直角三角形

初中几何第二册第三章

第五单元直角三角形

一•教法建议

【抛砖引玉】

本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖

先对其就有专门研究，并取辉煌成就。这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题一一勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c2=a2+b2）。它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。例如：直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边及斜边上的高分别c、h，其面积为s△，则有

1 1

s ab ch ab ch

2 2

这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。我们祖先发现：图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。

把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。这点在教学中通过实例与练习让同学们弄清楚用代数法证几何问题妙处，进一步开阔学生眼界。

【指点迷津】

勾股定理及其应用是本单元重点之一。采取面积法证明勾股定理有些陌生。为此，应复习小学学习过的面积公式，如直角形面积公式，正方形面积公式，长方形面积公式等，并复习小学学过的用拼凑法证明平行四边形面积公式等。然后再研究用面积法证明勾股定理便容易接受了。勾股定理应用很重要，要通过例习题进行强化练习，以便熟练掌握。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要依据，也是介绍用代数法证几何题的开拓，因此对其证法进行详细说明，使学生弄清证明的依据及方法，并掌握用代数法证几何题方法及技巧，以便今后的应用。

二•学海导航

【思维基础】

1•勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 _______ ;如果两条直角边

长为a 、b ,斜边为长c,则c 2= ________ 。

2. 由勾股定理已知直角三角形任意两边可求 __________

3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2, 哪么这个三角形为_三角形。

4. ______________________________ 运用勾股定理的逆定理可用来判定 __________________________________________ 三角形或用来确定 ______ 角。

【学法指要】

例1.如图已知ABC 中，/ A=90° ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点， 求证：

CD 2+BE 2=BC 2+DE 2

思路分析：题设告知Rt ^ABC ，且/ A=90°,或观察图形，又发现三个

Rt △，即Rt △ ADE ，Rt ^ABE ，Rt △ACD ，同时，结论又告知平方和的关系式，结论 已暗示我们用勾股定理作“向导”，是最佳“人选”。于是在 Rt ^ ABC ， Rt △ADE ，Rt ^ABE ，Rt ^ACD 中，分别由勾股定理，得:

BC 2=AB 2+AC

2 DE 2=AD 2+AE 2 CD 2+BE 2=BC 2+DE 2

例2.已知：如图，△ ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点,

求证：AB 2 — AD 2=BD • DC

思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上 的高

转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。 本例首先

作AE 丄BC 于E,便出现两个全等的直角三角形。

由 AB=AC BE=EC

结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好 方法，那么在 Rt △ ABE ，Rt A ADE 中，由勾股定理，得

由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化 为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是

AB 2 — AD 2=(BE+DE)(BE — DE) 结合图形知：BE+DE=BD 、 AB 2 — AD 2=BD • CD

BE — DE=CE —DE=CD ’

例 3.已知：如图，在△ ABC 中，/

BAC=90° ,AD=BD=CD,G 为 AD 上一点,

思路分析:结论关系式左边告知平方和的关系式，通

常联想勾股定理解之为先，又BG,CG 与直角三角形没有

BE 2=AB 2+AE

2 I CD 2+BE 2=AB 2+AC 2+AD 2+AE

2 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2 AB 2—AD 2=BE 2— DE 2

1

且 GD=，AG,求证:BG^CGmAG 2

BG 2=GE 2+BE 2

CG 2=GE 2+CE 2 BG 2+CG 2=2GE 2+BE 2+CE 2