韦达定理.初高中数学衔接
初高衔接3：韦达定理
初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理一元二次方程02=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．例1. 已知a ，b 是方程0142=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)22b a +，33b a +； (2)b a 11+，ba ab +； (3)b a - ．分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知4=+b a ，1=ab .于是(1)中：142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .(2)中：411=+=+abb a b a ， 1422=+=+abb a b a a b . (3)因为ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，所以32=-b a ．注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．例2 .已知α，β是方程012=--x x 的两根，写出一个以α1，β1为两根的一元二次方程，并求βα86+的值．分析与解 由韦达定理知1=+βα，1-=⋅βα，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+111111βααββαβα，从而以α1，β1为两根的一元二次方程为01)1(2=---x x ,即012=-+x x ．由韦达定理知αβ-=1，代入知ααβα88866-+=+.下面来写6α：因为α是方程的解，所以有αα+=12，从而24)1(αα+=)1(21αα+++= α32+=所以有426ααα⋅=)32)(1(αα++= )1(352αα+++=58+=α从而有1386=+βα． 注 事实上，令xt 1=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根的一元二次方程．一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么有d cx bx ax +++23))()((321x x x x x x a ---=32132312123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x ab x x x 321323121321例3. 设α，β，γ是三次方程0133=+-x x 的三个根．(1)以α1，β1，γ1为根的三次方程是______________； (2)以βα11+，γβ11+，αγ11+为根的三次方程是______________．分析与解 由三次方程的韦达定理知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅=++=⋅+⋅+⋅=++=++.11110111111,3111γβααβγγβααγγββααβγαβαγβγγβα，所以以α1，β1，γ1为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x即01323=+-x x ． (2)先计算三根和有)11()11()11(αγγββα+++++)111(2γβα++=6=因为211γγγαββαβα=--=+=+,所以我们知道这三根就是2α，2β，2γ，从而三根积为1)(2=αβγ．最后计算222222αγγββα++的值．先介绍一个三项的完全平方式ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.从而有222222αγγββα++)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=9=综上知所求的三次方程为019623=-+-x x x ．最后给出两道练习：练习一 已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两根，求2221x x +，3231x x +，)1)(1(21++x x ，2111x x +，21x x -的值．答案 7，18，5，3，5．练习二 已知a ，b ，c 是方程0164223=---x x x 的三个根，求cb a 111++，222c b a ++的值．答案 −6，10．提示 ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．。
初高中数学衔接课程讲义-新高一数学讲义 韦达定理专题
新高一数学讲义 韦达定理专题【知识点睛】1、若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =，则有 122222b b b b x x a a a a ---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．注意：韦达定理应用的前提是0≥∆补充定理：||||21a x x ∆=-【例题精讲】【例题1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．【例题2】关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．【例题3】已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．【例题4】一元二次方程042=+-a x x 有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围.【巩固练习】1、下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 ; （B ）2个 ; （C ）3个 ; （D ）4个.2、已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．3、若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．4、若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．【学习巩固】【练习1】（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ；（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ;（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ；（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．【练习2】 一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．2k >B ．2,1k k <≠且C ．2k <D ．2,1k k >≠且【练习3】 若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为 ( )A ．2B ．2-C ．12D ．92【练习4】 若方程22(1)30x k xk -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．【练习5】 设12,x x 是方程20x p x q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x q x p ++=的两实根，则p = ____ ，q = _____ ．【练习6】求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数.【练习7】 已知关于x 的一元二次方程2(41)210x mx m +++-=．(1) 求证：不论m 为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112x x +=-，求m 的值．【练习8】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求：x 13＋x 23．【练习9】已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．【练习10】已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由; (2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．【家庭作业】【练习1】（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于；（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是.【练习2】已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A（B）3 ；（C）6；（D）9.【练习3】已知关于x的方程22(2)04mx m x---=．（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．。
初升高数学衔接班教案(教师版)韦达定理的运用
方程与方程组以及不等式韦达定理一、 【归纳初中知识】1、一元二次方程的解法在初中时我们已学习过配方法、公式法、因式分解法等主要解法。
2、对于任意的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，通过判别式ac b 42-=∆能够判断其方程解的个数。
二、 【衔接高中知识】我们已经知道)0(02≠=++a c bx ax 如果有两个解，则其分别为； a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---= 则我们可以得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121 上面揭示了二次方程的根与系数c b a ,,之间关系的等式我们叫做韦达定理，韦达定理在未来高中三年的学习中占据着非常重要的地位。
反之，若21,x x 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121，则我们可以说21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两个解，这叫做韦达定理的逆定理。
三、 【例题精讲】例1：若21,x x 是0122=-+x x 的两个根，求：（1）2221x x +；（2）222111x x +；（3）21x x -；（4）3231x x +,. 解析：略，注意ax x x x x x ∆=-+=-21221214)(例2：任意写出一个二次方程，使得它的两个根分别为5-和32. 解析：0)32)(5(=-+x x 或03103132=-+x x例3：已知关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ，根据下列条件，分别求出满足条件的k 值.（1）方程两实根之积为5；（2）方程两实根满足21x x =.解析：（1）451410)141(4])1([22122=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥+-+-=∆k k x x k k （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧>⇒>∆-=⇒=+=⇒=∆⇒=⇒=无解23010230212121k k x x k x x x x 综上，若21x x =，则23=k例4：若21,x x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个根，当m 为何值时，2221x x +取得最小值？请你求出这个最小值 解析：23222322)2(2)(222212212221+-=-+⋅-=-+=+m m m m m x x x x x x 当43=m 时，有最小值87 例5：已知关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，并且两根平方和比两根之积大21，求m 的值.解析：1017163)(221221212221-=⇒⎩⎨⎧≥∆--=-+=-+m m m x x x x x x x x例6：若关于x 的方程02=++a x x 有两个根：（1）当其中一个大于1，另一个小于1时，求a 的取值范围；（2）当两个根都小于1时，求a 的取值范围.解析：（1）由已知设0)1)(1(1,12121<--⇒<>x x x x 且0>∆所以2041021)()1)(1(212121-<⇒⎩⎨⎧>-<+=++-=--a a a x x x x x x （2）法一：41204102)1)(1(21≤<-⇒⎩⎨⎧⇒≥-=∆>+=--a a a x x 法二：借鉴二次函数图形，根据两根均小于1可知当1=x 时，函数值011>++a ，同时也需满足0≥∆例7：若21,x x 是方程01)12(22=+++-k x k x 的两实数根，且均大于1.（1）求实数k 的取值范围；（2）若2121=x x ，求k 的值 解析：（1）143430)1(4)12(101)12(1)1)(1(22221≠≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥⇒≥+-+=∆≠⇒>++-+=--k k k k k k k k x x 且 （2）)(171)12(29219)12(3122221221212121舍去或==⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+⇒=+=+k k k k x k x x x k x k x x***例8：已知b a ,是一元二次方程012=--x x 的两个实数根，求)2(22-+b a a 的值. 解析：120101222-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=--=--b b b b a a 01)1()2(2222=+=+-=-+=-+∴ab ab a a b a a b a a课后习题1、关于x 的一元二次方程0522=++-a a x ax 其中一个根是0，则a =10-或2、关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ：（1）若有一个根为0，则7=m ，此时方程另一个根为：1（2）若两根之和为53-，则9-=m ，此时方程两个根分别为：1,58- 3、方程01222=-+x x 的两根为21,x x ，则321=-x x4、设21,x x 为方程02=++q px x 的两根，且1,121++x x 为方程02=++p qx x 的两根，则________________,==q p 解析：由题意有⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=++--=+-⇒⎩⎨⎧=++-=++⎩⎨⎧=-=+3112)1)(1(221212121q p p q p q p p x x q x x q x x p x x 和 *5、已知实数c b a ,,满足b a -=6，92-=ab c ，则____________,______,===c b a 解析：由题意有的两根是方程096,96222=++-⇒⎩⎨⎧+==+c x x b a c ab b a 300)9(4362==⇒=⇒≥+-=∆∴b a c c***6、若1≠ab ，且09201952=++a a ，05201992=++b b ，则95=a b 解析：的两根为方程09201951,091201915092019509120191505201992222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=++=+⋅+⋅⇒=++x x b a b ba ab b b b故59=b a 7、已知关于x 的方程)0(02≠=++a c bx ax 两根之比为5:3，求证：21564b ac = 证明：设222222121211564156415641585,3b ac ac b a c a b a ck x x a b k x x k x k x =⇒=⇒=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==+⇒==8、已知方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 解析：由题意⎪⎩⎪⎨⎧==⇒-=-⇒+=≤⇒≥---⇒≥∆)(31)2(45)(2490)5(4)2(402212122舍去或a a a a x x x x a a a 综上，1=a9、若一元二次方程04)1(2=++-x m x 的两个根均满足30≤≤x ，求m 的取值范围 法一：借助函数图像可知：①当3,0==x x 时函数值均0≥31004)1(39≤⇒≥++-⇒m m ②350≥-≤⇒≥∆m m 或 ③对称轴513210≤≤-⇒≤+≤m m 综上，3103≤≤m法二：设两根为21,x x ，则有31033503100)3)(3(51602121≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤⇒≥∆≤⇒≥--≤≤-⇒≤+≤m m m m x x m x x 或。
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
初高中衔接知识点及习题(十字相乘、韦达定理、二次不等式)
一、因式分解（十字相乘）。
十字相乘法：它的特征是“拆两头，凑中间”（12.21）二、韦达定理：方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x 则___21=+x x ____21=x x 。
()21221214x x x x x x -+=- 。
2122122212x x x x x x -+=+）（练习：一、把下列各式分解因式： 1、1522--x x 2、3722+-x x3、21152-+-y y 4 、101132++x x5、3522---x x ；6、 2265y xy x +-7、225163b ab a -+- 8、 ()()2762-+-+b a b a二、1、已知21,x x 是方程03522=--x x 的两根，则：1）___21=+x x 。
2）________21=x x 。
3）_______1121=+x x 。
4）________2221=+x x 。
5）()()________1121=++x x 。
6）21x x -= 。
2、二次项系数为1的二次方程，两根之和为5，两根之积为6，求二次方程3、一元二次方程0232=++ax x 的一个根为31，则另一个根为 =a 4、方程()002≠=++p r qx px 的两根为1,0-求p q :三、一元二次不等式及其解法形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．口诀：一化正；二求根；三大于取两边、小于取中间1、解下列一元二次不等式071522≤++x x 042≤-x 0162≤-+x x2230x x --+≥ 10732>-x x(2)(3)6x x +-< 041132>+--x x03222<--a ax x 0)1(2<--+a x a x2、填空题1）不等式(1)(12)0x x -->的解集是2）已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合M N =3）不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
1.1.2 初高衔接2：常见公式+韦达定理
初高衔接2：常见公式+韦达定理（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=-+；（2）完全平方公式：222()2a b a ab b +=++；（3）立方差公式：3322()()b a b a ab b -=-++；（4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+；（51．计算：2220222021-=。
2．计算：22202250.5202249.5⨯-⨯的结果是。
3．已知2x y +=-，4xy =，则22x y xy +=。
4．若3x y -=，10xy =，则2222x y y x -=。
5．已知4ab =，5a b -=-，则32232a b a b ab -+的值为。
6．多项式2216()y y m y n ++=+，m =，n =。
7．已知正方形的面积是2296(0)x y xy x y +->>，利用因式分解可知该正方形的边长为。
（用含x ,y 的代数式表示）8．已知关于x 的二次三项式22x bx a ++分解因式的结果是(1)(23)x x +-，则代数式b a 的值为。
9．已知1a b +=，则代数式2229a b b -++的值为。
10．关于x 的三次四项式323x ax bx +++分解成2(1)(23)x x x +-+，则a b +=。
11．运用立方和与立方差公式化简：（1）2(3)(39)y y y +-+=；（2）2(32)(964)y y y +-+=；（3）22151(5)(25)224x y x xy y -++=；（4）2(21)(421)x x x +-+=；（5）22(23)(469)x y x xy y -++=；（6）224224()()x y x x y y +-+=。
12．已知21x x +=，则432221x x x +++=。
13．若210a a ++=，则322025a a a --+的值为。
专题2.2 根与系数的关系(韦达定理)(精讲深剖)-拾阶而上之初高中数学衔接读本(原卷版)
第二章一元二次方程
第2讲 根与系数的关系（韦达定理）—
现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着重要应用．本专题将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等进行讲述。
【知识梳理】
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程2
0 (0)ax
bx c a ++
=≠的两个根为： x x
=
= 所以：12b x x a
+=+=-，
12244ac c x x a a
⋅==== 定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c
a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：
说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．
【典例解析】1.已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．
（1）求12x x -的值；
（2）求22
1211x x +的值； （3）x 13＋x 23．
【变式训练】
1.若12,x x 是方程2220180x x +-=的两个根，试求下列各式的值；
（1）2212x x +；
（2）12
11x x +； （3）12(5)(5)x x --；
（4）12x x -；
2.已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积 大21，求m 的值．
3.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．。
初高中数学衔接-一元二次方程
1.4一元二次方程在初中，一元二次方程的应用相对广泛，是初中数学压轴题运算的基本要求。
学习一元二次方程，我们主要学习一元二次方程的有关定义、解一元二次方程的方法、一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程的实际应用。
在高中，一元二次方程也将是重点；我们将着重考虑用“十字交叉相乘法”解一元二次方程；“韦达定理”的应用以及根的判别式。
一、温故1、一元二次方程的有关定义：一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
一元二次方程的解（根）：能使得等式左右两边成立的未知数的值。
2、解一元二次方程的有关方法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法3、根的判别式的应用在一元二次方程中，根的判别式是用来判断根的个数；或者是根据根的个数利用根的判别式来求参数的值。
巩固训练：一．选择题（共7小题）1．下列方程①2210x x --=；②20ax bx c ++=；③21350x x+-=；④20x -=；⑤()2212x y -+=；⑥()()213x x x --=；⑦()2210a a x a ++-=；⑧1x =-其中一元二次方程共有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．42．关于x 的方程()221360m m m x mx ----+=是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．3或﹣13．若关于x 的一元二次方程()2215230m x x m m +++--=的常数项为0，则m的值等于（）A ．0B ．﹣1C ．﹣1或3D ．34．关于x 的一元二次方程230ax bx -+=的一个根为2x =，则代数式843a b -+的值为（）A ．﹣3B ．3C ．6D ．95．若关于x 的方程240x x k -+=的一个根为2，则k 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣26．若关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k <B ．1k ≤C ．1k <或0k ≠D ．1k ≤或0k ≠7．关于x 的一元二次方程210x ax +-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根注意点：1、利用直接开平方法；等式两边只能同时为非负数。
初高中衔接-第4讲、韦达定理
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b c x x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
（2）常见变形：2212x x +=1211x x +=2112x x x x +=12x x -==++)1)(1(21x x 注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
初高中衔接——韦达定理
高一数学（初高中数学知识衔接）——一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【知识链接】已知，、是关于x 的一元二次方程的两根。
求证：； 分析：由求根公式计算一下， 可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。
证明：由求根公式有：，∴注：① 当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x 的方程时，则由韦达定理知：，，即12()p x x =-+,12q x x =⋅②以两个数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:21212()0x x x x x x -++⋅=【例题分析】例1：不解方程，求下列方程的12x x +与12x x ⋅：（1）25100x x --= （2）22710x x ++=（3）23125x x -=+ （4）(1)37x x x -=+（5） 2310x x -+= (6)2322x x -=1x 2x )0( 02≠=++a c bx ax a b x x -=+21ac x x =⋅21aac b b x 242-±-=21x x +21x x ⋅a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=a b a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a ac b b a ac b b x x 24242221---⋅-+-=⋅2224)4()(a ac b b ---=a c a ac b b =+-=2224402=++q px x p x x -=+21q x x =⋅21例2：关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝例3：已知：、是方程两个实数根。
求：①； ②；③； ④；⑤ ⑥12x x -例4：m 为何值时，的两根均为正【练习】一、选择题1.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．B ．C ． D． 2、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A 、0 B 、－1 C 、1D 、±1 3．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）1x 2x 0252=--x x 21x x +21x x ⋅2111x x +2221x x +)1)(1(21--x x 0)32()1(2=-++-m x m x 0122=--x x 0322=+-x x 3322-=x x 0442=+-x xA.271250x x -+=B.261350x x --=C.242150x x ++=D.21580x x +-=4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B.且 C. D. 且5．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. 0p q ==B. 0p =，0q ≠C. 0p ≠，0q = D .0p ≠，0q ≠6．关于x 的一元二次方程2250ax x a a -++=的一根是0，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．0 或1-7．若方程的两根为、，则的值为( ) A ．3 B ．－3 C ． D ． 8.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．259、以5-和5+为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-10x-1=0B ．x 2+10x-1=0C ．x 2+10x+1=0D ．x 2-10x+1=010、若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是（ ） A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定二、填空题 11． 若方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x =12．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p q +=13.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是14.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝16、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是17、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。
初高中数学衔接教材-因式分解和韦达定理
初高中数学衔接教材乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．第一讲 因式分解因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法，另外还应了解求根法及待定系数法．1.1．提取公因式法与分组分解法、公式法例1 分解因式：（1）2（y －x ）2+3（x －y ）（2）mn （m －n ）－m （n －m ）222223223292442456()(1)x y xy a ab b a b x x y xy ya b a ab b --+++----++---（3）（4）（）（）1.2．十字相乘法例2 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．（2）由图1．1－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．1.3．关于x 的二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)的因式分解．（求根法）若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x ++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--， ∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．练习： 一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）=-+652x x __________________________________________________。
新高一数学衔接课韦达定理
第2讲 一元二次方程根与系数的关系知识要点：1、韦达定理（一元二次方程根与系数的关系）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为1x 、2x ， 则有：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩证明：由求根公式可得：1x =，2x =， ∴1222b b x x a a-+==-， c a= . 2、韦达定理的逆定理：若两个实数1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a⋅=，则1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .证明：由20(0)ax bx c a ++=≠得：20b c x x a a++=， 又12b x x a +=-，12c x x a ⋅=，所以12()b x x a =-+，12c x x a=⋅， 所以21212()0x x x x x x -++=，即12()()0x x x x --=，所以1x x =或2x x =，所以1x 、2x 必为方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根 .【典型例题】例1：已知关于x 的方程22(1)10x m x m -++-=的一个根为4，求它的另一个根及m 的值 .例2：已知1x ，2x 是方程2210x x --=的两根，求一个以121x +，221x +为根的一元二次方程 .例3：若211160a a ++=，211160b b ++=- . 例4：若1x ，2x 是方程22170x x +-=的两根，试求下列各式的值 .（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3）12(5)(5)x x --； （4）12x x - . 例5：已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值 . （1）方程两个实根的乘积为5；（2）方程的两个实根1x ，2x 满足12x x = .例6：设1x ，2x 是二次方程250x x +-=的两根，求32126x x -的值 .例7：已知关于x 的方程2220x mx m +++=，求：（1）当m 为何值时，方程的两个根一个大于0，另一个小于0；（2）当m 为何值时，方程的两个根都是正数；（3）当m 为何值时，方程的两个根一个大于1，另一个小于1 .例8：已知α、β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>，不解方程，利用根与系数的关系求223βα+的值 . 例9：已知实数a ，b ，c 满足6a b =-，29c ab =-，求证：a b = .韦达定理练习：1、已知方程22100x kx --=的一个根为2-，求它的另一个根及k 的值 .2、已知方程2780x x -+=的两根为1x ，2x ，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为12x x 和21x x . 3、已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，求k 的值 .4、解方程组：2214100x y x y +=⎧⎨+=⎩ . 5、已知方程230x x k ++= .（1）若方程两根之差为5，求k 的值；（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积 .6、已知一元二次方程2310x x -+=的两实数根分别为α，β，求：（1）11αβ+； （2）αβ- ； （3）33αβ+； （4）33αβ- .7、若21m m =+，21n n =+，且m n ≠，求55m n +的值 .8、当a 为何值时，方程222(4)0x a x a --+=有两个不相等的负数根？9、已知α，β是方程2250x x +-=的两个实数根，求22ααβα++的值 .10、已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的乘积大16，求m 的值 .11、设实数m ，n 满足2192010m m ++=，220190n n ++=，且1mn ≠，求232mn m n++的值 . 12、已知实数a ，b 满足2210a a +-=，42210b b --=，且21ab ≠，求2220101()ab b a++的值 . 13、已知1x ，2x 是一元二次方程224(35)60x m x m ---=的两个实根，且1232x x =，求m 的值 .※14、已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根 . （1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由 .（2）求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值 . ※15、已知x ，y 是正整数，并且23xy x y ++=，22120x y xy +=，求22x y +的值 .。
初升高数学衔接讲义新高一数学衔接讲义一
（一）韦达定理（一元二次方程中根与系数的关系）
对于一元二次方程
2
ax
bx
c
0( a
0) ，如果方程有两个实数根
x1, x2 ，
那么
x1 x2
b , x1x2 c
a
a
说明： （ 1）定理成立的条件
例题 .若 x1 , x2 是方程
2
x
2x
0 （2）注意公式中 x1 x2
b 的负号与 b 的符号的区别 .
.
☆总结：高中阶段韦达定理相关知识点的常用等式变形：
（1）
（ 2）
（3）
（ 4）
（二）第一小单元重要知识点复习
1
2
1. （ 1）画出函数 y x 2 x 3 的图象 .
（ 2）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有三个实根，求 k 的值；
（ 3）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有四个实根，求 k 的取值范围；
（ 4）已知关于
x的不等式
2
x
2x
3＞ k 对于一切实数都成立，求
k 的取值范围 .
2. 利用学到的图象对称变换的方法，画下列函数的图象： （ 1） y x 2 ； （ 2） y x 2 .
4. 已知函数 y g ( x ) 图象关于点（ -3,-2 ）成中心对称，且 y
A(x1, y1)、 B( x2 , y2 ) 两点， 则 x1 x2
， y1 y2
g ( x) 的图象与函数 .
f (x)
1 2 交于 x3
5. 分解因式：
（1） x 2 (a 2)x 2a
初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计
《韦达定理及其应用》教学设计设计者：海口二中庞桔云一.教材分析《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。
二.学情分析本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：三.教学目标知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。
过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。
情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.四.教学重、难点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。
五.教学策略与手段教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.六.教学过程。
专题06 韦达定理(一元二次方程的根与系数的关系) 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，2＝242b b aca -±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( ) （A ）2（B ）2- （C ）12 （D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是 _____ ．（3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ．（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( )（A ）20-（B ）2（C ）220-或（D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 已知2816|1|0a a b +++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料06 韦达定理◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x 1，224b b ac-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．知识链接02 韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a． （用韦达定理时隐藏着“0≥∆”）推论1：以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）可以写成：x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．推论2：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根，则| x 1－x 2|＝||a ∆Δ＝b 2－4ac ）． 知识链接03 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=， 22121212()()4x x x x x x -=+-，2121212||()4x x x x x x -=+-2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）已知方程2560xkx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．（2）已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． （3）已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． （4）关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．（ⅰ）方程两实根的积为5；（ⅱ）方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【解析】（1）法一：（代入求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 法二：（韦达定理求解）方程的另一个根为－35，k 的值为－7．（2）设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4．∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简得 m 2－16m －17＝0，解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．（3）法一：设这两个数分别是x ，y ，则 x ＋y ＝4， ① xy ＝－12． ②∴x 1＝－2，x 2＝6． ∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6． 法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0的两个根．解这个方程，得 x 1＝－2，x 2＝6．所以，这两个数是－2和6．（4）（ⅰ）∵方程两实根的积为5 ∴ 222121[(1)]4(1)034,412154k k k k x x k ⎧∆=-+-+≥⎪⎪⇒≥=±⎨⎪=+=⎪⎩所以，当4k =时，方程两实根的积为5．（ⅱ）由12||x x =得知：①当10x ≥时，12x x =，所以方程有两相等实数根，故0∆=⇒32k =；②当10x <时，12120101x x x x k k -=⇒+=⇒+=⇒=-，又由于 0∆>⇒32k >，故1k =-不合题意，舍去．综上可得，32k =时，方程的两实根12,x x 满足12||x x =．典例剖析02 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：（1）2212x x +； （2）1211x x +； （3） 12(5)(5)x x --； （4） 12||x x -．【解析】由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-．（1）2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=；（2）121212112220072007x x x x x x +-+===-； （3）121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-； （4）22212121212||()()4(2)4(2007)4502x x x x x x x x -=-=+-=---=．典例剖析03 （1）若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．（2）一元二次方程x 2－4x ＋a ＝0有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围．【解析】（1）设x 1，x 2是方程的两根，则 x 1x 2＝a －4＜0， ①且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0． ②由①得 a ＜4， 由②得 a ＜174 ．∴a 的取值范围是a ＜4．（2）法一：由⎩⎨⎧<-->∆0)3)(3(021x x 解得：3<a ．法二：设)(x f ＝ x 2－4x ＋a ，则如图所示，只须0)3(<f ，解得3<a ．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）方程222330x kx k -+=的根的情况是 （C ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （D ）（A ）m ＜14 （B ）m ＜14，且m ≠0（C ）m ＞－14，且m ≠0 （D ）m ＞－14（3）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是（ B ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根（4）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 （C ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（5）若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（A ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0小试牛刀02 （1）若12,x x 是方程22630x x -+=的两个根，则1211x x +的值为( A )（A ）2（B ）2-（C ）12（D ）92（2）若方程22(1)30x k x k -+++=的两根之差为1，则k 的值是____ ．9或3- （3）若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ．12（4）设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = _____ ，q = _____ ． 1,3p q =-=-（5）若实数a b ≠，且,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则1111b a a b --+--的值为 ( A )（A ）20- （B ）2（C ）220-或 （D ）220或（6）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为 （ C ）（A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1小试牛刀03 2816|1|0a a b ++-=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？1,4=-=b a 4<k 且 0≠k小试牛刀04 若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．2-<a。
初高中衔接第三讲韦达定理
1.方程x 8 x 4 0两根分别为、 , 不解方程求：
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(2) Βιβλιοθήκη 2 2(3)
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2.(1)求作一个一元二次方程, 使它两根为 1 5和 1 5. (2)方程x 2 3 x 2 0, 不解方程, 求作一个一元二次 方程, 使它的一个根为原方程两根的平方和, 另一根 是原方程两根的平方.
对一元二次方程 ax 2 bx c 0 b b 4ac 1.求根公式： x (b 2 4ac 0) 2a 2.判别式： 0, 方程有两个不同实根；
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0, 方程有两个相同实根； 0, 方程没有实根； b c 3.韦达定理： 1 x 2 , x1 x 2 x a a 4.以x1、x 2为根一元二次方程为 x 2 ( x1 x 2 ) x x1 x 2 0 因式分解ax bx c a ( x x1 )( x x 2 )
4.关于x 一元二次方程ax 2 5 x a 2 a 0的一个 根为0, 则a值是 A.0
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B .1 C . - 1 D.0或 - 1
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5.已知关于x方程x 2( m 2) x m 4 0有两 个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两根积 大 21, 求m值. 6.已知方程mx 2( m 1) x m 3 0, m为何值
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时, 一元二次方程 (1)有实数根 ? (3)有两负根 ? (4)一正一负 ?
(2)有两正根 ?
练习： 方程x mx 1 0两根为x1、x2 ,
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且 | x1 x2 | 2, 求m
初三升高一数学暑假班衔接课：02—韦达定理-教师版
高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程韦达定理（教师版）1 / 20韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。
而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）3 / 204 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x ，则5621-=x ，531-=∴x ．由5253(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．5 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 223(425(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． (2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(325[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：6 / 20高一数学暑假课程 韦达定理（教师版） 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合； (2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．7 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】3【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析8 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题．解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：9 / 20韦达定理（教师版）(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★【答案】 【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围3<a 382<<a10 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．11 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0， 此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0， 解得11x =，21x =.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★ 【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程12 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04721(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；13 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0， 又∵AB+CD=2m >0，∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半． 则根据PQ=1，得CD-AB=2．由CD-AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．14 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2= 2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】=∴m =2n …①， ∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．15 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 02=++p qx x16 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )17 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【难度】★★ 【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28，18 / 20高一数学暑假课程∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x19 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m==∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】见解析∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有(a-1)(x2-1)=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-3．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）20 / 20。
初高中数学衔接知识点
初高中数学衔接知识点从初中升入高中，数学学科的知识难度和深度都有了明显的提升。
为了帮助同学们更好地适应高中数学的学习，下面我们来梳理一下初高中数学衔接的重要知识点。
一、数与式1、绝对值初中阶段，我们对绝对值的理解主要是基于数轴上的距离。
例如，｜3| ＝ 3，｜－3| ＝ 3。
但在高中，绝对值的概念会被更深入地运用，例如在求解不等式|x 2| ＞ 5 时，需要分情况讨论 x 2 的正负，得到 x ＜－3 或 x ＞ 7。
2、二次根式初中我们学习了二次根式的基本运算，如化简、乘法法则和除法法则。
高中会在此基础上，结合函数、不等式等知识进行更复杂的运算和应用。
3、因式分解初中常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）。
高中数学中，因式分解的应用更加广泛，有时需要使用十字相乘法、分组分解法等更复杂的方法来分解因式，以解决方程和不等式的问题。
二、方程与不等式1、一元二次方程初中我们重点学习了一元二次方程的求解方法，如配方法、公式法和因式分解法。
高中则会更多地关注一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），以及利用一元二次方程解决实际问题和函数问题。
2、不等式初中主要学习了一元一次不等式的解法。
高中会拓展到一元二次不等式、简单的分式不等式和绝对值不等式。
例如，求解不等式 x² 2x 3 ＜ 0，需要先求出方程 x² 2x 3 ＝ 0 的根，然后根据函数图象的开口方向和与 x 轴的交点来确定不等式的解集。
三、函数1、函数的概念初中对于函数的定义是基于变量之间的对应关系。
高中则会从集合的角度来重新定义函数，使函数的概念更加严谨和抽象。
2、一次函数与反比例函数初中我们对一次函数和反比例函数的性质有了一定的了解。
高中会在这些基础上，进一步研究它们的图象和性质，并与其他函数进行综合应用。
3、二次函数初中主要学习了二次函数的基本表达式、图象和简单的应用。
高中会深入探讨二次函数的最值问题、与一元二次方程和不等式的关系，以及二次函数在实际生活中的优化问题。
初升高衔接数学十字相乘法及韦达定理课件-高一上学期
所以顶点坐标为(1，4）
(2)方法一：由(1)知m＝2，所以－x2＋2x＋3＝0，即x2－2x－3＝0.
得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1.
(3)由题图知，当抛物线在 x 轴上方时，图象上点的纵坐标大于0.这部分图
得(2x−1)(x−3)=0，
1
解得x1= ，x2=3.
2
能力提升
用十字相乘法分解下列因式
1、x4+7x2+6
解：1.原式= （x2+1）（x2 +6）
2.原式= （x-y）（x -4y）
2、x2-5xy+4y2
二、一元二次方程根的情况
2
例如：解方程 mx ＋2x＋1＝0.
(1)判断依据：对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c＝0(a≠0)，有
象上点的横坐标介于A,B两点的横坐标之间．所以当－1<x<3时，y>0.
X1+X2=
X1 X2 =
练习： X1与X2是方程X2-X-1=0的两根
求 X1+X2=
X1X2=
+ =
X12+X22=
练习：已知 x 1，x 2 是方程 x 2－2x－1＝0 的两个实数根，
1
1
求 (1)x 1＋x 2； (2)(2x 1－1)(2x 2－1)；
(3) ＋
x1
x2
能力提升
b
c
那么 x1＋x2＝－a ，x1x2＝a ，这一关系也被称为韦达定理．
(2)应用：若已知 x1，x2 是一元二次方程的两个根，
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韦达定理（1课时）
知识要点：
若实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=的两个实根为12,x x ，则根与系数有如下关系： 1212b x x a c x x a ìïï+=-ïïíïï?ïïïî
，也称韦达定理。
注意：满足以上关系的前提是一元二次方程20ax bx c ++=有实数解，即0D >
例题
1. 若方程20x ax b --=的两个解是2和3，则不等式012
>--ax bx 的解是_____.
2. 设12,x x 是方程2210x x --=的两个根，且12x x >求
（1）12x x + （2）12x x ×
（3）12x x - （4）2212x x +
（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +
3．设12,x x 是方程2
10x ax -+=的两个根，若22123x x +>，求实数a 的取值范围.
4.已知12,x x 是方程22(2)40x a x a ++-+=的两根，求实数a 的范围；
（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；
（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；
（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.
变式：将以上题目中条件由“两根都大于0”改为“两根都大于1”，做法有变化吗？
练习：
1．方程250ax x b ++=的两解是
13和12，那么a = ，b = . 2. 设12,x x 是方程2310x x --=的两个根，且12x x >求
（1）12x x + （2）12x x ×
（3）12x x - （4）2212x x +
（5）2212x x - (5) 3312x x - (7) 3312x x +
3. 设12,x x 是方程2
0x x a -+=的两个正根，若2212+>x x a ，求实数a 的取值范围. 4. 已知12,x x 是方程22(1)10x a x a -+-+=的两根，求实数a 的范围；
（1）若两根都大于0, 求实数a 的范围；
（2）若两根都小于0，求实数a 的范围；
（3）若两根一正一负，求实数a 的范围.。