中科大考研自动控制理论内部讲义四(19-24)

第六讲 控制系统的状态空间分析与综合
经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入—单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。

但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽
略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。

复域分析法对于控制过程来说是间接的。

现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变﹑非线性﹑多输入-多输出系统的问题。

现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。

它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统，另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。

随着控制系统的高性能发展，最优控制﹑最佳滤波﹑系统辨识﹑自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。

在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。

它能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

第0节 必要的数学基础
集和线性空间 基和基底变换
向量范数、内积和格兰姆矩阵 线性变换及其矩阵表达式和范数 线性变换结构和线性代数方程组 特征值、特征向量和约当标准型 矩阵多项式和矩阵函数
第一节 控制系统的状态空间描述
一、状态空间的基本概念 1． 状态和状态变量
表征系统运动的信息称为状态，足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量。

一个用n 阶微分方程式描述的系统，就有n 个独立变量，当这n 个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。

因此，可以说该系统的状态变量就是n 阶系统的n 个独立变量。

状态变量的选取具有非唯一性，既可用某一组又可用另一组数目最少的变量作为状态变量。

状态变量不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，但实用时毕竟还是选择容易量测的量作为状态变量，以便满足实现状态反馈﹑改善性能的要求。

状态变量的一般记号为)(,)(),(21t x t x t x n 。

2． 状态向量
把描述系统状态的n 个状态变量)(,)(),(21t x t x t x n 看作向量)(t x 的分量，则向量)(t x 称为n 维状态向量，记作﹕
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t n x 或[]T n t x t x t x t )(,),(),()(21 =x
3． 状态空间
以n 个状态变量作为坐标轴所构成n 维空间称为状态空间。

系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。

随着时间的推移，)(t x 将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨线。

4． 状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为状态方程。

由于状态变量的选择具有非唯一性，故状态方程也具有非唯一性。

对于一个具体的系统，当按可量测的物理量来选择状态变量时，状态方程往往不具备某种典型形式，当按一定规则来选择状态变量时则具有典型形式，从而给研究系统特性带来方便。

尽管状态方程形式不同但它们都描述了同一个系统，不同形式的状态方程之间实际上存在着某种线性变换关系。

用图6-1所示的C L R --网络说明如何用状态变量描述这一系统。

图6-1 C L R --电路
此系统有两个独立储能元件，即电容C 和电感L ，故用二阶微分方程式描述该系统，所以应有两个状态变量。

状态变量的选取，原则上是任意的，但考虑到电容的储能与其两端的电压c u 有关，电感的储能与流经它的电流i 有关，故通常就以c u 和i 作为此系统的两个状态变量。

根据电工学原理，容易写出两个含有状态变量的一阶微分方程式﹕
u u Ri dt
di
L i dt
du C
c c
=++=
亦即 u L
i L R u L i
i C
u
c c 111+--== （6-1）
设状态变量i x u x c ==21,，则该系统的状态方程为
u L
x L R x L x
x C
x
11121221+--==
写成向量矩阵形式为
u L x x L R L
C x x ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101102121 （6-2a ） 简记为bu Ax x
+=
式中 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=L L R L C x x 10,110,21b A x 若改选c u 和c u
作为两个状态变量，即令c c u x u x ==21,，则该系统的状态方程为
u LC
x L R x LC x
x x
1121221+--==
即
u LC x x L R LC
x x
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡101
102121 （6-2b ） 比较式（6-2a ）和式（6-2b ），显然，同一系统，状态变量选取的不同，状态方程也不同。

5． 输出方程
系统输出量与状态变量﹑输入量的关系称为输出方程。

输出量由系统任务确定或给定。

如在图6-1系统中，指定c u x =1作为输出，输出一般用y 表示，则有
c u y = （6-3） 或 1x y =
式（6-3）就是图6-1系统的输出方程，它的矩阵表示式为 []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2101x x y 或 cx y =
6． 状态空间表达式
状态方程和输出方程的组合称为状态空间表达式，它既表征了输入对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，所以状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。

由于系统状态变量的选择是非唯一的，因此状态空间表达式也是非唯一的。

设单输入—单输出线性定常连续系统，其状态变量为)(,)(),(21t x t x t x n ，则状态方程的一般形式为
u b x a x a x a x
u b x a x a x a x
u b x a x a x a x
n n nn n n n n n n n ++++=++++=++++=
2211222221212112121111 （6-4）
输出方程则有如下形式
n n x c x c x c y +++= 2211 （6-5） 用向量矩阵表示时的状态空间表达式则为
[]⎥⎥⎥
⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n nn n n n n n x x x c c c b b b x x x a a a a a a a a a x x x
212
1
212121222
211121121y u
简写为
cx
y bu Ax x
=+= （6-6）
式中，x 为n 维状态变量；A 为系统内部状态的联系，称为系统矩阵或系数矩阵，为n n ⨯方阵；b 为输入对状态的作用，称为输入矩阵或控制矩阵，为1⨯n 的列阵；c 为n ⨯1输出矩阵。

对于一个具有r 个输入﹑m 个输出的复杂系统，此时的状态方程变为
r nr n n n nn n n n r r n n r r n n u b u b u b x a x a x a x
u b u b u b x a x a x a x
u b u b u b x a x a x a x
+++++++=+++++++=+++++++=
22112211222212122221212121211112121111
至于输出方程，不仅是状态变量的组合，而且在特殊情况下，还可能有输入矢量的直接传递，因而有
如下的一般形式：
r
mr m m n mn m m m r
r n n r
r n n u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y u d u d u d x c x c x c y +++++++=+++++++=+++++++=
22112211222212122221212121211112121111
因而多输入—多输出系统状态空间表达式的矢量形式为
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r mr m m r r n mn m m n n m r nr n n r r n nn n n n n n u u u d d d d d d d d d x x x c c c c c c c c c y y y u u u b b b b b b b b b x x x a a a a a a a a a x x x
21212222111211
2121
2222111211212121222
2111211
2121222
211121121 （6-7）
简写为
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
式中，x 和A 与单输入—单输出系统相同，分别为n 维状态矢量和n n ⨯系数矩阵；u 为r 维输入（或控制）矢量；y 为m 维输出矢量；B 为r n ⨯控制矩阵；C 为n m ⨯输出矩阵；D 为r m ⨯直接传递输入矩阵，也称为关联矩阵。

二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立
从元件或系统所遵循的物理定律来建立其微分方程，继而选择有关物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式，这是建立实际元件或系统状态空间表达式的实用方法。

系统可以用结构图或微分方程来表示，下面分别介绍从系统结构图和微分方程出发建立状态空间表达式的方法。

1．由系统结构图出发建立状态空间表达式
这种方法首先将系统结构图中的各个环节变换成模拟结构图。

为了简便，这里用结构图代替模拟计算机的详细模拟图。

即将结构图中各个环节变换为仅由积分器、加法器、比例器和一些带箭头的线段组成的图形。

其次，将每一个积分器的输出选作一个状态变量i x ，则其输入为i x
；然后由模拟结构图直接写出系统的状态方程和输出方程。

下面举例说明。

[例6-1] 系统结构图如图6-2a 所示，输入为u ，输出为y 。

试求其状态空间表达式。

解 图6-2a 所示系统中，有一个含有零点的环节，先将其展开成部分分式，即p
s p
z p s z s +-+=++1，从而得到图6-2b 所示的等效结构图，其模拟结构图如图6-2c 所示。

从图可得知
1
313313113122211)()(x y u p z px x K p z x
u K x K x K K x x K ax x
=-+---=++-=+-=
写成矢量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3211
32131312
32100100
)(00x x x y u p z K x x x p K p z K K K K a x x x
(a )
(b )
(c )
图6-2 例6-1 系统结构图及模拟结构图
2．由系统微分方程或传递函数出发建立状态空间表达式的方法。

鉴于微分方程或传递函数是描述线性定常连续系统的通用数学模型，有必要研究已知n 阶系统微分方程或传递函数时，导出状态空间表达式的一般方法，以建立统一的研究理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。

由描述系统输入—输出动态关系的微分方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题叫实现问题。

由于状态变量的选择是非唯一的，因此实现也是非唯一的。

而且并非任意的微分方程式或传递函数都能求得其实现，实现存在的条件是n m ≤。

这里先研究单输入—单输出线性定常系统，其它留在传递函数矩阵的实现中加以研究。

（1）传递函数中没有零点时的实现
这种单输入—单输出线性定常连续系统，它的运动方程是一个n 阶线性定常系数微分方程
u b y a y a y
a y n n n 001)
1(1)(=++++-- （6-8） 其相应的传递函数为
11
10
)(a s a s a s b s W n n n ++++=
-- （6-9） 如前述，上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图6-3导出。

这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构形式。

图6-3 系统模拟结构图
将图中的每个积分器的输出取作状态变量，状态方程由各积分器的输入—输出关系确定，输出方程在输出端获得。

由图6-3，容易列出系统的状态空间表达式为
1
0112211013221x b y u x a x a x a x a x
x x
x x
x x
n n n n n n n =+-----====----
写成矩阵形式，则为
u x x x x a a a a x x x x n n n n n ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---100010000100001
012112
10
121
（6-10）
[]x 0000
b y =
简写为
cx
y bu Ax x =+=
顺便指出，当A 阵具有式（6-10）的形式时，称为友矩阵，友矩阵的特点是主对角线上方的元素均为1，
最后一行的元素可取任意值，而其余元素均为零。

[例6-2] 已知系统的输入输出微分方程为
u y y y
y 36116=+++ 试列写其状态空间表达式。

解 选3/,3/,3/y
y y 为状态变量，即 3
,3,3321y
x y x y x === 可得 1
321332213611633
3x y u x x x y x
x y x
x y
x
=+---======
写成矩阵形式
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3213213210031006116100010x x x y u x x x x x x
（2）传递函数中有零点时的实现
此时系统的微分方程为
u b u b u b u b y a y a y
a y m m m m n n n 01)1(1)(01)
1(1)(++++=++++---- 相应的传递函数为
11
10
111)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s W n n n
m m m m ++++++++==---- n m ≤ （6-11） 在这种包含有输入函数导数情况下的实现问题，与前述实现的不同点主要在于选取合适的结构，使状态
方程中不包含输入函数的导数项，否则将给求解和物理实现带来麻烦。

为了说明方便，又不失一般性，这里先从三阶微分方程出发，找出其实现规律，然后推广到n 阶系统。

设待实现的系统传递函数为
12
23
12233)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s W ++++++== 3==m n （6-12） 因为m n =，上式可变为
122330*********)
()()()(a s a s a s b a b s b a b s b a b b s W +++-+-+-+=
令 )(1
)(0
12231s U a s a s a s s Y +++=
则))()())((()()(3003112
32213b a b s b a b s b a b s Y s U b s Y -+-+-+=
对上式求拉氏反变换，可得
1300131113223)()()(y b a b y b a b y
b a b u b y -+-+-+= 据此可得系统模拟结构图，如图6-4
图 6-4 系统模拟结构图
选每个积分器的输出为一个状态变量，可得系统的状态空间表达式
1
30023113322333211033221)()()(x b a b x b a b x b a b u b y u x a x a x a x
x x
x x
-+-+-+=+---===
或表示为矩阵形式
[]u b x x x b a b b a b b a b y u x x x a a a x x x 332132231130032121
0321)()()(10010001
0+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ （6-13）
推广到n 阶系统，式（6-11）的实现可以写为
u x x x x a a a a x x x x
n n n n n ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---100010000100001
012112
10
121
（6-14）
[]u b x x x x b a b b a b b a b y n n n n n n n n +⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=---121111100)()()(
与（6-10）式比较发现，状态方程是相同的，所不同的只是输出方程。

而且式（6-10）属于式（6-14）的特
例。

注意到这个特点就很容易根据式（6-14），由传递函数的分子分母多项式的系数，写出系统的状态空间表达式。

由于实现是非唯一的，下面仍从三阶系统出发，以式（6-12）的传递函数为例。

图6-5与图6-4相比，从输入输出的关系看，二者是等效的。

图6-5 系统模拟结构图
从图6-5可以看出，输入函数的各阶导数3
322,,dt u d dt u d dt du 作适当的等效移动，就可以用图6-6a 表示，只要3210,,,ββββ系数选择适当，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。

将综合点等效地移到前面，得到等
效模拟结构图如图6-6b 所示。

图6-6 系统模拟结构图
从图6-6b 容易求得其对应的传递函数为
12
23
211222012233)()()()(a s a s a s a s a s a s a s a s a s s W ++++++++++++=
ββββ
1223012213012231223233)
()()(a s a s a s a a a s a a s a s ++++++++++++=
ββββββββββ （6-15）
为求得i β令式（6-15）与式（6-12）相等，由此得出
01221301
122312
2323
3b a a a b a a b a b =+++=++=+=ββββββββββ
故得
1
22130002
231113
2223
3ββββββββββa a a b a a b a b b ---=--=-== （6-16）
为便于记忆可将式（6-16）写成式（6-17）的形式
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡012301232
1
2121010010001b b b b ββββa a a a a a （6-17） 将图6-6a 的每个积分器的输出选做状态变量，如图所示，可得这种结构下的状态空间表达式
u
βx y u βx a x a x a x
u βx x
u βx x
3103321103132221+=+---=+=+=
即
[]u βx x x y u βββx x x a a a x x x 332101232121
032100110001
0+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ （6-18）
扩展到n 阶系统，其状态空间表达式可以写为
u ββββx x x x a a a a x x x x
n n n n n n n ⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----012112112
10
12110000100001
（6-19）
[]u βx x x x y n n n +⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-1210001
式中),,1,0(n i βi =可由下式求出
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------0210211
10
12
1
11
1
01
b b b b ββββa a a a a a n n n n n n n n n n （6-20） [例6-3] 已知系统的输入输出微分方程为
u u u y y y y 23375++=+++
试列写其状态空间表达式。

解 由微分方程系数知2,3,1,0,3,7,50123012=======b b b b a a a （1）按式（6-14）所示的方法列写
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321132100573100010x x x y u x x x x x x
（2）按式（6-19）所示的方法列写，首先根据式（6-20）的计算公式求i β。

⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡2310157301570015
0001
0123ββββ 即⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡52100123ββββ
按照式（6-19）所示的方法直接写出状态空间表达式
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321001521573100010x x x y u x x x x x x
值得注意的是，这两种方法所选择的状态变量是不同的。

这一点可以从它们的模拟结构图（图6-4和图6-6a ）中很清楚地看出。

三、从状态空间表达式求传递函数阵
以上介绍了由传递函数建立状态空间表达式的问题，即系统的实现问题。

下面介绍从状态空间表达式求传递函数阵的问题。

设系统状态空间表达式为
Du
Cx y Bu Ax x
+=+= （6-21）
令初始条件为零，求拉氏变换式
)
()()(])([)()
()()(1
1s s s s s s s s u W u D B A I C y Bu A I x =+-=-=--
则系统传递函数矩阵表达式为
D B A I C W +-=-1
)()(s s （6-22）
式中)
det()
()
(1
A I A I A I --=
--s s adj s ，其中)(A I -s adj 为)(A I -s 的代数余子式，)det(A I -s 为)(A I -s 的
特征行列式，则0s =-A I 称为系统状态空间表达式的特征方程，其解称为系统状态空间表达式的特征根。

)(s W 是一个r m ⨯矩阵函数，即
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()()()()()()(212222111211s W s W s W s W s W s W s W s W s W s mr m m r r W 其中各元素)(s W ij 都是标量函数，它表征第j 个输入对第i 个输出的传递关系。

当j i ≠时，意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为耦合关系，这正是多变量系统的特点。

应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式是非唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。

对于已知系统如式（6-21），其传递函数矩阵为式（6-22）。

当作坐标变换，即令x T z 1
-=时，该系统的状态空间表达式
变为
Du
CTz y Bu T ATz T z
11+=+=--
那么对应上式的传递函数矩阵)(~
s W 应为
D B T AT T I T C D B T AT T I CT W +-=+-=-----])([)()(~
1
1111s s s
D B ATT TT T
I T C +-=----1111
])([s
)()(1
s s W D B A I C =+-=-
即同一系统，其传递函数矩阵是唯一的。

20讲开始
四、状态空间表达式的线性变换及规范化 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应的就有许多种状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。

所选取的状态矢量之间，实际上存在着一种矢量的线性变换。

1．设给定系统为
Du
Cx y x x Bu Ax x
+==+=0)0(; （6-23）
我们总可以找到任意一个非奇异矩阵T ，将原状态矢量x 作线性变换，得到另一状态矢量z ，设变换关系为
Tz x = 即 x T z 1-=
代入式（6-23），得到新的状态空间表达式
Du
CTz y x T x T z Bu;T ATz T z
1111+===+=----0)0()0( （6-24）
很明显，由于T 为任意非奇异矩阵，故状态空间表达式为非唯一的。

通常称T 为变换矩阵。

对系统进行线性变换的目的在于使AT T 1-阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算。

其理论依据是非奇异变换并不会改变系统的原有的性质。

这是因为对于式（6-23），系统特征值为0=-λA I 的根，经过线性变换后为式（6-24），则特征值为AT T I 1--λ，而
AT T T T AT T T T AT T I 11111------=-=-λλλ
T A I T T A I T -=-=--λλ11)(
A I A I T
T -=-=-λλ1
故有等价变换之称。

待获得所需结果以后，再引入反变换关系x T z 1
-=，换算回到原来的状态空间中去，得
出最终结果。

线性变换是线性代数学内容，下面仅概括指出本书中常用的几种变换关系。

（1）化A 为对角形
（a ）若A 阵为任意形式且有n 个互异实数特征值n λλλ,,,21 ，即0=-λA I 的根，则可由A 的特征根直接写出对角阵Λ
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎢⎣⎡λλλ==-n 0
02
1
AT T Λ1
（6-25） 而欲得到变换的控制矩阵B T 1
-和输出矩阵CT ，则必须求出变换矩阵T 。

T 阵由A 阵的特征矢量
),,2,1(n i i =p 组成
[]n 2
1
p p p T
= （6-26）
特征向量满足 n i i i i ,,2,1, =λ=p Ap （6-27）
[例6-4] 试将下列状态方程变换为对角线标准型
[]x
001
10051166116110
321321=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y u x x x x x x
解 A 的特征值可由0=-λA I 求出
05
11
6611
6
11=--+-=-λλλ
λA I
即 0)3)(2)(1(61162
3=+++=+++λλλλλλ
解得 3,2,1321-=-=-=λλλ
对应于11-=λ的特征矢量1p ，由式（6-27） 111p Ap λ=
则有 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----31211131211151166116110
p p p p p p 可以解出 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1011p 同理可以算出对应于22-=λ、33-=λ的特征矢量2p 、3p 为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4212p ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9613p 则变换矩阵T 由（6-26）写出为
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=941620111T 再根据式（6-24）可将该系统变换为对角线标准型
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321111132300020001z z z y u z z z z z z
(b )若A 阵为友矩阵形式且有n 个互异实数特征值n λλλ,,,21 ，则T 阵是一个范德蒙德(Vandermonde )矩阵，为
⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλλλλλλ=---11
211
2
2221
21
11
1n n n n n n T （6-28）
(c )若A 阵有q 个实特征值1λ，其余（q n -）个为互异实数特征值，但在求解),,2,1(q i i i i =λ=p Ap 时，只有一个独立实特征向量1p ，则只能使A 化为约当阵Λ
⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡λλλλ==+-n q 1
1
1
00AT T Λ1 （6-29） 式中n q p p ,,1 +是互异特征值对应的实特征向量。

展开),,2,1(q i i i i =λ=p Ap 时，n 个代数方程中若有q 个),,2,1(n j p ij =元素可以任意选择，或只有)(q n -个独立方程，则有q 个独立实特征向量。

（2）化A 为约当形
（a ）若A 阵为任意形式且有q 个实特征值1λ，其余（q n -）个为互异实数特征值，但在求解
),,2,1(q i i i i =λ=p Ap 时，仍有q 个独立实特征向量q p p ,,1 ，则仍可使A 化为对角阵。

⎥⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλλ=+n q 1
111001
1J （6-30） J 中虚线示出存在一个约当块。

[
]
n q q
p p p p p T
12
1
+= （6-31）
式中q p p ,,2 是广义特征矢量，满足
[
]
[
]
q q p p p
A p p p
21
1112
1
11
=⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢
⎣
⎡λλλ （6-32）
n q p p ,,1 +是互异特征值对应的实特征向量。

从上述分析中可以发现，对角形实际上是约当形的一种特殊形式。

当系统用状态空间表达式来描述时，用上述方法可以比较方便地得到约当形，但若系统直接由传递函数来描述，则用下面的方法更简便。

2．系统的并联型实现 已知系统的传递函数
11
10
111)()()(a s a s a s b s b s b s b s U s Y s W n n n
m m m m ++++++++==---- （6-33） 现将式（6-33）展开成部分分式。

由于系统的特征根有两种情况，下面分别讨论。

（1）具有互异根情况 此时式（6-33）可以写成
)
())(()(210
111n m m m m s s s b s b s b s b s W λλλ---++++=-- （6-34）
式中n λλλ,,,21 ——系统的特征根。

将其展开成部分分式
∑=-=-++-+-==
n
i i
i n n s c s c s c s c s U s Y s W 12211)()
()(λλλλ （6-35） 根据式（6-35），容易看出，其模拟结构图如图6-7所示，这种结构采取的是积分器并联的结构形式。

取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为
[]x x x
n n c c c y u
212
1111000000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=λλ
λ （6-36） 或 []x
x x
11100
0000
2121
=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=y u
c c c n n λλλ （6-37） 式（6-36）和式（6-37）是互为对偶的。

同理图6-7a 和图6-7b 也有其对偶关系。

不论式（6-36）或式（6-37），它们都属于约当标准型（或对角线标准型），因此，约当标准型的实现是并联型的。

图6-7 并联型模拟结构图
（2）具有重根的情况
设有一个q 重的主根1λ，其余n q q λλλ,,,21 ++是互异根。

此时式（6-33）可以展开成部分分式
∑+=---+-+-++-+
-=
n
q i i i q q q
q s c s c s c s c s c s W 1111
2
1121
1)1(111)()()
()()
()(λλλλλ （6-38） 从式（6-38）可知系统的一种实现，具有图6-8所示的结构，除重根是取积分器串联的形式外，其余均为积
分器并联。

图6-8 并联型模拟结构图
从图6-8的结构，不难列出其相应的状态空间表达式
n
n q q q q q q n n n q q q q q q q q x c x c x c x c x c x c y u x x
u x x
u x x
x x x
x x x
x x x
+++++++=+=+=+=+=+=+=++--+++--
11111122)1(111111111132122111λλλλλλ
用矢量矩阵形式表示为
[
]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-+-+-++-n q q q n q q q
n q q q n q n q q q x x x x
x x c c c c c c y u
x x x x x x x x x x x x
11211
1112)1(111121111
1111211110000
00
000000
0000000001
000000010000001λλλλλλ （6-39）
五、离散时间系统的状态空间表达式
连续时间系统的状态空间方法，完全适用于离散时间系统。

设系统差分方程为
)
()1()1()()()1()1()(011011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n ++++-+++=++++-+++-- （6-40）
式中k 表示kT 时刻，T 为采样周期；)(k y ，)(k u 分别为kT 时刻的输出、输入；i a ，i b 是表征系统特征的常系数。

相应的系统脉冲传递函数为
11
10
111)(a z a z a z b z b z b z b z W n n n n n n n ++++++++=---- （6-41）
式（6-41）与式（6-11）在形式上相同，故可以仿照式（6-19）写出离散时间系统的状态空间表达式
u ββββk a a a a k n n n ⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=+---012112
10
)(10000100001
0)1(
x x （6-42）
[]u βk k y n +=)(000
1)(x
式中),,1,0(n i βi =可由下式求出
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------0210211
10
12
1
11
1
01
b b b b ββββa a a a a a n n n n n n n n n n
第二节 线性定常系统状态方程的解
系统的状态空间描述的建立为分析系统的行为和特性提供了可能性。

对系统进行分析的目的，是要揭示系统状态的运动规律和基本特性。

下面我们通过求解状态方程来研究系统状态的运动规律。

一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）
所谓系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。

此时。

状态方程为齐次状态方程
Ax x
= （6-43） 设其解是t 的向量幂级数
+++++=k
k t t t t b b b b x 2210)(
式中k b b x ,,,
0 都是n 维向量，则
)
(2)(2
210121 +++++=+++=-k
k k k t t t t k t t b b b b A b b b x
由对应项系数相等关系有
220
1!1
2
1
b A b b A b Ab b k k k === 且0)0(b x =，故
)0()!
1
21()(22x A A A I x ++++
+=k k t k t t t
定义 ++++
+=k k t
t k t t e
A A A I A !
1
2122 （6-44） ∑∞
==
!1k k k t k A 则 )0()(x x A t
e t = （6-45）
众所周知，纯量微分方程ax x
= 的解为)0()(x e t x at
=，at e 称为指数函数，而向量微分方程的解在形式上与其是相似的，故把t
e
A 称为矩阵指数函数。

二、 状态转移矩阵
从式（6-45）可以看出，)(t x 是由)0(x 转移而来，对于线性定常系统，t
e A 又有状态转移矩阵之称，并
记作)(t φ，即)(t e
t
φA =，所以式（6-45）又可以写成
)0()()(x φx t t = （6-46）
1．状态转移矩阵的性质：
性质一
)()()(ττ+=t t φφφ 或 )(ττ
+=t t
e e
e A A A （6-47）
这是组合性质，它意味着从τ-转移到0，再从0转移到t 的组合，即 )())(())(0()0(τττ+=--=---t t t φφφφ
性质二
I
I
φA ==--)()(t t e t t （6-48）
上述二性质可由式（6-44）的定义得到证明。

本性质意味着状态矢量从时刻t 又转移到时刻t ，显然，状态矢量是不变的。

性质三
)()]([1
t t -=-φφ
或 t t e e A A --=1
]
[ （6-49）
这个性质是，状态转移矩阵的逆意味着时间的逆转；利用这个性质，可以在已知)(t x 的情况下，求出小于时刻t 的)(),(00t t t <x
性质四
对于状态转移矩阵，有
A φA φφ
)()()(t t t == 或
A A A A A t t t
e e e dt
d == （6-50） 这个性质说明，)(t φ或t
e
A 矩阵和A 矩阵是可以交换的。

性质五
对于n n ⨯方阵A 和B ，当且仅当BA AB =时，有t
B t t e e e )(+=A B A ；而当BA AB ≠时，则
t B t t e e e )(+≠A B A 。

这个性质说明，除非A 与B 矩阵是可交换的，它们各自的矩阵指数函数之积与其和的矩阵指数函数不等价。

这与标量指数函数的性质是不相同的。

2． )(t φ或t
e A 的计算
（1）根据t
e A 或)(t φ的定义直接计算
++++
+=k k t
t k t t e
A A A I A !
1
2122 [例6-5] 已知⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡--=3210A ，求t
e A 解 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=!
33210!232103210
100133
22
t t t e
t
A ⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+--++-= 3232323
225
2731373267231t t t t t t t t t t t 此法具有步骤简便和编程容易的优点，适合于计算机计算。

但是采用此法计算难以获得解析形式的结果。

（2）．利用拉氏反变换法求t
e A
])[(£)(1-1--==A I φA s t e
t
（6-51）
证明 齐次微分方程0)0(;x x Ax x
==
两边取拉氏变换
)()0()(s s s AX x X =-
即 0)0()()(x x X A I ==-s s
所以 01
)()(x A I X --=s s
对上式两边取拉氏反变换，从而得到齐次微分方程的解
01
-1])[(£)(x A I x --=s t
将上式和式（6-45）比较，故有 ])[(£)(1-1
--==A I φA s t e
t
[例6-6] 已知⎥
⎦
⎤⎢
⎣⎡--=3210A ，求t
e A 解 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+-=-321s s s A I
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=--=
--s s s s s adj s s 213)2)(1(1
)(1)(1A I A I A I ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-
+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡
++++-+++++=2211
221
2211121
1
2
)2)(1()
2)(1(2)2)(1(1)
2)(1(3s s s s s s s s s s s s s s s s s s 所以 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-=---------t t t
t t t t
t t
e e e e e e e e s e
22221
1
-222])[(£A I A 三、 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用)(t u 作用下的强制运动。

此时状态方程为非齐次矩阵微方程
Bu Ax x
+= （6-52） 当初始时刻为00=t ，初始状态为)0(x 时，其解为 ⎰-+=t
d t t t 0
)()()0()()(τττBu φx φx （6-53）
式中t
e t A φ=)(。

证明 采用类似标量微分方程求解的方法，将式（6-52）写成
Bu Ax x =- 等式两边同时左乘t
e A -，得
)()(t e e t t
Bu Ax x
A A --=- 即
)()]([t e t e dt
d t t
Bu x A A --= （6-54） 对式（6-54）在t ~0间积分，有
τττ
d e t e t
t
t ⎰--=0
)()(Bu x A A
整理后可得式（6-53） ⎰-+
=t
d t t t 0
)()()0()()(τττBu φx φx
很明显，式（6-52）的解)(t x 是由两部分组成：等式右边第一项表示由初始状态引起的自由运动，第二
项表示由控制激励作用引起的强制运动。

[例6-7] 试求下述系统在单位阶跃函数作用下的解
u ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210x x
解 （1）先求)(t φ 从上例已求出
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=--------t t t
t t t t
t e e e e e e e e t 2222222)(φ
（2）将⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=10b ，)(1)(t t u =代入式（6-53）
⎰⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-+---=----------------t t t t t t t t
t t t t
t d e e e e x x e e e e e e e e t 0)(2)()(2)(2122222)0()0(222)(τττττx ⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=------------t t t t t t t t t t t t e e e e x x e e e
e e e e e 2221222221)0()0(222
四、 离散时间系统状态方程的解
离散时间状态方程有两种解法：递推法和z 变换法。

这里只介绍常用的递推法，对z 变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。

线性定常离散时间系统的状态方程为
)()()1(k k k Hu Gx x +=+
)0()(0x x ==k k （6-55） 用迭代法解矩阵差分方程（6-55）
)0()0()1(,0Hu Gx x +==k
)1()0()0()1()1()2(,12Hu GHu x G Hu Gx x ++=+==k
)2()1()0()0()2()2()3(,
223Hu GHu Hu G x G Hu Gx x +++=+==k
)()2()0()0()1()1()(,
11k k k k k k k k k Hu GHu Hu G x G Hu Gx x +-+++=-+-=-=- 即
∑-=--+=10
1)()0()(k j j k k
j k x Hu G x G （6-56）
式（6-56）即为线性定常离散时间系统的状态方程（6-55）的解 五、 连续时间状态空间表达式的离散化
数字计算机所处理的数据是数字量，它不仅在数值上是整量化的，而且在时间上是离散化的。

如果采用数字计算机对连续时间状态方程求解，那么必须先将其化为离散时间状态方程。

当然，在对连续受控对象进行在线控制时，同样也有一个将连续数学模型的受控对象离散化的问题。

离散按一个等采样周期T 的采样过程处理，即将t 变为kT ，其中T 为采样周期，而
,2,
1,0=k 为一正整数。

输入量)(t u 则认为只在采样时刻发生变化，在相邻两采样时刻之间，)(t u 是通过零阶保持器保持不变的，且等于前一个采样时刻之值，换句话说，在kT 和T k )1(+之间，==)()(kT t u u 常数。

在以上假定情况下，对于连续时间的状态空间表达式
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
将其离散化后，则得离散时间状态空间表达式为
)
()()()
()()()()1(k k k k T k T k Du Cx y u H x G x +=+=+ （6-57）
式中 T
e T A G =)(
⎰
=
T
t dt e T 0
)(B H A （6-58）
在采样周期T 较小时，一般当其为系统最小时间常数的101左右时，离散化的状态方程可进似表示为 )()()(])1[(kT T kT T T k Bu x I A x ++=+ （6-59）
即
B
H I
A G T T T T ≈+≈)()(
20课结束 ， 21课开始 ······
第三节 线性定常系统的能控性和能观性
在控制工程中，有两个问题经常引起设计者的关心。

那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态控制（转移）到希望的状态上，以通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断（识别）系统的初始状态。

这便是控制系统的能控性与能观性问题。

控制系统的能控性及能观性是现代理论中很重要的两个概念。

在多变量最优控制系统中，能控性及能观性是最优控制问题解的存在性问题中最重要的问题，如果所研究的系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的。

一、能控性问题
能控性所考察的只是系统在控制作用)(t u 的控制下，状态矢量)(t x 的转移情况，而与输出)(t y 无关，所以只需从状态方程的研究出发即可。

1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统
Bu Ax x
+= （6-60）
如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在有限时间区间],[0f t t 内，使系统由某一初始状态)(0t x ，转移到
指定的任意终端状态)(f t x （=0），则称此状态是能控的。

若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

2．能控性的判别
线性连续定常单输入系统
bu Ax x += （6-61） 其能控的充分必要条件是由b A ,
构成的能控性矩阵
[
]
b A b A Ab
b
M 12-=n （6-62）
满秩，即n rank =M 。

否则当n rank <M 时，系统为不能控的。

下面来推导系统状态完全能控的条件，在不失一般性的条件下，假设终端状态)(f t x 为状态空间的原点，并设初始时间为零，即00=t 。

方程（6-60）的解为 ⎰-+=t
t t
d u e
e t 0
)
()()0()(τττb x x A A
由能控性定义，可得
⎰-+==f
f f t t t f d e
e
t 0
)
()()0(0)(τττbu x x A A
即 ⎰
--=f
t d e 0
)()0(τττbu x A （6-63）
注意到τ
A -e
可写成
k n k k e
A A ∑-=-=1
)(τατ
（6-64）
将方程（6-64）代入方程（6-63）中，可得 ⎰∑-=-
=f
t k n k k d 0
1
)()()0(ττταu b A x （6-65）
设
k t k f
d βτττα=⎰
)()(u
那么方程（6-65）变为
k
n k k
β
∑-=-
=1
)0(b A x
[
]
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=--1101n n βββ b A Ab b
（6-66）。