第四章 图形变换
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• (5)以直线y=-x为对称线的对称变换，变换后，图形 点集的x和y坐标对调，符号相反。矩阵表示为
错切变换
• 错切变换是使图形产生一个扭变。分为x和y方向的错 切变换。 示例 • 图形沿x方向的错切矩阵表示为
• 此时，图形的y坐标不变，x坐标随坐标（x y）和系数 b作线性变化。b>0，图形沿+x方向做错切；b<0,图 形沿-x方向做错切；b≠0。
错切变换
• 图形沿y方向的错切矩阵表示为
• 此时，图形的x坐标不变，y坐标随坐标（x y）和系
数d作线性变化。d>0，图形沿+y方向做错切；d<0, 图形沿-y方向做错切；d≠0。
4.2.2 二维图形的复合变换
• 实际上，图形变换中常常是相对于任意点或任意 直线变换。解决这个问题的思路是这样的：先将 任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重 合的位置），再用前述变换矩阵加以变换，最后 反向移回任意点（任意线移回原位）。可见，这 是经过平移、某种变换、再平移的多次变换构成， 而不仅仅是一种独立的变换，故而称为复合变换。 • 复合变换中，多个变换矩阵之积称为复合变换矩 阵。
• 图形整体缩放变换的齐次矩阵为
• 变换过程为
• 经过正常化处理后，有
• 式中，s为图形缩放比例系数。 • 若s>1，则整个图形缩小；若s<1，则整个图形放大。
2）三维对称变换
3）三维错切变换
4）三维平移变换
• 与二维平移变换类似，三维平移变换矩阵为：
• 其中L、M、N分别为X、Y、Z方向的平移量。
4.2二维图形几何变换
• 4.2.1二维图形基本变换
• 4.2.2二维图形复合变换
4.2.1二维图形基本变换
• 在二维空间中，图形变换矩阵可表示为：
• 其中a、b、c、d是对图形进行缩放、对称、旋转、错 切等变换；e、f是对图形进行平移变换；p、q对图形 进行透视变换；s是对图形进行整体伸缩变换。当s<1 时，图形被放大；当s>1时，图形缩小；当s=1时，图 形大小不变。即变换后的 坐标均为原坐标x，y的1/s 倍 • 二维图形的基本变换包括以下几种：平移变换、比例 变换、对称变换、旋转变换、错切变换。
比例变换
• 比例变换见右图 (1)当a = d =1时，为恒等比例变换，即图形不变； (2)当a = d 〉1时，图形沿两个坐标轴方向等比放大。 (3)当a = d < 1时，图形沿两个坐标轴方向等比缩小。 (4)当a≠d时，图形沿两个坐标轴方向进行非等比变换。 • 示例
对称变换
• 分别讨论几种不同的对称变换。 示例 • (1)以y轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x 坐标值不变，符号相反，y坐标值不变。矩阵表示为
• 其中[M]是4X4阶变换矩阵，即：
1.三维基本变换矩阵
• 此方阵可分为四部分，其中左上角部分产生比例、对称、 错切和旋转变换；左下角部分产生平移变换；右上角部 分产生透视变换；右下角部分产生全比例变换。 三维图形的基本变换有：三维比例变换、三维对称 变换、三维错切变换、三维平移变换、三维旋转变换。
被称为变换矩阵。变换矩阵为点的变换提供了工具。 • 设变换矩阵
• 点的变换 • 将点的坐标[x y]与变换矩阵[M]相乘，变换后点
的坐标记作[x′ y′]。则：
• 即： • 可见，新点的位置取决于变量A、B、C、D的值。
• 在系统中，几何图形是最基本的元素。图形由图形的 顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和 线的表达模型所决定。图形的几何变换，归根结底是 点的坐标变换。
• 1.图形相对于任意点作旋转变换 • 例：求三角形以点（4,6）为中心逆时针旋转 30°的组合变换矩阵 示例 • 由此可知，相对于（e,f）点作旋转变换，由以下 三个矩阵相乘来实现：
• [T]称为组合变换矩阵。
• 图形相对于任意点作比例变换与旋转变换相似。 相对于（e,f）点作比例变换，由以下三个矩阵相 乘来实现：
•
对于平面上的点，有如下齐次变换矩阵：
• 其中(x,y)为变换之前的点坐标，( 坐标，T为变换矩阵。
)为变换以后的点
• 对于由多个点、线、面组成的二维、三维图形， 有： • 式中：V--变换以前图形的顶点坐标矩阵； • --变换以后图形的顶点坐标矩阵； • T--图形变换矩阵。 • 对于二维图形，T是3*3阶齐次矩阵；对于三维 图形，T是4*4阶齐次矩阵。图形变换的主要工作 就是求解变换矩阵T。
• 齐次坐标旋转变换为
xuanzhuan1.swf
比例变换
• 比例变换以原点为中心使用比例因子乘以图形的点 集，使图形放大或缩小的变换。点的比例变换的数 学表达式为： • =ax a≠0 =ey e≠0 • 齐次坐标比例变换为
x
*
y* 1 x
a 0 0 y 10 d 0 ax dy 1 0 0 1
二维复合变换小结
• 1.图形相对于任意点作旋转变换 示例 • 思考：图形相对于任意点的比例变换如 何实现？ • 2. 图形对于任一条过原点的直线y=ax对称
•
思考：图形对于任一条过原点的直线 y=ax+b对称 示例
• 3.已知图1所示的五角星的10个顶点坐标为
x , y ）…（x , y ）。现要使 （x , y）、（x , y ）、（ 该五角星的中心沿 (x 3)2 ( y 4)2 36 的圆运动， 且运动中，五角星的一条对称轴线AB始终 通过该圆的圆心，试推导实现该运动过程的 坐标变换矩阵。
第四章 图形变换
杨化动
本章教学要求
• 了解：
• 1.矢量和矩阵； • 2.二维和三维图形变换的类型及运算规则； • 3.坐标系和图形程序库； • 4.投影、窗口和视区。
• 重点：
• 二维和三维图形的几何变换及其复合变换方法
本章教学内容
• 4.1图形变换的基本原理
• 4.2二维图形几何变换 • 4.3三维图形几何变换 • 4.4投影变换 • 4.5计算机图形处理的相关技术
• 2.图形对于任一条线y=ax+b对称 示例 • 由5种变换组合而成 • （1）将直线y=ax+b沿着y轴平移-b,使直线通过坐标 原点，方程变为y=ax，变换矩阵为
1 0 0 0 1 0 0 b 1
• （2）将直线y=ax旋转θ角，使其与x轴重合，变换 矩阵为：
4.1图形变换的基本原理
• 点的表示
•
• •
在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标(x,y) 来表示，写成矩阵形式则为： 或
表示点的矩阵通常被称为点的位置向量，以下将 采用行向量表示一个点。如有三角形的三个顶点坐标 a(x1, y1), b(x2, y2), c(x3,y3),用矩阵表示则记为：
• 变换矩阵 • 若[A]、[B]、[M]都是矩阵，且[A][M]=[B]，则[M]
平移变换
• 平移是将图形中的每一个点进行移动。若将一个点
（x,y）沿水平方向移动c单位，平移到一个新位置 （ ），数学表达式为 • 如果c是正值，则点向右移动，如果是负值，则向左 移动； • 同理，如果f是正值，则点向上移动，如果f是负值， 则向下移动。
平移变换
示例
旋转变换
• 旋转变换是将图形绕一固定点顺时针或逆时针方向进 行旋转。规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。 下面讨论图形绕原点沿逆时针方向旋转θ角的旋转变 换。如果点（x,y）沿逆时针旋转θ角，变换后的点 （ , ）的数学表达式为： 示例
5）三维旋转变换
• 二维变换中，图形绕原点旋转的变换实际上是X0Y平 面图形绕Z轴旋转的变换。三维旋转变换应按绕不同 轴线旋转分别处理。同样的，θ旋转角逆时针转动为 正，顺时针转动为负。 • 绕Z轴旋转的变换矩阵
• 绕X轴旋转的变换矩阵
• 绕Y轴旋转的变换矩阵
4.5.3窗口与视区
1 1
2
2
3
3
10
10
AБайду номын сангаас
y
B
x
4.3三维图形几何变换
• 4.3.1 三维图形基本几何变换 • 4.3.2 三维图形复合变换
4.3.1三维图形基本几何变换
• 1.三维基本变换矩阵
• 和二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图 形进行各种几何变换。对三维空间的点如（x，y， z），可用齐次坐标表示为（x，y，z，1），或（X， Y，Z，H），因此，三维空间里的点的变换可写为
arctga
• （5）方向平移，恢复直线y=ax+b
1 0 0 0 1 0 0 b 1
• 思考题： • 1.已知三角形的三个顶点坐标为（10,20）、（20,20） 及（15,30），要求此三角形以点（15,25）为中心， 作二维比例变换，x方向的比例因子为3，y方向的比 例因子为2，试求此变换矩阵及变换之后的新三角形 的顶点坐标。 • 2.试求图形关于直线Ax+By+C=0对称的变换矩阵。
4.1图形变换的基本原理
• 图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。 除图形的位置变动外，还可以将图形放大或缩小，甚 至对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形。
• 图形是点的集合
• 在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之 间的连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上 就是对一系列点进行变换。
• (2)以x轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x 坐标值不变，y坐标值不变,符号相反。矩阵表示为
对称变换
• (3)以原点为对称的对称变换，变换后，图形点集的x 和y坐标值不变，符号均相反。矩阵表示为
• (4)以直线y=x为对称线的对称变换，变换后，图形
点集的x和y坐标对调。矩阵表示为
对称变换
2.三维图形的基本变换
• 1）三维比例变换
• 比例变换有沿各坐标轴分别调节每个坐标方向上的大小 与对于整体图形进行缩放的两种变换形式。沿每个坐标 轴方向分别调节各坐标大小的比例变换齐次矩阵为
• 变换方程为 • 其中， 分别为沿x,y,z坐标轴方向的变化系数，可取 任意值。
•
下图为对一三棱锥分别实行局部比例变换(X方向 放大1倍；Y方向缩小1倍；Z方向比例不变)和全比例放 大1倍的变换。
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
arctga
（3）关于x轴对称变换，变换矩阵为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
（4）方向旋转，恢复直线y=ax，变换矩阵为：
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1
错切变换
• 错切变换是使图形产生一个扭变。分为x和y方向的错 切变换。 示例 • 图形沿x方向的错切矩阵表示为
• 此时，图形的y坐标不变，x坐标随坐标（x y）和系数 b作线性变化。b>0，图形沿+x方向做错切；b<0,图 形沿-x方向做错切；b≠0。
错切变换
• 图形沿y方向的错切矩阵表示为
• 此时，图形的x坐标不变，y坐标随坐标（x y）和系
数d作线性变化。d>0，图形沿+y方向做错切；d<0, 图形沿-y方向做错切；d≠0。
4.2.2 二维图形的复合变换
• 实际上，图形变换中常常是相对于任意点或任意 直线变换。解决这个问题的思路是这样的：先将 任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重 合的位置），再用前述变换矩阵加以变换，最后 反向移回任意点（任意线移回原位）。可见，这 是经过平移、某种变换、再平移的多次变换构成， 而不仅仅是一种独立的变换，故而称为复合变换。 • 复合变换中，多个变换矩阵之积称为复合变换矩 阵。
• 图形整体缩放变换的齐次矩阵为
• 变换过程为
• 经过正常化处理后，有
• 式中，s为图形缩放比例系数。 • 若s>1，则整个图形缩小；若s<1，则整个图形放大。
2）三维对称变换
3）三维错切变换
4）三维平移变换
• 与二维平移变换类似，三维平移变换矩阵为：
• 其中L、M、N分别为X、Y、Z方向的平移量。
4.2二维图形几何变换
• 4.2.1二维图形基本变换
• 4.2.2二维图形复合变换
4.2.1二维图形基本变换
• 在二维空间中，图形变换矩阵可表示为：
• 其中a、b、c、d是对图形进行缩放、对称、旋转、错 切等变换；e、f是对图形进行平移变换；p、q对图形 进行透视变换；s是对图形进行整体伸缩变换。当s<1 时，图形被放大；当s>1时，图形缩小；当s=1时，图 形大小不变。即变换后的 坐标均为原坐标x，y的1/s 倍 • 二维图形的基本变换包括以下几种：平移变换、比例 变换、对称变换、旋转变换、错切变换。
比例变换
• 比例变换见右图 (1)当a = d =1时，为恒等比例变换，即图形不变； (2)当a = d 〉1时，图形沿两个坐标轴方向等比放大。 (3)当a = d < 1时，图形沿两个坐标轴方向等比缩小。 (4)当a≠d时，图形沿两个坐标轴方向进行非等比变换。 • 示例
对称变换
• 分别讨论几种不同的对称变换。 示例 • (1)以y轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x 坐标值不变，符号相反，y坐标值不变。矩阵表示为
• 其中[M]是4X4阶变换矩阵，即：
1.三维基本变换矩阵
• 此方阵可分为四部分，其中左上角部分产生比例、对称、 错切和旋转变换；左下角部分产生平移变换；右上角部 分产生透视变换；右下角部分产生全比例变换。 三维图形的基本变换有：三维比例变换、三维对称 变换、三维错切变换、三维平移变换、三维旋转变换。
被称为变换矩阵。变换矩阵为点的变换提供了工具。 • 设变换矩阵
• 点的变换 • 将点的坐标[x y]与变换矩阵[M]相乘，变换后点
的坐标记作[x′ y′]。则：
• 即： • 可见，新点的位置取决于变量A、B、C、D的值。
• 在系统中，几何图形是最基本的元素。图形由图形的 顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和 线的表达模型所决定。图形的几何变换，归根结底是 点的坐标变换。
• 1.图形相对于任意点作旋转变换 • 例：求三角形以点（4,6）为中心逆时针旋转 30°的组合变换矩阵 示例 • 由此可知，相对于（e,f）点作旋转变换，由以下 三个矩阵相乘来实现：
• [T]称为组合变换矩阵。
• 图形相对于任意点作比例变换与旋转变换相似。 相对于（e,f）点作比例变换，由以下三个矩阵相 乘来实现：
•
对于平面上的点，有如下齐次变换矩阵：
• 其中(x,y)为变换之前的点坐标，( 坐标，T为变换矩阵。
)为变换以后的点
• 对于由多个点、线、面组成的二维、三维图形， 有： • 式中：V--变换以前图形的顶点坐标矩阵； • --变换以后图形的顶点坐标矩阵； • T--图形变换矩阵。 • 对于二维图形，T是3*3阶齐次矩阵；对于三维 图形，T是4*4阶齐次矩阵。图形变换的主要工作 就是求解变换矩阵T。
• 齐次坐标旋转变换为
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比例变换
• 比例变换以原点为中心使用比例因子乘以图形的点 集，使图形放大或缩小的变换。点的比例变换的数 学表达式为： • =ax a≠0 =ey e≠0 • 齐次坐标比例变换为
x
*
y* 1 x
a 0 0 y 10 d 0 ax dy 1 0 0 1
二维复合变换小结
• 1.图形相对于任意点作旋转变换 示例 • 思考：图形相对于任意点的比例变换如 何实现？ • 2. 图形对于任一条过原点的直线y=ax对称
•
思考：图形对于任一条过原点的直线 y=ax+b对称 示例
• 3.已知图1所示的五角星的10个顶点坐标为
x , y ）…（x , y ）。现要使 （x , y）、（x , y ）、（ 该五角星的中心沿 (x 3)2 ( y 4)2 36 的圆运动， 且运动中，五角星的一条对称轴线AB始终 通过该圆的圆心，试推导实现该运动过程的 坐标变换矩阵。
第四章 图形变换
杨化动
本章教学要求
• 了解：
• 1.矢量和矩阵； • 2.二维和三维图形变换的类型及运算规则； • 3.坐标系和图形程序库； • 4.投影、窗口和视区。
• 重点：
• 二维和三维图形的几何变换及其复合变换方法
本章教学内容
• 4.1图形变换的基本原理
• 4.2二维图形几何变换 • 4.3三维图形几何变换 • 4.4投影变换 • 4.5计算机图形处理的相关技术
• 2.图形对于任一条线y=ax+b对称 示例 • 由5种变换组合而成 • （1）将直线y=ax+b沿着y轴平移-b,使直线通过坐标 原点，方程变为y=ax，变换矩阵为
1 0 0 0 1 0 0 b 1
• （2）将直线y=ax旋转θ角，使其与x轴重合，变换 矩阵为：
4.1图形变换的基本原理
• 点的表示
•
• •
在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标(x,y) 来表示，写成矩阵形式则为： 或
表示点的矩阵通常被称为点的位置向量，以下将 采用行向量表示一个点。如有三角形的三个顶点坐标 a(x1, y1), b(x2, y2), c(x3,y3),用矩阵表示则记为：
• 变换矩阵 • 若[A]、[B]、[M]都是矩阵，且[A][M]=[B]，则[M]
平移变换
• 平移是将图形中的每一个点进行移动。若将一个点
（x,y）沿水平方向移动c单位，平移到一个新位置 （ ），数学表达式为 • 如果c是正值，则点向右移动，如果是负值，则向左 移动； • 同理，如果f是正值，则点向上移动，如果f是负值， 则向下移动。
平移变换
示例
旋转变换
• 旋转变换是将图形绕一固定点顺时针或逆时针方向进 行旋转。规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。 下面讨论图形绕原点沿逆时针方向旋转θ角的旋转变 换。如果点（x,y）沿逆时针旋转θ角，变换后的点 （ , ）的数学表达式为： 示例
5）三维旋转变换
• 二维变换中，图形绕原点旋转的变换实际上是X0Y平 面图形绕Z轴旋转的变换。三维旋转变换应按绕不同 轴线旋转分别处理。同样的，θ旋转角逆时针转动为 正，顺时针转动为负。 • 绕Z轴旋转的变换矩阵
• 绕X轴旋转的变换矩阵
• 绕Y轴旋转的变换矩阵
4.5.3窗口与视区
1 1
2
2
3
3
10
10
AБайду номын сангаас
y
B
x
4.3三维图形几何变换
• 4.3.1 三维图形基本几何变换 • 4.3.2 三维图形复合变换
4.3.1三维图形基本几何变换
• 1.三维基本变换矩阵
• 和二维图形一样，用适当的变换矩阵也可以对三维图 形进行各种几何变换。对三维空间的点如（x，y， z），可用齐次坐标表示为（x，y，z，1），或（X， Y，Z，H），因此，三维空间里的点的变换可写为
arctga
• （5）方向平移，恢复直线y=ax+b
1 0 0 0 1 0 0 b 1
• 思考题： • 1.已知三角形的三个顶点坐标为（10,20）、（20,20） 及（15,30），要求此三角形以点（15,25）为中心， 作二维比例变换，x方向的比例因子为3，y方向的比 例因子为2，试求此变换矩阵及变换之后的新三角形 的顶点坐标。 • 2.试求图形关于直线Ax+By+C=0对称的变换矩阵。
4.1图形变换的基本原理
• 图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变 换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。 除图形的位置变动外，还可以将图形放大或缩小，甚 至对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形。
• 图形是点的集合
• 在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之 间的连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上 就是对一系列点进行变换。
• (2)以x轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x 坐标值不变，y坐标值不变,符号相反。矩阵表示为
对称变换
• (3)以原点为对称的对称变换，变换后，图形点集的x 和y坐标值不变，符号均相反。矩阵表示为
• (4)以直线y=x为对称线的对称变换，变换后，图形
点集的x和y坐标对调。矩阵表示为
对称变换
2.三维图形的基本变换
• 1）三维比例变换
• 比例变换有沿各坐标轴分别调节每个坐标方向上的大小 与对于整体图形进行缩放的两种变换形式。沿每个坐标 轴方向分别调节各坐标大小的比例变换齐次矩阵为
• 变换方程为 • 其中， 分别为沿x,y,z坐标轴方向的变化系数，可取 任意值。
•
下图为对一三棱锥分别实行局部比例变换(X方向 放大1倍；Y方向缩小1倍；Z方向比例不变)和全比例放 大1倍的变换。
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
arctga
（3）关于x轴对称变换，变换矩阵为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
（4）方向旋转，恢复直线y=ax，变换矩阵为：
cos sin 0 sin cos 0 0 0 1