初二数学经典题练习及答案

A P

C

D

B

初二数学经典题型练习

1．已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150

．求证：△PBC 是正三角形．

证明如下。

首先，PA=PD ，∠PAD=∠PDA=（180°-150°）÷2=15°，∠PAB=90°-15°=75°。

在正方形ABCD 之外以AD 为底边作正三角形ADQ ， 连接PQ ， 则

∠PDQ=60°+15°=75°，同样∠PAQ=75°，又AQ=DQ,，PA=PD ，所以△PAQ ≌△PDQ ， 那么∠PQA=∠PQD=60°÷2=30°，在△PQA 中，

∠APQ=180°-30°-75°=75°=∠PAQ=∠PAB ，于是PQ=AQ=AB ， 显然△PAQ ≌△PAB ，得∠PBA=∠PQA=30°，

PB=PQ=AB=BC ，∠PBC=90°-30°=60°，所以△PBC 是正三角形。

2.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、

F ．求证：∠DEN ＝∠F ．

证明:连接AC,并取AC 的中点G,连接GF,GM.

又点N 为CD 的中点,则GN=AD/2;GN ∥AD,∠GNM=∠DEM;(1) 同理:GM=BC/2;GM ∥BC,∠GMN=∠CFN;(2)

又AD=BC,则:GN=GM,∠GNM=∠GMN.故:∠DEM=∠CFN.

3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

证明：分别过E 、C 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别为M 、O 、N ， 在梯形MEFN 中，WE 平行NF 因为P 为EF 中点，PQ 平行于两底

F

所以PQ 为梯形MEFN 中位线， 所以PQ ＝（ME ＋NF ）/2

又因为，角0CB ＋角OBC ＝90°＝角NBF ＋角CBO 所以角OCB=角NBF 而角C0B ＝角Rt ＝角BNF CB=BF

所以△OCB 全等于△NBF △MEA 全等于△OAC （同理） 所以EM ＝AO ，0B ＝NF 所以PQ=AB/2.

4、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．

过点P 作DA 的平行线，过点A 作DP 的平行线，两者相交于点E ；连接BE

因为DP2a3a 个圆柱形容器的容积为V 立方米，

根水管各自注水的速度。

解：设小水管进水速度为x ，则大水管进水速度为4x 。

由题意得：t x v x v =+82 解之得：t v

x 85=

经检验得：t

v

x 85=是原方程解。

∴小口径水管速度为t v 85，大口径水管速度为t

v

25。

7．如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1-），且P （1-，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果

存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ 周长的最小值．

解：（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得1

2

k =，所以正比例函数解

析式为1

2

y x =

同样可得，反比例函数解析式为2y x

= （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2

Q m m ，， 于是21

111

2224

OBQ S OB BQ m m m △=?创=， 而1

(1)(2)12

OAP S △=-?=， 所以有，

2

114

m =，解得2m =± 所以点Q 的坐标为1(21)Q ，

和2(21)Q ，-- （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ，

而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值．

因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2

()Q n n

，， 由勾股定理可得2

2

2

242()4OQ n n n n

=+=-+， 所以当22()0n n

-=即2

0n n -=时，2OQ 有最小值4，

又因为OQ 为正值，所以OQ 与2

OQ 同时取得最小值，

图

图

所以OQ有最小值2．

由勾股定理得OP

OPCQ周长的最小值是

8.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且

PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

解：（1）证法一：

①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.

∵ PC=PC，

∴△PBC≌△PDC（SAS）.

∴PB= PD，∠PBC=∠PDC.

又∵PB= PE ，

∴PE=PD.

②（i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，

∵ PB=PE，

∴∠PBE=∠PEB，

∴∠PEB=∠PDC，

∴∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，

∴PE⊥PD. ）

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.A

B C

D

P

E

1

2

H