流体力学 无量纲方程

Chapter3.2相似判据的求法

暂时考虑不可压黏性流体的运动简单情况

2

1dV F p V dt νρ

=-∇+∇r

r r

对于原型流动，考虑运动方程在z 方向的分量方程。

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2112211221

12111

111111*********z w y w x w z p g z w w y w v x w u t w ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ

以上方程反映实际流场的动力性质和过程。

模型流场，同样遵循牛顿运动定律，同样有：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2222222222

22222

222222222222222z w y w x w z p g z w w y w v x w u t w ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ

上式则反映实验流场的动力性质和过程。 将以上相似系数代入方程，则变为：

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+++--=⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+++211221122112121111111

11111112

111z w y w x w c c c z p c c g c c z w w y w v x w u c c c t w c c c l v l g l v

t

v ∂∂∂∂∂∂μ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρμρρρρ

考虑到实际流场所遵循的运动方程，只有满足：

2

2

l

v l

g l

v t

v c c c c c c c c c c c c c μρρρρ=

=

==

时，以上方程才能成立。

模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充分必要条件； 对上式稍作变换，各项同除以

l

v c c c /2ρ，最后可得：

1,1,1,12

2====ρμρc c c c c c c c c c c c c l v v

p v l g t v l

就是两流场相似时，各相似常数必须满足的关系式。 进一步可以得到：

2

2

2211112

2222111222

21121222111,,,μρμρρρu l u l u p u p l g u l g u u t l u t l ====

而它们所反映的是没有量纲（单位）的数，称为无量纲数

其中:

St

tu l

≡斯特劳哈尔数Re ≡νlu 雷诺数

Eu u p

≡∆2

ρ欧拉数Fr gl u ≡2

弗雷德数

对于所考虑的问题，只要以上四个无量纲数在两种流场中是相同的，那么原型和模型流场相似，则两方程应反映同一事实。可见，利用无量纲数作为动力相似判据，比方程分析法要简单的多。另外，对特定的流动，作为动力相似判据的无量纲数可能会更少。

例3-2-1：假定满足几何、运动相似，试求质量力仅为重力的理想流体运动的相似判据。

p F dt V d ∇-=ρ1 p g dt V d ∇-=ρ1

z p

g z w w y w v x

w u t w ∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ St tu

l ≡Fr gl u ≡2Eu u p

≡∆2ρ

Ch3.3

二、无量纲方程

在粘性流体中引进无量纲量：

U w w U v v U u u /,/,/='='='

0/ρρρ='

20/U p p ρ=')/(U L t t =' （注意：特征时间、特征压力是非独立的）

L z z L y y L x x /,/;/='='='

U u u /∆='∆20/U p p ρ∆='∆L x x /∆='∆

g w z p z w w y w v x w u t w -∇+-=+++21ν∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂

将方程中的各物理量表示为特征量与无量纲量的乘积

g

w L

U z p L U z w w L UU y w v L UU x w u L UU t w U L U -'∇'+'''-='''+'''+'''+''2

2200)1(1/ν∂∂ρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂其中，2

2

222

22

z y x '

∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'

整理后得：

22/1U gL w UL z p z w w y w v x w u t w -'∇'+'''-='''+'''+'''+''ν

∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂

定义特征无量纲数

ν/Re UL ≡gL U Fr /2

= Fr w z p z w w y w v x w u t w 1Re 112

-'∇'+'''-='''+'''+'''+''∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂

无量纲方程

g w z p z w w y w v x w u t w -∇+-=+++21ν∂∂ρ∂∂∂∂∂∂∂∂

而采用无量纲方程，具有如下优点： （1）与单位制无关；

（2）可以比较相对大小或相对重要性； （3）流场相似判据：对应的无量纲数相等。