傅里叶变换公式-傅里叶变换定义公式
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
傅里叶变换数学公式
傅里叶变换数学公式
傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号在时间域上的表达转换为在频率域上的表达。
其公式如下：
设函数或信号为f(t)，其傅里叶变换为F(ω)，则有：
F(ω) = ∫f(t)e^(-iωt)dt
其中，ω表示频率，i表示虚数单位。
傅里叶变换可以将函数或信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而用频谱来描述其特性。
傅里叶变换在信号和图像处理、通信、物理学等领域中广泛应用。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频域特性，识别某些频率成分，实现滤波、降噪、压缩等操作。
傅里叶变换的逆变换可以将频域表达转换回时域表达，公式如下：f(t) = (1/2π)∫F(ω)e^(iωt)dω
傅里叶变换是一项重要的数学工具，对于理解信号特性和处理各种波动现象具有重要意义。
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
第三章 傅里叶变换 重要公式
∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
序列傅里叶变换公式
序列傅里叶变换公式
傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，可以将一个时域上的连续函数或离散序列转换到频域上。
对于连续函数，其傅里叶变换公式为：
F(w) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-jwt) dt
其中，F(w)表示频域上的复数函数，f(t)表示时域上的连续函数，ω为角频率。
对于离散序列，其傅里叶变换公式为：
F(k) = Σ[n=0,N-1] f(n)e^(-j2πkn/N)
其中，F(k)表示频域上的复数序列，f(n)表示时域上的离散序列，N表示序列的长度，k为频域上的整数频率。
傅里叶变换的公式可以将时域上的信号转换为频域上的复数函数或序列，从而可以分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度、相位等信息。
这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换常用公式大全
傅里叶变换常用公式大全傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
在信号处理、图像处理和通信领域广泛应用。
本文将介绍一些傅里叶变换中常用的公式，以帮助读者更好地理解和应用傅里叶变换。
1. 傅里叶变换的定义公式傅里叶变换的定义公式如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)]dt其中F(ω)表示信号f(t)在频率ω处的傅里叶变换。
2. 傅里叶变换的逆变换公式傅里叶变换的逆变换公式如下：f(t) = ∫[F(ω) * e^(jωt)]dω其中f(t)表示频域信号F(ω)的逆变换。
3. 傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开公式将一个周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
公式如下：f(t) = a₀ + Σ[aₙ * cos(nω₀t) + bₙ * sin(nω₀t)]其中a₀, aₙ, bₙ为系数，n为正整数，ω₀为基本角频率。
4. 傅里叶级数系数计算公式傅里叶级数系数的计算公式如下：a₀ = 1/T₀ * ∫[f(t)]dtaₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * cos(nω₀t)]dtbₙ = 2/T₀ * ∫[f(t) * sin(nω₀t)]dt其中T₀为周期。
5. 傅里叶变换的线性性质公式傅里叶变换具有线性性质，公式如下：F(a * f(t) + b * g(t)) = a * F(f(t)) + b * F(g(t))其中a和b为常数。
6. 傅里叶变换的频移性质公式傅里叶变换具有频移性质，公式如下：F(f(t - t₀)) = e^(-jωt₀) * F(f(t))其中t₀为时间偏移量。
7. 傅里叶变换的频率缩放公式傅里叶变换具有频率缩放性质，公式如下：F(f(a * t)) = (1/|a|) * F(f(t/a))其中a为常数。
8. 傅里叶变换的频域微分公式傅里叶变换的频域微分公式如下：F(d/dt[f(t)]) = jωF(f(t))其中d/dt表示对时间t的导数。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。
3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。
5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。
6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。
卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。
7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。
8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。
9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。
除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。
傅里叶变换公式
傅里叶变换公式傅里叶变换是数学中一种重要的变换方法，用于将一个函数从时域表示（函数在时间上的表示）转换为频域表示（函数在频率上的表示）。
它是由法国数学家约瑟夫·傅里叶于19世纪提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、通信、音频处理等领域。
F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅，即将函数f(t)分解为振幅谱F(ω)。
e代表自然对数的底数，j表示虚数单位，ω为频率。
这个公式的意义在于将一个函数f(t)转换成一系列振幅谱F(ω)，表示不同频率正弦波在函数中所占的比重。
由于函数f(t)是由无数个不同频率的正弦波叠加而成的，因此通过傅里叶变换，我们可以分析一个函数中不同频率的成分。
这个过程也被称为频域分析。
傅里叶变换公式中的积分符号表示对整个时域进行积分，求出对应频率的振幅谱。
e^(-jωt)表示频率为ω的正弦波，振幅谱F(ω)表示频率为ω的正弦波在函数f(t)中的振幅。
通过在不同频率上进行积分，我们可以得到整个函数在频域上的表示。
傅里叶变换公式的应用非常广泛。
在信号处理领域，我们经常需要对信号进行频谱分析，以了解信号的频率成分。
例如，通过分析音频信号的频谱，我们可以分辨出不同乐器在音乐中的音高，从而实现音乐的识别和分类。
在图像处理领域，傅里叶变换可用于图像滤波、边缘检测等任务，提取图像中不同频率的特征。
此外，傅里叶变换还具有一些重要的性质，如线性性、位移性、尺度性等，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。
例如，线性性质使得我们可以将傅里叶变换应用于信号的线性叠加，通过对不同频率的信号进行叠加，得到整体信号的频域表示。
总之，傅里叶变换是一种重要的数学工具，它能够将函数从时域表示转换为频域表示，帮助我们更好地理解信号和图像。
通过傅里叶变换，我们可以分析信号中不同频率的成分，实现信号处理、图像处理、通信等领域中的一系列任务。
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式原理及公式非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。
但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。
因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。
有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。
当N较大时，这个计算量是很大的。
利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。
对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。
图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。
由图可以明显看出FFT算法的优越性。
将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。
由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。
依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。
图3为8点FFT的分解流程。
FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。
FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。
关于FFT精度的说明：因为这个变换采用了浮点运算，因此需要足够的精度，以使在出现舍入误差时，结果中的每个组成部分的准确整数值仍是可辨认的。
为了FFT的舍入误差，应该允许增加几倍log2(log2N)位的二进制。
三角波的傅里叶变换公式详细推导
一、概述三角波是一种常见的周期性信号，在信号处理和电子电路中都有广泛的应用。
三角波的傅里叶变换公式是描述三角波信号频谱特性的重要数学工具，其推导过程涉及复数运算、积分变换等数学知识，对于理解信号处理和频域分析具有重要意义。
二、傅里叶变换的基本概念1. 傅里叶级数的定义傅里叶级数是描述周期信号的频域特性的数学工具，它将一个周期为T的函数f(t)表示为一组基本正弦函数和余弦函数的线性组合： \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n\cos(n\omega_0t) + b_n \sin(n\omega_0t) \right) \]其中，\( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \)为基本角频率，\( a_0, a_n, b_n \)为系数。
2. 傅里叶变换的定义对于非周期信号f(t)，其傅里叶变换F(ω)定义为：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt \] 其中，\( \omega \)为频率，i为虚数单位。
三、三角波的定义和周期函数表示1. 三角波的定义三角波是一种周期为2π的信号，其数学表示为：\[ x(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{4a}{n^2\pi^2} \cos(n\omega_0t) \]其中，a为三角波的幅值。
2. 三角波的周期函数表示三角波还可以表示为一个以T=2π为周期的函数：\[ x(t) = \frac{8a}{\pi^2} \sum_{n=1,3,5...}\frac{\sin(n\omega_0t)}{n^2} \]其中，ω0=π/T为基本角频率。
四、三角波的傅里叶级数展开1. 三角波的基本角频率三角波的基本角频率为ω0=π/T，其中T为三角波的周期。
傅里叶变换公式】
傅里叶变换公式
傅里叶变换（Fourier Transform）是一种数学运算，用于将一个函数从时域（时间域）转换到频域。
傅里叶变换的基本公式如下：
离散傅里叶变换（DTFT）：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * e^(-j * 2π * k * n / N) 其中，X(k)表示频域中的复数值，k表示频域的离散频率，x(n)表示时域中的复数值，n表示时域的离散时间，N表示时域采样点数。
如果是连续信号，可以使用连续傅里叶变换（CTFT）：
X(ω) = ∫[−∞,+∞] x(t) * e^(-j * ω * t) dt 其中，X(ω)表示频域中的复数值，ω表示频域的连续角频率，x(t)表示时域中的复数值，t表示时域的连续时间。
傅里叶变换将信号从时域变换到频域，可以揭示信号中不同频率成分的强度和相位信息，对于频谱分析、滤波、信号处理等具有重要意义。
傅里叶变换的逆变换可以将信号从频域重新转换回时域，以便还原原始信号。
需要注意的是，上述公式是傅里叶变换的基本形式，而傅里叶变换还有一些特殊形式和性质，如快速傅里叶变换（FFT）等。
这些公式和性质在信号处理、图像处理、通信等领域中有着广泛的应用。
数字信号处理常用公式(不惧怕繁琐的推导)
数学信号处理基本公式1、傅里叶变换定义连续正变换：X (jω)=∫x (t )e −jωt dt ∞−∞ 连续反变换：x (t )=12π∫X (jω)e jωt dω∞−∞ 离散正变换：210()(),0,1,,1N jnk NN N n X k x n WW ek N π--====-∑离散反变换：2101()(),0,1,,1N j nk NN N n x n X k WW en N Nπ---====-∑2、傅里叶变换性质线性：[])]([)]([))()((t g F t f F t g t f F βαβα+=+ 位移：)]([)]([00t f F et t f F t j ω-=-； )]([)]([1010ωωωωF F e F F t j --=-.尺度：设)]([)(t f f F =ω， )(||1)]([aF a at f F ω=. 微分：)]([)]('[t f F j t f F ω=，要求0)(lim =∞→t f t)]([)()]([)(t f F j t fF n n ω=，要求()lim ()0(1,2,1)k t f t k n →+∞==-积分：)]([1])([t f F j dt t f F tω=⎰∞-，要求lim ()0t t f t dt -∞→+∞=⎰帕塞瓦尔等式：()221()()2f t dt F d ωωπ+∞+∞-∞-∞=⎰⎰，)]([)(t f f F =ω频率位移：若()ωj e X n x ⇔)(,则()()00)(ωωω-⇔j nj e X n x e时间共轭：若()ωj e X n x ⇔)(,则(),)(**ωj e X n x -⇔频率共轭：若()ωj eX n x ⇔)(,则()ωj e X n x **)(⇔-序列卷积：若)()()(n y n x n w *=,则)()()(z Y z X z W = 序列乘积：若)()()(n y n x n w =,则++---<<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰y x y x c R R z R R dv v v z Y v X j z W 1)(21)(π输入)cos()(ϕω+=n A n x ,则输出响应为：()()[])()(2)(ϕωωϕωω+--++=n j j n j j e e H e e H An y 输入12()()()x n x n x n =+,则输出响应为：()()()()()2j j n j j n Ay n H e e H e e ωωϕωωϕ+--+⎡⎤=+⎣⎦3、傅立叶级数满足狄利克雷条件的周期函数可由三角函数的线性组合表示：()f t 的周期为1T ，112T πω=其中：()00011t T t a f t dt T +=⎰；()()010112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰；()()010112sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰ 指数形式的付里叶级数表示：0111()[()sin()](5)n n n f t a a cos n n b n n ωω∞==++-----∑由欧拉公式：1111()()2jn tjn t cos n n e e ωωω-=+；1111sin()()2jn t jn t n n e e j ωωω-=+ 4、随机信号定义4.1均值、方差 离散均值：{}x kk kE X xp μ==∑ 连续均值：{}()x E X xp x dx μ∞-∞==⎰离散方差：222{||}||X X kX k kE X xp σμμ=-=-∑连续方差：222{||}||()X X X E X x p x dx σμμ∞-∞=-=-⎰4.2相关函数的定义 互相关: ()()()xy n r m x n y n m ∞=-∞=+∑ 自相关: ()()()xxn rm x n x n m ∞=-∞=+∑()()()()()()()()()011112121110111cos sin cos 2sin 2cos sin .................cos sin ..n n n n n f t a a t b t a t b t a n t b n t a a n t b n t ωωωωωωωω∞==++++++++=++⎡⎤⎣⎦∑（1）有限点自相关函数估计值为：11()()()N NN n r m xn x n m N-∧==+∑平稳随机过程的互相关函数: ()[()()]xy r m E x n y n m *=+ 自相关: ()[()()]xx r m E x n x n m =+ 4.3功率谱自功率谱：()()j j mX xm P e r m eωω∞-=-∞=∑ 互功率谱：()()j j m XY xym P e rm e ωω∞-=-∞=∑注意：功率信号的自相关函数与其功率谱是一对傅里叶变换：P x (e jω)=∑r x e −jωm ∞m=−∞5、三角函数变换sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ；sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ；cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtanA tanB tan(A+B) =1-tanAtanB +；tanA tanBtan(A-B) =1tanAtanB -+cotAcotB-1cot(A+B) =cotB cotA +；cotAcotB 1cot(A-B) =cotB cotA +- 倍角公式22tanA tan2A =1tan A-；sin2A=2sinA cosA ；Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3；cos3A = 4(cosA)3-3cosAa a tan3a = tana tan(+a)tan(-a)33和差化积sina+sinb=2sincos 22a b a b +-；sina-sinb=2cos sin22a b a b+- cosa+cosb = 2cos cos 22a b a b +-；cosa-cosb = -2sin sin22a b a b+- sin()tana+tanb=cos cos a b a b+积化和差1sinasinb =[cos(a+b)-cos(a-b)]2-， 1cosacosb =[cos(a+b)+cos(a-b)]21 sinacosb =[sin(a+b)+sin(a-b)]2，1cosasinb =[sin(a+b)-sin(a-b)]2诱导公式 ：sin(-a) = -sina;cos(-a) = cosa;sin(-a) = cosa;cos(-a) = sina 22ππsin(+a) = cosa;cos(+a) = -sina 22ππsin(-a) = sina,cos(-a) = -cosa ππsin(+a) = -sina;cos(+a) = -cosa ππ22a a a a1+sin(a) =(sin +cos );1-sina=(sin -cos )2222 函数展开成幂级数：+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++nn n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()()(!)()(!2)())(()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：)()!12()1(!5!3sin )11(!)1()1(!2)1(1)1(121532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n xx x x x x x n n m m m x m m mx x n n nm 欧拉公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ixix ix e e x e e x x i x e 或。
傅里叶变换的11个性质公式
傅里叶变换的11个性质公式傅里叶变换的11个性质公式是傅立叶变换的基本性质，由他们可以推出其它性质。
其中包括线性性质、有穷性质、周期性质、旋转性质、折叠性质、应变性质、平移性质、对称性质、频域算子性质、滤波性质、压缩性质等共11条。
1、线性性质：如果x(t)和y(t)是两个信号，则有：X(ω)=F[x(t)]，Y(ω)=F[y(t)]，则有：X(ω)+Y(ω)=F[x(t)+y(t)]；αX(ω)=F[αx(t)]；X(ω)*Y(ω)=F[x(t)*y(t)]。
2、有穷性质：如果x(t)是有穷的，则X(ω)也是有穷的。
3、周期性质：如果x(t)在周期T内无穷重复，则X(ω)也在周期2π/T内无穷重复。
4、旋转性质：X(ω-ω0) = F[x(t)e^(-jω0t)]，即信号x(t)经过相位旋转成x(t)e^(-jω0t)，其傅里叶变换也会经过相位旋转成X(ω-ω0)。
5、折叠性质：X(ω+nω0)=F[x(t)e^(-jnω0t)]，即信号x(t)经过频率折叠后变为x(t)e^(-jnω0t)，其傅里叶变换也会经过频率折叠成X(ω+nω0)。
6、应变性质：X(aω)=F[x(at)]，即信号x(t)经过时间应变成x(at)，其傅里叶变换也会经过频率应变成X(aω)。
7、平移性质：X(ω-ω0) = F[x(t-t0)]，即信号x(t)经过时间平移成x(t-t0)，其傅里叶变换也会经过频率平移成X(ω-ω0)。
8、对称性质：X(-ω) = X*(-ω)，即傅里叶变换的实部和虚部对称。
9、频域算子性质：X(ω)Y(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换不仅可以表示信号，还可以表示系统的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为X(ω)Y(ω)。
10、滤波性质：H(ω)X(ω)=F[h(t)*x(t)]，即傅里叶变换可以用来表示滤波器的频域表示，即h(t)*x(t)，其傅里叶变换为H(ω)X(ω)。
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0 t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
W
√
⎧ ⎪ 1, t < τ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎩0, t > τ ⎧ ⎪1 − t τ , t < τ f (t ) = ⎨ 0, t > τ ⎪ ⎩
τSa (
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
⎧ ⎪ 1, ω < W F (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩0, ω > W ⎧ ⎪1 − ω W , ω < W F (ω ) = ⎨ 0, ω > W ⎪ ⎩
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ
㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄ 㪉
[ f ( x)] F (P ) 䋓
x0 ½ a ® f [ ( x r )]¾ a ¿ ¯ b
ax r x0 [f( )] b
x0 b b exp(r j 2S P ) F ( P ) a a a
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )dx
a x ≤ 2 其它
傅里叶变换的本质及其公式解析
傅里叶变换的本质及其公式解析傅里叶变换的基本思想是任意一个周期函数，都可以看作是若干个正弦波和余弦波的叠加。
换句话说，我们可以用频率不同的正弦函数来分解一个信号。
这种分解是通过傅里叶级数实现的，而傅里叶级数就是傅里叶变换的特例。
傅里叶级数表示了一个周期函数可以由一系列正弦和余弦函数按照一定比例组成的事实，而傅里叶变换则是将这种分解应用到非周期函数上。
傅里叶变换将一个非周期函数表示为一系列连续频率的正弦和余弦函数的叠加，其中每个正弦和余弦函数的振幅和相位信息反映了原始函数在相应频率上的能量分布和相对位置。
F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt其中，F(w) 表示变换后的频域函数；f(t) 表示原始时域函数；e^(-jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。
该公式表示了将一个时域函数f(t)变换到频域函数F(w)的过程，其中w取负无穷到正无穷范围内的任意实数。
这个公式反映了在频域上，一个信号可以用一系列关于频率w的复指数函数进行分解。
1.傅里叶变换是一个线性变换，即对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，傅里叶变换可以分别计算它们的变换F1(w)和F2(w)，然后将两个变换相加得到变换结果F(w)=F1(w)+F2(w)。
2.傅里叶变换存在两种表示方式：复数形式和指数形式。
复数形式将频域函数表示为实部和虚部的形式，而指数形式将频域函数表示为振幅和相位的形式。
3.傅里叶变换有一个逆变换，可以将频域函数重新变换回时域函数。
逆变换的公式表示为：f(t) = ∫[F(w) * e^(jwt)] dw其中，f(t) 表示逆变换后的时域函数；F(w) 表示频域函数；e^(jwt) 是指数函数；∫ 表示积分运算；w 是频率。
傅里叶变换的本质是将一个时域上的信号或函数转换到频域上进行分解和分析。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频率特性，包括频率分量的能量分布和相位关系，从而可以对信号进行滤波、频谱分析、信号合成和解调等操作。
傅里叶变换推导
傅里叶变换推导傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，并加以分析。
傅里叶变换在信号处理和通信领域中都有广泛的应用，它可以让我们在频域中观察和控制信号，从而更好地理解它们。
本文将简要介绍傅里叶变换的推导过程。
傅里叶变换的基本定义是：将一个函数f(t)从时域转换到频域，形成一个新的函数F(ω)，其中ω是角频率，表示它在频域中的位置。
公式如下：F(ω)=∫f(t)e^-jωt dt 其中，j是复数单位根，等于-这个公式可以进行一些重构，以更容易理解。
首先，将e^-jωt改写为实部和虚部的乘积：e^-jωt=cos(-ωt)+jsin(-ωt) 然后，将它们带入到原始公式中：F(ω)=∫f(t)cos(-ωt)dt + j∫f(t)sin(-ωt)dt 将它们分别改写为两个积分：F(ω)=∫f(t)cos(-ωt)dt +j∫f(t)sin(-ωt)dt 最后，在实部和虚部之间增加一个乘积：F(ω)=∫f(t)cos(-ωt)cos(ωt) dt + j∫f(t)sin(-ωt)cos(ωt)dt 这就是傅里叶变换的基本推导过程。
从这里可以看出，傅里叶变换可以有效地将一个函数从时域转换到频域，并利用它来分析信号。
傅里叶变换的使用范围很广，从数学上来说，它可以用来解决复杂的微积分问题，并可以用来求解各种离散和连续的数学问题。
此外，它也可以用于信号处理，通信，图像处理等领域，这些领域都需要解决信号的复杂性问题，而傅里叶变换则可以解决这些问题。
本文简要介绍了傅里叶变换的推导过程，并讨论了它的广泛应用。
傅里叶变换是一种非常有用的数学工具，它可以将信号从时域转换到频域，并在信号处理，通信和图像处理领域有着广泛的应用。
傅里叶变换的定义公式
傅里叶变换的定义公式傅里叶变换是一种数学工具，常用于信号处理、图像处理和物理学等领域。
它的定义公式如下：傅里叶变换的定义公式为：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]其中，\( F(\omega) \) 是信号\( f(t) \) 的傅里叶变换，\( \omega \) 是频率，\( t \) 是时间。
傅里叶变换的本质是将一个函数在时域（时间域）中的表达转换为频域（频率域）中的表达。
它将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
在实际应用中，傅里叶变换常用于信号的频谱分析。
通过将信号转换到频域，我们可以得到信号的频率成分和幅度信息，从而可以对信号进行滤波、压缩、编码等操作。
例如，在音频信号处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解为不同频率的音调，从而可以实现音乐的音高识别、音频压缩等功能。
傅里叶变换还有许多重要的性质和应用。
其中，频谱平移性质是傅里叶变换的基本性质之一。
根据频谱平移性质，如果在时域中的函数发生平移，那么在频域中的函数也会相应地发生平移。
这个性质在信号处理中非常有用，可以用于时域信号的时移和频域信号的频移等操作。
另一个重要的性质是卷积定理。
根据卷积定理，两个函数的卷积在频域中对应着这两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质在信号处理中广泛应用，可以简化卷积运算的计算过程。
除了频谱分析和卷积运算，傅里叶变换还可以用于信号的滤波和去噪。
通过将信号转换到频域，我们可以选择性地去除频率成分较低或较高的部分，从而实现信号的滤波效果。
同时，傅里叶变换还可以通过滤波器的设计来实现信号的去噪，从而提高信号的质量和可靠性。
傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，广泛应用于各个领域。
它的定义公式为\( F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \)，通过将信号从时域转换到频域，我们可以更好地理解和分析信号的特性，并在信号处理和物理学等领域中应用傅里叶变换的各种性质和方法。
y=x傅里叶变换
y=x傅里叶变换
本篇文章将介绍y=x的傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
y=x是一条直线，它的傅里叶变换可以通过以下公式计算：
F(ω) = δ(ω) + jπδ'(ω)
其中，δ(ω) 和δ'(ω) 分别是单位冲击函数和它的导数。
可以看出，y=x 的傅里叶变换是一个复合函数，包含了单位冲击函数和它的导数。
在频域中，它的幅度谱是一个常数，而相位谱是一个线性函数。
总的来说，y=x 的傅里叶变换可以用简单的公式表示，但它的物理意义却非常重要。
它是傅里叶变换理论中的一个经典示例，可以帮助我们更好地了解傅里叶变换和频域分析的基本概念。
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第2章信号分析
本章提要
⏹信号分类
⏹周期信号分析--傅里叶级数
⏹非周期信号分析--傅里叶变换
⏹脉冲函数及其性质
信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：从信号中提取有用信息的方法
和手段
§2－1 信号的分类
●两大类：确定性信号，非确定性信号
确定性信号：给定条件下取值是确定的。
进一步分为：周期信号，
非周期信号。
x (质量－弹簧系统的力学模型
非确定性信号（随机信号）：给定条件下
取值是不确定的 ● 按取值情况分类：模拟信号，离散信号
数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。
● 信号描述方法 时域描述 如简谐信号
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
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§2－2 周期信号与离散频谱
一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式
周期信号时域表达式
T：周期。
注意n的取值：周期信号“无始无终”
#
●傅里叶级数的三角函数展开式
（n=1, 2, 3，…）
傅立叶系数：
式中Ｔ--周期；ω0--基频, ω0=2π/T。
●三角函数展开式的另一种形式：
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法
频谱图
●周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性
● 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图
解：
解：
信号的基频
傅里叶系数
n次谐波的幅值和相角
最后得傅立叶级数
频谱图
二、周期信号傅里叶级数的复指数形式
●
或
●傅立叶级数的复指数形式
●复数傅里叶系数的表达式
其中a n，n
同，只是n包括全部整数。
●一般c n是个复数。
因为a n是n的偶函数，b n是n的奇函数，因此#
即：实部相等，虚部相反，c n与c-n共轭。
●c n的复指数形式
共轭性还可以表示为
，
即：c n与c-n模相等，相角相反。
●傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。
它与三角函数形式的关系
对于n>0
（等于三角函数模的一半）
（与三角函数形式中的相角相等）
●用c n画频谱：双边频谱
第一种：幅频谱图:|c n|-ω，相频谱图: ϕn- ω
第二种：实谱频谱图:Re c n- ω，虚频谱图：Im c n- ω；也就是a n- ω和-b n- ω.
#
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§2－3 非周期信号与连续频谱
分两类：
a.准周期信号
定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成
频谱特性：离散性，非谐波性
判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数
b.瞬变非周期信号
几种瞬变非周期信号
数学描述：傅里叶变换
一、傅里叶变换
演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（2.22）借助（2.16）演变成：
定义x(t)的傅里叶变换X(ω)
X(ω)的傅里叶反变换x(t):
●傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率ω连续变化的无数谐波
的叠加。
称X(ω)其为函数x(t)的频谱密度函数。
●对应关系：
X(ω)描述了x(t)的频率结构
X(ω)
●以频率f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得
X( f )的指数形式
●频谱图
幅值频谱图和相位频谱图：
)
(ωϕ幅值频谱图
相位频谱图
实频谱图Re X (ω)和虚频谱图Im(ω) 如果X (ω)
是实函数，可用一X (ω)图表示。
负值理解为幅值为X (ω)的绝对值，相角为π或π-。
二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性
（二）对称性
（注意翻转） （三）时移性质
（幅值不变，相位随 f 改变±2πft0）（四）频移性质
（注意两边正负号相反）
（五）时间尺度改变特性
（六）微分性质
（七）卷积性质
（1）卷积定义
（2）卷积定理
三、脉冲函数及其频谱
（一）脉冲函数：
)(t
)
定义δ函数（要通过函数值和面积两方面定义）
函数值：
脉冲强度（面积）
（二）脉冲函数的样质
1．脉冲函数的采性（相乘）样质：
x )
()(00t t t x -δ函数值：
强度：
结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x (t )在脉冲发生时刻的函数值
2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2
(b) 利用结论2
结论：平移
x(t
（三）脉冲函数的频谱
均匀幅值谱
由此导出的其他3个结果
（利用时移性
质）
（利用对称性
质）
（对上式，
再用频移性质）
（四）正弦函数和余弦函数的频谱
)(f ∆
)
(f ∆余弦函数的频谱
正弦函数的频谱
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