (x, y) Rff (0, 0)
f ( , ) 2d d
(a
2 f0 j2 u)2 (2
f0 )2
5)．平移性：
若： F(u, v) FT[ f (x, y)]
则：
FT[ f (x x0, y y0 )] exp[ j2 (ux0 vy0 )]F (u, v)
❖空域中的平移造成频域中频谱的相移。
❖光场复振幅不具有平移不变性。但强度具有平移不性。
函数为偶函数
7）卷积运算具有平滑和展宽效应
4 互相关和自相关 (Cross-correlation and Autocorrelation)
Rfg (x, y) f *(, )g( x, y)dd f (x, y) g(x, y)
Rfg (x, y) f *( x, y)g(, )dd f (x, y) g(x, y)
2. 普通函数序列极限形式的定义
gn (x, y)dxdy 1
lim
n
gn (x, y) 0,
for x 0 and / or y 0
(x, y) limgn (x, y) n
1.2-2.2 函数的性质
设 f(x,y) 在（x0, y0）处连续，则有： 1. 筛选性质
(x x0 , y y0 ) f (x, y)dxdy f (x0 , y0 )
00
2
g(r, ) G(,) exp[ j2 r cos( )]dd
00
▪圆对称函数的FT的极坐标表示 ——傅立叶—贝塞耳变换 ( FT for the case of Circular Symmetry)
G( ) 2 rg (r)J 0 (2 r)dr
0
g(r) 2 G( )J 0 (2 r)d
则：f (x x1) h(x) g(x x1) f (x) h(x x2 ) g(x x2 )
f (x x1) h(x x2 ) g(x x1 x2 )
4）结合性(Associative)
[ f (x) h1(x)] h2 (x) f (x) [h1(x) h2 (x)]
3) |Rfg(x,y)|2 <= Rff(0,0)·Rgg(0,0)，其中: 仅当 f(x,y) = k·g(x,y) 时，(k为复常数)，才可能取等号。
4) |Rff(x,y)| <= Rff(0,0) ❖自相关函数在原点处取最大值，且为正值。
4. 归一化互相关函数和自相关函数
fg (x, y)
f (x) F(u) exp( j2 ux)du F(u) f (x) exp( j2 ux)dx
f (x) FT 1[F (u)]
F(u) FT[ f (x)]
1.2-3.2 二维傅立叶变换(2D-FT)
1. 直角坐标系下的2D-FT
F(u,v) f (x, y) exp[ j2 (ux vy)]dxdy
2j
f0 ) (u
f0 )]
9．圆函数的FT
1 , r a
f
(r)
circ(
r a
)
1/ 2 0 ,
, r
r
a
a
1, r 1 f (r) circ(r) 1/ 2 , r 1
0 , r 1
FT[circ( r )] 2 a2 J1( 2a)
a
2a
FT[circ(r)] 2 J1( 2) 2
n
Cn (u nf0 ) n
4．rect函数的FT
rect(x) sinc(u) sin(u) u
rect( x ) asinc(au) a sin( au)
a
au
5．tri函数的FT
tri(x) sinc2 (x)
6．Gaus函数的FT
tri( x)
1
x
,
0
exp( x2 ) exp( u 2 )
卷积的性质 1）线性性质(Distributive)—叠加性和均匀性
[af1(x) bf2 (x)] h(x) af1(x) h(x) bf2 (x) h(x)
2）可交换性(Commutative) f (x) h(x) h(x) f (x)
3）平移不变性(Shift invariance) 若： g(x) f (x) h(x)