定积分与微积分基本定理(理)PPT课件

b
1．当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分
a
f(x)dx的
几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)
所围成的曲边梯形的面积(图(1)中阴影部分)．
2．一般情况下，定积分
∫
b a
f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲
线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和
5．如果∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.
解析：∵∫02f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫01f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案： －2
利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积 分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数 f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法 则从反方向上求出F(x)．
04＝136.
[答案] C
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·威海模拟)曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝12围成的封
闭图形的面积是
()
A. 3
B．2－ 3
C．2－π3
D. 3－π3
解析：由sin x＝12与0≤x≤π得x＝π6或56π，
所以曲线y＝sin x(0≤x≤π)与直线y＝12围成的封闭图形的面积
[精析考题]
[例3] (2011·新课标全国卷)由曲线y＝ x，直线y＝x－2及y轴所围
成的图形的面积为
()
10 A. 3
B．4
C.136
D．6
[自主解答] 由y＝ x及y＝x－2可得，x＝4，所以由y＝ x及
y＝x－2及y轴所围成的封闭图形面积为
∫40(
x－x＋2)dx＝23x
3 2
－12x2＋2x|
答案：B
3．(2011·福建高考)∫10(ex＋2x)dx等于
A．1
B．e－1
C．e
D．e＋1
解析：∫10(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)| 01＝(e1＋1)－e0＝e.
答案： C
()
4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x2－2x－3，则∫1－1f(x)dx ＝________. 解析：∫1－1f(x)dx＝∫－ 1 1(x2－2x－3)dx ＝13x3－x2－3x| － 1 1＝－136. 答案：－136
(图(2)中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的
积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
3.微积分基本定理
一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)
b
＝f(x)．那么
a
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f(x)dx＝
F(b)－F(a) ．这个结论叫做微积
分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．
5
[答案]
4 3
ex，x∈[0，1] 本例中f(x)改为f(x)＝1x，x∈1，e].
再求∫e0f(x)dx的值．
解：∫e0f(x)dx＝∫10exdx＋∫e11xdx ＝ex| 10＋ln x| e1＝e－1＋lne－ln1＝e.
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·齐齐哈尔调研)计算∫π0(sin x－cos x)dx＝________. 解析：∫π0(sin x－cos x)dx＝∫π0sin xdx－∫π0cos xdx ＝(－cos x)| π0－sin x| π0＝2.
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数． 为了方便，常把F(b)－F(a)记作 F(x)|ab ，即
b
a
f(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．
三、定积分的应用 1．平面图形的面积：
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为S，则 S＝ ∫baf(x)dx－∫bag(x)dx (f(x)>g(x))． 2．简单几何体的体积 若几何体由曲线y＝f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一 周得到，则其体积为V＝∫baπ[f(x)]2dx.
[精析考题] [例1] (2011·陕西高考)设f(x)＝xlg＋x∫，0a3tx2d＞t，0，x≤0， 若f(f(1))＝1，则a＝________.
[自主解答] 显然f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝0＋∫a03t2dt＝t3| a0＝1， 得a＝1.
[答案] 1
x2，x∈[0，1]， [例 2] (2012·西安模拟)设 f(x)＝1x，x∈1，e]， (e 为自然对数的底数)，则∫e0f(x)dx 的值为________． [自主解答] ∫e0f(x)dx＝∫10x2dx＋∫e11xdx ＝13x3| 10＋ln x| e1＝13＋lne＝43.
1．计算∫10x2dx＝
1
1
A.4
B.3
C.12
D．1
解析：∫10x2dx＝13x3|01＝13×1－13×0＝13.
答案：B
()
2．求曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积，其中正确的是 ( )
A．S＝∫01(x2－x)dx C．S＝∫01(y2－y)dy
B．S＝∫10(x－x2)dx D．S＝∫01(y－ y)dy
定积分与微积分基本定理
[备考方向要明了]
一、定积分的性质
b
b
1.akf(x)dx＝
k a
f(x)dx(k为常数)
；
b
b
b
2.a[f(x)±g(x)]dx＝
a
f(x)dx±a
g(x)dx
；
b
b
3.a
f(x)dx＝c a
f(x)dx+ c
f(x)dx (其中 a＜c＜b)．
二、定积分的几何意义
答案：2
2．(2012·石家庄模拟)∫02|1－x|dx＝________.
解析：若1－x≥0，则x≤1， 若1－x<0，则x>1，于是 ∫20|1－x|dx＝∫10(1－x)dx＋∫12(x－1)dx ＝x－12x2| 10＋12x2－x| 21＝1.
答案： 1
[冲关锦囊] 计算一些简单的定积分，解题的步骤是：①把被积函 数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数 的积的和或差；②把定积分用定积分性质变形为求被积函 数为上述函数的定积分；③分别用求导公式找到一个相应 的原函数；④利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的 值；⑤计算原始定积分的值.