黑龙江省高考数学二模试卷(文科)

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黑龙江省哈尔滨市高三下学期二模考试数学(文科)试题有答案

哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷(文史类)第 I 卷 (选择题，共60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合{}241A x x =≤，{}ln 0B x x =<，则AB =A ．11(,)22- B ．1(0,)2 C ．1[,1)2 D ．1(0,]22．设命题p ：若,x y R ∈，x y =，则1xy=；命题q ：若函数()=f x x ，则对任意12x x≠都有()()1212f x f x x x ->-成立．在命题①p ∧q ； ②p ∨q ； ③()p q ∧⌝； ④()p q ⌝∨中，真命题是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 3．已知复数11i z i-=+，则2016z= A ．1 B ．1- C ．i D ．i -4．口袋中有四个小球，其中一个黑球三个白球，从中随机取出两个球，则取到的两个球同色的概率为A ．16B ．12C ．14D ．345．已知x ，y 满足约束条件10,20,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为A ．12- B ．1 C ．4 D ．5 e6．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+(ϕπ<)的图象过点1(0,)2P ，如图，则ϕ的值为 A ．6π B ．56πC ．6π或56π D ．6π-或56π7．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点(1,1)P ，且其两条渐近线的方程分别为20+=x y 和20x y -=，则双曲线C 的标准方程为A ．224133x y -= B ．224133x y -= C ．224133x y -= 或224133x y -= D ．228．如图，给出的是求111246+++……120+ 程序框图，则判断框内填入的条件是A ．10i ≥B ．10i ≤ C．9≥iD ．9≤i9 A ．4B ．C ．4D ． 10．已知数列{}n a 为等差数列，且公差0d >n 110=>b ，44a b =，则A ．77a b > B ．77a b = C ．77a b < D ．7a 与7b 大小无法确定11．等腰直角ABC ∆中，2A π∠=，1AC =，BC 在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向ABC ∆滚动，并沿ABC ∆的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()()24 ,1, 1 xx x x f x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数kx x f x g -=)()(恰有一个零点，则k 的取值范围是A ．(e,)+∞B ． (,e)-∞C ．1(,)e-∞ D ．[0,e)2016哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷(文史类)第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．)13．已知圆22:(2)(1)5-+-=M x y ，则过点(0,0)O 的圆M 的切线方程为．14．数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时， 12-=n n n a a ，则数列{}n a 的通项公式为．15．点P 在ABC ∆的边BC 所在直线上，且满足=+AP mAB nAC (,m n R ∈)，则在平面直角坐标系中，动点(,)Q m m n -的轨迹的普通方程为．16．四棱锥P ABCD -的底面是边长为的正方形，高为1，其外接球半径为，则正方形ABCD 的中心与点P 之间的距离为．e三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)已知()2sin sin )1222x x xf x =-+ (Ⅰ)若2[,]63x ππ∈，求()f x 的值域；(Ⅱ)在ABC ∆中，A 为BC 边所对的内角若()2f A =，1BC =，求AB AC ⋅的最大值．18．(本小题满分12分)某汽车公司为了考查某4S 店的服务态度，对到店维修保养的客户进行回访调查，每个用户在到此店维修或保养后可以对该店进行打分，最高分为10分．上个月公司对该4S 店的100位到店维修保养的客户进行了调查，将打分的客户按所打分值分成以下几组：第一组[0，2)，第二组[2，4)，第三组[4，6)，第四组[6，8)，第五组[8，10]，得到频率分布直方图如图所示．(Ⅰ)分别求第四、五组的频率；(Ⅱ)该公司在第二、三组客户中按分层抽样的方法抽取6名客户进行深入调查，之后将从这6人中随机抽取2人进行物质奖励，求得到奖励的人来自不同组的概率．19．(本小题满分12分)棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，沿平面11A ACC 将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线1AC 的平面1A CM 与线段1BB 交于点M ．(Ⅰ)当M 与1B 重合时，求证：1MC AC ⊥；(Ⅱ)当平面1A CM ⊥平面11A ACC 时，求平面1ACM 分几何体所得两部分体积之比．20．(本小题满分12分)已知抛物线)0(2:2>=p py x C ，过其焦点作斜率为1的直线l 交抛物线C 于M 、N 两点，且16||=MN ．A 1AMB 1C 1CB(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知动圆P 的圆心在抛物线C 上，且过定点D (0，4)，若动圆P 与x 轴交于A 、B 两点，且||||DB DA <，求||||DA DB 的最小值．21．(本小题满分12分)已知函数()ln 1f x x x =-+，函数()=g x ax 4-x x ，其中a 为大于零的常数．(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)求证：()2()2(ln ln 2)g x f x a -≥-．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点Q ，AC 平分DAB ∠，AP 为梯形ABCD 外接圆的切线，交BD 的延长线于点P ．(Ⅰ)求证：2PQ PD PB =⋅； (Ⅱ)若3AB =，2AP =，43AD =，求AQ 的长．e23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=．(Ⅰ)求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()|1||21|=-+-f x x x ． (Ⅰ)求不等式()2f x ≥的解集； (Ⅱ)若x R ∀∈，不等式()≥f x a x恒成立，求实数a 的取值范围．哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷(文史类)答案一、选择题DDAB CABB BCDB 二、填空题13．2y x =- 14．(2)(1)22n n n a +-= 15．21y x =- 16．17．(Ⅰ)()cos 2sin()6f x x x x π=+=+， -------------3分2[,]63x ππ∈5[,]636x πππ∴+∈，()f x ∴的值域为[1,2]；-------------6分(Ⅱ)()2f A =，sin()16A π∴+=，3A π∴=， 2221cos 22AB AC BC A AB AC +-∴==-------------9分22121AB AC AB AC AB AC ∴=+-≥-，1AB AC ∴≤11cos 22AB AC AB AC A AB AC ∴⋅==≤．AB AC ∴⋅的最大值为12． -------------12分18．解：(1)由直方图知，第四组的频率为35.02175.0=⨯，第五组的频率为30.0215.0=⨯所以第四、五组的频率分别为35.0和3.0． ………………………4分(2) 由直方图知，第二、三组客户人数分别为10人和20人，所以抽出的6人中，第二组有2人，设为A ，B ，第三组有4人，设为a ，b ，c ，d ．从中随机抽取2人的所有情况如下：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd 共15种．…8分其中，两人来自不同组的情况共有8种， ………………………10分所以，得到奖励的人来自不同组的概率为158． ………………………12分19．(Ⅰ)连接1CB ，在正方形11B BCC 中，11BC B C ⊥，正方体1111ABCD A B CD -中，AB ⊥平面11B BCC ，1B C ∈平面11B BCC ，1AB B C ∴⊥，1B C ∴⊥平面1ABC ， 1BC AC ∴⊥，即1MC AC ⊥；-------------4分(Ⅱ)当M 为1B B 中点时，取1A C 、AC 中点分别为N 、P ，链接MN 、NP 、PB ，1MB A A NP ∥∥，且112MB NP A A==， ∴四边形MBPN 为平行四边形，MN PB ∥，平面11A ACC⊥平面ABC ，PB AC ⊥， BP ∴⊥平面11A ACC ，MN ∴⊥平面11A ACC ，∴平面1MAC ⊥平面11A ACC ．-------------8分设AB a =，11131A B C -ABC12ABC V S AA a∴=⨯=三棱柱，11111311A -MCC B MCC B 11B 34V S A a ∴=⨯⨯=四棱锥四边形， 1111-M A -MCC B :1:1C BAA V V ∴=四棱锥三棱锥．-------------12分20．解：(1) 设抛物线的焦点为)2,0(p F ，则直线2:p x y l +=，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=py x p x y 222，得0222=--p px x ………………………2分p x x 221=+∴，p y y 321=+∴，164||21==++=∴p p y y MN ，4=∴p ………………………4分 ∴抛物线C 的方程为y x 82= ………………………5分NP(2) 设动圆圆心)0,(),0,(),,(2100x B x A y x P ，则0208y x =，且圆20202020)4()()(:-+=-+-y x y y x x P ，令0=y ，整理得：01622002=-+-x x x x ，解得：4,40201+=-=x x x x ， ………………………7分32816132832816)4(16)4(||||02000200202020++-=+++-=+++-=x x x x x x x x x DB DA ，…………9分当00=x 时，1||||=DB DA ，当00≠x 时，0328161||||x x DB DA ++-=，00>x ，283200≥+∴x x ，12223288161||||-=-=+-≥DB DA ，112<-所以||||DB DA 的最小值为12-． ………………………12分21．(1)解：xx x f -='1)(，----------------------------------------------------------------1分令()0>'x f 得10<<x ，则()x f 在()1,0上单调递增；令()0<'x f 得1>x ，则()x f 在()+∞,1上单调递减。

2022年黑龙江省哈尔滨市高考文科数学二模试卷及答案解析

2022年黑龙江省哈尔滨市高考文科数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合M ＝{x |﹣1＜x ＜1}，N ＝{x |0≤x ＜2}，则M ∪N 等于（） A ．{x |﹣1＜x ＜2}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |﹣1＜x ＜0}2．（5分）若复数z 满足（1﹣i ）z ＝3+i ，z 是z 的共轭复数（其中i 是虚数单位），则（） A ．z 的实部是2B ．z −z =4iC ．|z |=√6D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限3．（5分）1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则a 20＝（） A ．181B ．191C ．201D ．2114．（5分）祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“|a ﹣b |≤3”的概率为（） A ．13B ．815C ．23D ．7155．（5分）已知a →，b →均为单位向量，若|a →−2b →|=√3，则向量a →与b →的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．（5分）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝（） A ．31B ．32C ．63D ．647．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的i ＝（）A ．6B ．7C ．8D ．98．（5分）已知直线l 过点（﹣2，0），当直线l 与圆x 2+y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（） A ．(−2√2，2√2)B ．(−√2，√2)C ．(−√24，√24)D ．(−18，18)9．（5分）已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（OM →+OF 2→）•F 2M →=0（其中O 为坐标原点），且|MF 1→|=√3|MF 2→|，则双曲线的离心率为（） A ．√5−1B ．√3+12C ．√5+12D ．√3+110．（5分）已知f （x ）=e x −e −x2，则下列正确的是（） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数 C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数11．（5分）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA =BC =√6，∠ABC =π2，若三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为3，则其外接球的半径为（） A ．2B ．3C ．4D ．512．（5分）设函数f （x ）在R 上存在导函数f '（x ），∀x ∈R ，有f （x ）﹣f （﹣x ）＝x 3，在（0，+∞）上有2f '（x ）﹣3x 2＞0，若f （m ﹣2）﹣f （m ）≥﹣3m 2+6m ﹣4，则实数m 的取值范围为（） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，1]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝．14．（5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 5＝﹣14，S 9＝﹣27，则使得S n 取最小值时的n ＝．15．（5分）若变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x x +y ≤2y ≥−2，则z ＝x ﹣2y 的最小值为．16．（5分）设有下列四个命题： ①梯形可以确定一个平面；②平行于同一条直线的两个平面平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ．则正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sinA−sinCsinB−sinC=b a+c．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若△ABC 为锐角三角形，且a ＝2，求△ABC 周长的取值范围．18．（12分）某公司为了预测下月产品销俜情况，找出了近7个月的产品销售量y （单位：万件）的统计表：月份代码t 1 2 3 4 5 6 7 销售量y （万件）y 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7但其中数据污损不清，经查证∑ 7i=1y i ＝9.32，∑ 7i=1t i y i ＝40.17，√∑ 7i=1(y i −y)2=0.55．（Ⅰ）请用相关系数说明销售量y 与月份代码t 有很强的线性相关关系；（Ⅱ）求y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01）；（Ⅲ）公司经营期间的广告宣传费x i =√t i （单位：万元）（i ＝1，2，…，7），每件产品的销售价为10元，预测第8个月的毛利润能否突破15万元，请说明理由．（毛利润等于销售金额减去广告宣传费）参考公式及数据：√7≈2.646，相关系数r =∑n i=1i −t)(y i −y)√∑ i=1(t i −t)2∑ i=1(y i −y)2，当|r |＞0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系，回归方程y ＝bt +a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ ni=1(t i −t)2，a =y −b t ．19．（12分）如图，已知椭圆C 1：x 22+y 2＝1，抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0），点A 是椭圆C 1与抛物线C 2的交点，过点A 的直线l 交椭圆C 1于点B ，交抛物线C 2于点M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若p =116，求抛物线C 2的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．20．（12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，O 是正方形的中心．PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点，连接BE ，DE ．（1）证明：P A ∥平面BDE ，平面P AC ⊥平面BDE ；（2）若∠COE ＝60°，求四棱锥P ﹣ABCD 的体积．21．（12分）已知函数f （x ）=1a x 2+lnx ﹣（2+1a）x （a ≠0）．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）令F （x ）＝af （x ）﹣x 2，若F （x ）＜1﹣2ax 在x ∈（1，+∞）恒成立，求整数a 的最大值．（参考数据：ln3＜43，ln4＞54）[选做题]本大题包括22、23两小题，请选定其中一题，若多做，则按作答的第一题评分。

黑龙江省高考数学二模试卷(文科)

黑龙江省高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知i是虚数单位，复数（）A . i﹣2B . i+2C . ﹣2D . 22. （2分） (2020高一上·玉溪月考) 下列五个写法：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中错误写法的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A . 这种抽样方法是一种分层抽样B . 这种抽样方法是一种系统抽样C . 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D . 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数4. （2分） (2018高二上·惠来期中) 记不等式组所表示的平面区域为，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·定州期末) 如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A . 16+4πB . 16+2πC . 48+4πD . 48+2π6. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为（）A . ③④B . ①②C . ①③D . ②④7. （2分）(2017·蚌埠模拟) 若cos（）= ，则cos2α=（）A . -B .C . 一D .8. （2分）已知，则“mn<0”是“曲线为双曲线”的（）A . 充分必要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分）(2018·湖北模拟) 设 ,其中，则的最小值为（）A .B .C .D .10. （2分）设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（）A . m=nB . m＞nC . m＜nD . 无法确定二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·丰台模拟) 执行如图所示的程序框图，若输入x=6的值为6，则输出的x值为________．12. （1分） (2018高二上·南宁月考) 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上，则双曲线的标准方程是________13. （1分）平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB=1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有 + =2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A﹣BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB=1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有________．14. （1分）(2019·浙江模拟) 已知是椭圈上的动点，过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、，当（为坐标原点）的面积最小时，（、是椭圆的两个焦点），则该椭圆的离心率为________．15. （1分） (2016高一上·包头期中) 已知定义在[﹣1，1]的函数满足f（﹣x）=﹣f（x），当a，b∈[﹣1，0）时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分） (2017高二下·河北期末) 已知分别是的内角所对的边，且.（1）求角的大小；（2）若，求边b的长.17. （10分） (2016高一下·随州期末) 已知正项数列{an}的前n项和为Sn ，且an和Sn满足：4Sn=（an+1）2（n=1，2，3…），（1）求{an}的通项公式；（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn ．18. （10分） (2016高一下·周口期末) 设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从﹣2，﹣1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f （x）有零点的概率；（2）若a是从区间[﹣3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．19. （5分）(2018·茂名模拟) 在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC ，平面PAC⊥平面ABCD ， AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点.（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A−EBC的体积.20. （10分） (2020高二下·阳江期中) 已知函数在处有极值．（1）求a,b的值；（2）求的单调区间．21. （10分）(2020·秦淮模拟) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为，求△OPQ 的面积．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共5题；共5分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。

黑龙江省哈尔滨高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A. （-∞，2]B. （-∞，1]C. [1，+∞）D. [2，+∞）2.已知复数z=4+3i，则=（）A. 4-3iB. 4+3iC. +iD. -i3.“0＜a＜1且0＜b＜1”是“log a b＞0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.设椭圆的左焦点为F，直线l：y=kx（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是（）A. 2B.C. 4D.5.从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，则取出的2只鞋不成对的概率为（）A. B. C. D.6.实数x，y满足不等式组，若z=3x+y的最大值为5，则正数m的值为（）A. 2B.C. 10D.7.若cos2α=-，，则tan（）=（）A. -2B. -C. 2D.8.运行下边程序框图，若输出的结果是22×52×112×232×472×952，则判断框内的条件是（）A. i≤91？B. i≤100？C. i≤191？D. i≤200？9.如图，在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A. B.C. D.10.已知f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，且当x=2时，f（x）取得最大值2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=（）A. 2+2B. 2-2C. 2±2D. 011.已知函数f（x）与其导函数f′（x）的图象如图，则函数g（x）=的单调减区间为（）A. （0，4）B. （0，）C. （0，1），（4，+∞）D. （-∞，1），（）12.牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法，若定义x k（k∈N）是函数零点近似解的初始值，过点P k（x k，f（x k））的切线为y=f′（x k）（x-x k）+f（x k），切线与x轴交点的横坐标x k+1，即为函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足精度的初始值即为函数零点的近似解，设函数f（x）=x2-2，满足x0=2应用上述方法，则x3（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=，A=，B=，则△ABC的面积为S=______．14.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则=______．15.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），其渐近线与圆（x-2）2+y2=2相交，且渐近线被圆截得的两条弦长都为2，则双曲线的离心率为______．16.已知球O的体积为36π，则该球的内接圆锥的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}为等差数列，且a2=3，{a n}前4项的和为16，数列{b n}满足b1=4，b4=88，且数列{b n-a n}为等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n-a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和S n．18.市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面只需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换．（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支．若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1=2，D为棱CC1的中点AB1∩A1B=O．（1）证明：C1O∥平面ABD；（2）已知AC⊥BC，△ABD的面积为，E为线段A1B上一点，且三棱锥C-ABE的体积为，求．20.已知圆M：（x-a）2+（y-b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，-t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=-t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．21.已知函数f（x）=（x-2）ln x+2x-3的定义域为[1，+∞）．（1）判断函数f（x）的零点个数，并给出证明；（2）若函数g（x）=（x-a）ln x+在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（参考数据：ln1.59≈0.46，ln1.60≈0.47，）22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+3cosθ-ρ=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|=3|PB|，求实数a的值．23.已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A∩B=A；∴A⊆B；∴a≥2；∴a的取值范围是[2，+∞）．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出a≥2．考查描述法的定义，交集的定义及运算，以及子集的定义．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．把z=4+3i代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z=4+3i，∴|z|=5，则=．故选：D．3.【答案】A【解析】解：∵log a b＞0=log a1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，或a＞1，b＞1，故0＜a＜1且0＜b＜1”是“log a b＞0”的充分不必要条件，故选：A．根据对数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查数形结合思想，属于中档题．由题意可知四边形AFBF2是平行四边形，AF=BF2，可得|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4.【解答】解：如图，设F2是椭圆的右焦点，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴|AF|=丨BF2丨．∴|AF|+|BF|=丨BF2丨+丨BF丨=2a=4.故选C．5.【答案】B【解析】解：从装有3双不同鞋的柜子里，随机取2只，基本事件总数n==15，取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=-=12，则取出的2只鞋不成对的概率为p===．故选：B．基本事件总数n==15，取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=-=12，由此能求出取出的2只鞋不成对的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意作出实数x，y满足不等式组的平面区域，将z=3x+y化为y=-3x+z，z相当于直线y=-3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x=1，y=2；故m=2；故选：A．由题意作出其平面区域，将z=3x+y化为y=-3x+z，z相当于直线y=-3x+z的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切，二倍角公式及其应用，是基础题.由已知展开二倍角的余弦求得cosα，进一步得到tanα，然后展开两角和的正切求解. 【解答】解：由cos2α=2cos2α-1=-，且，得cosα=，则sinα=，∴tan，∴tan（）==.故选B.8.【答案】B【解析】解：第一次i=2满足条件，S=1×22=22，i=5，第二次i=5满足条件，S=22×52，i=11，第三次i=11满足条件，S=22×52×112，i=23，第四次i=23满足条件，S=22×52×112×232，i=47，第五次i=47满足条件，S=22×52×112×232×472，i=95，第六次i=95满足条件，S=22×52×112×232×472×952，i=191，此时i=191不满足条件．故条件为i≤100？故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定定理及其应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于基础题．画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，由正方体的性质可知BD1⊥EG，BD1⊥GQ，故直线BD1与平面EFMNQG垂直，选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，所以，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．10.【答案】A【解析】解：由于f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）是定义域为R的奇函数，∴φ=0，f（x）=A sinωx．由于当x=2时，f（x）取得最大值2，故A=2，sin2ω=1，∴2ω=2kπ+，k∈Z，即ω=kπ+，k∈Z．故可取ω=，此时，f（x）=sin x，故函数f（x）的周期为=8．求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=+2++0--2-+0=0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）=12×0+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+2．故选：A．由条件利用正弦函数的奇偶性求得φ，再根据当x=2时，f（x）取得最大值2，求得A、ω的值，可得f（x）的解析式，再根据它的周期性，求得所给式子的值．本题主要考查正弦函数的奇偶性和周期性，利用函数的周期性求函数的值，属于基础题．11.【答案】C【解析】【分析】利用导函数的图象以及原函数的图象的关系，得到f′（x）-f（x）的符号，把g（x）=求导得答案．本题考查函数的图象的判断与应用，函数的单调性以及二次函数与3次函数的图象的区别，是中档题．【解答】解：由题意可知导函数是二次函数，原函数是3次函数，由g（x）=，得g′（x）=，由图可知，当x∈（-∞，0）时，f′（x）-f（x）＞0，g′（x）＞0；当x∈（0，1）时，f′（x）-f（x）＜0，g′（x）＜0；当x∈（1，4）时，f′（x）-f（x）＞0，g′（x）＞0；当x∈（4，+∞）时，f′（x）-f（x）＜0，g′（x）＜0．∴函数g（x）=的单调减区间为（0，1），（4，+∞）．故选C．12.【答案】D【解析】解：因为f（x）=x2-2，所以f′（x）=2x，又以点P k（x k，f（x k））为切点的切线为y=f′（x k）（x-x k）+f（x k），即切线方程为：y=2x k x-x k2-2，令y=0得：x k+1=x=，当x0=2时，x1=，x2=，x3==，故选：D．先阅读题意，再利用直线横截距的求法得：点P k（x k，f（x k））为切点的切线为：y=2x k x-x k2-2，令y=0得：x k+1=x=，当x0=2时，x1=，x2=，x3==，得解本题考查了阅读能力及直线横截距的求法，属中档题13.【答案】【解析】【分析】由A与B的度数，以及a，利用正弦定理求出b的值，以及C的度数，再利用三角形面积公式即可求出S．此题考查了正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．【解答】解：∵a=，A=，B=，∴由正弦定理=，得：b===，C=，∵sin C=sin（+）=×+×=，∴S=ab sin C=×××=．故答案为：.14.【答案】5【解析】解：向量，向量在向量方向上的投影为，∴||•cos＜，＞=2．∵，∴-2+=10，即5-2••2+=10，∴=25，则=5，故答案为：5．由题意可得||•cos＜，＞=2，再根据-2+=10，求得的值，可得的值．本题主要考查一个向量在另一个向量上的投影的定义，两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0），的渐近线方程为y=±x，取一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x-2）2+y2=2，圆心为（2，0），半径为，圆心到渐近线的距离为d=，由弦长公式可得2=2，化简可得a2=3b2，即有c2=a2+b2=4b2，则e===．故答案为：．求得圆的圆心和半径，求得双曲线的方程的渐近线方程，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解方程可得a2=3b2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线离心率的计算，主要是渐近线方程的运用，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵球的体积为36π∴球的半径为3．设球的内接圆锥的底面半径为r，高为h，则r2=h（6-h），V===≤=．∴球的内接圆锥的体积的最大值为．故答案为：．先确定球的半径，利用V===，根据基本不等式即可求得结论．本题考查球的内接圆锥，解题的关键是利用V===，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，因为a2=3，{a n}前4项的和为16，所以a1+d=3，，解得a1=1，d=2，所以a n=1+（n-1）×2=2n-1．设{b n-a n}的公比为q，则，所以，得q=3，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以+（1+3+5+…+2n-1）==．【解析】（Ⅰ）根据等差数列的定义即可求出a n=2n-1，根据等比数列的定义即可求出b n-a n=3n，（Ⅱ）分组求和即可本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为0.1，0.3，0.4，0.2，故B型节能灯的平均使用寿命为：3100×0.1+3300×0.3+3500×0.4+3700×0.2=3440小时．（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为5×0.8=4．（Ⅲ）若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．因为967.5＞820，所以该商家应选择A型节能灯．【解析】本题考查了频率分布直方图，众数、中位数、平均数和概率的含义，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．（Ⅰ）根据频率直方图能估算B型节能灯的平均使用寿命．（Ⅱ）使用寿命不超过3600小时的频率为0.8，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为0.8，由此能估计一年内5支B型节能灯需更换的支数．（Ⅲ）利用概率的含义，若选择A型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10-3=870元，若选择B型节能灯，一年共需花费（5+4）×25+3600×5×55×0.75×10-3=967.5元．从而该商家应选择A型节能灯．19.【答案】证明：（1）取AB的中点F，连接OF，DF，∵侧面ABB1A1为平行四边形，∴O为AB1的中点，∴，又，∴，∴四边形OFDC1为平行四边形，则C1O∥DF．∵C1O⊄平面ABD，DF⊂平面ABD，∴C1O∥平面ABD．解：（2）过C作CH⊥AB于H，连接DH，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AB．又CH∩CD=C，∴AB⊥平面CDH，∴AB⊥DH．设BC=x，则，，，∴△ABD的面积为，∴x=2．设E到平面ABC的距离为h，则，∴h=1，∴E与O重合，．【解析】（1）取AB的中点F，连接OF，DF推导出四边形OFDC1为平行四边形，则C1O∥DF．由此能证明C1O∥平面ABD．（2）过C作CH⊥AB于H，连接DH，推导出DC⊥AB，AB⊥DH．求出BC=2．设E到平面ABC的距离为h，则，求出h=1，由此推导出E 与O重合，．本题考查线面平行的证明，考查多面体的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.【答案】解：（I）解法一：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，且圆半径为3，故，（1分）因为圆过原点，所以a2+b2=9，所以，（2分）又a2=2pb，所以，（3分）因为p＞0，所以p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法二：因为圆M的圆心在抛物线上且与抛物线的准线相切，由抛物线的定义，圆M必过抛物线的焦点，（1分）又圆M过原点，所以，（2分）又圆的半径为3，所以，又a2=2pb，（3分）又，得p2=16（p＞0），所以p=4．所以抛物线C方程x2=8y．（4分）解法三：因为圆M与抛物线准线相切，所以，（1分）且圆过又圆过原点，故，可得，（3分）解得p=4，所以抛物线C方程x2=8y．（4分）（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，-t），C方程为，所以y′=，（5分）∴抛物线在点A处的切线的斜率k=，所以切线PA方程为：y-y1=即，化简得y=（6分）又因过点P（m，-t），故可得-t=（7分）即x12-2mx1-8t，同理可得x22-2mx2-8t（8分）所以x1，x2为方程x2-2mx-8t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=-8t，（9分）因为Q（0，-t），所以k AQ +k BQ ====所以∠AQO =∠BQO ．（12分）【解析】（I ）解法一：可得，a 2+b 2=9，即，又a 2=2pb ，所以，解得p =4，即可解法二：可得圆M 必过抛物线的焦点，又圆M 过原点，得，又圆的半径为3，得，又a 2=2pb ，得p =4．即可；解法三：由圆M 与抛物线准线相切，得，且圆过又圆过原点，故，可得，解得p =4，即可（Ⅱ）：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （m ，-t ），切线PA 方程为：y -y 1=可得-t =，即x 1，x 2为方程x 2-2mx -8t =0的两根，所以x 1+x 2=2m ，x 1x 2=-8t ，因为Q （0，-t ），所以k AQ +k BQ ====即可得∠AQO =∠BQO本题考查了抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查了方程思想、转化思想，考查了运算能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=（x -2）ln x +2x -3，f ′（x ）=在[1，+∞）上为增函数，且f ′（x ）≥f ′（1）=1，故f （x ）=（x -2）ln x +2x -3在[1，+∞）上为增函数，又f （1）=0+2-3=-1＜0，f （2）=0+4-3=1＞0，则函数f （x ）在[1，+∞）上有唯一零点；（Ⅱ）g （x ）=（x -a ）ln x +，g ′（x ）=ln x +1-≥0在[1，+∞）上恒成立，当x =1时显然成立，当x ＞1时，可得a ≤在（1，+∞）上恒成立，令h （x ）=，则a ≤h （x ）min ，x ∈（1，+∞），h ′（x ）=，由（Ⅰ）可知：f （x ）=（x -2）ln x +2x -3在[1，+∞）上为增函数，故f （x ）在[1，+∞）上有唯一零点m ，则x ∈（1，m ）时，h ′（x ）＜0，h （x ）在区间（1，m ]上为减函数， x ∈（m ，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）在区间[m ，+∞）上为增函数，故x =m 时，h （x ）有最小值，．又f （1.60）=-0.40×ln1.60+0.20=0.012＞0，f（1.59）=-0.41×ln1.59+0.18=-0.0086＜0，则m∈（1.59，1.60），有f（m）=（m-2）ln m+2m-3=0，得ln m=，∴h（m）=，m∈（1.59，1.60），令2-m=t∈（0.4，0.41），则h（x）最小值h（m）=∈（，），∵=6.17，=6.4，则h（x）的最小值大约在6.17～6.4之间，故整数a的最大值为6．【解析】（1）对函数f（x）求导，由f′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，则f（x）在[1，+∞）上为增函数，由f（1）＜0，f（2）＞0可判断出函数有唯一零点；（2）对函数g（x）求导，分离参变量，在（1，+∞）上恒成立，构造新函数h（x）求导，由（1）可知，a小于等于h（x）在区间[1，+∞）上的最小值，根据函数的单调性，求得函数h（x）最小值的取值范围，即可取得整数a的最大值．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，属难题．22.【答案】解：（1）C1的参数方程，消参得普通方程为x-y-a+1=0，C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+3ρcosθ-ρ2=0，即y2=3x；（2）将曲线C1的参数方程标准化为（t为参数，a∈R）代入曲线，得，由，得a＞，设A，B对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=3|t2|，即t1=3t2或t1=-3t2，当t1=3t2时，，解得a=＞，当t1=-3t2时，，解得＞，综上：或a=．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线位置关系式的应用，参数的确定．23.【答案】（Ⅰ）证明：由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即有（a+b+c）2≤3，即有|a+b+c|≤；（Ⅱ）解：不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，由x≥1得，2x≥3，解得，x≥；由x≤-1，-2x≥3解得，x≤-，由-1＜x＜1得，2≥3，不成立．综上，可得x≥或x≤-．则实数x的取值范围是（-]∪[）．【解析】（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2），即可得证；（Ⅱ）不等式|x-1|+|x+1|≥（a+b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则由（Ⅰ）可知，|x-1|+|x+1|≥3，运用绝对值的定义，即可解出不等式．本题考查柯西不等式的运用，考查不等式恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．。

黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)

高考数学二模试卷（文科）（内考）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={2，3，4}，B={x|1+x＞3}，则A∩B=（）A. {4}B. {2}C. {3，4}D. {2，3}2.=（）A. B. C. D.3.若函数f（x）=是奇函数，则f（a-1）=（）A. -1B.C.D. 14.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. -2B. -3C. -4D. -55.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，若e=，则该双曲线的渐近线方程为（）A. 2x±3y=0B. 3x±2y=0C. 4x±3y=0D. 3x±4y=06.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.7.在公比为整数的等比数列{a n}中，a2-a3=-2，a1+a3=，则{a n}的前4项和为（）A. B. C. D.8.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20179.若函数f（x）=e x（x3-3ax-a）有3个零点，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. （）C. （0，）D. （）10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. （0，]B. （0，]C. （0，]D. （0，]12.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. [-，0）]B. [-，0）∪（0，]C. [-，0）∪（0，]D. [-，0）∪（0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为______．15.甲、乙、丙三个同学同时做标号为A、B、C的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是______①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对．16.已知三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，且AC=，BD=2，AB=BC=CD=AD=，则球O的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，PA⊥BD，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求点C到平面PBD的距离．19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在，）的学生评价为“锻炼达标”．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表20.已知O为坐标原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y=k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21.已知函数f（x）=a ln x-2x+x2（a∈R）．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）设f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），且不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ-cosθ=交曲线C2于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x-2|．（Ⅰ）解不等式f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）对a+b=1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x-m）-（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：B={x|x＞2}；∴A∩B={3，4}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴2-x-2a+x=2a-x-2x，∴2a（2x+2-x）=2x+2-x，∴2a=1，∴a=0，∴f（a-1）=f（-1）=-．故选：B．根据奇函数的定义，构造关于a的方程组，容易求出a的值，从而求出f（x），可求结果．本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义求出a值，是解决该类问题的关键．4.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，可得e==，可得：a2+b2=9a2-6ab+b2，化简可得=，则该双曲线的渐近线方程为：4x±3y=0．故选：C．求出双曲线的离心率，利用已知条件列出方程求解a，b比值进而求解渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设等比数列的首项为a1，公比为q∵a2-a3=-2，a1+a3=，∴两式相除可整理可得，2q2-5q-3=0由公比q为整数可得，q=3，a1=代入等比数列的和公式可得S4==，故选：A．由a2-a3=-2，a1+a3=，联立方程可求a1、q，然后代入等比数列的前n和公式可求答案．本题主要考查了利用基本量q，a1表示数列中的项，而在建立关于q，a1的方程时，常利用两式相除解方程，等比数列的前n项和公式．8.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，可得：S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【解析】解：令g（x）=x3-3ax-a，若f（x）=e x g（x）有3个零点，即g（x）有3个零点，g′（x）=3x2-3a，当a≤0时，g′（x）≥0，g（x）递增，至多1个零点，当a＞0时，g′（x）=0，x=±，由题意知g（-）＞0，g（）＜0，故a＞，故选：D．令g（x）=x3-3ax-a，求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，落在问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道常规题．10.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos x-sin x=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，∴，解得a1=3，d=2．故答案为：2．利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出等差数列的公差．本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】③【解析】解：若甲做对A，B，乙做对A，B，丙做对A，B，则C无人做对，所以①错误；若甲做对A，B，乙做对A，C，丙做对B，C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误；做对的情况可分为三种情况：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法．故答案为：③．运用题目所给条件，进行合情推理，即可得出结论．本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．16.【答案】4π【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，结合已知可得BD中点O为外接球的球心，求出半径，则答案可求．【解答】解：如图，取BD中点O，连接OA，OC，由BD=2，AB=BC=CD=AD=，得OA=OB=OC=OD=1，则球的半径为1．∴球O的表面积为4π×12=4π．故答案为：4π．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tan A=2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，利用正弦定理可得b的值，即可得解S 的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（1）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，由BD⊥平面PAD，得BD⊥PD，又PD=1，BD=，∴△PBD的面积为，又△BCD的面积为，V P-BCD=V C-PBD，设点C到平面PBD的距离为d，则，解得d=，∴点C到平面PBD的距离为．【解析】（1）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（2）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由V P-BCD=V C-PBD，能求出点C到平面PBD的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）列联表如下：K2==≈6.061》5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．（Ⅱ）”锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，则从这5人中选出2人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，设事件A表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件A发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be，ce，de共7种，所以所求概率为．【解析】（Ⅰ）计算得K2，结合临界值表可得；（Ⅱ）“锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，用列举法以及古典概型概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）a=1时，f′（x）=-2+2x，故f′（1）=1，又f（1）=-1，故切线过（1，-1），切线方程是：x-y-2=0；（2）f（x）=a ln x-2x+x2（x＞0），f′（x）=，令f′（x）=0，得2x2-2x+a=0，∵f（x）存在两个极值点x1，x2（x1＜x2），∴△=4-8a＞0，故x1+x2=1，x1x2=＞0，故0＜a＜，故0＜x1＜，＜x2＜1，由f（x1）≥mx2恒成立，得m≤==1-x1+2x1ln x1-，令h（x）=1-x+2x lnx-（0＜x＜），h′（x）=2ln x-+1，∵0＜x＜，∴-3＜1-＜0，故h′（x）＜0，故h（x）在（0，）递减，故h（x）＞h（）=--ln2，故m≤--ln2，即实数m的范围是（-∞，--ln2]．【解析】（1）代入a的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由f（x1）≥mx2恒成立，得m≤1-x1+2x1ln x1-，令h（x）=1-x+2x lnx-（0＜x＜），根据函数的单调性求出m的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。

黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第二次模拟考试文科数学试题

一、单选题二、多选题1. 函数.若该函数的两个零点为，则（）A．B．C．D ．无法判定2. 若复数对应的点是，则（）A ．B．C ．-1D ．13. 已知，若，则x 等于（）A ．8B ．10C ．11D ．124.设，则（）A．B．C．D．5. 若复数，则z 在复平面内对应的点在第（）象限．A ．一B ．二C ．三D ．四6.已知，，下列说法错误的是（）A ．若，则B ．若，则C ．恒成立D ．，使得7.已知，，其中，是互相垂直的单位向量，则（）A．B．C ．28D ．248.命题：的否定是（）A．B．C．D．9. 如图为2017—2020年中国短视频用户规模和增长率、2021年用户规模和增长率预测，据图分析，下列结论正确的为（）A ．根据预测，2021年中国短视频用户规模将突破8亿人B ．2017—2020年中国短视频用户规模逐年增加，但增长速度变缓C ．2018年中国短视频用户规模比2017年增加了超过两倍D ．2020年中国短视频用户规模与2017年相比较，增长率约为198.3%10.已知为正方体的棱的中点，平面过点且与垂直，且与直线相交于点，则（）A ．直线与直线垂直B．是线段的三等分点C ．直线与平面所成角的正弦值为黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第二次模拟考试文科数学试题黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022届高三第二次模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题D ．平面将正方体分割成体积比为的两部分11. 小明用某款手机性能测试APP 对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y ，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（）A．B ．该组数据的均值一定为90C ．该组数据的众数一定为84和96D．若要使该总体的标准差最小，则12.在中，，，则（）A．B．C．D．13. 已知集合，在集合A 中可重复的依次取出三个数，则这3个数能够成为一个三角形三条边的概率是______.14.圆关于直线的对称圆的方程为_____.15. 已知的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中项的系数是______．16. 某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.87.1（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）17. 已知向量，.（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值.18. 已知的最小正周期为．（1）求的值，并求的单调递增区间；（2）求在区间上的值域．19.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知，，．(1)求A ；(2)若M 是直线BC外一点，，求面积的最大值．20. 设函数，其中.(1)时，求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数极值点的个数，并说明理由；(3)若成立，求的取值范围.21. 在中，为的中点，且.(1)证明：；(2)若，求的面积.。

黑龙江省高考数学文科第二次摸拟考试卷

黑龙江省高考数学文科第二次摸拟考试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试公式：如果事件A 、B 互斥，那么，P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么，P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )=C k n P k (1-P )n-k球的表面积公式：S ＝4πR 2，其中R 表示球的半径球的体积公式：V =34πR 3，其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题1．在边长为1的正三角形ABC 中，BC AB ·的值为 A ．21 B ．－21 C ．21或－21D ．不确定2．若x ∈(－2π,2π),则方程sin x =tan x 的实根的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数f (x )=lg xx-+11,若f (a )＝b ，则f (-a )＝ A ．bB ．-bC ．b1 D ．-b1 4．(x 2－x2)3的展开式中的常数项为 A ．6 B ．－6 C ．12 D ．－125．已知集合A ＝{1，－2，3}，B ＝{－4，5，6，－7}，分别从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则平面直角坐标系中，位于第一、第二象限内不同点的个数为 A ．18 B ．16 C ．10 D ．146．在等差数列中{a n }中，a 1+a 2+a 3=1，a 28+a 29+a 30=165，则此数列前30项的和为 A.．810 B ．830 C ．850 D ．870 7．在100件产品中有10件次品，从中任意抽取4件，恰有1件次品的概率为 A ．4100C ×(101)×(109)3C ．101D ．101×(109)3D ．4100390110C C C 8．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A>0，ω>0)，f (1)=0，则 A ．f (x －1)一定是奇函数 B ．f (x -1)一定是偶函数 C ．f (x ＋1)一定是奇函数 D ．f (x +1)一定是偶函数 9．如果不等式｜x －a ｜<1成立的充分不必要条件是21<x <23，则实数a 的取值范围是 A ．21<a <23B ．21≤a ≤23C ．a <21或a >23 D ．a ≤21或a ≥2310．已知向量a 、b 均为非零向量，现把向量a ，b ，3a －2b 的起点移至同一点，则这三个向量终点的位置关系一定是 A ．恰好有两个点重合 B ．恰好三个点重合 C ．三点共线 D ．以上都不对11．在2006年前，我国实行的《中华人民共和国个人所和税法》规定起征点为800元，即公民全民工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纲税所得额。

高考数学二模试卷(文科)含答案解析

黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．35．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．1267．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n8．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，9] C．[1，9]D．[9，+∞）9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．在区间[﹣1，5]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m 为（）A．0 B．1 C．2 D．311．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则实数a的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．412．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（）A．2 B．3 C．D．4二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．已知等比数列{a n}中，a1+a3=，则a6=．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．15．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为．16．曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．三.解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA1=AB=2，E，F分别是CC1，BC的中点．（1）求证：平面AB1F⊥平面AEF；（2）求点C到平面AEF的距离．19．（12分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为第一组[0，20），第二组AA1⊥平面ABC，第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6家企业，试求在这6家企业中选2家，这2家企业年上缴税收在同一组的概率．20．（12分）已知椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点e的任一直线（不经过点a=﹣1）与椭圆交于两点A，B，设直线AB与l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：k1+k2﹣2k3是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，则S5=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a2+a3+a4=3a3=3，从而a3=1，再由等差列前n项和公式得S5==5a3，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a2+a3+a4=3，S n为等差数列{a n}的前n项和，∴a2+a3+a4=3a3=3，解得a3=1，∴S5==5a3=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的前5项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．已知向量=（2，﹣1），=（3，x）．若•=3，则x=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，由数量积公式可得到方程6﹣x=3，解此方程即可得出正确选项．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（3，x）．•=3，∴6﹣x=3，∴x=3．故选D【点评】本题考查数量积的坐标表达式，熟练记忆公式是解本题的关键，是基础题．5．已知双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】因为焦点在x轴上的双曲线方程的渐近线方程为y=±，由双曲线的一条渐近线方程为y=，就可得到含a，b的齐次式，再把b用a，c表示，根据双曲线的离心率e=，就可求出离心率的值．【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴渐近线方程为y=±，又∵渐近线方程为y=，∴∴∵b2=c2﹣a2，∴化简得，即e2=，e=故选A【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．根据双曲线的渐近线方程求离心率，关键是找到含a，c的等式．6．运行如图所示的程序框图，输出的结果S=（）A．14 B．30 C．62 D．126【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，不满足条件k≤5，退出循环，计算输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件k≤5，S=2，k=2满足条件k≤5，S=6，k=3满足条件k≤5，S=14，k=4满足条件k≤5，S=30，k=5满足条件k≤5，S=62，k=6不满足条件k≤5，退出循环，输出S的值为62，故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，是基础题．7．已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l∥m，l⊄α，m⊂α，则l∥αC．若α⊥β，α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面，进行判定即可．【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，不能推出l⊥α，缺少条件m与n相交，故不正确．故选A【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．8．已知条件p：|x﹣4|≤6，条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，9] C．[1，9]D．[9，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于p的不等式，根据充分必要条件的定义求出m的范围即可．【解答】解：由|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，故p：﹣2≤x≤10；q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则1+m≥10，解得：m≥9；故选：D．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．9．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．10．在区间[﹣1，5]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m 为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】几何概型．【分析】在该几何概型中，其测度为线段的长度，根据P（|x|≤m）=得出m ﹣（﹣1）=3，即可求出m的值．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，∵x∈[﹣1，5]，又|x|≤m，得﹣m≤x≤m，∴|x|≤m的概率为：P（|x|≤m）==，解得l=3，即m﹣（﹣1）=3，∴m=2．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率计算问题，是事件发生的概率与构成该事件区域的长度成比例，是基础题．11．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣4有3个零点，则实数a的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意求出f（x）﹣4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a的值．【解答】解：由题意得，f（x）=，则f（x）﹣4=，若x≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a﹣4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f（x）﹣4有3个零点，故选D．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，分段函数的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题．12．已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B，设|AF|=m，|BF|=n，则m+n的最小值为（）A．2 B．3 C．D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得答案．【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设出A（x1，y1）、B（x2，y2）则x1+x2=2+，x1x2=1．依据抛物线的定义得出m+n=x1+x2+2＞4，当斜率k不存在时，m+n=4．则m+n的最小值是4．故选D．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于中档题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.13．已知等比数列{a n}中，a1+a3=，则a6=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可．【解答】解：∵a1+a3=，∴，解得q=，a1=2，∴a6=2×（）5=，故答案为：【点评】本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC，其中底面是边长为2的等边三角形△ABC，侧面PAC⊥底面ABC，高为2．∴这个几何体的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为20．【考点】简单线性规划．【分析】先画出可行域，结合z为目标函数纵截距四倍，平移直线0=2x+4y，发现其过（0，2）时z有最大值即可求出结论．【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y，可看成是直线z=2x+4y的纵截距四倍，画直线0=2x+4y，平移直线过A（2，4）点时z有最大值20故答案为：20．【点评】本题考查线性规划问题，难度较小．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．16．曲线f（x）=xe x在点P（1，e）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（x）=e x+xe x=e x（x+1），∴切线斜率k=f′（1）=2e，∴f（x）在（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即y=2ex﹣e，∵y=2ex﹣e与坐标轴交于（0，﹣e），（，0）．∴y=2ex﹣e与坐标轴围成的三角形面积为S==．故答案为：．【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．三.解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（•大庆二模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．【点评】本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．18．（12分）（•大庆二模）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AA 1=AB=2，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点．（1）求证：平面AB 1F ⊥平面AEF ；（2）求点C 到平面AEF 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AF ，由已知条件推导出面ABC ⊥面BB 1C 1C ，从而AF ⊥B 1F ，由勾股定理得B 1F ⊥EF ．由此能证明平面AB 1F ⊥平面AEF ．（2）利用等面积方法，即可求出点C 到平面AEF 的距离．【解答】（1）证明：连结AF ，∵F 是等腰直角三角形△ABC 斜边BC 的中点，∴AF ⊥BC ．又∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴面ABC ⊥面BB 1C 1C ，∴AF ⊥面BB 1C 1C ，AF ⊥B 1F ．…（2分）设AB=AA 1=1，则B 1F=，EF=，B 1E=．∴B 1F 2+EF 2=B 1E 2，∴B 1F ⊥EF ．又AF ∩EF=F ，∴B 1F ⊥平面AEF ．…（4分）而B 1F ⊂面AB 1F ，故：平面AB 1F ⊥平面AEF ．…（2）解：设点C 到平面AEF 的距离为h ，则由题意，AF ⊥CF ，AF ⊥EF ， ∴S △ACF ==1，S △AEF ==，由等体积可得，，∴h=．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查点C到平面AEF的距离的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（•大庆二模）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0，100]，样本数据分组为第一组[0，20），第二组AA1⊥平面ABC，第三组[40，60），第四组[60，80），第五组[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果年上缴税收不少于60万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业1200个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）若从第一组和第二组中利用分层抽样的方法抽取6家企业，试求在这6家企业中选2家，这2家企业年上缴税收在同一组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率和为1，列方程求出x的值；（2）计算上缴税收不少于60万元的频率与频数即可；（3）根据第一组与第二组的企业家数比求出每组抽取的家数，用列举法计算基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：20×（x+0.025+0.0065+0.003×2）=1，解得x=0.0125；（2）企业上缴税收不少于60万元的频率为0.003×2×20=0.12，∴1200×0.12=144，∴1200个企业中有144个企业可以申请政策优惠；（3）第一组与第二组的企业数之比为0.0125：0.025=1：2，用分层抽样法从中抽取6家，第一组抽取2家，记为A、B，第二组抽取4家，记为c、d、e、f；从这6家企业中抽取2家，基本事件数是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种，其中两家企业在同一组的基本事件数是AB、cd、ce、cf、de、df、ef共7种，故所求的概率为P=．【点评】本题主要考查了频率分布直方图与列举法求古典概型的概率问题，也考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．20．（12分）（•大庆二模）已知椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）经过椭圆右焦点e的任一直线（不经过点a=﹣1）与椭圆交于两点A，B，设直线AB与l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：k1+k2﹣2k3是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）运用离心率公式和点满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）求得椭圆右焦点坐标，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合等差数列中项，即可得证．【解答】解：（1）由点在椭圆上，离心率，得且a2=b2+c2，解得c2=4，a2=8，b2=4，椭圆C的方程：．（2）椭圆右焦点F（2，0），显然直线AB斜率存在，设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣2）．代入椭圆C的方程：．整理得（2k2+1）x2﹣8k2x+8k2﹣8=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=…①令y=k（x﹣2）中x=4，得M（4，2k），从而，，．又因为A、F、B共线，则有k=k AF=k BF，．∴=2k﹣…②将①代入②得k1+k2=2k﹣=2k3∴k1+k2﹣2k3=0（定值）．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，直线的斜率公式和等差数列中项性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）（•大庆二模）已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）设g（x）=xf（x），h（x）=2ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1，若x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，讨论x=1和x＞1，由参数分离和构造函数g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），求出导数和单调性，即可判断g（x）的单调性，可得a的范围．【解答】解：（1）a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）max=f（1）=﹣1；（2）当x≥1时，g（x）≤h（x）恒成立，即为xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x≤a﹣1，当x=1时，上式显然成立．当x＞1时，可得a≥，由﹣1=，设g（x）=xlnx﹣（x﹣1）﹣（x﹣1）2（x＞1），g′（x）=1+lnx﹣1﹣2（x﹣1）=lnx﹣2（x﹣1），由g″（x）=﹣2＜0在x＞1恒成立，可得g′（x）在（1，+∞）递减，可得g′（x）＜g′（1）=0，即g（x）在（1，+∞）递减，可得g（x）＜g（1）=0，则＜1成立，即有a≥1．即a的范围是[1，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，求得导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）（•大庆二模）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t 为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ．（Ⅰ）若a=2，求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程和参数方程转化成直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式，建立方程求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，ρ=asinθ转化为ρ=2sinθ整理成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1直线的参数方程（t为参数）．转化成直角坐标方程为：4x+3y﹣8=0（Ⅱ）圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为：直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，所以：2|3a﹣16|=5|a|，利用平方法解得：a=32或．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．[选修4－5：不等式选讲]23．（•大庆二模）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+5|，且f（x）≥m恒成立．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣8．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】对第（1）问，由m≤f（x）恒成立知，m≤f（x）min，只需求得f（x）的最小值即可．对第（2）问，先将m的值代入原不等式中，再变形为|x﹣3|≤4+2x，利用“|g （x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x）”，可得其解集．【解答】解：（Ⅰ）要使f（x）≥m恒成立，只需m≤f（x）min．由绝对值不等式的性质，有|2x﹣1|+|2x+5|≥|（2x﹣1）+（2x+5）|=6，即f（x）min=6，所以m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，m=6，所以原不等式化为|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤4+2x，得﹣4﹣2x≤x﹣3≤4+2x，转化为，化简，得，所以原不等式的解集为．【点评】本题属不等式恒成立问题，较为基础，主要考查了含绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式的性质求最值等，求解此类问题时，应掌握以下几点：1．若m≤f（x）恒成立，只需m≤[f（x）]min；若m≥f（x）恒成立，只需m≥[f（x）]max．2．|g（x）|≤h（x）⇔﹣h（x）≤g（x）≤h（x），|g（x）|≥h（x）⇔g（x）≥h（x），或g（x）≤﹣h（x）．。

黑龙江省哈尔滨高三下学期第二次模拟考试数学(文科)试题有答案

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|120}U x Z x x =∈--≤，{2,1,3}A =--，{0,1,3,4}B =，则()U C A B =( )A ．{0,2,4}B ．{0,1,4}C ．{0,4}D ．{1,3} 2.若i 是虚数单位，则复数21i i-+的实部与虚部之积为( )A ．34B ．34i- C ．34i D ．34-3.下列说法中正确的是( )A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠”C ．若2000:,10p x R x x ∃∈-->，则2:,10p x R x x ⌝∀∈--<D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题 4.函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象( ) A ．向左平移6π B ．向左平移3π C ．向左平移23π D ．向右平移23π5.已知向量,a b 满足||2a =，||1b =，|2|2a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是() A ．1[,2]2B ．1(,2)2 C ．1[,1]2 D ．1(,1)26.若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于,A B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则k =( )A．1± B ．-1 C ．2或-1 D ．2 7.已知2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求211y z x +=+的范围( ) A ．37[,]42 B ．37[,]84 C ．37[,]44 D ．37[,]829.直线:1l y kx =-与曲线22:(43)0C x y x y +-+=有且仅有2个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．4(0,)3 B ．4(0,]3 C ．14{,1,}33 D ．1{,1}310.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若121||||2OP F F =，且212||||PF PF a =，则该椭圆的离心率为( ) A ．34BC ．12 D11.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为'()y f x =，当0x ≠时，'()()0f x f x x +<，若11()33a f =，3(3)b f =--，11ln (ln )33c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<12.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-且在[1,)+∞上是增函数，不等式(2)(1)f ax f x +≤-对任意1[,1]2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[3,1]-- B ．[2,0]- C ．[5,1]-- D ．[2,1]-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.如图是计算11111246810++++的值一个程序框图，其中判断框内可填入的条件是 .(请写出关于k 的一个不等式)14.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋中抽取60袋牛奶进行检验，利用随机数表抽样时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列开始向右读，请你写出抽取检测的第5袋牛奶的编号 . (下面摘取了随机数表第7行至第9行)15.数列{}na 满足11a =，且对任意的*,m n N ∈都有m n m n a a a mn +=++，则122016111a a a +++等于 .16. ,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，4,AD AB ==，则该球的表面积为 .三、解答题 (本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分12分)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知点(,)a b 在直线(sin sin )sin sin x A B y B c C -+=上.(1)求角C 的大小；(2)若ABC ∆为锐角三角形，且满足11tan tan tan m C A B=+，求实数m 的最小值.18. (本小题满分12分)关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.(1)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]任取的一个数，b 是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，//AD BC ，AC BD ⊥.(1)证明：BD PC ⊥；(2)若4,2AD BC ==，直线PD 与平面PAC 所成的角为30，求四棱锥P ABCD -的体积.20. (本小题满分12分) 已知函数1()ln f x a xx=+(0,)a a R ≠∈.(1)若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(2)若在区间(0,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 21. (本小题满分12分) 已知12,F F 分别为椭圆22122:1y x C a b+=的上、下焦点，1F 是抛物线22:4C x y =的焦点，点M 是1C 与2C 在第二象限的交点，且15||3MF =.(1)求椭圆1C的方程；(2)与圆22(1)1x y ++=相切的直线:(),0l y k x t kt =+≠交椭圆1C 于,A B ，若椭圆1C 上一点P 满足OA OB OP λ+=，求实数λ的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 为其直径，CH AB ⊥于H ，延长后交圆O 于D ，连接DB 并延长交过C 点的直线于P ，且CB 平分DCP ∠. (1)求证：PC 是圆O 的切线； (2)若4,3AC BC ==，求PC PB的值.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线E 的极坐标方程为4tan cos θρθ=，倾斜角为α的直线l 过点(2,2)P . (1)求E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设12,l l 是过点P 且关于直线2x =对称的两条直线，1l 与E 交于,A B 两点，2l 与E 交于,C D 两点，求证：||:||||:||PA PD PC PB =.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||1|f x x x =+--. (1)试求()f x 的值域； (2)设233()(0)ax x g x a x-+=>，若对(0,)s ∀∈+∞，(,)t ∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题BDBAC DAACD BB 二、填空题13. 5k > 14. 175 15. 4032201716. 32π三、解答题17.(1)由条件可知：(sin sin )sin sin a A B b B c C -+=，根据正弦定理得：222a b c ab +-=，又由余弦定理知：2221cos 22a b c C ab +-==，故角C 的大小为3π.(2)11sin cos cos tan ()()tan tan cos sin sin C A B m C A B C A B=+=+sin cos sin cos sin ()cos sin sin C A B B A C A B += 222222sin 22()sin sin C c a b c A B ab ab+-=== 2(1)2(21)2a bb a=+-≥⨯-=，当且仅当a b =，即ABC ∆为正三角形时，实数m 的最小值为2.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==.(2)实验的全部结束所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤. 构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥. 所以所求的概率为2132222323P ⨯-⨯==⨯.19.(1)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥. 又AC BD ⊥，,PA AC 是平面PAC 内的两条相交直线，(2)设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而030DPO ∠=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD ∆中，由030DPO ∠=，得2PD OD =. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC ∆∆均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3222AD BC +=⨯+=，于是梯形ABCD 面积为1(42)392S =⨯+⨯=. 在等腰三角形AOD中，2OD =，AD =2PD OD ==4PA ==.故四棱锥P ABCD -的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.20.(1)当1a =，'22111()x f x x x x-=-+=，令'()0f x =，得1x =，又()f x 的定义域为(0,)+∞，由'()0f x <得01x <<，由'()0f x >得1x >，所以1x =时，()f x 的极小值为1，无极大值.()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1).(2)'2211()a ax f x x x x -=-+=，且0a ≠，令'()0f x =，得到1x a=，若在区间(0,]e 上存在一点0x 使得0()0f x <成立，即()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0.当1x a=<，即0a <时，'()0f x <恒成立，即()f x 在区间(0,]e 上单调递减，故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e ae e=+=+，由1a e+<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞-.当1x a=>，即0a >时， ①若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减，则()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>，显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 ②若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f a a a a=+，由11()ln (1ln )0f a a a a a a=+=-<，得1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. 综上，由①②可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. 21.(1)由题意1(0,1)F ，所以221a b -=，又由抛物线定义可知1513M MF y =+=，得23M y =，于是易知2()3M，从而273MF ==，由椭圆定义知：1224a MF MF =+=，得2a =，故23b =，从而椭圆的方程为22134x y +=. (2)设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=① 又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=相切，所以有1=，由0k ≠，可得22(1,0)1tk t t t =≠±≠-② 又联立22()4312y k x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-=，且0∆>恒成立，且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k -=-+，所以121228()243kt y y k x x kt k +=++=+，所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++，代入①式得：422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++，所以2222443k t k λ=+，又将②式代入得：2222411()1t t λ=++，0,1t t ≠≠±，易知22211()11t t ++>，且22211()13t t ++≠，所以244(0,)(,4)33λ∈，所以λ的取值范围为{|220,}3λλλλ-<<≠≠±且且.22.(1)连接OC ，由已知AB 为圆O 的直径，CH AB ⊥，则CAB DCB ∠=∠，且CAO ACO ∠=∠.又CB 平分DCP ∠，DCB PCB ∠=∠，因而2PCB OCB ACO OCB π∠+∠=∠+∠=，即OC CP ⊥，所以PC 是圆O 的切线.(2)4,3AC BC ==，则12245,,,355AC BC AB CH CD BD BC AB ∙======，因为PC 是圆O 的切线，所以PCB PDC ∠=∠，所以:PCD PBC ∆∆，所以85PCPD CD PB PC BC ===. 23.(1)2:4(0)E x y x =≠，2cos :2sin x y l y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)(2)∵12,l l 关于直线2x =对称，∴12,l l 的倾斜角互补，设1l 的倾斜角为α，则2l 的倾斜角为πα-，把直线2cos :2sin x y l y t αα=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)代入24x y =并整理得：22cos 4(cos sin )40t t ααα+--=，根据韦达定理，1224cos t t α=-，即24||||cos PA PB α=. 同理，得2244||||cos ()cos PC PD παα==-，∴||||||||PA PB PC PD =，即||:||||:||PA PD PC PB =.24.(1)∵||2||1|||(2)(1)|3x x x x +--≤+--=，∴3|2||1|3x x -≤+--≤， ∴()f x 的值域为[3,3]-.(2)若0x >，()3g x ≥，当且仅当23ax =时取得等号. 又由(1)知()f x 的最大值为3，若对(0,),(,)s t ∀∈+∞∀∈-∞+∞，恒有()()g s f t ≥成立，即33-≥，解得3a ≥，故实数a 的取值范围是[3,)+∞.。

黑龙江哈尔滨市高考数学第二次模拟考试试题文

数学试卷(文史类)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（文史类）答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B B C C D C B C D二、填空题： 13. 1- 14. 2 15. []1,0 16. (]3,2三、解答题： 17. (Ⅰ)整理得21=--n n a a ……………………………… 4分又11=a 得12-=n a n ……………………………… 6分(Ⅱ) 由（1）知)121121(21+--=n n b n …………………………… 8分所以12+=n nT n …………………………………… 12分18. (Ⅰ) 第六组08.0=p ···························2分第七组06.0=p ··························4分估计人数为180 ··························6分 (Ⅱ) 设]190,185[组中三人为c b a ,,；]195,190[组中两人为n m ,则所有的可能性为()b a ,，()c a ,，()c b ,，()n m ,，()m a ,，()n a ,，()m b ,，()n b ,，()m c ,，()n c , ··························8分其中满足条件的为()b a ,，()c a ,，()c b ,，()n m ,···················10分故52104==p ··················· 12分19．(Ⅰ) ,//CD AB ,AD CD ⊥22===AB CD AD ，F 分别为CD 的中点，ABFD ∴为矩形，BF AB ⊥ ················· 2分EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF AB CD AB ⊥∴,// ⊥∴=AE E EF BF , 面BEF ,⊂AE 面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF ····················· 4分(Ⅱ) EF DC EC DE ⊥∴=, ,又EF PD //，PD AB CD AB ⊥∴,// 又PD AB ⊥,所以⊥AB 面PAD ,PA AB ⊥，⊥PA 面ABCD ··········6分三棱锥PED B -的体积V =BCDE CED B V V --=22221=⨯⨯=∆BCD S ,到面BCD 的距离2a h = BCD E PEDB V V --==]15152,1552[32231∈=⨯⨯a a ··········· 10分可得]5152,552[∈a . ·············12 分20. (Ⅰ)由已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+21143322222a c c b a b a 得42=a ，32=b ，方程为13422=+y x ···········3分 (Ⅱ)设),(),,(2211y x B y x A ，则)3,2(),3,2(2211yx Q y x P（1）当直线l 的斜率存在时，设方程为m kx y +=⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x mkx y 联立得：0)3(48)43(222=-+++m kmx x k 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+=∆22212212243)3(44380)43(48k m x x k km x x m k ①由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得：0432121=+y y x x ·整理得：04)(4)43(221212=++++m x x km x x k ② 将①式代入②式得：22243m k =+, ··········· 6 分048,0,043222>=∆>∴>+m m k 又点O 到直线m kx y +=的距离21k m d +=2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=·········· 8 分所以32322122===∆m m d AB S OAB·········· 10 分(2) 当直线l 的斜率不存在时，设方程为m x =（22<<-m ）联立椭圆方程得：4)4(322m y -=代入0432121=+y y x x 得到04)4(3322=--m m 即552±=m ，5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上：OAB ∆的面积是定值3 ，又ODE ∆的面积33221=⨯⨯=，所以二者相等. ········· 12 分21. （Ⅰ）x x f x x x x f a ln )(,ln )(,0/-=-==， 1,0)(/==x x f ···········1分）上是增函数，在（10)(,0)(),1,0(/x f x f x >∈）上是减函数在（），（+∞<∞+∈,1)(,0)(,1/x f x f x ···········4分（Ⅱ）由原式b x xx ≥--⇔ln 11令x x x x g ln 11)(--=，可得)(x g 在(]1,0上递减，在[)+∞,1上递增∴0)1()(min ==g x g ·········7分即0≤b ·································8分（Ⅲ）由(Ⅱ)知x xx g ln 11)(+-=在(0,1)上单调递减∴11<<<y x e 时，)()(y g x g >即y yx x ln 1ln 1+<+ ·································10分而11<<<y x e 时，0ln 1,0ln 1>+∴<<-x x ··················11分 x yx y ln 1ln 1++<∴································12分22.（I ）∵EC EF DE ⋅=2，∴C EDF ∠=∠，又∵C P ∠=∠，∴P EDF ∠=∠，∴EDF ∆∽PAE ∆∴EP EF ED EA ⋅=⋅又∵EB CE ED EA ⋅=⋅，∴EP EF EB CE ⋅=⋅···5分（II ）3=BE ，29=CE ，415=BPPA 是⊙O 的切线，PC PB PA ⋅=2，4315=PA ·······10分23.（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为：)4sin(22πθρ+= ········· 5 分（Ⅱ）圆心到直线距离为1，圆半径为2，所以弦长为2 ··········· 10分24.（Ⅰ）0)(>x f 的解集为：),32()4,(+∞⋃--∞ ·········· 5分（Ⅱ）213-<a ·········· 10 分。

黑龙江省高考数学二模试卷(文科) (2)

黑龙江省高考数学二模试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·杨浦模拟) 设A、B是非空集合，定义：且 .已知，，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）曲线与直线有公共点的充要条件是（）A .B .C .D .4. （2分）(2016·陕西模拟) 已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0 ， y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（）A . 1B . 2C . 4D . 85. （2分） (2020高二下·诸暨期中) 已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（）A .B . 2C .D .6. （2分） (2016高二上·衡水期中) 已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A . 4πB . 3πC . 2πD . π7. （2分）(2013·北京理) 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0 ， y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·郴州模拟) 运行如图所示的程序，若输入x的值为256，则输出的y值是（）A .B . ﹣3C . 3D .9. （2分） (2020高三上·丹东月考) 设是定义域为的奇函数，满足，已知当时，，则（）A . 2B . -2C . 1D . -110. （2分） (2017高三上·九江开学考) 在△ABC中，c= ，a=1，acosB=bcosA，则• =（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·山西模拟) 已知函数f（x）=（ x3﹣x2+ ）cos2017（ + ）+2x+3在[﹣2015，2017]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A . 5B . 10C . 1D . 012. （2分）若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·常州期末) 已知双曲线x2﹣ =1（m＞0）的一条渐近线方程为x+ y=0，则m=________．14. （1分） (2016高一下·成都期中) 已知数列1，a1 ， a2 ， 9是等差数列，数列1，b1 ， b2 ， b3 ，9是等比数列，则的值为________．15. （1分） (2017高一下·静海期末) 若直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为________．16. （1分） (2017高二上·邢台期末) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一点，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角的正切值为，设三棱锥A﹣A1D1E外接球的直径为a，则 =________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （5分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[0,]时，求函数f（x）的最大值和最小值．18. （5分） 2013年4月14日，CCTV财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：参考公式：k2=．19. （10分） (2020高三上·黄浦期中) 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，为的中点， .（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离.20. （5分） (2020高二下·慈溪期末) 已知抛物线：，其焦点到准线的距离等于1，设动点，过M作C的两条切线，（A，B为切点）.（Ⅰ）求P的值；（Ⅱ）求证：直线恒过定点Q；（Ⅲ）设圆：，若圆E与直线相切，且切点正好是线段的中点，求r 的值.21. （15分）(2017·成都模拟) 已知函数f（x）=eax（a≠0）．（1）当时，令（x＞0），求函数g（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；（2）若对于一切x∈R，f（x）﹣x﹣1≥0恒成立，求a的取值集合；（3）求证：．22. （10分） (2017高一上·无锡期末) 如图，半径为1，圆心角为的圆弧上有一点C．（1）若C为圆弧AB的中点，点D在线段OA上运动，求| + |的最小值；（2）若D，E分别为线段OA，OB的中点，当C在圆弧上运动时，求• 的取值范围．23. （5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2= ，直线l的极坐标方程为ρ= ．（ I）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（ II）设Q为曲线C1上一动点，求点Q到直线l距离的最小值．24. （10分）(2016·新课标Ⅰ卷理) 选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)= ∣x- ∣+∣x+ ∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.（1）求M；（2）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

黑龙江省顶级名校2022届高三第二次模拟考试文科数学试题

2022年高三第二次高考模拟考试数学试卷（文史类）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知12z i =-，则(i)z z -的模长为（）A.4B.C.2D.10【1题答案】【答案】B 【解析】【分析】先化简()i z z -，再计算模长【详解】因为12z i=-所以()()()2i 12i 1i 1i 2i 2i 3iz z -=-+=+--=-所以()i 3i z z -=-=故选：B2.设集合{}{lg(3)},2,xM x N y x N y y x M =∈=-==∈∣∣，则（）A.M N ⊆B.N M⊆ C.{0,1,2}M N ⋂= D.{0,1,2,4}M N = 【2题答案】【答案】D 【解析】【分析】先用列举法写出集合M 和集合N ，再判定他们之间的关系即可得出答案.【详解】根据题意，{}{|3,}0,1,2M x x x N =<∈={}0,1,2M =时，{}1,2,4N =所以选项D 正确.故选：D.3.命题“存在实数0x ，使01ex x >”的否定是（）A.不存在实数0x ，使01e xx ≤B.存在实数0x ，使01e xx ≤C.对任意的实数x ，都有1e xx≤ D.对任意的实数x ，都有1e xx>【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由已知，给出命题为特称命题，其否定为全称命题，可根据原命题直接变换即可.【详解】由已知，命题“存在实数0x ，使01e x x >”为特称命题，其否定为全称命题，即“对任意的实数x ，都有1e xx≤”.故选：C.4.已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,()21f x x x=+,则()1f -=A.-2 B.0 C.1D.2【4题答案】【答案】A 【解析】【详解】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A.5.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a ，则sin 26aππ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32D.32【5题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即123a =，∴1233sin sin sin cos 26262662a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.6.已知1ln 2sin ,e ,46a b c ππ===执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A.12B.22C.6π D.1【6题答案】【答案】A 【解析】【分析】根据已知输入数据，结合条件语句的执行逻辑确定输出结果.【详解】由题设，1,,226a b c π===，所以22x a b ==>，则12x b c ==<，故输出12x =.故选：A7.北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行，为了纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.若从一套5枚邮票中任取2枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为（）A.110 B.15C.310D.25【7题答案】【答案】A 【解析】【分析】将冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为a 、b ，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为A 、B 、C ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】将冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为a 、b ，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为A 、B 、C ，从一套5枚邮票中任取2枚，则所有的基本事件有：ab 、aA 、aB 、aC 、bA 、bB 、bC 、AB 、AC 、BC ，共10种，其中，事件“恰有2枚会徽邮票”包含的基本事件为：ab ，共1种，故所求概率为110P =.故选：A.8.已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的左顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴，若直线AB 的倾斜角为4π，则双曲线C 的离心率为（）A.B. C.2D.3【8题答案】【答案】C 【解析】【分析】由题设可得(,0)A a -、2(,)b B c a，根据倾斜角与斜率关系及斜率两点式得到a 、c 的齐次方程，即可求双曲线C 的离心率.【详解】由题设，(,0)A a -，(c,0)F ，又BF 垂直于x 轴，则2(,)bB c a±，又直线AB 的倾斜角为4π，即2(,bB c a ，且2ta 14n b a a cπ==+，所以22b a ac =+，故222(2)()0a ac c a c a c +-=-+=，可得2a c =，即2e =.故选：C9.已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是A.若m α 且n α ，则m n B.若m β⊥且m n ⊥，则n βC.若m α⊥且m β ，则αβ⊥D.若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n【9题答案】【答案】C 【解析】【详解】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．10.数列{}n a 中，11a =，10(2)n n a a n n ---=≥，12111222n n S a a a =+++ .当99100n S =时，n 等于（）A.98B.99C.100D.101【10题答案】【答案】B 【解析】【分析】根据累加法求出数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求出n S ，结合99100n S =即可求解.【详解】由10(2)n n a a n n ---=≥，得1(2)n n a a n n --=≥，()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-21213431 ()n n n =+++++=+1123412.当1n =时，此式也满足1a ，故数列{}n a 的通项公式为：()n a n n =+112.()n a n n n n ∴==-+⨯+1111121212121111111112222231n n S a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++.又因为99100n S =，所以991100n n =+，解得99n =.故选：B.11.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论：①存在点E ，使EF BD ∥；②存在点E ，使EF ⊥平面11AB C D ；③EF 与1AD 所成的角不可能等于60︒；④三棱锥1B ACE -的体积为定值.其中正确结论的个数是（）A.4B.3C.2D.1【11题答案】【答案】C 【解析】【分析】设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间线面平行与垂直的判定及性质定理、向量的夹角判断异面直线所成角、三棱锥的体积计算公式即可得出．【详解】解：设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，1，0)，1(0D ，0，1)，1(1A ，0，1)，1(1B ，1，1)，1(0C ，1，1)，点11(,1,22F ，则11DE DC C E =+ ，而111(01)C E C A λλ=≤≤ ，111(0,1,1),(1,1,0)DC C A ==-，∴1(,,0)C E λλ=- ，因此(,1,1)DE λλ=-，(E λ∴=，1λ-，1)，∴11(,,22EF λλ=-- ，对于①而言就是否存在实数λ，使//EF BD ，而(1BD =- ，1-，0)，1101122λλ--==--，此即120,012λλ--==-，这样的λ不存在，∴①错误；对于②而言就是否存在实数λ，使EF ⊥平面11AB C D ，首先我们在平面11AB C D 内任意找到两条相交直线的方向向量，不妨就找11C B 和1C D，∴11100EF C B EF C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，于是102102λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒12λ=，即就是当E 为11C A 的中点的时候，∴②正确；同理，对于③而言，还是判断这样的实数λ是否存在，111(1,0,1),(,,22AD EF λλ=-=-- ，设其夹角为θ，则11cos ||||AD EF AD EF θ⋅==⋅令60θ=︒12=，将上式平方解得12λ=，将λ回代原式结论成立，∴这样的λ存在；③错误；对于④来说，E 点无论在11A C 上怎样移动，底面ACE ∆的高不变，故而底面面积不变，三棱锥的高为定值，所以其体积为定值，故④正确．所以正确的个数为2个.故选：C.12.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A.3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B.234,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.234,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.4,33⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【12题答案】【答案】C 【解析】【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出,A B 关系后求解【详解】在ABC 中，1sin()sin ,sin 2A CB S ac B +==，故题干条件可化为22b a ac -=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，故2cos c a B a =+，又由正弦定理化简得：sin 2sin cos sin sin cos cos sin C A B A A B A B =+=+，整理得sin()sin B A A -=，故B A A -=或B A A -=π-（舍去），得2B A=ABC 为锐角三角形，故02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<，故tan 13A <<11234tan tan (,)3tan()3tan 33A AB A A +=+-故选：C二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ，b 满足：||1a =，(b =- ，a 与b 的夹角为23π，则|2|a b -= ___________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】先求出b ，再求出a b ⋅，问题转化为|2|a b -=.【详解】因为(b =- ，所以2b ==，所以2cos ,12cos 13a b a b a b π⋅==⨯⨯=- ，所以|2|a b -=..14.设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为________【14题答案】【答案】4π【解析】【详解】因为圆心坐标与半径分别为(0,),=C a r d ==2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4πππ==+=S r ，应填答案4π．15.若函数2()2ln f x m x x =-+在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为_________.【15题答案】【答案】211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦【解析】【分析】采用分离参数法，可得22ln m x x =-，再令2()2ln g x x x =-，对函数()g x 求导，利用函数单调性，可知()g x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[1,e]上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数()g x 的图象，利用数形结合，即可求出结果.【详解】令2()2ln 0f x m x x =-+=则22ln m x x =-，令2()2ln g x x x =-，则由22(1)(1)()2x x g x x x x-+'=-=，在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上()0g x '<，()g x 递减，在()1,e 上()0g x '>，()g x 递增，且min [()](1)1g x g ==，2112e eg ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2(e)e 2g =-.2123e+< ，2e 25-≥，1(e)e g g ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，作出函数()g x 的图像，如下图所示：所以函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则实数m 的取值范围为211,2e⎛⎤+ ⎥⎝⎦.故答案为：211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦.16.已知等比数列{}n a 各项均为正数，且满足：11a >，10110210110221a a a a <+<+，记12n n T a a a =L ，则使得1n T >的最大正整数n 为__________.【16题答案】【答案】202【解析】【分析】根据1011021011021a a a a +<+可得()()101102110a a --<，结合11a >，0n a >可得1011a >，10201a <<.根据10110221a a <+可得10110212021a a a a =>，根据()2121nn a n T a a a a a == 可判断2021T >、2031T <，从而求得答案.【详解】()101102101102101102101102110a a a a a a a a +<+⇒---<()()()()101102102101102110110a a a a a ⇒---<⇒--<，10110211a a <>⎧∴⎨⎩或10110211a a <⎧⎨>⎩，11a >Q ，0n a >，1011a ∴>，10201a <<，又101102101102211a a a a <+⇒>，∴10110212021a a a a =>，()2121nn a n T a a a a a == ，()202220212021T a a =>，()()()20320322032220312031021021T a a a a ⨯===<，∴使1n T >的最大整数n 为202.故答案为：202.三､解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知2()sin 2cos 1468x x f x πππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递增区间及其图象的对称轴；（2）当(0,4)x ∈时，求()f x 的值域.【17题答案】【答案】（1）增区间为2108,8()33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，图象的对称轴方程为104,3x k k Z =+∈，（2）32⎛-⎝【解析】【分析】（1）先对函数化简得()43x f x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由22,2432x k k k Z ππππππ-+≤-≤+∈可求出其增区间，由,432x k k Z ππππ-=+∈求出其对称轴方程，（2）由(0,4)x ∈，得23433x ππππ-<-<，然后根据正弦函数的性质可求出函数的值域【小问1详解】2()sin 2cos 1468x x f x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos4sin cos cos sin 2146462xx x πππππ+=--⋅+31sin cos 1cos 124244x x x πππ=---+33sin cos 2424x x ππ=-43x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22,2432x k k k Z ππππππ-+≤-≤+∈，得21088,33k x k k Z -+≤≤+∈，所以()f x 的增区间为2108,8()33k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由,432x k k Z ππππ-=+∈，得104,3x k k Z =+∈，所以()f x 图象的对称轴方程为104,3x k k Z =+∈，【小问2详解】由(0,4)x ∈，得23433x ππππ-<-<，所以sin sin sin 3432x ππππ⎛⎫⎛⎫-<-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3sin 1243x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以3243x ππ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为32⎛-⎝19.如图，平面四边形ABCD 中，AB CD ，2AB AD ==，60BAD ∠=︒，30BCD ∠=︒，将三角形ABD 沿BD 翻折到三角形PBD 的位置，平面PBD ⊥平面BCD ，E 为PD 中点.（1）求证：PD CE ⊥；（2）求点B 到平面PCD 的距离.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）2155【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得BC ⊥平面PBD ，即可证得BC BE ⊥，则求出CE 的长，由勾股定理即可得出PD CE ⊥.（2）利用C PBD B PCD V V --=，构造方程即可得出答案.【小问1详解】由2AB AD ==，60BAD ∠=︒得ABD △为正三角形，得2BD =AB CD ∥，60BDC ∴∠=︒，30BCD ∠=︒，BC BD ∴⊥ 平面PBD ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，BC ∴⊥平面PBD ，BE ⊂平面PBD ，BC BE ∴⊥，BC =，CE ∴=，2BD =，4DC =，222DE EC DC ∴+=，PD CE\^【小问2详解】BC ⊥平面PBD ，344PBD S =⋅=△PD CE ⊥，12PCD S PD CE ∴=⋅=△C PBD B PCDV V --=d =得5d =21.某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：项目A 投资金额x （百万元）23456所获利润y （百万元）0.20.20.40.80.9（1）请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求出回归方程，并用样本相关系数加以说明y 与x 相关性的强弱（一般地，样本相关系数||0.75r ≥，则认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱）；（2）该公司计划用7百万元对A ，B 两个项目进行投资，若公司利用（1）中线性回归模型对项目A 投资所获得的利润进行预测，对项目B 投资()16x x ≤≤百万元所获得的利润y 近似满足：0.360.11 2.26y x x=-+，求A ，B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大.参考公式：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-.样本相关系数niix ynx yr -=∑.参考数据：统计数据表中5112iii x y==∑，5211.69i i y ==∑，2.1≈.【21题答案】【答案】（1）ˆ0.20.3yx =-，线性相关性较强（2）A ，B 两个项目投资金额分别为5百万元，2百万元时，获得的总利润最大【解析】【分析】（1）根据表中数据及参看数据，求出ˆa，ˆb ，进而求得回归直线方程和相关系数，利用相关系数可以说明变形的相关强弱即可求解；（2）根据已知条件列出总利润的表达式，再利用基本不等式即可求解.【小问1详解】由已知，4,0.5x y ==52190i i x ==∑，2580x =，510x y =，2554y =51522151210ˆ0.290805iii ii x yx ybxx ==--===--∑∑ˆˆ0.50.240.3ay bx =-=-⨯=-ˆ0.20.3yx =-所以线性回归直线方程为ˆ0.20.3yx =-.550.950.75iix yx yr -==>∑∴y 与x 线性相关性较强【小问2详解】设B 项目投资()16x x ≤≤百万元，则A 项目投资(7)x -百万元总利润0.360.2(7)0.30.11 2.26y x x x=--+-+0.360.09 3.36 3.363x x =--+≤-+=3≤当且仅当0.360.09x x=即2x =时取等号，此时75x -=所以A ，B 两个项目投资金额分别为5百万元，2百万元时，获得的总利润最大.23.已知函数2()2ln f x x x ax =+-.（1）当5a =时，求()f x 的极值；（2）设()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()y f x =图象上的两个相异的点，若()()21212f x f x x x ->-恒成立，求实数a 的取值范围.【23题答案】【答案】（1）92ln 24y =--极大值， 2ln 26y =-极小值.（2）2a ≤.【解析】【分析】（1）对()f x 求导，根据其导函数与极值的关系即得；（2）由题得2211()2()2f x x f x x ->-，构造2()()22ln (2)g x f x x x x a x =-=+-+即有()0g x '≥，进而转化为222a x x+≤+在()0,∞+上恒成立，即可求范围.【小问1详解】当5a =时，22252(21)(2)()25x x x x f x x x x x-+--'=+-==，由()0f x '=，得12x =或2x =，x10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2(2,)+∞y '+0-0+y极大值极小值19()2ln 224y f ∴==--极大值， (2)2ln 26y f ==-极小值.【小问2详解】不妨设21x x >，由2121()()2f x f x x x ->-，得2121()()2()f x f x x x ->-，即2211()2()2f x x f x x ->-，设2()()22ln (2)g x f x x x x a x =-=+-+，则有21x x >时，21()()g x g x >，则()g x 在(0,)+∞单调递增，()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，又2()22g x x a x '=+--，()0g x '≥，得222a x x+≤+，又224x x+≥，当且仅当2x =时，取等号，24a ∴+≤，2a ∴≤.25.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）在圆22:3O x y +=上取一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为M ，N ，PM 与PN 的斜率均存在，分别记为1k ，2k .（i ）求证：121k k ×=-；（ii ）求OMN 面积的取值范围.【25题答案】【答案】（1）2212x y +=（2）（i ）证明见解析；（ii ）22,32⎡⎫⎢⎪⎪⎢⎭⎣【解析】【分析】（1）根据轴长和离心率即可求解；（2）（i ）根据已知椭圆方程求出M ，N 坐标，设()00,P x y ，由斜率公式及点P 在圆上即可证明12k k ⋅是定值；（ii ）求直线PM ，PN 的方程，进而得到直线MN 的方程，再与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出弦长MN ，用点到直线的距离公式求出OMN 的高，再结合三角形的面积公式及基本不等式即可求解.【小问1详解】22b = ，1b ∴=，又2e == ，22a ∴=，椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（1）设()00,P x y ,过P 点与椭圆C 相切的直线方程为00()y k x x y =-+0022()22y k x x y x y =-+⎧⎨+=⎩消去y ，得2220000(12)4220()()k x k y kx x kx y ++-+--=，0∆=得2220000(2)210x k x y k y --+-=，由已知，则20122012y k k x -=-，又22003x y +=，所以2200122200131122y x k k x x ---===---.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设PM ：11()y k x x y =-+，由()112222y k x x y x y ⎧=-+⎨+=⎩消去y ，得1122121()(12)4220()k x k y kx x kx y ++-+--=，0∆=得1112221(2)210x k x y k y --+-=111121122x y x k x y ==--，11:22PM x x y y +=，同理22:22PN x x y y +=，MN ∴的方程0022xx yy +=,由00222222xx yy x y +=⎧⎨+=⎩得222000(3)4440y x x x y +-+-=，0122043x x x y +=+，21220443y x x y -=+MN ==O 到MN的距离d ==，12OMNS MN d ==△01y ≠±t=，则2]t ∈⋃,22,232OMN S t t ⎡⎫=∈⎢⎪⎪⎢⎭⎣+所以OMN 面积的取值范围为22,32⎡⎫⎢⎪⎪⎢⎭⎣.27.在平面直角坐标系 xOy 中，设曲线1C 的参数方程为1cos 312sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C的极坐标方程为ρ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P ，Q 分别为曲线1C 与2C 上的动点，求||PQ 的最大值.【27题答案】【答案】（1）1C ：()22129x y +-=，2C ：2214x y +=.（2）22113【解析】【分析】（1）直接利用三角消参1C 的普通方程；用公式法得到2C 的直角坐标方程；（2）用几何法求解，先求出1QC 的最大值，加上半径即可.【小问1详解】曲线1C 的参数方程为1cos 312sin 3x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（α为参数），消去α，得：()22129x y +-=.2C的极坐标方程为ρ=可化为()222cos 4sin 4ρθθ+=，化为直角坐标方程为：2214x y +=.【小问2详解】圆1C ：()22129x y +-=的圆心()10,2C ，半径为13r =.所以1113PQ QC r QC ≤+=+.由2C 的直角坐标方程为：2214x y +=，化为参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），所以()2cos ,sin Q θθ.所以1QC ====3≤所以11221133PQ QC +≤+≤.即||PQ 的最大值为22113+.29.已知函数()|43||45|f x x x =-++.（1）求不等式()14f x >的解集；（2）设,m n R +∈，且23m n +=，求证：()f x ⋅<.【29题答案】【答案】（1）()3,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用零点区间讨论法即可求解（2）要证()f x⋅<，需证⋅()f x 的最大值【小问1详解】原不等式等价于①54344514x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--->⎩或②5344453414x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++->⎩或③34434514x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++>⎩解①得2x <-；解②得x ∈∅；解③得32x >则原不等式得解集为()3,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【小问2详解】()582,4538,44382,4x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩当5344x -≤≤时，()f x 取得最小值，且min ()8f x =,即()8f x ≥.()22222218m n ⎡⎤+≤+=++=⎢⎥⎣⎦当且仅当2m =，12n =时等号成立≤3228∴⋅=≤<=即()f x ⋅<。

【解析版】黑龙江省哈高三第二次模拟数学文科试卷

【试卷综述】命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。

试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。

注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念.【题文】第Ⅰ卷（选择题共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.设全集为R ，集合A ={}4|2<∈x R x ，B ={}41|≤<-x x ，则 A =)(B C R （）A.()2,1-B.()1,2--C.(]1,2--D.()2,2- 【知识点】交集、补集的混合运算A1【答案】【解析】C 解析：集合A =2|4=|22xR x x R x ，B ={}41|≤<-x x ，所以|14RC Bx xx 或，则 A =)(B C R (]1,2--，故选C.【思路点拨】解出集合A 以及集合B 的补集，再求交集即可。

【题文】2．在复平面内，复数iiz +=1（i 是虚数单位）对应的点位于（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【知识点】复数的代数表示法及其几何意义L4 【答案】【解析】D 解析：∵==1﹣i ，∴数（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限．故选D ．【思路点拨】利用复数的代数运算将转化为1﹣i ，即可判断它在复平面内的位置．【题文】3.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则(8)f -值为（）A.3B.13 C.13- D.3-【知识点】函数奇偶性的性质；函数的值B1 B4【答案】【解析】D 解析：f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=log 2x ，则f （﹣8）=﹣f （8）=﹣log 28=﹣3．故选：D ．【思路点拨】直接利用奇函数的性质化简求解即可．【题文】4.已知命题:p ,x R ∃∈使23x x >；命题:(0,),tan sin 2q x x x π∀∈>，下列是真命题的是（）A.()p q ⌝∧B.()()p q ⌝∨⌝C.()p q ∧⌝D.()p q ∨⌝ 【知识点】复合命题的真假A2【答案】【解析】D 解析：x=﹣1时，2x ＞3x ，∴命题p 是真命题；，x；∴0＜cosx ＜1，sinx ＞0；∴，；即tanx ＞sinx ，∴命题q 是真命题；∴￢p 是假命题，（￢p ）∧q 是假命题，￢q 是假命题，（￢p ）∨（￢q ）是假命题，p ∧（￢q ）是假命题，p ∨（￢q ）为真命题．故选D ．【思路点拨】对于命题p ，容易发现x=﹣1时，2x ＞3x 成立，所以命题p 是真命题；对于∀x ∈，，所以便可得到tanx ＞sinx ，所以命题q 是真命题，然后根据￢p ，p ∧q ，p ∨q 的真假和p ，q 真假的关系即可找出正确选项．【题文】5. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=（） A. 13 B. 10 C. 4 D. 13 【知识点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模F3 【答案】【解析】A 解析：∵均为单位向量，它们的夹角为60°,∴||=1，||=1，=cos60°,∴||===,故选A ．【思路点拨】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．【题文】6.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【知识点】等比数列的性质；等比数列的通项公式D3【答案】【解析】D 解析：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4，当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7，综上可得，a1+a10=﹣7，故选D【思路点拨】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可。

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黑龙江省顶级名校2022届高三第二次模拟考试 文科数学试题

【解析版】黑龙江省哈高三第二次模拟数学文科试卷

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