72紧致性与分离性公理

1.推论7.2.4 每一个紧致的 Haudorff 空间都是
正则空间．
?紧致＋
T 2
?
T 3
证明 设A是紧致的Hausdorff 空间X的一个闭子集， x是X中的一个不属于集合 A的点．
由于紧致空间中的闭子集是紧致的（参见定 理7.1.5 ），所以 A是一个紧致子集．
又由定理7.2.1知 ?U ?U x ，V ? VA 使得U ? V ? ? ,
紧致的正规空间可以不是正则空间．
三、紧致空间到 T2的连续映射 1.定理7.2.8 从紧致空间到 Hausdorff 空间 的任何一个连续映射都是闭映射 ．
证明 设 X是一个紧致空间， Y是一个 Hausdorff 空间，f:X→Y是一个连续映射．
如果A是紧致空间X中的一个闭子集．则它是紧致的 . （参见定理 7.1.5） 因此它的象集 f（A）是 Hausdorff 空间Y中的一个 紧致子集（参见定理 7.1.4），
紧致空间中：
T4 空间 ? T3.5空间 ? T3 空间 ? T2 空间
? ? T1
正规空间 ?
? ? T1
完全正 ?
则空间
? ? T1 正则空间
3.定理7.2.7 设X是一个正则空间．如果 A是X 中的一个紧致子集， U是A的一个开邻域，则存 在A的一个开邻域 V使得 V ? U ．
证明 设A是正则空间 X中的一个紧致子集， U是A的一个开邻域．
令
U
?
?
U n
i?1
yi
,V
?
?
in?1Vyi，它们分别是点 x和集
合A的开邻域．
此外，由于对于每一个 i=1，2，…，n有：
U ? Vyi Βιβλιοθήκη Baidu U y1 ? U y2 ? ... ? U yn ? Vyi ? ?
所以 U ? V ? (U ? Vy1 ) ? (U ? Vy2 ) ? ... ? (U ? Vyn ) ? ?
§7．2 紧致性与分离性公理
本节重点 :掌握紧致空间中各分离性公理 的关系.
掌握Hausdorff 空间中紧致子集的性质 .
一、Hausdorff 空间中紧致子集
?1. 定理7.2.1 设X是一个Hausdorff 空 间．如果 A是X的一个不包含点x∈X的紧致子集， 则点x和紧致子集 A分别有开邻域U和V使得 ? U∩V=
y
x
A
U y ? Vy ? ?
证明 设A是一个紧致子集， x∈ A?．
对于 每一个y∈A，由于X是一个Hausdorff 空间，
故存在x的一个开邻域 U y 和y的一个开邻域Vy
使得
U y
?
V y
?
?
.
集族{ Vy | y∈A}明显是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有一个有限子族，设为 { Vy1,Vy2 ,...Vyn }，覆盖A．
?2.推论7.2.2 Hausdorff 空间中的每一个紧 致子集都是闭集．
证明 设A是Hausdorff 空间X的一个紧致子集．
对于? x? X,若x? A,由定理7.2.1知 ?U ? U x V ?VA 使得U ? V ? ? ,即有U ? A? {x} ? ? , 故 x ? d ( A)，从而 d ( A) ? A，? A为闭集 .
推论 7．2．2结合定理 7．1．5可见：
?3.推论7.2.3 在一个紧致的 Hausdorff 空间中， 一个集合是闭集的充分必要条件是它是一个紧致 子集．
?
紧致空间：闭集 ? 紧致子集
Hausdorff 空间：闭集 ? 紧致子集
紧致的hausdorff 空间：闭集 ? 紧致子集
二、紧致空间中的分离性公理
xx
x
x
集族{U x| x∈A} 是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有一个有限子族，设为 {U x1,U x2 ,...U xn}，覆盖A．
令
U
?
?
n i?
1U
xi
,V
?
?
V n
i?1 xi
由于对于每一个 i＝1，2，…，n有 U x∩V= ? ， 所以U∩V= ? ．
?推论7.2.6 每一个紧致的 Hausdorff 空间都 是T4 的.
这就证明了 X是一个正则空间．
2.定理7.2.5 设X是一个Hausdorff 空间．如果
A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有
开邻域U和V使得U∩V= ? ． ?紧致＋T ? 正规 ? T
2
4
证明 设A和B是X的两个无交的紧致子集．
对于任何x∈A，根据定理 7.2.1，点x和集合B
分别有开邻域 U ,V , 使得 U ? V ? ? ．
对于任何x∈A，点x有一个开邻域 Vx使得 Vx? ? U.
集族{ Vx| x∈A}是紧致子集 A的一个开覆盖， 它有有限子族，设为 { V1 ,V2 ,...Vn }，覆盖A．
令
V
?
?
V n
i?1 i
，它是 A的一个开邻域，并且
V
?
(?
V n
i?1 i
)
?
?
?
V n ?
i?1 i
?
U.
每一个紧致的正则空间都是正规空间．
所以又是闭集 . 这证明f是一个闭映射．
因为一个既单且满的开（或闭）的连续映射 即是一个同胚，所以我们有：
2.推论7.2.9 从紧致空间到 Hausdorff 空间的 任何一个既单且满的（即一一的）连续映射都 是同胚．