高三数学竞赛讲义教案及练习 §22几何变换

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数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何第一章:立体几何基础1.1 空间点、线、面的位置关系点、直线、平面的基本性质点与直线、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系1.2 立体几何的基本概念棱柱、棱锥、棱台、球的定义与性质底面、侧面、顶点的概念空间角、二面角的概念与计算第二章:空间几何图形2.1 棱柱直棱柱、斜棱柱的性质棱柱的面积、体积计算2.2 棱锥直棱锥、斜棱锥的性质棱锥的面积、体积计算2.3 棱台棱台的性质棱台的面积、体积计算2.4 球球的性质球的面积、体积计算第三章:立体几何中的线面关系3.1 直线与平面的关系直线与平面平行、直线在平面内的判定与性质直线与平面相交的性质3.2 直线与直线的关系平行线、相交线的性质异面直线、共面直线的性质3.3 平面与平面的关系平面与平面平行的判定与性质平面与平面相交的性质第四章:立体几何中的角与距离4.1 空间角线线角、线面角、面面角的定义与计算空间角的性质与计算方法4.2 距离点与点、点与直线、点与平面的距离计算直线与直线、直线与平面的距离计算第五章:立体几何的综合应用5.1 立体几何图形的放缩与旋转放缩与旋转的性质与方法放缩与旋转在立体几何中的应用5.2 立体几何中的定理与性质欧拉公式、施瓦茨公式等定理的应用立体几何中的重要性质与定理5.3 立体几何与解析几何的综合应用利用解析几何的知识解决立体几何问题立体几何与解析几何的相互转化第六章:立体几何中的立体角与对角线6.1 立体角立体角的定义与性质立体角的计算方法6.2 对角线多面体的对角线长度计算对角线与几何体的性质关系第七章:立体几何中的不等式与最值7.1 立体几何中的不等式利用立体几何图形性质证明不等式利用不等式解决立体几何问题7.2 立体几何中的最值问题利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第八章:立体几何中的视图与投影8.1 视图正视图、侧视图、俯视图的定义与性质利用视图研究几何体的性质8.2 投影平行投影、中心投影的性质利用投影解决立体几何问题第九章:立体几何中的定理与性质(续)9.1 立体几何中的定理与性质布雷特施奈德定理、莫恩定理等定理的应用立体几何中的其他重要性质与定理9.2 立体几何中的特殊几何体圆柱、圆锥、球台的性质与应用利用特殊几何体解决立体几何问题第十章:立体几何与实际应用10.1 立体几何在实际应用中的案例分析利用立体几何解决工程、物理、艺术等领域的问题立体几何在现实生活中的应用举例10.2 立体几何竞赛题解析分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法,提高解题能力10.3 立体几何练习题与答案解析提供立体几何练习题,巩固所学知识分析练习题答案,讲解解题过程与思路第十一章:立体几何中的坐标计算11.1 空间点的坐标空间直角坐标系的建立点的坐标表示与运算11.2 空间向量向量的定义与运算向量与立体几何的关系11.3 空间几何体的坐标表示棱柱、棱锥、棱台、球的坐标表示利用坐标解决立体几何问题第十二章:立体几何中的向量计算12.1 向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算向量共线与垂直的判定与性质12.2 向量的数量积与向量积向量的数量积定义与性质向量的向量积定义与性质12.3 空间向量在立体几何中的应用利用向量计算空间角与距离利用向量解决立体几何中的线面关系问题第十三章:立体几何中的解析几何方法13.1 解析几何与立体几何的关系利用解析几何方法解决立体几何问题解析几何在立体几何中的应用举例13.2 参数方程与极坐标方程立体几何图形的参数方程表示利用参数方程与极坐标方程解决立体几何问题第十四章:立体几何中的不等式与最值(续)14.1 立体几何中的不等式问题利用不等式性质解决立体几何问题不等式在立体几何中的应用举例14.2 立体几何中的最值问题(续)利用几何方法求解最值问题利用代数方法求解最值问题第十五章:立体几何的综合与应用15.1 立体几何与其他数学学科的综合立体几何与代数、分析、概率等学科的关系立体几何在交叉学科中的应用15.2 立体几何在实际应用中的案例分析(续)立体几何在工程、物理、艺术等领域中的应用案例立体几何在其他领域中的应用举例15.3 立体几何竞赛题解析与练习题答案解析(续)分析历年数学竞赛中的立体几何题目讲解解题思路与方法,提高解题能力提供立体几何练习题,巩固所学知识分析练习题答案,讲解解题过程与思路重点和难点解析重点:理解并掌握立体几何的基本概念、立体几何图形、空间几何图形、立体几何中的线面关系、立体几何中的角与距离、立体几何中的立体角与对角线、立体几何中的不等式与最值、立体几何中的视图与投影、立体几何中的定理与性质、立体几何中的坐标计算、立体几何中的向量计算、立体几何中的解析几何方法、立体几何中的不等式与最值(续)、立体几何的综合与应用。

《几何变换》PPT课件

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狭义概念中,所谓对称是指某图形相对于固定的某一 点、某一线或某一平面,对折后可以完全重合,即互 为镜像,从这个意义上说,直线、射线不具有固定的 对称中心,点是图形的基本元素,三者都不是对称图 形。
广义的概念中,直线、射线、线段和点却是对称图 形。一种观点认为,任何图形上的所有点都可以类聚 起来,最终类聚为一点(原始点),也即:“不管图 形怎样变化,都是原始点自身”,有对称点(原始 点),可以完全重合(均为原始点镜像),你能说直 线和点不是对称图形吗?其中,最著名的就是“宇宙 大爆炸理论”,该理论认为“宇宙起源于某一点,由 这一点爆炸形成宇宙,宇宙至今还在膨胀。”
例13 已知P为正方形ABCD中一点,PA=1,PB=2,PD= 6,
求正方形ABCD的面积.
分析 将APD绕顶点A按顺时针方向旋转
D
C
900至APB的位置,可造成RtAPP,
从而可求得PP 2,
6
在PBP中,PP= 2,PB=2,PD= 6,
P
由PB2 PP2 PB2得
1
2
A2
B
BPP 90, APB 90 45 135,
F,G分别是DE,AB的中点.求证:FG= 1 ( AB DE).
2
分析 为了作出二线段之差AB-DE,
C
将FE平移至BN的位置, 将DF平移至AM.因为DE AB,
DF
E
所以M,N都落在AB上. 故MN=AB-DE,G是MN的中点,
AM
G
B N
MFN=C=900.
由直角三角形的性质知FG 1 MN. 2
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例8 已知ABC中,A=900,B的平分线BD与BC边上的高 AE交于F,过F作FG BC于AC于G.求证:AD=GC.

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

数学竞赛教案讲义(12)——立体几何第十二章立体几何一、基础知识公理1一条直线。

上如果有两个不同的点在平面。

内.则这条直线在这个平面内,记作:aa.公理2两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若P∈α∩β,则存在唯一的直线m,使得α∩β=m,且P∈m。

公理3过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。

即不共线的三点确定一个平面.推论l直线与直线外一点确定一个平面.推论2两条相交直线确定一个平面.推论3两条平行直线确定一个平面.公理4在空间内,平行于同一直线的两条直线平行.定义1异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过900的角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离.定义2直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.定义3直线与平面垂直:如果直线与平面内的每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直.定理1如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.定理2两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行.定理3若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.定理4平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离.定义5一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角.结论1斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角.定理4(三垂线定理)若d为平面。

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义立体几何

数学竞赛教案讲义-立体几何教案章节:一、立体几何基本概念1.1 空间点、线、面的基本定义及性质1.2 平面、直线、圆锥、球等基本几何体的性质和方程1.3 空间向量与立体几何的关系二、立体几何中的角度和距离2.1 点与点、点与线、点与面之间的距离公式2.2 线与线、线与面之间的角度和距离公式2.3 空间中的平行公理和推论三、立体几何中的体积和表面积3.1 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的体积计算公式3.2 棱柱、棱锥、圆柱、圆锥等几何体的表面积计算公式3.3 空间几何体的对称性和轴截面四、立体几何中的定理和性质4.1 线面垂直、线面平行、面面垂直、面面平行等定理及其应用4.2 三垂线定理、射影定理等的重要性质和应用4.3 空间几何中的等体积转换和等角转换五、立体几何在数学竞赛中的应用题型及解题策略5.1 立体几何与解析几何的综合题型5.2 立体几何中的构造题型5.3 立体几何中的极限与最值问题5.4 立体几何中的几何计数问题六、立体几何中的坐标系和变换6.1 空间直角坐标系的定义和性质6.2 坐标变换公式及应用6.3 利用坐标系解决立体几何问题七、立体几何中的视图和投影7.1 平行投影和中心投影的定义和性质7.2 三视图的画法和性质7.3 利用视图和投影解决立体几何问题八、立体几何中的定积分和面积计算8.1 立体几何中的定积分定义和性质8.2 利用定积分计算立体几何体的表面积和体积8.3 立体几何中的面积计算方法和技巧九、立体几何中的概率和组合问题9.1 立体几何中的几何概率定义和性质9.2 利用几何概率解决立体几何问题9.3 立体几何中的组合问题和解题策略十、立体几何在数学竞赛中的应用实例解析10.1 立体几何与解析几何的综合实例解析10.2 立体几何中的构造实例解析10.3 立体几何中的极限与最值问题实例解析10.4 立体几何中的几何计数问题实例解析重点和难点解析一、立体几何基本概念重点和难点解析:空间点、线、面的关系及性质是立体几何的基础,理解并熟练运用这些基本概念对于解决复杂立体几何问题至关重要。

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛讲义(全套)

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是:1.平面几何几个重要定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点:旁心、费马点,欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换:对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。

2.代数周期函数,带绝对值的函数。

三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角函数。

递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代,简单的函数方程*3.初等数论同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。

4.组合问题圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。

组合计数,组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法,整除性及其判定;素数和合数,最大公约数与最小公倍数;奇数和偶数,奇偶性分析;带余除法和利用余数分类;完全平方数;因数分解的表示法,约数个数的计算;有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。

竞赛数学课程 几何变换

竞赛数学课程 几何变换

几何变换变换与变换群1. 基本概念:1) 设A 、B 是两个非空集合,给出映射f :A →B ,如果B=A ,那么映射f 叫做集合A 上的变换。

2) 若变换f :A →A 是一一映射,则f 叫一一变换。

3) 一一变换f :A →A ,若,A a ∈∀有f (a )=a ,则f 叫A 上的恒等变换或单位变换,通常记为I 。

4) A A f A A f →→:,:21是两个变换,变换1f 与2f 的合成12f f ⋅叫做1f 与2f 的乘积。

5) 一一变换f :A →A ,若存在变换g :A →A ,使得fg=gf=I ,则g=1-f 叫f 的逆变换。

6) 一一变换f :A →A ,且I f ≠,若A a ∈∃,使f(a )=a ,则a 叫f 下的二重点(不动点,不变点);若存在直线l ,使得f (l )=l ,则l 叫f 下的二重线(不变线)。

2. 一一变换的性质:1)f 、g :A →A 是一一变换,则gf 也是一一变换。

2)f 、g 、h :A →A 是一一变换,则有h (gf )=(hg )f 。

3)f :A →A 是一一变换,则1-f 也是一一变换。

3. 变换群:1) 将几何图形按着某种法则或者规律变换成另一个图形的过程叫几何变换。

2) A 是一个集合,如果G 是由集合A 上的某些一一变换所组成的集合,且满足:(1) 若G f G f ∈∈21,,则G f f ∈⋅12;(2) 若G f ∈,则G f∈-1; 那么集合G 就叫做集合A 上的变换群,简称为变换群。

3) 若H 是变换群的一个子群,且H 自身也构成一个变换群,那么H 叫做G 的子群。

4) 两变换群21,G G ,若它们的元素之间可以建立一一对应关系f ,且有)()()(,,1212121g f g f g g f G g g =∈∀,则称21,G G 同构。

平面几何变换一、合同变换1. 基本概念1) 一个平面到其自身的变换W ,若对于平面上的任意两点A 与B ,都有距离W (A )W (B )=AB ,则称W 为平面上的合同变换(全等变换)。

数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

数学名师叶中豪整理高中数学竞赛平面几何讲义(完整版)

完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极,调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1.四边形ABCD中,AB=BC,DE⊥AB,CD⊥BC,EF⊥BC,且。求证: 2EF=DE+DC。(10081902.gsp)
2.已知相交两圆O和O'交于A、B两点,且O'恰在圆O上,P为圆O的AO'B弧 段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证:PQ2=PA×PB。 (10092401-1. gsp)
(09022301.gsp)
31.已知半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆于C、D,交AB延长线于 P,设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证: OM⊥MP。(10091001.gsp)
32.凸四边形ABCD内接于圆O,两组对边所在直线分别交于点E、F,对角 线AC、BD交于G,作GH⊥EF于H,圆O的弦MN经过G点。求证:GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。(10092103-2.gsp)
实用标准文档高中平面几何学习要点几何问题的转化ptolemy定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与miquel垂足三角形与等角共轭反演与配极调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1
高中平面几何
学习要点
几何问题的转化
叶中豪圆幂与根轴Biblioteka P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
53.已知:AD是高,O、H是外心和垂心,过D作OD垂线,交AC 于E。求证:∠DHE=∠C。(09022202.gsp)
54.△ABC中,AD为边BC上的中线,E、F、G分别为AB、AC、AD上

SXB128高考数学必修_几何体的变换

SXB128高考数学必修_几何体的变换

几何体的变换立体几何是高中数学的重点内容,也是高考的必考内容.立体几何考查的立足点放在空间图形上,突出对空间观念和空间想象能力的考查. 不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间位置关系的问题.即使是考查空间线面位置关系的问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,能把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题,会等体积转化求解问题,能把立体几何问题转化为平面几何问题求解,或者把平面问题转化为立体问题来解决等。

概括起来几何体的常见变换有“折”、“割”、“拼”、“转”、“展”、“合”、“延”、“补”等,这类题目操作性强,空间想象能力要求高,解决此类题目的关键是搞清楚在图形或几何体的变化过程中哪些量发生了变化,哪些量不变。

本文举例予以说明。

一、“折”“折”就是把平面图形通过翻折变成立体(或平面)图形,它是常考的题型,折叠问题的关键在于轴对称的特殊性质,注意折叠前后图形或几何体的变化量与不变量。

例1.如图(1),在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点.将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ所成角的度数为( )A.90°B.60°C.45°D.0°解析:将三角形折成三棱锥如图(2)所示.HG 与IJ 为一对异面直线.过点D 分别作HG与IJ 的平行线,即DF 与AD .所以∠ADF 即为所求.因此,HG 与IJ 所成角为60°答案:B. 评述:本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系,在画图时正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向. 二、割当给出的几何体比较复杂且不规则时,有关的计算公式无法直接运用,可以采用分割法化整为零,使问题化难为易.关键是根据原几何体与分割后的几何体的内在联系,紧紧围绕分割前后几何体的体积(或面积)不变的特点展开想象。

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二)

高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(二) 高中数学竞赛讲义(十)──直线与圆的方程一、基础知识1.解析几何的研究对象是曲线与方程。

解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。

如x22=1是以原点为圆心的单位圆的方程。

2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围;(5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步)。

3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与x轴正方向所成的小于1800的正角,叫做它的倾斜角。

规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。

根据直线上一点及斜率可求直线方程。

4.直线方程的几种形式:(1)一般式:0;(2)点斜式:0(0);(3)斜截式:;(4)截距式:;(5)两点式:;(6)法线式方程:θθ(其中θ为法线倾斜角,为原点到直线的距离);(7)参数式:(其中θ为该直线倾斜角),t的几何意义是定点P0(x0, y0)到动点P(x, y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若P0P方向向上则取正,否则取负)。

5.到角与夹角:若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2,将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角;l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。

若记到角为θ,夹角为α,则θα=.6.平行与垂直:若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。

且两者不重合,则l12的充要条件是k12;l1l2的充要条件是k1k21。

7.两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式:1P2。

8.点P(x0, y0)到直线l: 0的距离公式:。

几何变换专题复习

几何变换专题复习

例如,如图,在 ! ABC Rt 中,AD=BC,CD= BE.能否求∠BOE的 度数.
A D
B
E O C
已知中有两组等线段,但是它们是不相 邻的关系,所以不能直接用,这时需要我 们思考如何利用这些关系.怎样考虑呢? 我们知道当两组等线段,在位置上相邻 时,可以形成可利用的图形关系,如可以 形成封闭的图形,或说是特殊图形,同时 也就有可利用的关系了.
几何变换专题复习
旧教材与旧大纲 几何变换是阅读性的材料,不 是学习的知识内容. 新课标 按新课标的要求这部分知识是 学习的对象,是要求学习的知识, 是要求会应用的知识.
要理解的问题 1.在新课标中这个知识的变化表 明:这个知识的地位变了,作用也变 了,对几何知识的认识的角度变了. 2.我们学习的几何变换有几种: 全等变换、位似变换、面积变换. 3.要理解这几种变换的作用是什 么?各自能解决什么问题?怎样解决 的等几个问题.
F
C
B
F
C
例 已知:如图,五 边形ABCDE. 请你经过点A作一 条直线使五边形化 为与之面积相等的 四边形.
B
A E
C
D
作法:连结EC,AC, 过点B作AC的平行 线交DC延长线与F 点,连结AF. 则直线AF为所求.
F C
A E
B
D
全等变换:是指不改变图形形状与 大小的变换. 位似变换:是指不改变图形形状只 改变图形大小的变换. 等积变换:是指不改变图形大小只 改变图形形状的变换.
全等变换问题(轴对称、平移、旋转) 首先要理解运用这种变换的一些基本情 况: 1.按指令语言,按规定的变换移动图 形; 2.按指令语言拼接图形; 3.根据题目的需要设计变换(需要理 解变换的条件与相应的方式与方法;需要 解读好题目的直接或隐含的条件).

高三数学第一轮复习导学案:第22课时 简单的三角恒等变换

高三数学第一轮复习导学案:第22课时 简单的三角恒等变换

【学习目标】1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).【课本导读】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2α= ;(2)cos2α= = -1=1- ;(3)tan2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π2+π4且α≠k π+π2). 2.半角公式:(1)sin α2= ; (2)cos α2= ; (3)tan α2= =sin α1+cos α=1-cos αsin α. 3.二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α= ;α2= ;3α= 都适用.4.由cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α可得降幂公式:cos 2α= ;sin 2α= ;升幂公式cos2α= = . 【教材回归】1.若sin76°=m ,用含m 的式子表示cos7°为( )A.1+m 2B.1-m 2 C .± 1+m 2 D. 1+m 22.设sin2α=-sin α,α∈(π2,π),则tan2α的值是________. 3.函数f (x )=sin 2(2x -π4)的最小正周期是________. 4.已知θ是第三象限的角,且sin 4θ+cos 4θ=59,那么sin2θ的值为________. 5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ=( )A .-45B .-35 C.35 D.45【授人以渔】题型一:求值例1 求值:(1)sin18°cos36°;(2)2cos10°-sin20°cos20° (3)sin10°·sin50°·sin70°. (2) 1+cos20°2sin20°-2sin10°·tan80°例2 (1)已知cos(π4-α)=1213,α∈(0,π4),则cos2αsin (π4+α)=________. (2)已知cos(π4-α)=35,-3π2<α<-π2.则cos(2α-π4)= (3)若cos(π4+x )=35,1712π<x <74π,求sin2x +2sin 2x 1-tan x 的值.题型二化简例3(1)已知函数f (x )=1-x 1+x .若α∈(π2,π),则f (cos α)+f (-cos α)可化简为________. (2)化简sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β-12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )=1+cos x -sin x 1-sin x -cos x +1-cos x -sin x 1-sin x +cos x且x ≠2k π+π2,k ∈Z ,且x ≠k π+π,k ∈Z . ①化简f (x );②是否存在x ,使得tan x 2·f (x )与1+tan 2x 2sin x相等?若存在,求x 的值;若不存在,请说明理由.题型三:证明例5 已知sin(2α+β)=2sin β,求证:tan(α+β)=3tan α.思考题:(1)求证:tan2x+1tan2x=2(3+cos4x) 1-cos4x(2)若tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.。

几何变换高中数学教案

几何变换高中数学教案

几何变换高中数学教案
教学目标:
1. 理解几何变换的基本概念和性质;
2. 掌握平移、旋转、对称和放缩等几何变换的方法和规律;
3. 能够应用几何变换解决实际问题。

教学重点:
1. 平移、旋转、对称和放缩的定义和特点;
2. 不同几何变换之间的关系和性质;
3. 几何变换在实际生活中的应用。

教学难点:
1. 灵活运用几何变换解决复杂问题;
2. 理解和证明几何变换的性质和规律。

教学准备:
1. 教学课件;
2. 几何变换的练习题;
3. 实物模型或图片。

教学流程:
一、导入(5分钟)
教师通过给学生展示一些实物模型或图片,引出几何变换的概念,并让学生讨论这些物体发生了哪些变化。

二、讲解(15分钟)
1. 介绍平移、旋转、对称和放缩的定义和性质;
2. 演示不同几何变换的方法和规律;
3. 讲解几何变换的应用场景。

三、练习(20分钟)
教师让学生进行几何变换的练习题,要求学生灵活运用不同的几何变换方法解决问题。

四、总结(5分钟)
教师总结本节课的内容,强调几何变换的重要性和应用,并引导学生思考如何将几何变换运用到实际生活中解决问题。

五、作业(5分钟)
布置作业:练习册中相关习题。

六、拓展(10分钟)
引导学生思考更复杂的几何变换问题,拓展学生对几何变换的理解和运用。

教学反思:
本节课重点在于让学生理解几何变换的基本概念和性质,掌握几何变换的方法和规律,并能够灵活应用到实际生活中。

通过练习和拓展,学生对几何变换的理解和应用能力会得到提升。

几何变换大班教案

几何变换大班教案

几何变换大班教案一、教学目标通过本节课的学习,学生将能够:1.理解几何变换的基本概念和相关术语;2.掌握平移、旋转和翻转等几何变换的具体操作方法;3.应用几何变换解决实际问题,培养创造性思维和空间想象力。

二、教学重点1.几何变换的概念和基本术语;2.平移、旋转和翻转的操作方法;3.几何变换在解决实际问题中的应用。

三、教学内容本节课主要包括以下内容:1.几何变换的概念介绍a)几何变换是指将一个图形经过某种操作后得到一个新的图形的过程。

b)常见的几何变换有平移、旋转、翻转等。

2.平移的操作方法a)平移是指将一个图形沿着某个方向上的直线移动一定距离而不改变其形状和大小。

b)平移的操作方法:选择一个参考点,然后将图形上的各个点按照相同的方向和距离进行移动。

c)练习题:请同学们自主完成图形的平移操作。

3.旋转的操作方法a)旋转是指将一个图形围绕某个点旋转一定角度而不改变其形状和大小。

b)旋转的操作方法:选择旋转中心,确定旋转方向和角度,然后按照规定的方式进行旋转。

c)练习题:请同学们自主完成图形的旋转操作。

4.翻转的操作方法a)翻转是指将一个图形沿着某条直线进行对称,得到一个关于对称轴对称的新图形。

b)翻转的操作方法:选择翻转轴,将图形上的各个点沿着翻转轴的方向进行对称。

c)练习题:请同学们自主完成图形的翻转操作。

5.几何变换的应用a)几何变换在日常生活和实际问题中的应用。

b)解决实际问题时,通过几何变换可以简化计算和分析的过程,提高问题的求解效率。

c)练习题:请同学们尝试应用几何变换解决给定的实际问题。

四、教学方法1.讲授法:通过板书、多媒体等形式,向学生介绍几何变换的概念、操作方法和应用。

2.互动式教学:通过与学生的互动,激发学生的学习兴趣,培养学生的思维能力和创造力。

3.实践探究:引导学生通过实际操作和实际问题的解决,深入理解几何变换的概念和应用。

五、教学资源1.教学用具:黑板、彩笔、几何模型等。

2.教学资料:PPT、练习题等。

2023年高中数学竞赛教案讲义立体几何

2023年高中数学竞赛教案讲义立体几何

第十二章立体几何一、基础知识公理1 一条直线。

上假如有两个不一样旳点在平面。

内.则这条直线在这个平面内,记作:a a.公理2 两个平面假如有一种公共点,则有且只有一条通过这个点旳公共直线,即若P∈α∩β,则存在唯一旳直线m,使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上旳三个点有且只有一种平面。

即不共线旳三点确定一种平面.推论l 直线与直线外一点确定一种平面.推论2 两条相交直线确定一种平面.推论3 两条平行直线确定一种平面.公理4 在空间内,平行于同一直线旳两条直线平行.定义1 异面直线及成角:不一样在任何一种平面内旳两条直线叫做异面直线.过空间任意一点分别作两条异面直线旳平行线,这两条直线所成旳角中,不超过900旳角叫做两条异面直线成角.与两条异面直线都垂直相交旳直线叫做异面直线旳公垂线,公垂线夹在两条异面直线之间旳线段长度叫做两条异面直线之间旳距离.定义2 直线与平面旳位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外.定义3 直线与平面垂直:假如直线与平面内旳每一条直线都垂直,则直线与这个平面垂直.定理1 假如一条直线与平面内旳两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直.定理2 两条直线垂直于同一种平面,则这两条直线平行.定理3 若两条平行线中旳一条与一种平面垂直,则另一条也和这个平面垂直.定理4 平面外一点到平面旳垂线段旳长度叫做点到平面旳距离,若一条直线与平面平行,则直线上每一点到平面旳距离都相等,这个距离叫做直线与平面旳距离.定义 5 一条直线与平面相交但不垂直旳直线叫做平面旳斜线.由斜线上每一点向平面引垂线,垂足叫这个点在平面上旳射影.所有这样旳射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平面内旳射影.斜线与它旳射影所成旳锐角叫做斜线与平面所成旳角.结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小旳角.定理4 (三垂线定理)若d为平面。

22旋转的概念及性质教案

22旋转的概念及性质教案

22旋转的概念及性质教案一、教学目标:1. 让学生理解旋转的概念,掌握旋转的性质。

2. 培养学生运用旋转知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生发现生活中的旋转现象,培养学生的观察能力和审美观念。

二、教学重点与难点:重点:旋转的概念及性质。

难点:旋转在实际问题中的应用。

三、教学准备:1. 教师准备PPT,包括旋转的定义、性质以及实际例子。

2. 学生准备课本、笔记本、铅笔。

四、教学过程:1. 导入:通过一个生活中的旋转现象(如风扇转动)引出旋转的概念。

2. 新课:讲解旋转的定义、性质,并结合PPT展示相关实例。

3. 练习:让学生完成课本上的相关练习题,巩固所学知识。

4. 应用:引导学生运用旋转知识解决实际问题,如设计一个旋转图案。

五、课后作业:1. 完成课本上的练习题。

2. 观察生活中的旋转现象,并画出来。

3. 思考如何运用旋转知识解决实际问题。

教学反思:通过本节课的教学,学生应该掌握了旋转的概念和性质,并能运用旋转知识解决实际问题。

在教学过程中,要注意引导学生发现生活中的旋转现象,培养学生的观察能力和审美观念。

要关注学生的学习情况,及时解答学生的疑问,提高教学质量。

六、教学拓展:1. 让学生了解旋转变换在数学其他领域的应用,如解析几何、坐标系等。

2. 引导学生探索旋转变换与平移、翻转等变换的关系。

七、课堂小结:2. 强调旋转变换在实际问题中的应用。

八、教学评价:1. 课后收集学生的练习作业,评估学生对旋转知识的掌握程度。

2. 在下一节课开始时,让学生分享他们观察到的旋转现象,评估学生的观察能力和审美观念。

九、课后反思:2. 根据学生的反馈,调整教学方法,提高教学质量。

十、教学计划:1. 下一节课内容:旋转变换的应用。

2. 教学目标:让学生掌握旋转变换在实际问题中的应用,提高解决问题的能力。

3. 教学准备:教师准备相关案例,学生准备课本、笔记本、铅笔。

4. 教学过程:讲解旋转变换的应用,展示实例,练习题,应用练习。

高考数学(理)一轮复习名师公开课省级获奖课件:第22讲 简单的三角恒等变换(北师大版)

高考数学(理)一轮复习名师公开课省级获奖课件:第22讲 简单的三角恒等变换(北师大版)
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第22讲
简单的三角恒等变换
点 面 讲 考 向
[归纳总结]已知三角函数值,求其他三角函数式值 的一般思路: (1)先化简所求式子; (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手); (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
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第22讲
简单的三角恒等变换
点 面 讲 考 向


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第22讲
双 向 固 基 础
简单的三角恒等变换
2.辅助角公式 a2+b2 asinα +bcosα =________sin( α+φ),其中 tanφ =
b ________ a ,φ 的符号由 a,b 的符号确定.
3.常见的几种角的变换 (α-β) +β. β (1)α=(α+β)-________ ,α=________
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第22讲
简单的三角恒等变换
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考试说明
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角 的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化 和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
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第22讲
双 向 固 基 础
简单的三角恒等变换
1.常用的三角公式的变形
α α 2 (sin ± cos ) . (1)1± sinα =__________________ 2 2
2sin 2cos (2)1+cos α=________ 2 . 2 ,1-cosα =________
1+cos α 1-cos α 2α 2α 2 2 (3)降幂公式:sin 2 =________,cos 2 =________ , 1-cos α α tan2 2 =1 ________ +cos α . 1-cos α sin α α (4)tan 2 =1 ________ sin α . +cos α =________

高中数学奥赛竞赛辅导-立体几何

高中数学奥赛竞赛辅导-立体几何

这时,AC上任一点到面BDE的距离
就是所求.
由DC⊥α知,DC⊥AC;又AD⊥ AB,根据三垂线定理 , AC⊥ AB.但AB∥AC,故AC ⊥ CE.从而AC ⊥ 面CDE 。又 BE∥AC ,得BE ⊥ 面CDE, 进而面BDE⊥面CDE,
在Rt∆CDE上作高CH,由Rt∆ACD中, ∠ CAD = 300为二
7
练习 2.(2003 年全国高中数学联赛山东题)
正方体 ABCD─A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E
是棱 CD 的中点,求直线 A1C1 与 B1E 的距
离.
4 17
17
练习 3、(2005 福建预赛试题) 正四面体 ABCD 的棱长为 1,E 是△ABC 内 一点,点 E 到边 AB,BC,CA 的距离之和为 x, 点 E 到平面 DAB,DBC,DCA 的距离之和为 y,
2
E B
F A
G
六、 投 影 法
投影是实现平面化思考的一条途径,同时也是处理更广 泛空间问题的一个通法.
例6 设PP1 , QQ1是空间中两条异面直线,A,B,C是直线 QQ1上3点,且点B在A,C之间,
A1,B1, C1是由A,B,C向直线, P
PP1所引垂线的垂足,
A1 B1
Q A
B
证明 BB1 max {AA 1, CC1 }
13
1答案
分析:沿侧棱 SA 将三棱锥的侧面展开如图,求 AEF 周长最小值问题就转化成了求 A、A'两 点间的最短距离.
设 ASB ,则由余弦定理得 cos 7
8
所以 cos3 4cos3 cos 7
128 可求得 AA' 11 a
4 即所求截面周长的最小值为 11 a
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§22几何变换一、 平移变换1. 定义 设是一条给定的有向线段,T 是平面上的一个变换,它把平面图形F 上任一点变到,使得,则T 叫做沿有向线段的平移变换。

记为,图形 。

2. 主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。

两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。

二、 轴对称变换1. 定义 设是一条给定的直线,是平面上的一个变换,它把平面图形F 上任一点变到,使得与关于直线对称,则叫做以为对称轴的轴对称变换。

记为,图形 。

2. 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。

三、 旋转变换1. 定义 设是一个定角,O 是一个定点,R 是平面上的一个变换,它把点O 仍变到O (不动点),而把平面图形F 上任一点变到,使得,且,则R 叫做绕中心O ,旋转角为的旋转变换。

记为,图形 。

其中时,表示的始边到终边的旋转方向为顺时针方向;时,为逆时针方向。

2. 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。

四、 位似变换1. 定义 设O 是一个定点,H 是平面上的一个变换,它把平面图形F 上任一点变到,使得,则H 叫做以O 为位似中心,为位似比的位似变换。

记为,图形 。

X 'X XX ='')(X X PQ T −−→−')(F F PQ T −−→−l S X 'X X 'X l S l ')(X X l S −−→−')(F F l S −−→−αX 'X OX OX ='α=∠'XOX α'),(X X O R −−→−α'),(F F O R −−→−α0<α'XOX ∠OX X O '0>αX 'X OX k OX ⋅='k '),(X X k O H −−→−'),(F F k O H −−→−其中时,在射线上,此时的位似变换叫做外位似;时, 在射线的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。

2. 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。

例题讲解1.P 是平行四边形内一点,且。

求证:2.“风平三角形”中,,求证:3.在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。

0>k 'X OX 0<k 'X OX ABCD PCB PAB ∠=∠PDA PBA ∠=∠︒=∠=∠===60'',2'''BOC AOB CC BB AA 3'''<++∆∆∆COA BOC AOB S S S 。

;求证于交,连接于交,连接、的两弦点引圆的中点,过的弦圆NP MP N AB CF M AB DE EF CD o P AB o P =:.4的周长最小;,使得、、上各求一点、及射线内一个定圆,试在圆是给定锐角圆PQR R Q P CB CA o ACB o ∆∠:5ADRP QR PQ PQR D BC AD A ABC 290.6>++∆⊥︒≥∠∆求证:,是它的任一内接三角形,于,中,;.7MQ MP MQ MP BC M AQC APB AC AB ABC ⊥=∆,的中点,求证:是,、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边以)(;,120.8为费马点求证:内任意一点,是内一点,是已知O OC OB OA PC PB PA ABC P COA BOC AOB ABC O ++≥++∆︒=∠=∠=∠∆三线也相交于一点;、、求证:,三线交于一点、、,设、、、、、垂线六个点分别作所在边的,过上述、、、、、分别交于点、、的三边与圆212121212121212121.9c b a D c b a c c b b a a C C B B A A AB CA BC ABC O ∆ONOM N M AC AB PO P BC O D O ABC AD =∆,求证:、于、分别交,连接并延长于的切线交作圆的直径,过的外接圆是.10例题答案【例1】P 是平行四边形内一点,且。

求证:【例2】“风平三角形”中,求证:【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。

ABCDPCB PAB ∠=∠PDA PBA ∠=∠︒=∠=∠===60'',2'''BOC AOB CC BB AA 4376';85,21;74,82'',';63,51,)(∠∠∠∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠==∠=∠∠=∠∆≅∆∆−−→−∆=,即=四点共圆。

故、、、得由已知知都是平行四边形,、由则【分析】作变换C P D P CB PP ADPP BC AD PP DCP ABP DCPABP AD T 3'''<++∆∆∆COA BOC AOB S S S 三角形为等边共线,、、共线,、、共线,、、记为重合,和,则【分析】作变换OPQ P B O Q A O Q R P R R R R R PR B BOC AQR OC A BB T A A T ∆==∆−−→−∆∆−−→−∆';'''''''''','')'()'( 3'''<++∆∆∆COA BOC AOB S S S【评注】当已知条件分散,尤其是相等的条件分散,而又不容易找出证明途径,或题目中有平行条件时,将图形的某一部分施行平移变换,常常十分凑效。

形时,周长最小;故当四边形为平行四边同理可得的中点;、分别为、,的中点且是;交于、平行四边形;延长是一个符合条件的,则,令、的中点、【分析】取DCB A DC AB BCD A BC BC BG BC AD CG AG C F EC FC CC EF ACE G CC AF D BC A C A AC F E BD AC EF T +≥++=≥+=+∴∴−−→−''''2',//''//''''')( PMPN M PF PFN PEN PDE M PF F D M P EDF EFF EDF FPN MDF PM F AB FF GH AB GH FF PF PF PM F FPN PB PA PF PF PFPF GH P o F F F P GH GH S GH S GH S =⇒∆≅∆∴∠=∠=∠∴∴︒=+∠∠=∠+∠=∠+∠∴∴⊥⊥=∠=∠∴−−→−−−→−=∴∈∈−−→−'''180'''''//','''''',')()()(四点共圆、、、;,又,,,,;又圆显然的直径,为过【分析】设 )(,2|11|,22曲线系知识解析法证明:利用二次则中点的距离为到,,已知、于交、,连接、作两条相交弦,过上的一点内一弦的圆已知半径【评注】一般结论为:r R a PN PM a AB P r OP N M AB ED CF EF CD P P AB o R -=-=的周长最小;,使得、、上各求一点、及射线内一个定圆,试在圆是给定锐角】圆【例PQR R Q P CB CA o ACB o ∆∠5。

;求证于交,连接于交,连接、的两弦点引圆的中点,过的弦圆】【例NP MP N AB CF M AB DE EF CD o P AB o P =:4【评注】如果题设中有角平分线、垂线,或图形是等腰三角形、圆等轴对称图形,可以将图形或其部分进行轴对称变换。

此外,也可以适当选择对称轴将一些线段的位置变更,以便于比较它们之间的大小。

顶点。

为所求的三角形的三个、、则、于、分别交,连接,令,交圆周于连接做法:的周长为最小,于是有为最小,从而取最小值时,当=理,是该圆直径,由正弦定四点共圆,、、、,则于交,于交设角形;的情况下周长最小的三是在取定,显然、于、分别交,连接,令上任取一点【分析】在圆R Q P R Q CB CA P P P P P P P OC R Q P EF CP ECF CP EF CP P F C E EFP P P R R Q Q P F CB P P E CA P P P R Q P R Q CB CA P P P P P P P o CB S CA S CB S CA S 212)(1)(1100000210111102010011011212)(01)(00,;sin 2,−−→−−−→−∆∴∠==++∆−−→−−−→−ADRP QR PQ PQR D BC AD A ABC 2906>++∆⊥︒≥∠∆求证:,是它的任一内接三角形,于,中,】【例;7MQ MP MQ MP BC M AQC APB AC AB ABC ⊥=∆,的中点,求证:是,、直角三角形为斜边分别向外作等腰、的边】以【例ADRP QR PQ AD AP AP AP RP QR Q P RQP P P P A A AP P AP P A RP QR Q P RP QR PQ AP AP AP Q P PQ RP RP P P P P AC S AB S 2 2 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' , 180 2 ' ' ' , 90 '' ' ' ' ' , ' ' , ' , ' ' , ' ) ( ) ( > + + ∴ > = + > + + ∴ ︒ ≥ ∠ = ∠ + ∠ ∴ ︒ ≥ ∠ + + = + + ∴ = = = = − − → − − − → − 的内部; 上或在凸四边形 点在线段 又 则 【分析】设OCOB OA PC PB PA C O OO AO AC C P PP AP C O O A O BO BOC C BO BPC C BP BOC C BO PB PP OB OO BPP BOO PP OO P P O O C C B R B R B R ++≥++++=≥++∴∴∠-︒=︒=∠=∠∆≅∆∆≅∆=∴∆∆−−−→−−−−→−−−−→−︒-︒-︒-即:四点共线,、、、;由于,显然,=,都是正三角形’、则;、连接【分析】将''''''''''180120'''''''''',',',')60,()60,()60,()(;,1208为费马点求证:内任意一点,是内一点,是】已知【例O OC OB OA PC PB PA ABC P COA BOC AOB ABC O ++≥++∆︒=∠=∠=∠∆三线也相交于一点;、、求证:,三线交于一点、、,设、、、、、垂线六个点分别作所在边的,过上述、、、、、分别交于点、、的三边与】圆【例2121212121212121219c b a D c b a c c b b a a C C B B A A AB CA BC ABC O ∆三线也相交于一点、、即:的公共点、、也是像下的像在变换的公共点、、,同理:成中心对称,关于圆心、【分析】2122121212)180,(12)180,(12)180,(121')180,0(c b a c b a D R D c b a c c b b a a O a a O R O R O R ︒∴−−−→−−−−→−−−−→−∴︒︒︒; 且 而 显然: 都是等腰三角形, 、 则 , = ,使 到 ,延长 ,使 到 【分析】延长 MQ MP MQ MP BF MQ EC PM BF EC BF EC F C B E CAFBAE CQ QF F CQ BP PE E BP A R A R ⊥ = ∴ ⊥ = ∴ − −− → − − −− → − ∆ ∆ = ︒ ︒ , 21 // ,2 1 // ; , , , ) 90 , ( ) 90 , (ON OM N O B O BN O BC G AC G O ACB GB O ACB DB O DB O GB O F D B O BG O ODG BGO OPG BN MN OPG ODG O G D P ODP OGP DBDG G O OG G BC ON N O OM B O N O B N O M B M N N O O AM AB A H AM AB A H AM AB A H =∴=∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∴︒=∠=∠=∴−−−→−−−−→−−−−→−'''''//',','''','''//,90'''''',,',')()()(的中点,是的中点,是而;而四点共圆、、、有,而由四点共圆、、、、、、,连接中点取三点共线,且、、三点共线,、、而【分析】设、、、 ON OM N M AC AB PO P BC O D O ABC AD =∆,求证:、于、分别交,连接并延长于的切线交作圆的直径,过的外接圆是】【例10。

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