电容与能量 (先讲电容后讲电介质)讲解

由E分布知，靠近内球处的场强最大，
则令该处的场强为击穿场强
q
EK 4 0 r R12
储能
Wmax

1 2
q2 max C
qmax 4 0 r R12 EK 1 (4 0 r R12EK )2
2 4 0r R1 R2 (R2 R1)
静电场中的导体和电介质总结
一、两个现象
0S
d1
C3

0S
d3
添加导体后，等效的电容，为电容器的串联结构
1 11 C / C1 C3
整理有
C/ 1 11
C1C3 C1 C3
0s 0s

d1 0s

d3 0s
0s
d1 d3
0s
d d2
C1 C3
d1 d3
原电容器
C0

0S
d
加金属板后，电容器的电容增大
Q2
1
1
8 0 r 2 R2 R3
[例3]如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为
R1、R2，层间添充介质r，设击穿场强为Ek，求此电
容器最多能储存多少电荷？最多储能是多少？ Q
解：
C

4 r0
R1R2
R2 R1 q
电容器间的场强 E 4 0 rr 2
r
r R1 R2
2
r
变小
变小
D 与 Q0 有关 加入介质，产生 极化电荷，极化 电场使总电场 变小 加入介质，E 变 小
能量消耗到极 化介质上
C
C 0S
d
C



0
r
S
d
变大 加入介质

q
4 0
(2) R
q U AB

4
0
(
R 2
)
C
3.两个任意形状导体组成的系统的电容
电容器
理论与实验表明： 的极板
A
B
q
q
UA
UB
电容器的电量q增加，电容器两个极板上的电势 差U按比例增加，但其比值为一定值，即
电容器所带电量与两极板的电势差UA-UB之比 值为一定值
定义:
C q
w D E 1
Q2
e1 2 1 1 32 20 r1r 4
w D E 1
Q2
e2 2 2 2 32 20 r 2r 4
W V wedV V1 we1dV V2 we2dV
-Q
体积元为球壳 dV 4r2dr
R3 R2
W 4 r dr R2
③ 板间电势差：
U AB

Ed

qd
oS
+q + S + + + + A
E
d
–q – – – – – B
④ 电容：
C q os
U AB
d
平板电容器的电容与极板 的面积成正比，与极板之 间的距离成反比，还与电 介质的性质有关。
② 球形电容器
解：两极板间电场
E

q 40r
2
(R1 r R2)
q
q
C

一般步骤：
U A U B U
①设极板带有电荷q（设q）
②由电荷分布求出两极板间电场的场强分布（求E）
③由场强分布求出两极板间的电势差（求U）
④由电容的定义求得电容器的电容（求C）
① 平行板电容器
解：① 设电容器两极板 带电± q ；
② 板间电场：
d 很小, S 很大 ,
E q o oS
1. 导体的静电感应
静电感应 静电平衡
静电屏蔽
导体是等势体 E内=0
导体表面是等势面
电荷分布在导体的外表面:
E外

0
1 R
E表 表面
2. 电介质的极化
介质的极化
极化规律——出现束缚电荷
E E 0
r
二、三个概念
①电位移矢量 D E 0rE
②电容
③电场的能量
介质注入前的电容为 C 0S
d
各量关系列表如下：
（1）不断开电源(U=恒量）
前
后
变化？
UU
U’=U 不变
C C 0S
d
σ CU
S
C 0r S
d
CU
S
变大 变大
D D=σ
D
变大
E
EU d
E U d
W
W

1 E2V
20
W
rW
不变 变大
why
电源不断开
加介质
电源供给
自由电荷增 加，电源 接电源，极板 间距不变
电源供给
（2）电源断开（Q=恒量）
前 σσ
后
变化？ why
σ
不变 断开电源
D D=σ
D
不变
D
E
E

0
E E
r
变小
U U=Ed
U Ed Ed
r
W
W

1 2
0 E 2V
W 1 E2V W
三、两条基本定理
介质场中的高斯定理 介质场中的环路定理

D dS q0
S
S

LE dl 0
四、三类计算
1.场强的计算： （1）有导体存在时静电场中的场强 A.用静电感应和电荷守恒的观点分析电荷的分布 B.计算方法同上一章
（2）有电介质存在时静电场中的场强： A.用介质场中的高斯定律 B.先求 D E，计算方法同上一章
可获得较大的电容
2. 串联:

总电压为各电容器电压之和
U
各电容器的电量相等，即为电容器组的总电量q
C q
q

q
U U1 U2 Un q / C1 q / C2 q / Cn
1 1 1 1
C C1 C2
Cn

n1 i1 Ci
串联时等效电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和，
因而它比每一电容器电容小,但电容器组的耐压能力提高
[例]电容为C的空气平板电容器，两极板间距离为d， 若在此电容器中插入一导体片d2后，电容变为C’, 问导体板的位置会不会影响新的电容器的大小
解：设金属板的面积为S，板间距离为d
原电容器
C0

0S
d
d
d1 d3
C1
d2
C3
C'
设极板面积为S
C1

1 2
D

EdV
②电容器储能
W 1 Q2 1 C U2
2C 2
[例]空气平板电容器。已知S，d,ε0,εr,U（1）在 充电后，注入介质（电源不断开）；（2）在充 电后，电源断开,注入介质. 比较U，C，E，D，We,σ如何变化。
解:设空气电容器充电后，电场为
E

0
,
电压为U， 为电荷面密度，

U

0
ln d a
a
三、电容器的串并联
1. 并联:
U C1 C2 C3
Cn
各电容器上的电压相等
电容器组总电量q为各电容所带电量之和
C q q1 q2 qn
U
Un
C1 C2 Cn Ci
i 1
并联时等效电容等于各电容器电容之和，利用并联
平行板电容器电容。
③ 圆柱形电容器
解：设两极板带电 q
R2
R1
板间电场
( l >> R2 – R1 )
l
q

E

2 o rl
2or (R1 r R2 )
板间电势差 U12
R2 E d l
R1
ln R2 2o R1
圆柱形电容器的电容
C q 2 ol
dr
r
q
R
3q2
20 0R
电子半径
3e2 W
20 0r0
mec2
r0

3e2
20 0mec2
1015 m
E1

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qr
4 0 R 3
E2

q
40r 2
[例2] 如图，两个半径分别为R1和R3的同心导体球面组 成的电容器，带电量分别为+Q、-Q，其中间充满相对
介电常数分别为r1和r2的两层各向同性均匀电介质，它
相对介 电常数
r

0
（4）电容值与另一个极板是否接地 无关
C q UA UB
（5）弧立导体实质上也可认为是电容器，另一
个导体极板在无穷远处（U∞=0）； （6）常见的电容器有：平行板电容器、圆柱形
电容器、球面电容器等；空气电容器、云母电
容器、纸质电容器等
（7）电容器的符号：
4. 电容的计算之一 ——定义法
•圆柱越长，电容越大；两圆柱面
之间的间隙越小，电容越大。
U12 ln( R2 R1 )
•用d表示两圆柱面之间的间距，
平板电容器的电容
当d<<R1 时
C 2 0l 2 0lR1 0S
d / R1
d
d
ln R2 ln R1 d ln(1 d ) d
R1
R1
R1 R1
因 Q C /U
1. 若Q一定，电容增加了，电 压差减小
2. 若电压差一定，电容增加了， Q增加了
整个电场的能量为
W
R 0
1 2
0
E12
4r
2dr

1 R2

0
E22
4r
2
dr

R 0
2
0
(
qr
4 0R3
)
2
r
2
dr


2
R
0
(
q
4 0r
2
)
2
r
2dr
§3 电容和电容器
一、孤立导体的电容
1.孤立导体： 指导体周围没有其它带电体和导体
2.孤立带电导体球： 已知：半径R、电量Q
导体球面的电势
ε Q
o++ + +
+
+ +
+
R
+
U

E dl

R
Q
R 4 0r 2 dr

Q
4 0R
当电势一定：半径越大，所带电荷越多
+ 当半径一定：所带电荷增加，电势相应增加
7.1104 F 710F
可见孤立电容器是不适用的！
实际上，孤立导体是不存在的！
二、电容器的电容 用于存储电荷或电能的装置
1.电容器： 两个带有等值异号电荷的导体组成的系统
2.两个球形导体组成的系统的电容
q R q R
电势
A
UA

q
4 0R
B
UB


q
4 0R
电势差
U AB
1 R1

1 R2
)

1
r 2
(
1 R2

1 R3
)
另法：将此带电体系看成两个球形电容器的串联
W 1 Q2 2C
1 1 1
C C1 C2
C 40 r
1 R1

1 R2
-Q
R3 R2
+Q r1
o
R1
1
r2 2
W ( ) ( ) Q2
1
1
8 0 r1 R1 R2
Q 4 R
U
0
C Q 导体储存或容纳电荷的能力 U
3.任意孤立导体： 带电Q，具有的电势U
理论与实验表明，随着Q的增加，U将按比例增加， 但它们的比值为一定值，即 ：
孤立导体的电容-------- Q C
说明：
U
（1）孤立导体的电容是描述该导体储存电荷能力大小 的物理量，数值上等于每升高单位电势所需的电量。
----电容器的电容
UA UB
说明：
q C
UA UB
（1）电容器的电容C是与q、U差无关的常数，
但与两个极板的尺寸、形状及其相对位置有关。
（2）q代表两极板的两个内表面之一所带电量
的绝对值，两极板带等量异号电荷
（3）电容器的电容与极板间的电介质有关。
介质中 的电容
C rC0
真空中 的电容
们的分界面为一半径为R2的同心球面。求此带电电容器
产生电场的电场强度、能量和电容。

解： D dS D4r2 Q S1
R3 R2 S1 -Q
D

Q
4r 2
E Q 1 4 0 r1r 2
D 0 r E
E Q
2
4 0 r 2r 2
+Q o R1 r
r2 r1
半径为a，轴间距为d的无

限长平行导线，求此平行
导线单位长度上的电容
E q
q
2o x 2o (d x)
0
U12
d a
E dl
a
ln d a 0 a
x
d-x
长度l C Q l 0l
U U ln d a
d
a
单位长度
C
Q U
（2）导体的电容C是与Q、U无关的常数，但与导体的 尺寸和形状有关。
（3）单位：法拉（F） 1F 106 F 1012 PF
弧立导体球的电容
C 40R
要提高C，则R↑，则体积V↑
1F
R 8996.4km
地球的电容 C 40R
R地=6371km
4 8.851012 6.4 106
2.电容器的电容： （1）定义法
C Q Q U A U B U
（2）电容串并联法
混联
串联 并联
1 C

1 C1

1 C2

1 Cn
C C1 C2 Cn
（3）能量法
C Q2 2W
3.静电场能量
作功
能量
①能量密度

we

1 2
DE

W

V
wedV

V
板间电势差
U12
R2
E


dl
q
(1 1)
R1
40 R1 R2
电容
C q 4 0 R1R2
U R2 R1
+q R1 R2 o
-q
讨论：①当R2 → 时，
C 4 o R1 ,
孤立导体球电容。
②R2 –R1= d , R2 ≈R1 = R
C 4 o R 2 d o S d
Q2
2
R1 32 2 0 r1r 4
+Q r1
o
R1
1
4 r dr R3
Q2
2
R2 32 2 0 r 2r 4
r2
2
( ) ( ) Q2
1
1
8 0 r1 R1 R2
Q2
1
1
8 0 r 2 R2 R3
C 1 Q2 2W
4 0
1
r1
(