专题一立体几何大题中有关体积的求法
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法
高中数学一轮复习之立体几何之体积求和之倒序相加与错位相减法倒序相加法- 题目：已知 $n$ 个相似的图形，体积分别为$V_1,V_2,\cdots,V_n$，它们的高分别为 $H_1,H_2,\cdots,H_n$，试求它们的总体积。
- 解法：将体积按照从小到大的顺序排列，倒序相加。
$$\begin{aligned} V_{\text{总}} &= V_1+V_2+V_3+\cdots+V_n \\ &= \underbrace{V_n+(V_{n-1}+V_n)+(V_{n-2}+V_{n-1}+V_n)+\cdots+(V_1+V_2+\cdots+V_n)}_\text{n 项} \\ &=\sum_{i=1}^n (n-i+1)\cdot V_i \end{aligned}$$- 思路：题目中给出了多个对象的相似关系，可以联想到容斥原理或首尾相连等概念。
倒序相加法在此基础上，通过对问题进行逆向思维，将求解复杂度从 $O(n^2)$ 降到 $O(n)$，提高了求解效率。
错位相减法- 题目：对于一个直四棱锥棱长为 $a$，slant height 为 $b$，底棱角顶点到底面中心长度为 $h$，底面边长为 $l$ 的直四棱锥，求其体积。
- 解法：在底面边长上下各找一个点，它们与底锥顶点距离相等，将四条从锥顶分别到这两个点的线段涂为黑白相间，即可找到两个相似的四面体。
其中，黑色四面体的底为整个底面的四分之一面积，高为总高度 $h$ 减去截作黑色底面高垂线段的长度 $x$；白色四面体的底面积为黑色四面体的四倍，高为 $b$，可以列出下面的等式：$$\begin{aligned} V &= \frac{1}{3}\cdot \text{黑色四面体体积} + \frac{1}{3}\cdot \text{白色四面体体积} \\&= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}l^2(h-x) +\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}l^2(b-x) \\&= \frac{1}{36}l^2(2b+h-3x) \end{aligned}$$- 思路：用错位相减法求解，是将一个复杂的立体几何问题，转化为求两个相似图形的体积之差。
文科高考数学立体几何大题求各类体积方法
A BCD PA B CDP文科高考数学立体几何大题求各类体积方法【三年真题重温】1.【2011⋅新课标全国理，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ． (Ⅰ) 证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ) 若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值． 2.【2011 新课标全国文，18】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形．60,2,DAB AB AD PD ∠==⊥底面ABCD ．(Ⅰ) 证明：PA BD ⊥；(Ⅱ) 设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．根据DE PB PD BD ⋅=⋅，得32DE =．即棱锥D PBC -的高为32．3.【2010 新课标全国理，18】如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形，AB CD,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.（1） 证明：PE ⊥BC（2） 若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值【解析】命题意图：本题主要考查空间几何体中的位置关系、线面所成的角等知识，考查空间想象能力以及利用向量法研究空间的位置关系以及线面角问题的能力.4.【2010 新课标全国文，18】如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ; （Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
5.【2012 新课标全国理】（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112AC BC AA ==， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1（1）证明：BC DC ⊥1（2）求二面角11C BD A --的大小。
6.【2012 新课标全国文】（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。
掌握初中数学中的立体几何体积比解题技巧
掌握初中数学中的立体几何体积比解题技巧立体几何是数学中的一个重要分支，其中涉及到计算各种几何体的体积。
对于初中学生来说，掌握解题技巧可以帮助他们更好地理解和应用立体几何知识。
本文将介绍一些初中数学中常见的立体几何体积比解题技巧，希望能帮助大家在学习中取得更好的成绩。
一、直接计算法直接计算法是最基本的计算体积比的方法。
对于由相似的立体体积组成的问题，可以通过直接计算各个体积，然后比较它们的大小。
例如，给定两个相似的长方体，分别求出它们的体积，然后比较它们的大小，即可求得体积比。
二、倍数关系法倍数关系法是一种常用的解题方法，特别适用于两个或多个体积比的问题。
对于给定的两个几何体，如果它们之间有倍数关系，那么可以通过找到它们的倍数关系来求解体积比。
例如，已知一个正方体的体积是另一个正方体体积的8倍，那么它们的体积比就是8：1。
三、利用体积公式法利用体积公式法是一种常见的解题方法。
通过运用各种几何体的体积公式，可以求解体积比问题。
例如，对于一个球和一个圆柱体，可以利用球和圆柱体的体积公式求解它们的体积比。
四、利用图形变形法利用图形变形法可以将一个几何体变形成另一个几何体，从而求解体积比。
例如，将一个长方体分割成两个等高的三角柱体，再通过计算三角柱体的体积比来求得长方体的体积比。
五、利用相等定理法利用相等定理法是一种简便的解题方法，在没有给出具体数值的情况下，可以通过已知的条件推导得出体积比。
例如，已知一个长方体的底面积是另一个长方体底面积的四倍，且它们的高相等，可以通过相等定理推导得出它们的体积比是4：1。
综上所述，初中数学中的立体几何体积比解题技巧主要包括直接计算法、倍数关系法、利用体积公式法、利用图形变形法和利用相等定理法。
不同的问题需要采用不同的解题方法，掌握这些技巧可以帮助学生更好地理解和应用立体几何知识，提高解题能力。
希望通过本文的介绍，初中学生们可以更加深入地理解立体几何体积比的解题技巧，从而在数学学习中取得更好的成绩。
高考数学立体几何专题：等体积法
高考数学立体几何专题：等体积法一、引言在高考数学中，立体几何是一门重要的学科，它考察了学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
其中，等体积法是一种常用的方法，它在解决立体几何问题中具有重要的作用。
本文将详细介绍等体积法的基本原理和应用，并通过实例来展示其用法。
二等体积法的基本原理等体积法的基本原理是：对于同一个体积，可以将其分解为不同的几何形状，并且这些几何形状的体积相等。
在立体几何中，常见的几何形状有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
这些形状的体积可以通过其高度、底面积和高度的乘积等参数来计算。
三等体积法的应用等体积法在解决立体几何问题中具有广泛的应用。
下面我们将通过几个例子来展示其用法：1、求几何体的表面积和体积例1：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的表面积和体积。
解：该长方体的表面积为2(ab+bc+ac)，体积为abc。
2、判断两个几何体是否体积相等例2：给定两个几何体，判断它们是否体积相等。
解：根据等体积法，我们可以分别计算两个几何体的体积，如果两个体积相等，则两个几何体体积相等；否则，两个几何体体积不相等。
3、求几何体的重心位置例3：已知一个长方体的长、宽和高分别为a、b和c，求该长方体的重心位置。
解：根据等体积法，我们可以将该长方体分成两个小的长方体，它们的重心位置与原长方体的重心位置相同。
因此，我们只需要找到这两个小长方体的重心位置即可。
四、结论等体积法是一种常用的方法，在解决立体几何问题中具有重要的作用。
它可以帮助我们计算几何体的表面积和体积，判断两个几何体是否体积相等，以及求几何体的重心位置等。
在实际应用中，我们需要灵活运用等体积法来解决各种不同的问题。
在数学的世界里，立体几何是一门研究空间几何形状、大小、位置关系的科学。
它不仅在数学领域中占据着重要的地位，同时也是高考数学中的重要考点之一。
本文将针对高考数学立体几何专题进行深入探讨，帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
立体几何中的体积问题
立体几何中的体积问题立体几何中求解体积问题的技巧求解体积是立体几何的重要教学内容，也是数学竞赛的常见考查内容之一。
在解决这类问题时，除了要记住公式，还需要巧妙思考，根据具体条件灵活选择计算体积的方法。
一、公式法举例来说，对于一个四面体ABCD，已知AB=AC=AD=DB=5，BC=3，CD=4，求该四面体的体积。
根据题意，可知BC=3，CD=4，DB=5，因此∠BCD=90°。
我们可以取BD的中点E，连结AE、CE，由直角三角形的性质可知BE=CE=DE，而AB=AC=AD=5，因此△ABE≌△ACE≌△ADE。
由此可得AE⊥BD，AE⊥EC，因此AE⊥平面BCD，即AE为平面BCD上的高。
计算可知V(ABCD)=1/3×S(BCD)×AE=1/3×6×4=8/3.变式1：对于一个三棱锥P-ABC，已知PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°，求三棱锥A-PBC的体积。
在△PAB中，有PB²=PA²+AB²-2PA×AB×cos∠PAB=1²+2²-2×1×2×cos60°=3.同理可得PA⊥PB，PA⊥PC，因此PA⊥平面PBC。
又因为AB=AC=2，∠BAC=60°，所以△ABC为正三角形，BC=2.取BC的中点D，连结PD，则PD²=PB²-BD²=3-1=2.因此S(△PBC)=1/2×BC×PD=2.故V(A-PBC)=1/3×S(△PBC)×PA=2/3.二、分割法对于一个正四棱锥P-ABCD的体积为1，已知E、F、G、H分别是线段AB、CD、PB、PC的中点，求多面体BEG-CFH的体积。
为了求解该问题，需要将多面体BEG-CFH切割成常见的几何体。
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)
立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法(教师版)立体几何大题中有关体积、面积和距离的求法知识点梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积圆柱：侧面积为$S_\text{侧}=2\pi rh$，体积为$V=\pir^2h$圆锥：侧面积为$S_\text{侧}=\pi rl$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi r^2h$圆台：侧面积为$S_\text{侧}=\pi(r_1+r_2)l$，体积为$V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)$直棱柱、正棱锥、正棱台、球的表面积和体积公式不再赘述。
2.几何体的表面积直棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和。
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和。
一公式法例1.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为。
解：因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，所以有以下两种情况：①：2是下底面的周长，4是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\frac{2}{\sqrt{3}}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
②：4是下底面的周长，2是三棱柱的高，此时下底面的边长为$\sqrt{3}$，所以体积为$V=\frac{4}{3}\sqrt{3}$，面积为$S=2\sqrt{3}$。
所以正三棱柱的体积为$\frac{4}{3}\sqrt{3}$。
例2.如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（）。
解：由题意可知此几何体是一个四棱锥，由图可知底面两条对角线的长分别为2和3，底面边长为2，所以底面菱形的面积为$S=\frac{3}{2}$，侧棱为$\sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{13}$，则棱锥的高$h=\sqrt{3^2-(\frac{\sqrt{13}}{2})^2}=\frac{\sqrt{35}}{2}$。
几何体外接球表面积及体积的求法有答案
几何体外接球表面积及体积的求法答案1.D【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图得出该几何体是圆柱，求出圆柱体的表面积和它外接球的表面积即可得出结论．【解答】解：根据三视图得，该几何体是底面半径为3，高为4的圆柱体，所以该圆柱体的表面积为S1=2π×32+2π×3×8=66π；根据球与圆柱的对称性，得它外接球的半径R满足（2R）2=62+82=100，所以外接球的表面积为S2=4πR2=100π；所以剩余几何体的表面积是S=S1+S2=66π+100π=166π．故选：D．【点评】本题考查了三视图的应用问题，也考查了利用三视图研究直观图的性质，球与圆柱的接切关系，球的表面积计算问题，是基础题目．2.D【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积．【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π．故选：D．【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题．3.C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理列方程，解出球的半径即可．【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为E，过点A，B，C，D，S的球的球心为O，半径为R，则在直角三角形AEO中，AO=R，AE=BD=4，OE=SE﹣AO=8﹣R由AO2=AE2+OE2得R2=42+（8﹣R）2，解得R=5球半径R=5，故选C．【点评】本题主要考查球，球的内接体问题，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．4.D考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圆半径为r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半径，再用面积求解．解答：解：因为AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故选D点评：本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键．5.C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．6.C【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】将四面体补成长方体，通过求解长方体的对角线就是球的直径，然后求解外接球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=29，x2+z2=34，y2+z2=37，则有（2R）2=x2+y2+z2=50（R为球的半径），得R2=，所以球的表面积为S=4πR2=50π．故选：C．【点评】本题考查几何体的外接球的表面积的求法，割补法的应用，判断外接球的直径是长方体的对角线的长是解题的关键之一．7.B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．8.B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．9.D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，由此能求出球的体积．【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，∴AC=R，由于AB是球的直径，所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面积S=×BC×AC=，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面体P﹣ABC的体积为，∴V P﹣ABC==，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=×πR3=×π×3=4π．故选D．【点评】本题考查四面体的外接球的体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．10.B【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的表面积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=4π故选：B．【点评】本题给出三棱锥的三条侧棱两两垂直，求它的外接球的表面积，着重考查了长方体对角线公式和球的表面积计算等知识，属于基础题．11.D12.考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，则有该三棱锥的外接球的半径R═=，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．点评：本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥的外接球的半径是关键．12.A考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：压轴题．分析：先确定点S到面ABC的距离，再求棱锥的体积即可．解答：解：∵△ABC是边长为1的正三角形，∴△ABC的外接圆的半径∵点O到面ABC的距离，SC为球O的直径∴点S到面ABC的距离为∴棱锥的体积为故选A．点评：本题考查棱锥的体积，考查球内角多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．13.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S 在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大．∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=CH=．在RT△SHO中，OH=OC=OS∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1，∴体积V=Sh=××22×1=．故答案是．【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．14.12π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为： =．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．15.【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出两个球的面积之比．【解答】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，正方体的内切球与外接球的面积之比：==．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的面积之比，求出外接球的半径，是解决本题的关键．16.16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；立体几何．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=3，OO1=3﹣R，在Rt△AO1O中，AO1=AC=，由勾股定理R2=3+（3﹣R）2得R=2，∴球的表面积S=16π故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积，球的内接体问题，解答关键是确定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半径．需具有良好空间形象能力、计算能力．17.36π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC，又∵MN⊥AM而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC即SB⊥平面SAC，∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，∴2R=2 ，∴R=3，∴S=4πR2=4π•（3）2=36π，故答案为：36π．【点评】本题是中档题，考查三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力；三棱锥扩展为正方体，它的对角线长就是外接球的直径，是解决本题的关键．18.；。
立体几何大题训练及答案
立体几何大题训练及答案题目：立体几何大题训练题目一：一个正方体的棱长为6cm，求其体积和表面积。
解答：正方体的体积可以通过边长的立方来计算，即体积 = 边长³。
所以，这个正方体的体积为6cm × 6cm × 6cm = 216 cm³。
正方体的表面积可以通过各个面的面积之和来计算。
正方体有6个面，每个面都是正方形，所以每个面的面积为边长× 边长。
所以，这个正方体的表面积为 6 × (6cm × 6cm) = 6 × 36cm² = 216cm²。
题目二：一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求其体积和表面积。
解答：长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算，即体积 = 长× 宽×高。
所以，这个长方体的体积为3cm × 4cm × 5cm = 60 cm³。
长方体的表面积可以通过各个面的面积之和来计算。
长方体有6个面，其中有两个面是长方形，四个面是正方形。
长方形的面积为长× 宽，所以两个长方形的面积之和为 2 × (3cm × 4cm) = 24 cm²。
正方形的面积为边长× 边长，所以四个正方形的面积之和为 4 × (4cm × 4cm) = 64 cm²。
所以，这个长方体的表面积为24 cm² + 64 cm² = 88 cm²。
题目三：一个圆柱体的底面半径为2cm，高为6cm，求其体积和侧面积。
解答：圆柱体的体积可以通过底面积乘以高来计算，即体积 = 底面积× 高。
底面积为π × 半径²，所以这个圆柱体的体积为π × (2cm)² × 6cm =24π cm³。
求体积的七种方法
求体积的七种方法
林明成;廖雪蓉
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2010(000)005
【摘要】求体积是立体几何的难点，也是高考考查的重点．因此有必要专题剖析．一、公式法基本几何体（柱、锥、台、球）都有体积公式，求他们的体积，只须运用公式即可，不过首先需确定公式中每个量的大小．
【总页数】3页(P10-12)
【作者】林明成;廖雪蓉
【作者单位】四川省苍溪中学,628400
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.基于点云数据的树冠体积自动求算方法 [J], 王祺;胡洪;吴艳兰;亢瑞红;许邦鑫;梁泽毓
2.求函数最值的七种构造方法 [J], 陈静;
3.求函数解析式的七种常用方法 [J], 罗锴
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5.四种方法求空间几何体的体积 [J], 廖庆伟
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立体几何大题—利用等体积解题
立体几何大题—利用等体积解题立体几何大题中，求空间距离是一个重点，其中求点到平面的距离和求两条异面直线间的距离是难点。
求点到平面的距离通常有四种方法：直接法、转移法、体积法和向量法。
在解题时需要根据题目情况选择合适的方法。
例1：已知矩形ABCD，AB=a,AD=b，PA⊥平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点，求(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离。
解(1)：在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足。
连接QE，由三垂线定理得QE⊥BE，因此QE的长为Q到BD的距离。
在矩形ABCD中，AB=a,AD=b，∴AE=ab/(a+b)^2.在Rt△QAE中，QA=1/2PA=c/2.根据勾股定理得QE=c^2+ab/(a^2+b^2)^(1/2)。
因此，Q到BD的距离为c+(2a+b)/(a^2+b^2)^(1/2)。
解(2)：由于平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离。
在△AQE中，作AH⊥XXX，H为垂足。
因为BD⊥AE，BD⊥QE，所以BD⊥平面AQE，因此BD⊥AH。
因此，P到平面BQD的距离等于AH，即ABCD中AE的长度为ab/(a+b)。
因此，P到平面BQD的距离为ab/(a+b)。
例2：已知棱长为2的正方体AC1，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离。
解：连接BG1，因为BG1⊥平面GB1D1，所以BD⊥BG1，因此BD⊥平面GB1D1.因此，BD到平面GB1D1的距离等于BD到线段BG1的距离。
在△AAG1中，AG1=AA1/2=√2，因此BG1=√6.在Rt△BAG1中，用勾股定理得BD到BG1的距离为√(6-2√2)。
例3：已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，点E在棱D1D 上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1-EAC的体积。
立体几何大题—利用等体积解题
立体几何大题中有关体积的求法1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点2、求点到平面的距离通常有四种方法(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法(4)向量法例题分析：例1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离例2、如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离.BACDOGH 1A 1C 1D1B 1O1A例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积参考答案：例1、如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ,AD =b ,P A ⊥平面ABCD ，P A =2c ,Q 是P A 的中点 求 (1)Q 到BD 的距离；(2)P 到平面BQD 的距离解 (1)在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD ，E 为垂足 连结QE ，∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ∴QE 的长为Q 到BD 的距离 在矩形ABCD 中，AB =a ,AD =b ,∴AE =22ba ab +在Rt △QAE 中，QA =21P A =c ∴QE =22222ba ba c++∴Q 到BD(2)解法一 ∵平面BQD 经过线段P A 的中点， ∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离 在△AQE 中，作AH ⊥QE ，H 为垂足∵BD ⊥AE ,BD ⊥QE ,∴BD ⊥平面AQE ∴BD ⊥AH∴AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离在Rt △AQE 中，∵AQ =c ,AE =22ba ab +∴AH =22222)(ba cb a abc ++∴P 到平面BD 的距离为22222)(ba cb a abc ++解法二 设点A 到平面QBD 的距离为h ，由V A —BQD =V Q —ABD ,得31S △BQD ·h =31S △ABD ·AQ h =S AQ S BQD ABD ==⋅∆∆例2． 如图，在棱长为2的正方体1AC 中，G 是1AA 的中点，求BD 到平面11D GB 的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一 BD ∥平面11D GB ，BD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点O 平面11D GB 的距离,1111C A D B ⊥ ，A A D B 111⊥，⊥∴11D B 平面11ACC A ,又⊂11D B 平面11D GB∴平面1111D GB ACC A ⊥，两个平面的交线是G O 1,作G O OH 1⊥于H ，则有⊥OH 平面11D GB ，即OH 是O 点到平面11D GB 的距离. 在OG O 1∆中，222212111=⋅⋅=⋅⋅=∆AO O O S OG O . 又362,23212111=∴=⋅⋅=⋅⋅=∆OH OH G O OH S OG O . 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 解析二 BD ∥平面11D GB ，BACDOGH 1A 11D1B 1OBD ∴上任意一点到平面11D GB 的距离皆为所求，以下求点B 平面11D GB 的距离.设点B 到平面11D GB 的距离为h ，将它视为三棱锥11D GB B -的高，则，由于632221,111111=⨯⨯==∆--D GB GBB D D GB B S V V 34222213111=⨯⨯⨯⨯=-GBB D V , ,36264==∴h 即BD 到平面11D GB 的距离等于362. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离；解析二是等体积法求出点面距离.例3、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°,AB =a ,求(1)截面EAC 的面积；(2)异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；(3)三棱锥B 1—EAC 的体积解 (1)连结DB 交AC 于O ，连结EO ， ∵底面ABCD 是正方形 ∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD ∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a (2)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1 ∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线 又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a(3)连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC ∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=-1A。
立体几何中求体积常用方法汇集
立体几何中求体积常用方法汇集 教学内容：立体几何中求体积常用方法。
考情分析：近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的表面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
知识点梳理1、柱体、台体、锥体的侧面积公式注意体会柱体、锥体、台体侧面积公式之间的统一性。
2、空间几何体的体积公式V 柱体= Sh ．V 锥体=13Sh ．V 台体=1('')3h S SS S ++．3、球的表面积和体积．24S R π=球面． V 球=343R π．一、直接法例1、(2011·广东)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．A．18 3 B．12 3 C．9 3 D．6 3分析：根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高3，故V＝3×3×3＝9 3.答案 C 以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．练习1、(2012·东莞模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )．A.283πB.163πC.43π＋8 D ．12 π解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案 A二、等积代换三、平行移动法四、割补法对于题目中出现一些不规则的几何图形，不能直接套用公式，需要按照题目的要求，将原几何图形分割成或添加补成可求体积的几何体，然后再求解。
立体几何高考专题--球台的几种常见体积计算方法
立体几何高考专题--球台的几种常见体积
计算方法
球台是一个常见的几何体，其体积计算是高考几何题中常考的题型之一。
下面介绍几种常见的计算球台体积的方法：
方法一：分层叠加法
1. 首先，将球台分成多个薄圆盘层，每个薄圆盘层的厚度为Δh。
2. 然后，计算每个薄圆盘层的面积，并乘以Δh得到薄圆盘层的体积。
3. 最后，将所有薄圆盘层的体积相加即可得到球台的体积。
这种方法适用于球台上下直径变化较小的情况。
方法二：切割法
1. 首先，将球台切割成一系列小柱体。
2. 计算每个小柱体的体积，然后将所有小柱体的体积相加即可
得到球台的体积。
这种方法适用于球台上下直径变化较大的情况。
方法三：积分法
1. 首先，使用函数表示球台的截面，得到球台的微元体积dV。
2. 然后，对球台的截面进行积分，即可得到球台的体积。
这种方法适用于球台形状比较复杂的情况。
需要注意的是，无论使用哪种方法计算球台的体积，都需要根
据几何性质正确设置各个参数和变量，确保计算结果的准确性。
以上是关于球台的几种常见体积计算方法的介绍。
希望对您的
学习有帮助！。
立体几何习题课(分割法、补形法求体积等举例)
例4、三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABC=90o， VA=a，VB=b，AC=c（cb），M是VC中点。
（1）求证：V，A，B，C四点在以M为球心的球面上； （2）求VC与AB所成的角的大小。
V
M
G
A
E
C
B
F
（arcco(bs2aa22)c(a22c2)）
例6、三棱锥P-ABC中，AP=AC，PB=2，将此棱锥沿三
条侧棱剪开，其展开图是一个直角梯形P1P2P3A。 （1）求证：侧棱PB⊥ AC；
（2）求侧面PAC与底面ABC所成的角的余弦值。
P1
m
A
P
2
B
B
Ө
A
2
D
C （甲）
P2
m
m
D
C n E n P3 （乙）
解:(1)（略）
(2)甲图中，作PD⊥AC于D，连接BD，可得PDB
即为面PAC与面ABC所成二面角的平面角。
（KEY： 3 ）
注意：分割法求体积。
例1、已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角 形，另一个侧面是等腰直角三角形。求此三棱锥的体积。
（解法2）
S
A D B
法二：取AB中点D，连接SD，CD。易得△ABC
为等腰直角三角形，ACB=90o。则有SD⊥AB，
CD⊥AB。又SA=SB=SC，∴S在底面的射影为底
∴ cosPDB=4/5,为所求。
P
2
（甲）
B
Ө
A
D
C
P1
m
（乙）
A
2
B
m
m
2
D
P2
C n E n P3
文科立体几何大题---变换顶点求体积学生版(答案在卷尾)
文科立体几何大题-------求体积 题型一：变换顶点求体积 例题1如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，//AB CD ，2AB =，3CD =，M 为PC 上一点，且2PM MC =.（1）求证：BM ∥平面PAD ； （2）若2AD =，3PD =，3BAD π∠=，求三棱锥P -ADM 的体积.典型题练习1.已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形，△ABC为腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.（Ⅰ）试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥E-ABC的体积.练习2在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB ＝2AD ＝4，3DAB π∠=． （1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为6π，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C —MNQ 的体积．巩固练习1.如图示，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形，PD AD =，E 、F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅲ）设33==BC AB , 求三棱锥P -AEF 的体积.练习2如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB =2，60BAD ∠=︒．（1）求证：平面PBD ⊥平面P AC ；（2）若PA AB =，M 为线段PC 的中点，求三棱锥C -MBD 的体积。
文科立体几何大题-------求体积题型一：变换顶点求体积例题1.解析：1.（1）法一：过作交于点，连接.∵，∴.又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面，平面，∴平面.法二：过点作于点，为垂足，连接.由题意，，则，又∵，，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴.又，∴.又∵平面，平面；∵平面，平面，；∴平面平面.∵平面，∴平面.（2）过作的垂线，垂足为.∵平面，平面，∴.又∵平面，平面，；∴平面由（1）知，平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，即.在中，，，∴.M //MN CD PD N AN 2PM MC =23MN CD=23ABCD =//AB CD //AB MN ABMN//BM AN BM ⊄PAD AN ⊂PAD //BM PAD M MN CD ⊥N N BN 2PM MC =2DN NC =3DC =2DN =//AB DN ABND //BN AD PD ⊥ABCD DC ⊂ABCD PD DC ⊥MN DC ⊥//PD MN BN ⊂MBN MN ⊂,MBN BN MN N =AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=//MBN PAD BM ⊂MBN //BM PAD B AD E PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD BE ⊥AD ⊂PAD PD ⊂PAD AD PD D ⋂=BE ⊥PAD //BM PAD M PAD B PAD BE ABC ∆2AB AD ==3BAD π∠=BE =13P ADM M PAD PAD V V S --∆==⨯133BE ⋅=⨯典型题练习1.解析：（Ⅰ）如图所示，取中点，取中点，连结，则即为所求. 证明：取中点，连结，∵为腰长为的等腰三角形，为中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，同理可证平面，∴，∵平面，平面，∴平面.又，分别为，中点，∴，∵平面，平面，∴平面.又，平面，平面，∴平面平面，又平面，∴平面.（Ⅱ）连结，取中点，连结，则，由（Ⅰ）可知平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等.又是边长为的等边三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∴平面，∴为中点，∴，又，，∴∴.DC N BD M MN MN BC H AH ABC ∆3H BC AH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =AH ⊂ABCAH ⊥BCD EN ⊥BCD //EN AH EN ⊄ABCAH ⊂ABC //EN ABC M N BD DC //MN BC MN ⊄ABC BC ⊂ABC //MN ABC MN EN N =MN ⊂EMN EN ⊂EMN //EMN ABC EF ⊂EMN //EF ABC DH CH G NG //NG DH //EN ABC E ABC N ABC BCD ∆2DH BC ⊥ABC ⊥BCD ABC BCD BC =DH ⊂BCD DH ⊥ABC NG ⊥ABC DH =N CD NG =3AC AB ==2BC =12ABC S BC AC ∆=⋅⋅=V V =1S NG =⋅⋅=练习2解析：（1）证明：∵D 1D ⊥平面ABCD ，， ∴D 1D ⊥BC ．又AB ＝4，AD ＝2，，∴∵AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD ．又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D∩BD ＝D ，，，∴BC ⊥平面D 1BD ，而，∴平面D 1BC⊥平面D 1BD ； （2）解：∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，而，∴DD 1＝2．，∴BC ABCD ⊂平面3DAB π∠=BD ==1BD D BD ⊂平面11D D D BD ⊂平面1BC D BC ⊂平面16D BD π∠=BD =14C MNQ Q CMN Q BDC V V V ---==11121432C MNQ V -=⨯⨯⨯⨯=巩固练习1.解析：（Ⅰ）取PA 的中点G ，连FG ，由题可知：BF=FP ,则FG //AB FG = AB ,又CE= ED ，可得：DE//AB 且DE = AB ，∴ FG //DE 且FG = DE ,∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF //DG且EF =DG ,DG ⊂平面PAD ；EF ⊄平面PAD ，∴ EF//平面PAD ⋯⋯⋯4分 （Ⅱ）由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ，且交线为AD ，又底面ABCD 是矩形，∴ BA ⊥ AD ，∴BA ⊥ 平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PAD,其交线为PA ，又PD=AD ，G 为PA 的中点，∴DG ⊥ PA ，∴ DG ⊥平面PAB ，由（Ⅰ）知：EF // DG , ∴ EF ⊥平面PAB ⋯⋯⋯8分 （Ⅲ）由BC =1, AB =F 为PB 的中点，∴ = = = == = ⋯⋯⋯⋯12分练习2解析：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴. 又∵平面ABCD ，平面ABCD ，∴．又，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （Ⅱ）解：1212AEF P V -AEF B V -ABE F V-ABE P V -21PD S ABE ⋅⋅⋅∆3121112213121⋅⋅⋅⋅⋅122AC BD ⊥PA ⊥BD ⊂≠PA BD ⊥PA AC A =PA ⊂≠PAC AC ⊂≠PAC BD ⊥PAC BD ⊂≠PBD PBD ⊥PAC BCD 11=2232C BDM M V V --=⨯⨯⨯。
高考数学立体几何专题：等体积法(一)
第一个问题：如下图所示：计算：上顶点P 到底面ABC 的距离P h 。
第一种情况：底面ABC 的垂线过上顶点P 。
例题一：已知：在三棱锥ABC P -中：直线⊥PA 底面ABC 。
计算：点P 到底面ABC 的距离P h 。
解答：直线⊥PA 底面ABC ，直线PA 上点P 是上顶点，直线PA 上点A 是底面ABC 上一点PA ⇒是点P 到底面ABC 的距离，PA h P =。
例题二：已知：如下图所示，直线⊥PQ 平面ABC 。
计算：点P 到底面ABC 的距离P h 。
解答：直线⊥PQ 平面ABC ，直线PQ 上点P 是上顶点，直线PQ 上点D 是平面ABC 上一点PD ⇒是点P 到平面ABC 的距离，PD h P =。
第二种情况：底面ABC 的垂线不过上顶点P 。
例题一：已知：在三棱锥ABC P -中：点D 和点E 分别为AB 和PA 的中点，⊥DE 平面ABC 。
计算：点P 到底面ABC 的距离。
解答：点D 和点E 分别为AB 和PA 的中点DE ⇒是PAB ∆的中位线PB DE //⇒，⊥DE 底面ABC⊥⇒PB 底面ABC ，直线PB 上的点P 是上顶点，直线PB 上的点B 在底面ABC 上⇒点P 到底面ABC 的距离为PB 。
例题二：已知：在三棱柱111C B A ABC -中，点P 是棱1BB 的中点，⊥1AB 底面ABC 。
计算：点P 到底面ABC 的距离。
解答：过点P 作1AB 的平行线交AB 于点Q 。
如下图所示：⊥1AB 底面ABC ，⊥⇒PQ AB PQ 1//平面ABC ，直线PQ 上的点P 是上顶点，直线PQ 上的点Q 在底面ABC 上⇒点P 到底面ABC 的距离为PQ 。
第二个问题：如下图所示：计算：三棱锥ABC P -的体积。
P ABC ABC P h S V ⨯⨯=∆-31，其中P h 是上顶点P 到底面ABC 的距离。
问题：第一个问题中解决的上顶点P 到底面ABC 的距离，都会有一个共同特点，底面ABC 有一条垂线。
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略(原卷版)
第34讲 立体几何解答题中的体积求解策略【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，解答题中体积的求法也是重点考查的知识，其求解的策略主要有两种方法：其一针对三棱锥的换顶点的思路，其二是对于多面体求体积可用切割法.方法一 换顶点法万能模板 内 容使用场景 三棱锥体积的求解解题模板第一步 观察三棱锥的4个顶点；第二步 找到易求高的顶点的三棱锥，有时需要等价转化顶点，如平行转化，相似，全等转化；第三步 根据公式求解结果.例1【广西北海市2021届高三第一次模拟考试数学（文）】如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PAB △为等边三角形，AC BC ⊥且2AC BC ==，O 、M 分别为棱AB 、PA 的中点.（1）求证：平面MOC ⊥平面PAB ； （2）求三棱锥P ABC -的体积.【变式演练1】【四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（文科）（四模）】如图，在多面体ABCDEF 中，侧面ADEF 是平行四边形，底面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，顶点E 在底面ABCD 内的射影恰为点C .（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACE；（Ⅰ）若CD CE=，求四面体ABEF的体积.【变式演练2】【河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试文科数学】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADⅠAB，PAⅠ平面ABCD，过AD的平面与PC，PB分别交于点M，N，连接MN.（1）证明：BC//MN；（2）已知PA=AD=AB=2BC，平面ADMNⅠ平面PBC，求P BDMP ABCDVV--的值.方法二切割法万能模板内容使用场景多面体体积的求解解题模板第一步观察几何体特征，多面体切割成其他锥体或者补起来；第二步分别求出组成的几何体的体积；第三步根据公式求解结果.例2、【安徽省皖豫名校联盟体2021届高三（上）第一次联考数学（文科）】如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，//BC AD，90ABD∠=︒，四边形ADMN为矩形，点G，H分别是线段MN，CD的中点，点I在线段AD上．（1）探究：是否存在点I，使得平面//GHI平面ACN？并证明；（2）若142DM BC AB===，线段MN在平面ABCD内的投影与线段AD重合，求多面体BC ADMN -的体积．例3、《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中////AB DC EF ，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a ，b ，c 、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n （如图）．已知3a =，2b =，1c =，2m =，1n =，则此“羡除”的体积为（ ）A ．2B ．3C ．32D ．42【来源】安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷理科数学试题【变式演练3】【云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试】如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且AB =AD =12CD = 1，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明:平面BCE Ⅰ平面BDE ; （2）求六面体ABCDEF 的体积.【变式演练4】【四川省内江市2020届高三下学期第三次模拟考试】如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，AC BD ⊥，1BC =，14A D A A ==.（1）证明：面1ACD ⊥面1BB D ； （2）求多面体1111ABC A B C D -的体积.【高考再现】1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数19】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90APC ∠=︒．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ； （2）设2DO =，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P ABC -的体积．2.【2020年高考全国Ⅱ卷文数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；（2）设O 为111A B C △的中心，若6AO AB ==，AO //平面11EB C F ，且3MPN π∠=，求四棱锥11B EB C F -的体积．。
高中三年级数学易考知识点立体几何中的体积计算
高中三年级数学易考知识点立体几何中的体积计算在高中数学中，立体几何是一个重要的知识点，其中涉及到很多与体积有关的计算。
掌握了立体几何的体积计算方法，将有助于我们在数学考试中更加轻松地应对相关题目。
本文将针对高中三年级数学中的立体几何体积计算进行详细介绍和解析。
1. 直角三角柱的体积计算直角三角柱是指底面为直角三角形，侧面为长方形的立体。
计算其体积的方法是将直角三角柱的底面积与高相乘。
即体积V = 底面积 ×高。
例如，如果底边长为a，垂直边长为b，直角三角柱的高为h，则它的体积可以表示为V = 1/2ab × h。
2. 长方体的体积计算长方体是最常见的一种立体，其底面为长方形，侧面是长方形的四个边面。
计算长方体的体积非常简单，只需将长方体的底面积与高相乘即可。
即体积V = 底面积 ×高。
例如，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则它的体积可以表示为V = a × b × h。
3. 圆柱体的体积计算圆柱体是由一个底面为圆的圆盘加上一个高为h的圆柱部分组成的立体。
计算圆柱体的体积公式为V = 底面积 ×高。
其中，底面积指的是圆的面积，可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。
因此，圆柱体的体积可以表示为V = πr² × h。
4. 圆锥体的体积计算圆锥体是由一个底面为圆的圆盘加上一个由圆心发出的射线与底面相交，并与底边构成的三角形绕着射线旋转一周形成的立体。
计算圆锥体的体积公式为V = 1/3 ×底面积 ×高。
其中，底面积指的是圆的面积，可以通过公式πr²来计算，其中r为圆的半径。
因此，圆锥体的体积可以表示为V = 1/3 × πr² × h。
5. 球体的体积计算球体是最简单的一种立体，其体积计算公式为V = 4/3 × πr³。
立体几何中求体积的几种方法
立体几何中求体积的几种方法
立体几何中求体积的方法：
1、分割法，一般的考试题目不会给你一个简单的长方体，正方体，圆等等一些能套公式就能求出体积，而是弄一些多面体，让你求它的体积。
分割法，就是把多面体分割成几个我们常见的立体，然后求各个分割体的体积，最后相加就能得出所要求的体积了。
2、补形法，多面体加以拼补，把它拼成我们常见的立体，求出该立体的体积后，把补上去的各个立体的体积算出来，相减就能得出所要求的体积了。
3、等体积法，这个方法举例比较好说明，比如，求四面体P-ABC的体积，但是顶点P到面ABC的距离不好求（即高h），然而我们把顶点和底面换一下，换成四面体A-PBC，此时，定点A到面PBC的距离可以很容易就得到（AP丄面PBC，即AP就是高）,这样四面体A-PBC的体积就很容易求出来了。
显然，四面体P-ABC和四面体A-PBC是同一个立体，因此，求出四面体A-PBC的体积也是求出四面体P-ABC的体积。
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A
P
B
C
D
H 专题一：立体几何大题中有关体积的求法
角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。
以下是求体积的一些常用方法及有关问题。
一公式法
1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为 ． 2.（2011广东卷文9）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ）． A ．43 B ．4 C ．23 D ．2
练习
3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6和4的平行四边形，则该几何体的体积为___________.
4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为 ▲ [
二、转换法
当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体
中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积． 5例 在边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M N P ，，分别是棱
11111A B A D A A ，，上的点，且满足11112A M A B =
，112A N ND =，113
4
A P A A =（如图1），
试求三棱锥1A MNP -的体积．
6练习（2013年高考江西卷（文））如图,直四棱柱ABCD – A1B1C1D1中,AB
求点B1 到平面EA1C1 的距离
三、割补法
分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．
7例已知三棱锥ABC P -，其中4=PA ,2==PC PB ,
60=∠=∠=∠BPC APC APB 求：三棱锥ABC P -的体积。
8练习 如图2，在三棱柱111ABC A B C -中，E F ，分别为AB AC ，的中点，平面11EB C F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比
9练习。
如图（3），是一个平面截长方体的剩余部分， 已知12,8,5,3,4=====CG BF AE BC AB ，
求几何体EFGH ABCD -的体积。
10四面体ABC S -的三组对棱分别相等，且依次为5,13,52， 求四面体ABC S -的体积。
巩固练习
11. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒
∠=，PA 垂直于底面ABCD ，
S
C
D
H
E
B
F
F
A
E
C
O
B D
M
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
P
A
B
C
D
1A
1B
1D
E
F
图3
N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点。
(1) 求四棱锥ABCD P -的体积V ；（2）求截面ADMN 的面积。
12. 如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点.
求多面体111C B A ADC -的体积.
13. 如图3，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是菱形，
060ABC ∠=，其侧面展开图是边长为8的正方形。
E 、F 分别是侧棱1AA 、
1CC 上的动点，8=+CF AE ．
问多面体1BCFB AE -的体积V 是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V 的取值范围．
14. 如图，已知BCD ∆中，︒=∠90BCD ，1==CD BC ，AB ⊥平面BCD ，︒=∠60ADB ，E 、F 分别是AC 、
AD 上的动点，且
)10(<<==λλAD
AF
AC AE ． (1)求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ；
(2)若2
1
=λ，求三棱锥BEF A -的体积．
15. 如图，已知1111ABCD A B C D -是底面为正方形的长方体，1160AD A ∠=，14AD =，点P 是1AD 上的动点．
试求四棱锥1111P A B C D -体积的最大值；
16. 如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面
和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD .
设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求ABCD F V -CBE F V -:．
D
C
B
A A 1
B 1
C 1
专题一：立体几何大题中有关体积的求法
1-4略 5解：
11131111111112313323223424
A MNP P A MN
A MN V V S h A M A N A P a a a a --===⨯=⨯⨯=△·······． 6
7解：作BC 的中点D ，连接PD 、AD ，
过P 作AD PH ⊥，垂足H
易证PH 即为三棱锥ABC P -的高，
由棱锥体积公式 PH S V ABC ABC P ⋅=∆-3
1
即得 三棱锥ABC P -的体积4
23
P ABC V -=。
8设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V Sh =．
则三角形AEF 的面积为1
4S ．
由于111173
4
212AEF A B C S
S V h
S Sh -⎛⎫=++= ⎪⎝⎭··，
则剩余不规则几何体的体积为11175
1212
AEF A B C V V V Sh Sh Sh -'=-=-=，
所以两部分的体积之比为111:7:5AEF A B C V V -'=．
9首先通过梯形
BFHD ACGE ,的中位线重合，我们可以求得9=DH ,
分别延长DH CG BF AE ,,,到','','D C B A ,使得17''''====DD CC BB AA , 则我们可得
故长方体''''D C B A ABCD -的体积是几何8',5',9',12'====HD GC FB EA 体EFGH ABCD -的二倍。
故10217432
1
21''''=⋅⋅⋅==--D C B A ABCD EFGH ABCD V V
10 把四面体ABC S -补形成一个长方体FSGC ADBE -，
三度分别是4,3,2则 84322
1
3144324=⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-=---FSC A FSGC ADBE ABC S V V V
11
12
G
B
E
C
S
A
F
D
13 14
15 16。