2020_2021学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.

1.1 空间向量及其运算

1.1.1 空间向量及其线性运算

学 习 目 标

核 心 素 养

1.理解空间向量的概念．(难点)

2.掌握空间向量的线性运算．(重点)

3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)

1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.

2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.

国庆期间，某游客从上海世博园(O )游览结束后乘车到外滩(A )观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B )游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？

图1 图2

如果游客还要登上东方明珠顶端(D )俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？

1．空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →

，其模记为|a |或|AB →

|.

2．几类常见的空间向量

名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1

相反向量

相反

相等

a 的相反向量：－a

AB →

的相反向量：BA →

相等向量

相同 相等 a ＝b

3.空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算

加法 OB →＝OA →＋OC →

＝a ＋b

减法

CA →

＝OA →－OC →

＝a －b

加法运算律

①交换律：a ＋b ＝b ＋a

②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa 与向量a 方向相同； 当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；

当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍． ②运算律

a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .

b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ [提示] 没有关系． 4.共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .

(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →

＝λa .

5．共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

(2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存

在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .

(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →

或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →

.

思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？

(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →

，则点P 与点A ，

B ，

C 是否共面？

[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．

(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →

)

即AP →＝13AB →＋13

AC →

，因此点P 与点A ，B ，C 共面．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ． ( ) (2)相等向量一定是共线向量． ( ) (3)三个空间向量一定是共面向量． ( ) (4)零向量没有方向．

( )

[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行． (2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．

(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．

(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．

2．如图所示，在四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]

3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →

，则λ＝________.

－53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－5

3

.]