2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.2.1 古典概型练习(含解析)新人教A版必修3

3.2.1 古典概型[A 基础达标]1．甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )A.13B.14C.15D.16解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则一共有如下情形：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝13. 2．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25B.210C.310D.35解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为310. 3．(2019·福建省三明市质量检测)同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a ，b ，则方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根的概率为( )A.15B.14C.13D.12 解析：选B.因为方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根，所以Δ＝a 2－8b >0，又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为a ，b ，则共包含36个基本事件，满足a 2－8b >0的有(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(4，1)，(3，1)共9个基本事件，所以方程2x 2＋ax ＋b ＝0有两个不等实根的概率为936＝14.故选B.4．(2019·河北省沧州市期末考试)定义：abcde ＝10 000a ＋1 000b ＋100c ＋10d ＋e ，当五位数abcde 满足a <b <c ，且c >d >e 时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( )A.16B.110C.112D.120解析：选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个基本事件，所以恰好为“凸数”的概率为P ＝6120＝120.故选D. 5．(2019·湖北省四地七校联考)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为6的概率等于________．解析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为6的事件有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)这五种，因此所求概率为536. 答案：5366．(2019·广西钦州市期末考试)在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为________．解析：从五本书中任意选出2本书的所有可能情况为(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(3，4)、(3，5)、(4，5)共10种，满足2本书编号相连的所有可能情况为(1，2)、(2，3)、(3，4)、(4，5)共4种，故选出的2本书编号相连的概率为410＝25. 答案：257．某城市有8个商场A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A 前往商场H ，则他经过市中心O 的概率为________．解析：此人从商场A 前往商场H 的所有最短路径有A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条，其中经过市中心O 的有4条，所以所求概率为23. 答案：238．(2019·广西钦州市期末考试)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，并分别记为x ，y .(1)若记“x ＋y ＝5”为事件A ，求事件A 发生的概率；(2)若记“x 2＋y 2≤10”为事件B ，求事件B 发生的概率．解：将一颗质地均匀的骰子抛掷1次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果， 抛掷第2次，它的点数有1、2、3、4、5、6这6种结果，因为骰子共抛掷2次，所以共有6×6＝36种结果.(1)事件A 发生的基本事件有：(1，4)、(2，3)、(4，1)、(3，2)共4种结果，所以事件A 发生的概率为P (A )＝436＝19. (2)事件B 发生的基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(3，1)共6种结果，所以事件B 发生的概率为P (B )＝636＝16. 9．某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工．(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的这2名职工来自同一工厂的概率．解：记甲厂派出的2名男职工为A 1，A 2，1名女职工为a ；乙厂派出的2名男职工为B 1，B 2，2名女职工为b 1，b 2.(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共12种．其中选出的2名职工性别相同的选法有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共6种．故选出的2名职工性别相同的概率P ＝612＝12. (2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名，不同的结果有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a }，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共21种．其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 2，a }，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共9种．故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P ＝921＝37. [B 能力提升]10．(2019·江西省上饶市期末统考)图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是( )A.34B.12C.14 D ．1解析：选A.由题意，可得基本事件的总数为n ＝4，又由题图1中的正方形放在题图2中的①处时，所组成的图形不能围成正方体；题图1中的正方形放在题图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体， 所以将题图1中的正方形放在题图2中的①②③④的某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率为P ＝34.故选A. 11．设a 是从集合{1，2，3，4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1，2，3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b )．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是________．解析：事件E 发生包含的事件是分别从两个集合中取一个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足log b a ≥1，可以列举出所有的事件，当b ＝2时，a ＝2，3，4，当b ＝3时，a＝3，4，共有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512. 答案：51212．某校从高二甲、乙两班各选出3名学生参加书画比赛，其中从高二甲班选出了1名女同学、2名男同学，从高二乙班选出了1名男同学、2名女同学．(1)若从这6名同学中抽出2名进行活动发言，写出所有可能的结果，并求高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率；(2)若从高二甲班和乙班各选1名同学现场作画，写出所有可能的结果，并求选出的2名同学性别相同的概率．解：(1)设选出的3名高二甲班同学为A ，B ，C ，其中A 为女同学，B ，C 为男同学，选出的3名高二乙班同学为D ，E ，F ，其中D 为男同学，E ，F 为女同学．从这6名同学中抽出2人的所有可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．其中高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的可能结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，(D ，E )，(D ，F )，共9种，故高二甲班女同学、高二乙班男同学至少有一人被选中的概率P ＝915＝35. (2)高二甲班和乙班各选1名的所有可能结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，选出的2名同学性别相同的有(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(C ，D )，共4种，所以选出的2名同学性别相同的概率为49. 13．(选做题)(2019·四川省绵阳市教学质量测试)在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[1，4]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶．(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．解：总的基本事件有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)共16个．(1)记“获得飞机玩具”为事件A ，事件A 包含的基本事件有(2，3)，(3，2)，(3，3)共3个．故每对亲子获得飞机玩具的概率为P (A )＝316. (2)记“获得汽车玩具”为事件B ，记“获得饮料”为事件C .事件B 包含的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)共6个．所以P (B )＝616＝38，P(C)＝1－P(A)－P(B)＝716.所以P(B)<P(C)，即每对亲子获得饮料的概率大于获得汽车玩具的概率．。