高等数学A第6章多元函数微分学1-10(多元函数概念)讲解

z
z x2 y2
O
y
x
例 7 作二元函数z R2 x2 y2 (R 0) 的图 形解．此二元函数的定义域为 x2 y2 R2 ，即 坐标面 xOy
上的以 O 为圆心，R 为半径的圆，且 0 z R ．其图形为 上半圆周，如下图所示．
z R
O
Ry
R
x
5. 多元函数的定义 设有n维空间内的点集 D, 如果对于每一个点 P( x1,, xn ) D, 变量u按照一定法则总有确定 的值和它对应,则称u为x1,, xn的n元函数.记为
当n 1, 2,3时, x 通常记作 x . R n 中的变元 x 与定元 a 满足 x a 0 记作 x a.
R n中点 a 的 邻域为
2. 邻域
点集
PP0 δ
称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上,
U ( P0 ,δ ) (x, y)
在空间中,
U ( P0 , ) (x, y, z )
一般曲面
曲面上点M (x, y, z) 由平面区域D上点P(x, y) 通过z f (x, y)决定.
如图所示
例 5 作二元函数 z 1 x y 的图形． 例 6 作二元函数 z x2 y2 的图形．
例 7 作二元函数z R2 x2 y2 (R 0) 的图 形．
点集 (x, y) x 1是开集，
但非区域 .
y
1o 1 x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .
二. 多元函数的概念 1.引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强
三角形面积的海伦公式
高等数学A
第6章 多元函数微分学
6.1 多元函数微分的基本概念
6.1.1 点集与多元函数的概念 6.1.2 二元函数的极限及连续性
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
6.1 多元函数微分的基本概念
预备知识 邻域 区域 聚点
多 6.1.1 一般概念
n 维空间 引例
元 函
多元函数概念
二元函数的定义 习例1-4 二元函数的几何意义 习例5-7
Rn中每一个元素(x1, x2, , xn )可以看成是空间里 的一个点, 也可以认为是空间里的一个向量(以原点为 起始点,以(x1, x2, , xn )为终点的一个向量)
定义 数量积/内积
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) Rn,定义x, y的 数量积(内积)为(x, y)一个数,即
数
多元函数的定义
微 分 学 的 基 本
多元函数极限
6.1.2 二元函数 极限及连续性
二元函数的极限定义例8 二元函数极限的计算习例9-12 确定极限不存在的方法 例13-16 累次极限例17-19 多元函数的极限
概 念 小结
多元函数连续性 连续性定义
闭区域上连续函数的性质例20-25
一、预备知识wk.baidu.com
1. n 维空间
y
例1 求f (x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域,并作图. x y2
解
3 x2 y2 1

x y2 0
2 x2 y2 4

x

y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}. 注意: 平面区域通常用字母D表示.
u f ( x1, x2 ,, xn ) 一元函数 : y f ( x), 一个自变量. 二元函数 : z f ( x, y), 两个自变量. 三元函数 : u f ( x, y, z), 三个自变量. n元函数 : u f ( x1,, xn ), n个自变量. n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.
Rn中点集的分类
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
若点集 E E , 则称 E 为闭集；
若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例3 z ln[x(x y)]与z ln x ln(x y)是同一函数吗?
解
z ln[ x( x y)]的定义域为 x( x y) 0,
z

ln
x

ln( x

y)的定义域为
x x

0 y

, 0
z ln[ x( x y)]与z ln x ln( x y)不是同一函数
(4) 二元函数的两要素是定义域和对应法则.
例1 求f (x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域,并作图. x y2
例2 求u z x2 y2 4 x2 y2 z2的定义域并作图.
例3 z ln[x(x y)]与z ln x ln(x y)是同一函数吗? 例4 设f (x y, x ) x2 y2, 求f (x, y).
n
( x, y) xi yi i 1
例: x (1, 0, 1, 2), y (2, 1,3,1) 则(x, y) 2 0 (3) 2 1
Rn里的内积运算有如下性质 : (1)对称性 : ( x, y) ( y, x) (2)双线性性 : ( x y, z) (x, z) ( y, z)
(圆邻域)

(球邻域)
说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 U ( P0 ).
点 P0 的去心邻域记为
0 PP0 δ
在讨论实际问题中也常使用方邻域, 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含.
。
P0
平面上的方邻域为
U(P0,δ ) (x, y)

Rn中点的分类 （按位置)
任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种 关系中的一种
我们把n元有序实数组(x1 x2 xn)的全体所构成的集 合记为Rn 即
Rn{(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n}
xx0i称nn((0x为10x点322,,x的RR第032)x称in个){称{为(坐(x为xR标,,nyRy中或,n)z中的|n)x维|的原x向一点R量个或R, yx,点n的y维或第R零一R}i个向,个z分量n维量R向} 量
例4 设f (x y, x ) x2 y2, 求f (x, y). y
解
f ( x y, x) ( x y)(x y)
y
x y (x y)2 x y x 1
y (x y)2, x 1 y
f (x, y) y 1 x2. y1
4. 二元函数的几何意义 z f ( x, y) z f ( x, y) 0 F( x, y, z) 0
r h
ba c
2. 二元函数的定义 设 D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量 z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
3. 二元函数的定义域 (1) 使得算式有意义的x,y的变化范围所确定的点集. (2) 使得实际问题有意义的x,y的变化范围所确定的点集. (3) 二元函数的定义域一般来说是平面上的区域.
E的边界点的全体 称为E的边界 记作E
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 提问 E的内点、外点、边界点是否都必属于E？
Rn中点的分类（按性质)
(2) 聚点
若对任意给定的 ,点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
例 5 作二元函数 z 1 x y 的图形．
解 二元函数 z 1 x y 的图形是空间一平面，其图形 如下图所示．
z z=1-x-y
O y
x
例 6 作二元函数 z x2 y2 的图形．
解 此函数的定义域为 xOy 面上任意点且 z 0 ，即 曲面上的点都在面 xOy 上方．其图形为旋转抛物面， 如下图所示．
注意.
(1) 多元函数也有单值函数和多值函数，如
x2 y2 z2 a2
在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数后 再分别加以讨论.
(2) 多元函数也有分段函数，如
xy
f
(
x,
y)


x2

y2
x2 y2 0
0
x2 y2 0
(3) 点函数u=f(P)能表示所有的函数.
(1) 内点、外点、边界点
设有点集 E 及一点 P :
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
E
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点.
例2 求u z x2 y2 4 x2 y2 z2的定义域并作图.
解
z 4

x2 x2

y2 y2

0 z2

, 0
z
z x2 y2

x
2

y2

z2

, 4
o
y
故所求定义域为
x
{( x, y, z) | z x2 y2, x2 y2 z2 4}.
如{( x, y) | 0 x2 y2 1} (0,0)既是边界点也是聚点. (3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
如{( x, y) | 0 x2 y2 1} (0,0) 是聚点但不属于集合. 如{( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
孤立点 (isolated point )
若点 X 0 E，但存在 Uˆ ( X 0 )，其内不含集合 E 的点, 则称 X0 为集合E 的孤立点。
注意: (1) 内点一定是聚点； (2) 边界点可能是聚点；
二元函数的的等值线/等高线
曲面z=f(x, y)与平面z=c的交线在xoy平面上的投影 称为二元函数zf(x, y)的等值线。
下图
回忆一元函数极限的概念
设 y f (x) x I, x0 为 I 的聚点.
若 0, 0, 当点 x Uˆ (x0, ) 时, f (x) U(a, ), 即 | f (x) a | , 则称
(x, y z) (x, y) (x, z)
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn ) 与点 y ( y1, y2 ,, yn )
的距离记作
规定为
R n 中的点 x (x1, x2 ,, xn )与零元 O 的距离为 x x12 x22 xn2
6. 多元函数有加减乘除数乘及复合运算(略)
多元复合函数比一元复合函数复杂，需要认清其复合 关系-----可借助链式图（分枝图）.
z sin 1 ,是由z sin u,u 1 , v x2 y2 1
x2 y2 1
v
复合而成的二元函数；
u f (x y, xy, x2 y2 ),是由u f (v1, v2, v3), v1 x y, v2 xy, v3 x2 y2复合而成的二元函数；
D 。。
例如，在平面上
(x, y) x y 0
开区域
(x, y) 1 x2 y2 4
(x, y) x y 0
闭区域
(x, y) 1 x2 y2 4
y
y
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域；