第三章 三角恒等变形-1(学生版)
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.
∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
.
事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
[变式训练]在 中, ,求 的值.
例2在 中, ,求 .
[思路分析]由于已知正切值,要求余弦值,因此要寻求正切、正弦、余弦的关系,这时 与 都要用到.
[解]∵ ,且 ,
∴ .∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
故由 得 .
[规律技巧]已知正切,而由 知正弦与余弦之间只有一个关系式,此时再联合 求解就是必然的.另一点值得指出的是,由于最后要开方,故先判断角的范围是必要的.
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若 是第二象限角,且 ,求 的值.
(2)若 ,求 的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用 求正切值.
二、填空题
5.若 ,则 ______.
6.若 ,则 ______.
7.若 ,且满足 ,则 ______.
8. 化简后的最简结果为______.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值.
10.若 ,求 的值.
[变式训练]已知 为锐角,且 是方程 的根,求 的值.
题型2:关于 之间的相互转化
例3已知 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]对于(1),将 平方即可出现 的结构；对于(2),可先求 的值；而对于 ,当然可以先求 , ,再求 .
[解](1)∵ ,
∴等式左右两边平方得:
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第1课时同角三角函数的基本关系(1)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. ______.
【基础自测】
1.若 是钝角, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 ( )
[变式训练]若锐角 满足 ,求 的值.
【课时作业】
一、选择题
1.化简 等于( )
(A) (B)
(C) (D)
2.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
[解](1)∵ ,且 是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当 是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, ；
当 是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.
∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
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事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
[变式训练]在 中, ,求 的值.
例2在 中, ,求 .
[思路分析]由于已知正切值,要求余弦值,因此要寻求正切、正弦、余弦的关系,这时 与 都要用到.
[解]∵ ,且 ,
∴ .∴ .
∵ ,
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∵ ,
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故由 得 .
[规律技巧]已知正切,而由 知正弦与余弦之间只有一个关系式,此时再联合 求解就是必然的.另一点值得指出的是,由于最后要开方,故先判断角的范围是必要的.
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若 是第二象限角,且 ,求 的值.
(2)若 ,求 的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用 求正切值.
二、填空题
5.若 ,则 ______.
6.若 ,则 ______.
7.若 ,且满足 ,则 ______.
8. 化简后的最简结果为______.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值.
10.若 ,求 的值.
[变式训练]已知 为锐角,且 是方程 的根,求 的值.
题型2:关于 之间的相互转化
例3已知 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]对于(1),将 平方即可出现 的结构；对于(2),可先求 的值；而对于 ,当然可以先求 , ,再求 .
[解](1)∵ ,
∴等式左右两边平方得:
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第1课时同角三角函数的基本关系(1)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. ______.
【基础自测】
1.若 是钝角, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 ( )
[变式训练]若锐角 满足 ,求 的值.
【课时作业】
一、选择题
1.化简 等于( )
(A) (B)
(C) (D)
2.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
[解](1)∵ ,且 是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当 是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, ；
当 是第二象限角时,
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[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.