新北师大版八年级上册数学 一次函数的定义及解析式
北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 知识点总结及练习
四、一次函数与一元一次方程
由于任何一元一次方程都可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a≠0）•的形式，所以解一元一次方程可 以转化为：当某个一次函数的值 y=0 时，•求相应的自变量 x 的值，从图象上看，这相当于已知直线 y=ax+b，确定它与 x•轴交点的横坐标的值．
7.解析式与图像上点相互求解的题型 ○1 求解析式：解析式未知，但知道直线上两个点坐标，将点坐标看作 x、y 值代入解析式组成含有 k、 b 两个未知数的方程组，求出 k、b 的值在带回解析式中就求出解析式了。 ○2 求直线上点坐标：解析式已知，但点坐标只知道横纵坐标中得一个，将其代入解析式求出令一个坐 标值即可。
2.一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b，它可以看作由直线 y=kx 平移│b│ 个单位长度而得到（当 b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）．
3.系数 k 的意义：k 表征直线的倾斜程度，k 值相同的直线相互平行，k 不同的直线相交。 系数 b 的意义：b 是直线与 y 轴交点的纵坐标。
k>0，撇 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方 一二三象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
k>0，撇 b<0，与 y 轴交点在 x 轴下方 一三四象限 从左到右上升 Y 随 x 的增大而增大
K<0，捺 b>0，与 y 轴交点在 x 轴上方 一二四象限 从左到右下降 Y 随 x 的增大而减小
y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数，y 的值称为函 数值． 4.函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法． a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。 b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。 c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的 方法叫做图像法。 5.求函数的自变量取值范围的方法． （1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；
北师大版八年级数学上册第4章 一次函数 一次函数的图象和性质
次函数的图象吗？
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
x y = –2x+1
–2
–1
5
3
y = –2x＋1
0
1
1 –1 y
5
01 23 4 5
4
2 列表
–3
一次函数的图 象是什么？
01 23 4 5 01 23 4 5
01 23 4 5 01 23 4 5
思考：观察它们的图象有什么特点？
y y=x+2
.
.
..
.O.
.
.
.
y
.
2
=
x
-
2
x
探究归纳
观察三个函数图象的平移情况：
y y=x+2 y=x
2●
y=x-2
O2
x
●
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现： 1. 这三个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度
_相__同___． 2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 随 x 的增大而增大. ① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限. 当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，
y 随 x 的增大而减小. ① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
练一练 两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在
要点归纳
思考：与 x 轴的 交点坐标是什么？
b k
北师大版八年级上册数学第四章复习要点：一次函数
北师大版八年级上册数学第四章复习要点：一次函数知识点对冤家们的学习十分重要，大家一定要仔细掌握，查字典数学网为大家整理了北师大版八年级上册数学第四章温习要点：一次函数，让我们一同窗习，一同提高吧!一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b那么此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k 为恣意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：经过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的恣意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大;当k0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b0时，直线必经过一、二象限;当b=0时，直线经过原点当b0时，直线必经过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线经过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k0时，直线只经过一、三象限;当k0时，直线只经过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)由于在一次函数上的恣意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ①和y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程，失掉k，b的值。
北师大版八年级数学上册 第四章 一次函数 4.1函数
第四章：一次函数4.1函数1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据． 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4. 函数的定义中包括三个要素 ① 自变量的取值范围；② 两个变量之间的对应关系；③ 后一个变量被唯一确定而形成的变化范围. 注意：①自变量可以用任意字母表示；②两个变量之间的关系必须是“唯一确定”的； ③函数不是数，而是一种特殊的对应关系．规律方法：判断两个变量是否存在函数关系，关键是看两个变量之间是否是一一对应，即给一个变量一个数值，另一个变量是否有唯一确定的值与之对应.【例1】下列图像给出了变量x 与y 之间的对应关系，其中y 不是x 的函数的是( )【例2】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①②【例3】 已知y ＝2x 2＋4，(1)求x 取12和－12时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．.函数中变量的对应关系当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．【例4】 已知等腰三角形的周长为36，腰长为x ，底边上的高为6，若把面积y 看做腰长x 的函数，试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数知识点汇总
1881-4-1（一次函数知识梳理）一．函数的定义1.变量；常量。
2.函数的定义:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数。
3.函数的表示方法及优缺点；描点法画函数图象的步骤；函数值。
3.自变量的取值范围：：关系式为整式时，自变量取全体实数；关系式含分式时，分母不为0；关系式含二次根式时，被开方数大于等于0；关系式含指数为0的式子时，底数不等于0.5.函数关系式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；（2）函数图象上的点的坐标满足函数解析式。
6.验证一个点是否在函数图象上的方法是：代入法二．一次函数的定义图象及性质：1.一般地，若两个变量x，y的关系可以表示为y=kx+b(k≠0，k,b是常数)的形式，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)2. k值决定了直线的 b值决定了直线与的交点位置。
3.k>0时，y随x的增大而；k<0时，y随x的增大而。
4.两点确定一条直线，画一次函数图象常取点（0，b)(kb-,0)两点。
画正比例函数图象取（0，0）（1，k）5.在同一平面内，不重合的两条直线)0()0(222111≠+=≠+=kbxkykbxky与的位置关系：当k1=k2,b1≠b2时，两直线平行。
当k1≠k2,b1=b2时，两直线交于y轴上同一点。
6.特殊的直线方程：x轴是直线 ; y轴是直线；与x轴平行的直线是；与y轴平行的直线是；一三象限夹角的平分线是直线；二四象限夹角的平分线是直线7.直线y=kx+b的图象可以看作是y=kx的图象平移得到（b>0向上平移；b<0向下平移）三．求一次函数的关系式1.求一次函数关系式的方法：（1）找规律法（2）找相等关系列方程法（3）待定系数法2.用待定系数法求一次函数的关系式方法：（1）依据两个独立的条件确定k,b的值(2)设一次函数关系式为y=kx+b(3)把条件代入关系式构造方程（组）(4)解方程（组），求k,b(5)确定函数关系式四．一次函数与二元一次方程组的关系1.二元一次方程与一次函数的关系：2.一次函数图象交点坐标就是二元一次方程组的五．建立一次函数模型解决实际问题①借助函数图象理解题意：通过看轴，点，线，把函数图象描绘的变化过程和文字对照起来；②建立一次函数模型解决问题：根据关键点确定一次函数表达式，把所求数据转化为图象信息，然后借助一次函数表达式进行求解；③结合实际意义进行验证.六．函数图象共存问题：选定一个函数图象，根据图象性质判断k,b符号，验证另一个函数图象存在的合理性。
北师大版数学八年级上册复习课件：第四章一次函数
o
x
y
k<0,b<0
o
x
练习：
如图，在同一坐标系中，关于x的一次函数 y = x+ b与 y = b x+1的图象只可能是（ C ）
(A)
y
(B)
y
ox
ox
y (C)
ox
(D)
y
ox
• 图象辨析
1.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则
在直角坐标系内它的大致图象是( A )
• 函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式 写成y=k（x+0）+b，则用下面的口诀“左 右平移在括号,上下平移在末稍,左负右正须 牢记,上正下负错不了”。
1、求下列函数中自变量x的取值范围 （1）y= x（x+3）； （2）y= 3
4x 8
（3）y= 2x 1 （4）y= x 1 1 x
7.某商场文具部的某种笔售价25元，练习本每本售价5元。该商 场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择。甲：买一支笔赠送 一本练习本。乙：按购买金额打九折付款。某校欲购这种笔10支， 练习本x（x ≥10)本，如何选择方案购买呢？ 解：甲、乙两种方案的实际金额y元与练习本x本之间的关系式是：
y甲=(x-10)××5+25×10=5x+200 (x ≥10)
例：画出Y=3x+3的图象
解：列表得：
y
x 0 -1 y30
.3
描点，连线如图：
.o
x
-1
4.一次函数的性质
函数 解析式
自变 量的 取值 范围
正比 例 y=kx 全体
函数 （k≠0） 实数
北师大版八年级上册数学第4章一次函数 第1节函数
一次函数
4.1
函数
学习目标
1 课时讲解 函数的定义
函数的三种表示方法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 函数的定义
知1－讲
1.函数的定义 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值 与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量 .
x/h 2 4 8 12 16 18 20 22 y/℃ 35.5 36 37 36.5 37 37.5 37 36.5
感悟新知
(3) y 是 x 的函数吗？ 解：y 是 x 的函数 .
知2－练
课堂小结
函数
列表法
自变量的取值范围
关系式法 函 数
图象法
函数值
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后作业 作业2 补充: 请完成对应习题
表法
函数值
变化规律
感悟新知
关系式法 图象法
用数学式子表 示函数关系的 方法叫做关系 式法. 其中的 等式叫做函数 关系式
能准确地反映 整个变化过程 中自变量与函
数值的对应关 系
用图象表示两 个变量间的函 数关系的方法 叫做图象法
直观、形象地 反映出函数关 系变化的趋势 和某些性质
知2－讲
从函数关系式 很难直观看出 函数的变化规 律,而且有些函 数不能用关系 式法表示出来
感悟新知Biblioteka 知识点 2 函数的三种表示方法
知2－讲
1.函数的三种表示方法
表示方法 列表法
定义
优点
缺点
通过列出自变 一目了然 ,对 列出的对应值
北师大版八年级上册数学第18讲《一次函数全章》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 18 讲《一次函数全章》知识点梳理【学习目标】1.了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】选择方案要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y =kx +b ，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0 时，一次函数y =kx +b 即y =kx （k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线y =kx +b 可以看作由直线y =kx 平移| b |个单位长度而得到（当b ＞0 时，向上平移；当b ＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数y =kx +b 与函数y =kx 的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y =kx +b 的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y =kx +b 从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y =kx +b 经过的象限．（2） 两条直线l 1 ： y = k 1 x + b 1 和l 2 ： y = k 2 x + b 2 的位置关系可由其系数确定： k 1 ≠ k 2 ⇔ l 1 与l 2 相交；k 1 = k 2 ，且b 1 ≠ b 2 ⇔ l 1 与l 2 平行； k 1 = k 2 ，且b 1 = b 2 ⇔ l 1 与l 2 重合； （3） 直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 x = a 、直线 y = b 不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式【典型例题】 类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量 x , y 满足2x + y = 3 ，则 y 是 x 的函数； Ｂ.变量 x , y 满足| y |= x ，则 y 是 x 的函数； Ｃ.变量 x , Ｄ.变量 x , 【答案】A ；y 满足 y 2 = x ，则 y 是 x 的函数； y 满足 y 2 - x 2 = 1，则 y 是 x 的函数. 【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的 x 的值，都有两个 y 值和它对应，不满足单值对应的条2x - 3 x ⎩⎩ 件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数 的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需 或 解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数 有意义，则 x 要符合： 即：或2x -1 ≥ 0x -1解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量 x 的取值范围（1） y = x +1 【答案】（2） y =x3x + 2|x -2| （3） y = +⎧x ≠ 0 解：（1）要使 y = x +1 有意义，需⎨x +1 ≠ 0 ，解得 x ≠0 且 x ≠－1；（2）要使 y = 3x + 2有意义，需⎧3x + 2 ≥ 0 ，解得 x ≥ - 2 且x ≠ 2 ；|x -2|⎨x - 2 ≠ 03 3 - 2x（3）要使y = +有意义，需⎧2x - 3 ≥ 0 ，解得x =3 .2x - 33 - 2x ⎨⎩3 - 2x ≥ 0 2类型二、一次函数的解析式3、已知y 与x - 2 成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与x - 2 成正比例关系，即y =k (x - 2) ，将点(3，3)代入求得函数关系式.【答案与解析】解：设y =k (x - 2) ，由于图象过点(3，3)知k = 3 ，故y = 3(x - 2) = 3x - 6 ．其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y =kx ，y 与x －2 成正比例满足关系式y =k (x - 2) ，注意区别.举一反三：【变式】直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1∴k = 2∵与x 轴交于点（2，0）∴①将k ＝2 代入①，得b =-4∴此直线解析式为y = 2x - 4 .类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是图中的（）．【答案】B；【解析】∵ y 随x 的增大而减小，∴k ＜0．∵y =x +k 中x 的系数为1＞0，k ＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0 时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数y =(2m -1)x 的图象上两点A( x1,y1), B( x2, y2)，当x1<x2时, 有y 1 >y2, 那么m 的取值范围是( )A．m <1B．m >1C．m < 2D．m > 0 2 2【答案】A；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以2m -1 < 0 ，选A 答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、如图，平面直角坐标系中画出了函数y =kx +b 的图象．（1）根据图象，求k 和b 的值．（2）在图中画出函数y =-2x + 2 的图象．（3）求x 的取值范围，使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值．【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值，需y =kx +b 的图象在y =-2x + 2 图象的上方.【答案与解析】解：（1）∵直线y =kx +b 经过点（－2，0），（0，2）．∴解得∴y =x + 2 ．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图象如图所示．（3）当y =kx +b 的函数值大于y =-2x + 2 的函数值时，也就是x + 2 >-2x + 2 ，解得x ＞0，即x 的取值范围为x ＞0．【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x 的不等式kx+b≤5 的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b 的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，把y=5 代入y=2x﹣1 解得，x=3，∴当x≤3 时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5 的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12 吨（含12 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12 吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1 月份用水24 吨，交水费42 元．2 月份用水20 吨，交水费32 元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小黄家3 月份用水26 吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a 元，市场调节价为b 元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1 元，市场调节价为2.5 元．（2）∵当0≤x≤12 时，y=x；当x＞12 时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y= ．（3）∵x=26＞12，∴把 x=26 代入 y=2.5x ﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费 47 元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元，销售价是每份 1 元，卖不掉的报纸还可以以 0.20 元的价格返回报社，在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天，每天可卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为 ，每月所获得的利润为 ．（1） 写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；（2） 报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线l 1 的解析表达式为 y = -3x + 3 ，且l 1 与 x 轴交于点 D ，直线l 2 经过 A 、B 两点， 直线l 1 、l 2 交于点 C ．(1) 求点 D 的坐标； (2) 求直线l 2 的解析表达式； (3) 求△ADC 的面积；(4) 在直线l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．⎨ ⎪ ⎨ ⎨ y = -3.【答案与解析】解： (1)由 y = -3x + 3 ，当 y ＝0，得-3x + 3 ＝0，得 x ＝l ．∴ D(1，0)．(2) 设直线l 2 的解析表达式为 y = kx + b ，由图象知， x = 4 ， y = 0 ； x = 3 ， y = - 3．2⎧4k + b = 0, 将这两组值代入，得方程组⎪33k + b = - . ⎩ 2⎧k = 3 ,解得⎪2⎪⎩b = -6. ∴ 直线l 2 的解析表达式为 y = 3x - 6 ．2⎧y = -3x + 3, (3) ∵ 点 C 是直线l 与l 的交点，于是有⎪312⎨ y = ⎩ x - 6. 2解得⎧x = 2,⎩ ∴ C(2，－3)． ∴ △ADC 的 AD 边上的高为 3． ∵ OD ＝1，OA ＝4， ∴ AD ＝3． ∴ S= 1 ⨯ 3⨯ | -3 |= 9． △ADC2 2(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
北师大版八年级数学上册《一次函数》知识总结!
北师大版八年级数学上册《一次函数》知识总结！第四章一次函数一、函数1、变量的定义：在某一变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量。
注意：变量还分为自变量和因变量。
2、常量的定义：在某一变化过程中，有些量的数值始终不变，我们称它们为常量。
3、函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，y的值称为函数值。
4、函数的三种表示法：（1）表达式法（解析式法）；（2）列表法；（3）图象法。
a、用数学式子表示函数的方法叫做表达式法（解析式法）。
b、由一个函数的表达式，列出函数对应值表格来表示函数的方法叫做列表法。
c、把这些对应值（有序的）看成点坐标，在坐标平面内描点，进而画出函数的图象来表示函数的方法叫做图像法。
5、求函数的自变量取值范围的方法。
（1）要使函数的表达式有意义：a、整式（多项式和单项式）时为全体实数；b、分式时，让分母≠0；c、含二次根号时，让被开方数≠0。
（2）对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。
注意可能含有隐含非负或大于0的条件。
6、求函数值方法：把所给自变量的值代入函数表达式中，就可以求出相应的函数值。
7、描点法画函数图象的一般步骤如下：Step 1：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；Step 2：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；Step 3：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、判断y不是x的函数的题型：A、给出解析式让你判断：可给x值来求y的值，若y的值唯一确定，则y 是x的函数；否则不是。
B、给出图像让你判断：过x轴做垂线，垂线与图像交点多余一个（≥2）时，y不是x的函数；否则y是x的函数。
二、正比例函数1、正比例函数的定义：一般地，形如y= kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
北师大版八年级数学上册第四章 一次函数 一次函数与正比例函数
课堂检测
基础巩固题
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3． (1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数； (2)求x＝2.5时，y的值．
解 ：(1)设y＝k(x－3)， 把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)， 解得 k＝3， 所以y＝3(x－3)， 所以y＝3x－9， y是x的一次函数． (2)当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
一次函数的简单应用
课后作业
作业 内容
教材作业 从课后习题中选取
自主安排 配套练习册练习
吗？如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，
所以BD= 1.x 在Rt△ABD中，由勾股定理，得
2
B
h AD AB2 BD2 x2 1 x2 3 x,
4
2
即 h 3 x.
2
所以h是x的一次函数，且 k 3 ,b 0.
2
DC
课堂检测
拓广探索题
函数是一次函数
关系式为：y=kx+b (k,b为常数，k≠0）
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
函数是正比例函数
关系式为：y=kx (k为常数，k≠0）
探究新知
思考 一次函数的结构特征有哪些？
答：一次函数的结构特征： （1）k≠0 . （2）x 的次数是1. （3）常数项b可以为一切实数.
探究新知
方法点拨
1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零， 常数项为零．
巩固练习
变式训练
下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？
第四章 一次函数 讲义 2024--2025学年北师大版八年级数学上册
北师大版八年级上册第四单元一次函数讲义知识点清单：知识点一．函数的概念知识点二．函数关系式知识点三．函数自变量的取值范围知识点四．函数的图象知识点五．函数的表示方法知识点六．一次函数的定义知识点七．正比例函数的定义知识点八．一次函数的性质知识点九．一次函数图象与系数的关系知识点十．一次函数图象上点的坐标特征知识点十一．一次函数图象与几何变换知识点十二．待定系数法求一次函数解析式知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式知识点十四．一次函数与一元一次方程知识点十六．一次函数的应用知识点十七．一次函数综合题知识点一．函数的概念1．下列曲线中表示y是x的函数的是（）A ．B ．C．D．知识点二．函数关系式2．小明一家自驾车到离家500km的某景点旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了行驶路程x（km）与油箱余油量y（L）之间的部分数据：行驶路程x（km）050100150200…油箱余油量y（L）4541373329…下列说法不正确的是（）A．该车的油箱容量为45LB．该车每行驶100km耗油8LC．油箱余油量y（L）与行驶路程x（km）之间的关系式为y＝45﹣8xD．当小明一家到达景点时，油箱中剩余5L油知识点三．函数自变量的取值范围3．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．4．函数y＝中，自变量x的取值范围是．知识点四．函数的图象5．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（）A．A地与B地之间的距离是180千米B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时C．汽车中途共休息了5小时D．汽车返回途中的速度是60千米/时知识点五．函数的表示方法6．某校七年级数学兴趣小组利用同一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h（cm）与小车下滑时间t（s）之间的关系如下表所示：支撑物高度h（cm）10203040506070小车下滑时间t（s） 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是（）A．支撑物的高度为40cm，小车下滑的时间为2.13sB．支撑物的高度h越大，小车下滑时间t越小C．若小车下滑的时间为2s，则支撑物的高度在40cm至50cm之间D．若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑的时间每次至少减少0.5s知识点六．一次函数的定义7．函数①y ＝5x ；②y ＝2x ﹣1；③；④；⑤y ＝x 2﹣2x +1，是一次函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知y ＝3x m ﹣1+5是y 关于x 的一次函数，则m 的值为．知识点七．正比例函数的定义9．若函数y ＝﹣7x +m ﹣2是正比例函数，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣2D ．210．若y 关于x 的函数y ＝﹣7x +2+m 是正比例函数，则m ＝．知识点八．一次函数的性质11．若直线y ＝kx +b 经过第一、二、四象限，则函数y ＝bx ﹣k 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．若点A （x 1，﹣1），B （x 2，﹣2），C （x 3，3）在一次函数y ＝﹣2x +m （m 是常数）的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是（）A ．x 1＞x 2＞x 3B ．x 2＞x 1＞x 3C ．x 1＞x 3＞x 2D ．x 3＞x 2＞x 113．已知函数y ＝（2m +1）x +m ﹣3（1）若函数图象经过原点，求m 的值；（2）若函数的图象平行直线y ＝3x ﹣3，求m 的值；（3）若这个函数是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，求m 的取值范围．14．（1）如图所示，∠AOB ＝α，∠AOB 内有一点P ，在∠AOB 的两边上有两个动点Q 、R （均不同于点O ），现在把△PQR 周长最小时∠QPR 的度数记为β，则α与β应该满足关系是．（2）设一次函数y ＝mx ﹣3m +4（m ≠0）对于任意两个m 的值m 1、m 2分别对应两个一次函数y 1、y 2，若m 1m 2＜0，当x ＝a 时，取相应y 1、y 2中的较小值P ，则P 的最大值是．知识点九．一次函数图象与系数的关系15．已知一次函数y＝（a﹣2）x+1，y随着自变量x的增大而增大，则a的取值范围为．知识点十．一次函数图象上点的坐标特征16．一次函数y＝mx+m2（m≠0）的图象过点（0，4），且y随x的增大而增大，则m的值为（）A．﹣2B．﹣2或2C．1D．217．关于x的一次函数y＝﹣4x+8的图象，下列说法不正确的是（）A．直线不经过第三象限B．直线经过点（1，4）C．直线与x轴交于点（2，0）D．y随x的增大而增大18．直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，M是y轴上一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上，则点M的坐标为．19．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求点A，B的坐标．＝2S△AOB，求点C的坐标．（2）若点C在x轴上，且S△ABC20．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（3，2），若直线y＝﹣2x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B 两点，连接PA、PB．（1）求点A、点B的坐标；（2）求△PAB的面积．21．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y＝﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣3，0），直线y＝﹣分别交x轴、y轴于点A、B．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AP．设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．知识点十一．一次函数图象与几何变换23．将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（）A．y＝2x+5B．y＝2x+3C．y＝2x﹣2D．y＝2x﹣324．将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（）A．y＝﹣2（x﹣4）B．y＝﹣2x+4C．y＝﹣2（x+4）D．y＝﹣2x﹣425．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为．26．如图，直线l1：y＝x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线l1平移到直线l2，直线l2与x轴交于点C，点A与点C，点B与点D分别是平移前后的对应点，若线段AB在平移过程中扫过的图形面积为20，求点D的坐标．知识点十二．待定系数法求一次函数解析式27．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，则一次函数的解析式为（）A．y＝x+2B．y＝﹣x+2C．y＝x+2或y＝﹣x+2D．y＝﹣x+2或y＝x﹣228．如图，若点P（﹣2，4）关于y轴的对称点在一次函数y＝x+b的图象上，则b的值（）A．﹣2B．2C．﹣6D．629．已知某直线经过点A（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2．则该直线的一次函数表达式是．30．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y 轴于点D．（1）求一次函数的解析式；（2）求点C和点D的坐标；（3）求△AOB的面积．31．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；＝2，求点C的坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC知识点十三．待定系数法求正比例函数解析式32．正比例函数y＝kx经过点（1，3），则k＝．33．已知y与x成正比例，且当x＝3时，y＝4．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．知识点十四．一次函数与一元一次方程34．如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+2的图象相交于点P（m，4），则关于x的方程kx+b＝4的解是（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝435．一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），则关于x的方程﹣kx+b＝0的解为（）A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝0D．x＝236．已知直线y＝﹣3x与y＝kx+2相交于点P（m，3），则关于x的方程kx+2＝﹣3x的解是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝337．如图一次函数y＝kx+2的图象分别交y轴，x轴于点A、B，则方程kx+2＝0的解为（）A．x＝0B．x＝2C．D．38．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（）A．0B．2C．4D．639．如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，根据图象可知，关于x的方程x+5＝ax+b的解是．知识点十五．根据实际问题列一次函数关系式40．已知等腰三角形的周长是20cm，底边长y（cm）是腰长x（cm）的函数关系式为，自变量x的取值范围是．知识点十六．一次函数的应用41．甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法：①乙船的速度是40千米/时；②甲船航行1小时到达B处；③甲、乙两船航行0.6小时相遇；④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④42．声音在空气中传播的速度（简称声速）v（m/s）与空气温度t（℃）满足一次函数的关系（如表格所示），则下列说法错误的是（）A．温度越高，声速越快B．当空气温度为20℃时，声速为342m/sC．声速v（m/s）与温度t（℃）之间的函数关系式为D．当空气温度为40℃时，声速为350m/s43．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售，活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，在乙园采摘需总费用y2元．y1、y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．乙园草莓优惠前的销售价格是30元/千克B．甲园的门票费用是60元C．乙园超过5千克后，超过部分的价格按五折优惠D．顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多44．某中学开展春季越野赛，小明、小颖两名同学同时从起点出发，他们所跑的路程y（千米）与时间x（分）之间的关系如图所示，小刚由图示得出下列信息：①在比赛中小明的速度始终比小颖快，所以小明先到达终点；②比赛开始20分钟时，小明和小颖第一次相遇；③越野赛全程为6千米；④小明最后冲刺速度为0.3千米/分钟．在小刚得出的信息中正确的有（填序号即可）．45．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象可知，下列结论：①两车出发后4小时相遇；②动车的速度是普通列车速度的2倍；③两车相遇后，普通列车还需行驶6小时到达目的地；④C点的坐标是（5，1000），其中正确的有.（填所有正确结论的序号）46．某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x （件），方式一的销售人员的月收入为y 1（元），方式二的销售人员的月收入为y 2（元）．（1）请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？47．甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球x （x ≥10）盒．（1）若在甲店购买付款y 甲（元），在乙店购买付款y 乙（元），分别写出：y 甲，y 乙与x 的函数关系式．（2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？48．科学调查结果显示：当中学生电子产品日平均使用时间小于30分钟时，近视率较低．使用时长从30分钟到1小时的过程中，近视率会急剧上升，研究发现近视率y 是日平均使用时长x （分钟）的一次函数，当日平均使用时长为30分钟时，近视率为10%，当日平均使用时间为60分钟时，近视率为70%．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当日平均使用时间为40分钟时，近视率是多少？49．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地的距离y （千米）与时间x （时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；（2）求线段CD 对应的函数表达式；（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．知识点十七．一次函数综合题50．如图，直线l1：y＝2x+6与过点B（3，0）的直线l2交于点C（﹣1，m），且直线l1与x轴交于点A，与y轴交于点D．（1）求直线l2的解析式；（2）若点M是直线l2上的点，且在y轴左侧，过点M作MN⊥直线x＝1于点N，点Q在直线x＝1上，要使△MNQ≌△AOD，求所有满足条件的点Q的坐标．51．【阅读理解】已知M，N为平面内不重合的两点．给出以下定义：将M绕N顺时针旋转α（0°＜α＜360°）的过程记作变换（N，α）．例如：在平面直角坐标系xOy中，已知点M（1，0），N（2，0），则M经过变换（N，90°）后所得的点B的坐标为（2，1）．【迁移应用】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B，设A经过变换（B，180°）后得到C．（1）求点C的坐标；（2）过C作CD⊥x轴于D，点E是线段CD上一动点，设E经过变换（B，90°）后得到点F，连接BE，BF．ⅰ）若△ABF的面积为3，求点F的坐标；ⅱ）设点M是y轴上一动点，当以A，B，F，M（四点为顶点的四边形为平行四边形时，求点M的坐标．52．如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点A（0，1），交x轴于点B．直线x＝1交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x＝1上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．（1）求直线AB的解析式和点B的坐标；（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；＝2时，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，求点C的坐标．（3）当S△ABP53．如图，已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x 轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）．（1）则k＝，b＝，n＝；（2）求四边形AOCD的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形，请求出点P的坐标．54．如图①，已知直线y＝﹣2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．（1）求点A、C的坐标；（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．55．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．56．（1）认识模型：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；（2）应用模型：①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ 是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．57．如图，直线l1：y＝﹣x+3与x轴相交于点A，直线l2：y＝kx+b经过点（3，﹣1），与x轴交于点B（6，0），与y轴交于点C，与直线l1相交于点D．（1）求直线l2的函数关系式；（2）点P是l2上的一点，若△ABP的面积等于△ABD的面积的2倍，求点P的坐标；（3）设点Q的坐标为（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．58．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．（1）若点O′恰好落在直线AB上，求OP的长．（2）若Q是直线AB上的一个动点，当△AOQ的面积为10时，求Q的坐标．（3）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标，若不存在，说明理由．（4）若C是y＝﹣x+3上的动点，当△ABC是以BC为底的等腰三角形，求出点C的坐标．59．问题提出（1）如图1，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P为高AE上的动点，过点P作PH⊥AC于H，则的值为；问题探究（2）如图2，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A、B．若点P是直线AB上一个动点，过点P作PH⊥OB于H，求OP+PH的最小值．问题解决（3）如图3，在平面直角坐标系中，长方形OABC的OA边在x轴上，OC在y轴上，且B（6，8）．点D在OA边上，且OD＝2，点E在AB边上，将△ADE沿DE翻折，使得点A恰好落在OC边上的点A′处，那么在折痕DE上是否存在点P使得EP+A′P最小，若存在，请求最小值，若不存在，请说明理由．60．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x，直线l2的解析式为y＝x+3，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l1与l2交于点C．（1）求出点A、点B的坐标；（2）求△COB的面积；（3）在y轴右侧有一动直线平行于y轴，分别于l1、l2交于点M、N，且点M在点N的下方，y轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数知识点总结
第四章一次函数学问点总结4.1.1 变量和函数1、变量：在一个改变过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个改变过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以一样，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之有意义4.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，运用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简洁明了，可以精确地反映整个改变过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般状况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像一般来说，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（根据横坐标由小到大的依次把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
完整)北师大版八年级数学上册一次函数
完整)北师大版八年级数学上册一次函数基础知识回顾】一次函数的定义：一般地，如果y=kx+b，那么y就是x 的一次函数。
特殊地，当b=0时，y就是x的正比例函数；当k=0时，y就是常数函数。
一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标。
名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图像去解决。
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解的问题。
】一次函数的同象及性质：一次函数y=kx+b的图像经过点（0,b）和（-b/k,0）；正比例函数y=kx的图像经过原点；当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小。
名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数。
】用系数法求一次函数解析式：关键是确定一次函数y=kx+b中的k和b的值。
步骤：1、设一次函数表达式；2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式；3、解关于系数的方程或方程组；4、将所求的系数代入等设函数表达式中。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组：一般地，将x=或y=解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y=kx+b中；对于一元一次不等式kx+b>0或kx+b<0，即一次函数同象位于x轴上方或下方，利用函数性质解决问题；对于二元一次方程组，求解两条直线的交点坐标即为方程组的解。
名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题、方程涉及问题等。
】重点考点例析】考点一：一次函数的同象和性质例1（2012•黄石）已知反比例函数y=x/b，若一次函数y=kx+2与其同象，则k的取值范围是多少？解析：反比例函数y=x/b的图像经过点（b,1）和（1,b），因此一次函数y=kx+2的图像也经过这两点。
将这两点代入一次函数的解析式，得到k的取值范围为k≠-2b。
北师大版八年级数学上册第四章：一次函数的复习与回顾(教案)
然而，我也发现了一些问题。首先，在新课讲授过程中，对于难点的讲解可能还不够透彻，导致部分学生在后续实践活动和小组讨论中出现了困惑。在今后的教学中，我要更加关注学生的反馈，及时调整教学方法和节奏。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的一次函数复习与回顾课上，我发现学生们对于一次函数的基本概念和图像性质掌握得还算扎实。在导入新课环节，通过提问的方式引起了学生的兴趣，他们能够联系日常生活实际，积极思考一次函数的应用场景。在新课讲授环节，我注意到大部分学生能够跟上课程的进度，但对于斜率和截距的理解还有待加深。
在实践活动中，分组讨论和实验操作让学生们动起来，积极参与到课堂中。但我发现，部分小组在讨论时还是存在依赖思想，不够积极主动。在接下来的教学中，我要加强对学生团队协作能力的培养，鼓励他们提出自己的观点和想法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，如斜率的意义和图像的绘制，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2019年八年级数学上册第四章一次函数知识点归纳(新版)北师大版
第四章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
二、自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b=0时（即kx y =）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。
2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b ①、一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
②、由于一次函数y kx b =+的图象是一条直线，所以一次函数y kx b =+的图象也称为直线y kx b =+。
北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
北师大版八年级数学上册一次函数
北师大版八年级数学上册一次函数一次函数在某个变化过程中，主动变化的量称为自变量，随着自变量变化而变化的量为因变量。
变量间关系可以用表格法、关系式法和图像法三种表示方法。
如果一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x 的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数。
例如，y=x^2是函数，而y=±x不是函数。
判断是否是函数：自变量在取值范围内取值时，看因变量是否唯一。
函数的表示方法包括列表法、关系式法和图像法。
自变量的取值范围：（1）分式分母不为0；（2）二次根号下的被开方数大于等于0；（3）若存在a=1，则a≠1；（4）若自变量在整式中，取值范围是全体实数；（5）若包含上述几种情况，取它们的公共部分。
一次函数：若两个变量x和y间的对应关系可以表示为y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。
特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。
判断是否是一次函数：（1）等式左边是因变量，等式右边是关于自变量的整式；（2）自变量的次数为1；（3）一次项的系数不为0.画函数图象的步骤：（1）列表（2）描点（3）连线。
一次函数及正比例函数的图象与性质：在一次函数中，k决定图象的增减性（k值得大小决定直线的倾斜程度），b决定图象与y轴交点的位置。
当k值相等，b值不相等时，两直线平行；k值不相等时，两直线相交。
练题：1.下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）A。
y=2-xB。
y=1/xC。
y=4-x^2D。
y=x+2/(x-2)2.若函数y=(2m+1)x^2+(1-2m)x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A。
m>1/2B。
m=1/2C。
m<1/2D。
m=-1/23.已知自变量为x的函数y=mx+2-m是正比例函数，则m=2，该函数的解析式为y=2x+2.4.下面哪个点在函数y=x+1的图象上（）A。
(2,1)B。
(-2,1)C。
(2,2)D。
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一次函数的定义及解析式
1、若两个变量间的关系式可以表示成的形式，则称是的一次函数.
（为自变量，为因变量）.特别地，当称是的正比例函数.
2、会列函数关系式
方法：1.根据公式，生活常识找到x与y的关系
2.列出有关x和y的等式
3.将等式化成的形式
3. 学会运用待定系数法求解函数的解析式（表达式）
方法：1.设出一次函数的一般形式（y=kx+b）
2.将两个点坐标分别代入“y=kx+b”中，列出有关“k”和“b”的二元一次方程组
3.解出“k”和“b”的值
4.将解出的“k”和“b”的值代入“y=kx+b”中，即为所求的解析式
例1、写出下列各题中与之间的关系式，并判断：是否为的一次函数？是否为正比例函数？
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系；
（2）等腰三角形的周长是18，若腰长为y，底边长为x，则y与x 之间的关系.并求出x的取值范围；
（3）有一个长为120米，宽为110米的矩形场地准备扩建，使长增加x米，宽增加y米，且使矩形的周长为500米，则y与x的
关系；
（4）据测试：拧不紧的水龙头每秒钟会滴下两滴水，每滴水约
0.05毫升.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明
离开x小时后水龙头滴了y毫升水.y与x之间的关系.
求解析式方法：1，系数不为0.
2，次数为1（若是正比例，再加b=0）例2、 当为何值时，函数
⑴是一次函数？ ⑵是正比例函数？
1-1变式训练
1、已知函数当为何值时，它是正比例函数？
2.已知函数是一次函数，则的取值范围是___________.
3、 试确定的值，使得函数是一次函数.
方法：求解析式，带点坐标；求点坐标，联立解析式例3、 已知是的一次函数，并且当时，当
⑴求一次函数的解析式；
⑵当求的值.
⑶当求的值.
3-1 变式训练（谁和谁成正比例，谁就等于K倍的谁）
1、已知与成正比例，当
⑴求与之间的函数关系式；
⑵当求的值；
⑶当时，求的值.
例4、 某电信局收取网费如下：163网费为每个小时3元；169网费为每个小时2元，但要收取每月底费15元.
⑴你能写出与的函数关系吗？
⑵如果一个网民每月上网19h，他应选择哪种？
⑶当每月网明等于多少时，两种收费一样多？
4-1 变式训练
1、某车间有20名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个，在这20个工人中，派人加工甲种零件，其余的加工乙种零件，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元.
⑴写出此车间每天所获利润（元）与（人）之间的函数关系式.
⑵若要使车间每天获利1840元，需怎样安排这20名工人的工作？
2、.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P，设∠A=x
°,∠BPC=y°,当∠A变化时，求y与x之间的函数关系式，并判断y是不是x 的一次函数，指出自变量的取值范围.
课堂小测
一、选择题
1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（）
A.y=－
B.y=－
C.y=－
D.y=
2.下列各关系中，符合正比例关系的是（）
A.正方形的周长P和它的一边长a
B.距离s一定时，速度v和时间t
C.圆的面积S和圆的半径r
D.正方体的体积V和棱长a
3.若y=(m－1)x是正比例函数，则m的值为（）
A.1
B.－1
C.1或－1
D.或－
4.若函数y=(3m－2)x2+(1－2m)x(m为常数)是正比例函数，则m的值为（）
A.m＞
B.m＜
C.m=
D.m=
5.若5y+2与x－3成正比例，则y是x的（）
A.正比例函数
B.一次函数
C.没有函数关系
D.以上答案均不正确
二、填空题
6.函数当_______时，为正比例函数.
7.若函数为一次函数，则=____,该函数关系式是_______________.
8.某油箱中有油20升，油从管道中均匀流出10分钟可流尽，则油箱
中剩油量G（升）与流出时间t(分)之间的函数关系式为______，自变量t的取值范围是______.。