第三章 三角恒等变形-1(学生版)
第三章 三角恒等变换
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、课标要求：本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.3.1.1 两角差的余弦公式一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想：（一）导入：我们在初中时就知道 cos 452=，cos30= ，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-= 大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30- 呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-= （二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索()cos αβ-与cos α、cos β、sin α、sin β之间的关系，由此得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，认识两角差余弦公式的结构.思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？ 展示多媒体课件比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：()cos ?αβ+=，()()cos cos αβαβ+=--⎡⎤⎣⎦，再利用两角差的余弦公式得出()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦（三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()1cos75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 3022224=+=-=-=()12c o s 15c o s 4530c o s 45c o s 30s i n 4530222=-=+=+⨯点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=- ，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值.解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===-又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===-所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （五）作业：§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ，于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、si n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、co s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()co s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)(1cos sin 30cos cos30sin 3022x x x x x x x ⎫=-=-=-⎪⎪⎭思考：=我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于12的.小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， （二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）例题讲解 例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<．又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-．于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=-⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-． 例２、已知1tan 2,3α=求tan α的值． 解：22tan 1tan 21tan 3ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=解得tan 2α=-tan 2α=-（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. （五）作业：3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 五、学法与教学用具 学法：讲授式教学 六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容． 例1、试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=．又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例２、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例３、求函数sin y x x =+的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =+这种形式我们在前面见过，1sin 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：《三角恒等变换》复习课（2个课时）一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
2024年暑期高一培优课1三角恒等变换(学生)
三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式[提醒] 在公式T (α±β)中α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2．二倍角公式3．辅助角公式一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ) ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1. 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.2. 已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α.3. (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D ．32(2)若α，β均为锐角且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin ⎝⎛⎭⎫32π＋2β＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．324. 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝5－1510，且sin B ＝1010，则A ＋B ＝( ) A.3π4 B ．5π4 C.7π4 D ．7π65. 化简求值：2cos 80°－sin 70°cos 70°.6. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． 7．（2020·全国（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B C ．23D 8. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B ．9π4 C.5π4或7π4D ．5π4或9π49.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，34π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________. 10.已知: 55sin =α，1010sin =β，α和β都是锐角，求βα+的值.11.已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(πβα∈、，求βα-2的值.12.已知71cos =α，1413)cos(=-βα，且20παβ<<<.（1）求α2tan 的值； （2）求β.13. 已知tan(β−π4)=12，cos(α+β)=−√55，其中0<α<π2，0<β<π．(1)求tan β的值；(2)求α的值．14. 化简: βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+. 15. 求下列各式的值（1）00sin18cos36； （2）)120tan 3(10cos 70tan 000-16. 4sin80°－cos10°sin10°＝( )A. 3 B ．－ 3 C. 2D ．22－317. 计算：(1)3tan10°－1sin10°＝_________．(2)3－sin70°2－cos 210°＝________． (3)3tan12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________． （4）1cos 80°－3sin 80°＝________.18. 求下列各式的值：（1）000000sin 9cos15sin 6cos9sin15sin 6+-； （2）0002cos10sin 20cos 20-19. 求值：（1）00070sin 50sin 10sin ；（2）0000sin 6sin 42sin 66sin 7820. 求值：050sin 10cos )310(tan -21. 若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，求βαtan tan ⋅的值.22. 已知：53)4cos(=+x π，47127ππ<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值. 23. 已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=−15． (1)求tan (α−π4)的值； (2)求sin2α−cosα1+cos2α的值．24．（2021·全国）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25 D ．6525．（2019·江苏）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是_____. 26．（2021·全国（文））若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α=（ ） A．15BCD附加题：1. 已知4422cos sin +1cos sin A A B B =，求证：4422cos sin +1cos sin B BA A=. 2. 设cos cos ,sin sin ,(0)a b a αβαβ+=+=≠，求cos(),sin()αβαβ++的值。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
高一数学必修课件第三章三角恒等变形
同样可以通过数学归纳法或代入法等方法进行证明。证明过程需要运用三角函数的性质和 相关定理。
典型例题解析
01
例题1
已知sinα = 3/5，求cos2α的 值。
02
解析
根据倍角公式cos2α = 1 2sin²α，将已知的sinα值代入
公式进行计算，即可求得 cos2α的值。
03
例题2
已知cosβ = -√3/2，且β为第 二象限角，求sinβ/2的值。
要证明上述等式成立，我们可以先将 其转化为(1 + sinα + cosα) × 2 = (1 + tanα) × (1 + sinα - cosα)的形式 。然后利用辅助角公式和三角恒等式 进行化简和证明。
05
三角恒等式证明方法
直接法证明三角恒等式
01
公式法
利用已知的三角恒等式进行推 导，通过代入、变换等手段得
三角恒等变形定义
通过三角函数的基本关系式和诱导公式，将复杂的三角函数表达式化简为简单 的形式，或者将不同形式的三角函数表达式转化为等价的形式。
三角恒等变形的意义
在解决三角函数问题时，通过恒等变形可以简化计算过程，提高解题效率。同 时，掌握三角恒等变形的方法也有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
三角函数周期性
利用三角函数的周期性，可以简化一些复 杂的三角函数表达式，或者将不同形式的 三角函数表达式转化为等价的形式。
诱导公式及其应用
诱导公式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为锐角三角函 数值的公式。常见的诱导公式有和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
诱导公式的应用
利用诱导公式可以简化一些复杂的三角函数计算问题，如求任意角的三角函数值 、证明三角恒等式等。同时，诱导公式也是解决一些实际问题的重要工具，如测 量、物理中的振动和波动问题等。
三角恒等变换(1)-PPT课件
3．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求 值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角 的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区 间)；③确定角的值．
________．
解析：因为 cos α＝15，α∈0，π2，
所以 sin α＝ 1－cos2α＝
1－152＝2
5
6 .
所以 cosα－π3＝cos αcos π3＋sin αsinπ3＝
15×12＋256× 23＝1＋160
2 .
1＋6 2 答案： 10
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
使用条件
α，β 都是任意角
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( ) (2)对任意 α， β ∈R，cos(α－ β )＝cos αcos β＋sin αsin β 都成立．( ) (3) cos 30°cos 120°＋sin30°sin 120°＝0.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
1－11342＝3143. 由 β＝α－(α－ β )得 cos β＝cos αcos(α－ β )＋sin αsin(α－ β )＝
17×1134＋4 7 3×3143＝12. 因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
1．cos (α－ β )＝cos αcos β＋sin αsin β 记为 C(α－ β )．
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
2018秋新版高中数学北师大版必修4：第三章三角恒等变形 3.1.1
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【做一做1】 下列各项中可能成立的一项是( )
A.sin
α=
1 2
,
且
cos
������
=
1 2
B.sin α=0,且 cos α=-1
C.tan α=1,且 cos α=-1
D.当
α
为第二象限角时,tan
α=−
sin������ cos������
答案:B
【做一做 2】
=
9 10
,
整理,得 9tan2α+30tan α-11=0,即(3tan α-1)(3tan α+11)=0,解得
tan
α=
1 3
或tan
α=−
11 3
.
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12345
1
若
sin
α=−
5 13
,
且������为第四象限角,
则
tan
������的值等于(
)
A.
12 5
B.
1-������2
若 θ 的终边在第三象限,则 cos θ=− 1-������2,tan θ=− ������ ;
1-������2
若 θ 的终边在第四象限,则 cos θ= 1-������2 ,tan ������ = ������ .
1-������2
综上可知,当 θ 的终边在第一、四象限时,
π 2
,π
, cos x<0,
则可排除 A,B,D 选项.
另解:由
tan2x+1=
1 cos2 ������
三角恒等变换 -学生版
三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan α. [常用结论]1．公式T (α±β)的变形：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．公式C 2α的变形：(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)； (2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3∓α. 4．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π6.题型一：三角函数式的化简1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．0 C.12 D ．12．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B.12C.32 D ．－323．已知θ∈ ⎛⎪⎫0，π，且sin θ－cos θ＝－14，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋θ＝( )A.23B.43C.34 D.324．已知0＜θ＜π，则(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ＝________.题型二：三角函数式的求值►考法1 给值求值【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79 C ．－79 D ．－89(2)(2019·太原模拟)已知角α是锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( )A.26＋16 B.3－28C.3＋28 D.23－16(3)若α，β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.►考法2 给角求值【例2】 (1)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝________.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.►考法3 给值求角【例3】 (1)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4C.5π4或7π4 D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．(1)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝()A.53 B ．－6 C.3 D ．－3(2)1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝________. (3)(2019·长春模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β值是________．题型三：三角恒等变换的综合应用【例4】 (2019·合肥模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(2019·温州模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若－π2＜α＜0，f (α)＝56，求sin 2α的值．课后练习：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． ( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 的大小关系不确定．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．（） (4)函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值为7. ( )2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.123．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A.210 B ．－210 C.7210 D ．－72104．已知sin(α－π)＝35，则cos 2α＝________.5．(教材改编)11－tan 15°－11＋tan 15°＝________. 6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( ) A.65 B ．1 C.35 D.157．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7258．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( )A.15B.55C.255 D ．19．(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________.10．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．。
高一数学三角恒等变形
有一个夜晚，我和祖父坐在马车上路Байду номын сангаас小镇。小镇万籁俱寂，树影和房舍像一片黑色的剪影密密实实的连缀起一道恐怖的幻境，偶尔传来几声狗叫，更增添了几分神秘。骤然，我看见了昏黄的路灯 下有个邮筒，它像个忠实的守夜者，若有所思的站在马路边，守护着夜的安宁，心底蓦然蒸腾起大片的温暖。那是一个铸造的涂着墨绿色油漆的铁疙瘩，有一条直立的腿和一个圆圆大大的头颅，看上去 憨态可掬，笑意盈盈。它的肚子里贮藏着无数不为人知的秘密。它容纳了那么多的秘密，却从不企盼与任何人分享，它会把所有的秘密都烂在肚子里，让人们像相信天使一样相信它的忠诚。在通讯尚不 发达的年代，几乎人人都会在它的身上找到亲切感和归宿感，因为它是情感的化身。在我的想象中，它除了可能有一个地下通道外，还可能有一副宽大的翅膀，在人们都熟睡中，在暗夜里它会像鸟儿一 样腾空而起，不辞辛劳的越过千山万水，把远方亲人的问候或信息送达于人们的身边。
小时候一度住在乡村的祖母家，宁静而枯燥的村落里没什么时尚的东西可以引起兴趣，唯独对小村毗邻的镇子上的那个邮筒充满好奇。搞不明白为什么人们把书信丢进它的嘴里，它就会把信送到指 定的那个人手里。我曾一度怀疑邮筒下面有个四通八达的暗道，信件可以通过这个暗道，抵达收信人手中。那样的话，邮筒的存在简直就是一个人间奇迹。澳客网首页
数学示范教案：第三章三角恒等变换
示范教案本章知识网络教学分析本章三角函数模型是主线，三角变形是关键．三角函数及其三角恒等变形不仅有着广泛的实际应用，而且是进一步学习中学后续内容和高等数学的基础，因而成为高考中对基础知识、基本技能和基本思想方法考查的重要内容之一．本章特点是公式多，但积化和差与和差化积公式不要求记忆．切实掌握三角函数的基本变形思想是复习掌握好本章的关键．三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中应用,而且在研究第一章三角函数的图象与性质时、在后续内容解三角形中也应用广泛．解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想，运用三角恒等变形的主要途径-—变角，变函数，变结构，注意公式的灵活应用．三角恒等变形是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明．对所给三角式进行三角恒等变形时，除使用三角公式外,一般还需运用代数式的运算法则或公式．如平方差公式、立方差公式等．对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，解题时才能真正达到运用自如，左右逢源的境界．基本变形思想主要是:①化成“三个一”：即化为一个角的一种三角函数的一次方的形式y＝Asin（ωx＋φ）；②化成“两个一”:即化为一个角的一种三角函数的二次型结构,再用配方法求解；③“合二为一”：对于形如asinθ＋bcosθ的式子，引入辅助角φ并化成a2＋b2 sin(θ＋φ)的形式(但在这里不要增加难度，仅限于特殊值、特殊角即可）．高考对整个三角问题的考查主要集中在三个方面，一是三角函数的图象与性质，包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等；二是三角式的恒等变形,包括：化简、证明、直接求值、条件求值、求最值等；三是三角综合运用．特别是结合下一章的解三角形及与向量的交汇更是高考经久不衰的热点．因此复习中要充分运用数形结合的思想,利用向量的工具性,灵活运用三角函数的图象和性质解题，掌握化简和求值问题的解题规律和途径．学完本章后，前一章平面向量更有了用武之地，它是沟通代数、几何、与三角函数的一种重要工具，三角函数又具有较强的渗透力，切实提高三角函数的综合能力是复习好本章的保证．因此，我们可以通过整合，将三角函数,平面向量结成一个知识板块来复习，并进行三角与向量相融合的综合训练，这样更有利于学生对平面向量、三角函数及三角恒等变形的深刻理解及运用．三维目标1．通过复习全章知识方法，掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．并能正确地运用上述公式化简三角函数式、求某些角的三角函数值、证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题．2．掌握简单的三角恒等变形的基本思想方法，并结合向量解决一些基本的综合问题．3．通过三角恒等变换体会数学的逻辑性的特征，进一步理解数学的化归思想、方程思想和代换意识，认识事物之间是相互依存、相互联系的．重点难点教学重点：和角公式、差角公式、倍角公式及其灵活应用．教学难点：和角公式、差角公式、倍角公式在三角恒等变形中的综合运用．课时安排1课时错误!导入新课思路1.(直接导入)在第一章三角函数的基础上，我们一起又探究学习了第三章简单三角恒等变形的有关知识,并掌握了一定的分析问题与解决问题的方法，提高了我们的思维能力与运算能力．现在我们一起对本章进行小结与复习，进一步巩固本章所学的知识，请同学们画出本章的知识框图，由此进入复习．思路2.(问题导入)本章学习了几个公式？推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法?你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的?它们之间存在着怎样的逻辑关系?三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？对三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助？通过学生解决这些问题展开全章的复习．推进新课错误!错误!1列出本章所学的公式，理清它们之间的关系，回顾、思考并回答：推导这些公式的过程中你用到了哪些基本的数学思想方法？你是从哪几个基本方面认识三角函数式的特点的？它们之间存在着怎样的逻辑关系？三角式的变形与代数式的变形有什么相同点?有什么不同点？三角函数式特点的分析对你提高三角恒等变形的能力有什么帮助?2三角函数的变形灵活性大、方法多,回顾从前所学，三角变形都有哪些？3如果对三角函数变形题型进行归类，那么回顾从前所学,常见的基本题型有哪些？活动：问题（1),本章的三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用－β代替β，±β代替β，α＝β等换元法就可以推导出其他公式．见下表：教师引导学生用类比、联系、化归的观点来理解这些公式的逻辑关系,认识公式的特点，联想与代数运算的相同与不同之处；三角函数的恒等变形，是运用三角公式，变换三角表达式中的函数、角度和结构，把一个表达式变形成另一个与它等价的表达式．三角恒等变形是代数式恒等变形的推广和发展；进行三角恒等变形，除了要熟练运用代数恒等变形的各种方法，还要抓住三角本身的特点,领会和掌握最基本最常见的变形．教师要引导学生明确三角变换不仅有三角函数式的结构形式变形，而且还有角的变形，以及不同三角函数之间的变形,使学生领悟有关公式在变形中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路．并让学生体会到通过三角恒等变形的探究训练，能大大提高他们的推理能力和运算能力．问题（2),教师引导学生回顾总结，在学生探索时适时点拨,常见的变形有:①公式变形，数学公式变形的方法多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化公式教学会有积极的意义．由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或代换，或迭代,或取特殊值等等．如:tanα＋tanβ＝tan（α＋β)(1－tanαtanβ)，tanαtanβ＝1－错误!，1＝tanαtanβ＋错误!，1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α等．②角的变形，角度变形是三角函数恒等变形的首选方法，在进行三角恒等变形时，对角之间关系必须进行认真的观察联想，分析角之间的和、差、倍、分关系．在数值角的三角函数式化简中，要特别注意是否能够产生特殊角；熟悉两角互余、互补的各种形式；或者引入辅助角进行角的变形等．如:α＝（α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；错误!－α＝错误!－（错误!＋α）；错误!＋α＝错误!－（错误!－α）等．还需熟练掌握一些常见的式子：如:sinx±cosx＝2sin（x±π4），sinx±错误!cosx＝2sin(x±错误!）等．问题（3)，教师引导学生回顾总结，适时地点拨学生,常见三角恒等变形的基本题型有求值、化简、证明．对于求值，常见的有给角求值、给值求值、给值求角．①给角求值的关键是正确地分析角之间的关系，准确地选用公式，要注意产生特殊角，同时把非特殊角的三角函数值相约或相消，从而求出三角函数式的值;②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变形，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值；③给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，其次判断该角对应函数的单调区间,最后求出角．对于化简,有两种常见的形式，①未指明答案的恒等变形，这时应把结果化为最简形式;②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，例如一角一函数的形式,以便研究它的各种性质．无论是何种形式的化简，都要切实注意角度变形、函数变形等各种变形．对于证明，它包括无条件的恒等式和有附加条件恒等式的证明．①无条件恒等式的证明,需认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异,一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一．对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用．②有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件,需认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中发现条件应怎样利用,证明这类恒等式时,还常常用到消元法和基本量方法．讨论结果：（1)～(3)略．错误!思路1例1（1）化简tan2Atan(30°－A）＋tan2A·tan（60°－A）＋tan(30°－A)tan（60°－A)；(2）已知α为锐角，且tanα＝错误!，求错误!的值．活动：本例是一个三角函数化简求值问题，属于给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数式的值．关键是正确运用三角变换公式及常用思想方法，探索已知式与欲求式之间的差异和联系的途径和方法．教师可以大胆放手，让学生自己独立探究，必要时给予适时的点拨引导．但要让学生明白，从高考角度来看,关于三角函数求值问题是个重要题型、命题热点，一直备受高考的青睐．因为三角函数求值问题能综合考查考生三角变形、代数变形的基本运算能力和灵活运用公式、合理选用公式、准确选择解题方向的思维能力，且题目的答案可以简单明了．并让学生明了解决这类问题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式．比如在本例的（1)中，首先应想到将倍角化为单角这一基本的转化方法．教师还应点拨学生思考，求三角函数式的值必须明确求值的目标．一般来说，题设中给出的是一个或某几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题设中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式．如本例的(2)中，目标是“弦”且是“和差角"，而条件是“切"且是“单角"．在学生探讨向目标转化的过程中，由于视角不同,思考方式不同,学生会有多种解法，教师应鼓励学生一题多解,对新颖解法给予表扬．解：(1)∵tan（90°－2A)＝tan[(30°－A)＋（60°－A)］＝错误!,∴tan（30°－A）＋tan（60°－A）＝tan(90°－2A）[1－tan（30°－A)tan(60°－A）]．∴原式＝tan2A[tan(30°－A)＋tan(60°－A)]＋tan（30°－A）tan(60°－A)＝tan2Atan(90°－2A）[1－tan(30°－A）tan(60°－A)]＋tan(30°－A）tan（60°－A)＝1－tan(30°－A)tan（60°－A）＋tan（30°－A）tan(60°－A）＝1.（2）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。
必修四-第三章-三角恒等变换
必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.1 两角差的余弦公式 一、教学目标掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、教学设想：（一）导入：问题1：我们在初中时就知道2cos 452=，3cos 302=，由此我们能否得到()cos15cos 4530?=-=大家可以猜想，是不是等于cos 45cos30-呢？根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式()cos ?αβ-=（二）探讨过程：在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角α的终边与单位圆的交点为1P ，cos α等于角α与单位圆交点的横坐标，也可以用角α的余弦线来表示。
思考1：怎样构造角β和角αβ-？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）思考2：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？（1）结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？ （2）怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？两角差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- （三）例题讲解例1、利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.()231cos 75cos 4530cos 45cos30sin 45sin 302222=+=-=⨯-⨯=()231cos15cos 4530cos 45cos30sin 45sin 30222=-=+=⨯=点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：()cos15cos 6045=-，要学会灵活运用.例2、已知4sin 5α=，5,,cos ,213παπββ⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求()cos αβ-的值. 解：因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5α=由此得3cos 5α===- 又因为5cos ,13ββ=-是第三象限角，所以12sin 13β===- 所以3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 点评：注意角α、β的象限，也就是符号问题.思考：本题中没有),2ππα⎝⎛∈，呢？（四）练习：1.不查表计算下列各式的值：︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（︒+︒15sin 2315cos 212）（解:︒︒+︒︒20sin 80sin 20cos 80cos 1）（ 2160cos )2080cos(=︒=︒-︒=2．教材P127面1、2、3、4题（五）小结α、β的象限，也就是符号问题，学会灵活运用. （1）牢记公式．S S C C C ⋅+⋅=-)(βα（2）在“给值求值”题型中，要能灵活处理已、未知关系． （六）作业：《习案》作业二十九3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 一、教学目标理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、教学设想： （一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？ 探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．探究3、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈5、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
高考培优课程秋季数学讲义：三角函数恒等变换【学生版】
高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。
通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。
1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。
（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。
（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。
（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
相同或具有某种关系。
③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。
（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。
高一数学三角恒等变形
后来酱油生意不好做了，小勇不甘心丢掉本行，又买了一辆拉零散货的小货车。他是个能干的小伙子，正值壮年，身富力强。货车小，需要在车站排队等待拉活，等待的机会，他会到公寓楼上休息 一会儿，海燕忙给他开个房间，让他睡一会觉。自己则守候在车旁，有了活忙来叫醒他。小两口夫唱妇随，配合默契，让我们好不羡慕！
他爱人小勇是个货车司机，开车收入不菲。儿子出生后，小勇让她安心在家照顾儿子，稳做全职太太，自己则握着方向盘走南闯北，往家里搂钱。海燕又把老家的父母接到自己的身边，母亲帮着她 带孩子。哥哥家和她同住在一个小区，兄妹两家感情很好，逢年过节，父母和两家人团聚在一起，其乐融融，日子过得美满幸福。申博体育
强基计划第2讲三角恒等变形-学生版
❑ 和差化积与积化和差公式•❑ 三倍角公式•强基计划第 2讲三角恒等变形•函数 y = sin x, x ∈ Σ− π , π Σ有反函数，记为2 2❑ 万能公式万能公式 •万能公式可以将同一个角的不同的三角函数名统一为关于半角正切的函数，从而将一个三角问题转化为一 般的函数问题去求解．❑ 反三角函数•2 2y = arcsin x, x ∈ [−1, 1]称为正弦函数的反函数，它的值域为 Σ− π , π Σ ，在定义域上单调递增．= arcsin xx反正弦函数•2 2函数 y = cos x, x ∈ [0, π] 有反函数，记为y = arccos x, x ∈ [−1, 1]称为余弦函数的反函数，它的值域为 [0, π] ，在定义域上单调递减．arccos xx反余弦函数• 反正切函数函数 y = tan x, x ∈ .− π , π Σ有反函数，记为2 2y = arctan x, x ∈ R称为正切函数的反函数，它的值域为 .− π , π Σ，在定义域上单调递增．❑和差化积与积化和差公式pt =Σ sin nt 2 t 22sin❑三倍角公式+ 例题8对任意的θ ，求32 cos6 θ −cos 6θ −6 cos 4θ −15 cos 2θ 的值．❑反三角函数+ 例 题 12求 arctan ．Σ ∞ 1 i =12i 21 sin x + sin y =1 , 1 5 51. sin 20◦ · sin 40◦ · sin 80◦ =．2. 已知 x, y 满足 3 cos x − cos y = 5 , 求 cos (x + y ) 与 sin (x − y ) 的值．3. 在 △ABC 中， cos A + cos B + cos C > 1 ．4. 设 x , x 是方程 x 2− x sin 3π + cos 3π = 0 的两根，则 arctan x + arctan x = ．课后习题 . Matching Exercises2 1 21. √3．82. cos (x + y) = 208，sin (x −y) = −15．225 173.略．4.π．5。
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∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
.
事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.
[解](1)∵ ,且 是第二象限角,
∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当 是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
, ；
当 是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
[变式训练]在 中, ,求 的值.
例2在 中, ,求 .
[思路分析]由于已知正切值,要求余弦值,因此要寻求正切、正弦、余弦的关系,这时 与 都要用到.
[解]∵ ,且 ,
∴ .∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
故由 得 .
[规律技巧]已知正切,而由 知正弦与余弦之间只有一个关系式,此时再联合 求解就是必然的.另一点值得指出的是,由于最后要开方,故先判断角的范围是必要的.
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若 是第二象限角,且 ,求 的值.
(2)若 ,求 的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用 求正切值.
二、填空题
5.若 ,则 ______.
6.若 ,则 ______.
7.若 ,且满足 ,则 ______.
8. 化简后的最简结果为______.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值.
10.若 ,求 的值.
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第1课时同角三角函数的基本关系(1)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. ______.
【基础自测】
1.若 是钝角, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 , ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 ( )
[变式训练]若锐角 满足 ,求 的值.
【课时作业】
一、选择题
1.化简 等于( )
(A) (B)ห้องสมุดไป่ตู้
(C) (D)
2.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
[变式训练]已知 为锐角,且 是方程 的根,求 的值.
题型2:关于 之间的相互转化
例3已知 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]对于(1),将 平方即可出现 的结构；对于(2),可先求 的值；而对于 ,当然可以先求 , ,再求 .
[解](1)∵ ,
∴等式左右两边平方得: