期望-方差公式-方差和期望公式

期望与方差的相关公式 -、数学期望的来由

早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？

用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞

=1

<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞

=1

i i i p a ，

如果i i i p a ∑∞

=1

=∞，则数学期望不存在。[]1

定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，

2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.

期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.

二、数学期望的性质

（1）设C 是常数，则E(C )=C 。 （2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。 （3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。

三、 方差的定义

前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，

是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.ξ

D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.

定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称

]))([(2X E X E -

为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。

方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即

)()(X D X =σ

由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。

D ξ表示ξ对

E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ

的取值越分散.

方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。

由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故

⎪⎩⎪⎨⎧--=⎰∑∞

∞

-∞=连续时当离散时

当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212

当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ； 当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。 求证方差的一个简单公式：

公式1：22)]([)()(X E X E X D -=

证明一：

2

2222)]([)(])]([)(2[]

))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-= 证明二：21

()n

i i i D x E p ξξ==-⋅∑

2212

2

1

1

1

22222[2()]2()2()()()n

i i i

i n

n n

i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+⋅=-⋅+⋅=-+=-∑∑∑∑

22()D E E ξξξ∴=-

可以用此公式计算常见分布的方差

四、方差的性质

（1）设C 是常数,则D (C )=0。 （2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。 （3）若X 与Y 独立，则

公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。

证 由数学期望的性质及求方差的公式得

{}{}

)

()()]([)()]([)()()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(22222

2222222

2Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+

可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则

∑∑===n

i i n

i i X D X D 1

1

)(][

∑∑===n

i i i n i i i X D C X C D 1

21

)(][

（4） D (X )=0 ⇔P (X = C )=1， 这里C =E (X )。

五、常见的期望和方差公式的推导过程

（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明

1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质： （1）p i ≥0，i ＝1，2，...； （2）p 1＋p 2＋ (1)

2．离散型随机变量期望和方差的性质： E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。

（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，

证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量 ()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i = 所以 η的分布列为

1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++

=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++

E η=aE b ξ+

()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ

期望的线性函数

（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.

证法一： 因为 21()n

i i i D x E p ξξ==-⋅∑