《解三角形》的教学设计

高三（15）班《解三角形》的教学设计

高三数学备课组 姜友粮

【教学目标】：

知识与技能目标：

掌握正弦定理、余弦定理，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单的三角形度量问题． 过程与方法目标：

通过例题的分析和学生的自主探究，使学生掌握解决解三角形有关问题的通性通法和学会寻找解决问题的切入口。

情感、态度与价值观目标：

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一，通过三角形中的边长与角度之间的数量关系，来解决一些与测量和几何计算等有关的实际问题，从而加深学生对数学与现实世界和实际生活的联系的认识，培养和发展学生的数学应用意识。

〖教学重点〗边角的转化，正确运用数学语言。

〖教学难点〗应用解三角形知识解决实际问题，灵活运用正弦定理、余弦定理。 【教学设计】：

一、 复习建构本课题知识结构： 1、知识框架与知识点

帮助学生回顾公式，为具体运用公式做好必要的知识铺垫，对知识网络进行梳理，从整体上把握本课题的知识结构。

正弦定理、余弦定理在解三角形中的运用：

解三角形主要有两种类型：一是解三角形中的边角互化；二是会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题。

“熟记”两个定理的变形及推论 (1) 正弦定理变形：

a ＝2R sin A ，

b ＝2R sin B ，

c ＝2R sin C ； sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝c

2R

； (2)余弦定理

推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab .

变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，

a 2＋c 2－

b 2＝2a

c cos B ， a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .

类型一：

正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题．高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合．

例1：（1）若ΔABC 的三个内角

所对边的长分别为

，向量，

，若

，则∠

等于 。

[审题导引] 利用向量垂直，求出数量积为0时的关系式，利用余弦定理求解即可．

（2）(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝

2B ，则sinC ＝________.

[审题导引]

(3)已知两边和其中一边的对角，应先用正弦定理求A ，要注意解题时出现多解时利用“大

边对大角”可以排除解三角形中的增解问题等；

解析 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，又A ＋C ＝2B ，故B ＝π

3.由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12

.

又a

6

所以。

活动过程：学生去黑板板书，全班同学进行点评，指出不足和优点。

【例2】在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)、求角B 的大小； (2)、若cos A ＝

2

2

，a ＝2，求△ABC 的面积． (1) [审题导引] 把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B ；再进行边角互化时，有两种思路：全化边，或者全化角。

活动过程：在具体的操作过程中，可以引导学生从这两个角度切入解题，可以把全班分成2-3组，大家分头解答，然后以小组为单位进行探讨和交流，优化解法和算法，接着各小组推荐学生代表去黑板规范板书解题过程，师生共同分享劳动成果，最后，由我带领学生们进行点评、打分、总结、升华，让学生在解题中感悟知识，发现数学美，在探讨和分享中意识到合作学习的乐趣和意义。

[规范解答] (1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A . ∵0＜A ＜π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝1

2.

又∵0＜B ＜π，∴B ＝π

3

.

(2) [审题导引] 利用(1)的结果求b 及c ，利用公式求面积．

活动过程：同学们兴致高涨，乘胜追击，对于计算的优化，让同学们各抒己见。 [规范解答] (2)由正弦定理

a sin A ＝

b sin B ，得b ＝6，由cos A ＝22可得A ＝π4，由B ＝π

3，可得sin C ＝6＋24

， ∴S ＝12ab sin C ＝1

2×2×6×6＋24＝3＋32

【题后反思小结】解三角形的一般方法：

(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b .

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解题时可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .

类型二 正、余弦定理的实际应用

[考情分析] 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题．

【例2】已知甲船正在大海上航行．当它位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．试问乙船航行速度的大小. [审题导引] 据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解．

活动过程：如何引导学生通过读题画出方位图，如何准确画图是本题要突破的关键点，可以在认真审题和启发后让全班学生动起来，最后通过投影进行展示，全班分享劳动成果。 [规范解答] 设乙船运动到B 处的距离为x 海里．则由余弦定理得： x 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC cos 120°＝102＋202＋2×10×20×1

2＝700，

∴x ＝107，

∴乙船航行速度为57海里/小时．

【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案