直角三角形

初中几何第二册第三章第五单元直角三角形一•教法建议【抛砖引玉】本单元向同学们介绍勾股定理这个古老的数学问题，2000多年前我们的祖先对其就有专门研究，并取辉煌成就。

这是中华民族自毫，炎黄子孙的骄傲，今天我们又来学习这个问题一一勾股定理，它是几何中最重要的定理之一，勾股定理反映了一个直角三角形三边之间关系，所以它也是直角三角形的一条重要性质，同时，由勾股定理及逆定理，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足c2=a2+b2）。

它把形与数密切地联系起来，拓宽了视野。

勾股定理是解直角三角形的主要根据之一，在生产生活实际中用处很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。

为此，我们对它进行专门的学习与研究，并向同学们介绍一种面积证法，即同一种图形用两种面积关系式表示，列出关系式，使问题得到解决。

例如：直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边及斜边上的高分别c、h，其面积为s△，则有1 1s ab ch ab ch2 2这个问题同学们在小学已不陌生，应用这种面积思维几何问题又熠熠生辉。

我们祖先发现：图形割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变，利用计算可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法，也是我国古代证明几何题常用方法。

如何掌握及应用面积法，要认真观察图形，发现它的图形整体特征及分割后的图形特征或拼凑（割补）成不同图形的特征，分别用面积公式表示出来，再找出面积相等关系，列出等式，计算一下，便达目的。

教学必须紧紧扣住这一点，用面积法证明勾股定理就迎刃而解。

再通过生产生活实际问题引导同学们用勾股定理去解决，以强化勾股定理的应用。

把勾股定理的题设和结论交换（一对一的交换），可以得到它的逆命题，能够证明这个命题是真命题，即“勾股定理的逆定理”，它是判定一个三角形是直角三角形的重要方法，与前面学过的判定方法（直角三角形定义或两直角边互相垂直）不同，它需要通过代数方法“算”出来。

这点在教学中通过实例与练习让同学们弄清楚用代数法证几何问题妙处，进一步开阔学生眼界。

【指点迷津】勾股定理及其应用是本单元重点之一。

采取面积法证明勾股定理有些陌生。

为此，应复习小学学习过的面积公式，如直角形面积公式，正方形面积公式，长方形面积公式等，并复习小学学过的用拼凑法证明平行四边形面积公式等。

然后再研究用面积法证明勾股定理便容易接受了。

勾股定理应用很重要，要通过例习题进行强化练习，以便熟练掌握。

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的重要依据，也是介绍用代数法证几何题的开拓，因此对其证法进行详细说明，使学生弄清证明的依据及方法，并掌握用代数法证几何题方法及技巧，以便今后的应用。

二•学海导航【思维基础】1•勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 _______ ;如果两条直角边长为a 、b ,斜边为长c,则c 2= ________ 。

2. 由勾股定理已知直角三角形任意两边可求 __________3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2, 哪么这个三角形为_三角形。

4. ______________________________ 运用勾股定理的逆定理可用来判定 __________________________________________ 三角形或用来确定 ______ 角。

【学法指要】例1.如图已知ABC 中，/ A=90° ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点， 求证：CD 2+BE 2=BC 2+DE 2思路分析：题设告知Rt ^ABC ，且/ A=90°,或观察图形，又发现三个Rt △，即Rt △ ADE ，Rt ^ABE ，Rt △ACD ，同时，结论又告知平方和的关系式，结论 已暗示我们用勾股定理作“向导”，是最佳“人选”。

于是在 Rt ^ ABC ， Rt △ADE ，Rt ^ABE ，Rt ^ACD 中，分别由勾股定理，得:BC 2=AB 2+AC2 DE 2=AD 2+AE 2 CD 2+BE 2=BC 2+DE 2例2.已知：如图，△ ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上任一点,求证：AB 2 — AD 2=BD • DC思路分析：通常遇到等腰三角形问题，都是作底边上 的高转化为直角三角形，再按解直角三角形的思路探索。

本例首先作AE 丄BC 于E,便出现两个全等的直角三角形。

由 AB=AC BE=EC结论又以平方差“面目”出现，也就告知我们应用勾股定理是打开思路的好 方法，那么在 Rt △ ABE ，Rt A ADE 中，由勾股定理，得由于BE 、DE 均在一条直线BC 上，通常是平方差公式进行因式分解，转化 为求同一条线段的和差问题，使结论明朗化，于是AB 2 — AD 2=(BE+DE)(BE — DE) 结合图形知：BE+DE=BD 、 AB 2 — AD 2=BD • CDBE — DE=CE —DE=CD ’例 3.已知：如图，在△ ABC 中，/BAC=90° ,AD=BD=CD,G 为 AD 上一点,思路分析:结论关系式左边告知平方和的关系式，通常联想勾股定理解之为先，又BG,CG 与直角三角形没有BE 2=AB 2+AE2 I CD 2+BE 2=AB 2+AC 2+AD 2+AE2 AB 2=AE 2+BE 2 AD 2=AE 2+DE 2 AB 2—AD 2=BE 2— DE 21且 GD=，AG,求证:BG^CGmAG 2BG 2=GE 2+BE 2CG 2=GE 2+CE 2 BG 2+CG 2=2GE 2+BE 2+CE 2“姻缘”。

必须添设垂线作引线，使它与直角三角形牵上“红线”，便可促成“美满姻姻”。

于是作GE丄BC 于点E,便出现Rt△ BGE,Rt^CGE,由勾股定理，得在Rt 中,DG2—DE2=GE2结合图形发现：BE2=(BD+DE)2, CE2=(CD —DE)2BG2+CG2=2(DG2—DE2)+(BD+DE)2+(CD —DE)2此时便想借“数”的一臂之力，用完全平方公式“帮忙”，得：BG2+CG2=2DG2—2DE2+BD2+DE2+2BD • DE+CD2+DE2—2CD • DE 又知BD=CD BG2+CG2=2DG2+2BD21结合已知条件知：GD=—AG21 3 AD=BD=AG+GD=AG+ — AG= — AG2 22 2 1 23 2••• BG2+CG2=2 • (^AG)2+2(^AG)2=2AG2( - 9)=2AG2• 104 4 4=5AG2例1〜例3都是用勾股定理当主力军，担任“主攻”。

可见遇到平方和与平方差问题，通常应迅速作出决策，应用勾股定理作开路“先锋”，一般会旗开得胜。

但是孤军作战还是挺冒险的，必须“友军相助”，运筹帷幄，才能立于不败之地，例1〜例3是形的问题，借助“友军”数中平方差公式，完全平方公式，提取公因式等，使问题向予定的胜利目标前进，最终夺取胜利。

可见打开问题既要确定主攻路线，又要有策略一一思维方法，如数形结合法，转化法等，才能从胜利走向胜利。

例4.若△ ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ ABC的形状思路分析：“遇到平方想配方”，即遇到平方关系，设法配成完全平方式。

通常可达到目的，根据本例的题设条件，出现上述所说的特征，应立即对题设进行配方变换，于是有：(a2—10a+25)+(b2—24b+144)+(c2—26c+169)=0(a —5)2+(b—12)2+(c—13)2=02 2 2••• (a—5)2=0,(b—12)2=0 (c—13)2=0--a=5 b=12 c=13••• 52+122=25+144=169=13••• a2+b2=c2,由勾股定理逆定理知：•••△ ABC是直角三角形。

例5.如图，已知四边形ABCD的四边AB、BC、CD和DA的长分别为3、4、13、12，/ CBA=90°，求S 四边形ABCD思路分析：遇到四边形，通常是连对角线转化为三角形问题，对本例连对角线AC为佳，因/CBA=90°，便出现了直角三角形ABC，由勾股定理可求AC2=AB2+BC2=32+42=25在厶CAD中，我们又可发现：AC2+AD2=25+122=169DC2=132=169••• AC2+AD2=CD2,由勾股定理逆定理知•••△ ACD 为RtA，且/ DAC=90°此时，已清晰可知，这个四边形由两个直角三角形构成，求其面积便容易了S 四边形ABCD=S^ABC+S^ACD1 1AB BC AC AD2 21 13 4 5 122 26 30 36（平方单位）判定一个三角形是否是直角形，用定义，即证明三角形中有一个角有直角，或者一个三角形中有两条边互相垂直，这是已学过的两种方法，现又增加判定一个三角形是否是直角形的新方法——应用勾股定理逆定理，用代数法计算一下三边的关系，便可果断作出判定，例4与例5用勾股定理逆定理进行判断，使思路打通了，也可给同学们开辟了证解几何题的新思路一一代数法。

望同学们按照新开辟的“航道”大胆“启航”吧！一定会一帆风顺。

【思维体操】例1.已知：△ ABC 中，/BAC=120° ,Z ABC=15°，/A、/ B、/ C 的对边分别为a、b、c,那么a : b : c= _______ （本题结论保留根号）思路分析1:本例题设告知/ BAC=120°,很容易想到它的邻补角为60 它已隐含告知我们构造一个含30°的特殊直角三角形。

这时，只要过B作BD丄CA交其延长线于点D,含30°的直角三角形便出现了，以其为”领路人”便可顺利前进了。

如图，设AD=1，则AB=2，由勾股定理，得 BD VAL—A D^ J22 12晶又/ BAC=120°,/ ABC=15°A/ ACB=45°•••/ D=90°：/ DBC=45°•••/ DCB=/ DBC CD=DB= . 3••• b=AC=CD —AD= 3 —1在Rt A BCD中，由勾股定理,得_______a BC CD2BD2. ( 3)2( 3)2 6a :b :c 6 : (3 1) : 2厂庇近厂.3 ：:22思路分析2:仿思路分析1便构造出两个特殊直角三角形，即含30°的直角三角形ABD及等腰直角三角形DBC o再过D作DE丄BC于E,又构造出两个等腰直角形，为解题创造出更有利的条件。

设CE=1，贝U BE=1 , DE=1在Rt A DBE中，由勾股定理,得DB . DE2 BE212 12 2贝U DC=DB= 21 Rt A ADB 中，/ABD=30。