电磁场课后习题

2
2
Az1 x
x d 2
Az 2 x
x d 2
Az2 x d Az3 x d
2
2
Az 2 x
xd 2
Az3 x
xd 2
方程通解为
Az1(x) C1x C2 Az3(x) C5x C6
Az2 (x)
0 J 0
2
x2
C3x C4
利用边界条件决定解的待定系数
C1
0 J 0d
2
C3 C4 0
磁化电流线密度为
Km Men
其 en为表面的法向方向。在圆柱的两个端面其外法线方向分别为 ez ，代入上 式可知端面上 Km 0 ，不存在磁化电流线密度。在圆柱的侧面 en e ，故侧
面上的磁化电流线密度为
Km ez e M0 e 由此可见，要求永久磁化圆柱沿轴线的磁场，就是求磁化电流线密度 Km M 0 e
z
⑵当远离圆柱时，即 z
l ，
2
a 时，可将此圆柱视为一个磁偶极子，磁
偶极矩
m ImSez M0l a2ez
它在空间中产生的磁场可用磁矩 m 表示为
B
0m 4
2 cos er
sin e
0 a 2lM 0
4r3
2 cos er
sin e
H
B
0
M
B
0
a2lM0 4r3
2 cos er
sin e
B 40I cos 45 20I
2 a
a
3-2 真空中，在 z 0 平面上的 0 x 10和 y 0 范围内，有以线密度 K 500ey A / m均匀分布的电流，求在点(0,0,5)所产生的磁场感应强度。
解： 如图所示，选择dI kdx ，视为半
无 线长直导线，它在P点产生的磁感应强度的 大小为
磁感应强度的叠加。
利用安培环路定律，半径为b 的大圆柱在空洞内P点产生的磁感应强度大小为
S B dS 0
JdS
S
2 B1＝0 J012
B1＝
0
J0 2
1
其方向用右手螺旋法则判断，它以大圆柱轴线为中心，1为半径圆环的切线方
向。对半径为 a的小圆柱，在空洞内P点所产生的磁感应强度大小为
B2＝
0
J0 2
应强度的矢量和。
J J0 ez 的无限大平板在该点产生的磁感应强度，可以利用安培环路定律求出
0 J 0d
2
ex
B1 0 J0 yex
0J0d ex
2
yd 2
d yd
2
2
yd 2
有 J J0 ez 的无限长直圆柱产生的磁感应强度，也可利用安培环路定律求出
B2
0 J 0a2
2(x2 y2
ex
所以磁场的分布为
B
0 J
2a
0
a2 y2
ex
0
a y a a y, y a
⑵这是轴对称的电流分布，可直接用安培环路定律求解。当时 a
l B dl 0
J dS
S
2 B 20J0 a3
3a
B 0 Ja2 3
方向也是沿安培环路的切线方向。
3-11 对于真空中的下列电流分布，求磁矢位及磁感应强度：
别为 K1
J0
y a
dye
z
，K 2
J0
y a
dye
z
。该两个薄平板在
y
y
y
的空间内产生的磁感应强度为
dB
0 K1 e x
0 J0
y a
dye
x
该两个薄平板在处的磁感应强度均为零。由此可知，凡 y y 的电流片对 y 的
磁场有贡献。
因此
B
a
y 0 J0
y a
dy
0 J 0
2a
a2 y2
2
[(1
h
1
2
h
2
)ex
(1
x1
1
2
x1
2
)ey ]
B
0 J 0
2
( x1
x2 )ey
0 J0
2
de y
式中为P点到x轴的垂直距离，x1 为1到x轴上的投影，x2为2在x轴上的投影，
d 为两圆柱轴线的距离。
3-4 真空中由一厚度为 d 的无限大载流(均匀密度 J0 ez )平板，在其中心位置由 一半径等于 a的圆柱形空洞，如图所示。求各处的磁感应强度。 解： 与上题思路相同，假设空洞中存在 J0 ez 和 (J0 ez ) 的电流，求各点处的磁感应强度可视为 一个无限大均匀载流 J0 ez的平板与一个载流为 (J0 ez ) 的无限长直圆柱各自在该处产生的磁感
dB 1 0dI 0K dx 2 2 4
其中 x2 52 。由右手螺旋法则可判断dB的方向，并将分解为x方向和z
方向两个分量
dBx
dB cos
50 K 4 (x2 52 )
dx
dBz
dB sin
0 Kx 4 (x2 52 )
dx
利用叠加定理，P点的磁感应强度的x分量和z分量分别为
Bx
若仍求轴线上 z
l
2 上的磁感应强度，由于 r
z ，sin
0，cos
1，则
B
0M0a2
2z3
0m 2 z3
ez
3-8 有一圆形截面铁环，环的内外半径分别为 10cm 与12cm ，铁环的 r 500
环上绕有50匝通有2A电流的线圈，求环的圆截面内外的磁场强度与磁感应强度(忽略漏
磁，且环外的磁导率为0 )。 解： 从对称性分析，此题可用安培环路定律求解。圆环的截面之外即 10 及 12cm 处，作以圆环中心为圆心的安培环路，则
在区域②内
B2
B2
B2
K
2
ey
K
2
ey
0.9980 80ey 100.9106ey T
H2
B2
80ey
A/m
M2
B2
H2
0.16e y
A/m
⑵在区域①，③内与上面的结论一致，在区域②内
H2
B2
80ey
A/m
B2 H2 10000 80ey 0.1005ey T
M2
B2
0
H2
100080ey
l 2
2
2
ez
H B M
0
当 l Z l 时
2
2
H
M0 2
a2
l z
2
1
z
l 2
2
2
a2
l z
2
1
z
l 2
2
2
e
z
M0ez
当 Z l 或 Z l 时，M 0
2
2
H
M0 2
a
2
l z
2
1
z
2
2
a2
l z
2
1
z
l 2
2
2
e
l H dl 0
所以环的截面以外各处 B 0 ，H 0。在环的截面内可认为磁场分布均匀，选 12 10 11cm 为半径，作一安培环路
2
l H dl NI
2 NI
H NI 144.69 A/ m 2
B 0r H 4 107 500144.96 9.1102
B ，H 方向均沿安培环路的切线方向。
2 A1 2 Az1ez 0 a
2 A2 2 Az2ez 0 a
即
1
d
d
dA1
d
0
a
1
d
d
dA2
d
0
a
Az1 0 有限值，令 Az1 0 0 (参考点)
Az1 0 Az2 a
Az1
a
Az 2
a 0K0
方程的通解为
Az1 C1 ln C2
Az2 C3 ln C4
由边界条件决定待定系数
C1=0
C2 =0
C3= 0K0a
C4 0K0a ln a
Az1 0
Az 2
0 K0 a
ln
0K0a ln
a
0K0a
ln
a
由此可知
0
A
0
K0a
ln
a
ez
a a
⑵如图所示，建立坐标系。由对称性分析，沿 z 轴和 y轴方向都是平行平面场，
因此 A仅与 x有关。所以
A Az xex
80ey
79920e y
A/m
3-7半径为 a ，长度为 l 的圆柱，被永久磁化到磁化强度为 M 0 ez ( Z 轴
就是圆柱的轴线)。
⑴求沿轴各处的 B 及 H;
⑵求远离圆柱 ( a, l)处的磁场强度。
解： 先分析该圆柱的磁化现象。由于是均匀磁
化，M 0是常数。在圆柱内部磁化电流面密度为
J M Mez 0
3 Wb / m2。利用 2
B2n B1n 0.5 Wb / m2
H2t
H1t
B1t
r10
3
80
A/m
B2t r20 H2t
3 8
Wb / m2
由此可得
tan 2
B2t B2n
3 4
2 arctan
3 4
B2
B22t B22n
19 Wb / m2 8
H2
19
80
A/m
由于入射面与折射面共面，故 2 45
3-9 已知在 Z 0 的区域中，r1 4 ，在 Z 0的区域中 r2 1，设在 Z 0处 B 是均的，其方向为 60 ， 45 ，量值为 1Wb / m2 ，试求
Z 0 处的 B和H。
解： 利用媒质分界面上的衔接条件，因为B1 1Wb / m2 ，则
B2 B1 cos 0.5WB / m2，Bt B1 sin
将研究的区域分不为三部分，分别写出A 满足的边值问题
2 Az1 x
d2 Az1 dx2
0
x d 2
2 Az2
x
d2 Az2 dx2
0J0
2 Az3 x
d2 Az3 dx2
0
d xd
2
2
d x 2
Az2 x0 0 (参考点)
Az1(x) Az3(x)
A A z1 x d
z2 xd
第 5 章 恒定磁场
3-1四条平行的载流 I 无限长直导体垂直地通过一边长为 a的正方形定点，求正
方形中心点P处的磁感应强度值。
解：利用无限长直导线，若有线电流 I通过，在真空中产
生的磁感应强度为
B 0I 2
再利用叠加定理可求出四条平行载流长直导线载 P点所产生的 磁感应强度。 由右手螺旋法则，可以判断出其方向如图所示 垂直向下，大小为
l 2
0a2M 0dz
l
2 2 a2
3
z
z
22
0 M 0
2
a2
l z 2
1
z
l 2
2
2
a2
l z 2
1
z
l 2
2
2
磁感应强度的方向沿 ez 的方向，故 z a
B
0 M 0
2
a2
l z 2
1
z
l 2
2
2
a2
l z 2
1
z
3-10 对真空中下列电流分布求 B
⑴
J
J0
y a
ez
⑵
J
J0
a
ez
a y a
a
解 ⑴ y 0处 J 0 ，0 y a 处 J 沿 ez 方向，a y 0处J 沿 ez
方向，由对称性分析，可视为一组组流向反向的无限大平板电流产生的磁场问
题，由此可知在 y a 及 a y 的空间内，B 0。 当 a y a 空间内距中心 y处( y a )选对称的两薄板，其电流线密度分
⑴半径为 a的无限长圆柱通有电流，其电流线密度 K K0 ez ⑵厚度位 d的无限长电流片通有电流，其电流面密度 J J0 ez
解： ⑴由题意，圆柱侧面通有沿轴线方向的
现密度为K 的电流。由对称性分析，它产生
的磁场为平行平面场，且磁矢位也沿
e
方
z
向，仅为圆柱坐标系中 的函数
A Az ez
将研究区域分为圆柱内和圆柱外，由此写出圆柱坐标系下磁矢位所满足的边值问题。
2
其方向也由右手螺旋法则判断，只是电流沿(ez ) 方向。若设大圆柱与小圆柱中
心连线为x的正方向，则P点的磁感应强度应为两圆柱各自在P点产生的磁感应强
度的矢量和
B B1 B2 B1x B2x B1y B2y
0 J 0
2
[(1
sin 1
2
sin2 )ex
(1
cos1
2
cos2 )ey
]
0 J 0
)
[
yex
xey
]
0 J 0
2
[
yex
xey
]
a a
各处的场强为它们的矢量和
B B1 B2
3-5 一电流密度为 K K0 ez 的无限大电流片，置于 x 0平面，如取 Z 0
平面上半径为 a的一个圆为积分回路，求 H dl l
解： 利用安培环路定律
l H dl I
I
(k
l
en )dl 2aK0ห้องสมุดไป่ตู้
l H dl 2aK0
3-6 如图所示的两个无限大电流片，试分别确定区域①、②、③中的 B ,H,M 。
设已知：⑴所有区域中 r 0.998 ；⑵区域②中 r 1000，区域①、③ 中 0。
解：⑴由于两个无限大电流片的电流方
向相反，因此在区域①，③内
H1 H3 0 B1 B3 0 M1 M3 0
在空间沿轴各处的磁感应强度。圆柱面上的磁化电流可以视为若干个小圆环电 流，每个小圆环电流为
dI m＝Kmdz=M 0dz
式中 dz是小圆环的宽度，每个小圆环电流在轴线上某点均产生磁感应强度。利
用圆环电流在其中心轴线一点的磁感应强度的表达式，可以写出 dIm 在轴线上产
生沿轴线方向的磁感应强度为
B
10 50K dx 0 4 (x2 52 )
Bx
10 0
4
50 K
(x2 52
dx )
50 K 4
1 arctan 5
x 5
10 0
0 K 4
arctan
2
44.10T
Bz
10 0
4
(
Kx x2
52
dx )
320T
B 0 (44.1ex 32ez )T
3-3 真空中一通有电流(密度 J J0ez )、半径为 b的无限长圆柱内，有一半径 为 a 的不同轴圆柱形空洞，两轴之间相距 d ，如图所示。求空洞内任一点的B 解： 若假设空洞处有一大小同为J ，但流向 分别为 ez 方向和 (ez ) 方向的电流，这样 可将此问题视为半径为 b的无限长圆柱内整 体载有电流 J0ez和半径为 a 的无限长圆柱内 载有电流 (J0 ez ) 的两个圆柱在P点产生的