特殊的平行四边形拔高题

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北师大版2019-2020初中数学特殊的平行四边形提升训练题1(附答案)

北师大版2019-2020初中数学特殊的平行四边形提升训练题1（附答案）3．如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm11．在数学活动课上，老师让同学们判定一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作小组的四位同学的拟订方案，其中正确的是()A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否为直角D．测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等12．菱形的两条对角线长为6 cm 和8 cm，那么这个菱形的周长为A．40 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm13．在菱形ABCD中，AC、BD为对角线，若AC=4，BD=8，则菱形ABCD的面积是（）A．12 B．16 C．24 D．3214．顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是( )A．平行四边形B．长方形C．任意四边形D．正方形15．如图，在矩形ABCD中，AB=2，E在BC的延长线上，且BD=CE，连接AE，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．45°16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值﹣1．其中正确的说法有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．117．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直18．如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A→D→B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为( )A ．52B ．2C ．72D ．519．如图，矩形ABCD 中， AC 、BD 相较于点O ，若60AOB ∠=︒， 6AC =，则BC 的长为（）．A ．3B ．C ．D ．620．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论：①AC ＝5；②∠A+∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD ．正确的有( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④21．设二次函数y=x 2+ax+b 图像与x 轴有2个交点，A(x 1,0)，B(x 2,0)；且0< x 1<1；1< x 2<2,那么（1）a 的取值范围是___________；b 的取值范围是________；则（2）的取值范围是_______.31．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，点E 、F 分别是DO 、AO 的中点．若AB=8cm ，BC=4cm ，则△OEF 的周长为 cm ．32．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；则点C 2的坐为．33．如图，在矩形ABCD 中，35ABBC =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E ，若8AE ED ⋅=，则矩形ABCD 的面积为_______.34．如图，A ，B 两点的坐标分别为（6,0),(0,6)，点P 从点A 出发，沿AB 个单位的速度向终点B 运动；同时动点Q 从点B 出发沿BO 方向以每秒1个单位的速度向终点Q 运动，将△PQO 沿BO 翻折，点P 的对应点为点C ，若四边形QPOC 为菱形，则点C 的坐标为________．35．如图，在菱形ABCD中，，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则的度数为______．36．如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点,连结BP,过P作PQ⊥BP,PQ交CD于Q,若AP=，CQ=3，则四边形PBCQ的面积为_______.37．已知一个菱形的周长为，有一个内角为，则这个菱形较短的一条对角线长为________．38．如图，已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC长的最大值是．39．如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连接AE、AC、CE，则△AEC的面积是cm2。

特殊平行四边形提高训练

特殊平行四边形提高训练一．选择题〔共16 小题〕1．〔2021?灵璧县一模〕如下图，矩形 ABCD 中，AE 平分∠ BAD 交 BC 于 E，∠ CAE=15 °，那么下面的结论：① △ODC 是等边三角形；② BC=2AB；③ ∠ AOE=135°；④ S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个2．〔2021?鄂州一模〕如图，在矩形AOBC 中，点 A 的坐标〔﹣ 2，1〕，点 C 的纵坐标是4，那么 B 、C 两点的坐标分别是〔〕A ．〔，〕、〔﹣，4〕B．〔，3〕、〔﹣，4〕C．〔，3〕、〔﹣，4〕D．〔，〕、〔﹣， 4〕3．〔2021?石峰区模拟〕矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，点 M 在边 CD 上，假设 AM 平分∠ DMB ，那么 DM 的长是〔〕A．B．C．D．4．〔2021?姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a， CE=2a，连接 BD 、 BF、 DF ，那么△ BDF 的面积是〔〕A．32 B．16 C．82 D． 16+a5．〔2021?灯塔市二模〕如图，在矩形ABCD 中， AB=3 ， DC=2 ，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上〔点 E 不与点 B、C 重合〕，过点 E 作 EM ⊥OB 于 M ，EN ⊥ OC 于 N ，那么 EM+EN 的值为〔〕A．6B．1.5 C．D．6．〔2021?肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4： 3，那么这个菱形的面积是〔〕2222A ． 12cmB ．96cmC． 48cm D ．24cm7．〔2021 ?丹东〕过矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作 EF⊥ AC ，交 BC 边于点 E，交 AD 边于点 F，分别连接AE 、 CF．假设 AB=，∠ DCF=30°，那么EF的长为〔〕A．2B．3C．D．8．〔2021?天津一模〕如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足为H，那么点 O 到边 AB 的距离 OH 等于〔〕A．2B．C．D．9．〔2021?和县一模〕如图，菱形ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三等分点，连接OB、 OD ，且 OB=OC=OD ． AC=3 ，那么菱形的边长为〔〕A．B．2C．D．10．〔2021?丹东模拟〕如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，点 E 为 BC 的中点，那么以下等式中一定成立的是〔〕A ． AB=BEB ．AC=2AB C． AB=2OE D ．AC=2OE11．〔2021 ?西城区二模〕如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中， O 是原点，假设点 A 的坐标为〔 1，〕，那么点C的坐标为〔〕A ．〔，1〕B．〔﹣ 1，〕C．〔﹣，1〕D．〔﹣，﹣1〕12．〔2021 ?桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD 中，对角线AC=6 ，点 P 是对角线 AC 上的一点，过点P 作 PF⊥ AD ，PE⊥ CD ，那么 PF+PE 的值为〔〕A．3B ．3C．2D．613．〔2021 ?本溪二模〕如图，在矩形ABCD 中， AD=2AB ， E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，连接 AF 与 BE 、 CE 与 DF 分别交于点M 、 N 两点，那么四边形EMFN 是〔〕A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定14．〔2021 春?石林县期末〕如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，那么∠ BFC 为〔〕A ． 75° B． 70° C． 65° D． 60°15．〔2021 ?铁力市二模〕如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线BD 上一点， PE⊥ BC 于点 E；PF⊥ CD 于点 F，连接 EF ，给出以下五个结论：① AP=EF ；② AP ⊥EF；③∠PFE=∠ BAP ；222④ PD=EC ；⑤ PB +PD =2PA，正确的有〔〕个．A．5B．4C．3D．216．〔2021 ?陕西模拟〕如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线BD 上一点，且 BE=BC ，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥ BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，那么 PQ+PR 的值是〔〕A．B．C．D．二．解答题〔共11 小题〕17．〔2021?咸阳模拟〕如图，矩形 ABCD ，E、 F 在 AB 、 CD 上，且 EF∥ AD ， M 为 EF 的中点，连接 AM 、DM ，求证： AM=DM ．18．〔2021?市南区一模〕：如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF ，作 EG∥ FH，分别与对角线BD 交于点 G、 H，连接 EH， FG．（1〕求证：△ BFH ≌△ DEG ；（2〕连接 DF，假设 BF=DF ，那么四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．19．〔2021春 ?南京校级月考〕：如图， BE 、 BF 分别是∠ ABC 与它的邻补角∠ ABD 的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点 E，AF ⊥ BF ，垂足为点 F，EF 分别交边 AB 、AC 于点 M 和 N ．求证：（1〕四边形 AFBE 是矩形；（2〕 MN= BC ．20．〔2021?安徽模拟〕如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF∥ BE，连结 BF， CE．〔1〕求证：四边形BFCE 是平行四边形；〔2〕当边 AB 、 AC 满足什么条件时，四边形BECF 是菱形？并说明理由．21．〔2021?十堰模拟〕：如图，在菱形 ABCD 中， F 为边 BC 的中点， DF 与对角线 AC 交于点M ，过 M 作 ME ⊥CD 于点 E，∠ 1=∠ 2．（1〕假设 CE=2，求 BC 的长；（2〕求证： ME=AM ﹣ DF．22．〔2021?东平县一模〕如图，在△ ABC中，∠ ABC=90°，BD为AC的中线，过点C 作CE⊥ BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交CE 的延长线于点F，在 AF 的延长线上截取FG=BD ，连接 BG、DF ．（1〕求证： BD=DF ；（2〕求证：四边形 BDFG 为菱形；（3〕假设 AG=13 ， CF=6 ，求四边形 BDFG 的周长．23．〔2021?南岗区模拟〕如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连接 BE 、DF， DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG ．（1〕求证： AE=CG ；（2〕试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．24．〔2021?景德镇校级二模〕如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ，对角线 BD 平分∠ ABC ， P 是BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD ， PN⊥ CD ，垂足分别为 M ， N．（1〕求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称．（2〕假设∠ ADC=90 °，求证四边形 MPND 为正方形．25．〔2021 ?滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上， AE 分别交DC， BD 于 F， G，点 H 为 EF 的中点．求证：〔 1〕∠ DAG= ∠ DCG ；〔2〕GC⊥CH ．26．〔2021春 ?丹阳市校级月考〕如图，正方形ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，E 是 AC 上的一点，过点A 作 AG ⊥ BE ，垂足为 G， AG 交 BD 于点 F．（1〕试说明 OE=OF ；（2〕当 AE=AB 时，过点 E 作 EH⊥BE 交 AD 边于 H ，找出与△ AHE 全等的一个三角形加以证明，〔3〕在〔 2〕的条件下假设该正方形边长为1，求 AH 的长．27．〔2021 ?荆州〕如图 1，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F．（1〕证明： PC=PE；（2〕求∠ CPE 的度数；（3〕如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当∠ ABC=120 °时，连接CE，试探究线段AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．特殊平行四边形提高训练参考答案与试题解析一．选择题〔共16 小题〕1．〔2021?灵璧县一模〕如下图，矩形 ABCD 中，AE 平分∠ BAD 交 BC 于 E，∠ CAE=15 °，那么下面的结论：① △ODC 是等边三角形；② BC=2AB；③ ∠ AOE=135°；④ S△AOE=S△COE，其中正确结论有〔〕A．1 个 B．2 个C．3 个D．4 个【分析】根据矩形性质求出 OD=OC ，根据角求出∠ DOC=60 °即可得出三角形 DOC 是等边三角形，求出 AC=2AB ，即可判断②，求出∠ BOE=75 °，∠AOB=60 °，相加即可求出∠ AOE ，根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ BAD=90 °， OA=OC ，OD=OB ， AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∵AE 平分∠ BAD ，∴∠ DAE=45 °，∵∠ CAE=15 °，∴∠ DAC=30 °，∵OA=OD ，∴∠ ODA= ∠ DAC=30 °，∴∠ DOC=60 °，∵OD=OC ，∴△ ODC 是等边三角形，∴① 正确；∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥ BC ，∠ ABC=90 °∴∠ DAC= ∠ ACB=30 °，∴A C=2AB ，∵AC ＞BC，∴2AB ＞ BC，∴②错误；∵AD ∥BC，∴∠ DBC= ∠ ADB=30 °，∵AE 平分∠DAB ，∠DAB=90 °，∴∠ DAE= ∠ BAE=45 °，∵AD ∥BC，∴∠ DAE= ∠ AEB ，∴∠ AEB= ∠BAE ，∴A B=BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ DOC=60 °， DC=AB ，∵△ DOC 是等边三角形，∴DC=OD ，∴BE=BO ，∴∠ BOE= ∠BEO=〔180°﹣∠ OBE〕=75°，∵∠ AOB= ∠ DOC=60 °，∴∠ AOE=60 °+75 °=135 °，∴ ③正确；∵OA=OC ，∴根据等底等高的三角形面积相等得出 S△AOE=S COE，∴④正确；应选C．2．〔2021?鄂州一模〕如图，在矩形AOBC 中，点 A 的坐标〔﹣ 2，1〕，点 C 的纵坐标是4，那么 B 、C 两点的坐标分别是〔〕A ．〔，〕、〔﹣，4〕B．〔，3〕、〔﹣，4〕C．〔，3〕、〔﹣，4〕D．〔，〕、〔﹣， 4〕【分析】如过点 A、 B 作 x 轴的垂线垂足分别为F、 M ．过点 C 作 y 轴的垂线交FA 、根据△AOF ∽△ CAE ，△AOF ≌△ BCN ，△ACE ≌△ BOM 解决问题．【解答】解：如图过点 A 、 B 作 x 轴的垂线垂足分别为 F、M ．过点 C 作 y 轴的垂线交 FA、∵点 A 坐标〔﹣ 2， 1〕，点 C 纵坐标为 4，∴A F=1 ， FO=2 ， AE=3 ，∵∠ EAC+ ∠OAF=90 °，∠ OAF+ ∠ AOF=90 °，∴∠ EAC= ∠AOF ，∵∠ E=∠AFO=90 °，∴△ AEC ∽△ OFA，∴，∴EC=，∴点C坐标〔﹣，4〕，∵△ AOF ≌△ BCN ，△ AEC ≌△ BMO ，∴CN=2 ， BN=1 ， BM=MN ﹣ BN=3 ， BM=AE=3 ， OM=EC=，∴点 B 坐标〔，3〕，应选 C．3．〔2021?石峰区模拟〕矩形 ABCD 中，AB=2 ，AD=1 ，点 M 在边 CD 上，假设 AM 平分∠ DMB ，那么 DM 的长是〔〕A．B．C．D．【分析】由矩形的性质得出CD=AB=2 ， AB ∥CD ， BC=AD=1 ，∠ C=90 °，由平行线的性质得出∠ BAM= ∠AMD ，再由角平分线证出∠BAM= ∠ AMB ，得出 MB=AB=2 ，由勾股定理求出 CM ，即可得出DM 的长．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴C D=AB=2 ， AB ∥ CD ， BC=AD=1 ，∠C=90 °，∴∠ BAM= ∠ AMD ，∵AM 平分∠ DMB ，∴∠AMD= ∠AMB ，∴∠ BAM= ∠ AMB ，∴B MB=AB=2 ，∴CM===，∴DM=CD ﹣CM=2 ﹣；应选： D．4．〔2021?姜堰区校级模拟〕矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a， CE=2a，连接 BD 、 BF、 DF ，那么△ BDF 的面积是〔〕A．32 B．16 C．82 D． 16+a【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF 面积，减去△ ABD 面积与△ BEF 面积，求出△ BDF 面积即可．【解答】解：根据题意得：△BDF 的面积 =8 ×4+2a?a+×2a〔 4﹣ a〕﹣222﹣×8×4﹣ a〔 2a+8〕 =32+2a +4a﹣ a ﹣ 16﹣ a4a=16；应选： B．5．〔2021?灯塔市二模〕如图，在矩形 ABCD 中， AB=3 ， DC=2 ，O 是 AD 的中点，连接OB、OC，点 E 在线段 BC 上〔点 E 不与点 B、C 重合〕，过点 E 作 EM ⊥OB 于 M ，EN ⊥ OC于 N ，那么 EM+EN 的值为〔〕A．6B．1.5 C．D．【分析】连接 OE，由矩形的性质得出CD=AB=3 ， AD=BC=2 ，∠ A= ∠ D=90 °，由勾股定理得出 OB=OC=，由△OBE的面积+△ OCE的面积=△ OBC的面积，即可得出结果．【解答】解：连接 OE，如下图：∵四边形 ABCD 是矩形，∴C D=AB=3 ， AD=BC=2 ，∠ A= ∠ D=90 °，∵O 是 AD 的中点，∴A O=DO=1 ，∴OB=OC==，∵△ OBE 的面积 +△OCE 的面积 =△ OBC 的面积，∴OB ?EM+ OC?EN= BC?AB ，∴〔EM+EN〕×=×2×3，解得： EM+EN=；应选： D．6．〔2021?肥城市二模〕一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是 4： 3，那么这个菱形的面积是〔〕2222A ． 12cmB ．96cm C． 48cmD ．24cm【分析】先求出菱形的边长，然后设菱形的两对角线分别为8x ， 6x，根据菱形的对角线垂直平分求出两对角线的一半，再利用勾股定理列式求出x，从而得到对角线的长，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进展计算即可得解．【解答】解：∵菱形的周长是 20cm，∴边长为 20÷4=5cm ，∵两条对角线的比是 4： 3，∴设菱形的两对角线分别为8x， 6x，根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，那么对角线的一半分别为4x， 3x，222根据勾股定理得，〔 4x〕+〔 3x〕 =5，解得 x=1 ，所以，两对角线分别为8cm， 6cm，所以，这个菱形的面积=×8×6=24cm 2．应选： D．7．〔2021 ?丹东〕过矩形 ABCD 的对角线边于点 F，分别连接 AE 、 CF．假设AB=AC 的中点 O 作 EF⊥ AC ，交 BC 边于点 E，交 AD ，∠ DCF=30 °，那么 EF 的长为〔〕A．2B．3C．D．【分析】求出∠ ACB= ∠ DAC ，然后利用“角角边〞证明△ AOF 和△ COE 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF第 12 页〔共 31 页〕【解答】解：∵矩形对边AD ∥BC ，∴∠ ACB= ∠ DAC ，∵O 是 AC 的中点，∴AO=CO ，在△ AOF 和△ COE 中，，∴△ AOF ≌△ COE 〔ASA 〕，∴OE=OF ，又∵ EF⊥ AC ，∴四边形 AECF 是菱形，∵∠ DCF=30 °，∴∠ ECF=90 °﹣ 30°=60°，∴△ CEF 是等边三角形，∴E F=CF ，∵AB= ，∴C D=AB= ，∵∠DCF=30 °，∴C F= ÷ =2，∴E F=2 ．应选 A．8．〔2021?天津一模〕如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O，AC=8 ，BD=6 ，过点 O 作 OH ⊥ AB ，垂足为H，那么点 O 到边 AB 的距离 OH 等于〔〕A．2B．C．D．【分析】因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH 的长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形， AC=8 ，BD=6 ，∴B O=3 ， AO=4 ， AO ⊥ BO ，∴AB==5．∵OH⊥AB ，∴AO ?BO= AB ?OH，∴OH=，应选 D．9．〔2021?和县一模〕如图，菱形ABCD 中，点 O 对角线 AC 的三等分点，连接OB、 OD ，且 OB=OC=OD ． AC=3 ，那么菱形的边长为〔〕A．B．2C．D．【分析】由菱形的性质得出AB=BC ，得出∠ BAC= ∠ ACB ，由条件得出OB=OC=AC=1 ，由等腰三角形的性质得出△ BOC∽△ ABC ，得出对应边成比例，即可求出菱形的边长．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴ AB=BC ，∴∠ BAC= ∠ ACB ，∵点 O 对角线 AC 的三等分点，∴OB=OC=AC=1 ，∴∠ BAC= ∠ ACB= ∠ OBC ，∴△ BOC∽△ ABC ，所以，即，2∴BA =3 ，∴BA=；应选： A．10．〔2021?丹东模拟〕如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，点 E 为 BC 的中点，那么以下等式中一定成立的是〔〕A ． AB=BEB ．AC=2AB C． AB=2OE D ．AC=2OE【分析】由菱形的性质以及三角形中位线定理逐项分析即可．【解答】解：∵点 E 为 BC 的中点，∴C E=BE= BC，∵A B=BC ，∴AB=2BE ，应选项A 错误；∵在菱形 ABCD 中，对角线AC ， BD 相交于点O，∴AO=CO=AC ，∴OE 是△ ABC 的中位线，∴OE= AB ，应选项 C 正确；∵AC ≠AB ≠BC，∴AC ≠2AB ≠2OE，应选项B ， D 错误，应选 C．11．〔2021 ?西城区二模〕如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系xOy 中， O 是原点，假设点 A 的坐标为〔 1，〕，那么点C的坐标为〔〕A ．〔，1〕B．〔﹣ 1，〕C．〔﹣，1〕D．〔﹣，﹣1〕【分析】作 AD ⊥轴于 D，作 CE⊥ x 轴于 E，那么∠ ADO= ∠OEC=90 °，得出∠ 1+ ∠ 2=90°，由正方形的性质得出OC=AO ，∠ 1+∠ 3=90 °，证出∠ 3=∠2，由 AAS 证明△OCE≌△ AOD ，OE=AD=， CE=OD=1 ，即可得出结果．【解答】解：作 AD ⊥轴于 D，作 CE⊥x 轴于 E，如下图：那么∠ ADO= ∠ OEC=90 °，∴∠ 1+∠ 2=90°，∵点 A 的坐标为〔 1，〕，∴OD=1 ， AD=，∵四边形 OABC 是正方形，∴∠ AOC=90 °， OC=AO ，∴∠ 1+∠ 3=90°，∴∠ 3=∠ 2，在△ OCE 和△ AOD 中，，∴△ OCE≌△ AOD 〔 AAS 〕，∴OE=AD=，CE=OD=1，∴点 C 的坐标为〔﹣，1〕；应选： C．12．〔2021 ?桐庐县模拟〕如图，在正方形ABCD 中，对角线AC=6 ，点 P 是对角线 AC 上的一点，过点P 作 PF⊥ AD ，PE⊥ CD ，那么 PF+PE 的值为〔〕A．3B ．3C．2D．6【分析】由正方形的性质得出∠PAF=∠ PCE=45 °，证出△ APF 和△ CPE 是等腰直角三角形，得出 PF=AP ， PE=PC，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ BAD= ∠ BCD=90 °，∠ PAF=∠ PCE=45°，∵P F⊥AD ， PE⊥CD ，∴△ APF 和△CPE 是等腰直角三角形，∴PF=AP， PE=PC，∴PF+PE=〔AP+PC〕=AC=3；应选： A．13．〔2021 ?本溪二模〕如图，在矩形ABCD 中， AD=2AB ， E、F 分别是 AD 、 BC 的中点，连接 AF 与 BE 、 CE 与 DF 分别交于点M 、 N 两点，那么四边形EMFN 是〔〕A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．无法确定【分析】利用矩形的性质与判定方法得出四边形EMFN 是矩形，进而利用等腰直角三角形的性质得出AM=ME ， BM=MF=AM，那么ME=MF，进而求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥ BC ， AD=BC ，∠ EAB= ∠ ABF= ∠ BCD=∠CDA=90 °，又∵ E， F 分别为 AD ， BC 中点， AD=2AB ，∴AE ∥ BF， ED∥ CF， AE=BF=DE=CF=AB=DC，∴∠ ABE= ∠AEB= ∠DEC= ∠ DCE= ∠ DFC=45 °，∴∠ BEN=90 °，又∵ DE BF， AE FC，∴四边形 EMFN 是矩形，∴AM ⊥BE ，BM ⊥ AF，∴AM=ME ， BM=MF=AM，∴ME=MF ，∴四边形 EMFN 是正方形．应选： A．14．〔2021 春?石林县期末〕如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接 CE，与对角线 BD 交于 F，那么∠ BFC 为〔〕A ． 75° B． 70° C． 65° D． 60°【分析】由于四边形ABCD 是正方形，△ADE 是正三角形，由此可以得到CD=DE ，接着利用正方形和正三角形的内角的性质即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ ADC=90 °， AD=DC ，又∵△ ADE 是正三角形，∴CD=DE ，∠ ADE=60 °，∴△ CDE 是等腰三角形，∠CDE=90 °+60 °=150°，∴∠ ECD= ∠DEC=15 °，∵∠ BDC=45 °，∴∠ CFD=180 °﹣15°﹣45°=120°，∴∠ BFC=60 °，应选 D15．〔2021 ?铁力市二模〕如图，点 P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点， PE⊥ BC 于点 E；PF⊥ CD 于点 F，连接 EF ，给出以下五个结论：① AP=EF ；② AP ⊥EF；③∠PFE=∠ BAP ；222④ PD=EC ；⑤ PB +PD =2PA，正确的有〔〕个．A．5B．4C．3D．2【分析】根据正方形的性质与正方形关于对角线对称可得所给选项的正误．【解答】解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF ；②正确；延长AP，交 EF 于点 N ，那么∠ EPN= ∠ BAP= ∠ PCE=∠PFE，可得 AP⊥ EF；③正确；∠ PFE= ∠PCE=∠ BAP ；④错误， PD=222．PF= CE；⑤正确， PB +PD =2PA应选 B．16．〔2021 ?陕西模拟〕如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线BD 上一点，且 BE=BC ，P 为 CE 上任意一点，PQ⊥ BC 于点 Q， PR⊥ BE 于点 R，那么 PQ+PR 的值是〔〕A．B．C．D．【分析】连接 BP ，利用面积法求解，PQ+PR 的值等于 C 点到 BE 的距离，即正方形对角线的一半．【解答】解：连接 BP，过 C 作 CM ⊥ BD ，∵S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC ×PQ× +BE ×PR×=BC ×〔 PQ+PR〕×=BE ×CM ×，BC=BE ，∴PQ+PR=CM ，∵BE=BC=1 ，且正方形对角线BD=BC=，又∵ BC=CD ， CM ⊥ BD ，∴M 为 BD 中点，又△ BDC 为直角三角形，∴CM= BD=，即 PQ+PR 值是．应选： D．二．解答题〔共11 小题〕17．〔2021?咸阳模拟〕如图，矩形 ABCD ，E、 F 在 AB 、 CD 上，且 EF∥ AD ， M 为 EF 的中点，连接 AM 、DM ，求证： AM=DM ．【分析】由矩形的性质得出AE ∥DF，∠ BAD=90 °，再由 EF∥ AD ，证出四边形AEFD 是矩形，得出 AE=DF ，∠AEM= ∠ DFM=90 °，由 SAS 证明△ AEM ≌△ DFM ，得出对应边相等即可．【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥ DF ，∠ BAD=90 °，∵E F∥AD ，∴四边形 AEFD 是矩形，∴A E=DF ，∠ AEM= ∠ DFM=90 °，∵M 为 EF 的中点，∴E M=FM ，在△ AEM 和△DFM 中，，∴△ AEM ≌△ DFM 〔SAS〕，∴AM=DM ．18．〔2021?市南区一模〕：如图，在矩形ABCD 中，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC上，且 AE=CF ，作 EG∥ FH，分别与对角线BD 交于点 G、 H，连接 EH， FG．（1〕求证：△ BFH ≌△ DEG ；（2〕连接 DF，假设 BF=DF ，那么四边形 EGFH 是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】〔 1〕由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，OB=OD ，由平行线的性质得出∠F BH= ∠ EDG ，∠ OHF= ∠OGE ，得出∠ BHF= ∠ DGE，求出 BF=DE ，由 AAS 即可得出结论；〔2〕先证明四边形EGFH 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥ GH ，即可得出四边形 EGFH 是菱形．【解答】〔 1〕证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥ BC ， AD=BC ， OB=OD ，∴∠ FBH= ∠ EDG ，∵AE=CF ，∴BF=DE ，∵EG∥ FH ，∴∠ OHF= ∠ OGE ，∴∠ BHF= ∠ DGE ，在△ BFH 和△ DEG 中，，∴B FH ≌△ DEG 〔 AAS 〕；（2〕解：四边形 EGFH 是菱形；理由如下：连接 DF，如下图：由〔 1〕得： BFH ≌△ DEG ，∴FH=EG ，又∵ EG∥ FH ，∴四边形 EGFH 是平行四边形，∵B F=DF ，OB=OD ，∴EF⊥BD ，∴EF⊥GH ，∴四边形 EGFH 是菱形．19．〔2021春 ?南京校级月考〕：如图， BE 、 BF 分别是∠ ABC 与它的邻补角∠ ABD 的平分线，AE ⊥BE ，垂足为点 E，AF ⊥ BF ，垂足为点 F，EF 分别交边 AB 、AC 于点 M 和 N ．求证：〔1〕四边形AFBE 是矩形；（2〕 MN= BC ．【分析】〔 1〕由 BE 、BE 是角平分线可得∠ EBF 是 90°，进而由条件中的两个垂直可得两个直角，可得四边形 AEBF 是矩形；〔2〕由矩形的 F 质可得∠ 2= ∠ 5 进而利用角平分线的性质可得∠ 1=∠ 5，可得 ME ∥ BC ，进而可得 N 为 AC 中点，根据三角形中位线性质求出即可．【解答】证明：〔 1〕∵ BE、 BF 分别是△ ABC 中∠ B 及它的外角的平分线，∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，∵∠ 1+∠ 2+∠ 3+ ∠ 4=180°，∴∠ 2+∠ 3=90°，∵AE ⊥BE，E 为垂足， AF⊥BF， F 为垂足，∴∠ AFB= ∠ AEB=90 °，∴四边形 AEBF 为矩形；〔2〕∵四边形AEBF 为矩形，∴BM=MA=ME，∴∠ 2=∠ 5，∵∠ 2=∠ 1，∴∠ 1=∠ 5，∴ME ∥BC，∵M 是 AB 的中点，∴N 为 AC 的中点，∴MN= BC．20．〔2021?安徽模拟〕如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF∥ BE，连结 BF， CE．〔1〕求证：四边形BFCE 是平行四边形；〔2〕当边 AB 、 AC 满足什么条件时，四边形BECF 是菱形？并说明理由．【分析】〔 1〕由各件，据AAS 很容易证得：△ BDE ≌△ CDF ；（2〕连接 BF 、CE，由 AB=AC ，D 是 BC 边的中点，可知 AD ⊥ BC ，易证得△ BFD ≌△ CFD ，可得 BF=CF ；又因为〔 1〕中△BDE ≌△ CDF 得 ED=FD ，所以 EF、 BC 互相垂直平分，根据菱形的性质，可得四边形 BECF 是菱形．【解答】〔 1〕证明：∵在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点，∴BD=CD ，∵CF∥ BE，∴∠ CFD= ∠ BED ，在△ CFD 和△ BED 中，，∴△ CFD ≌△ BED 〔 AAS 〕，∴C F=BE ，∴四边形 BFCE 是平行四边形；（2〕解：当 AB=AC 时，四边形 BECF 是菱形；理由如下：∵AB=AC ， D 是 BC 边的中点，∴AD ⊥BC，∴EF⊥BC，∴四边形 BECF 是菱形．21．〔2021?十堰模拟〕：如图，在菱形 ABCD 中， F 为边 BC 的中点， DF 与对角线 AC 交于点M ，过 M 作 ME ⊥CD 于点 E，∠ 1=∠ 2．（1〕假设 CE=2，求 BC 的长；（2〕求证： ME=AM ﹣ DF．【分析】〔 1〕根据菱形的性质可得CB=CD ，AB ∥ CD ，然后再证明∠2=∠ ACD ，根据等角对等边可得MC=MD ，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CE=4 ，进而可得BC=4 ．〔2〕延长 DF， BA 交于 G，首先证明△CEM ≌△ CFM 可得 ME=MF ，然后再证明△CDF ≌△ BGF 可得 DF=GF ，然后证明∠1=∠ G，根据等角对等边可得GM=CM ，利用线段的和差关系可得结论．【解答】〔 1〕解：∵四边形ABCD 是菱形，∴CB=CD ， AB ∥CD ，∴∠ 1=∠ ACD ．∵∠ 1=∠ 2，∴∠ 2=∠ ACD ，∴MC=MD ．∵ME ⊥CD，∴C D=2CE=4 ，∴B C=CD=4 ；（2〕证明：如图，延长 DF， BA 交于 G，∵四边形 ABCD 是菱形，∴∠ BCA= ∠ DCA ．∵BC=2CF ，CD=2CE ，∴CE=CF ．在△ CEM 和△CFM 中，，∴△ CEM ≌△ CFM 〔 SAS〕，∴ME=MF ．∵AB ∥CD，∴∠ 2=∠ G，∠ GBF= ∠ BCD ，∵F为边 BC 的中点，∵C F=BF ，在△ CDF 和△ BGF 中，，∴△ CDF ≌△ BGF 〔 AAS 〕，∴D F=GF ．∵∠ 1=∠ 2，∠ G=∠ 2，∴∠ 1=∠ G，∴AM=GM=MF+GF=DF+ME，即ME=AM ﹣ DF ．22．〔2021?东平县一模〕如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90 °， BD 为 AC 的中线，过点 C 作CE⊥ BD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取FG=BD ，连接 BG、DF ．（1〕求证： BD=DF ；（2〕求证：四边形 BDFG 为菱形；（3〕假设 AG=13 ， CF=6 ，求四边形 BDFG 的周长．【分析】〔 1〕先可判断四边形BGFD 是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得 BD=FD ；〔2〕由邻边相等可判断四边形BGFD 是菱形；〔3〕设 GF=x，那么 AF=13 ﹣ x，AC=2x ，在 Rt△ ACF 中利用勾股定理可求出x 的值．【解答】〔 1〕证明：∵∠ABC=90 °， BD 为 AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG ∥ BD ， BD=FG ，∴四边形 BGFD 是平行四边形，∵C F⊥ BD ，∴CF⊥ AG ，又∵点 D 是 AC 中点，∴D F= AC ，∴B D=DF ；（2〕证明：∵ BD=DF ，∴四边形 BGFD 是菱形，（3〕解：设 GF=x ，那么 AF=13 ﹣ x， AC=2x ，∵在 Rt△ ACF 中，∠ CFA=90 °，222222∴AF +CF =AC ，即〔 13﹣ x〕 +6=〔 2x〕，解得： x=5 ，∴四边形 BDFG 的周长 =4GF=20 ．23．〔2021?南岗区模拟〕如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在对角线 AC 上，点 F 在边 BC 上，连接 BE 、DF， DF 交对角线 AC 于点 G，且 DE=DG ．（1〕求证： AE=CG ；（2〕试判断 BE 和 DF 的位置关系，并说明理由．【分析】〔 1〕先证∠ AED= ∠ CGD ，再证明△ADE ≌△ CDG ，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；〔2〕先证明△AEB ≌△ CGD ，得出对应角相等∠AEB= ∠ CGD ，得出∠ AEB= ∠EGF，即可证出平行线．【解答】解：〔 1〕证明：在正方形ABCD 中，∵AD=CD ，∴∠ DAE= ∠ DCG ，∵DE=DG ，∴∠ DEG= ∠ DGE，∴∠ AED= ∠ CGD ．在△ AED 和△ CGD 中，∴△ AED ≌△ CGD 〔 AAS 〕，∴AE=CG ．（2〕解法一： BE∥ DF ，理由如下：在正方形 ABCD 中， AB ∥CD，∴∠ BAE= ∠DCG ．在△ AEB 和△ CGD 中，∴△ AEB ≌△ CGD 〔 SAS〕，∴∠ AEB= ∠CGD ．∵∠ CGD= ∠ EGF，∴∠ AEB= ∠EGF，∴BE ∥DF．解法二： BE∥ DF，理由如下：在正方形 ABCD 中，∵AD ∥ FC，∴= ．∵CG=AE ，∴AG=CE ．又∵在正方形ABCD 中， AD=CB ，∴= ．又∵∠ GCF= ∠ ECB ，∴△ CGF∽△ CEB ，∴∠ CGF= ∠ CEB ，∴BE ∥DF．24．〔2021?景德镇校级二模〕如图，在四边形 ABCD 中， AB=BC ，对角线 BD 平分∠ ABC ， P 是BD 上一点，过点 P 作 PM⊥ AD ， PN⊥ CD ，垂足分别为 M ， N．（1〕求证：点 A 与 C 关于直线 BD 对称．（2〕假设∠ ADC=90 °，求证四边形 MPND 为正方形．【分析】〔 1〕首先根据角平分线的定义求出∠根据 SAS 证明两个三角形全等，进而得到∠质可得 BD 垂直平分 AC ，进而可得点 A 与ABD= ∠ CBD ，然后在△ ABD 和△ CBD 中，ADB= ∠ CDB ，AD=CD ，根据等腰三角形的性C 关于直线BD 对称；〔2〕首先证明四边形 PMDN 是矩形，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PM=PN ，进而可得四边形 MPND 为正方形．【解答】证明：〔 1〕连接 AC ，∵BD 平分∠ ABC ，∴∠ ABD= ∠ CBD ，在△ ABD 和△ CBD 中，，∴△ ABD ≌△ CBD 〔 SAS〕，∴∠ ADB= ∠ CDB ， DA=DC ，∴BD 垂直平分AC ，∴点 A 与 C 关于直线BD 对称；（2〕∵PM⊥AD ，PN⊥CD，∴∠ PMD= ∠ PND=90 °，∵∠ ADC=90 °，∴四边形 PMDN 是矩形，∵∠ ADB= ∠ CDB ，∴BD 平分∠ ADC ，∵PM ⊥ AD ，PN ⊥CD，∴PM=PN ，∴四边形MPND 为正方形．25．〔2021 ?滕州市模拟〕：如图，正方形ABCD 中，点 E 在 BC 的延长线上， AE 分别交DC， BD 于 F， G，点 H 为 EF 的中点．求证：〔 1〕∠ DAG= ∠ DCG ；〔2〕GC⊥CH ．【分析】〔 1〕要证明∠ DAG= ∠ DCG ，需把两角放到两三角形中，证明两三角形△ ADG与△CDG 全等得到，全等的方法是：由 ABCD 为正方形，得到 AD 与 DC 相等，∠ ADB 与∠ CDB 相等，再加上公共边 DG ，利用“SAS 〞得到全等，利用全等三角形的对应角相等得证；〔2〕要证明 GC 与 CH 垂直，需证∠ GCH=90 °，即∠ FCH+ ∠DCG=90 °，方法是：由正方形的对边 AD 与 BE 平行，根据两直线平行，内错角相等得到∠DAF 与∠ E 相等，由〔 1〕得到的∠ DAG 与∠ DCG 相等，等量代换得到∠ E 与∠ DCG 相等，再由 CH 为直角三角形 ECF 斜边上的中线，得到 CH 与 HE 相等都等于斜边 EF 的一半，根据“等边对等角〞得到∠ E 与∠HCE 相等，又∠ FCH+ ∠DCG 等于 90°，等量代换得到∠ FCH+ ∠DCG=90 °，即∠GCH=90 °，得证．【解答】证明：〔 1〕∵ ABCD 为正方形，∴AD=DC ，∠ ADC=90 °，∠ ADB= ∠ CDB=45 °，又DG=DG ，∴△ ADG ≌△ CDG ，∴∠ DAG= ∠ DCG ；（2〕∵ ABCD 为正方形，∴AD ∥BE，∴∠ DAG= ∠ E，又∠ DAG= ∠DCG ，∴∠ E=∠DCG ，∵H 为直角三角形CEF 斜边 EF 边的中点，∴CH=HE= EF，∴∠ HCE= ∠E，∴∠ DCG= ∠ HCE，又∠ FCH+ ∠ HCE=90 °，∴∠ FCH+ ∠ DCG=90 °，即∠ GCH=90 °，∴GC⊥CH ．26．〔2021春 ?丹阳市校级月考〕如图，正方形ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O，E 是 AC 上的一点，过点A 作 AG ⊥ BE ，垂足为 G， AG 交 BD 于点 F．（1〕试说明 OE=OF ；（2〕当 AE=AB 时，过点 E 作 EH⊥BE 交 AD 边于 H ，找出与△ AHE 全等的一个三角形加以证明，〔3〕在〔 2〕的条件下假设该正方形边长为1，求 AH 的长．【分析】〔 1〕根据正方形性质得出 AC ⊥BD ， OA=OB ，求出∠ FAO= ∠ EBO，根据 ASA 推出△ AFO ≌△ BEO 即可；（2〕根据正方形性质得出∠ ACB= ∠DAC=45 °，∠ ABE+ ∠ EBC=90 °，求出∠ CBE= ∠AEH ，AE=AB=BC ，证△ BCE≌△ EAH ；〔3〕根据全等三角形的性质推出CE=AH ，即可得出答案．【解答】〔 1〕解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥ BD ， OA=OB ，∴∠ AOF= ∠ BOE=90 °，∵AG ⊥BE，∴∠ FGB=90 °，∴∠ OBE+ ∠BFG=90 °，∠ FAO+ ∠AFO=90 °，∵∠ AFO= ∠BFG ，∴∠ FAO=∠ EBO ，在△ AFO 和△ BEO 中，，∴△ AFO ≌△ BEO 〔ASA 〕，∴OE=OF ．（2〕△ BCE ≌△ EAH ，证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ ACB= ∠ DAC=45 °，∠ ABE+ ∠EBC=90 °，∵EH⊥BE，∴∠ AEH+ ∠ AEB=90 °，∵A E=AB ，∴∠ ABE= ∠AEB ，∴∠ CBE= ∠ AEH ，∵A E=AB=BC ，在△ BCE 和△ EAH 中，，∴△ BCE ≌△ EAH 〔ASA 〕；（3〕解：∵△ BCE ≌△ EAH ，∴CE=AH ，∵A B=BC=1 ，∴AC= ，∵A E=AB=1 ，∴AH=CE=AC ﹣ AE=﹣1．27．〔2021 ?荆州〕如图 1，在正方形 ABCD 中， P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE， PE 交 CD 于 F．（1〕证明： PC=PE；（2〕求∠ CPE 的度数；（3〕如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD ，其他条件不变，当∠ ABC=120 °时，连接CE，试探究线段AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．【分析】〔 1〕先证出△ ABP ≌△ CBP，得 PA=PC，由于 PA=PE ，得 PC=PE；（2〕由△ABP ≌△ CBP，得∠ BAP= ∠ BCP，进而得∠ DAP= ∠ DCP，由 PA=PC，得到∠DAP= ∠ E，∠ DCP=∠ E，最后∠ CPF=∠ EDF=90 °得到结论；（3〕借助〔 1〕和〔 2〕的证明方法容易证明结论．【解答】〔 1〕证明：在正方形ABCD 中， AB=BC ，∠A BP= ∠ CBP=45 °，在△ ABP 和△ CBP 中，，∴△ ABP ≌△ CBP〔 SAS 〕，∴PA=PC，∵PA=PE，∴P C=PE；（2〕由〔 1〕知，△ABP ≌△ CBP，∴∠BAP= ∠BCP，∴∠ DAP= ∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP= ∠E，∴∠ DCP= ∠ E，∵∠ CFP=∠ EFD 〔对顶角相等〕，∴180°﹣∠ PFC﹣∠ PCF=180 °﹣∠ DFE﹣∠E，即∠ CPF=∠ EDF=90 °；（3〕在菱形 ABCD 中， AB=BC ，∠ ABP= ∠ CBP=60 °，在△ ABP 和△ CBP 中，，∴△ ABP ≌△ CBP〔 SAS 〕，∴P A=PC，∠BAP= ∠BCP，∵PA=PE，∴P C=PE，∴∠ DAP= ∠DCP，∵P A=PC，∴∠ DAP= ∠AEP ，∴∠ DCP= ∠ AEP∵∠ CFP=∠ EFD 〔对顶角相等〕，∴180°﹣∠ PFC﹣∠ PCF=180 °﹣∠ DFE﹣∠ AEP ，即∠ CPF=∠ EDF=180 °﹣∠ ADC=180 °﹣ 120°=60°，∴△ EPC 是等边三角形，∴PC=CE ，∴A P=CE ．第 30 页〔共 31 页〕专业资料整理第 31 页〔共 31 页〕专业资料整理。

四边形拔高题型

HFGPEDC BAFPEDCBA E学生：科目：数学教师：谭前富知识框架由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： (1)平行四边形对角相等； (2)平行四边形对边相等；(3)平行四边形对角线互相平分．除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： (1)两组对角分别相等的四边形是平行四边形； (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； (3)对角线互相平分的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【例题精讲】一矩形的性质与判定的应用例1 如图，设P 是等腰直角A B C D 斜边A B 上任意一点，P E A C ^于点E ，P F B C ^于点F ，P G E F ^与点G ，延长G P 并在其延长线上取点D ，使P D P C =，求证：P C B D ^且B C B D =例 2 在矩形A B C D 中，已知12,5,A D A B P ==是A D 边上任意一点，PE BD ^于E ,PF A C ^于F ,求P E P F +的值.练习1、已知矩形A B C D 中，6,8AB BC ==,将B C D D 沿B D 对折，点C 落至E 处，A D 交B E 于点F，求D E F D 的面积.课题四边形拔高题型归纳教学内容FEDCBAOE DCB AFED CBAFE D C BA2、如图，在平行四边形A B C D 中，75,A B CA FB C ?癪于F ，A F 交B D 于E ，若2D E A B =，求AED Ð的大小.3、如图，矩形A B C D 的对角线相交于点O ，A E 平分BAD Ð交B C 于E ，15C A E? ，求B O E Ð的度数.二菱形的性质与判定的应用例3 四边形A B C D 是菱形，AEF D 是正三角形，点,E F 分别在边,BC CD 上，且AB AE =，求B Ð的度数.练习1、如图，菱形A B C D 中，点,E F 分别在边,BC CD 上,60B ? ,60A E F ? ,（1）求证：AEF D 是正三角形（2）若3,4BE EC ==，求AEF D 的面积.2、如图，A B C D 中，90,,BAC ADBC D ?癪为垂足，在B C 上取B E B A =，作E F B C ^交A C 于F ，联接B F 交A D 于G ，求证：四边形A G E F 是菱形FEODCBAHGFED CB AH GFEDCBAFDC三正方形的性质与判定的应用 1、正方形中的全等构造例4 如图，,E F 分别是正方形A B C D 的边,CD AD 上的点，且C E D F =，,AE BF 相交于点O ，下列结论：①AE BF =,②AE BF ^,③A O O E =,④A O B D E O F S S ∆=四边形,正确的有练习1、将边长为12cm 的正方形A B C D 折叠，使点A 落在边C D 上的E 点，然后压平得折痕F G ，若G F 的长为13cm ，求线段C E 的长.2、如图，已知正方形A B C D 的边长为6，菱形E F G H 的三个顶点,,E G H 分别落在正方形的边,,AB CD DA 上，2,1AH CG ==，求F C G ∆的面积.2、正方形中的特殊直角三角形例5 如图，B F 平行于正方形A B C D 的对角线A C ，点E 在B F 上，且A E A C =，C F ∥A E ,求B C F ∠的值.GFDCBAOCBA PEDCBADA练习1、正方形A B C D 的面积为64，B C E ∆是等边三角形，F 是C E 的中点，,AE BF 交于点G ，联接C G ，求C G 的长.2、如图，两块边长为a 的正方形中心互相重合，记露出的一个三角形为A B C ∆，A ∠为直角，(1)求证：A B C ∆的周长为定值.(2)若60A B C ∠=︒，求A B C ∆的面积.3、正方形中的对称性的应用例6 如图，正方形A B C D 中，2A B =，E 是C D 的中点，P 是对角线上B D 一点，求C P P E+的最小值.练习如图，正方形A B C D 中，E 是B C 上一点，2,4BE EC ==,,P Q 分别在线段,BD DC 上，求周长的最小值.DCBAA CD B_ A _ D_ E四梯形的性质及常见辅助线的作法 1、平移两腰例已知一个梯形的4条边长分别为1,2,3,4，求此梯形的面积.练习如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD <BC ，∠B +∠C =90°，E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF =12（BC -AD ）2、作梯形的高例如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD ，∠ADC =120°（1）求证：BD ⊥DC ；（2）若AB =4，求梯形ABCD 的面积。

特殊的平行四边形拔高题

1．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则△DEK 的面积为（）A ．10B ．12C ．14D ．162．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①AF=FH ；②B0=BF ；③CA=CH ；④BE=3ED ；正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边CD 、CB 上的点，DE=CE ，∠1=∠2，EG ⊥AF ，以下结论：①AF=BC+CF ；②∠CGD=90°；③AF=BF+DE ；④222EF AE AF +=。

其中正确的结论是（）A 、①②③④B 、①③④C 、②③④D 、②④4．按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S 1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S 2，…，则第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和S n = ．5．如图，矩形ABCD 的面积为6，它的两条对角线交于点1O ，以AB 、1AO 为两邻边作平行四边形11O ABC ，平行四边形11O ABC 的对角线交于点2O ，同样以AB 、2AO 为两邻边作平行四边形22O ABC ，……，依次类推，则平行四边形n n O ABC 的面积为 .6.矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE BD ⊥于E ，若13OE ED =∶∶， 3AE =，则BD = ． 7.如图，正方形ABCD 的面积为18 ，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一动点P ，则PD+PE 的最小值为__________．8.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE=30°，EB= 3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为_________．9.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，∠EAF =45o，且AE+AF =22，则平行四边形ABCD 的周长是．10.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为．…F N M E C BAN 11.如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G.（1）求证：AG=C ′G ；（2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，折痕EN 交AD 于M ，求EM 的长.12.如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．(1)求证：PE ＝PF ；(2)当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗说明理由；(3)若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝32．求此时∠A 的大小．专题：构造平行四边形（特殊的平行四边形） 1.在∆ABC 中，已知AB=6,AC=4，则中线AD 的取值范围是。

人教版八年级数学下《平行四边形的性质》拔高练习

《平行四边形的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．42．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．43．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．155．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（）A ．5B ．4C ．3D ．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在边BC 上，∠BAE ＝∠DAC ，AB ＝7，AD ＝10，则CE ＝．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC的周长为．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．《平行四边形的性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB＝DC，∵α＝60°．AB＝OD＝2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4△DOC的面积＝4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．4【分析】根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝、∠D＝∠CAD＝45°，由等角对等边可得出AC＝CD＝，再利用勾股定理即可求出BC的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC＝∠CAD＝45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．3．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．15【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝40÷2＝20，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝12，CD＝8，∴AB＝CD＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE＝DC＝AB求出即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝BC＝7，AE＝3，∴DE＝DC＝AB＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE＝DC ＝AB是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝ 5.1．【分析】由▱ABCD的性质及∠BAE＝∠DAC可得∠BAE＝∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC＝10，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB＝7，BC＝10，∴BE＝4.9，∴EC＝5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC 的周长为 15 ．【分析】因为ABCD 是平行四边形，由题意得AB +BC ＝10，而AC 知道，那么△ABC 的周长就可求出．【解答】解：∵平行四边形中对边相等，∴AB +BC ＝20÷2＝10，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝10+5＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长等知识，灵活应用性质是解题的关键．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 21 ．【分析】根据平行四边形的性质可得AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7，即可求△AOD 的周长．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7∴△AOD 的周长＝AD +AO +DO ＝21故答案为21【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 50 cm 2．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝50cm 2，故答案为：50．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ 1 ．【分析】由题意可得AD ＝AF ＝3，BC ＝BE ＝3，即可求EF 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥BA，AD＝BC＝3∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF∵DC∥AB∴∠CDF＝∠DF A∴∠ADF＝∠AFD∴AD＝AF＝3同理可得BE＝BC＝3∵EF＝AF+BE﹣AB∴EF＝3+3﹣5＝1故答案为：1【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），根据全等三角形的性质得到EM＝MN，根据直角三角形的性质得到MN＝MC，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴AB＝6，CE＝4，∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．【分析】（1）如图1中，连接AE，在Rt△ACE中，求出AE，再在Rt△AEM中求出AM即可；（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．由Rt △EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF ＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝FH，即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，连接AE．∵AB＝AM，BE＝EM，∴AE⊥BM，在Rt△ACE中，∵AC＝，EC＝EM+CM＝5，∴AE＝＝，在Rt△AEM中，AM＝＝．（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC+∠AFC＝90°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EF A＝∠EFG＝45°，∵EH⊥F A，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCF，∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，∴△AON≌△COF（ASA），∴AN＝CF，∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，∵EF＝FH，∴AN+AF＝EF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？【分析】根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据解直角三角形的相关知识可以求得AB、BC的长，根据特殊角的三角函数可以求得AE的长，由平行四边形的面积等于底乘以高，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120，∴∠B＝60°∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4；cm．∵∠D＝∠B＝60°，∴∠DAF＝30°．∴AD＝2DF＝6cm．∴BC＝AD＝6cm在Rt△ADF中，AF＝＝3（cm），∴ABCD的面积＝CD•AF＝4×3＝12（cm2）．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行四边形的面积，30°角所对的直角边和斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用数形结合的思想解答问题．14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，OA＝OC＝5，OB＝OD＝8，∴△OCD的周长＝6+5+8＝19．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝8，OA＝OC＝AC，根据勾股定理求出AC的长，根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC＝AC，∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OA＝3；∴▱ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．答：BC＝8，CD＝10，AC＝6，OA＝3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．。

特殊平行四边形拔高复习

特殊平行四边形拔高复习第一章特殊平行四边形拔高复习一特殊平行四边形知识汇总矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2.性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直（2）内角：四个角都是90°；（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。

（5）形状：正方形也属于长方形的一种。

（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

3.判定：（1）对角线相等的菱形是正方形。

（2）有一个角为直角的菱形是正方形。

（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。

（4）一组邻边相等的矩形是正方形。

（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

1二专题整合与拔高专题一特殊四边形的综合应用1、（2019•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．22、（13年山东青岛、21）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：△ABM≌△DCM （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）解析：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，DAB＝DC，又MA＝MD，所以，△ABM≌△DCM（2）四边形MENF是菱形；理由：因为CE＝EM，CN＝NB，所以，FN∥MB，同理可得：EN∥MC，所以，四边形MENF为平行四边形， N又△ABM≌△DCM（3）2：13.（2019珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结AA’、CE.求证：（1）△ADA’ ≌△CDE；（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.【解析】（1）由题设可得AD＝DC, ∠ADA′＝∠CDE＝90°, DA′＝DE.∴△ADA′≌△CDE.（2）证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直平分线.【答案】（1）由正方形的性质及旋转,得AD＝DC,∠ADC=90°,AC＝A′C,∠DA′E＝45°,∠ADA′＝∠CDE＝90°,∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°. ∴DA′＝DE.3∴△ADA′≌△CDE.（2）由正方形的性质及旋转,得CD＝CB′, ∠CB′E＝∠CDE＝90°,CE＝CE,∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC＝A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”, 线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.第18题图D'专题二构造特殊四边形解决问题1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 7 ．4求证：AE=CE．考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，解答：证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，∵CE⊥AD，∴∠D+∠DCE=90°，∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D，在△BCF和△CDE中，，5∴△BCF≌△CDE（AAS），∴BF=CE，又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE=BF，∴AE=CE．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．专题三特殊四边形中的动态与变换1、（2019•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．62.（2019•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）73. （2019•扬州，第23题，10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC 绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF、FG相交于点H．（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；8（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．（第5题图）94.（2019河南省）18.（9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD 边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN。

特殊的平行四边形能力提升卷及参考答案

八年级下册特殊的平行四边形能力提升卷一、选择题1.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，∠BCD ＝120°，则对角线AC 等于（） A.20 B.15 C.10 D.52.如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上.小明认为：若MN ＝EF ，则MN ⊥EF ；小亮认为: 若MN ⊥EF ，则MN ＝EF .你认为（） A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对3.如图（1），把一个长为m 、宽为n 的长方形(m ＞n )沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）A.2m n B.m －n C.2mD.2n4.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）5.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5.过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（） A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.46.如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A.10cm2 B.20cm 2 C.40cm2 D.80cm2 7.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC ＝45°，OC 则点B 的坐标为（），1)B.(1) +1，1) 8.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕， ∠BAE ＝30°，AB C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）B.2C.3 9.如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q 点从A 点出发，沿图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A.2B.4－πC.πD.π－1 10.如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）C.3二、填空题11.长方形一条边长为3cm ，面积为12cm 2，则该长方形另一条边长为＿＿＿cm. 12.如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是＿＿＿. 13.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，BA C D A ．B ．C ．D ． A D EPBCmn nn （2）（1）EDC BAOABDRN F ECO BAH CCH 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于＿＿＿. 14.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：＿＿＿，使得该菱形为正方形.15.如图，将两张长为8，宽为2最小值8，那么菱形周长的最大值是＿＿＿.16.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在＿＿＿点.17.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是＿＿＿.18.若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM 交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，则BM 的长为＿＿＿. 19.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为a 、b ，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，…，如此下去，得到四边形A 2009B 2009C 2009D 2009的面积用含 a 、b 的代数式表示为＿＿＿.20.如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M 、N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使A 落在MN 上，落点记为A ′，折痕交AD 于点E ，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，则A ′N ＝＿＿＿；若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），则A ′N ＝＿＿＿（用含有n 的式子表示）.三、解答题 21.已知：如图，在矩形ABCD 中，AF ＝BE .求证：DE ＝CF .22.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图放置，AB ＝BF ，求证：四边形BNDM 为菱形.23.如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内. 求证：（1）∠PBA ＝∠PCQ ＝30°；（2）P A ＝PQ .24.如图菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE +CF ＝2.（1）求证：△BDF ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由.同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?A B D D C B A OO ED CA FN M DC B A E A ′ 第20题图3A CB D PQ BC D A E F C D EM A B FN25.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．26.问题解决如图1，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN.当CE CD＝12时，求AMBN的值.EDCFBA图③E DCAB F G'D'A DECBα图④图⑤ACD图①ACD图②FEG图2NAB CDEFMN图1AB CEFM类比归纳在图1中，若CE CD ＝13，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝14，则AM BN 的值等于＿＿＿；若CE CD ＝1n(n 为整数)，则AMBN的值等于＿＿＿. (用含n 的式子表示) 联系拓广如图2，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ，设ABBC＝1m(m ＞1)，CE CD ＝1n ，则AM BN 的值等于＿＿＿.（用含m ，n 的式子表示）参考答案1.D.点拨：利用菱形和等边三角形的性质；2.C ；3.A.点拨：利用整式的运算及特殊平行四边形的面积求解；4.D ；5.D.点拨：利用矩形的性质、勾股定理求解；6.A.点拨：菱形的面积等于对角线乘积的一半；7.C.点拨：利用菱形的性质与判定、直角三角形的有关计算、平面内点的坐标的意义； 8.C ； 9.B ；10.A.点拨：易求得正方形的边长等于，由于正方形是轴对称图形，所以点D 与点B 是关于AC 对称，所以BE 与AC 的交点即为使PD +PE 的和最小的点P 位置，此时PD +PE 的和最小等于BE ，即为正方形的边长. 11.4；12.3cm.点拨：设CN ＝x cm.因为正方形的边长为8cm ，点E 是BC 中点，所以EC ＝4cm ，又因为由折叠的原理可知EN ＝DN ＝8－x ，在Rt △ECN 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+CN 2，即(8－x )2＝42+x 2，解得x ＝3.即线段CN 的长是3cm ； 13.3.点拨：利用菱形的性质和直角三角形斜边上中线的性质求解，或利用菱形的性质和三角形中位线性质求解； 14.答案不惟一.如，AB ⊥BC ，或AC ＝BD ，或AO ＝BO 等； 15.17；16.B.点拨：因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A 点开始行走，每运动8米，则又回到A 点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B 处停下；17.14，或16，或26.点拨：①长为4，宽为3；②长为12，宽为1；③长为6，宽为2；18.52，或125.点拨：分两种情况：若点F 在DC 上，因为BF ＝AE ，且AB ＝BC ，则△ABE ≌△BCF ，则∠BAE ＝∠BFC ，则∠BME ＝90°，则AB ×BE ＝AE ×BM ，则BM ＝512；若点F 在AD 上，此时可连接FE ，则可证明四边形ABEF 这矩形，则对角线互相平分，则BM ＝25； 19.201012⎛⎫ ⎪⎝⎭ab .点拨：利用矩形、菱形的面积及归纳法求解；.点拨：由折叠，得BA ′＝AB ＝1，若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点，BN ＝12，则A ′N2.若M 、N 分别是AD 、BC 边的上距DC 最近的n 等分点（n ≥2，且n 为整数），BN ＝1n n-，则A ′N. 21.因为AF ＝BE ，EF ＝EF ，所以AE ＝BF .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝BC ，所以△DAE ≌△CBF ，所以DE ＝CF .22.因为四边形ABCD 、BFDE 是矩形，BM ∥DN ,DM ∥BN ，所以四边形BNDM 是平行四边形.又因为AB ＝BF ＝ED ，∠A ＝∠E ＝90°∠AMB ＝∠EMD ，所以△ABM ≌△EDM ，所以BM ＝DM ，所以平行四边形BNDM 是菱形. 23.（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC ＝∠BCD ＝90°.因为△PBC 和△QCD 是等边三角形，所以∠PBC ＝∠PCB ＝∠QCD ＝60°，所以∠PBA ＝∠ABC －∠PBC ＝30°，∠PCD ＝∠BCD －∠PCB ＝30°，所以∠PCQ ＝∠QCD －∠PCD ＝30°，即∠PBA ＝∠PCQ ＝30°.（2）因为AB ＝DC ＝QC ，∠PBA ＝∠PCQ ，PB ＝PC ，所以△P AB ≌△PQC ，所以P A ＝PQ . 24.（1）因为菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，所以BD ＝BC ，且∠BDE ＝∠BCF ＝60°.因为AE +CF ＝2，而AE +DE ＝AD ＝2，所以DE ＝CF ，所以△BDE ≌△BCF .（2）△BEF 是等边三角形.理由如下：由（1）得△BDE ≌△BCF ，所以BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，即∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，所以△BEF 是等边三角形.△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到.25.（1）同意.如图②，设AD 与EF 交于点G .由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .又由折叠知，∠AGE ＝∠DGE ＝90°，所以∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形.（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°，又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°，所以∠α＝90°－67.5°＝22.5°.26.问题解决：如图1，连接BM ，EM ，BE .由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称，所以MN 垂直平分BE ，所以BM ＝EM ，BN ＝EN .因为四边形ABCD 是正方形，所以∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2.因为CE CD ＝12，所以CE ＝DE ＝1.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .在Rt △CNE 中，由勾股定理，得NE 2＝CN 2+CE 2，即x 2＝(2－x )2+12，解得x ＝54.即BN ＝54.在Rt △ABM 和Rt △DEM 在中，分别由勾股定理，得BM 2＝AM 2+AB 2，EM 2＝DM 2+DE 2，所以AM 2+AB 2＝DM 2+DE 2.设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+12，解得y ＝14，即AM ＝14.所以AM BN ＝15.类比归纳：设正方形的边长为2，仿照问题解决，当CE CD ＝13时，则CE ＝23，DE ＝43.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+223⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝109，BN ＝109；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+243⎛⎫⎪⎝⎭，解得y ＝49，即AM ＝49.所以AM BN ＝410＝25.当CE CD ＝14时，则CE ＝24，DE ＝64.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x )2+224⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得x ＝1716，BN ＝1716；设AM ＝y ，则DM ＝2－y ，所以y 2+22＝(2－y )2+264⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得y ＝916，即AM ＝916.所以AM BN ＝917.…当CE CD ＝1n 时，则CE ＝2n ，DE ＝22n n-.设BN ＝x ，则NE ＝x ，NC ＝2－x .所以x 2＝(2－x)2+22n⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝221nn+，BN＝221nn+；设AM＝y，则DM＝2－y，所以y2+22＝(2－y)2+222nn-⎛⎫⎪⎝⎭，解得y＝()221nn-，即AM＝()221nn-.所以AMBN＝()2211nn-+.联系拓广：因为ABBC＝1m(m＞1)，所以设AB＝a，则BC＝ma，于是仿照上面求解过程，由CECD＝1n，得CE＝an，DE＝a－an，设BN＝x，则NE＝x，NC＝ma－x.在Rt△CNE中，由勾股定理，得NE2＝CN2+CE2，即x2＝(ma－x)2+2an⎛⎫⎪⎝⎭，解得x＝22212m nmn+a.即BN＝22212m nmn+a；同样，在Rt△ABM和Rt△DEM在中，分别由勾股定理，得BM2＝AM2+AB2，EM2＝DM2+DE2，所以AM2+AB2＝DM2+DE2.设AM＝y，则DM＝ma－y，所以y2+a2＝(ma－y)2+2aan⎛⎫-⎪⎝⎭，解得y＝222212m n nmn-+a，即AM＝222212m n nmn-+a.所以AMBN＝2222211n m nn m-++.。

特殊的平行四边形拔高题

特殊的平行四边形拔高题一、选择题（题型注释）1如图，在菱形ABCD中，AB=13,对角线BD=24,若过点C作CEL AB,垂足为E,贝U CE的120 240A. 13 B . 10 C . 12 D . 132. 如图，正方形ABCB中，AB=1, AB与直线I的夹角为30°,延长CB交直线I于点A , 作正方形A1BC1B,延长C1B2交直线I于点A2,作正方形A2B2GR,延长C2B3交直线I于点A3, 作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，贝U A2015A2016=.3. 如图，在菱形ABCD中, AB=2 / BAD=60 , 点，贝U PE+PB的最小值为（）E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动A. 1B. 、、3C. 2D. \ 54. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中, 点，那么CH的长是（）（第 4 题）D在CG上，BC= 2 , CE=3 2 , H是AF 的中Jf J5 •菱形具有而矩形不一定具有的性质是A 、内角和等于360° BC 对边平行且相等D 6.（ 2016?石峰区模拟）矩形 ABCD 中,DM 的长是（）A 、3.5 BC 、.10 2 £ 1 二-V C（）、对角线相等、对角线互相垂直 AB=2 AD=1,点 M 在边CD 上，若 AM 平分/ DMB 贝UA•卑B •寺C •翻送D-l2-^7.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O, E、F、G H分别是要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A. AB=AD B . AC=BD C . AD=BC D . AB=CD&如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F,再分别以 B FA. 11 B . 6 C . 8 D . 109. 如图，正方形ABCD的边长为4,点E在对角线BD上，且/ BAE=22.5 , EF丄AB垂足为F,贝U EF的长为（）A. 1 B .卜目C . 4 - 2■: D . 3. 410. 如图，在正方形ABCD中，点P在AC上, PE丄AB, PF丄BC,垂足分别为、填空题（题型注释）11. 如图，正方形ABCD勺对角线长为8-一2 , E为AB上一点，若EF丄AC于F, EG丄BD于G 则EF+EG= .为圆心，大于2 BF的长为半径画弧，两弧相交于点（第7题图）AD BD BC AC的中点,E、F, EF=3,则PD的长为（）D12. 如图，在正方形ABCD中, AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF 丄AC 于点F ,连接EC, AF=3, △ EFC 的周长为12，贝U EC 的长为13.将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF 若AB=3,则菱形AECF 的周长为15. _______________________________________________________ 如图，折叠矩形纸片ABCD 使点B 落在边AD 上，折叠EF 的两端分别在 AB BC 上（含端点），且AB=8cm BC=10cm 则折痕EF 的最大值是 ___________________________________________ .三、计算题（题型注释）16. （本小题满分8分）如图，在正方形 ABCD 中, BE (1)求证： BAE BCF ;（2）若 ABE 35，求 EGC 的大小.（第12题图）BF , BE BF , EF 交 BC 于点 G.17. 已知E为平行四边形ABCD外一点，AE丄CE BE丄DE,求证：平行四边形ABCD是矩形.18. 如图，已知点 E,F 分别是口 ABCD 勺边BC,AD 上的中点，且/ BAC=90 .四、解答题19. 如图1所示，在正方形 ABCD 和正方形CGE 冲，点B 、C G 在同一条直线上， M 是线段 AE 的中点，DM 的延长线交 EF 于点N,连接FM 易证：DM=FM DM L FM (无需写证明过程)(1) 如图2,当点B C F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N,其余条件不变，试探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2) 如图3,当点E 、B C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点 N,其余条件不变，探究线段DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想.(1) 求证：四边形 (2) 若/ B=30°, AECF 是菱形;求菱形AECF 面积.。

特殊平行四边形拔高题含答案

第II 卷（非选择题）一、解答题（题型注释）1．如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E.交y 轴于F.且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0.228c b b =-+-+（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移.设平移的时间为t 秒.问是否存在t 的值.使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在.请求出t 的值；若不存在.请说明理由；点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外）.PM ⊥PO.交直线AB 于M.求PCBM的值2．如图.矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴上.点C 在y 轴上.OA=3.OC=2.P 是BC 边上一点且不与B 重合.连结AP.过点P 作∠CPD=∠APB.交x 轴于点D.交y 轴于点E.过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ．（1）若△APD 为等腰直角三角形.求点P 的坐标；（2）若以A.P.E.F 为顶点的四边形是平行四边形.求直线PE 的解析式．3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合.联结DF.点M.N 分别为DF.EF 的中点.联结MA.MN ．（1）如图1.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 上.请判断MA.MN 的数量关系和位置关系.直接写出结论；（2）如图2.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 的延长线上.其他条件不变.那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立.请加以证明；若不成立.请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图24．如图.已知正方形ABCD.AC 、BD 相交于点O.E 为AC 上一点.AH ⊥EB 交EB 于点H.AH 交BD 于点F ．（1）若点E 在图1的位置.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上.请在图2中按题目要求补全图形.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论．5．已知一个矩形纸片OACB.将该纸片放置在平面直角坐标系中.点A （11.0）.点B （0.6）.点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合）.经过点O 、P 折叠该纸片.得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①.当∠BOP=30°时.求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②.经过点P 再次折叠纸片.使点C 落在直线PB′上.得点C′和折痕PQ.若AQ=m.试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下.当点C′恰好落在边OA 上时.求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：已知：如图1.在Rt △ABC 中.∠C=90°.AC=4.BC=3.P 为AC 边上的一动点.以PB.PA 为边构造□APBQ .求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．在解决这个问题时.小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中.垂直于平行线的线段最短．进而.小明构造出了如图2的辅助线.并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法.解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时.APAC= ；（2）如图3.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE.PB为边作□PBQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ；（3）如图4.如果P为AB边上的一动点.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE.PC为边作□PCQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ．7．在图1、图2、图3、图4中.点P在线段BC上移动（不与B、C重合）.M在BC的延长线上．（1）如图1.△ABC和△APE均为正三角形.连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2.若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形.连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3.若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形.连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4.n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形.连接CE.请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数）.并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．8．已知O是坐标原点.点A的坐标是（5.0）.点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G 点处。

专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题

专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由；（2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形；对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。

平行四边形拔高训练题

平行四边形拔高训练题(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除平行四边形拔高训练题1.在□ABCD 中，AE 、BF 分别平分∠DAB 和∠ABC ，交CD 于点E 、F ，AE 、BF 相交于点M ．（1）试说明：AE ⊥BF ；（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以说明．2.已知平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上.（1）若AB ＝10，AB 与CD 间距离为8，AE=EB ，BF=FC ，求△DEF 的面积.（2）若△ADE 、△BEF 、△CDF 的面积分别为5、3、4，求△DEF 的面积.3.已知：如图（12），在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，连结BE 、CE ，90 。

（1）求证：BE 平分∠ABC ；（2）若EC=4，且3 ABBE ，求四边形ABCE 的面积。

4.如图14－1，P 为Rt △ABC 所在平面内任意一点(不在直线AC 上),∠ACB=90°,M 为AB 边中点．操作：以PA 、PC 为邻边作平行四边形PADC ，连接PM 并延长到点E ，使ME = PM ，连结DE ．探究：⑴请猜想与线段DE 有关的三个结论；⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P 按上述方法操作； ⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明； ⑷若将“Rt △ABC ”改为“任意△ABC ”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线段DE 有关的结论5.已知，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．（1）若CF=2，AE=3，求BE 的长；（2）求证：∠CEG=21∠AGE ．6.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由5．如图，已知▱ABCD中，DE⊥BC于点E，DH⊥AB于点H，AF平分∠BAD，分别交DC、DE、DH于点F、G、M，且DE=AD．（1）求证：△ADG≌△FDM．（2）猜想AB与DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．例题讲解例1：已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE=AF=EF=AB，求∠C的度数．练习：1.如图所示，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是________．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，又点F在DE的延长线上，且AF＝CE，求证：四边形ACEF是菱形。

特殊平行四边形拔高题含答案

八年级数学第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷 (21)(含解析)

6．B
【解析】
根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAM＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCM，根据勾股定理得到AC2＋BC2＝AB2，解方程组得到3AB2＝57，于是得到结论．
，
∴△FBC≌△GDC（SAS），
∴∠BCF＝∠DCG，
∴∠BFM＝∠FCD＝∠DCG+∠FCG＝∠BCF+∠FCG，
∴当且仅当∠FCG＝45°时，∠BFM＝∠BMF，故②错误；
③∵GE∥BD，
∴∠FMB＝∠GFC，
∵△FBC≌△GDC，
∴CF＝CG，
∴∠GFC＝∠CGF，
∴∠FMB＝∠CGF，
∴∠CGF﹣∠BAE＝∠FMB﹣∠BCM＝∠MBC＝45°，故③正确；
①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP AR；④△BRP≌△QSP．
A．全部正确B．①②正确C．①②③正确D．①③正确
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是边CB延长线上一点，F为AB边上一点，BE＝BF，连接EF并延长交线段AD于点G，连接CF交BD于点M，连接CG交BD于点N．则下列结论：
①AE＝CF；
②∠BFM＝∠BMF；
③∠CGF﹣∠BAE＝45°；
④当∠BAE＝15°时，MN＝．
其中正确的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
5．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（）
A．20B．22C．24D．26

特殊平行四边形提高题

特殊平行四边形1.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件使其成为菱形3.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上一动点，PF⊥BD于F，PE⊥AC于E，则PE＋PF的值为（）A． B． C． D．24.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）5.如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是．6.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．8.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9.如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD 上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（） A．2 B．3 C．4 D．510.如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．11．在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A 点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BE （1）求证：BD=CD：（2）如果AB=AC，判断四边形AFBD的形状并证明．（3）如果∠BAC=90°，试判断四边形AFBD的形状，并13．如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．(1)证明当旋转角为90°时，ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．。

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特殊的平行四边形拔高题
一、选择题（题型注释）
1．如图，在菱形ABCD中，AB=13，对角线BD=24，若过点C作CE⊥AB，垂足为E，则CE的长为（）
A．
120
13 B．10 C．12 D．
240
13
2．如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2015A2016=．
3．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）
A． 1 B．3C． 2 D．5（第4题）
4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=2，CE=32，H是AF的中点，那么CH的长是（）
A、3.5
B、
C、10
D、2
5．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A、内角和等于3600
B、对角线相等
C、对边平行且相等
D、对角线互相垂直
6．（2016•石峰区模拟）矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（）
A． B． C． D．（第7
题图）
7．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）
A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD
8．如图，在平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于F，再分别以B、F
为圆心，大于1
2BF的长为半径画弧，两弧相交于点G，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）
（第9题图）
A．11 B．6 C．8 D．10
9．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4
10．如图，在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，EF=3，则PD的长为（）
A．2 B．3 C． D．6
二、填空题（题型注释）
11．如图，正方形ABCD的对角线长为2E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=．
（第12题图）
12．如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF⊥AC 于点F ，连接EC ，AF=3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为.
13．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若AB=3，则菱形AECF 的周长为 _．
14．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，BD=6，AD=3，则∠AOD=度．
（第15题图）
15．如图，折叠矩形纸片ABCD ，使点B 落在边AD 上，折叠EF 的两端分别在AB 、BC 上（含端点），且AB=8cm ，BC=10cm ，则折痕EF 的最大值是．
三、计算题（题型注释）
16．（本小题满分8分）如图，在正方形ABCD 中，BF BE ⊥，BF BE =，EF 交BC 于点G ．
（1）求证：BCF BAE ∠=∠；
（2）若 35=∠ABE ，求EGC ∠的大小．
17．已知E 为平行四边形ABCD 外一点，AE ⊥CE ，BE ⊥DE ，求证：平行四边形ABCD 是矩形．
18．如图，已知点E,F 分别是□ABCD 的边BC,AD 上的中点，且∠BAC=90°．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．
四、解答题
19．如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．。