2018年秋八年级数学上册 第十七章 特殊三角形 17.1 等腰三角形 第3课时 等腰三角形的判定习
(基础题)冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图钢架中，∠A=a，焊上等长的钢条P1P2， P2P3， P3P4， P4P5来加固钢架，若P1A=P1P2，∠P5P4B=95°，则a等于（）A.18°B.23.75°C.19°D.22.5°2、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A.9B.6C.4D.33、已知一个直角三角形两边的长分别为3和4.分别以此三角形的三边为边作正方形，则这三个正方形面积的和为（）A.50B.32C.50或32D.以上都不对4、在中，斜边AB=2，则的值是（）A.6B.8C.10D.125、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A.7B.8C.9D.106、已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（）A.16B.20C.16或20D.147、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、点F分别在边AD，BC上，且EF⊥AD，点B关于EF的对称点为G点，连接EG，若EG与以CD为直径的⊙O恰好相切于点M，则AE的长度为（）A.3B.C.6+D.6﹣8、在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA= ，则边AC的长是（）A. B.3 C. D.9、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm10、如图，在中，，且.若，，则的长度为（）A. B. C. D.811、已知等腰三角形的两边长是4和10，则它的周长是（）A.18B.24C.18或24D.1412、在平面直角坐标系中，已知点A（a，3），点P在坐标轴上，若使得△AOP 是等腰三角形的点P恰有6个，则满足条件的a值有（）A.2个B.3个C.4个D.5个13、如图所示，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1 = 40°，则∠AED的度数是（ )A.70°B.68°C.65°D.60°14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，点E为BC边的中点，，如果OE=2，那么对角线BD的长为（）.A.4B.6C.8D.1015、如图，在△ABC中，AO⊥BC，垂足为O，若AO=4，∠B=45°，△ABC的面积为10，则AC边长的平方的值是（）A.16B.17C.6D.18二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是的中线，，把沿着直线对折，点C落在点E的位置，则的形状是________．17、如图，∠AOB=60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为________．18、已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为________.19、一个等腰直角三角尺不小心掉到两墙之间（如图），已知，从三角尺的刻度可知为三块砖的厚度，为两块砖的厚度，小聪很快就知道了砌墙所用砖块的厚度（每块砖的厚度相等，两块砖间的缝隙忽略不计）为________ .20、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB与∠CAB的平分线交于点P，PD⊥AB于点D，若△APC与△APD的周长差为，四边形BCPD的周长为12+ ，则BC等于________.21、在△ABC中，AB=AC=10，cosB= ，如果圆O的半径为2 ，且经过点B、C，那么线段AO的长等于________．22、如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB＝，AB⊥OB，∠AOB＝30°．把△ABO绕点O逆时针旋转150°后得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为________．23、如图，定义：若双曲线与它的其中一条对称轴y＝x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线的对径.若双曲线的对径是4，则k=________.24、在矩形ABCD中,AB=4,AD=9点F是边BC上的一点,点E是AD上的一点,AE:ED=1:2,连接EF、DF,若EF=2 ,则CF的长为________。
相似三角形模块知识点及题型整理
特殊三角形和相似一、章节目录二、地位和作用构成三角形的是边和角, 全等三角形涉及的是等边等角的三角形, 相似三角形涉及的则是等角的三角形. 全等是相似的特殊情况, 相似是对全等关系条件放宽, 按照相似关系将三角形进行分类,同一类三角形只有大小不一样,但保留了边与边之间的比值关系(形状). 因此本模块内容主要是两部分, 一是相似的基本概念,性质与判定; 二是特殊三角形(每一类特殊三角形都是相似关系)和三角函数(在相似的关系下一个角的三角函数是不变量) 考点上,相似三角形和全等在分布和难度上都类似, 选择题和填空题主要考察基本概念,判定以及性质; 大题综合考察, 也会与函数结合, 需要总结方法和思路; 特殊三角形单独考察一般是小题, 更多的是结合在其他证明题中作为条件出现, 需要对特殊三角形的性质烂熟于心; 解直角三角形会有一道大题, 主要是勾股定理应用, 方程法等等.三、知识点总结（一）特殊三角形1、等腰三角形（1）概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质：等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（“三线合一”）等腰三角形关于顶角中线对称.（3）如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个等角所对的边相等.2、等边三角形（1）概念：三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形. （2）性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.（3）等边三角形的判定定理三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形（1）性质：直角三角形的两个锐角互余.（2）判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）三角形斜边的中线性质：三角形斜边上的中线是斜边的一半.证明：倍长中线构造全等.（4）两个特殊直角三角形：30°，60°，90°：30°所对直角边是斜边的一半.45°，45°，90°：等腰直角三角形，顶角中线把三角形又分为两个等腰直角三角形4、勾股定理（1）定理内容：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方. （a2+b2=c2）.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形中有两个边的平方和等于第三边的平方，那这个三角形是直角三角形.5、直角三角形全等判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.6、反证法证明一个命题是真命题：①假设命题的结论不成立；②从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实，已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果.③由矛盾的结果，知假设不能成立，从而说明命题的结论是正确的.讲反证法这类逻辑上的内容,可以多结合生活中的例子,从现实中体会其核心思想.（二）图形的相似1、比例线段（1）四条线段之间的关系:在四条线段a,b,c,d 中, 如果线段a 与b 的比等于线段c 与d 的比, 即a b=c d, 就称这四条线段为成比例线段, 简称比例线段, 我们也称这四条线段成比例.（2）比例线段的基本性质①如果ab=c d, 那么ad =bc .②如果ad=bc , 那么ab=cd(b,d =≠0)（3）黄金分割C 是线段AB 上的一个点，如果有ACAB =BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点，ACAB称为黄金分割比.黄金分割比即：全线段：较长边=较长边：较短边. 黄金分割比为常数√5−12, 约为0.618.2、平行线分线段成比例（1）基本事实：两条直线被一组平行线所截，截得的线段成比例. 如图所示l1//l2//l3, 则AB:BC=DE:EF.将这个事实应用于三角形后：（2）推论：平行于三角形的一边截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.（ADAB =AEEC）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形对应边成比例.（ADAB =AEAC=DEBC，第三边证明方法是过D作AC平行线.）3、相似三角形（1）概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 相似三角形对应边的比叫做相似比. 若△ABC与△DEF相似，记作△ABC∼△DEF, A和D，B和E，C和F是对应点.（2）相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线与另外两边构成的三角形与原三角形相似.思路指导：遇平行找相似.②三条边分别成比例③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.④两组角对应相等的两三角形相似.注意课本中后四个判定的证明方法，判定①是最简单、基本的那个，后三个相似判定都是通过转化为①的情况加以证明的，由平行构造出的相似三角形也是最简单的相似模型.（“A”字形和“8”字形）（3）相似三角形的性质①对应角相等，对应边成比例.②对应的中线、高线、角平分线之比为相似比，周长之比也为相似比.③面积比为相似比的平方.（4）相似模型：①“A”字形相似和“8”字形相似.（一组等角和两条邻边判定.）A字形相似是由直线截得的相似，在已知一个三角形的情况下，用一条直线截这个三角形，使得直线与三角形边的夹角等于已知三角形的一个角，进而通过两个角对应相等判定截得的三角形与原三角形相似.8字形也是由直线截得的，与A字形不同的是，在这里直线截的是△ABC的两条边所在的直线，最终截得的图如下：②射影定理（三个直角三角形三组相似）如图所示△ABC是直角三角形，CD⊥AB, 则三个直角三角形两两相似，根据相似关系可得：AC2=AD⋅ABCB2=BD⋅BACD2=AD⋅DB③共线三等角（两组角对应相等）共线三等角是如图给出的相似，由∠ACB+∠DCE=180○−α=∠ACB+∠A，得∠A=∠DCE, 从而△ABC∼△CED.④旋转相似如上图,△AED,△ACB是任意三角形,ED//CB,将△AED经过旋转至图2后,形成的△ACE∼△ABD.旋转相似是前面全等三角形手拉手模型的推广,可以看到,当AC=AB时,相似比为1,也就是两个三角形全等.4、相似三角形的应用：间接测量（测旗杆）利用△ABO∼△CBD,测量BD,BO得相似比，通过CD求得OA.（测河宽）由C作AB平行线构造相似.（三）解直角三角形1、锐角三角函数锐角三角函数：在相似的意义下，三角形自身边的比值是一个不变量，因此定义一个研究这类比值的量，就是三角函数.（1）概念在直角三角形中，A是其中一个锐角：)①正弦函数sin ∠A：∠A的对边与斜边的比.(sin∠A=ac②余弦函数cos ∠A:∠A的邻边与斜边的比.(cos∠A=b)c)③正切函数tan∠A: ∠A的对边与邻边的比.(tan∠A=ab注意：2sin∠A2=sin(∠A2),sin2∠A=(sin∠A)（2）锐角三角函数的值当锐角A确定，所有以A为一个锐角的直角三角形都是相似的关系，因此他们三边之间的比值都是相等的, 因此A的角度唯一决定了三角函数的值. 即sin∠A,cos∠A,tan∠A都是A的函数.（3）锐角三角函数的性质设∠A与∠B互余，放在同一个直角三角形内，由它们各自三角函数的定义可得：①sin∠A=cos∠B②tan∠A ⋅tan∠B=1同角的三角函数有两个常用性质：①tan∠A=sin∠Acos∠A②sin2∠A+cos2∠A=1（4）几个特殊角度的三角函数值.2、锐角三角函数的计算这里涉及到计算的考点主要是上面特殊角的三角函数值，与正常的实数计算没有区别，把其中的三角函数换成对应的值就是一个普通的计算题了.3、解三角形直角三角形中，三条边和两个锐角共五个元素，知道其中两个（至少一个是边，一边一角或两边就可以确定这个直角三角形）就可以求出另外三个元素. 求解的过程就叫做解三角形.（1）斜三角形内作高构造直角三角形向外高构造直角三角形（2）俯仰角、方位角、坡度仰角：进行测量时，向上看时视线与水平线夹角α.俯角：向下看时视线与水平线夹角β.方位角：指的是南或北方向线与目标方向线所成的锐角.名称如图所示.坡度（坡比）：坡面的垂直高度（h）和水平宽度（l）的比叫坡度，以i表示.坡角：坡面与水平面的夹角（α）i=tanα四、常考题型（一）特殊三角形1、等腰三角形和等边三角形出题方向：填空题或者选择题，一般为图形计算，等腰作为条件出现，需要利用等腰所具有的性质进行计算. 或者在证明题中作为条件, 利用等腰三角形的性质构造辅助线.A若等腰三角形的周长为10cm, 其中一边长为2cm,则该等腰三角形的底边长为:_____ 考点:等腰三角形;分类讨论;三边关系.如图,在ΔABC中,AB=AC,∠A=36○, BD平分∠ABC交AC于点D.求证:AD=BC考点: 等腰三角形的性质,以及判定. 顶角为36°的等腰三角形也是常考的一个图形.AB的长为半径画圆,两弧如图,已知AB=AC,AB=5,BC=3, 以A,B两点为圆心, 大于12相交于M,N,连接MN与AC相交于点D,则ΔBDC的周长为:_____.考点:等腰三角形的性质; 尺规作图. 在计算ΔBDC周长时,需要通过分析转化为求AC与BC的和, 这也是在三角形计算中经常会考到的一个思想.如图,已知AD⊥BC于点D, AE⊥CE于E, ∠ACE =∠B, AD=AE,求证: D是BC的中点.考点: 结合全等等腰三角形判定; 三线合一性质如图,点D、E在Δ ABC的BC边上, AB=AC,AD=AE,求证BD=CE.考点：三线合一,利用中线性质作辅助线进行证明. 不需要证明全等.在等腰三角形中三线合一,因此顶角中线(高线/角平分线)是一条重要的辅助线.如图:RtΔABC中, ∠BAC=90○, AB=AC, D是BC的中点,AE=BF.求证:DE=DF.考点:全等三角形证明;其中等腰是条件,需要想到作出高线构造全等.如图:已知ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一条直线上，且CG=CD,DF=DE,则∠E=_____度.考点：等边三角形和等腰三角形的性质;外角性质.B如图, 在ΔABC中,AB=AC, AD,CE是两条中线,P是AD上的一个动点, 则BP+EP的最小值是:_____.考点: 三角形顶角中线的性质(对称性), 与将军饮马模型结合.如图,ΔABC是等边三角形, 延长BC到D, 使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为_____.考点:等腰、等边三角形; 特殊三角形已知2是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根,并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则三角形ABC的周长为（）A. 10B.14C.10或14D.8或10.考点:等腰三角形和方程结合;分类讨论;三边关系.AC, 则等腰ΔABC底角的度数等腰ΔABC中, BD⊥AC, 垂足为点D, 且BD=12为:_____.考点:等腰三角形;分类讨论;特殊三角形等腰三角形中分类讨论的特点: ①没有图. ②若给出三角形的两个边,则这两个边都可以作为腰, 因此分类讨论; 又同时必须满足三边关系, 得出结果也要进行取舍.如图,已知点O是∠APB内的一点,M、N分别是点O关于P A、PB的对称点，连接MN，与P A，PB分别相交于点E、F,已知MN=6cm.(1)求△OEF的周长;(2)连接PM、PN，若∠APB=α, 求∠MPN(用含α的代数式表示)(3)在(2)的条件下,若α=30°,判定△PMN的形状,并说明理由.考点:几何证明大题,其中涉及了等边三角形的判定. 也是一类动点题的经典考法.如图,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE, AD与CE交于点F.(1)求证AD=CE(2)求∠DFC的度数考点: 正多边形中的“弦图”，利用的是正多边形中心旋转对称性.2、直角三角形A如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_____.考点：涉及到直角三角形的简单计算题.已知：在△ABC中，AD⊥BC,∠1=∠B, 求证：△ABC是直角三角形.考点：直角三角形判定如图，在△ABC中，∠ACB=90○,∠ABC=60○，BD平分∠ABC,P是BD的中点，若AD=6，则CP的长为_____.考点：直角三角形中线的性质.如图所示，△ABC中，AB=AC，E为AB的中点，BD ⊥ AC，若∠DBC=20○,则∠BED 为______考点：应用直角三角形中线的性质，连接中线后构造出等腰三角形.B如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA=_____°（点A,B,P是网格线交点）考点：直角三角形判定；外角性质. 作法是加倍延长AP后连接终点与B，构造出的三角形是等腰直角三角形.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A’与点A重合，点C’落在边AB上，连接B′C. 若∠ACB=∠AC′B′=90○，AC=BC=3,则B′C的长为_____.考点：主要是勾股定理的应用.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90○，AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN；（2）若∠BAD=60○,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.考点:直角三角形中线性质;中位线性质;等腰直角三角形性质.如图,在Rt△ABC中, ∠A=90○,AB=AC,BC=√2+1,点M、N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B, 使点B的对应点B’始终落在边AC上. 若△MB′C为直角三角形，则BM的长为：_____.考点:动点问题,一般有两个特征:一是列代数式,列方程的思想; 二是分类讨论.本题还与折叠问题相结合.看似M、N都是动点，实际上N是随M取定而确定的.3、勾股定理勾股定理在三角形的计算中起着非常重要的作用，前面给出的部分例题也有涉及，勾股定理最常见的是作为一个方法与直角三角形相关的问题紧密结合.在一个直角三角形中，如果其中两条边分别是6和10，那么第三条边的长度是：_____.考点：直角三角形的勾股定理已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式√c2−a2−b2+|a−b|=0,则△ABC 的形状为_____.考点：勾股定理的逆定理，判定直角三角形如图，△BCD中，AB=4，AD=3, BC=13, CD=12, 且∠BAD=90○, 求△BCD的面积.考点：勾股定理的逆定理. 首先求出BD，得出△BDC是直角三角形.（二）相似三角形1、几类经典的相似模型（1）A字形相似和8字形相似如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在边AB上，AM=3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为:_____.注意是“截得”的三角形，那么对应前面的总结，应当考虑的是截线与边的夹角∠AMN 与∠B 或∠C对应，要分类讨论,两种情况下对应关系不同，就能求出两个结果.如图，已知在△ABC中，AB=20,BC=12,D是AC上一点，过点D作DE//BC交AB于E，作DF//AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形.①求菱形的边长②求菱形BEDF面积与△ABC的面积之比.如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点G，若AFEF =3，求CDCG的值.①尝试探究：在图1中，过点E作EH//AB交BG于点H，则易求ABEH 的值是:_____,CGEH的值是:_____, CDCG的值是:_____.②类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFEF =m(m>0), 则CDCG的值是:_____(用含m的代数式表示)，写出解答过程;③拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC//AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F，若ABCD =a,BCBE=b(a>0,b>0),则AFEF的值是：_____（用含a、b的代数式表示.）写出解答过程构造相似，其思路是结合已知条件（线段的比），使之称为相似三角形中的对应边.（2）射影定理已知CD是△ABC的高，DE⊥CA,DF⊥CB，如图，求证:△CEF∼△CBA.如图，在△ABC中，∠ACB=90○,AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：AD⋅PB=AB⋅BD.3、共线三等角（1）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3,∠ADE=60○,则AE的长为：_____.将条件标上，应该就能找到相似模型了.（2）△ABC中，∠C=90°, AC=3, BC=4,O是AB上的一个点,且AOAB =25,点P是AC上的一个动点,PQ⊥OP交线段BC于点Q(不与B、C重合)，已知AP=2，求CQ的长.思路是由O作垂线构造三等角模型.4、旋转相似（1）如图，在平行四边形ABCD中，AC=CD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=∠CAD.证明：①△ACE∼△ADF②EA=EF.（2）1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB;3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB=HA:AE=m:n，此时HD:GC:EB 的值与2）中结果相比有变化吗？如果有，写出变化后的结果.（三）解三角形1、锐角三角函数（1）如图所示小正方形网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则cosA的值为：_____.（2）在△ABC中，∠C=90°，AB=√6,BC=√3,则∠A的度数为：_____.（3）计算题在△ABC中，若,∠A、∠B都是锐角，求∠C的度数.2、解三角形（1）如图，在△ABC中，AB=2,AC=4,∠A=120°，求BC的长.解三角形的一个重要方法是作高线构造直角三角形，然后利用勾股定理..求BC和AC的长.（2）如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=2√2,tanC=23（3）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面水平放置一个平面镜E，使得B，E，D处在同一水平线上，如图所示. 该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED）,在F处观测旗杆顶A 的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82,tan84.3○≈10.02）（4）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30√2km至B港，然后沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A,C两港之间的距离为：_____（5）如图，水坝的横断面是梯形ABCD，背水坡AB的坡角∠BAD=60°,坡长AB=20米,为增强水坝强度,将坡底从A处向后水平延伸到E处,使新的背水坡的坡度为1:2,求AE 的长度.(结果精确到1米,参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732).。
等腰三角形的性质定理
教学设计教学环节（注明教师活学生活设计意个环节设的时间让学生一设置问题情过欣赏让学生观察生活（投影显示学生在实际丽的图片这些图片中抽的一些美丽的图片境中进入对感受几出哪种平面几何图形形的研究与图形在人字型衣架（金字塔、斜拉桥活中的顶的）泛应用、共同回忆等腰三角形、等腰直角2 画图给出等腰三角形三角形的概念，学生在小中的有关概念并给出几何语言学已经初并剪、把一张长方形的纸片对折，3步了解过得到一个等下一部分使它展开后，，等腰三角腰三角形形，一起回忆，体会到在剪裁过程中学生会出现多种方式，学生动手操数学学习要给予展示作，的连续性，对折--分析—在同一问剪裁题的不断学生独立深入探讨二、猜想与探究思考回答出对思深化中通过我们得到等腰三角形的过程，1、折后重合的线维品质你对这种图形有什么新的认识？段和角通过对折的学生回答过程中，教师板书之后继续让学过程学生不如果学生有困难可以继续引导学生生带着问题2开难发现是轴从边和角的方面去发现展讨论，分组讨对称图形 2、观察折痕的作用论，采用“中心在此过程中教师要关注到学生是否学生在此过发言人”制，综能用规范清晰的数学语言表达自己程中发展自述表达小组同的猜想，主探究的品学的观点质和对学习活动的强烈．的参与意识三、作图与证、两底角相性条件和结论分别是什么引导学生用数学符号规范的写出学生作的语言转知条件，和证明过程图，写出已知求证换能力，对在此性质证明过程中发现所做辅助及证明过几从而为性质二的顺线和折痕的关系，何语言程的应利推导做好铺垫用更规范性，2性质、三线合一学生亲自验在此环节中，教师要关注证了猜想，1、学生几何语言的规范性学生的应用意识和模仿能力认识到性质的正确性，提高了演绎推理能力四、整体认知让学生体三角形三边长度的变化投影展示学生通过观察会到事物三角当三边不同时，引起角的变化，思图形的变化，当有两边相等即等腰三角形不相等，考边与角之间之间的内当三边相等时三个角时两个角相等，的关系在联系。
八年级数学上第17章特殊三角形提分专项构造等腰三角形的常见辅助线作法课冀教
解：方法1：(截长法)如图，在CD上取点E，使DE＝BD， 连接AE，则CE＝AB. ∵AD⊥BC，DE＝BD，∴AB＝AE＝CE， ∴∠B＝∠AED，∠C＝∠CAE， ∴∠AED＝∠C＋∠EAC＝2∠C，∴∠B＝2∠C. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝3∠C＝180°－∠BAC＝ 180°－120°＝60°，∴∠C＝20°.
方法2：(补短法)如图，延长DB至点F，使BF＝AB，连接AF，
则AB＋BD＝DF＝CD，∠F＝∠BAF＝ 12∠ABC. 又∵AD⊥BC，∴AF＝AC，∴∠C＝∠F＝ 1∠ABC.
2 ∵∠BAC＝120°，
∴∠ABC＋∠C＝ 32∠ABC＝180°－∠BAC＝180°－120°＝ 60°，∴∠ABC＝40°，∴∠C＝20°.
在△ADG和△ADC中， ADGG＝＝ADCC，， AD＝AD， ∴△ADG≌△ADC，
∴∠DAG＝∠DAC，即AD平分∠BAC.
提分专项 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月11日星期五2022/3/112022/3/112022/3/11
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/112022/3/112022/3/113/11/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/112022/3/11March 11, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/112022/3/112022/3/112022/3/11
请补全小天提出的辅助线的画法，并在图①中画出相应的辅 助线． 解：画出辅助线如图①所示．
2022秋八年级数学上册第十七章特殊三角形17.1等腰三角形1等腰三角形的性质授课课件新版冀教版
BC AC,
在△PCB和△ECA中，∵
BCP
ACE
,
P C E C ,
∴△PCB≌△ECA（SAS）. ∴∠ABC＝∠CAE，
∴∠ACB＝∠CAE，∴AE∥BC.
知4－练
2 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，
△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；
②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数
总结
知2－讲
证明两条线段相等时，通常利用全等三角形来 证，此种方法先观察要证明相等的两个角分别属于 哪两个三角形，设法证明这两个三角形全等，最后 根据全等三角形的对应边相等可得结论.
知2－练
1 [中考·宿迁]如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥ BC. 求证：∠C＝2∠D.
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABD＋∠CBD＝2∠D， 即∠ABC＝2∠D.∴∠C＝2∠D.
为( A )
A．3 B．2 C．1
D．0
等腰三角形中求角的度数的“三种方法” (1)利用等边对等角得相等的角. (2)利用三角形外角等于与其不相邻的两内角之和导出
各角之间的关系. (3)利用三角形内角和定理列方程.
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂
AB AC(已知)，
∵ 12(角平分线的概念)，
AD AD(公共边)，
∴△ABD≌△ACF(SAS). ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等).
归纳
知2－导
等腰三角形的两个底角相等.(简称“等边对等角”)
知2－讲
例2 已知：如图，在△ABC中， AB = AC，BD，CE
冀教版数学八上17.(等腰三角形的判定)课件
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、
∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( A )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
当堂检测
3.在如图所示的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等 腰三角形的是( D )
第十七章 特殊三角形
17.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
学习目标
1 理解并掌握等腰、等边三角形的判定方法；（重点） 2 运用等腰、等边三角形的判定方法进行证明和计算；（难点） 3 会利用尺规作图完成：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；
（重点）
新课导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测 得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出 事地点（不考虑风浪因素）？
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
当堂检测
4.由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种 衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图1，衣架杆 OA=OB=18 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之 间的距离是__1_8____cm.
A
B
C
新课导入
建立数学模型：
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什
么数量关系?
AB=AC
A
你能验证你的结论吗？
B
C
知识讲授
等腰三角形的判定
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C. 求证：AB=AC 证明：作∠A的平分线，交BC于点D.
冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 目标二 等腰三角形的“三线合一”性质
证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC. ∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∴∠C＝∠BAD.
(2)求证：AC＝EF.
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB. ∴∠B＝∠EAF. 又∵BA＝AE，∠BAC＝∠AEF＝90°， ∴△BAC≌△AEF(ASA)． ∴AC＝EF.
5 如图，在△ABE中，BA＝BE，F为AE的中点．若
∠ABC＝34°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为( )
A．60°
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B．63°
C．67°
D．70°
6 【2020·衡阳】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC 的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.
∠BED＝∠CFD， 在△BED 和△CFD 中，∠B＝∠C，
BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)．∴DE＝DF.
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
解：连接AD. 由(1)可知AD平分∠BAC.由“AAS”可证△ABD≌△ACD， ∴AB＝AC.∴AD⊥BC. ∴∠BAD＋∠B＝∠BDE＋∠B＝90°. ∴∠BAD＝∠BDE＝40°. ∴∠BAC＝2∠BAD＝80°.
7 【2019·重庆】如图，在△ABC中，AB＝AC， AD⊥BC于点D. (1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°. ∵∠C＝42°， ∴∠BAD＝∠CAD＝90°－42°＝48°.
新冀教版数学八年级上册同步练习：17.1 第1课时 等腰三角形及其性质
第十七章特殊三角形17.1第1课时等腰三角形及其性质知识点1等腰三角形的有关概念1．如图17－1－1，在△ABC中，AB＝AC，其中________和________是腰，________是底边，__________是顶角，__________和________是底角，等腰三角形是__________图形，它的对称轴是________________________．图17－1－12．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为()A．11 B．16 C．17 D．16或173．在数学课上，老师请同学们思考这样一个问题：“已知一个等腰三角形的一边长为3，周长为15，求其他两边的长．”小梅回答说：“其他两边的长分别为3，9或6，6.”你认为小梅回答的结果是否正确？答：________(填“正确”或“不正确”)，你的理由是________________________________________________________________________．4．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为________．知识点2等腰三角形的性质5．如图17－1－2，在△ABC中，AB＝AC.图17－1－2(1)∵AB＝AC，∴∠B＝________．(2)①∵AD平分∠BAC，∴BD＝________，AD⊥________；②∵BD＝CD，∴AD平分________，________⊥BC；③∵AD⊥BC，∴________平分∠BAC，________＝CD.6．2018·唐山路南区期中如图17－1－3，在△ABC中，已知AB＝AC，点D在CA的延长线上，∠DAB＝50°，则∠B的度数为()图17－1－3A．25°B．30°C．40°D．45°6．教材习题A组第1题变式如图17－1－4，已知等腰三角形ABC，AB＝AC.若以B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是()图17－1－4A．AE＝EC B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC D．∠EBC＝∠ABE8．2018·成都等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为________．9．已知在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D是边BC的中点，那么∠CAD＝________°.10．2018·吉林我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝12，则该等腰三角形的顶角为________°.知识点3等边三角形的概念及性质11．2018·湘潭如图17－1－5，在等边三角形ABC中，D是边BC的中点，则∠BAD ＝________°.图17－1－5 图17－1－612．如图17－1－6所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠BAC的度数为________．13．已知：如图17－1－7，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：∠DBE＝∠DEB.图17－1－714．2018·宿迁若实数m，n满足等式|m－2|＋n－4＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的边长，则等腰三角形ABC的周长是()A．12 B．10 C．8 D．615．2018·遵义如图17－1－8，在△ABC中．点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点．若∠CAE＝16°，则∠B为________°.图17－1－816．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是________．17．2018·绥化已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为________．18．如图17－1－9，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE＝CD，求证：AD＝BE.图17－1－919．已知：如图17－1－10，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC 于点E.求证：∠CBE＝∠BAD.图17－1－1020．2018·孝感如图17－1－11，在△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC.请你观察图形解答下列问题：(1)线段PA，PB，PC之间的数量关系是________________；(2)若∠ABC＝70°，求∠BPC的度数．图17－1－1121．在△ABC中，AB＝AC.(1)如图17－1－12①，若∠BAD＝30°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC＝________°；(2)如图②，若∠BAD＝40°，AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，则∠EDC ＝________°；(3)通过以上两题，你发现在△ABC中，若AD是BC上的高，E为AC上一点，且AD ＝AE，则∠BAD与∠EDC之间有什么数量关系？用式子表示为________；(4)如图③，如果AD不是BC上的高，E为AC上一点，且AD＝AE，是否仍有上述关系？如有，请说明理由．图17－1－12教师详解详析1．AB AC BC ∠A ∠B ∠C 轴对称 底边的垂直平分线(底边上的中线所在的直线或顶角的平分线所在的直线)2．D [解析] 当腰长为5时，周长为5＋5＋6＝16；当腰长为6时，周长为6＋6＋5＝17，所以周长为16或17.故选D.3．不正确 三角形的任意两边之和要大于第三边[解析] 当另外两条边长为3，9时，∵3＋3＜9，不能构成三角形，∴另外两条边长为3，9的说法是错误的；当另外两条边长为6，6时，6＋3＞6，能构成三角形，∴另外两条边长为6，6，不能为3，9.4．7或11 [解析] 根据题意，①当15是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝15，解得AC ＝10，所以底边长为12－12×10＝7；②当12是腰长与腰长一半的和时，AC ＋12AC ＝12，解得AC ＝8，所以底边长为15－12×8＝11.所以底边长为7或11.5．(1)∠C (2)①CD BC ②∠BAC AD ③AD BD6．A [解析] ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠DAB ＝∠B ＋∠C ＝50°，∴∠B ＝25°. 7．C [解析] ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB .∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ， ∴BE ＝BC ， ∴∠ACB ＝∠BEC ，∴∠BEC ＝∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠EBC ＝∠BAC .8．80° [解析] ∵等腰三角形的两个底角相等，∴顶角的度数为180°－50°×2＝80°. 9．50 [解析] ∵AB ＝AC ，∠B ＝40°， ∴∠C ＝∠B ＝40°.∵D 是边BC 的中点， ∴AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝50°.10．36 [解析] 根据题意，该等腰三角形的顶角与底角的度数之比为1∶2.设顶角为x °，则底角为2x °，x ＋2x ＋2x ＝180，解得x ＝36.11．30 [解析] ∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC .∵D 是BC 的中点，∴AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝30°.12．120° [解析] 因为PQ ＝AP ＝AQ ，所以△APQ 是等边三角形， 所以∠P AQ ＝∠APQ ＝∠AQP ＝60°. 因为BP ＝AP ，所以∠BAP ＝∠B . 又因为∠BAP ＋∠B ＝∠APQ ＝60°， 所以∠BAP ＝30°，同理∠QAC ＝30°，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AQ ＋∠QAC ＝120°. 13．证明： ∵△ABC 为等边三角形，D 是AC 的中点， ∴BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠DBE ＝12∠ABC ＝30°.∵CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝60°，且∠ACB 为△CDE 的外角，∴∠CDE ＋∠E ＝60°，∴∠CDE ＝∠E ＝30°，∴∠DBE ＝∠DEB .14．B [解析] ∵|m －2|＋n －4＝0，∴m －2＝0，且n －4＝0，解得m ＝2，n ＝4. 当m ＝2作腰时，三边长为2，2，4，不符合三角形的三边关系； 当n ＝4作腰时，三边长为2，4，4，符合三角形的三边关系， 周长为2＋4＋4＝10.15．37 [解析] ∵AD ＝AC ，E 为CD 的中点，∴∠DAC ＝2∠CAE ＝32°，∴∠ADC ＝12(180°－∠DAC )＝74°.∵BD ＝AD ，∴∠B ＝12∠ADC ＝37°.16．70°或110° [解析] 当等腰三角形为锐角三角形时，顶角为70°；当等腰三角形为钝角三角形时，顶角为110°.17．50°或80° [解析] 因为等腰三角形的一个外角为130°，所以该等腰三角形有一个内角为50°.当50°的角为顶角时，其他两角为65°，65°；当50°的角为底角时，其他两角为50°，80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°.18．证明：在等边三角形ABC 中，AB ＝CA ， ∠BAC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠EAB ＝∠DCA ＝120°.在△EAB 和△DCA 中，⎩⎨⎧AE ＝CD ，∠EAB ＝∠DCA ，AB ＝CA ，∴△EAB ≌△DCA (SAS)，∴AD ＝BE .19．证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD .又∵BE ⊥AC ，∴∠CBE ＋∠C ＝∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ，∴∠CBE ＝∠BAD .20．解：(1)∵AB ＝AC ，AM 平分∠BAC ，∴AD 所在直线是BC 的垂直平分线，∴PB ＝PC .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴P A ＝PB ，∴P A ＝PB ＝PC .(2)∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝70°，∴∠BAC ＝180°－2×70°＝40°.∵AM 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝20°.∵P A ＝PB ，∴∠ABP ＝∠BAP ＝20°，∴∠BPD ＝∠ABP ＋∠BAP ＝40°，同理，得∠CPD ＝40°，∴∠BPC ＝∠BPD ＋∠CPD ＝40°＋40°＝80°21．解：(1)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－30°2＝75°，∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－75°＝15°.(2)∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 上的高，∴∠ADC ＝90°，∠CAD ＝∠BAD ＝40°. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ＝180°－40°2＝70°， ∴∠EDC ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－70°＝20°.(3)∠BAD ＝2∠EDC (或∠EDC ＝12∠BAD )． (4)仍有上述关系．理由如下：∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠BAD ＋∠B ＝∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠AED ＋∠EDC ＝(∠EDC ＋∠C )＋∠EDC ＝2∠EDC ＋∠C .又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠BAD ＝2∠EDC .。
人教版八年级数学上下册课本目录
人教版八年级数学上下册课本目录在八年级数学教育中，能对学生产生直接影响的就是数学教材。
教材目录选用了什么知识呢?小编整理了关于人教版八年级数学上下册课本目录，希望对大家有帮助!人教版八年级数学上册课本目录第十一章三角形11.1 与三角形有关的线段信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和数学活动小结复习题11第十二章全等三角形12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称13.1 轴对称13.2 画轴对称图形信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.2 乘法公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解数学活动小结复习题14第十五章分式15.1 分式15.2 分式的运算阅读与思考容器中的水能倒完吧15.3 分式方程数学活动小结复习题15部分中英文词汇索引人教版八年级数学下册课本目录第十六章二次根式16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减数学活动小结复习题16第十七章勾股定理17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理数学活动小结复习题17第十八章平行四边形18.1 平行四边形18.2 特殊的平行四边形实验与探究丰富多彩的正方形数学活动小结复习题18第十九章一次函数19.1 函数阅读与思考科学家如何测算岩石的年龄19.2 一次函数信息技术应用用计算机画函数图象14.3 课题学习选择方案数学活动小结复习题19第二十章数据的分析20.1 数据的集中趋势20.2 数据的波动程度阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20部分中英文词汇索引。
冀教版八年级上册 第十七章《特殊三角形》导学案(无答案)
课题17.1等腰三角形第1课时备课教师学习目标1.理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形和等边三角形的性质.2.在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．重点等腰三角形的定义及性质难点等腰三角形的三线合一一、预习案1.全等三角形的5种判定方法。
2.有两边相等的三角形叫，相等的两边叫，另一边叫，两腰的夹角叫，腰和底边的夹角叫(请在图中标出来）3.如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称二、探究案探究一：等腰三角形的性质。
问题一：△ABC是等腰三角形，其中，AB=AC.∠B和∠C有怎样的关系？问题二：底边上的高、中线及∠A的平分线有怎样的关系？问题解决提示：等腰三角形是轴对称图形，如果把等腰三角形沿着某条直线对折，哪些边和角是相互重合的？这说明什么？（等腰三角形的两个底角相互重合，所以两底角相等.三线互相重合）归纳等腰三角形的性质定理3.探究二：等边三角形的性质。
探究活动：中，如果AB=BC=AC。
那么∠A=∠B=∠C.提示：等边三角形是等腰三角形的一种特殊形式，它具有等腰三角形所有的性质，因此可以从等腰三角形的性质定理入手。
归纳：三、训练案(1）在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝40°则∠C＝；若∠B＝72°，则∠A＝.（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，M是BC的中点，那么∠AMC＝，∠BAM＝.（3）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的外角。
∠BAC＝180°－∠B，∠B＝（）∠DAC＝∠C（4）如图，在△ABC中，AB＝AC，外角∠DCA＝100°，则∠B＝度.（5）如图①∵AB=BC∴= (等边对等角)②∵AB=BC，AD是角平分线∴⊥，= （三线合一）③∵AB=BC ，AD是中线∴⊥，∠=∠（三线合一）④∵AB=BC ，AD是高∴= ，∠=∠（三线合一）三、训练案1.在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B= 。
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定课件
13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当 点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰 三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三 角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角 形有 ( D )
冀教版数学八年级上册第17章特殊三角形学案
等腰三角形的性质学习目标：1. 知道等腰三角形的有关概念，会画等腰三角形，能利用等腰三角形的性质进行有关的计算和证明.2 . 经历等腰三角形学习过程，积累数学活动经验，体会数学的基本思想.3．学会从数学角度发现问题和提出问题，获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的多样性.学习过程一 .学习准备1.已知等腰三角形的一边等于6cm，另一边等于8cm，则此三角形的周长为 .2．等腰三角形中，一个角是40°，那么它的顶角度数为 .3．等腰三角形腰为5cm，底边为6 cm，面积是 .4．证明:等腰三角形两底角相等.（用规范的格式证明）（通过上面的练习，说一说等腰三角形有那些性质）二．学习探究活动一（1）如图1在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，P点为底边的中点，PD+PE= .（2）如图2在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，你认为PD+PE是定值吗？说明理由.（3）如图3在等腰△ABC中，若P点为底边上任意一点，过C点做腰AB 上的高CF，你能发现PD，PE和CF存在什么数量关系，提出你的猜想并证明.（4）如图4，若P点在BC的延长线上，那么PD，PE和CF的数量关系又有何变化？写出你的猜想并证明.活动二如图，点O 是等边△ABC 内一点， ∠AOB= 110°,∠BOC=α，将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转得△ADC ，连接OD探究：当α为多少度时， △AOD △是等腰三角形？活动三在边长为3、4、5的直角三角形周围拼接一个直角三角形,使它们拼成一个等腰三角形,请画出图形并写出你拼成的等腰三角形的周长.3备用图三．学习反思通过今天的学习，你认为等腰三角形中常用的辅助线是什么？常用的数学方法是什么？四．学习评价1．已知等腰三角形的一边等于6cm ，另一边等于8cm ，则此等腰三角形底角的余弦值为 .2已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为（思考 ：若去掉腰长为5的条件情况又如何）ABCDO1103．已知等腰三角形一边长为20 , 且面积为120,求等腰三角形的周长.等腰三角形的判定导学活动过程教学目标：知识与能力1、了解等腰三角形的边角定义。
八年级数学上册17《特殊三角形》教材分析冀教版
第十七章特殊三角形一、设计说明1．本章的内容、地位和作用．本章的主要内容包括三大部分：第一，等腰三角形、等边三角形的性质和判定；第二，直角三角形的性质和判定，勾股定理和逆定理及其简单应用，以及判定直角三角形全等的定理；第三，反证法及其简单应用．本章知识既是三角形内容的深化和拓展，又是进一步研究特殊四边形的重要工具，同时，等腰三角形的知识在今后探索线段相等、角相等、直线的垂直关系等方面有着广泛的应用；勾股定理及其逆定理不仅是数形结合思想的完美体现，更是我们今后解决数学问题和实际问题的有力工具．因此，本章起着承上启下的桥梁作用．2．本章内容呈现方式及特点．（1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定的呈现方式，主要是通过观察与思考、操作与归纳等方法去探索和发现结论，再通过演绎推理证明结论，最后举例应用．实现了在发展学生合情推理能力的基础上，把证明作为探索活动的自然延续，较好体现了合情推理与演绎推理两种推理形式的相辅相成，实现了两种推理的有机融合．（2）勾股定理的获得，设计了观察、计算、思考、归纳、猜想的探究活动，验证猜想的过程设计为“试着做做”和“做一做”的学生自主活动，让学生体验勾股定理发现的全过程，发展学生的推理能力和创新意识；对于勾股定理的逆定理，通过学生先操作（画直角三角形），再证明（利用全等）的方式来获得．（3）在本章的尺规作图中，都增加了分析环节．使学生不仅要知道作图的步骤，而且还要了解作图的道理．（4）在反证法一节中，除介绍了反证法及证明命题的一般步骤外，还运用反证法对平行线的性质定理进行了证明，体现了本套教材在内容上的完整性．同时对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理也用反证法给出了证明，使学生从中体会反证法的价值．二、教学目标1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索等边三角形的性质定理和判定定理．2．探索并掌握直角三角形的性质定理，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．3．探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．4．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．5．会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．6．通过实例体会反证法的含义．三、教学建议数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程．所以，要紧紧抓住本章内容和呈现方式的特点，目标明确地进行教学活动．1．关于等腰三角形和直角三角形性质和判定的教学，应引导学生在独立思考和合作交流的前提下，进行观察与思考、操作与探究等活动并获得猜想，进而师生一起完成对猜想的证明，落实对合情推理和演绎推理的自然结合，实现提升学生推理意识和推理能力的目的．2．对于勾股定理的教学，教师要提供充足的时间和空间，让学生经历观察、操作、实验、猜想、验证等活动过程，使定理的发现成为学生认识活动的自然结果．3．对于证明的格式、方法和步骤，要让学生在亲身经历、体验的过程中去逐步理解和掌握，此过程切忌急于求成，更不要以教师的讲解代替学生的活动，要给学生留出充足的时间和空间去尝试、实践和总结．4．提倡思维多样化，注重培养学生清晰表达自己思维过程的能力，对学生出现的多种思路和方法，应给予充分肯定并在全班展示，使学生的求异思维和创新意识能得到及时的表现．四、课时建议17.1等腰三角形 3课时17.2直角三角形 1课时17.3勾股定理 3课时17.4直角三角形全等的判定 1课时17.5反证法 1课时回顾与反思 1课时综合与实践 2课时合计 12课时五、评价建议1．注重对知识技能的评价．既要看学生对等腰三角形和直角三角形有关知识的理解和掌握情况，又要看学生在知识获得过程中经历、体验的程度，以及对推理的理解．2．注重对数学思考的评价．数学思考更多地表现在学习活动过程之中，要看对图形的观察、操作、思考、猜想、证明中的合情、合理程度，关注从中表现出来的观察能力、操作能力、归纳概括能力和步步有据的推理论证能力．3．注重对问题解决的评价．应关注学生利用特殊三角形的知识解决问题的应用意识．4．注重对情感态度的评价．应关注学生对待学习的态度是否积极，能否从数学的角度思考问题．另外，评价要有助学生树立自信心、提高学习数学的兴趣．。
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第一课时等腰三角形及其性质课件
解析 ∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC, ∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,∴∠O+∠OED=∠O+ ∠DCE=3∠ODC=∠BDE=78°,∴∠ODC=26°, ∴∠CDE=180°-∠BDE-∠ODC=76°.
16.(2023山东威海中考改编,24,★★☆)回顾:用数学的思维思考. (1)如图1,在△ABC中,AB=AC. ①BD,CE是△ABC的角平分线,求证:BD=CE. ②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE,求证:BD=CE. 从①②两题中选择一题加以证明. 猜想:用数学的眼光观察. 经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,点D为边 AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位
2
AD⊥BC,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= 180=75°,BAD
2
∴∠EDB=90°-∠ADE=15°,故选A.
11.(2024河南新ຫໍສະໝຸດ 获嘉一中期中)如图,△ABC是等边三角形, CB=CD,若∠ABD=12°,则∠BAD的度数为 ( C )
A.10°
B.15°
C.18°
D.20°
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∵∠ABD=12°, ∴∠DBC=60°+12°=72°.∵CB=CD,∴∠BCD=180°-72°-
优质冀教版初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 教案 (1)
《等腰三角形》教学设计一、教材分析《等腰三角形》是冀教版八年级数学上册第十七章第一节内容。
是在学习了轴对称之后编排的，是轴对称知识的延伸和应用。
等腰三角形的性质及判定是探究线段相等、角相等、及两条直线互相垂直的重要工具，在教材中起着承上启下的作用。
二、学情分析学生已掌握了全等三角形的判定和轴对称知识。
八年级学生的抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具备了一定的独立思考、实验操作、合作交流和归纳概括等能力，能进行简单的推理论证。
三、教学目标知识目标：探究发现等腰三角形的性质,并对性质加以应用；能力目标：学生经历探索的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间感；情感目标：培养学生独立思考与合作交流的好习惯。
四、教学重、难点教学重点：等腰三角形性质的探究和证明。
教学难点：等腰三角形性质的证明。
五、教学方法：谈话法、讨论法、演示法六、教学环境：视频播放器、心意答教学助手、电子白板、希沃白板、几何画板七、教学过程1.情境导入（1）以有趣的小动画引出等腰三角形定义，激发学生学习兴趣。
（2）复习三角形相关概念。
____________________叫做等腰三角形。
另一条边叫做____，两腰所夹的角叫做____，底边与腰的夹角叫做____.2.动手操作把一张长方形纸片按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开.（设计意图：通过折、剪等活动，培养了动手操作能力，同时使学生积累了数学活动经验，为猜想性质做铺垫。
）提出问题：（1）剪出的三角形是等腰三角形吗？指出其中的腰、底边、顶角、底角。
（2）把剪出的等腰三角形△ABC沿折痕对折，有哪些重合的部分？并指出重合的部分是什么？（结合几何画板中折叠动画）（3）由这些重合的部分，猜想等腰三角形的性质。
等腰三角形是轴对称图形等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。
（设计意图：培养了学生的观察分析、概括总结能力和合情推理的能力。
小组合作学习，调动学生学习积极性，培养了学生的合作意识。