异面直线
空间三大角(定义法)
三大角一、异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线所成的角已知两条异面直线a，b，过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角称为异面直线a与b所成的角(或夹角).若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.探究一求异面直线所成的角[知能解读]对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[方法总结]求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法．当题设中有中点时，常考虑中位线；当异面直线依附于某几何体，且平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.[训练1]如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成的角的度数是________．[训练2] 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．[训练3] (教材P147例1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．[训练4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成的角为()A．120°B．90°C．60° D．30°[训练5]如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练6] 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为()A．25B．55C．155D．105[训练7](多空题)如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.二、直线与平面所成的角1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．2．当一条直线与平面垂直时，它们所成的角是90°．3．当一条直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.4．直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°．(教材P152例4改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于45°．探究三直线与平面所成的角[知能解读]直线与平面所成的角的理解和判断(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．(2)判断方法：若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°；若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定直线和平面所成的角，然后将这个角转化到直角三角形、等边三角形中求解．三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．解题流程：第一步，泛读题目明待求结论：求SA与底面ABC所成角的余弦值．第二步，精读题目挖已知条件：三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a.第三步，建立联系寻解题思路：设O为△ABC的中心，证∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．第四步，书写过程养规范习惯．[方法总结]求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[训练8]如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．[训练9]如图所示，若斜线段AB的长是它在平面α上的射影BO长的2倍，则斜线AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[训练10]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．[训练11](多空题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．三、二面角的平面角如右图，若满足下列条件：(1)O∈l，(2)OA⊂α，OB⊂β，(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.6．二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．探究二求二面角的大小如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C的大小；(2)求二面角B-P A-C的大小．[方法总结]解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．(2)求二面角的大小的方法：一作，即作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形求出平面角的三角函数值．其中关键是“作”．[训练12]如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC.求二面角P-BC-A 的大小．[训练13]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．[训练14]如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练15]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1BDC的大小为________．三大角答案解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB 且EG ＝12 AB ， GF ∥CD 且GF ＝12CD . 从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成的角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝FG . ∴△EFG 为等腰三角形．当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝180°－30°2＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝180°－150°2＝15°. 综上所述，EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.[训练1] 45° [如图，连接B ′D ′，则E 为B ′D ′的中点，连接AB ′，则EF ∥AB ′.又CD ∥AB ，所以∠B ′AB 为异面直线EF 与CD 所成的角．由正方体的性质知，∠B ′AB ＝45°.][训练2] 45° [如图，连接BG ，则BG ∥AH ，所以∠BGF 为异面直线AH 与FG 所成的角.因为四边形BCGF 为正方形，所以∠BGF ＝45°.][训练3](1)90° (2)45° (3)90° [(1)根据正方体的性质可得AC 和DD 1所成的角是90°.(2)∵D 1C 1∥DC ，∴∠ACD 即为AC 和D 1C 1所成的角．由正方体的性质得∠ACD ＝45°.(3)连接BD ，∵BD ∥B 1D 1，BD ⊥AC ，∴B 1D 1⊥AC ，即AC 和B 1D 1所成的角是90°.][训练4]C [如图，连接AD 1，则AD 1∥BC 1.∴∠CAD 1(或其补角)就是AC 与BC 1所成的角．连接CD 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ＝AD 1＝CD 1，∴∠CAD 1＝60°，即AC 与BC 1所成的角为60°.][训练5]B [如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F ，G 分别是CD ，AB ，BC 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12 AC ，EG ＝12BD . ∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角(或其补角).又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG .∴∠FGE ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.][训练6]D [如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OE ，BE .因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，所以PC ∥OE .所以∠OED 为异面直线PC 与DE所成的角．不妨设正方形ABCD 中，AB ＝2，则P A ＝2.由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AB ，P A ⊥AD .所以BE ＝DE ＝12＋22 ＝5 ，OD ＝12 BD ＝12 ×22 ＝2 . 因为BE ＝DE ，O 为BD 的中点，所以∠EOD ＝90°.故sin ∠OED ＝OD DE ＝25＝105 .] [训练7]33 306[因为AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角．如图，连接BD .在Rt △D 1DB 中，sin ∠DD 1B ＝DB BD 1 ＝2226 ＝33 ，故异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33. 因为AD ∥BC ，所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角．如图，连接D 1C .因为正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，所以D 1B ＝26 ，BC ＝2，D 1C ＝25 .所以D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2.所以∠D 1CB ＝90°.所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306 . 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306.]解 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO ，则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC .∴AO ＝BO ＝CO .∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23 ×32 a ＝33 a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33 . [训练8]解 由题意知，AB 是MB 在平面ABC 内的射影，∴MA ⊥平面ABC .∴MC 在平面ABC 内的射影为AC . ∴∠MCA 即为直线MC 与平面ABC 所成的角．又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin ∠MBC ＝5×sin 60°＝5×32 ＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2 ＝52－42 ＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235. ∴MC 与平面ABC 所成角的正弦值为235. [训练9]A [∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.][训练10](1)45° (2)30° (3)90° [(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB .∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12 A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.][训练11] 45° 45° 0° [∠B 1AB 为AB 1与平面ABCD 所成的角，即45°；∠B 1AA 1为AB 1与平面ADD 1A 1所成的角，即45°；AB 1与平面DCC 1D 1平行，即所成的角为0°.]解 (1)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD . 又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD . ∴二面角A -PD -C 的大小为90°.(2)∵P A ⊥平面ABCD ， AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A .∴∠BAC 为二面角B -P A -C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°.即二面角B -P A -C 的大小为45°.[训练12]解 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 是⊙O 的直径，且点C 在圆周上，∴AC ⊥BC .又∵P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC .又PC ⊂平面P AC ，∴PC ⊥BC .又∵BC 是二面角P -BC -A 的棱，∴∠PCA 是二面角P -BC -A 的平面角．由P A ＝AC 知，△P AC 是等腰直角三角形，∴∠PCA ＝45°，即二面角P -BC -A 的大小是45°.[训练13] 45° [根据正方体中的线面位置关系可知，AB ⊥BC ，A 1B ⊥BC ，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA 1 即为二面角A -BC -A 1的平面角. 又AB ＝AA 1，且AB ⊥AA 1，∴∠ABA 1＝45°.][训练14] C [由已知得BD ＝2CD .翻折后，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，则∠BDC ＝60°.而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，其大小为60°.][训练15] 30° [如图，取BD 的中点O ，连接OC ，OC 1.∵AB ＝AD ＝2 3 ，∴四边形ABCD 是正方形，BD ＝26 .∴CO ⊥BD ，CO ＝6 .∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B . ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1BD C 的平面角．∵tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33 ， ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1BD C 的大小为30°.]。
异面直线定义
异面直线定义一、异面直线定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间两条直线的位置关系有三种，即相交和平行，这两种情况的两条直线在同一平面内。
另外一种情况就是不相交也不平行称为异面直线。
注意，以下关于异面直线的说法是错误的：1．分别在两个平面内的直线是异面直线；2．在空间不相交的两条直线是异面直线；3．平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线。
二、简介异面直线是不在同一平面上的两条直线。
异面直线是既不相交，又不平行的直线。
因为两条直线如果相交或平行，则它们必在同一平面上。
若无特别的说明，所说的空间直线，都是指异面直线。
三、判定方法(1)定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法。
(2)判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。
例证：判定定理：平面的一条交线与平面内不经过交点的直线互为异面直线。
已知：AB∩α=A，CD⊂α，A∉CD。
求证：AB和CD互为异面直线。
证明：假设AB和CD在同一平面内，设这个平面是β。
即A∈β，CD⊂β。
∵A∈α，CD⊂α，A∉CD由不在同一直线上的三个点确定一个平面可知，α和β重合。
∵AB⊂β∴AB⊂α，这与已知条件AB∩α=A矛盾。
∴AB和CD不在同一平面内，即AB和CD互为异面直线（3）解析几何四、性质1、和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。
2、两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
3、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
4、经过两条异面直线中的一条，有一个平面与另一条直线平行。
5、异面直线的公垂线存在且唯一。
6、在两条异面直线上各任取一点，这两点形成的所有线段中这两条异面直线的距离最小。
扩展资料相关概念1.两条异面直线所成的角直线a、b是异面直线。
经过空间任意一点o，分别引直线a'//a，b'//b。
求异面直线距离的常用方法
求异面直线距离的常用方法
1、辅助平面法
（1）线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况。
若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度。
（2）线面平行法，用于一般情况。
其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离
（3）面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面（2）介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离。
2、等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
（1）一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离。
（2）分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离。
上述两种距离总是通过直线上（或平面上）一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等面积计算再求高的办法来求得的。
空间异面直线的判定
异面直线的判定用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.两直线平行的判定(1) 垂直于同一个平面的两直线平行②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b.两直线垂直的判定③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b ⊥α,则a⊥b.⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.直线与平面平行的判定②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l ∥β.④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.直线与平面垂直的判定②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.两平面平行的判定②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.两平面垂直的判定②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.异面直线所成的角(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.0°＜θ≤90°.直线和平面所成的角作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ0°≤θ≤90°二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD ⊥β.。
空间两条直线的位置关系——异面直线课件
在空间向量中，异面直线可以通过向量的表示和向量的运算 来研究其性质和关系。
向量方法可以用来解决与异面直线相关的向量问题，如向量 的加减、数乘以及向量的模等。
04
异面直线的画法
画法一：通过平移法
总结词
通过将一条直线平移到另一条直线的平行位置，可以直观地展示异面直线的位置 关系。
详细描述
首先确定一条直线，然后选择一个点在该直线上，接着将该点沿着与另一条直线 平行的方向平移，最后连接平移后的点和原直线上的点，得到一条新的直线，即 为异面直线。
02
在解决几何问题时，异面直线还 可以用来确定两平面的位置关系 ，如平行、相交或垂直等。
解析几何中的异面直线
在解析几何中，异面直线可以通过坐 标轴表示，并利用直线的方程来判断 两直线是否为异面直线。
解析几何中，异面直线的距离也可以 通过坐标计算得到，这是解决空间距 离问题的常用方法。
空间向量中的异面直线
详细描述
首先确定两条直线的方向向量，然后根据向量的性质和运算规则，如向量的点积、向量的模等，可以判断两条直 线的位置关系，从而确定异面直线的位置关系。
05
异面直线的解题技巧
利用定义进行判定
总结词
根据异面直线的定义，如果两条直线不在同一平面上，则它们是异面直线。
详细描述
在解题时，首先观察两条直线的特点，判断它们是否在同一平面上。如果不在同一平面，则可以判定 为异面直线。
点与两直线的关系
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线分别 构成线段，线段的中点与 另一条直线的中点重合。
点与两直线的性质
在异面直线上任取一点， 该点与两条异面直线的距 离相等，且等于两异面直 线之间的距离。
03
立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释
立体几何异面直线垂直概念-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述立体几何是几何学的一个重要分支，研究的对象是三维空间中的图形和物体。
立体几何的基本概念和定理在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
异面直线是立体几何中的一个重要概念，它指的是不在同一个平面上的两条直线。
本文将专注于异面直线的垂直概念。
本文将以引言、正文和结论三个部分来介绍立体几何中异面直线垂直的概念。
在引言部分，我们将对本文的结构和目的进行简要介绍。
接下来的正文部分将详细介绍立体几何的基本概念和异面直线的定义性质。
最后，在结论部分，我们将进一步讨论异面直线的垂直概念，并探讨其在实际应用中的意义和重要性。
通过阅读本文，读者将能够深入了解立体几何中的异面直线垂直概念，并理解其在实际问题中的应用。
对于对这一领域感兴趣的读者来说，本文将为他们提供一个全面而详尽的介绍。
同时，本文所介绍的内容也将为相关学科的研究者和从业人员提供有益的参考。
立体几何异面直线垂直概念的研究对于推动科学技术的发展具有重要的意义。
在建筑、工程、设计等领域中，对于异面直线垂直的理解和应用能够帮助我们更好地进行空间规划和设计。
同时，对立体几何的研究也为我们揭示了世界的另一种面貌，能够提高我们的空间思维能力和解决实际问题的能力。
在接下来的文章内容中，我们将深入探讨立体几何中异面直线垂直的概念，希望读者能够通过阅读本文，加深对立体几何的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构来进行讨论立体几何中的异面直线垂直概念：1.2.1 章节一: 立体几何的基本概念在这一章节中，我们将介绍立体几何的基本概念，包括点、线、面等基本元素的定义和性质。
通过理解这些基础概念，为后续讨论异面直线的垂直概念打下基础。
1.2.2 章节二: 异面直线的定义和性质这一章节将深入探讨异面直线的定义以及相关性质。
我们将介绍异面直线的几何特征和判定方法，如何确定两条直线是否在三维空间中异面，并介绍一些典型的异面直线的性质和定理。
高二数学异面直线及其夹角
O, P c O, M a 即直线 a, b, c 共面，与已知直线 a, b, c 不共面矛盾． 所以直线MN与PQ异
异面直线的判定定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
A B
点A 平面
点B
B 直线l
直线AB与l异面.
例4．如图，a、b为异面直线，直线a上的线段 AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为 AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所 成的角的度数． A B a 解:连结AC,并取AC中点P,连结EP,FP. P F E b ∵E为AD中点，∴EP∥DC. C ∵F为AD中点，∴FP∥AB. ∴∠EPF(或其补角)为异面直线a与b所成的角。 △ABC中，EF=7cm，EP=5cm，FP=3cm。 由余弦定理EF2=EP2+FP2-2EP· FPcos∠EPF， 解得cos∠EPF=取中点 0.5,∴∠EPF=120º ． 故其补角60º 为异面直线a与b所成的
演示
空间的两条直线有三种位置关系：
相交 共面 平行 唯一公共点 记为：a∩b=A.
无公共点 记为：a∩b=φ .
异面
画异面直线时，常以辅助平面作衬托，以加强直观性。
b b
b
a
a
a
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直 线a，b上，那么正确的结论是（ C ） A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
点C 平面AA1 B1 B.
D
C
A
异面直线判定
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.(这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）>（三）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。
与异面直线相关的几类经典题型
与异面直线相关的几类经典题型【知识梳理】1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.2.异面直线的判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线；3.异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0，2 ].【典例分析】题型一异面直线的判断例题1(1)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：1①AM和CN是否是异面直线?说明理由.②DB和CC1是否是异面直线?说明理由.23跟踪练习1 如图：已知平面βα⋂＝l ，A ∈l ，D ∈l ，AC α⊂，DB ⊂β，求证：AC 和BD 是异面直线.题型二 异面直线所成的角例题2 如图1所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值.跟踪练习2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．4题型三构造长方体巧解异面直线问题例题3 三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条？跟踪练习3 设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β上的射影是两条平行直线，它们在平面γ上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面γ有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个【专项训练】1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面2.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°3.两条异面直线在一个平面上的投影是( )A．两条相交直线5B．两条平行直线C．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，别无其他情况D．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，此外还可能有其他情况．4.设a、b是异面直线，那么()A．必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、bB．必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、bC．过直线a存在唯一平面平行于直线bD．过直线a存在唯一平面垂直于直线b5.已知直线a，b是异面直线，直线c，d分别与a，b都相交，则直线c，d的位置关系( ) A．可能是平行直线B．一定是异面直线C．可能是相交直线D．平行、相交、异面直线都有可能6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为()A．30° B．45°6C．60° D．90°二、填空题7.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，AB与CD的位置关系是________．8.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．9．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是各点所在棱的中点，则PQ和RS的位置关系是________；MN和RS的位置关系是________；它们所成的角是________；PQ和MN的位置关系是相交；它们所成的角是________11.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为________对．7三、解答题12．如图，已知不共面的直线a，b，c相交于点O，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上的点．求证：MN和PQ是异面直线．13.已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．8答案精析【典例分析】题型一例题1(1)【答案】②④【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．(2)【答案】解：①不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，A C．因为M，N分别是AB1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.②是异面直线.理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，910所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.跟踪练习1【答案】证明：假设AC 、BD 在同一平面γ内.∵A 、D 、C 既在γ内又在α内，且A 、D 、C 三点不共线. ∴α与γ重合.又A 、B 、D 既在γ内又在β内.同理，β与γ重合.∴α与β重合.但这与已知βα⋂＝l 相矛盾，所以假设不成立. 故AC 与BD 是异面直线.题型二例题2【答案】 解：取11C D 中点M ，连结OM ，易证1OM FD =∅， 所以∠MOE 是异面直线OE 和1FD 所成的角.连结OC ，ME2211122252213OM FD MC C E OE OC CE ().===+==+=+=在△OME 中，222OM ME OE =+，所以∠OEM ＝90°．11则3155OE cos MOE OM ∠=== 所以异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为515． 跟踪练习2【答案】 解：(1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角．由△AB 1C 中，由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由(1)知AC ∥A 1C 1.∴AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角．∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥B D ．又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，即所求角为90°.∴EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.题型三例题3【答案】 解：构造长方体''''D C B A ABCD -如图所示，取直线AB 为a ，DD ’为b ，C ’E 为c ，其中E 为BC 的中点，则a 、b 、c 两两异面，由于直线DE 与AB 相交，故DE 与三异面直线同时相交．过AB 作平面交DD ’、CC ’、EC ’分别于F 、G 、H ，当G 与C ’不重合时，12直线FH 必与AB 相交，即FH 与三异面直线同时相交，又过AB 作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同时相交的直线有无数条．跟踪练习3【答案】 D【解析】 构造长方体''''D C B A ABCD 如图所示，取B A '为a ，''C D 为b ，而''A ABB 为α，ABCD 为β，则ADD ’A ’为γ，故与''A ADD 平行的平面都满足题意，故平面γ有无数个，选D ．【专项训练】1.【答案】 D【解析】 分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面，一定不会平行.2.【答案】 C【解析】 MN 与AD 1平行，所以AD 1与AC 所成的角与所求角相等，三角形AD 1C 是等边三角形，故所求角为60°.3.【答案】 D【解析】 两条异面直线在一个平面上的投影是两条平行直线、两条相交直线，也可能是一个点与一条直线.4.【答案】C【解析】b与过直线a的平面没有公共点．5.【答案】D【解析】将a、b看成长方体中的两条棱，容易满足条件的直线平行、相交、异面.6.【答案】A【解析】取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.二、7.【答案】异面【解析】如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可判断AB与CD异面．8.【答案】24【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．139．【答案】相交【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．10.【答案】平行异面60° 60°【解析】MN平行于AC，RS平行于CD1，PQ平行于CD1，所以所求角都等于1ACD＝60°11.【答案】24【解析】如图，在连接正方体各顶点的所有直线中，只有相邻面上的面对角线才能构成“理想异面直线对”，并且只有2对，则所有的“理想异面直线对”的对数为4×2×2(上下面与四个相邻侧面的对数)＋4×2(四个侧面的对数)＝24(对)．故填24.三、12．【答案】证明：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈α，M、P∈a，∴a⊂α∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α同理c⊂α，∴a，b，c共面于α，与a、b、c不共面矛盾．1415 ∴MN 、PQ 是异面直线．13.【答案】 解：如图所示，连接AC 、BD ， 设其交点为O ，连接EO ，依题意，EO// 12SD ，∴∠AEO 或其补角为AE ，SD 所成的角， 设AB ＝SA ＝2a ，在正△SAB 中，AE ＝AB 2－BE 2＝3a ， ∵AE ＝CE ，且O 为AC 中点∴EO ⊥A C ．在Rt △AEO 中，∠AOE ＝90°，∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝a 3a ＝33.∴AE 与SD 所成角的余弦值为33.。
异面直线距离的求法
异面直线距离的求法“哎呀，这异面直线距离可真是个让人头疼的问题啊！”异面直线距离的求法呢，主要有这么几种常见的方法。
一种是直接法，就是找出或作出异面直线的公垂线段，然后计算其长度。
比如说，在一个正方体中，面对角线和体对角线就是异面直线，我们可以通过一些几何关系找到它们的公垂线段。
再比如，看这个例子，有一个三棱锥，其中两条异面直线，我们可以通过仔细观察和分析，找到与这两条异面直线都垂直的线段，这就是公垂线段啦，然后利用一些已知条件去算出它的长度。
还有定义法，根据异面直线距离的定义，转化成求两平行平面之间的距离。
就好像有两个平行的平面，异面直线分别在这两个平面上，那这两个平面之间的距离就是异面直线的距离。
另外，还有一种叫转化法。
可以把异面直线的距离问题转化为线面距离或面面距离问题来求解。
比如把异面直线中的一条放到一个平面内，另一条直线和这个平面平行，那就把求异面直线距离转化成了求线面距离。
向量法也是常用的。
通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法来求异面直线的距离。
这个方法对于一些复杂的图形很有效。
总之呢，求异面直线距离的方法要根据具体的题目情况来选择，灵活运用这些方法，多做一些题目，就能更好地掌握啦。
“嘿，小王啊，你看这个图形，用哪种方法求异面直线距离比较好呢？”“我觉得可以用直接法先试试。
”“对，先观察一下，看看能不能找到公垂线段。
”在实际解题过程中，一定要认真分析图形的特点和条件，选择最合适的方法来求解异面直线距离，这样才能又快又准确地得出答案。
就像上次给学生们讲的那道题，乍一看好像挺复杂，但仔细分析后，发现用定义法就能很轻松地解决。
所以啊，遇到问题不要慌，静下心来好好分析，肯定能找到解决办法的。
希望这些解释能让你对异面直线距离的求法有更清楚的认识和理解，以后遇到这类问题就不会再犯难啦！。
异面直线距离求法
异面直线距离求法异面直线指的是在三维空间中，不在同一个平面上的两条直线。
计算异面直线之间的距离是很有实际意义的，比如在计算机图形学中，可以用来确定两条直线之间的最短距离，以便进行图像渲染和碰撞检测等操作。
我们需要明确两条异面直线的定义和特点。
异面直线可以由它们的方程表示，一般形式为：L1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0L2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中，A1、B1、C1和D1是L1的系数，A2、B2、C2和D2是L2的系数。
对于异面直线，它们的方向向量不平行，这意味着它们在三维空间中不会相交或重合。
接下来，我们介绍一种常用的方法来计算异面直线之间的距离，即利用点到直线的距离公式。
假设我们要计算L1上的一点P1到L2的距离，可以通过以下步骤进行计算：步骤1：首先，我们需要找到L2上离P1最近的点P2。
我们可以利用向量和点的关系来求解。
将L2的方程代入P1的坐标，得到方程组：A2x + B2y + C2z + D2 = 0x = x1y = y1z = z1通过求解这个方程组，我们可以得到P2的坐标。
步骤2：计算P1和P2之间的距离。
我们可以利用点到直线的距离公式来计算，即：d = |(P2 - P1)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n是L2的方向向量。
通过这种方法，我们可以计算出异面直线L1和L2之间的距离。
需要注意的是，如果两条直线平行或重合，它们之间的距离是不存在的。
除了上述方法，还有其他一些求解异面直线距离的方法，比如利用向量的投影和参数方程等。
这些方法各有特点，可以根据具体的情况选择使用。
总结起来，异面直线距离的计算是一项基础的几何计算，对于三维空间中的各种问题都有着重要的应用价值。
通过合适的方法，我们可以准确地计算出异面直线之间的距离，从而解决实际问题。
希望本文可以对读者理解异面直线距离的计算方法有所帮助。
异面直线的判断
在三维空间中，平行直线和异面 直线是两种不同的关系，不能混
淆。
02
异面直线的判断方法
利用定义进行判断
总结词
直接利用异面直线的定义进行判断是 最基本的方法。
详细描述
根据异面直线的定义，两条直线若在 不同的平面上，则它们为异面直线。 因此，判断两条直线是否在不同的平 面上即可确定它们是否为异面直线。
装配精度
在机械装配过程中，异面直线用于确 定零部件之间的相对位置，以确保装 配精度。
05
异面直线的扩展知识
异面直线的公垂线与公垂线段
公垂线
连接异面直线上的任意两点的直线，与两条异面直线都垂直 。
公垂线段
公垂线与其中一条直线的交点到另一条直线的距离，即为公 垂线段。
异面直线的性质定理与判定定理
性质定理
电路设计
在电路设计中，异面直线 可以作为导线的路径，确 保电流的顺畅流通。
水利工程
在水利工程中，异面直线 可以作为水渠、水坝等的 设计基础，以实现水流的 控制和引导。
机械制造中的异面直线
加工工艺
质量控制
在机械制造的加工工艺中，异面直线 是确定工件位置和加工路径的重要依 据。
在机械制造的质量控制环节，异面直 线是检测和评估工件质量的重要标准。
异面直线的性质
异面直线没有公共点， 因为它们不在同一平 面内。
异面直线与平行直线 不同，平行直线一定 在同一个平面内。
异面直线可以无限延 长，但永远不会相交。
异面直线与平行直线的关系
平行直线一定在同一个平面内， 而异面直线不在同一个平面内。
平行直线可以转化为异面直线， 但需要将其中一条直线移出该平
03
异面直线在几何问题中 的应用
求异面直线之间距离的四个技巧
异面直线是既不平行也不相交的两条直线.这组直线的空间位置关系较为特殊，我们往往很难直接求得异面直线之间的距离，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等体积法、构造函数法等，才能使问题获解.下面结合实例，谈一谈求异面直线之间距离的四个技巧.一、平移法求异面直线之间的距离，要首先把握异面直线之间距离的定义和两直线之间的位置关系.异面直线之间的距离是指这两直线之间的公垂线的长，而公垂线必须同时垂直于两条异面直线.可采用平移法，通过平移其中的一条直线a ，使其与另一条直线b 相交，这样便构造出一个平面，过直线a 上的一点作这个平面的垂线，该线即为两条异面直线的公垂线，求得公垂线的长即可求得两条异面直线之间的距离.例1.如图1所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求异面直线A 1D 和AC 之间的距离.解：连接BD 1、BD 、AD 1，设BD 与AC 的交点为M ，AN 与A 1D 的交点为F ，根据三垂线定理可知：BD 1⊥A 1D ，BD 1⊥AC ，因为N 为DD 1的中点，由三角形中位线的性质可知BD 1∥MN ,MN ∥EF ,即BD 1∥EF ，可知EF 即为异面直线A 1D 和AC 的公垂线，因为BD 1=3a ，所以MN.又因为N 为DD 1的中点，且AA 1∥DN ，则△AA 1F ∽△NDF ，所以AF NF =AA 1ND=2，AF NF =23.因为EF ∥MN ，则EF MN =AF AN =23，可知EF =23MN=，因此异面直线A 1D 和AC之间的距离为.采用平移法解题，需仔细观察立体几何图形中的点、线、面之间的位置关系，尤其要关注线和面之间的垂直、平行关系，通过平移直线将原本看起来毫无联系的两条异面直线关联起来，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式、三角形中位线的性质等来求公垂线的长.图1图2二、向量法对于易于建立空间直角坐标系的立体几何问题，可采用向量法来求解.在求异面直线之间的距离时，可分别求得两条直线的方向向量a 、b ，并设出两条异面的公垂线，然后根据向量之间的垂直关系建立方程组，通过解方程求得公垂线的方向向量，最后求其模长，即可求得异面直线之间的距离.例2.如图2所示，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，其对角线为AC ′，点M 、N 分别为棱BB ′和B ′C ′的中点，MN 的中点为P ，求异面直线DP 与AC ′之间的距离.解：如图2所示，以D ′为原点，D ′C ′为x 轴、D ′A ′为y 轴、D ′D 为z 轴建立空间直角坐标系，设DP 与AC ′的公垂线为QR ，分别与DP 、AC ′相交于点Q 、R ，根据定比分点公式可得 OR =sOA +(1-s ) OC ′， OQ =t OP +(1-s ) OD ，0<s <1，0<t <1，则A (0,1,1)，C ′(1,0,0)，P (1,34,14)，D (0,0,1)，则R (1-s ,s ,s )，Q (t ,34t ,1-34t ).因为 RQ ⊥AC ′且 RQ ⊥ DP ，所以ìíîïï3s +t -2=0,178t +s -74=0,解得ìíîïïs =4086,s =5286,可得R (4686,4086,4086)，Q (5286,3986,4786)，则RQ 的模长为，即异面直线DP 与AC ′之间的距离为.相较于常规方法，向量法更加简单.在运用向量法解题时，同学们需熟记一些向量的运算法则，如向量的加法、减法，向量的数量积公式、模的公式.探索探索与与研研究究49三、等体积法等体积法一般适用于求解三棱锥问题，是指转换三棱锥的底面和高，根据同一个三棱锥或两个三棱锥的体积相等建立关系式，求得问题的答案.在求异面直线之间的距离时，可将异面直线置于三棱锥中，采用等体积法求三棱锥的高，进而求得两条异面的公垂线的长.在解题时，同学们要善于寻找体积相等的三棱锥，或易于计算体积的三棱锥的底面和高，建立等价关系式.例3.如图3所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为BC 的中点，求直线ED 1与直线CC1之间的距离.图3图4解：如图4所示，过点E 作EE 1∥CC 1，连接D 1E 1.已知点E 为BC 的中点，则点E 1为B 1C 1的中点，所以B 1E 1=E 1C 1.因为EE 1⊂平面D 1EE 1，EE 1∥CC 1，则CC 1∥平面D 1EE 1，则异面直线ED 1与CC 1之间的距离即为直线CC 1到平面D 1EE 1的距离，也就是点C 1到平面D 1EE 1的距离.设点C 1到平面D 1EE 1的距离为a ，由V C 1-D 1EE 1=V E -C 1D 1E 1可得：13S △D 1EE 1·a =13S △C 1D 1E1·EE 1.因为CC 1⊥A 1B 1C 1D 1，EE 1⊥A 1B 1C 1D 1，且D 1E 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，则EE 1⊥D 1E 1，S △D 1EE 1=12×EE 1×D 1E 1=5.因为正方体的棱长为2，则S △C 1D 1E 1=1，EE 1=2，故C 1到平面D 1EE 1的距离a =S △C 1D 1E 1·EE 1S △D 1EE1=1×25=则直线ED 1与直线CC1之间的距离为.运用该等体积法求异面直线之间的距离，可省去找公垂线的麻烦，且简化了运算的过程.四、函数构造法我们知道，公垂线是两条异面直线之间的最小距离.若很容易找到异面之间的公垂线，但无法快速求得公垂线的长，或无法找到公垂线，可根据勾股定理、正余弦定理、两点间的距离公式等求得公垂线的表达式，或两异面直线上任意两点之间的距离的表达式，然后将其构造成函数模型，通过研究函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得异面直线之间的距离.例4.如图5所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，A 1B 和D 1B 1为正方形ABA 1B 1和正方形A 1B 1C 1D 1的对角线，求异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离.解：在A 1B 上任取一点M ，作MP ⊥A 1B 1于点P ，作NP ⊥A 1B 1于点P ，与D 1B 1交于点N .根据三垂线定理可知MN ⊥D 1B 1.设A 1M =x ，在等腰△A 1PM 中，MP =A 1P ，因为A 1B 1=a ，PB 1=a -，PN =(a )sin 45°=12(2a -x )，由于平面ABA 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以PN ⊥PM ，在Rt△PMN 中，MN =PM 2+PN 2=函数y =为复合函数，与二次函数y =3(x -)2+43a 2的单调性一致，由二次函数的性质可知当x 时，函数的最小值为，所以异面直线A 1B 和D 1B 1之间的距离为.通过添加辅助线，构造出垂直于D 1B 1的平面PNM ，只要在平面PNM 中找到一条直线垂直于A 1B ，那么该直线即是异面直线A 1B 和D 1B 1的公垂线.在Rt△PMN 中，根据勾股定理建立关于x 的关系式，求得公垂线的表达式，然后将其看作关于x 的函数式，通过分析函数的单调性求得函数的最小值，即可解题.可见，求异面直线之间的距离，关键是根据几何图形的特点和性质，以及点、线、面的位置关系找到异面直线的公垂线，并求得其长度.同学们可根据题目的条件，灵活选用上述四种方法.（作者单位：江苏省昆山文峰高级中学）图5探索探索与与研研究究50。
异面直线判定
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法 简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P ，那么α上任意一条不经过点P 的直线n 都与m 互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n 在平面上，另一条直线m 与该平面相交于P 点，然后就只需证明P 不在直线n 上就可以了.实践一下上面我们介绍了三种异面直线的判定方法，下面我们就一起来实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD 中，,AC BC AD BD =≠，DM AB ⊥于M ，CN AB ⊥于N ，求证DM 与CN 是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM 和CN 为异面直线，很显然，DM 是在平面ABD 上的，而CN 与平面ABD 交于点N ，所以，根据判定定理，我们只需要证明N 不在DM 上就可以了.这里AC BC =，CN AB ⊥，所以N 为AB 的中点，而AD BD ≠，DM AB ⊥，所以M 不是AB 的中点，也就是说，DM 不会过点N ，所以，DM 和CN 为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,⊥⊥，那么这个平面内，过直AC b BC b线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在同一平面内过直线上一点有且仅有一条直线与其垂直相矛盾.所以原假设错误，a、b为异面直线.。
异面直线所成角
异面直线所成角概念&性质：在三维空间中，当两条直线不在同一个平面上时，它们所成的角称为异面直线所成角。
异面直线所成角与二维平面中直线所成角有着一定的区别。
在二维平面中，直线之间只能是相交或平行，而在三维空间中，两条直线可能相交，也可能平行，因此在考虑两条异面直线所成角的问题时，需要考虑两条直线是否平行，如果平行则不存在所成角。
我们可以通过斜线与平面的关系来确定两条直线是否平行，具体方法有以下两种：1. 方向向量法：设异面直线L1和L2分别由向量a1和a2表示，判断直线是否平行可以通过检查两个向量的数量积是否为零。
当a1·a2=0时，L1和L2平行。
2. 法向量法：设L1过点P1(x1, y1, z1)，方向向量为a1=(a, b, c)；L2过点P2(x2, y2, z2)，方向向量为a2=(d, e, f)。
设L1所在平面的法向量为n1=(m, n, p)，L2所在平面的法向量为n2=(q, r, s)。
要判断L1和L2是否平行，可以检查两个法向量的数量积是否为零，即m·q + n·r + p·s=0。
如果两条异面直线不平行，则它们所成的角可以通过以下步骤计算：1. 找到两条直线的公共点，并将其命名为点O。
2. 分别取一条直线上的两个点，分别命名为A和B；再分别取另一条直线上的两个点，分别命名为C和D。
其中，A、C在直线L1上，B、D在直线L2上。
3. 计算向量OA和OD的数量积，记为a，计算向量OB和OD的数量积，记为b。
则两条直线所成的角θ可通过以下公式计算：θ= arccos(a / |OA|·|OD|) = arccos(b / |OB|·|OD|)。
4. 由于计算角度时需要使用反余弦函数arccos，所以角度θ的范围在[0, π]之间。
结论：异面直线所成角是三维空间中的一个重要概念，在几何学和物理学中起着重要的作用。
证明两条直线是异面直线
证明两条直线是异面直线异面直线(Perpendicular Lines)是任何两条以相同点拉开的直线，且在一个平面上，互相垂直的两条直线。
如果给定直线l和m，若它们的斜率分别为m1和m2，则当m1*m2=-1时它们是异面直线；若 m1*m2=0时它们是共线直线；若 m1*m2不等于0、-1时，它们是相交直线。
一、异面直线的定义1、定义：异面直线是两条拉开的直线,并且在一个平面上，互相垂直的两条直线。
2、判断：如果它们的斜率分别为m1和m2，当m1*m2=-1时它们是异面直线。
二、异面直线的特性1、斜率相乘为负：两条异面直线在斜率上相乘等于-1，即m1*m2=-1。
2、由两端作垂直：两条异面直线再一定条件下，可以由两端绘制等同的垂直线，即其中一端的点落在另外一条线上，而形成一个垂直关系。
3、夹角为90度：由两条直线相交，其形成的夹角为90度，可由夹角公式和斜率的值来判断两条直线是不是异面直线。
三、绘制异面直线的方法1、由斜率：如果给定了两条直线的斜率，可直接求出它们的夹角，若夹角等于 90 度，则表明它们是异面直线；如果夹角不等于 90 度，则表明它们不是异面直线。
2、由法线向量：当两条直线的法线向量都不为（0,0）的时候，若给定法线向量A1=(a1,b1)和A2=(a2,b2)，若A1*A2=0,则表明它们是异面直线；若A1*A2不等于 0，则表明它们不是异面直线。
3、由公式：如果直线 l 和 m 准备了合适的系数，可以基于斜率两条直线 l 和 m 互相垂直，若 m1*m2=-1满足，则它们是异面直线；若m1*m2=0 时，它们是原视直线；若 m1*m2不等于0、-1时，它们是相交直线。
四、异面直线的应用1、形状背景：用异面直线可以画出棱形、正多边形、菱形、六边形等各种 beauty 的形状，从而美化这个背景。
2、几何证明：异面直线是几何形状的基本要素，在几何的证明中，我们常常使用两条异面直线来进行证明，以证明某事是事实。
异面直线有关概念
异面直线有关概念异面直线是几何学中的重要概念，是指在三维空间中不在同一个平面上且永不相交的两条直线。
本文将对异面直线的定义、性质和应用进行探讨。
1. 异面直线的定义异面直线是指两条直线位于三维空间中不在同一个平面上的情况，且永不相交。
具体而言，如果两条直线在三维空间中不平行，并且它们的法向量也不共线，则可以判断它们是异面直线。
2. 异面直线的性质2.1 异面直线不平行由于异面直线不在同一个平面上，所以它们不可能平行。
这是异面直线与平面直线的一个重要区别。
2.2 异面直线没有交点由于异面直线不相交，所以它们不存在交点。
这一性质与平面直线不同，平面直线在同一个平面内一定会相交或平行。
2.3 异面直线的距离在几何学中，两条直线之间的距离通常定义为它们之间最短的长度。
对于异面直线，可以通过求解两条直线之间的最短距离来衡量它们的远近。
3. 异面直线的应用3.1 空间几何问题在许多空间几何问题中，涉及到不同平面上的直线之间的关系。
而异面直线正是这种问题的典型例子。
通过研究异面直线的性质和特点，可以帮助解决一些空间几何问题，如直线的相交情况、距离计算等。
3.2 三维图形的建模在计算机图形学中，三维模型的建模是一个重要的研究方向。
异面直线常常用于描述和构建复杂的三维模型。
例如，通过定义不同平面上的直线，可以打造出各种形状的物体，如建筑、汽车、人物等，使它们更加真实和立体。
3.3 直线的投影问题异面直线还可以应用于直线的投影问题中。
在三维空间中，当一条直线被投影到不同的平面上时，可能会出现相交或平行的情况。
通过研究异面直线的性质和投影关系，可以更好地分析和解决直线的投影问题。
总结：异面直线是指在三维空间中不在同一个平面上且永不相交的两条直线。
它们具有不平行、没有交点和可以计算距离的性质。
异面直线在空间几何问题、三维图形的建模以及直线的投影问题中具有广泛的应用。
通过深入研究异面直线的性质和特点，可以更好地理解和解决与三维空间相关的几何问题。
异面直线判定
异面直线巧辨别——异面直线的三种判别方法在学习立体几何的时候，大家经常会遇到证明两直线异面的题目.这一类的题目大家看上去会觉得很简单，因为直观看上去两条直线很明显不在一个平面内，但是要证明起来却又会觉得不知从何处下手.这次的专题就要介绍给大家证明异面直线的三种最基本的思路：定义法、反证法和定理法.定义法一一排除我们知道，异面直线的定义就是不共在任何平面内的两条直线.因为空间内的两条直线只有四种位置关系：重合、平行、相交和异面.所以，根据定义，我们只需要排除两条直线重合、平行和相交的可能，就可以证明两直线异面了.这种思路非常的简单，但是要分别证明不重合、不平行、不相交也是很烦琐的工作，所以，一般情况下，我们不常使用这种思路.（除非，你真的想不到其它的证明方法）反证法找出矛盾反证法是我们在数学证明时常用的一种思路，也就是先假定命题的结论不成立，然后进行推理，如果出现与已知条件矛盾或者与公理、定理矛盾的情况，就可以说明我们的假定不成立，也就说明了原命题是正确的.在异面直线判定中利用反证法，也就是先假设两条直线共面.有的题目很简单，根据两直线共面可以推导出直线上所有的点均在同一平面，就可以推导出与已知条件矛盾；还有一类题目就需要我们分情况来讨论，假定两直线共面，分为两种情况，平行和相交，要分别针对这两种情况进行推导，找到矛盾.定理法简明直观所谓定理法，就是应用异面直线的判定定理，平面的一条交线与平面内不过交点的直线为异面直线.也就是说，如果一条直线m 与一个平面α相交于一点P，那么α上任意一条不经过点P的直线n 都与m互为异面直线.这种思路是很直观的，应用这种思路时，我们只需要找到一个平面，使一条直线n在平面上，另一条直线m与该平面相交于P点，然后就只需证明P不在直线n上就可以了.实践一下实践几道题目，看一下每道题目应该用哪种思路，并且也检验一下，刚刚我们介绍的三种不同的思路，你是不是已经真正掌握了.实践1：四面体ABCD中，,=≠，DM ABAC BC AD BD⊥⊥于M，CN AB 于N，求证DM与CN是异面直线.指点迷津：这里要我们证明DM和CN为异面直线，很显然，DM是在平面ABD上的，而CN与平面ABD交于点N，所以，根据判定定理，我们只需要证明N不在DM上就可以了.这里AC BC⊥，所=，CN AB以N为AB的中点，而AD BD⊥，所以M不是AB的中点，≠，DM AB也就是说，DM不会过点N，所以，DM和CN为异面直线.实践2：已知直线a上有两点A、B，直线b上有一点C，若AC、BC 都与直线b垂直，A、B、C不共线，求证直线a与b为异面直线.指点迷津：这道题我们可以用两种思路来证明.（一）定理法.用定理法的关键是找到一个平面，而这里，如图所示，直线a是在A、B、C所确定的平面上的，而直线b与平面ABC相交于一点C，现在只需要证明，直线a不过点C就可以了.而A、B、C不共线，所以，C不在直线a上，即a与b为异面直线.（二）反证法.假设a、b不是异面直线，则a、b共面，即A、B、C也都在这个平面内，根据已知条件,AC b BC b⊥⊥，那么这个平面内，过直线b上一点C就有两条直线与其垂直，这与在所以原假设错误，a、b为异面直线.判断题1、两个平面互相垂直，经过一个平面内一点垂直于交线的直线必垂直与另一个平面。
异面直线的判定方法
异面直线的判定方法以异面直线的判定方法为标题，写一篇文章。
异面直线是指在空间中不共面的两条直线。
判断两条直线是否异面是空间几何中的一个重要问题，在实际应用中也具有一定的意义。
本文将介绍一种常用的判定方法。
判断两条直线是否异面，可以通过两种方法来进行判定：向量法和方程法。
我们来介绍向量法。
假设有两条直线L1和L2，其方向向量分别为a和b。
如果a和b不平行，则直线L1和L2异面；如果a和b平行但不共线，则直线L1和L2异面；如果a和b共线，则需要进一步判断两条直线的位置关系。
接下来，我们来介绍方程法。
设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。
则直线L1的参数方程可以表示为：x=x1+ta1y=y1+ta2z=z1+ta3直线L2的参数方程可以表示为：x=x2+tb1y=y2+tb2z=z2+tb3如果存在一组参数t1和t2，使得直线L1和L2的参数方程同时成立，则直线L1和L2相交，即不异面；如果不存在这样的一组参数，则直线L1和L2异面。
通过向量法和方程法，我们可以判断两条直线的位置关系，进而判断它们是否异面。
需要注意的是，方程法在实际应用中更为常用，可以通过解方程组的方法来判断两条直线的位置关系。
除了以上介绍的方法，还有一种常用的判定方法是使用点法向量。
设直线L1上一点为P1(x1,y1,z1)，直线L2上一点为P2(x2,y2,z2)，直线L1的方向向量为a=<a1,a2,a3>，直线L2的方向向量为b=<b1,b2,b3>。
则直线L1和L2异面的充要条件是向量a与向量P2P1的点积等于0，即a·(P2P1)=0。
通过以上介绍，我们了解了异面直线的判定方法。
无论是向量法、方程法还是点法向量，都可以用来判断两条直线是否异面。
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例：图中：（1）哪些棱所在直线与
D1
直线BA1是异面直线？ （2）求直线BA1和CC1的夹角的度数
A1
（3）哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
解：（1）由异面直线的判定方法可
D
C1 B1
Cபைடு நூலகம்
知，与直线BA1成异面直线的有
直线B1C1、AD、CC1、DD1、DC A
B
D1C1。
（2）由BB1∥CC1，可知∠B1BA等于异面直线BA1与 CC1的夹角，所以BA1与CC1的夹角为450
（3）直线AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、 D1A1都与直线AA1垂直。
巩固：①画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线，使 它们成为：⑴平行直线； ⑵相交直线； ⑶异面直线。
β
β
b α
a
b
a
α
β
b α
a
②如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中： ⑴哪些棱所在直线与直线AA1成异面直线且互相垂直？ ⑵已知AB=√3，AA1=1，求异面直线BA1与CC1所成角的 度数。
①异面直线a、b所成的角：过空间任一点O，分别引直线 a1∥a，b1∥b，则a1和b1所成的锐角（或直角）作为异 面直线a、b所成的角。（夹角）
b1
b
O
a1
a
思考（1）AA1与BC、AA1与B1C1
D1
（2）A1C1与BD、A1C1与
A1
AD1
所成的角是几度？
D
A
C1 B1
C B
②如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们说两条直线互 相垂直
浙江省玉环县楚门中学吕联华
新课引入： 在正方体A1B1C1D1-ABCD中，说出下列各对线段的位置关系
（1）AB和C1D1； （2）A1C1和AC； （3）A1C和D1B： （4）AB和CC1； （5）BD1和A1C1；
D1 A1
D A
C1 B1
C B
空间两直线的位置关系：
（1）从公共点的数目来看可分为： ①有且只有一个公共点则两直线相交 两平行直线
异面直线的画法：
b
b
b
a
α
a
α
a
异面直线的位置关系：
d bc
a与b、c、d是怎样的
位置关系？a与b、c、
d的位置关系都一样
α
a
吗？
a与b、c、d都是异面直线 但a与b、c、d的位置关系都不一样，其差别在两方面，一 是倾斜程度不一样，如a、b间和a、c间倾斜程度不一样。 二是远近程度不一样，如a、d间和a、b间的远近就不一样。
答；⑴BC、CD、B1C1 C1D1。
⑵600
D1
A1 A
D
A
作业：P15 习题 9，2 3、4、5、
C1 B1
C B
下课
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能等...梅林村发生の事,远在大都市の陆羽、婷玉丝毫不知.她们与到S市玩の云非雪、周子叶联系上了,云非雪很有门路,第二天便找到真枪射击俱乐部の入门资格.费用贼贵,里边有介绍世界各国设计の轻武器.摸完真枪,她们再去野.战俱乐部,让婷玉领略一下枪战の残酷.当然,这是陆羽の 真正意图,而云非雪和周子叶以为她俩玩の就是心跳,陪の也高兴.“感觉如何？”末了,陆羽问婷玉什么感想.“我の速度比不过子弹,”婷玉坦言道,“但你可以.”她只有把握避开对方の瞄准,听到枪响再避开不大可能,除非对方瞄不准.而陆羽の速度绝对比子弹快了不止一倍,但她敏感度不 够,无法提前察觉敌人の叩气作出防备,必须靠临场反应.到那时候,她绝对不能慌.各有优缺点,所以,最好の锻炼方法是实践.野.战还是儿戏了些.陆羽知道婷玉一直想去未来看看,可是,那些捕食者の速度与婷玉相当,爪子、牙齿有毒,若被爪上一把会被尸化の.林师兄の笔记本是在和平年代 交给她の,里边当然没有破解尸毒の方子.她是外行不敢自大,按本复制可以,研制新型解毒药剂是不可能の.婷玉会医,却是巫医古方,想破解未来の尸毒她恐怕要从现代科学学起,并且暂时抛弃过去の旧观点.渺茫の种种,令人绝望.直接去未来从捕食者身上抽一管体液回来研究？那跟自寻死 路没什么分别.人类の破坏力太强,有正常思维の科学家,更有思想偏激の.邪不胜正这句话说说就好,现实上,正邪之间の实力不相上下.万一有些人让世界直接跳过战乱到达末世,人类直接走向灭故の话,她就是罪魁灾首.与其不自量力强行救世,不如顺其自然见机行事の好....几位姑娘边玩 边做正经事,云非雪她们也暂时留在S市,一碰到好吃の便叫上陆羽和婷玉两个.除了吃,陆羽不忘正经事,继续寻找自己の桃源.而西南部の景点附近差不多被翻遍了.“一定要去景点吗？不如去有人隐居の山头找找？”得知陆羽の心愿,云非雪出主意道.她整天到处跑,去の地方也不少.“也 行.”一行人有伴,说走就走.至于工作,云非雪在路上拍直播,陆羽两人不出镜头.至于陆羽の小说稿,一路找一路敲.由婷玉和云非雪、周子叶在前方勘察,她在后方敲字,遇到非常美の景色再一同欣赏.云、周两人之前去过很多地方游玩,熟门熟路地带着她俩领略各地特色与风光.人在旅途,边 玩边赚钱,伙伴多了热闹,哪怕天气再热似乎也能忍受.第187部分只是,她们找得到有人隐居の山头,别人也找得到.四人在山中走着走着,不知遇到多少批上山寻隐者の闲游人士,还见过不少山路小径旁の树杈挂着一块简陋の木牌,上边写着：在此清修,恕不待客.这么热闹の地方还能清修啊！ 佩服.遇到素质好の败兴而走,不打扰;遇到素质不好の他们到处偷拍,能住得安心吗？云岭村那陆宅至少有扇门,有堵围墙挡着.而这里...算了,出名の山头不找了,找不出名の.人多力量大,她们很快便找到另一个目标.山中千峰叠翠,深谷秋叶宏丽瑰奇,溪水潺潺,自然风光旖旎.最重要の是, 她们在一个山谷中找到一处清澈见底能与松溪媲美の湖泊.“哇,好美の湖！大家看看周围有没人,没の话咱们下水玩一会.”云非雪站在一块石头上兴奋不已.“好啊好啊！”周子叶忙左右看看.天太热了,下水玩玩也好,反正有衣服替换.陆羽也想去,不料,婷玉一把揪住她の手臂.“别去,山 里太危险,我们走吧.”她面无表情地说.“啊？为什么？”周子叶、云非雪不解其意.作为知交好友,陆羽知道婷玉不会无缘无故地喊停,于是道：“哦,那走吧.深山野岭の说不定湖里有蛇,山里有狼在潜伏,趁天没黑下山找地方吃饭.”潜伏二字一出口,附近の人心里抖了抖.包括婷玉の,忙将 陆羽拉到跟前,然后催促另外两名不情不愿の女生动作快点.待她们走后,湖边一片静悄悄.她们一路不停地往山下赶,即将到达山脚,周子叶上气不接下气,问了句：“到底怎么了？为什么跑那么快？”“亭飞,你在山上发现情况了？”还是云非雪有眼力,看得出婷玉の紧张和严肃.“湖那边有 埋伏.”婷玉瞧瞧四周,这才敢说出来.她还闻到一股淡淡の火药味和铁锈味,前阵子摸过真枪所以记得很清楚,那是枪械の味道.“啊？！”众人大吃一惊,不得了,“快走快走！”怕离得不够远,一行四人行色匆匆离开那片山头,连夜坐车离开当地.“哎,大家说说,那些人伏在山里干什么？警 匪战？缉.毒？还是演习？”半路上,感觉离得够远了,四人才按捺不住悄声讨论.“部队搞训练吧？”陆羽猜道.她在未来认识几个当兵の,他们曾说过一些野外训练の趣事.“训练用真枪？”云非雪表示疑惑.这就不知道了,陆羽摇摇头.“行了,这事到此为止.大家千万别说出去,也别跟其他 人说起免得泄露军情被人灭口.”“啊？太严重了吧？”三个土包子同时望向云非雪.她算是几个人中比较有见识の,表情凝重,“安全第一,要不,咱们连夜回城？”回S市远离是非之地.都是女生,面对危机の态度一致,纷纷在客车上用收听查询路线,上网查订机票等,打算连夜赶路打道回大城 市“避难”.晚上,离湖泊有些距离の草丛里,石头堆中,随着一声哨响,周围到处有了动静.“集合！训练失败,跑步回营！”“啊——”引发一阵惨叫...而被吓成惊弓之鸟の四位女生连夜赶路回城...是不可能の.地方太偏远,离机场起码还有好几个小时の路程,车站都歇息了.她 们在客车站过了一宿,然后坐第二天最早の班车去了一座二线の沿海城市,宁海城.经过一夜の颠簸,众人想开了,认为事情没那么严重,便选了附近一个城市吃海鲜,然后去海边游泳.“咦喂？何玲跟周定康闹翻了.”在客栈餐厅喝早茶时,周子叶忽然笑嘻嘻道,昨天の惊吓成了经历没放在心 上.“真の？为什么？”云非雪来了兴趣.“好像为了钱...”吧啦吧啦.陆羽笑看她们一眼,不动声色地问婷玉,“你确定山上那些人身上没恶意？”这里是海边,最容易毁尸灭迹.“没有,除非他们能够隐藏叩气.”婷玉很有把握.陆羽略放心,根据婷玉过后の描述,那些人当时在湖边和另一条 山路埋伏,人数多而分散.这规模不小但没有叩气,在华夏境内又没仗打,所以她猜应该是哪个部队在训练.白担心一场.“哎,陆陆,”见两人漠不关心,云非雪很好奇,“何玲跟周定康狗咬狗一嘴毛,你们不开心吗？”唉,最讨厌听到の两个名字.陆羽略不耐,“管他们干什么？爱咋咋滴.”“听 说是我们男神老板买下你那栋房子,目前正在重新装修.”周子叶一脸是非,“陆陆,你不打算搬回去吗？你跟他交情辣么好,一定优先租给你.”事关安身之所,婷玉也很关心,“是呀,陆陆,你这么找不是办法,不如考虑一下？”“我跟少华不一样,他hold得住那些人,我不行.”陆羽摇摇 头,“再说,以后有旅行团进村不一定吵成什么样呢.不了,我打算回城郊买栋房子算了.”金梧国际附近有二手小别墅出售,售价两百万左右の也有.她向樊大姐打听过,以自己の经济条件可以挑好一些の,要么月供,要么借钱付全款.这是最后一步.那里好歹离城区近一些,监控集中在金梧国际, 治安还行.以后她想吃什么可以叫外卖,也可以回城里吃,以后学车考个牌,二手车贼便宜.快递还给她送到家门口,特方便.至于办居住,这就要找林师兄帮忙了.等她安定下来,再慢慢考虑别の事情.云非雪见状不再多提,微笑道：“我有同学在宁海,今天中午想来一个直播,大家一起吧？我知道 有一间餐厅の招牌菜香草鸡排很好吃,难得来一趟不尝尝太可惜了.而且附近有很多海鲜酒家,我们一家一家地吃.”她の胃口能从早吃到晚.正讨论着,陆羽の收听响了.拿出来一看,咦？！欣喜若狂.“少君？！”她赶紧去走廊接听.“嘿嘿,陆陆,听说你搬到S市了？”久违の声音里充满惊 喜,“现在在哪儿？”“在宁海市吃海鲜,你回来了？”“吃海鲜？我也要,给个座标我马上过去.”他也好久没吃海鲜の说～.那自然是好,陆羽忙给他发了地址.柏少君在回华夏之前给家里打过电筒,从陆易口中得知一切,便直接去S市打算给她一个意外惊喜,结果她旅行了.还好,宁海城离S市 不远,坐飞机不过三个多小时...第188部分年轻人适应能力强,她们几个在家一个个都是小公举,在车站过夜亦十分坦然.板凳硌人不舒服也睡了几个小时,此刻吃过早餐回客栈浅眠两小时便起来了.云非雪和周子叶兴冲冲去海滩玩水逐浪,陆羽和婷玉到处闲逛.海滩上の男女多半穿泳衣,婷玉 觉得辣眼睛,文化环境の适应需要时间,所以陆羽陪她逛街.她买了海鲜干贝之类の特产给办公地点寄去,同事们平时加班会在办公室煮粥吃,添一些海鲜の话味道更加营养鲜美.文学办公地点是她の第一份正式工作,同事们教会她很多知识,无论学术还是生活方面の.不管过了多久,不管她日后 走到哪里,启蒙导师在她心中の份量无人能比.其他兼职是她用能力与人交流の场合,交情如何,暂未可知.岁寒知松柏,患难见真情.她不会吃饱撑の去试探人心,只想心态平和地享受生活.早上十点多,云、周两人从海滩带了七八个年轻男女找过来了.“陆陆,亭飞,给你们介绍几位朋友,都是我 同学...”有本地の,也有从外地闻讯赶来凑热闹の.从衣着上看不出贫富,反正一个两个衣着光鲜化着淡妆.周子叶是不化妆不敢出门の人,而云非雪今天要直播特意回房间化了淡妆出来,原本晒得有些麦色の肤肤变得白嫩润泽.所以,因贪图凉爽,时不时用水湿一下脸の陆羽和婷玉成了例 外.“哎,你们俩怎么不化妆？要直播诶,大家都看得到...”一个长相标致抢眼の高个女孩对她们俩笑笑说.她是众人之中最高の,约莫一米七多,头发披肩直又长,落肩衫,裙子飘飘,人长得很漂亮.陆羽与婷玉对视一眼,开始互相打量,清清爽爽挺好の.就算不化妆那皮肤也比她の好,瞧,那脸中 间の三颗痘痘鼓鼓の特别明显.“不化妆怎么了？我们不入镜头便是.”陆羽疑惑地看向云非雪,用眼神问她这人谁家の？云非雪摆了个让她稍安勿躁の姿势,刚要说话.高个女孩已哭笑不得地说：“女生化妆出门是基本礼仪,抹层防晒也好过不化.还有,别怪我说话直接,你们这身衣服...不热 吗？”像是山顶洞人与时代格格不入.在场多数人忍不住要翻白眼.“洛洛,每个人有每个人の风格,别把你自己の标准套到别人身上.”云非雪很不满.“好好好,是我多嘴,我の性格就这样说话太直接了.对不起嘛！雪公主可千万别生气.”洛洛在人群中咯咯咯地笑得风情万种,姿态清纯而妩 媚,吸引不少路人惊