关注全等三角形的隐含条件

关注全等三角形的隐含条件

初学三角形全等，同学们往往找不出证明两个三角形全等的条件，其中一个重要的原因就是忽视了全等三角形中的隐含条件．隐含条件一般可分为下列四种类型：

一、公共边

例1 如图1，AD//BC 且AD=BC ，试问△ACD 与△CAB 全等吗？为什么？

分析：通过AD//BC ，可得出∠DAC=∠BCA ，两个三角形有一边一角对应相等了，再加上公共边AC=CA ，就可证出两个三角形全等．

解：因为AD//BC 所以∠DAC=∠BCA ． 在△ACD 和△CAB 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=CA AC BAC DAC BC AD ∴△ACD ≌△CAB （SAS ） 二、公共角

例2 如图2，AB=AC ，∠B=∠C ，试问AD 与AE 相等吗？

分析：AD 与AE 分别在△ADB 和△AEC 中，要证明AD=AE ，必须证明这两个三角形全等，已经有一边一角对应相等，再加上公共角∠A ，就可以判定这两个三角形全等．

解：AD 与AE 相等

理由如下： 在△ADB 和△AEC 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠A A AC AB C B ∴△ADB ≌△AEC （ASA ）

∴AD=AE （全等三角形的对应边相等） 三、对顶角

例3：要测出一池塘两端A 、B 的距离，如图3，设计如下方案：先在平地上取一点可以直接到达A 、B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=AC ，连接BC 并延长到E ，使CE=BC ，最

D

C

B

A

图1

E

D

C

B

A

图2

后测出DE 的长即为A 、B 之间的距离，为什么？

分析：已知两边对应相等，再找夹角．根据对顶角相等，用SAS 公理即可证明两个三角形全等．

解：在△ABC 和△DEC 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=CE BC DEC ACB CD AC ∴△ABC ≌△DEC （SAS ）

∴AB=DE （全等三角形的对应边相等） 四、客观规律

例4：中午12点时，操场上垂直于地面竖立着两根一样长的竹竿，如图4，它们的影长相等吗？

分析：这道题已知AB=A ˊB ˊ，∠ABC=∠A ′B ′C ′=90°，还容易忽视的一个客观规律那就是太阳光线可以看成是平行的．

解：因为AC//A ′C ′ 所以∠ACB=∠A ′C ′B ′ 在△ABC 和△A ′B ′C ′中

⎪⎩

⎪

⎨⎧''='

''∠=∠︒='''∠=∠B A AB B C A ACB C B A ABC 90 ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′（AAS ） ∴AB= A ′B ′ 即它们的影长相等．

E

D

C

B

A

图3

C ′B ′

A ′

C B

A

图4