数值分析Euler方法

,
1 (
1 x x2
)
1 x
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第五章 常微分§方1 程Eu数ler值’s M解eth法od
Rn1
1
hf
y
xn1,
h2
2
f
y
xn1,
h2 2
y xn
h3 3
y xn
h2 2
y xn
h3 6
3
f
y
xn1
,
y xn
2y xn
Rn1
h2 2
y xn o(h2)
隐式欧拉法的局部截断误差：
Rn1
y(xn1)
yn1
h2 2
y(xn) O(h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
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hf
( xk ,
y( xk ))
h2 y(
2
)
则可得：
y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk )) k 0,1,2..... n
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第五章 常微分方程数值解法
方法二 数值微分法（用向前差商近似导数） 在 点xk处 有y( xk ) f ( xk , y( xk ))
第二节 Euler方法
1
第五章 常微分方程数值解法
5.2.1.Euler方法
设节点为xk=x0+kh (h=(b-a)/n k=0,1,…n)
方法一 泰勒展开法 （将y(xk+1)在xk泰勒展开得）
y( xk1 )
y( xk )
y( xk )(xk1
xk )
y( )
2
( xk1
xk )2
y( xk )
先
用
欧
拉
方
法
求
出yk
的
1
一
个
粗
糙
的
近
似
值
，称
为
预估值；再用梯形方法进行精确化，称为校正值。即：
yk
1
yk
yk1 yk hf(xk ,yk )
h[ 2
f
( xk ,
yk )
f
( xk1,
yk1 )]
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k 0,1,2.....n 1
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第五章 常微分方程数值解法
在用数值积分的方法推导欧拉公式时，右端的 积分用梯形积分公式可得：
由y( x) f ( x, y( x)), 两 端 同 时[ xk , xk1 ]在 积 分 可 得 ：
y (k 1) n 1
yn1 (k
)
在迭代公式中取极限，有
yn1 yn h f ( xn1, yn1 ) 因此yn(k1)的极限就是隐式方程的解
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第五章 常微分方程数值解法
几何意义：
向后差商近似导数
99
第五章 常微分方程数值解法
y0 n1
yn
h
y(k 1) n1
yn
h
f (xn , yn )
f
( xn1 ,
y(k) n1
)
y (k 1) n 1
yn1
h
f
( xn1,
y(k ) n 1
)
f ( xn1, yn1)
hL
y(k ) n 1
yn1
hL
k 1
y(0) n 1
yn1
hL 1,
y( xk1) y( xk )
xk1 f ( x, y( x))dx
xk
( xk1 xk ) f ( xk , y( xk )) hf ( xk , y( xk ))
即 ： y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
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梯形法的迭代计算和收敛性
y0 n1
yn
h
f (xn , yn )
y(k 1) n1
yn
h 2
f
(xn ,
yn )
f
( xn 1 ,
y(k) n1
)
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第五章 常微分方程数值解法
y (k 1) n 1
依上述公式逐次计算可得：y1 , y2 ,, yn
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第五章 常微分方程数值解法
2 欧拉法的几何意义：
( x2, y2 ) ( x1, y1 )
过( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线
第五章 常微分方程数值解法
3.欧拉法的局部截断误差： 定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提 下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断 误差
定义 若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该 算法有p 阶精度。
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y( xk1) y( xk )
xk1 f ( x, y( x))dx
xk
( xk1 2
xk ) [ f ( xk ,
y( xk ))
f ( xk1,
y( xk1 ))]
h 2
[
f
(
xk
,
yk )
f ( xk1,
yk1 )]
h yk1 yk 2 [ f ( xk , yk ) f ( xk1 , yk1 )] k 0,1,2.....n 1
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第五章 常微分方程数值解法
注：的确有局部截断误差 Rn1 y(xn1) yn1 O(h3 ) ， 即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但 注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法， 其迭代收敛性与欧拉公式相似。
77
第五章 常微分方程数值解法
欧拉法的局部截断误差：
Ri y( xi1 ) yi1
[ y( xi ) hy( xi )
h2 2
y( xi ) O(h3 )] [ yi
hf ( xi ,
yi )]
h2 2
y( xi ) O(h3 )
欧拉法具有 1 阶精度。
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从而
第五章 常微分§方1 程Eu数ler值’s M解eth法od
Rn1
y(xn1)
yn1
hf
y
xn 1 ,
y
xn1
yn1
h2 2
y
xn
h3 3
y xn
即
1
hf
y
xn1
,
Rn1
h2 2
y xn
h3 3
y xn
1
hf
y
1
xn1,
1
hf
y
xn1,
h2
2
f
y
xn1
y y1 f ( x1, y1)( x x1)与x x2求交点，纵坐标记为y2，
则y2 y1 hf ( x1, y1 )
............................
也称欧拉折线法.
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因此yn( k1)的极限就是隐式方程的解
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2020
第五章 常微分方程数值解法
5.2.4 改进的欧拉格式
欧拉方法容易计算，但精度较低；梯形公式精度
高，但是隐式形式，不易求解；若将二者结合，可得
到改进的欧拉格式。
Pn
y(x)
xn
xn+1
x
见上图， 显然，这种近似也有一定误差， 如何估计这种误差y(xn+1) yn+1 ？ 方法同上，基于Taylor展开估计局部截断误差。 但是注意，隐式公式中右边含有f(xn+1 , yn +1 ) , 由于yn +1不准确，所以不能直接用
y' (xn+1)代替f(xn+1 , yn +1 )
44
第五章 常微分方程数值解法
y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
用y( xk )的近似值yk代入上式右端，记所得
近
似
结
果
为yk
，
1
则
可
得
：
yk1 yk hf ( xk , yk )
k 0,1,2..... n 1
此即为欧拉公式，又称欧拉格式。
也称Euler为单步法， 又称为显格式的单步法。
y y0 k( x x0 )
斜 率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 ) x0
x1
x2
y 从y0 上 述f (几x0 ,何y0意)( 义x 上x得0 )与知x，由x1E求u交ler点法，所纵得坐的标折记线为y1，
则y明1 显y偏0 离hf了( x积0 ,分y0曲) 过线(，x1可, y见1 )以此f方( x法1, 非y1 )常为粗斜糙率。作直线，
由于未知数 yn+1 同时出现在等式的两边，故称为隐 式 欧拉公式，而前者称为显式 欧拉公式。隐式公 式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到 初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式 公式较显式公式计算复杂，但稳定性好。
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式
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5.2.3 梯形公式
第五章 常微分方程数值解法
若将这两种方法进行算术平均， 即可消除误差
的主要部分而获得更高的精度, 称为梯形法
h yk1 yk 2 [ f ( xk , yk ) f ( xk1, yk1)]
yn 1
h 2
f
( xn1,
y(k ) n 1
)
f ( xn1, yn1 )
hL 2
y(k ) n 1
yn1
hL 2
k
1
y(0) n 1
yn1
当 h 2 时， hL 1,
L
2
y (k 1) n 1
yn1 (k
)
在迭代公式中取极限，有
yn1
yn
h 2
f ( xn , yn ) f ( xn1, yn1 )
第五章 常微分方程数值解法
比较欧拉显式公式和隐式公式及其局部截断误差
显
式 yn1 yn h f (xn , yn ) n 0, 1,...
公 式
Rn1
y(xn1)
yn1
h2 2
y(xn) O(h3)
隐 yn1 yn h f (xn1, yn1)
式
公
Rn1
y(xn1)
yn1
h2 2
y(xn) O(h3)
利用数值微分公式
y( xk )
y( xk1 ) h
y( xk )
得 ：y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk , y( xk ))
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方法三 数值积分法
第五章 常微分方程数值解法
由y( x) f ( x, y( x)), 两 端 同 时[ xk , xk1 ]在 积 分 可 得 ：
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第五章 常微分方程数值解法
5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式）
向后差商近似导数
y( xk1 )
y( xk1 ) h
y( xk )
y( xk1 ) y( xk ) hf ( xk1 , y( xk1 ))
yk1 yk hf ( xk1 , yk1 ) k 0,1,2.....n 1
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第五章 常微分方程数值解法
隐式欧拉法的局部截断误差：
由微分中值定理，得
f xn1, yn1 f
xn1, y xn1
f
y
xn1, yn1
y xn1 ,
在yn1，y xn1 之间；
又 f
xn1, y xn1
y xn1
y xn hy xn
h2 2
y xn
yn1
hf
y
xn1,
ห้องสมุดไป่ตู้
yn1
y
xn1
y
xn
hy xn h2 y xn
h3 2
y xn
而
y xn1
y xn hy xn
h2 2
y xn
h3 6
y xn
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y( x1 )
y( x1 ) y( x0 ) h
y( x1 ) y0 h f ( x1, y( x1 ))
x0
x1
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几何意义
第五章 常微分方程数值解法
y Pn+1
设已知曲线上一点 Pn (xn , yn ),过该 点作弦线，斜率为(xn+1 , yn +1 ) 点的 方向场f(x,y)方向,若步长h充分小， 可用弦线和垂线x=xn+1的交点近似 曲线与垂线的交点。