数理方程练习题.

2
20
00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==⎧-=∈⨯∞⎪⎨==∈⎪⎩R R
的解.
解由定理3.1得
22222((1u(x, tcos 221
cos sin x at
x at
x at x at d a x a t x at
a
ξξ+-++-=+=++⎰
数理方程练习题一(2009研
1.设(,u u x y =,求二阶线性方程
20u
x y
∂=∂∂的一般解。
解先把所给方程改写为
(0u
x y
∂∂=∂∂ 2分两边对x积分,得
(0((u u
dx dx y y y x y
ϕϕ∂∂∂==+=∂∂∂⎰⎰ 4分这里, (y ϕ是任意函数。再两边对y积分,得方程的一般解为y
例2求解Cauchy问题
200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==⎧-=∈⨯∞⎪
≥⎧⎨
==⎨⎪<⎩⎩
R
解由公式错误!未找到引用源。得
[]00(
0(
2cos (011(,((cos (0
22(01
cos 22cos sin cos (1cos (sin(2x at
解先以分离变数形式的试探解(,((u x t X x T t =代入(0.0.1的方程和边界条件得
20
0T a T t λ''+=> (0.0.2
及
00((0(0
X X x l S L X X l λ''+=<<⎧-⎨
''==⎩
解(S-L得其特征值为
2
0,1,2,n n n l πλ⎛⎫== ⎪
⎝⎭
x
e xe e dx
i d
F xe F f
d
λλ
λ
λλλ
+∞
+∞
----
-∞
-∞
-
⎧⎫
=+⎬
⎭
⎡⎤
==-
⎣⎦
⎰
显然(
F f满足如下的常微分方程的Cauchy问题
2
(
(
2
((0x
dF f
F f
d
F f e dx
λ
λ
+∞
-
⎧
=-
⎪
⎪
⎨
⎪==
⎪⎩
⎰
解之得
2
2
4
((((
x
F e F f
λ
λλ-
-==
例4||
例2研究细杆导热问题。初始时刻杆的一端温度为零度,另一端温度为u 0,杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,另一端跟外界绝热。试求细杆上温度的变化。
解杆上温度(,u x t满足下面的初边值问题
220
00,0((,00(0,(,00
t xx x u a u x l t a k x u x u x l l u t u l t t ρ⎧-=<<>=⎪
g x A x
-
+
⎛⎫
=∏-
⎪
⎝⎭
,由性质5及例2得
((
2
22
(
2
a b
i
b c b c
a b
F g x AF x Ae F x
λ
+
-
--
⎡⎤⎛⎫
+
⎛⎫
=∏-=∏
⎪
⎢⎥
⎪
⎝⎭
⎣⎦⎝⎭
2
sin 2a b i b a λ
λ
λ
+--=
例6 2
(Ax p x e
-=(A>0
解设2
1(x p x e -=,
则1(p x p =由性质6与例3有
x r x r y x x y x x y r x y r x r xr r ψξηθθθθθθθθθθθθθ=++++=+++++++++++而
2022
20220
cos 0
cos cos (cos sin cos (cos sin 0d d d d π
π
π
π
θθθθπ
θθθθπ
θθθθ==+=+=⎰⎰⎰⎰
ϕξξξ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
⎰⎰ (0.0.7
由
01
(,0cos (t n an n u x B B x x l l π
πψ∞⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
∑两边乘((cos
0,1,2,n n x
X x n l
π==并从0到l积分得
00
01
2((cos 1,2,l
l
n n B d A d n l an l πψξξ
⎝⎭
(0.0.11
相应的特征函数为
(21(sin 1,2,2n n X x x n l
π
-⎛⎫==
⎪⎝⎭
(0.0.12
将特征值为(0.0.11代入(0.0.10解得2
(212(1,2,n a t
l n n T t A e
n π-⎛⎫
- ⎪⎝⎭
== (0.0.13
从而一般解u(x,t为
2
(2121
(21(,sin 2n a t
ψξξξπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
⎰⎰ (0.0.8答案(0.0.6中的00A B t +描写杆的整体移动,其余部分才真正描写杆的纵振动.从(0.0.7、(0.0.8知道A 0与B 0分别等于平均初始位移和平均初始速度。由于不受外力作用,
杆以不变的速度B 0移动。解(0.0.6正是傅里叶余弦级数。这是在x=0和l=0处的第二类齐次边界条件决定的。
2
1(((((((Ax F e F p x F p λλλ-==
2
241(((x A F p x F e λ
--===
特别地,取1
2A =得2
2
2
2(x F e e λλ--
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭
。例7设22
((a F f e λλ-=,求1(((F F f x -
解设2
1((F f e λλ-=,则1((((F f F f λλ=,应用性质7,5与例3有
⎪
=≤≤⎨⎪
==≥⎪⎩ (0.0.9
先以分离变数形式的试探解(,((
u x t X x T t =代入初边值问题(0.0.9的方程及边界条件得
20
0T a T t λ''+=> (0.0.10
及
00((0(0
X X x l S L X X l λ''+=<<⎧-⎨
'==⎩
解(S-L得其特征值为
2
(211,2,2n n n l πλ-⎛⎫== ⎪
⎪+≤⎪⎩+⎧⎪
=+-+-++⎨⎰⎰⎰⎰⎰⎰①②
③⎪⎩
解u(x, t在不同区域上的表达式见下图。
图3.8
例3解在半无界问题
20000(,(0,sin (00
(0tt xx t t t x u a u x t u x u x x u t +===⎧+=∈⨯∞⎪⎪
==≤≤∞⎨⎪
=≥⎪⎩R
解易知定理3.5的条件满足,从而
⎛⎫=++
+ ⎪
⎝
⎭∑ (0.0.6
适当选取(0.0.6中的系数是他满足初始条件,及令
01
(,0cos
(n n u x A A x x l
π
ϕ∞
=+=∑两边乘((cos
0,1,2,n n x X x n l
π==并从0到l积分得
00
01
2((cos 1,2,l
l
n n A d A d n l l l πϕξξ
- ⎪⎝⎭
--⎛⎫=
⎪⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦∑
(0.0.16应当着重指出:如果考虑早先的时刻即考虑t<0,则2
(2
12n a t
l e
π-⎛⎫- ⎪⎝⎭
随n的增大而急剧增大,
从而级数解(0.0.16发散1,成为无意义。这是可以理解的,因为杆上温度分布总是趋于某种
平衡状态,而且只要边界条件相同,不管初始温度分布是怎样的,总是趋于同一平衡状态,所以从某个时刻的温度分布可以推算以后时刻的温度分布,却不能反推早先时刻的温度分布。这是输运过程不同于振动过程的地方。
((((u
u dy y dy f x f x g y y
ϕ∂==+=+∂⎰
⎰ 6分这里,(,(f x g y是任意两个一次可微函数。2.设
u f =满足Laplace方程
222
2
0u u x y ∂∂∂∂+
=
求函数u.
解
: ,.r x r y r x r x r ∂∂===∂∂ ''(,(.u x u y f r f r x r y r
(0.0.3
相应的特征函数为
(cos
0,1,2,n n x X x n l
π== (0.0.4
将特征值为(0.0.3代入(0.0.2解得
000(0
(cos sin 1,2,n n n T t A B t
n n a n a
T t A t B t n l l ππ=+==+=
(0.0.5于是得到本征振动
x at
x at
x at x at x at
x a t t x a t d x at u x t x at x at d d x at x at a d x at d d a x at x x at at x x at a at ττξξξξξξτξξτ+-+-
+-+---⎧-≥⎪⎪⎪⎪
=++-++-≤≤+⎨⎪⎪
例3散热片的横截面为矩形。它的一边y=b处于较高温度V ,其他三边b=0,x=0,x=a则处于冷却介质中因而保持较低的温度v求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y即定解问题
0;0(0,,(,0(,0,(,(0x x y y u u x a y b u y v u a y v y b u x v u x b V x x a +=<<<<⎧⎪
02(21(12sin 1,2,2122l
k n u n u l A d n l l l n πξξξπ--⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎰ (0.0.15代入(0.0.14得
2
(2
1202
1
(12(ห้องสมุดไป่ตู้
21(,
s i n 2122n a k
t
l u l n u x t e x l n πππ-⎛⎫∞
((1sin (22(,((1sin (
22sin sin sin sin sin sin x at
x at
x at
at x x at x at d x at a u x t x at at x d x at a x x at
x at x x at
x at x x at
ξξξξ+-+-⎧+--+<⎪⎪=⎨+--⎪+≥⎪⎩
=
=<<⎨⎪==<<⎩
(0.0.17
解这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。由于不含初始条件,拉普拉斯方程的
边界条件不可能全是齐次的,因为这种条件下的解只能是零。但是,尽可能把一些边界条件
1
这是扩散过程不可逆的表现。
000(,0(,cos sin cos 1,2,n
n n u x t A B t
n n a n a n u x t A t B t x n l l l πππ=+=⎧⎪
⎨⎛
⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎩
所有本征振动的叠加得到一般解u(x,t,即
001(,cos sin cos n n n a n a n u x t A B t A t B t x l l l πππ∞
l n n u x t A e
x l ππ-⎛⎫∞
- ⎪⎝⎭
-⎛⎫
=
⎪⎝⎭
∑ (0.0.14
适当选取(0.0.14中的系数是他满足初始条件,及令
1
(21(,0sin (02n n u u x A x x
x l l l π∞
-⎛⎫==<< ⎪⎝⎭∑
两边乘(21sin 2n x l π-⎛⎫
⎪⎝⎭
并从0到l积分得002
x x a
≤⎧∏=⎨
>⎩
解由定义有
(a
i x i x
a
a
f x e dx e dx λλ+∞
--=
=⎰
⎰
i a i a λλ-=
例3 2
(x f x e
-=
解由定义与分部积分
2
(((i x x i x
F f f x e dx e e dx
λλ
λ
+∞+∞
---
==
⎰⎰
22
2
2
22
((
x i x x i x
例1磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆,它作纵振动.研究两端自由棒的自由纵振动,即定解问题。
200,0(,0(,(,0(0(0,(,00t t x x t x
x u a u x l t u x x u x x x l
u t u l t t ϕψ⎧-=<<>⎪
==≤≤⎨⎪==≥⎩ (0.0.1
∂∂⇒==∂∂ 3分因此有
222'''
223222
'''
223
((((u x y f r f r x r r
u y x f r f r y r r ∂=+∂∂=+∂ 3分原方程化为:'''1((0f r f r r
+= 2分故有
:1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分
例1求Cauchy问题
与
at
at =
2222
00333
112212
(((33
at
at at at at =+-=-=⎰
所以
几个函数的Fourier变换
例1 0(00
ax
e x
f x a x -⎧≥=>⎨
<⎩
解由定义有
(0
(i x
i a x
f x e dx e dx λλ+∞
+∞
--+===⎰⎰例2 1
||(0
||a x a
+<⎧=⎨+≥⎩=+⎰⎰
例1求解二维Cauchy问题
2
2220
00(,,(0,0((,tt t t t u a u x y t u u x x y x y ==⎧-∆=∈⨯∞⎪⎨==+∈⎪⎩R R
解由于
[]
22222232(,(cos (cos (sin (2(cos (cos (cos sin 2cos (cos sin cos (cos sin
(a x
f x e-
=
解设
1
(
00
ax
e x
f x
x
-
⎧≥
=⎨
<
⎩
,则
11
(((
f x f x f x
=+-,由性质1、6及例1得
112222
(((((
a i a i
F f F f x F f x
a a
λλ
λλ
-+⎫
=+-=+=⎪
++⎭
例5
(
(
A a x b
g x
≤≤
⎧
=⎨
⎩
解由于
2
(
2
b c
a b